TD n°1 Optique Guidée - · de la propagation dans une fibre à gradient d’indice que dans une...

Master 1

Travaux dirigés n°1

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TD n°1 Optique Guidée

I. Guide à gradient d'indice

Soit un guide plan multimode à gradient d'indice symétrique et invariant selon l'axe oz. On

veut utiliser ce guide pour confiner la lumière. La dépendance l'indice de réfraction n(x) est

parabolique, tel que:

62,5µm a

0,01

cœur) du maximum (indice 1,5 n

: avec

a xpour 1)(

a xpour 1)( c

2

c

c

nxn

a

xnxn

1. Déterminer l’angle limite à l’entrée du guide pour lequel on a propagation.

2. En déduire l'ouverture numérique de ce guide.

On veut déterminer la trajectoire des rayons lumineux dans ce guide. On suppose que les

rayons sont suffisamment inclinés sur l'axe pour que l'on puisse identifier l'élément

différentiel d'abscisse curviligne ds avec l'élément différentiel dz dans les équations de

propagation.

3. Déterminez l'équation de propagation des rayons lumineux dans le guide optique. On

utilisera pour cela l'équation Iconale rngradrurnds

d)()( .

4. Le gradient étant faible, on peut considérer que n(r)=nc. On considère qu'en z=0, x=0. A

partir de ces considérations, déterminez la fonction qui décrit la propagation d'un rayon

lumineux dans le guide optique.

5. Expliquez pourquoi une impulsion (temporelle) lumineuse sera moins déformée au cours

de la propagation dans une fibre à gradient d’indice que dans une fibre à saut d’indice.

6. Voyez-vous une autre application pour ce principe d’égalisation des temps de parcours.

Comparaison de deux guides plans.

Soit 2 guides plans réalisés dans la même technologie. Cette technologie permet de réaliser

des guides à saut d’indice. L’indice de cœur est 1.48 et l’indice du substrat est de 1.46. Le

superstrat est l’air. On considère uniquement la polarisation TE et la longueur d’onde de

1.55µm. Le guide 1 fait une épaisseur de 2 µm et le guide 2 fait une épaisseur de 5µm.

1. Quelle est dans ce guide la condition limite de guidage

2. Est-ce que ces guides sont monomodes aux longueurs d’onde : =1.3µm et =1.55µm.

z, direction de propagation

a nguide

nsubstrat

x nsuperstrat

nsuperstrat=1

nguide=1.48

nsubstrat=1.46

a1=2µm

a2=5µm

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3. S’ils ne sont pas monomode, quel est alors le nombre de mode. Quelle épaisseur doit faire

le guide pour être monomode?

4. En déduire, le sens de variation du nombre de mode en fonction de l'épaisseur a.

Soit 2 guides plans d’épaisseur 4µm, mais le confinement de la lumière est assuré par un n

différent. L’indice de substrat et de superstrat est de 1.46 pour les deux guides. L’indice de

cœur est de 1.48 pour le guide 1 et de 1.47 pour le guide 2. On considère uniquement la

polarisation TE et la longueur de 1.55µm.

1. Est-ce ces guides sont monomodes aux =1.3µm, =1.55µm?

2. S’ils ne sont pas monomodes sur quels paramètres on peut jouer pour qu’ils le

deviennent? Donner une application numérique.

3. En déduire, le sens de variation du nombre de mode en fonction du n.


a nguide

nsubstrat

x

nsuperstrat nsuperstrat= nsubstrat =1.46

n1guide=1.48

n2guide =1.47

a=4µm

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TD n°2 Optique Guidée

Réalisation d'un guide optique monomode

Vous travaillez dans une entreprise qui réalise des composants d'optiques intégrées passifs

(puces optiques). La technologie utilisée permet de réaliser des guides optiques de largeur

limitée à saut d'indice enterrés (figure 1). Votre chef vous demande de déterminer les

paramètres de fabrication d'un guide optique fonctionnant sur la plage de longueur d'onde

[1260,1560]nm. Pour être performante, ce guide doit présenter un minimum de pertes et doit

être compatible avec la fibre monomode SMF28 utilisé couramment en « telecom ». En raison

du faible n, on ne distinguera pas le cas TE du cas TM.

II. Paramètres du guide optique :

Le guide optique enterré obtenu par la technologie utilisée est représenté sur la figure 1.

a = à déterminer

d = à déterminer

b=5µm

n=1.46 et n=0.003

Figure 1: guide optique étudié

NB: d = distance entre la surface et le centre du guide

a) dimensions transverses du guide optique

Le guide optique doit être monomodes. On doit donc déterminer les dimensions

transverses des guides optiques afin de satisfaire cette condition de monomodicité. Afin de

simplifier l'étude de ce guide de largeur limitée, on va se ramener à l'étude de 2 guides

planaires symétriques à partir de la méthode de l'indice effectif. On traitera la dimension

verticale (figure 2) en premier, puis la dimension horizontale.

