Técnicas de Conteo

Técnicas de Conteo

Si el número de posibles resultados de un experimento es pequeño, es relativamente fácil

listar y contar todos los posibles resultados. Al tirar un dado, por ejemplo, hay seis posibles

resultados.

Si, sin embargo, hay un gran número de posibles resultados tales como el número de niños

y niñas por familias con cinco hijos, sería tedioso listar y contar todas las posibilidades.

Las posibilidades serían, 5 niños, 4 niños y 1 niña, 3 niños y 2 niñas, 2 niños y 3 niñas, etc.

Para facilitar el conteo examinaremos tres técnicas: La técnica de la multiplicación, la

técnica de la permutación, y la técnica de la combinación.

La Técnica de la Multiplicación

La técnica de la multiplicación: Si hay m formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer

otra cosa, hay m x n formas da hacer ambas cosas

En términos de fórmula

Número total de arreglos = m x n

Esto puede ser extendido a más de dos eventos. Para tres eventos, m, n, y o:

Número total de arreglos = m x n x o

Ejemplo:

Un vendedor de autos quiere presentar a sus clientes todas las diferentes opciones con que

cuenta: auto convertible, auto de 2 puertas y auto de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines

deportivos o estándar. ¿Cuántos diferentes arreglos de autos y rines puede ofrecer el

vendedor?

Para solucionar el problema podemos emplear la técnica de la multiplicación, (donde m es

número de modelos y n es el número de tipos de rin).

Número total de arreglos = 3 x 2

No fue difícil de listar y contar todos los posibles arreglos de modelos de autos y rines en

este ejemplo. Suponga, sin embargo, que el vendedor tiene para ofrecer ocho modelos de

auto y seis tipos de rines. Sería tedioso hacer un dibujo con todas las posibilidades.

Aplicando la técnica de la multiplicación fácilmente realizamos el cálculo:

Número total de arreglos = m x n = 8 x 6 = 48

La Técnica de la Permutación

Como vimos anteriormente la técnica de la multiplicación es aplicada para encontrar el

número posible de arreglos para dos o más grupos. La técnica de la permutación es aplicada

para encontrar el número posible de arreglos donde hay solo u grupo de objetos. Como

ilustración analizaremos el siguiente problema: Tres componentes electrónicos - un

transistor, un capacitor, y un diodo - serán ensamblados en una tablilla de una televisión.

Los componentes pueden ser ensamblados en cualquier orden. ¿De cuantas diferentes

maneras pueden ser ensamblados los tres componentes?

Las diferentes maneras de ensamblar los componentes son llamadas permutaciones, y son

las siguientes:

T D C D T C C D T

T C D D C T C T D

Permutación: Todos los arreglos de r objetos seleccionados de n objetos posibles

La fórmula empleada para contar el número total de diferentes permutaciones es:

n P r = n! (n – r )!

Donde:

nPr es el número de permutaciones posible

n es el número total de objetos

r es el número de objetos utilizados en un mismo momento

n P r = n! = 3! = 3 x 2 = 6

(n – r )! ( 3 – 3 )! 1

Ejemplo:

Suponga que hay ocho tipos de computadora pero solo tres espacios disponibles para

exhibirlas en la tienda de computadoras. ¿De cuantas maneras diferentes pueden ser

arregladas las 8 máquinas en los tres espacios disponibles?

n P r = n! = 8! = 8! = 336 (n – r )! ( 8 – 3 )! 5!

En el análisis anterior los arreglos no presentan repeticiones, es decir, no hay dos espacios

disponibles con el mismo tipo de computadora. Si en los arreglos se permite la repetición,

la fórmula de permutaciones es la siguiente:

n Pr = nr

Para ilustrar el punto, queremos saber ¿cuántas series de 2 letras se pueden formar con las

letras A, B, C, si se permite la repetición? Las permutaciones son las siguientes:

AA, AB, AC, BA, CA, BB, BC, CB, CC

Usando la fórmula:

n Pr = nr = 3P2 = 32 = 9

La Técnica de la Combinación

En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el

orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina

combinación. Por ejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas

seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes,

entonces si importa el orden, los resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el

equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán

combinaciones. Los resultados en ambos casos son los siguientes:

Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB

Combinaciones: AB, AC, BC

Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos

sin importar el orden.

La fórmula de combinaciones es:

n C r = n!

r! (n – r )!

Ejemplo:

En una compañía se quiere establecer un código de colores para identificar cada una de las

42 partes de un producto. Se quiere marcar con 3 colores de un total de 7 cada una de las

partes, de tal suerte que cada una tenga una combinación de 3 colores diferentes. ¿Será

adecuado este código de colores para identificar las 42 partes del producto?

Usando la fórmula de combinaciones:

n C r = n! = 7! = 7! = 35 r! (n – r )! 3! ( 7 – 3 )! 3! 4!

El tomar tres colores de 7 posibles no es suficiente para identificar las 42 partes del

producto.

Problemas

1.- Juanita invito a sus amigos a cenar. Juanita tiene 10 amigos, pero solo tiene 6 lugares en

la mesa.

a) ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si no le importa como queden

acomodados.

b) ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si le importa como queden

acomodados.

c) Dos de sus amigos son un feliz matrimonio, Juanita decidió sentarlos a la mesa juntos.

¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si no le importa como queden

acomodados los demás.

d) ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si le importa como queden

acomodados los demás.

e) Dos de sus amigos son enemigos, Juanita no los quiere sentar juntos a la mesa. ¿De

cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si no le importa como queden acomodados los

demás.

f) ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si le importa como queden acomodados

los demás.

g) Los amigos de Juanita son 4 mujeres y 6 hombres. Juanita quiere que siempre haya 2

mujeres sentadas a la mesa. ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si no le

importa como queden acomodados.

h) ¿Cuál es la probabilidad, si los selecciona al azar, de queden sentados a la mesa puros

hombres?

i) ¿Cuál es la probabilidad, si selecciona al azar 3 hombres y 3 mujeres, y asigna los lugares

al azar también, queden sentados intercalados hombres y mujeres?

2.- En la escuela primaria Netzahualcoyotl imparte clase la maestra Bety. Ella es feliz

enseñando al grupo de tercer grado, que está compuesto por 15 niñas y 12 niños. Bety

propone a los niños formar una mesa directiva del grupo formada por cinco de ellos. La

mesa directiva estaría formada por un presidente, un secretario, un tesorero, y dos vocales.

a) ¿De cuantas maneras puede formar la mesa directiva?, si no le importa como queden

asignados los puestos.

b) Bety piensa que como hay más niñas que niños la mesa directiva debe integrarse por 3

niñas y 2 niños. ¿De cuantas maneras puede formar la mesa directiva?, si no le importa

como queden asignados los puestos.

c) La maestra Susana (la de cuarto) le sugiere que solo el puesto de presidente sea para

niñas y los otros 4 puestos sean para niños. ¿De cuantas maneras puede formar la mesa

directiva?, si no le importa como queden asignados los otros puestos.

d) El profesor de educación física ( Ramón ) dice que todos los puestos deben de ser para

niños, pero podría dársele el puesto de secretaria a una niña. ¿De cuantas maneras puede

formar la mesa directiva?, si le importa como queden asignados los otros puestos.

e) En el grupo de tercer grado hay 4 reprobados (3 niños y una niña) y la maestra Bety

decidió que ellos no pueden formar parte de la mesa directiva. ¿De cuantas maneras puede

formar la mesa directiva?, si no le importa como queden asignados los puestos.

f) ¿Cuál es la probabilidad, si se selecciona la mesa directiva al azar entre todos los

integrantes del grupo de tercer grado, quede integrada por puras niñas? Sin importar como

queden asignados los puestos.

g) ¿Cuál es la probabilidad, si se selecciona la mesa directiva al azar entre todos los

integrantes del grupo de tercer grado, quede integrada por puros niños? Sin importar como

queden asignados los puestos.

h) ¿Cuál es la probabilidad, si se selecciona la mesa directiva al azar entre todos los

integrantes del grupo de tercer grado, el presidente, secretario y tesorero sean niños y las

dos vocales niñas? Sin importar como queden asignados los puestos.

A) A) CONCEPTO.

Suponga que se encuentra al final de una línea de ensamble final de un producto y que un supervisor le ordena contar los elementos de un lote que se ha manufacturado hace unas horas y del que se desconoce el número de productos que lo constituyen, de inmediato usted empezará a contar un producto tras otro y al final informará al supervisor que son, 48, 54 u otro número cualquiera. Ahora suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente pregunta ¿cuántas muestras o grupos será posible formar con los productos del lote, si las muestras o grupos a formar son de ocho elementos cada una de ellas?.En el primer caso el cuantificar los elementos del lote no presenta dificultad alguna para la persona encargada de hacerlo, pero cuando se le hace el segundo planteamiento, al tratar de formar las muestras o grupos de ocho elementos la persona encargada empezará a tener dificultad para hacerlo, en casos como este es necesario hacer uso de las técnicas de conteo para cuantificar los elementos del evento en cuestión (el número de muestras posibles a formar de ocho elementos), luego, ¿qué son las técnicas de conteo? Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.Ejemplos en los que definitivamente haremos uso de las técnicas de conteo serían:-¿Cuántas comisiones pro limpieza del instituto se pueden formar si hay 150 alumnos que desean ayudar en esta tarea y se desea formar comisiones de ocho alumnos?-¿Cuántas representaciones de alumnos pueden ser formadas a) si se desea que estas consten solo de alumnos de Ingeniería Química?, b) se desea que el presidente sea un químico?, c) se desea que el presidente y tesorero sean químicos? Para todos los casos, se desea que las representaciones consten de once alumnos.

-¿Cuántas maneras tiene una persona de seleccionar una lavadora, una batidora y dos licuadoras, si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras, 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadoras? Se les denomina técnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y diagrama de árbol, las que a continuación se explicarán y hay que destacar que éstas nos proporcionan la información de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado. Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio multiplicativo y el aditivo, los que a continuación se definen y se hace uso de ellos.

B) PRINCIPIO MULTIPLICATIVO. Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de;

N1 x N2 x ..........x Nr maneras o formas El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro. Ejemplos:

1) 1) Una persona desea construir su casa, para lo cuál considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y por último los acabados los puede realizar de una sola manera ¿cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa?

Solución: Considerando que r = 4 pasos N1= maneras de hacer cimientos = 2N2= maneras de construir paredes = 3N3= maneras de hacer techos = 2N4= maneras de hacer acabados = 1 N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la casa

El principio multiplicativo, el aditivo y las técnicas de conteo que posteriormente se tratarán nos proporcionan todas las maneras o formas posibles de como se puede llevar a cabo una actividad cualquiera.

2) 2) ¿Cuántas placas para automóvil pueden ser diseñadas si deben constar de tres letras seguidas de cuatro números, si las letras deben ser tomadas del abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al 9?, a. Si es posible repetir letras y números, b. No es posible repetir letras y números, c. Cuántas de las placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D y empiezan por el cero, d. Cuantas de las placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D seguida de la G.

Solución:

a. a. Considerando 26 letras del abecedario y los dígitos del 0 al 9 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 75,760,000 placas para automóvil que es posible diseñar b. b. 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 78,624,000 placas para automóvil c. c. 1 x 25 x 24 x 1 x 9 x 8 x 7 = 302,400 placas para automóvil

d. d. 1 x 1 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 120,960 placas para automóvil

3) 3) ¿Cuántos números telefónicos es posible diseñar, los que deben constar de

seis dígitos tomados del 0 al 9?, a. Considere que el cero no puede ir al inicio de los números y es posible repetir dígitos, b. El cero no debe ir en la primera posición y no es posible repetir dígitos, c. ¿Cuántos de los números telefónicos del inciso b empiezan por el número siete?, d. ¿Cuántos de los números telefónicos del inciso b forman un número impar?.