Figure 2: guide plan étudié pour la dimension verticale

1) Est-ce que ce guide est monomode aux longueurs d'onde souhaitées dans la direction

verticale?

2) Déterminer la longueur d'onde de coupure du premier mode d'ordre supérieur dans la

direction verticale.

3) Montrer qu'à partir de la méthode de l'indice effectif l'étude du guide de largeur limitée

peut être ramenée à l'étude du guide planaire de largeur a, d'indice de gaine 1.46 et

d'indice de cœur: nc=1,4616 pour =1260nm, , nc=1,4613 pour = 1560nm. Vous

a

b n+n

n d

b=5µm n+n

n d

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utiliserez pour cela la fréquence normalisée V et les paramètres U et W vus en cours. (Cf

annexe A).

4) Déterminer la largeur a optimum (on prendra une valeur entière en µm) pour que le guide

soit monomode aux longueurs d'onde souhaitées avec le meilleur confinement possible.

5) Déterminer dans ce cas les indices effectifs des modes guidés à 1260nm et 1560nm.

b) Profondeur d'enterrage du guide optique (direction verticale)

Le guide optique présentera peu de pertes si le champ électromagnétique guidé ne voit

pas la surface de la puce optique. Les guides optiques doivent être alors enterrés à une

profondeur suffisante pour cela. On considéra que le champ électrique ne voit plus la surface

de la puce optique lorsque son amplitude au niveau de la surface est inférieure à 1% de son

maximum d'amplitude.

6) Expliquer pourquoi le champ électromagnétique guidé ne doit pas voir la surface de la

puce optique pour avoir de bonnes performances optiques. (il y a 2 raisons importantes)

7) Donner les expressions du champ électrique dans un guide planaire symétrique pour les

modes pairs.

8) A partir de ces expressions de champs déterminer la profondeur d'enterrage d (distance

entre la surface et le centre du guide) permettant d'avoir un bon isolement du champ

électrique avec la surface de la puce optique à 1260nm et à 1560nm. En déduire qu'une

profondeur d'enterrage de 20µm permet d'avoir un bon isolement optique avec la surface.

9) A partir des expressions du champ dans un guide symétrique retrouver les résultats des

cartes de champs données en annexes B. On assimilera les modes guidées à des faisceaux

gaussiens asymétrique de largeur wx et wy . Dans ce cas, on peut montrer que le couplage

entre deux faisceaux gaussiens est égale à :

22 2

2

2

1

21

2

2

2

1

21

yy

yy

xx

xxyx

ww

ww

ww

ww

10) Déterminer alors les pertes de couplage entre ce guide et une fibre SMF28 pour cela les

spécifications de la SMF28 données en annexe C. Vous exprimerez votre résultat en dB.

Comment peut-on améliorer ce couplage?

c) Amélioration du couplage optique

11) Montrer que le guide suivant (n=0.005 au lieu de 0.003, technologie concurrente à celle

de la société dans laquelle vous travaillez) permet d'améliorer considérablement les pertes

de couplage à 1550nm.

a = 6µm

d = 20µm

b=5µm

n=1.46 et n=0.005

Pour cela, on déterminera la taille du mode dans la dimension verticale et horizontale, en

utilisant la méthode de l'indice effectif. Vous traiterez en premier la direction verticale.

a

b n+n

n d

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Annexe A : Courbes de dispersion

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Suite annexe A

##

V U W V U W V U W V U W V U W

0,9000 0,6926 0,5747 0,9384 0,7110 0,6124 0,9783 0,7294 0,6520 1,0199 0,7478 0,6936 1,0634 0,7662 0,7373

0,9008 0,6930 0,5755 0,9392 0,7114 0,6132 0,9792 0,7298 0,6528 1,0209 0,7482 0,6945 1,0643 0,7666 0,7383

0,9016 0,6934 0,5763 0,9401 0,7118 0,6140 0,9801 0,7302 0,6537 1,0218 0,7486 0,6954 1,0653 0,7670 0,7393

0,9024 0,6938 0,5771 0,9409 0,7122 0,6149 0,9810 0,7306 0,6546 1,0227 0,7490 0,6964 1,0663 0,7674 0,7403

0,9032 0,6942 0,5779 0,9418 0,7126 0,6157 0,9819 0,7310 0,6555 1,0236 0,7494 0,6973 1,0672 0,7678 0,7412