Solución:

a. a. 9 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 900,000 números telefónicos b. b. 9 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 136,080 números telefónicos

c. c. 1 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 15,120 números telefónicos

d. d. 8 x 8 x 7 x 6 x 5 x 5 = 67,200 números telefónicos

C) PRINCIPIO ADITIVO. Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de,

M + N + .........+ W maneras o formas

Ejemplos:

1) 1) Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?

Solución: M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca EasyW = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora

2 ) Rafael Luna desea ir a las Vegas o a Disneylandia en las próximas vacaciones de verano, para ir a las Vegas él tiene tres medios de transporte para ir de Chihuahua al Paso Texas y dos medios de transporte para ir del Paso a las Vegas, mientras que para ir del paso a Disneylandia él tiene cuatro diferentes medios de transporte, a) ¿Cuántas maneras diferentes tiene Rafael de ir a las Vegas o a Disneylandia?, b) ¿Cuántas maneras tiene Rafael de ir a las Vegas o a Disneylandia en un viaje redondo, si no se regresa en el mismo medio de transporte en que se fue?.

Solución: a) V = maneras de ir a las Vegas D = maneras de ir a Disneylandia

V = 3 x 2 = 6 maneras D = 3 x 4 = 12 maneras V + D = 6 + 12 = 18 maneras de ir a las Vegas o a Disneylandia b) V = maneras de ir y regresar a las Vegas D = maneras de ir y regresar a Disneylandia V = 3 x 2 x 1 x 2 = 12 maneras D = 3 x 4 x 3 x 2 = 72 maneras V + D = 12 + 72 = 84 maneras de ir a las Vegas o a Disneylandia en un viaje redondo

¿Cómo podemos distinguir cuando hacer uso del principio multiplicativo y cuando del aditivo? Es muy simple, cuando se trata de una sola actividad, la cual requiere para ser llevada a efecto de una serie de pasos, entonces haremos uso del principio multiplicativo y si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo. D) PERMUTACIONES. Para entender lo que son las permutaciones es necesario definir lo que es una combinación y lo que es una permutación para establecer su diferencia y de esta manera entender claramente cuando es posible utilizar una combinación y cuando utilizar una permutación al momento de querer cuantificar los elementos de algún evento. COMBINACIÓN Y PERMUTACION. COMBINACIÓN:Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. PERMUTACIÓN:Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. Para ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinación y una permutación, plantearemos cierta situación.

Suponga que un salón de clase está constituido por 35 alumnos. a) El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como mantener el aula limpia o entregar material a los alumnos cuando así sea necesario. b) El maestro desea que se nombre a los representantes del salón (Presidente, Secretario y Tesorero). Solución:

a) Suponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel, Arturo y a Rafael para limpiar el aula o entregar material, (aunque pudieron haberse seleccionado a Rafael, Daniel y a Enrique, o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente).

¿Es importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personas?Reflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia, ya que lo único que nos interesaría es el contenido de cada grupo, dicho de otra forma, ¿quiénes están en el grupo? Por tanto, este ejemplo es una combinación, quiere decir esto que las combinaciones nos permiten formar grupos o muestras de elementos en donde lo único que nos interesa es el contenido de los mismos.

b) Suponga que se han nombrado como representantes del salón a Daniel como Presidente, a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero, pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios, los que se muestran a continuación:

CAMBIOSPRESIDENTE: Daniel Arturo Rafael DanielSECRETARIO: Arturo Daniel Daniel RafaelTESORERO: Rafael Rafael Arturo Arturo

Ahora tenemos cuatro arreglos, ¿se trata de la misma representación? Creo que la respuesta sería no, ya que el cambio de función que se hace a los integrantes de la representación original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente, ¿importa el orden de los elementos en los arreglos?. La respuesta definitivamente sería sí, luego entonces las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones sí importa, por lo tanto es este caso estamos tratando con permutaciones.

A continuación obtendremos las fórmulas de permutaciones y de combinaciones, pero antes hay que definir lo que es n! (ene factorial), ya que está involucrado en las fórmulas que se obtendrán y usarán para la resolución de problemas.

n!= al producto desde la unidad hasta el valor que ostenta n.n!= 1 x 2 x 3 x 4 x...........x n Ejem.10!=1 x 2 x 3 x 4 x.........x 10=3,628,800 8!= 1 x 2 x 3 x 4 x.........x 8=40,320 6!=1 x 2 x 3 x 4 x..........x 6=720, etc., etc. Obtención de fórmula de permutaciones.Para hacer esto, partiremos de un ejemplo.

¿Cuántas maneras hay de asignar los cuatro primeros lugares de un concurso de creatividad que se verifica en las instalaciones de nuestro instituto, si hay 14 participantes?

Solución:Haciendo uso del principio multiplicativo, 14x13x12x11 = 24,024 maneras de asignar los primeros tres lugares del concurso Esta solución se debe, a que al momento de asignar el primer lugar tenemos a 14 posibles candidatos, una vez asignado ese lugar nos quedan 13 posibles candidatos para el segundo lugar, luego tendríamos 12 candidatos posibles para el tercer lugar y por último tendríamos 11 candidatos posibles para el cuarto lugar. Luego si n es el total de participantes en el concurso y r es el número de participantes que van a ser premiados, y partiendo de la expresión anterior, entonces. 14x13x12x11= n x (n - 1) x (n - 2) x .......... x (n – r + 1) si la expresión anterior es multiplicada por (n – r)! / (n – r)!, entonces = n x (n –1 ) x (n – 2) x ......... x (n – r + 1) (n – r)! / (n – r)! = n!/ (n – r)! Por tanto, la fórmula de permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos es:

)!rn(

!nPrn

Esta fórmula nos permitirá obtener todos aquellos arreglos en donde el orden es importante y solo se usen parte (r) de los n objetos con que se cuenta, además hay que hacer notar que no se pueden repetir objetos dentro del arreglo, esto es, los n objetos son todos diferentes. Entonces, ¿ qué fórmula hay que usar para arreglos en donde se utilicen los n objetos con que se cuenta?Si en la fórmula anterior se sustituye n en lugar de r, entonces. nPn= n!/ (n –n)! = n! / 0! = n! / 1 = n!

Como 0! = 1 de acuerdo a demostración matemática, entonces nPn= n! Ejemplos:

1) 1) ¿Cuantas representaciones diferentes serán posibles formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta representación puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequeña empresa.

Solución: Por principio multiplicativo: 25 x 24 x 23 x 22 x 21 = 6,375,600 maneras de formar una representación de ese sindicato que conste de presidente, secretario, etc., etc. Por Fórmula: n = 25, r = 5 25P5 = 25!/ (25 –5)! = 25! / 20! = (25 x 24 x 23 x 22 x 21 x....x 1) / (20 x 19 x 18 x ... x 1)= = 6,375,600 maneras de formar la representación 2) a. ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar las posiciones de salida de 8 autos que participan en una carrera de fórmula uno? (Considere que las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera son dadas totalmente al azar) b.

¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar los primeros tres premios de esta carrera de fórmula uno? Solución: a. Por principio multiplicativo: 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 40,320 maneras de asignar las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera Por Fórmula: n = 8, r = 8 8P8= 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x......x 1= 40,320 maneras de asignar las posiciones de salida ......etc., etc. b. Por principio multiplicativo: 8 x 7 x 6 = 336 maneras de asignar los tres primeros lugares de la carrera Por fórmula: n =8, r = 3 8P3 = 8! / (8 – 3)! = 8! / 5! = (8 x 7 x 6 x 5 x ........x1)/ (5 x 4 x 3 x......x1) = 336 maneras de asignar los tres primeros lugares de la carrera

3) 3) ¿Cuántos puntos de tres coordenadas ( x, y, z ), será posible generar con los dígitos 0, 1, 2, 4, 6 y 9?, Si, a. No es posible repetir dígitos, b. Es posible repetir dígitos.

Solución: a. Por fórmulan = 6, r = 3 6P3 = 6! / (6 – 3)! = 6! / 3! = 6 x 5 x 4 x 3! / 3! = 6 x 5 x 4 = 120 puntos posibles Nota: este inciso también puede ser resuelto por el principio multiplicativo b. Por el principio multiplicativo 6 x 6 x 6 = 216 puntos posibles

¿Cuál es la razón por la cuál no se utiliza en este caso la fórmula?. No es utilizada debido a que la fórmula de permutaciones sólo se usa cuando los objetos no se repiten, esto quiere decir que en el inciso a. Los puntos generados siempre van a tener coordenadas cuyos valores son diferentes ejem. (1, 2, 4), (2, 4, 6), (0, 4, 9), etc. etc., mientras que los puntos generados en el inciso b. Las coordenadas de los puntos pueden tener valores diferentes o repeticiones de algunos valores o pueden tener todas las coordenadas un mismo valor ejem. (1, 2, 4), (1, 2, 2), (1, 1, 1), etc., etc.

4) 4) a. ¿Cuántas maneras hay de asignar las 5 posiciones de juego de un equipo de básquetbol, si el equipo consta de 12 integrantes?, b. ¿Cuántas maneras hay de asignar las posiciones de juego si una de ellas solo puede ser ocupada por Uriel José Esparza?, c. ¿Cuántas maneras hay de que se ocupen las posiciones de juego si es necesario que en una de ellas este Uriel José Esparza y en otra Omar Luna?

Solución:

a. Por fórmula:

n = 12, r = 5 12P5 = 12! / (12 – 5 )! = 12 x 11 x 10 x 9 x 8 = 95,040 maneras de asignar las cinco posiciones de juego a. Por principio multiplicativo:

1 x 11 x 10 x 9 x 8 =7,920 maneras de asignar las posiciones de juego

Por fórmula: 1 x 11P4 = 1 x 11! / (11 – 4)! = 11! / 7! = 11 x 10 x 9 x 8 = 7,920 maneras de asignar las posiciones de juego con Uriel José en una determinada posición

a. Por principio multiplicativo 1 x 1 x 10 x 9 x 8 = 720 maneras de ocupar las diferentes posiciones de juego

Por fórmula:

1 x 1 x 10P3 = 1 x 1 x 10! / (10 – 3)! = 10! / 7! = 10 x 9 x 8 = 720 maneras de ocupar las posiciones de juego con Uriel José y Omar Luna en posiciones previamente definidas

5) 5) Cuántas claves de acceso a una computadora será posible diseñar, si debe constar de dos letras, seguidas de cinco dígitos, las letras serán tomadas del abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al 9. a. Considere que se pueden repetir letras y números, b. Considere que no se pueden repetir letras y números, c. ¿Cuántas de las claves del inciso b empiezan por la letra A y terminan por el número 6?, d. ¿Cuántas de las claves del inciso b tienen la letra R seguida de la L y terminan por un número impar?

Solución:

a. Por principio multiplicativo:

26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 67,600,000 claves de acceso

Por fórmula: 26P2 x 10P5 = 26 x 25 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6=19,656,000 claves de acceso a. a. Por fórmula: 1 x 25P1 x 9P4 x 1 = 1 x 25 x 9 x 8 x 7 x 6 x 1 = 75,600 claves de acceso que empiezan por la letra A y terminan por el número 6 b. b. Por fórmula:

1 x 1 x 9P4 x 5 = 1 x 1 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 =15,120 claves de acceso que tienen la letra R seguida de la L y terminan por un número impar.

) PERMUTACIONES CON REPETICION. En los casos anteriores se han obtenido permutaciones en donde todos los elementos

utilizados para hacer los arreglos son diferentes. A continuación se obtendrá una

fórmula que nos permite obtener las permutaciones de n objetos, cuando entre esos

objetos hay algunos que son iguales.

Ejemplo:

Obtenga todas las permutaciones posibles a obtener con las letras de la palabra OSO.

Solución:

Para obtener la fórmula, es necesario primero suponer que todas las letras de la

palabra OSO son diferentes y para diferenciarlas pondremos subíndices a las letras O,

por lo que quedaría, O1SO2, y las permutaciones a obtener serían:

3P3 = 3! = 6

definiendo las permutaciones tenemos que estas serían,

O1SO2, O2SO1, SO1O2, SO2O1, O1O2S, O2O1S

¿Pero realmente podemos hacer diferentes a las letras O?, eso no es posible, luego

entonces ¿cuántos arreglos reales se tienen?

Como:

Arreglos reales

O1SO2 = O2SO1 ® OSO

SO1O2 = SO2O1 ® SOO

O1O2S= O2O1S ® OOS

Entonces se observa que en realidad sólo es posible obtener tres permutaciones con las letras de la palabra OSO debido a que las letras O son idénticas, ¿pero qué es lo que nos hizo pensar en seis arreglos en lugar de tres?, el cambio que hicimos entre las letras O cuando las consideramos diferentes, cuando en realidad son iguales.

Para obtener los arreglos reales es necesario partir de la siguiente expresión:

El número de arreglos reales = No. de permutaciones considerando a todos los objetos como diferentes

Los cambios entre objetos iguales

El número de arreglos reales = 3! / 2! = 3 x 2! / 2! = 3 Por tanto la fórmula a utilizar sería;

Donde: nPx1,x2,......, xk = Número total de permutaciones que es posible obtener con n objetos, entre los que hay una cantidad x1 de objetos de cierto tipo, una cantidad x2 de objetos de un segundo tipo,...... y una cantidad xk de objetos del tipo k. n = x1 + x2 + ...... + xk

Ejemplos:

1) 1) Obtenga todas las señales posibles que se pueden diseñar con seis banderines, dos de los cuales son rojos, tres son verdes y uno morado.

Solución:

n = 6 banderines

!x!.......x!x

!nx........,x,nPx

kk

2121

x1 = 2 banderines rojosx2 = 3 banderines verdesx3 = 1 banderín morado

6P2,3,1 = 6! / 2!3!1! = 60 señales diferentes 2) 2) a.¿Cuántas claves de acceso a una computadora será posible diseñar con

los números 1,1,1,2,3,3,3,3?, b.¿cuántas de las claves anteriores empiezan por un número uno seguido de un dos?, c. ¿cuántas de las claves del inciso a empiezan por el número dos y terminan por el número tres?

Solución: a. n = 8 números x1 = 3 números uno x2 = 1 número dos x3 = 4 números cuatro

8P3,1,4 = 8! / 3!1!4! = 280 claves de acceso b. n = 6 (se excluye un número uno y un dos) x1 = 2 números uno x2 = 4 números tres

1 x 1 x 6P2,4 = 1 x 1 x 6! / 2!4! = 15 claves de acceso El primer número uno nos indica el número de maneras como es posible colocar en la primera posición de la clave de acceso un número uno, debido a que todos los números uno son iguales, entonces tenemos una sola manera de seleccionar un número uno para la primera posición, el siguiente número uno nos indica el número de maneras como se colocaría en la segunda posición el número dos y la expresión siguiente nos indica todos los arreglos posibles que es posible diseñar con los números restantes. c. n = 6 (se excluye un número dos y un tres) x1 = 3 números uno x2 = 3 números tres

1 x 6P3,3 x1 = 1 x 6! / 3!3! = 20 claves de acceso El número uno inicial nos indica que existe una sola manera de seleccionar el número dos que va en la primera posición del arreglo, mientras que el número uno final nos indica que hay una sola manera de seleccionar el número tres que va al final del arreglo aún y cuando haya cuatro números tres, como estos son iguales al diseñar una permutación es indistinto cuál número tres se ponga, ya que siempre se tendrá el

mismo arreglo y la expresión intermedia nos indica todos los arreglos posibles a realizar con los números restantes.

3) 3) ¿De cuántas maneras es posible plantar en una línea divisoria de un terreno dos nogales, cuatro manzanos y tres ciruelos?

Solución:

n = 9 árbolesx1 = 2 nogalesx2 = 4 manzanosx3 = 3 ciruelos 9P2,4,3 = 9! / 2!4!3! = 1260 maneras de plantar los árboles 4) 4) Si un equipo de fútbol soccer femenil participa en 12 juegos en una

temporada, ¿cuántas maneras hay de que entre esos doce juegos en que participa, obtenga 7 victorias, 3 empates y 2 juegos perdidos?

Solución:

n = 12 juegosx1 = 7 victoriasx2 = 3 empatesx3 = 2 juegos perdidos

12P7,3,2 = 12! / 7!3!2! = 7,920 maneras de que en la temporada este equipo logre siete victorias, tres empates y dos juegos perdidos.F) PRUEBAS ORDENADAS. Se le llama prueba ordenada al hecho de seleccionar r objetos de entre n objetos contenidos en una urna uno tras otro. Una prueba ordenada puede ser llevada a efecto de dos maneras: 1) 1) Con sustitución (con reemplazo).- En este caso se procede a seleccionar el

primer objeto de entre los n que hay, se observa de qué tipo es y se procede a regresarlo a la urna, luego se selecciona el siguiente objeto, lo anterior se repite hasta que se han extraído los r objetos de la prueba, por tanto el número de pruebas ordenadas de con sustitución se obtiene:

Número total de pruebas ordenadas con sustitución = n x n x n x .........x n = nr

Hay n maneras de seleccionar el primer objeto, luego al seleccionar el segundo objeto, dado que se ha regresado a la urna el primer objeto, también se tendrán n objetos y así sucesivamente.

2) 2) Sin sustitución (sin reemplazo).- En este caso se procede a seleccionar el

primer objeto, el cual no es regresado a la urna, luego se selecciona el segundo objeto, lo anterior se repite hasta completar los r objetos de la prueba, por lo que el número total de pruebas ordenadas sin sustitución se obtiene:

Número total de pruebas ordenadas sin sustitución = n(n-1)(n-2).........(n-r +1) = nPr

Hay n maneras de seleccionar el primer objeto, luego al seleccionar el segundo objeto, hay n –1 maneras, dado que el primer objeto no se regresa a la urna, luego cuando se extrae el r-ésimo objeto, hay (n –r +1) de que sea seleccionado.

Ejemplos:

1) 1) ¿Cuántas maneras hay de que se asignen tres premios de un sorteo en donde el primer premio es una departamento, el segundo premio es un auto y el tercer premio es un centro de cómputo, si los participantes en este sorteo son 120 personas, a.sí la asignación se puede hacer con sustitución, b.sí la asignación se puede hacer sin sustitución.

Solución: a. Por principio multiplicativo:

120 x 120 x 120 = 1,728,000 maneras de asignar los premios

Por fórmula: n =120, r = 120 nr = 1203 = 1,728,000 maneras de asignar los tres premios Hay que considerar que en este caso, al regresar cada boleto que es extraído de la urna, las personas que participan en el sorteo tienen la posibilidad de no ganar uno solo de los premios, de ganar un premio, dos de los premios o los tres premios. Cosa que generalmente no ocurre. b. Por principio multiplicativo:

120 x 119 x 118 = 1,685,040 maneras de asignar los premios Por fórmula: n = 120, r = 3

120P3 = 120! / (120 – 3)! = 120! / 117! = 120 x 119 x 118 = 1,685,040 maneras de asignar los premios Hay que hacer notar que en este caso, como los boletos que son seleccionados ya no regresan a la urna de donde fueron extraídos, los participantes solo pueden recibir un premio en caso de que fueran de los afortunados. Esta es la forma en que generalmente se efectúa un sorteo.

2) 2) ¿Cuántas formas hay de asignar las primeras cinco posiciones de una carrera de autos de fórmula K, si participan 26 autos en esta carrera?. Considere que la asignación es totalmente al azar.

Solución: Esta asignación debe ser sin sustitución, esto es, se trata de una prueba ordenada sin sustitución, por lo que la solución es la que se muestra. n = 26, r = 5

26P5 = 26! / (26 – 5)! = 26! / 21! = 26 x 25 x 24 x 23 x 22 = 7,893,600 maneras de asignar las cinco primeras posiciones de salida 3) 3) ¿Cuántas formas hay de asignar el orden de participación de las primeras 5

concursantes de 11 finalistas de un concurso de Miss Mundo? Solución: Esta asignación debe realizarse sin sustitución, por lo que se trata de una prueba ordenada sin sustitución.n = 11, r = 5

11P5 = 11! / (11 – 5)! = 11! / 6! = 11 x 10 x 9 x 8 x 7 = 55,440 maneras de asignar la participación

G) COMBINACIONES. Como ya se mencionó anteriormente, una combinación, es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinación nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos. La fórmula para determinar el número de combinaciones es:

!r)!rn(

!nC rn

nCr = Combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos Donde se observa que,

La expresión anterior nos explica como las combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos pueden ser obtenidas a partir de las permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos, esto se debe a que como en las combinaciones no nos importa el orden de los objetos, entonces si tenemos las permutaciones de esos objetos al dividirlas entre r!, les estamos quitando el orden y por tanto transformándolas en combinaciones, de otra forma, también si deseamos calcular permutaciones y tenemos las combinaciones, simplemente con multiplicar estas por el r! obtendremos las permutaciones requeridas.

nPr = nCr r! Y si deseamos r = n entonces;

nCn = n! / (n –n)!n! = n! / 0!n! = 1 ¿Qué nos indica lo anterior? Que cuando se desea formar grupos con la misma cantidad de elementos con que se cuenta solo es posible formar un grupo. Ejemplos:

1) 1) a. Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaña pro limpieza del Tec, cuantos grupos de limpieza podrán formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno de ellos, b.si entre los 14 alumnos hay 8 mujeres, ¿cuantos de los grupos de limpieza tendrán a 3 mujeres?, c.¿cuántos de los grupos de limpieza contarán con 4 hombres por lo menos?

Solución:a. n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 – 5 )!5! = 14! / 9!5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/ 9!5! = 2002 grupos Entre los 2002 grupos de limpieza hay grupos que contienen solo hombres, grupos que contienen solo mujeres y grupos mixtos, con hombres y mujeres. b. n = 14 (8 mujeres y 6 hombres), r = 5

!r

pC rnrn

En este caso nos interesan aquellos grupos que contengan 3 mujeres y 2 hombres 8C3*6C2 = (8! / (8 –3)!3!)*(6! / (6 – 2)!2!) = (8! / 5!3!)*(6! / 4!2!) = 8 x7 x 6 x 5 /2! = 840 grupos con 3 mujeres y 2 hombres, puesto que cada grupo debe constar de 5 personas c. En este caso nos interesan grupos en donde haya 4 hombres o más Los grupos de interés son = grupos con 4 hombres + grupos con 5 hombres

= 6C4*8C1 + 6C5*8C0 = 15 x 8 + 6 x 1 = 120 + 6 = 126

2) 2) Para contestar un examen un alumno debe contestar 9 de 12 preguntas, a.¿Cuántas maneras tiene el alumno de seleccionar las 9 preguntas?, b.¿Cuántas maneras tiene si forzosamente debe contestar las 2 primeras preguntas?, c.¿Cuántas maneras tiene si debe contestar una de las 3 primeras preguntas?, d.¿Cuántas maneras tiene si debe contestar como máximo una de las 3 primeras preguntas?