0,9041 0,6946 0,5787 0,9426 0,7130 0,6166 0,9827 0,7314 0,6564 1,0246 0,7498 0,6982 1,0682 0,7682 0,7422

0,9049 0,6950 0,5795 0,9435 0,7134 0,6174 0,9836 0,7318 0,6573 1,0255 0,7502 0,6992 1,0692 0,7686 0,7432

0,9057 0,6954 0,5803 0,9443 0,7138 0,6183 0,9845 0,7322 0,6582 1,0264 0,7506 0,7001 1,0701 0,7690 0,7442

0,9065 0,6958 0,5811 0,9452 0,7142 0,6191 0,9854 0,7326 0,6591 1,0274 0,7510 0,7010 1,0711 0,7694 0,7452

0,9074 0,6962 0,5819 0,9460 0,7146 0,6200 0,9863 0,7330 0,6599 1,0283 0,7514 0,7020 1,0721 0,7698 0,7462

0,9082 0,6966 0,5827 0,9469 0,7150 0,6208 0,9872 0,7334 0,6608 1,0292 0,7518 0,7029 1,0730 0,7702 0,7471

0,9090 0,6970 0,5835 0,9478 0,7154 0,6217 0,9881 0,7338 0,6617 1,0301 0,7522 0,7038 1,0740 0,7706 0,7481

0,9098 0,6974 0,5843 0,9486 0,7158 0,6225 0,9890 0,7342 0,6626 1,0311 0,7526 0,7048 1,0750 0,7710 0,7491

0,9107 0,6978 0,5851 0,9495 0,7162 0,6234 0,9899 0,7346 0,6635 1,0320 0,7530 0,7057 1,0760 0,7714 0,7501

0,9115 0,6982 0,5859 0,9503 0,7166 0,6242 0,9908 0,7350 0,6644 1,0330 0,7534 0,7067 1,0769 0,7718 0,7511

0,9123 0,6986 0,5868 0,9512 0,7170 0,6251 0,9917 0,7354 0,6653 1,0339 0,7538 0,7076 1,0779 0,7722 0,7521

0,9131 0,6990 0,5876 0,9521 0,7174 0,6259 0,9926 0,7358 0,6662 1,0348 0,7542 0,7086 1,0789 0,7726 0,7531

0,9140 0,6994 0,5884 0,9529 0,7178 0,6268 0,9935 0,7362 0,6671 1,0358 0,7546 0,7095 1,0799 0,7730 0,7541

0,9148 0,6998 0,5892 0,9538 0,7182 0,6276 0,9944 0,7366 0,6680 1,0367 0,7550 0,7104 1,0809 0,7734 0,7551

0,9156 0,7002 0,5900 0,9547 0,7186 0,6285 0,9953 0,7370 0,6689 1,0376 0,7554 0,7114 1,0818 0,7738 0,7561

0,9165 0,7006 0,5908 0,9555 0,7190 0,6293 0,9962 0,7374 0,6698 1,0386 0,7558 0,7123 1,0828 0,7742 0,7571

0,9173 0,7010 0,5916 0,9564 0,7194 0,6302 0,9971 0,7378 0,6707 1,0395 0,7562 0,7133 1,0838 0,7746 0,7580

0,9181 0,7014 0,5925 0,9573 0,7198 0,6311 0,9980 0,7382 0,6716 1,0405 0,7566 0,7142 1,0848 0,7750 0,7590

0,9190 0,7018 0,5933 0,9581 0,7202 0,6319 0,9989 0,7386 0,6725 1,0414 0,7570 0,7152 1,0858 0,7754 0,7600

0,9198 0,7022 0,5941 0,9590 0,7206 0,6328 0,9998 0,7390 0,6734 1,0424 0,7574 0,7161 1,0868 0,7758 0,7610

0,9206 0,7026 0,5949 0,9599 0,7210 0,6336 1,0007 0,7394 0,6743 1,0433 0,7578 0,7171 1,0878 0,7762 0,7621

0,9215 0,7030 0,5957 0,9607 0,7214 0,6345 1,0016 0,7398 0,6752 1,0442 0,7582 0,7180 1,0887 0,7766 0,7631

0,9223 0,7034 0,5966 0,9616 0,7218 0,6354 1,0025 0,7402 0,6761 1,0452 0,7586 0,7190 1,0897 0,7770 0,7641

0,9232 0,7038 0,5974 0,9625 0,7222 0,6362 1,0034 0,7406 0,6770 1,0461 0,7590 0,7199 1,0907 0,7774 0,7651