Solución: a. n = 12, r = 9

12C9 = 12! / (12 – 9)!9! = 12! / 3!9! = 12 x 11 x 10 / 3! = 220 maneras de seleccionar las nueve preguntas o dicho de otra manera, el alumno puede seleccionar cualquiera de 220 grupos de 9 preguntas para contestar el examen b. b. 2C2*10C7 = 1 x 120 = 120 maneras de seleccionar las 9 preguntas entre las

que están las dos primeras preguntas c. c. 3C1*9C8 = 3 x 9 = 27 maneras de seleccionar la 9 preguntas entre las que

está una de las tres primeras preguntas

d. d. En este caso debe seleccionar 0 o 1 de las tres primeras preguntas

3C0*9C9 + 3C1*9C8 = (1 x 1) + (3 x 9) = 1 + 27 = 28 maneras de seleccionar las preguntas a contestar 3) 3) Una señora desea invitar a cenar a 5 de 11 amigos que tiene, a. ¿Cuántas

maneras tiene de invitarlos?, b. ¿cuántas maneras tiene si entre ellos está una pareja de recién casados y no asisten el uno sin el otro, c. ¿Cuántas maneras tiene de invitarlos si Rafael y Arturo no se llevan bien y no van juntos?

Solución:a. n = 11, r = 5

11C5 = 11! / (11 – 5 )!5! = 11! / 6!5! = 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6! / 6!5! = 462 maneras de invitarlos Es decir que se pueden formar 462 grupos de cinco personas para ser invitadas a cenar. b. Esta señora tiene dos alternativas para hacer la invitación, la primera es no invitar a la pareja y la segunda es invitar a la pareja. 2C0*9C5 + 2C2*9C3 = (1 x 126) + (1 x 84) = 210 maneras de invitarlos

En este caso separamos a la pareja de los demás invitados para que efectivamente se cumpla el que no asistan o que asistan a la cena. c.La señora tiene dos alternativas para hacer la invitación, una de ellas es que no invitar a Rafael y a Arturo o que asista solo uno de ellos. 2C0*9C5 + 2C1*9C4 = (1 x 126) + (2 x 126) = 126 + 252 = 378 maneras de hacer la invitación

4) 4) En un plano hay 10 puntos denominados A, B, C, ....,etc. etc., en una misma línea no hay más de dos puntos, a. ¿Cuántas líneas pueden ser trazadas a partir de los puntos?, b. ¿Cuántas de las líneas no pasan por los puntos A o B?, c. ¿Cuántos triángulos pueden ser trazados a partir de los puntos?, d. ¿Cuántos de los triángulos contienen el punto A?, e. ¿Cuántos de los triángulos tienen el lado AB?.

Solución:

a. a. En la redacción del problema se aclara que en una misma línea no hay más de dos puntos debido a que si lo anterior ocurriera no se podría dar contestación a las preguntas que se hacen.

Una línea puede ser trazada a partir de cómo mínimo dos puntos por lo tanto, 10C2 = 10! / (10 – 2)!2! = 10! / 8!2! = 45 líneas que se pueden trazar b. b. En este caso excluiremos los puntos A y B y a partir de los ocho

puntos restantes se obtendrán las líneas.

2C0*8C2 = 1 x 28 = 28 líneas que no pasan por los puntos A o B c. c. Un triángulo puede ser trazado a partir de tres puntos, luego;

10C3 = 10! / (10 – 3)!3! = 10! / 7!3! = 120 triángulos posibles de trazar

d. d. En este caso se separa el punto A de los demás, se selecciona y posteriormente también se seleccionan dos puntos más.

1C1*9C2 = 1 x 36 = 36 triángulos que contienen el punto A

e. e. Los puntos A y B forman parte de los triángulos a trazar por lo que;

2C2*8C1 = 1 X 8 = 8 triángulos que contienen el lado AB

H) PARTICIONES ORDENADAS. Se le llama partición ordenada al hecho de repartir n objetos en células de una cantidad de x1 objetos, x2 objetos,......y xk objetos. Para deducir la fórmula de particiones ordenadas partiremos de un ejemplo.¿Cuántas maneras hay de repartir 10 libros diferentes entre tres alumnos, si al primero le daremos 2, al segundo 3 y el resto al tercer alumno?Ejemplos de esta partición serían las siguientes si se numeran los libros del 1 al 10;

Solución:Lo primero que debemos hacer es seleccionar 2 libros de los 10 que se tienen para el primer alumno, esto es;

10C2 = 10! / (10 – 2)!2! = 10! / 8!2! = 45 maneras de seleccionar los libros

¹1

2

3

4

5

7

8

9 10

2

4

5

8

1

36

7 910

Luego se seleccionan 3 libros de los 8 que quedan para el segundo alumno;

8C3 = 8! / (8 – 3)!3! = 8! / 5!3! = 56 maneras Y por último se procederá a seleccionar cinco libros de los cinco que quedan para el tercer alumno, lo que se muestra a continuación;

5C5 = 5! / (5 –5)!5! = 5! / 0!5! = 1 manera Por tanto el número total de particiones ordenadas en células de 2, 3 y 5 elementos se determina: 10C2*8C3*5C5 = (10! / (10 – 2)!2!)*(8! / (8 – 3)!3!)*(5! / (5 – 5)!5!) = 10! /2!3!5! La expresión anterior nos recuerda a la fórmula utilizada para encontrar las permutaciones de n objetos, entre los cuales hay algunos objetos que son iguales, por lo que usaremos la misma fórmula para encontrar las particiones ordenadas. Por tanto la fórmula para las particiones ordenadas sería:

Esta fórmula sólo puede ser utilizada cuando se reparten todos los objetos, no parte de ellos, en ese caso se usarán combinaciones. Donde: nPx1,x2,.....,xk = Total de particiones ordenadas o reparticiones que es posible hacer cuando los n objetos son repartidos en grupos de x1 objetos, x2 objetos ...... y xk objetos. n = x1 + x2 + ......+ xk

Ejemplos:

1) 1) ¿Cuántas maneras hay de repartir 9 juguetes entre tres niños, si se desea que al primer niño le toquen 4 juguetes, al segundo 2 y al tercero 3 juguetes?

Solución: Por combinaciones, 9C4*5C2*3C3 = 126*10*1= 1260 maneras de repartir los juguetes

!x!.......x!x

!nx,..........x,nPx

kk

2121

Por fórmula,n = 9x1 = 4x2 = 2x3 =3 9P4,2,3 = 9! / 4!2!3! = 1,260 maneras de repartir los juguetes 2) 2) ¿Cuántas maneras hay de repartir los mismos 9 juguetes entre tres

niños, si se desea darle 3 al primer niño, 2 al segundo niño y 2 al tercer niño?

Solución: En este caso únicamente se puede dar solución por combinaciones, ya que no es posible usar la fórmula debido a que se reparten solo parte de los juguetes. 9C3*6C2*4C2 = 84*15*6 = 7,560 maneras de repartir los juguetes (solo se reparten 7 y quedan dos juguetes) 3) 3) a. ¿Cuántas maneras hay de que se repartan 14 libros diferentes

entre 3 alumnos, si se pretende que al primer alumno y al segundo les toquen 5 libros a cada uno y al tercero le toque el resto?, b. ¿Cuántas maneras hay de que se repartan los libros si se desea dar 5 libros al primer alumno, 3 al segundo y 2 libros al tercer alumno?

Solución: a. a. Por fórmula:

n = 14 x1 = 5x2 = 5x3 = 4 14P5,5,4 = 14! / 5!5!4! = 21,021 maneras de repartir los libros en grupos de

5, 5 y 4 libros

b. b. Por combinaciones:

14C5*9C3*6C2 = 2,002*84*15 = 2,522,520 maneras de repartir 10 de los 14 libros en grupos de 5, 3 y 2 libros

4) 4) a.¿Cuántas maneras hay de repartir a 12 alumnos en 4 equipos de 3

personas cada uno de ellos para que realicen prácticas de laboratorio

diferentes?, b. ¿Cuantas maneras hay de que se repartan los 12 alumnos en 4 equipos de 3 personas si se va a realizar una misma práctica?

Solución: a. a. En este caso al ser prácticas de laboratorio diferentes, es posible

resolver el problema por combinaciones o por la fórmula, dado que se reparten todos los alumnos

Por fórmula: n = 12x1 = 3 práctica 1x2 = 3 práctica 2x3 = 3 práctica 3x4 = 3 práctica 4 12P3,3,3,3 = 12! / 3!3!3!3! = 369,600 maneras de repartir a los estudiantes en cuatro equipos de 3 personas para realizar prácticas diferentes b. b. En este caso lo más probable es que se crea que la solución es igual

que la que se ha dado al inciso a, pero esto no puede ser debido a que si se desea repartir a los alumnos para realizar una misma práctica, el orden en el que se hace la repartición no tiene importancia, ya que al equipo de tres personas les da lo mismo quedar en el primer equipo a quedar en el segundo o tercero, ya que la práctica a realizar es la misma, entonces la solución es;

12P3,3,3,3 * 1 /4! = 12! / 3!3!3!3! * 1 / 4! = 369,600 / 4! = 15,400 maneras de repartir a los alumnos en equipos de 3 personas para realizar una misma práctica Al multiplicar la solución que se da al inciso a, por 1/4! se está quitando el orden de los grupos, que en este caso no nos interesa.

I. DIAGRAMA DE ARBOL.

Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. Ejemplos:1.Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas clasificaciones puedenestar los pacientes de este médico?

NSolución: A

A BN

B AB

M AB NA

O B

A

NF B A

BAB

BO A

B

Si contamos todas las ramas terminales, nos damos cuenta que el número de clasificaciones son 2 x 4 x 3 = 24 mismas que podemos enumerar;MAN, MAA, MAB, MBN, MBA, MBB, etc, etc. 2) 1) Dos equipos denominados A y B se disputan la final de un partido de

baloncesto, aquel equipo que gane dos juegos seguidos o complete un total de tres juegos ganados será el que gane el torneo. Mediante un diagrama de árbol diga de cuantas maneras puede ser ganado este torneo,

Solución:

A = gana el equipo AB = gana el equipo B

AA

A AB A

BB B

AA A

AB B B

BB

En este diagrama se muestran que hay solo diez maneras de que se gane el torneo, que se obtienen contando las ramas terminales de este diagrama de árbol, las que es posible enumerar;AA, ABB, ABAA, ABABA, ABABB, etc, etc.

3) 2) Un hombre tiene tiempo de jugar ruleta cinco veces como máximo, él

empieza a jugar con un dólar, apuesta cada vez un dólar y puede ganar o perder en cada juego un dólar, él se va a retirar de jugar si pierde todo su dinero, si gana tres dólares (esto es si completa un total de cuatro dólares) o si completa los cinco juegos, mediante un diagrama de árbol, diga cuántas maneras hay de que se efectué el juego de este hombre.

Solución:

$4 G $4G $3

$3 GG P $2

P G$3$2 P

$1 P $0$3 G $4

$2 G$1 G $2

G P $2G $2

P P$1 P $1

P $0 P $0$0

Si contamos las ramas terminales nos daremos cuenta que hay 11 maneras de que este hombre lleve a cabo sus apuestas, en este diagrama se han representado los cinco juegos o apuestas que este hombre tiene tiempo de jugar. J) PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Si una prueba se compone de 12 preguntas de verdadero-falso, a. ¿de cuantas maneras diferentes un estudiante puede dar una respuesta para cada pregunta?, b. Sí de antemano el maestro le dice que la primera pregunta es verdadera, ¿cuántas maneras tiene de contestar esta prueba?. a. r=4,096 maneras b. r=2,048 maneras 2. Un fabricante tiene dificultades para obtener registros consistentes de resistencias a la tensión entre tres máquinas localizadas en la planta de producción, el laboratorio de investigación y el laboratorio de control de calidad , respectivamente, al mismo tiempo hay cuatro posibles técnicos –Tomás, Enrique, Rafael y Javier- quienes operan al menos una de las máquinas a prueba regularmente, a. ¿cuántos pares operador-máquina deben incluirse en un experimento planeado en el que cada operador maneje todas las máquinas?, b. Si se requiere que cada par operador-máquina pruebe ocho especimenes, ¿cuántos especimenes de prueba se necesitan para el procedimiento íntegro? Nota: un espécimen se destruye cuando se mide su resistencia a la tensión.

a. a. r=12 pares b. r=96 especimenes

3. Un inspector de construcciones tiene que revisar el cableado de un nuevo de departamentos, ya sea el lunes, el martes, miércoles o jueves, a las 8 A. M., a las 10 A. M. o a las 2 P. M. , a. ¿cuántas maneras tiene este inspector de hacer las revisiones del cableado?, b. Obtenga las maneras en que el inspector puede realizar las revisiones del cableado, haciendo uso ahora de un diagrama de árbol. a y b. r=12 maneras 4. Si los cinco finalistas de un torneo internacional de golf son España, Estados Unidos, Portugal, Uruguay y Japón, a. Diga de cuantas maneras es posible que se otorgue un primero, segundo lugar y tercer lugar, b. Considerando que el primer lugar lo gana Portugal y el segundo lo gana Estados Unidos, ¿cuantas maneras hay de que se otorguen los lugares antes mencionados?. a. r=60 maneras, b. r=3 maneras 5. Una computadora de propósito especial contiene tres conmutadores, cada uno de los cuáles puede instalarse de tres maneras diferentes. ¿De cuantas maneras diferentes puede instalarse el banco de conmutadores de la computadora? r= 27 maneras 6. ¿De cuantas maneras ordenadas puede programar un director de televisión seis comerciales en los seis intermedios para comerciales durante la transmisión televisiva del primer tiempo de un partido de hockey?, si, a. los comerciales son todos diferentes, b. dos de los comerciales son iguales, c. Si hay cuatro comerciales diferentes, uno de

los cuales debe aparecer tres veces, mientras que cada uno de los otros debe aparecer una sola vez. a. r=720 maneras b. r=360 maneras c. r=120 maneras 7. Determine el número de maneras en las que un fabricante puede seleccionar dos de las quince ubicaciones para un almacén. r=105 maneras 8. Una caja de 12 baterías recargables, contiene una defectuosa, ¿de cuantas maneras un inspector puede seleccionar tres de las baterías y, a. obtener la defectuosa, b. no obtener la defectuosa. a. r=55 maneras, b. r=165 maneras9. El departamento de suministros tiene ocho diferentes motores eléctricos y cinco diferentes interruptores de arranque. ¿De cuantas maneras pueden seleccionarse dos motores y dos conmutadores para un experimento de una antena de rastreo?, r=280 maneras 10. A los participantes de una convención se les ofrecen 6 recorridos por día para visitar lugares de interés durante los tres días de duración del evento. ¿ En cuantas formas puede una persona acomodarse para hacer alguno de ellos? r=18 formas 11. Un determinado zapato se fabrica en 5 estilos diferentes y en 4 colores distintos para cada uno. Si la zapatería desea mostrar a su clientela pares de zapatos en todos los estilos y colores, ¿cuántos pares distintos deberán colocar en el aparador? r=20 12. Un estudiante de primer año debe tomar un de ciencia, uno de humanidades y otro de matemáticas. Si puede escoger entre cualquiera de 6 cursos de ciencias, 4 de humanidades y 4 de matemáticas, ¿cuántas maneras tiene de seleccionar las materias? r=96 maneras13. Un urbanista de una nueva subdivisión ofrece a los clientes prospectos para la compra de una casa, la posibilidad de seleccionar cualquiera de 4 diseños diferentes, tres sistemas de calefacción, cochera con puertas o sin ellas, y patio o pórtico, ¿cuántos planes distintos están disponibles para el comprador? r= 48 planes 14. Si una prueba de selección múltiple consta de 5 preguntas, cada una con 4 posibles respuestas, de las cuales solo una es correcta, a. ¿en cuantas formas diferentes puede un estudiante escoger una respuesta para cada pregunta?, b. ¿en cuantas formas puede un estudiante escoger una alternativa para cada pregunta y tener todas las respuestas incorrectas? a. r= 1024 b. r=243 15. Un testigo de un accidente de tránsito en el que el causante huyó, le indica al policía que el número de matrícula del automóvil tenía las letras DUH seguidas por tres dígitos, el primero de los cuales era un cinco. Sí el testigo no puede recordar los otros dos dígitos, pero está seguro de que los tres eran diferentes, encuentre el número máximo de registros de automóvil que debe verificar la policía. r=72 registros 16. a) ¿De cuantas maneras pueden formarse 6 personas para subir a un autobús?, b.si tres de ellas insisten en seguirse una a la otra, ¿en cuantas formas es esto posible?,c.Si dos personas se rehúsan a seguirse una a la otra? a. r=720 b. r=144 c. r=480 maneras

17. a) ¿cuántos números de tres dígitos pueden formarse con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, y 6, si cada uno solo puede usarse solo una vez?, b) ¿cuántos de estos números son nones?, c) ¿cuántos son mayores que 330? a. r=180 b. r=75 c. r=105 números 18. ¿En cuantas formas pueden sentarse en una línea 4 niños y 5 niñas, si deben colocarse alternadamente? r=2880 formas 19. Cuatro matrimonios compraron 8 lugares para un concierto. ¿En cuantas formas diferentes pueden sentarse a. sin restricciones?, b. si se sientan por parejas?, c. si todos los hombres se sientan juntos a la izquierda de todas las mujeres? a. r=40,320 b. r=384 c. r=57620. ¿Cuántos menús que consisten de sopa, emparedado, postre y un refresco se puede ofrecer si se puede seleccionar entre 4 sopas diferentes, 3 clases de emparedados, 5 postres y 4 refrescos? r=240 menús 21. ¿En cuantas formas pueden llenarse las 5 posiciones iniciales de un equipo de baloncesto con 8 jugadores que pueden ocupar cualquiera de ellas? r=6720 formas5928022. Se sacan tres boletos de la lotería, de un grupo de 40, para el primero, segundo y tercer premios. Encuentre el número de puntos muestrales en d para otorgarlos si cada concursante conserva solo un boleto. r=59,280 puntos 23. ¿En cuantas formas pueden plantarse, a lo largo de la línea divisoria de una propiedad, 3 robles, 4 pinos y 2 arces, si no se distingue entre los árboles de la misma clase? r=1,260 formas24. Nueve personas salen de viaje para esquiar en tres vehículos cuyas capacidades son de 2, 4 y 5 pasajeros, respectivamente. ¿En cuántas formas es posible transportar a las 9 personas hasta el albergue con todos los vehículos? r=4,410 formas 25. ¿Cuántas formas hay de seleccionar a 3 candidatos de un total de 8 recién graduados y con las mismas capacidades para ocupar vacantes en una firma contable? R=56,,21,,10 formas 26. En un estudio que realizaron en california, el decano Lester Breslow y el doctor James Enstrom de la School of Public Health de la University of California en los Angeles, se concluyó que al seguir 7 sencillas reglas de salud, la vida de un hombre puede alargarse, en promedio 11 años, y la de las mujeres siete. Estas 7 reglas son: no fumar, hacer ejercicio regularmente, tomar alcohol solo en forma moderada, dormir siete u ocho horas, conservar un peso apropiado, desayunar y no comer entre alimentos. ¿En cuantas formas puede una persona adoptar cinco de estas reglas, a. si actualmente las viola todas?, b. si nunca toma bebidas alcohólicas y siempre desayuna? a. r=21 formas b.r=10 formas 27. Un dispositivo Biomecánico para emergencias médicas puede operar 0, 1 o 2 veces por noche. Trace un diagrama de árbol para demostrar que existen 10 maneras diferentes en las que puede operar para un total de 6 veces en cuatro noches.

F) TEOREMA DE LA MULTIPLICACIÓN PARA PROBABILIDAD CONDICIONAL.

Tomando como referencia la fórmula de probabilidad condicional,

despejando,

p(AÇE) = p(E)p(A½E) Teorema de la multiplicación para probabilidad condicional

donde:

p(AÇE) = probabilidad de que ocurran A y E

p(E) = probabilidad de que ocurra E

p(A½E) = probabilidad de que ocurra el evento A dado que el evento E ya ocurrió

Ejemplos:

1. En un lote de producción hay 25 productos, 5 de los cuales tienen defectos menores y 9 tienen defectos mayores, si se toman de este lote tres productos uno tras otro, determine la probabilidad de que: a. El primer producto no tenga defectos y que el segundo y tercero tengan defectos mayores, b. El primer producto tenga defectos menores, el segundo tenga defectos mayores y que el tercero no tenga defectos, c. El primer producto y el tercero no tengan defectos.

Solución:

a. a. Definiremos algunos eventos;

B1 = evento de que el primer producto seleccionado no tenga defectos

DM2 = evento de que el segundo producto seleccionado tenga defectos mayores

DM3 = evento de que el tercer producto seleccionado tenga defectos mayores

p(B1ÇDM2ÇDM3) = p(B1)p(DM2½B1)p(DM3½B1ÇDM2)

=(11/25)*(9/24)*(8/23)

= 0.44*0.375*0.347826

)E(p

)EA(p)E|A(p

Ç

= 0.05739

b. b. Dm1= evento de que el primer producto seleccionado tenga defectos menores


B3 = evento de que el tercer producto seleccionado no tenga defectos

P(Dm1ÇDM2ÇB3) = p(Dm1)p(DM2½Dm1)p(B3½Dm1ÇDM2)

= (5/25)*(9/24)*(11/23)=

= 0.2*0.375*0.4782608= 0.03587

c. c. B1 = evento de que el primer producto seleccionado no tenga defectos

B2 = evento de que el segundo producto seleccionado no tenga defectos

Dm2 = evento de que el segundo producto seleccionado tenga defectos menores


B3 = evento de que el tercer producto seleccionado no tenga defectos

En este caso como no se especifica de que tipo debe ser el segundo producto, se considera que este puede ser no defectuoso, con defectos menores o con defectos mayores; por lo tanto;

p(B1ÇB2ÇB3) + p(B1ÇDm2ÇB3) + p(B1ÇDM2ÇB3)

= p(B1)p(B2½B1)p(B3½B1ÇB2) + P(B1)p(Dm2½B1)p(B3½B1ÇDm2) +

p(B1)p(DM2½B1)p(B3½B1ÇDM2)

=(11/25)*(10/24)*(9/23) + (11/25)*(5/24)*(10/23) + (11/25)*(9/24)*(10/23)

=(0.44)(0.41666)(0.39130) + (0.44)(0.20833)(0.43478) + (0.44)(0.375)(0.43478)

= 0.07173 + 0.03985 + 0.07174

= 0.18332

2. Doce personas (6 mujeres, 4 hombres y dos niños) realizan un paseo en un pequeño autobús, al llegar a cierto lugar, bajan del autobús cuatro personas una tras otra, determine la probabilidad de que; a. La primera y segunda persona que bajen sean mujeres, el tercero sea un niño y por último baje un hombre, b. Que

baje un niño, luego un hombre, luego otro niño y por último que baje una mujer, c. Que baje una mujer, luego un hombre, después otra mujer y por último otro hombre.