0,9240 0,7042 0,5982 0,9634 0,7226 0,6371 1,0043 0,7410 0,6780 1,0471 0,7594 0,7209 1,0917 0,7778 0,7661

0,9248 0,7046 0,5990 0,9642 0,7230 0,6380 1,0053 0,7414 0,6789 1,0480 0,7598 0,7219 1,0927 0,7782 0,7671

0,9257 0,7050 0,5999 0,9651 0,7234 0,6388 1,0062 0,7418 0,6798 1,0490 0,7602 0,7228 1,0937 0,7786 0,7681

0,9265 0,7054 0,6007 0,9660 0,7238 0,6397 1,0071 0,7422 0,6807 1,0499 0,7606 0,7238 1,0947 0,7790 0,7691

0,9274 0,7058 0,6015 0,9669 0,7242 0,6406 1,0080 0,7426 0,6816 1,0509 0,7610 0,7247 1,0957 0,7794 0,7701

0,9282 0,7062 0,6023 0,9677 0,7246 0,6414 1,0089 0,7430 0,6825 1,0518 0,7614 0,7257 1,0967 0,7798 0,7711

0,9290 0,7066 0,6032 0,9686 0,7250 0,6423 1,0098 0,7434 0,6834 1,0528 0,7618 0,7267 1,0977 0,7802 0,7721

0,9299 0,7070 0,6040 0,9695 0,7254 0,6432 1,0107 0,7438 0,6844 1,0538 0,7622 0,7276 1,0987 0,7806 0,7731

0,9307 0,7074 0,6048 0,9704 0,7258 0,6441 1,0116 0,7442 0,6853 1,0547 0,7626 0,7286 1,0997 0,7810 0,7742

0,9316 0,7078 0,6057 0,9712 0,7262 0,6449 1,0126 0,7446 0,6862 1,0557 0,7630 0,7296 1,1007 0,7814 0,7752

0,9324 0,7082 0,6065 0,9721 0,7266 0,6458 1,0135 0,7450 0,6871 1,0566 0,7634 0,7305 1,1017 0,7818 0,7762

0,9333 0,7086 0,6073 0,9730 0,7270 0,6467 1,0144 0,7454 0,6880 1,0576 0,7638 0,7315 1,1027 0,7822 0,7772

0,9341 0,7090 0,6082 0,9739 0,7274 0,6476 1,0153 0,7458 0,6890 1,0585 0,7642 0,7325 1,1037 0,7826 0,7782

0,9350 0,7094 0,6090 0,9748 0,7278 0,6484 1,0162 0,7462 0,6899 1,0595 0,7646 0,7334 1,1047 0,7830 0,7793

0,9358 0,7098 0,6098 0,9757 0,7282 0,6493 1,0172 0,7466 0,6908 1,0605 0,7650 0,7344 1,1057 0,7834 0,7803

0,9367 0,7102 0,6107 0,9765 0,7286 0,6502 1,0181 0,7470 0,6917 1,0614 0,7654 0,7354 1,1067 0,7838 0,7813

0,9375 0,7106 0,6115 0,9774 0,7290 0,6511 1,0190 0,7474 0,6927 1,0624 0,7658 0,7364 1,1077 0,7842 0,7823

Mode 0 Mode 0 Mode 0 Mode 0 Mode 0

Resulats de l'équation de dispersion pour un guide plan symétrique en TE/TM

Master 1


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Suite annexe A


1,1087 0,7846 0,7833 1,1561 0,8030 0,8318 1,2058 0,8214 0,8828 1,2579 0,8398 0,9365 1,3126 0,8582 0,9932

1,1097 0,7850 0,7844 1,1572 0,8034 0,8329 1,2069 0,8218 0,8839 1,2591 0,8402 0,9377 1,3139 0,8586 0,9945

1,1107 0,7854 0,7854 1,1583 0,8038 0,8339 1,2080 0,8222 0,8851 1,2602 0,8406 0,9389 1,3151 0,8590 0,9958

1,1117 0,7858 0,7864 1,1593 0,8042 0,8350 1,2091 0,8226 0,8862 1,2614 0,8410 0,9401 1,3163 0,8594 0,9970

1,1127 0,7862 0,7875 1,1604 0,8046 0,8361 1,2103 0,8230 0,8873 1,2626 0,8414 0,9413 1,3175 0,8598 0,9983

1,1138 0,7866 0,7885 1,1614 0,8050 0,8372 1,2114 0,8234 0,8885 1,2637 0,8418 0,9425 1,3187 0,8602 0,9996

1,1148 0,7870 0,7895 1,1625 0,8054 0,8383 1,2125 0,8238 0,8896 1,2649 0,8422 0,9438 1,3200 0,8606 1,0008