Solución:

a. a. M1 = evento de que baje del autobús primero una mujer

M2 = evento de que baje en segundo lugar una mujer

N3 = evento de que baje en tercer lugar un niño

H4 = evento de que baje en cuarto lugar un hombre

P(M1ÇM2ÇN3ÇH4) = p(M1)p(M2½M1)p(N3½M1ÇM2)p(H4½M1ÇM2ÇN3) =

= (6/12)*(5/11)*(2/10)*(4/9)

= 240/11,880 = 0.0202

b. b. N1 = evento de que baje en primer lugar un niño

H2 = evento de que baje en segundo lugar un hombre

N3 = evento de que baje en tercer lugar un niño

M4 = evento de que baje en cuarto lugar una mujer

p(N1ÇH2ÇN3ÇM4) = p(N1)p(H2½N1)p(N3½N1ÇH2)p(M4½N1ÇH2ÇN3) =

= (2/12)*(4/11)*(1/10)*(6/9)

= 48/11,880

= 0.00404

c. c. M1 = evento de que baje en primer lugar una mujer

H2 = evento de que baje en segundo lugar un hombre

M3 = evento de que en tercer lugar baje una mujer

H4 = evento de que en cuarto lugar baje un hombre

p(M1ÇH2ÇM3ÇH4) = p(M1)p(H2½M1)p(M3½M1ÇH2)p(H4½M1ÇH2ÇM3)

= (6/12)*(4/11)*(5/10)*(3/9)

= 360/11,880

= 0.0303

G) PROCESOS ESTOCASTICOS.

Un proceso estocástico es aquel en el que se representan todos y cada uno de los pasos necesarios para realizar una actividad, además de las formas o maneras en que cada uno de los pasos puede ser llevado a efecto y sus respectivas probabilidades, dicho de otra manera, cualquier proceso en el que se involucren probabilidades es un proceso estocástico.

Ejemplos:

1. 1. En un lote de autos usados, el 25% son de la marca Ford, el 45% son Chevrolet y el 30% son Chrysler, de los cuales, 2 de cada 8 autos Ford son estándar, 1 de cada 10 autos Chevrolet son estándar y 2 de cada 10 autos Chrysler son también estándar, un cliente compra un auto de este lote, a. ¿cuál es la probabilidad de que el auto seleccionado por el cliente sea estándar?, b. ¿cuál es la probabilidad de que haya seleccionado un auto Chevrolet estándar?, c. ¿cuál es la probabilidad de que el auto seleccionado sea Ford o Chrysler automático?

Solución:

a. a. Haciendo uso de un diagrama de árbol como se muestra, se facilita hacer el cálculo de probabilidades

S 2/8

F

25% A 6/8S 1/10

45% CH

A 9/10 30% S 2/10

Chr

A 8/10

P(seleccionar un auto estándar) = p(seleccionar un Chevrolet o Chrysler o Ford estándar) = p(ChÇS) + p(ChrÇS) + p(FÇS)

= p(Ch)p(S½Ch) + p(Chr)p(S½Chr) + p(F)p(S½F)

= 0.45*1/10 + 0.30*2/10 + 0.25*2/8

= 0.045 + 0.06 + 0.0625

= 0.1675

b. b. p(seleccionar un Chevrolet estándar) = 0.45*1/10 = 0.045

c. c. p(seleccionar un Ford o Chrysler automático) = p(FÇA) + p(ChrÇA)

= p(F)p(A½F) + p(Chr)p(A½Chr)

= 0.25*6/8 + 0.30*8/10

= 0.1875 + 0.24 = =0.4275

2. 2. En un lote de producción se tienen 150 artículos, de los cuales 30 son del tipo A, 60 del tipo B y 60 del tipo C, de los que el 15% de los productos del tipo A, 20% de los productos del tipo B y 5% de los productos del tipo C, no cumplen con las especificaciones, si se selecciona un producto de este lote al azar, a. Determine la probabilidad de que el producto seleccionado no cumpla con las especificaciones, b. Si el producto seleccionado no cumple con las especificaciones, ¿cuál es la probabilidad de que sea un producto del tipo B?, c. ¿cuál es la probabilidad de que un producto cumpla con las especificaciones y sea del tipo B?

Solución:

Haciendo uso de un diagrama de árbol como en el caso anterior, procederemos a dar solución al problema en cuestión;

NC 15%A

40/150 C 85%

60/150 B NC 20%

C 80%60/150

C NC 5%

C 95%

a. a. p(producto seleccionado no cumpla con las especificaciones) = 40/150*0.15 + 60/150*0.20 + 60/150*0.05

= 0.04 + 0.08 + 0.02

= 0.14

b. b. E = evento de que el producto seleccionado no cumpla con las especificaciones

B = evento de que el producto seleccionado sea del tipo B

p(B½E) = p(BÇE)/p(E) = (60/150*0.20)/0.14 = 0.08/0.14= 0.57143

c. c. p(cumpla con las especificaciones y sea del tipo B) = 60/150*0.8 = 0.32

3. 3. En una urna se tienen 10 esferas blancas, 5 verdes y 2 azules, se extraen de la urna dos esferas una tras otra, sin reemplazo, a. Determine la probabilidad de que la segunda esfera extraída sea verde, b. ¿cuál es la probabilidad de que ambas esferas sean blancas, c. Si la segunda esfera es verde, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea blanca?

Solución:

9 B 9/16B 5 V 5/16

10/17 2 A 2/16

10 B 10/165 V 10

5/17 5 V 4/16

2 2 A 2/1610 B 10/16

A 5 V 5/16

2/17 1 A 1/16

primera esfera segunda esfera

a. a. p(segunda esfera sea verde) = p(B)p(V½B) + p(V)p(V½V) + p(A)p(V½A) =

= 10/17*5/16 + 5/17*4/16 + 2/17*5/16 =

= 50/272 + 20/272 + 10/272

= 80/272

=0.29412

b. b. p(ambas esferas sean blancas) = 10/17*9/16 = 90/272 = 0.33088

c. c. E = evento de que la segunda esfera seleccionada sea verde

B = evento de que la primera esfera sea blanca

P(B½E) = p(BÇE)/p(E)

= (10/17*5/16)/80/272

=(50/272)/(80/272)

= 0.40

H) TEOREMA DE BAYES Sea d un espacio muestral que está formado por los eventos A1, A2, A3,.....,An mutuamente excluyentes, luego,

d = A1ÈA2ÈA3È.....ÈAn

Luego si ocurre un evento B definido en d, observamos que;

B = dÇB = (A1ÈA2ÈA3È.....ÈAn)ÇB = (A1ÇB)È(A2ÇB)È(A3ÇB)È.....È(AnÇB)

Donde cada uno de los eventos AiÇB son eventos mutuamente excluyentes, por lo que

p(B) = p(A1ÇB) + p(A2ÇB) + p(A3ÇB) +......+ p(AnÇB)

y como la p(AiÇB) = p(Ai)p(B½Ai) , o sea que la probabilidad de que ocurra el evento Ai y el evento B es igual al teorema de la multiplicación para probabilidad condicional, luego;

A1

A2

A3

A4 An

d

B

p(B) = p(A1)p(B½A1) + p(A2)p(B½A2) + p(A3)p(B½A3) + p(An)p(B½An)

Si deseamos calcular la probabilidad de que ocurra un evento Ai dado que B ya ocurrió, entonces;

La expresión anterior es el teorema de Bayes, que como se observa es una simple probabilidad condicional.

Ejemplos:

1. 1. Tres máquinas denominadas A, B y C, producen un 43%, 26% y 31% de la producción total de una empresa respectivamente, se ha detectado que un 8%, 2% y 1.6% del producto manufacturado por estas máquinas es defectuoso, a. Se selecciona un producto al azar y se encuentra que es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que el producto haya sido fabricado en la máquina B?, b. Si el producto seleccionado resulta que no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en la máquina C?

Solución:

Para resolver este problema nos ayudaremos con un diagrama de árbol;

8% D

43% A92% ND

26% B 2% D

98% ND

31% C 1.6% D

98.4% ND

a. a. Definiremos los eventos;

D = evento de que el producto seleccionado sea defectuoso (evento que condiciona)

)AB(p)An(p....)AB(p)A(p)AB(p)A(p

)AiB(p)Ai(p

)B(p

)BAi(p)B|Ai(P

n

Ç

2211

A = evento de que el producto sea fabricado en la máquina A

B = evento de que el producto sea fabricado por la máquina B

C = evento de que el producto sea fabricado por la máquina C

P(B½D) = p(BÇD)/p(D) = p(B)p(D½B)/p(A)p(D½A) + p(B)p(D½B) + p(C)p(D½C)

P(B½D) = (0.26*0.02)/(0.43*0.08 + 0.26*0.02 + 0.31*0.016)

= 0.0052/0.04456

=0.116697

b. b. ND = evento de que el producto seleccionado no sea defectuoso (evento que condiciona)

A = evento de que el producto sea fabricado en la máquina A

B = evento de que el producto sea fabricado por la máquina B

C = evento de que el producto sea fabricado por la máquina C

P(C½ND)=p(CÇND)/p(ND)=p(C)p(ND½C)/p(A)p(ND½A) + p(B)p(ND½B) + p(C)p(ND½C)

= 0.31*0.984/(0.43*0.92 + 0.26*0.98 + 0.31*0.984)

= 0.30504/0.95544

=0.31927

2. 2. Una empresa recibe visitantes en sus instalaciones y los hospeda en cualquiera de tres hoteles de la ciudad; Palacio del Sol, Sicomoros o Fiesta Inn, en una proporción de 18.5%, 32% y 49.5% respectivamente, de los cuales se ha tenido información de que se les ha dado un mal servicio en un 2.8%, 1% y 4% respectivamente, a. Si se selecciona a un visitante al azar ¿cuál es la probabilidad de que no se le haya dado un mal servicio?,b. Si se selecciona a un visitante al azar y se encuentra que el no se quejó del servicio prestado, ¿cuál es la probabilidad de que se haya hospedado en el Palacio del Sol?, c. Si el visitante seleccionado se quejó del servicio prestado, ¿cuál es la probabilidad de que se haya hospedado en e hotel Fiesta Inn?

3. 3. Solución: Haciendo uso de un diagrama de árbol;2.8% Q

18.5% PS

97.2% NQ

1.0% Q

32% S

99.0% NQ

4.0% Q

49.5% FI

96.0% NQ

a. a. NQ = evento de que un visitante no se queje del servicio

PS = evento de que un visitante haya sido hospedado en el hotel Palacio del Sol

S = evento de que un visitante haya sido hospedado en el hotel Sicómoro

FI = evento de que un visitante haya sido hospedado en el hotel Fiesta Inn

P(NQ) = p(PS)p(NQ½PS) + p(S)p(NQ½S) + p(FI)p(NQ½FI) =

= 0.185*0.972 + 0.32*0.99 + 0.495*0.96

= 0.17982 + 0.3168 + 0.4752

= 0.97182

b. b. NQ = evento de que un visitante no se queje del servicio

PS = evento de que un visitante haya sido hospedado en el hotel Palacio del Sol

S = evento de que un visitante haya sido hospedado en el hotel Sicomoro


P(PS½NQ)=p(PSÇNQ)/p(NQ)

=(0.185*0.972)/(0.185*0.972+0.32*0.99+0.495*0.96)=

= 0.17982/(0.17982 + 0.3168 + 0.4752)

= 0.17982/0.97182

= 0.1850342

c. c. Q = evento de que un visitante se queje del servicio


P(FI½Q) = p(FIÇQ)/p(Q)

= 0.495*0.04/(0.185*0.028 + 0.32*0.01 + 0.495*0.04)

=0.0198/( 0.00518 + 0.0032 + 0.0198)

= 0.0198/0.02818

= 0.7026

I) INDEPENDENCIA

Se dice que un evento B es independiente de un evento A, si p(B½A) = p(B), esto quiere decir que la probabilidad de que ocurra B no es afectada por la ocurrencia del evento A, la expresión anterior se puede sustituir en el teorema de la multiplicación para probabilidad condicional,

p(AÇB) = p(A)p(B½A) = p(A)p(B)

Luego,

p(AÇB) = p(A)p(B) Concepto de independencia

Si la expresión anterior se cumple, podemos decir que los eventos A y B son independientes.

Ejemplos:

Pruebas repetidas e independientes.

Sea d el espacio muestral del lanzamiento de una moneda tres veces,

d = {AAA, AAS, ASA, ASS, SAS, SAA, SSA, SSS}

Donde cada uno de los elementos de este espacio muestral está formado por tres pruebas repetidas e independientes que son los tres lanzamientos de la moneda, si deseamos determinar la probabilidad de cada uno de los elementos, nos encontraremos con lo siguiente;

p(AAA)=p(A1ÇA2ÇA3)=p(A1)p(A2½A1)p(A3½A1ÇA2)=p(A)p(A)p(A) =1/2*1/2*1/2=1/8

p(AAS) = p(A)p(A)p(S) =1/2*1/2*1/2 =1/8

p(ASA) = p(A)p(S)p(A) = 1/2*1/2*1/2 = 1/8

etc, etc.

Con lo anterior se comprueba que efectivamente la probabilidad de cada uno de los elementos del espacio muestral descrito anteriormente es de 1/8 como se consideraba cuando se calculaban probabilidades para un espacio finito equiprobable.

Ejemplos:

1. 1. Un equipo de fútbol soccer tiene una probabilidad de ganar de 0.6, una probabilidad de empatar de 0.3 y una probabilidad de perder de 0.1, si este equipo participa en dos juegos la semana próxima, determine la probabilidad de que; a. Gane el segundo juego, b. Gane ambos juegos, c. Gane uno de los juegos, d. Gane el primer juego y empate el segundo.

0.6G

0.6 G 0.3 E 0.1 P

0.3 E 0.6 G 0.3 E

0.1 0.1 PP

0.6G 0.3 E

0.1 P

El espacio muestral sería:

d = {GG, GE, GP, EG, EE, EP, PG, PE, PP}

Por lo que:

a. a. p(gane el segundo juego) = p(GG, EG, PG) = (0.6)(0.6) + (0.3)(0.6) + (0.1)(0.6) =

= 0.36 + 0.18 + 0.06 = 0.6

b. b. p(gane ambos juegos) = p(GG) = (0.6)(0.6) = 0.36

c. c. p(gane uno de los juegos) = p(GE, GP, EG, PG) = (0.6)(0.3) + (0.6)(0.1) +

(0.3)(0.6) + (0.1)(0.6)

= 0.18 + 0.06 + 0.18 + 0.06 = 0.48

d. d. p(gane el primero y empate el segundo) = p(GE) = (0.6)(0.3) = 0.18

2.Un boxeador gana 8 de cada 10 peleas en las que compite, si este boxeador participará en tres peleas en los próximos seis meses, determine la probabilidad de que; a. Gane dos de las peleas, b. Si gana dos de las peleas, ¿cuál es la probabilidad de que sean la primera y tercera peleas?, c. Gane la segunda pelea.

0.8 G

0.8 G 0.2 P

8/10 = 0.8 G 0.2 P 0.8 G

0.2 P 0.2 P 0.8G

0.2 P 0.2 P 0.8 G

0.8 G

0.2 P

Del diagrama anterior obtenemos el siguiente espacio muestral;

d={GGG. GGP, GPG, GPP, PGG, PGP, PPG, PPP}

a. p(gane dos de las peleas) = p(GGP, GPG, PGG) = (0.8)(0.8)(0.2) + (0.8)(0.2)(0.8) + (0.2)(0.8)(0.8) = 0.128 + 0.128 + 0.128 = 0.384

b. E = evento de que gane dos peleas

E ={ GGP, GPG, PGG }, p(E) = 0.348

A = evento de que gane la primera y la tercer pelea

A={GGG, GPG}

AÇB = {GPG}, p(AÇB) = (0.8)(0.2)(0.8) =0.128

P(A½E) = p(AÇE) / p(E) = 0.348/0.128= 0.3333

c. p(gane la segunda pelea) = p(GGG, GGP, PGG, PGP) = (0.8)(0.8)(0.8) + (0.8)(0.8)(0.2) + (0.2)(0.8)(0.8) + (0.2)(0.8)(0.2) = 0.512 + 0.128 + 0.128 + 0.032= 0.8

3.Tres hombres tiran a un blanco, A tiene 1/3 de posibilidades de acertar al blanco, B tiene 1/2 de posibilidades de acertar y C tiene 1/4 de posibilidades de pegar al blanco, si cada uno de ellos hace un solo disparo, determine la probabilidad de que; a. Solo uno de ellos acierte al blanco, b. Si solo uno de ellos acierta al blanco, ¿cuál es la probabilidad de que acierte A?, c. Determine la probabilidad de que ninguno acierte al blanco.

Solución:

Haciendo uso de un diagrama de árbol se obtiene el siguiente espacio muestral;

d ={ABC, ABC`, AB`C, AB`C`, A`BC, A`BC`, A`B`C, A`B`C`}

donde: A = acierta A, A`= no acierta A, B = acierta B, B`= no acierta B, etc., etc.

p(solo uno de ellos acierte al blanco) = p(AB`C`, A`BC`, A`B`C) = 1/3*1/2*3/4 + 2/3*1/2*3/4 + 2/3*1/2*1/4 = 3/24 + 6/24 + 2/24 = 11/24 = 0.45833

a. a. E = evento de que solo uno de ellos acierte al blanco

E = {AB`C`, A`BC`, A`B`C}; p(E) =11/24

A = evento de que A acierte al blanco = { ABC, ABC`, AB`C, AB`C`}

AÇE = { AB`C`} = 1/3*1/2*3/4 = 3/24

p(A½E)= p(AÇE)/p(E) = (3/24)/(11/24) = 3/11 = 0.27273

b. b. p(ninguno acierte al blanco) = p(A´B´C´) = 2/3*1/2*3/4 = 6/24 = 0.25

J)PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Si las probabilidades de que, en condiciones de garantía, un automóvil nuevo requiera reparaciones del motor, la transmisión o ambos, son 0.87, 0.36 y 0.29,¿cuál es la probabilidad de que un auto requiera uno o el otro o ambos tipos de reparación durante el período de garantía? r=0.94

2. Al lanzar un par de dados balanceados, que probabilidades hay de obtener a. 7, b. 11, c. 7 u 11, d. 3, e. 2 o 12, f. 2, 3 o 12? r= a. 1/6 b. 1/18 c. 2/9 d. 1/18 e. 1/18 f. 1/9

3. Una agencia de renta de automóviles cuenta con 18 autos compactos y 12 autos de tamaño mediano. Si se seleccionan aleatoriamente cuatro de los automóviles para una inspección de seguridad, ¿que probabilidad hay de obtener dos de cada tipo? r=0.368

4. En un grupo de 160 estudiantes graduados de ingeniería, 92 se inscriben en un curso avanzado de estadística, 63 en un curso de investigación de operaciones; y 40 en ambos. ¿Cuántos de estos estudiantes no se inscriben en ningún curso?

r=45

5. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, p(A)= 0.29 y p(B)=0.43, determine, a. p(A´), b. p(AÈB), c. p(AÇB´), d. P(A´ÇB´). r= a.0.71 b.0.72 c.0.29 d.0.28

6. Un departamento de policía necesita nuevos neumáticos para sus patrullas, y existen 0.17, 0.22, 0.03, 0.29, 0.21 y 0.08 de probabilidades de que adquiera neumáticos de las siguientes marcas: Uniroyal, Goodyear, Michelin, General, Goodrich o Armstrong. Determine las probabilidades de que compre, a. neumáticos Goodrich o Goodyear, b. neumáticos Uniroyal, General o Goodrich, c. neumáticos Michelin o Armstrong, d. neumáticos Goodyear, General o Armstrong.

r=a. 0.43 b. 0.67 c. 0.11 d. 0.59

7. La probabilidad de que el chip de un circuito integrado tenga un grabado defectuoso es de 0.12, la probabilidad de que tenga un defecto de cuarteadura es de 0.29 y la probabilidad de que tenga ambos defectos es de 0.07. a. ¿Qué

probabilidad hay de que un chip de fabricación reciente tenga ya sea un defecto de grabado o de cuarteadura?, b. ¿Qué probabilidad hay de que un chip de fabricación reciente no tenga ninguno de tales defectos? r=a.0.34 b.0.66

8. Las probabilidades de que una estación de Televisión reciba 0, 1, 2, 3, 4, ...........,8 o al menos 9 quejas tras la emisión de un controvertido programa son, respectivamente, 0.01, 0.03, 0.07, 0.15, 0.19, 0.18, 0.14, 0.12, 0.09 y 0.02. Qué probabilidades hay de que después de trasmitir ese programa la estación reciba a. como máximo 4 quejas, b. al manos 6 quejas, c. de 5 a 8 quejas. R=a. 0.45 b. 0.37 c. 0.55

9. La probabilidad de que un nuevo aeropuerto obtenga un premio por su diseño es de 0.16, la probabilidad de que obtenga un premio por su eficiente uso de materiales es de 0.24 y la probabilidad de que obtenga ambos premios es de 0.11. a. ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga al menos uno de los dos premios?, b. ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga solo uno de los dos premios?. r=a.0.29 b.0.18

10. Si la probabilidad de que un sistema de comunicación tenga alta fidelidad es de 0.81 y la probabilidad de que tenga alta fidelidad y alta selectividad es de 0.18. ¿Cuál es la probabilidad de que un sistema con alta fidelidad, tenga alta selectividad? r=2/9

11. Si la probabilidad de que un proyecto de investigación sea correctamente planeado es de 0.80 y la probabilidad de que sea planeado y correctamente ejecutado es de 0.72, ¿qué probabilidad hay de que un proyecto de investigación correctamente planeado, sea correctamente ejecutado? r=0.90

12. Entre 60 partes de refacción automotriz cargadas en un camión en San Francisco, 45 tienen a Seattle por destino y 15 a Vancouver. Si dos de las partes se descargan por error en Pórtland y la “selección” es aleatoria, ¿qué probabilidades hay de que a. ambas partes debieran de haber llegado a Seattle, b. ambas partes debieran de haber llegado a Vancouver, c. una debiera haber llegado a Seattle y la otra a Vancouver. r=a.33/59 b. 7/118 c.45/118

13. En una planta electrónica, se sabe por experiencia que la probabilidad de que un obrero de nuevo ingreso que haya asistido al programa de capacitación de la compañía, cumpla la cuota de producción es de 0.86 y que la probabilidad correspondiente de un obrero de nuevo ingreso que no ha asistido a dicho curso de capacitación es de 0.35. Si 80% de la totalidad de los obreros de nuevo ingreso asisten al curso de capacitación, ¿qué probabilidad existe de que un trabajador de nuevo ingreso cumpla la cuota de producción? r=0.758

14. Una empresa consultora renta automóviles de tres agencias, 20% de la agencia D, 20% de la agencia E y 60% de la agencia F. Si 10% de los autos de D, 12% de los autos de E y 4% de los autos de F tienen neumáticos en mal estado, ¿cuál es la probabilidad de que la empresa reciba un auto con neumáticos en mal estado?

r=0.068

15. Si cada artículo codificado en un catálogo empieza con tres letras distintas y continua con 4 dígitos distintos de cero, encuentre la probabilidad de seleccionar aleatoriamente uno de los que empieza con la letra a y tiene un par como último dígito. R= 10/117

16. La probabilidad de que una industria estadounidense se ubique en Munich es de 0.7, de que se localice en Bruselas de 0.4, y de que se ubique ya sea en Bruselas o en Munich, o en ambas es de 0.8.¿Cuál es la probabilidad de que la industria se localice a. en ambas ciudades?, b. en ninguna de ellas r=a. 0.3 b. 0.2

17. Con base en experiencias pasadas, un corredor de bolsa considera que bajo las condiciones económicas actuales un cliente invertirá con una probabilidad de 0.6 en bonos libres de impuesto, en fondos mutualistas con una probabilidad de 0.3 y en ambos instrumentos con una probabilidad de 0.15. En este momento, encuentre la probabilidad de que el cliente invierta a. ya sea en bonos libres de impuesto o en fondos mutualistas, b. en ninguno de los dos instrumentos. r=a. 0.75 b.0.25

18. Para parejas de casados que viven en una cierta ciudad de los suburbios, la probabilidad de que el esposo vote en alguna elección es de 0.21, la de que su esposa lo haga , es de 0.28 y la de que ambos voten, de 0.15. ¿Cuál es la probabilidad de que a. al menos un miembro de la pareja vote?, b. vote una esposa dado que su esposo lo hace?, c. vote un esposo, dado que su esposa no lo hace? r=a.0.34 b.5/7 c.1/12

19. La probabilidad de que un médico diagnostique correctamente una enfermedad en particular es de 0.7. Dado que realice un diagnóstico incorrecto , la probabilidad de que el paciente levante una demanda es de 0.9. ¿Cuál es la probabilidad de que el médico realice un diagnóstico incorrecto y de que el paciente lo demande? r=0.27

20. Un pueblo tiene dos carros de bomberos que operan independientemente. La probabilidad de que un vehículo específico esté disponible cuando se necesite es de 0.96. a. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno esté disponible en caso necesario?, b. ¿Cuál es la probabilidad de que alguno lo esté cuando se le necesite? r=a.0.0016 b.0.9984

21. La probabilidad de que Tom sobreviva 20 años más es de 0.7 y la de que Nancy lo haga de 0.9. Sí se supone independencia para ambos, ¿cual es la probabilidad de que ninguno sobreviva 20 años? r= 0.03

22. Una valija contiene 2 frascos de aspirinas y tres de tabletas para la tiroides. Una segunda valija contiene 3 de aspirinas, 2 de tabletas para la tiroides y 1 de tabletas laxantes. Sí se toma un frasco aleatoriamente de cada valija de equipaje, encuentre la probabilidad de que; a. ambos frascos contengan tabletas para la tiroides, b. ningún frasco contenga tabletas para la tiroides; c. los dos frascos contengan diferentes tabletas. r= a.1/5 b.4/15 c. 3/5

23. La probabilidad de que una persona que visita a su dentista requiera de una placa de rayos X es de 0.6, la de que una persona a la que se le toma una placa de rayos X también tenga un tapón de 0.3; y la de que a una persona que se le toma una placa de rayos X y que tiene un tapón, tenga también un diente extraído, de 0.01. ¿Cuál es la probabilidad de que a una persona que visita a un dentista se le tome una placa radiográfica, presente un tapón y se le haya extraído un diente? r= 0.018

Combinaciones y permutaciones

¿Qué diferencia hay?

Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente,

sin pensar en si el orden de las cosas es importante. En otras

palabras:

"Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.

"La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2.

Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso:

Si el orden no importa, es una combinación.Si el orden sí importa es una permutación.

¡Así que lo de arriba se podría llamar "cerradura de permutación"!

Con otras palabras:

Una permutación es una combinación ordenada.

Para ayudarte a recordar, piensa en "Permutación... Posición"

Permutaciones

Hay dos tipos de permutaciones:

Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser

"333".

Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una

carrera. No puedes quedar primero y segundo a la vez.

1. Permutaciones con repetición

Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y

eliges r de ellas, las permutaciones posibles son:

n × n × ... (r veces) = nr

(Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS

hay n posibilidades para la segunda elección, y así.)

Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir

(0,1,...,9) y eliges 3 de ellos:

10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones

Así que la fórmula es simplemente:

nr

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas

(Se puede repetir, el orden importa)

2. Permutaciones sin repetición

En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.

Por ejemplo, ¿cómo podrías

ordenar 16 bolas de billar?

Después de elegir por ejemplo

la "14" no puedes elegirla otra

vez.

Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente

elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de

permutaciones sería:

16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000

Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que

sería solamente:

16 × 15 × 14 = 3360

Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar

de entre 16.

¿Pero cómo lo escribimos matemáticamente? Respuesta: usamos

la "función factorial"

La función factorial (símbolo: !) significa que se

multiplican números descendentes. Ejemplos:

4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040

1! = 1

Nota: en general se está de acuerdo en que 0! = 1. Puede que parezca curioso que no multiplicar ningún número dé 1, pero ayuda a simplificar muchas ecuaciones.

Así que si quieres elegir todas las bolas de billar las

permutaciones serían:

16! = 20,922,789,888,000

Pero si sólo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar

después de 14. ¿Cómo lo escribimos? Hay un buen truco...

dividimos entre 13!...

16 × 15 × 14 × 13 × 12 ... = 16 × 15 × 14 = 3360

13 × 12 ...

¿Lo ves? 16! / 13! = 16 × 15 × 14

La fórmula se escribe:

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/factorial.html

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas(No se puede repetir, el orden

importa)

Ejemplos:

Nuestro "ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 16" sería:

16!=

16!=

20,922,789,888,000= 3360

(16-3)! 13! 6,227,020,800

¿De cuántas maneras se pueden dar primer y segundo premio

entre 10 personas?

10!=

10!=

3,628,800= 90

(10-2)! 8! 40,320

(que es lo mismo que: 10 × 9 = 90)

Notación

En lugar de escribir toda la fórmula, la gente usa otras notaciones

como:

Combinaciones

También hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el

orden no importa):

Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo

(5,5,5,10,10)

Sin repetición: como números de lotería (2,14,15,27,30,33)

1. Combinaciones con repetición

En realidad son las más difíciles de explicar, así que las dejamos

para luego.

2. Combinaciones sin repetición

Así funciona la lotería. Los números se eligen de uno en uno, y si

tienes los números de la suerte (da igual el orden) ¡entonces has

ganado!

La manera más fácil de explicarlo es:

imaginemos que el orden sí importa (permutaciones),

después lo cambiamos para que el orden no importe.

Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qué 3

bolas se eligieron, no el orden.

Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.

Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos

importa el orden.

Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las

posibilidades son:

El orden importaEl orden no

importa1 2 31 3 2

1 2 3

2 1 32 3 13 1 23 2 1

Así que las permutaciones son 6 veces más posibilidades.

De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras "1 2

3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es:

3! = 3 × 2 × 1 = 6

(Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de 4! = 4 × 3 × 2 × 1

= 24 maneras distintas, ¡prueba tú mismo!)

Así que sólo tenemos que ajustar nuestra fórmula de

permutaciones para reducir por las maneras de ordenar los

objetos elegidos (porque no nos interesa ordenarlos):

Esta fórmula es tan importante que normalmente se la escribe con

grandes paréntesis, así:

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas(No se puede repetir, el orden no

importa)

Y se la llama "coeficiente binomial".

Notación

Además de los "grandes paréntesis", la gente también usa estas

notaciones:

Ejemplo

Entonces, nuestro ejemplo de bolas de billar (ahora sin orden) es:

16!=

16!=

20,922,789,888,000= 560

3!(16-3)! 3!×13! 6×6,227,020,800

O lo puedes hacer así:

16×15×14=

3360= 560

3×2×1 6

Así que recuerda, haz las permutaciones, después reduce entre "r!"

... o mejor todavía...

¡Recuerda la fórmula!

Es interesante darse cuenta de que la fórmula es bonita

y simétrica:

Con otras palabras, elegir 3 bolas de 16 da las mismas

combinaciones que elegir 13 bolas de 16.

16!=

16!=

16!= 560

3!(16-3)! 13!(16-13)! 3!×13!

Triángulo de Pascal

Puedes usar el triángulo de Pascal para calcular valores. Baja a la

fila "n" (la de arriba es n=0), y ve a la derecha "r" posiciones, ese

valor es la respuesta. Aquí tienes un trozo de la fila 16:

1 14 91 364 ...

1 15 105 455 1365 ...

1 16 120 560 1820 4368 ...

1. Combinaciones con repetición

OK, ahora vamos con este...

Digamos que tenemos cinco sabores de

helado: banana, chocolate, limón, fresa y vainilla.

Puedes tomar 3 paladas. ¿Cuántas variaciones hay?

Vamos a usar letras para los sabores: {b, c, l, f, v}.

Algunos ejemplos son

http://www.disfrutalasmatematicas.com/triangulo-pascal.html

{c, c, c} (3 de chocolate)

{b, l, v} (uno de banana, uno de limón y uno de

vainilla)

{b, v, v} (uno de banana, dos de vainilla)

(Y para dejarlo claro: hay n=5 cosas para elegir, y eliges r=3 de

ellas.

El orden no importa, ¡y sí puedes repetir!)

Bien, no puedo decirte directamente cómo se calcula, pero te voy

a enseñar una técnica especial para que lo averigües tú mismo.

Imagina que el helado está en contenedores,

podrías decir "sáltate el primero, después 3

paladas, después sáltate los 3 contenedores

siguientes" ¡y acabarás con 3 paladas de

chocolate!

Entonces es como si ordenaras a un robot que te trajera helado, pero no cambia nada, tendrás lo que quieres.

Ahora puedes escribirlo como (la flecha es saltar, el

círculo es tomar)

Entonces los tres ejemplos de arriba se pueden escribir así:

{c, c, c} (3 de chocolate):{b, l, v} (uno de banana, uno de limón y uno de vainilla):{b, v, v} (uno de banana, dos de vainilla):

OK, entonces ya no nos tenemos que preocupar por diferentes

sabores, ahora tenemos un problema más simple para resolver:

"de cuántas maneras puedes ordenar flechas y círculos"

Fíjate en que siempre hay 3 círculos (3 paladas de helado) y 4

flechas (tenemos que movernos 4 veces para ir del contenedor 1º

al 5º).

Así que (en general) hay r + (n-1) posiciones, y queremos

que r de ellas tengan círculos.

Esto es como decir "tenemos r + (n-1) bolas de billar y queremos

elegir r de ellas". Es decir, es como el problema de elegir bolas de

billar, pero con números un poco distintos. Lo podrías escribir así:

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas(Se puede repetir, el orden no

importa)

Es interesante pensar que podríamos habernos fijado en flechas en

vez de círculos, y entonces habríamos dicho "tenemos r + (n-

1) posiciones y queremos que (n-1) tengan flechas", y la

respuesta sería la misma...

¿Qué pasa con nuestro ejemplo, cuál es la respuesta?

(5+3-1)! = 7! = 5040 = 35

3!(5-1)! 3!×4! 6×24

En conclusión

¡Uau, es un montón de cosas que absorber, quizás tendrías que

leerlo otra vez para entenderlo todo bien!

Pero saber cómo funcionan estas fórmulas es sólo la mitad del

trabajo. Averiguar cómo se interpreta una situación real puede ser

bastante complicado.

Por lo menos ahora sabes cómo se calculan las 4 variantes de "el

orden sí/no importa" y "sí/no se puede repetir".

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