1,1158 0,7874 0,7906 1,1636 0,8058 0,8394 1,2136 0,8242 0,8908 1,2661 0,8426 0,9450 1,3212 0,8610 1,0021

1,1168 0,7878 0,7916 1,1646 0,8062 0,8405 1,2147 0,8246 0,8919 1,2672 0,8430 0,9462 1,3224 0,8614 1,0034

1,1178 0,7882 0,7926 1,1657 0,8066 0,8415 1,2158 0,8250 0,8931 1,2684 0,8434 0,9474 1,3237 0,8618 1,0047

1,1188 0,7886 0,7937 1,1667 0,8070 0,8426 1,2169 0,8254 0,8942 1,2696 0,8438 0,9486 1,3249 0,8622 1,0060

1,1199 0,7890 0,7947 1,1678 0,8074 0,8437 1,2180 0,8258 0,8954 1,2708 0,8442 0,9498 1,3261 0,8626 1,0072

1,1209 0,7894 0,7957 1,1689 0,8078 0,8448 1,2192 0,8262 0,8965 1,2719 0,8446 0,9510 1,3274 0,8630 1,0085

1,1219 0,7898 0,7968 1,1699 0,8082 0,8459 1,2203 0,8266 0,8977 1,2731 0,8450 0,9522 1,3286 0,8634 1,0098

1,1229 0,7902 0,7978 1,1710 0,8086 0,8470 1,2214 0,8270 0,8988 1,2743 0,8454 0,9535 1,3298 0,8638 1,0111

1,1239 0,7906 0,7989 1,1721 0,8090 0,8481 1,2225 0,8274 0,9000 1,2755 0,8458 0,9547 1,3311 0,8642 1,0124

1,1250 0,7910 0,7999 1,1732 0,8094 0,8492 1,2237 0,8278 0,9012 1,2766 0,8462 0,9559 1,3323 0,8646 1,0137

1,1260 0,7914 0,8010 1,1742 0,8098 0,8503 1,2248 0,8282 0,9023 1,2778 0,8466 0,9571 1,3336 0,8650 1,0150

1,1270 0,7918 0,8020 1,1753 0,8102 0,8514 1,2259 0,8286 0,9035 1,2790 0,8470 0,9584 1,3348 0,8654 1,0163

1,1280 0,7922 0,8031 1,1764 0,8106 0,8525 1,2270 0,8290 0,9046 1,2802 0,8474 0,9596 1,3360 0,8658 1,0176

1,1291 0,7926 0,8041 1,1775 0,8110 0,8536 1,2282 0,8294 0,9058 1,2814 0,8478 0,9608 1,3373 0,8662 1,0188

1,1301 0,7930 0,8051 1,1785 0,8114 0,8547 1,2293 0,8298 0,9070 1,2826 0,8482 0,9620 1,3385 0,8666 1,0201

1,1311 0,7934 0,8062 1,1796 0,8118 0,8558 1,2304 0,8302 0,9081 1,2837 0,8486 0,9633 1,3398 0,8670 1,0214

1,1322 0,7938 0,8073 1,1807 0,8122 0,8569 1,2316 0,8306 0,9093 1,2849 0,8490 0,9645 1,3410 0,8674 1,0227

1,1332 0,7942 0,8083 1,1818 0,8126 0,8581 1,2327 0,8310 0,9105 1,2861 0,8494 0,9657 1,3423 0,8678 1,0240

1,1342 0,7946 0,8094 1,1829 0,8130 0,8592 1,2338 0,8314 0,9116 1,2873 0,8498 0,9670 1,3435 0,8682 1,0253

1,1353 0,7950 0,8104 1,1839 0,8134 0,8603 1,2350 0,8318 0,9128 1,2885 0,8502 0,9682 1,3448 0,8686 1,0267

1,1363 0,7954 0,8115 1,1850 0,8138 0,8614 1,2361 0,8322 0,9140 1,2897 0,8506 0,9694 1,3461 0,8690 1,0280

1,1373 0,7958 0,8125 1,1861 0,8142 0,8625 1,2372 0,8326 0,9152 1,2909 0,8510 0,9707 1,3473 0,8694 1,0293

1,1384 0,7962 0,8136 1,1872 0,8146 0,8636 1,2384 0,8330 0,9163 1,2921 0,8514 0,9719 1,3486 0,8698 1,0306

1,1394 0,7966 0,8146 1,1883 0,8150 0,8647 1,2395 0,8334 0,9175 1,2933 0,8518 0,9732 1,3498 0,8702 1,0319

1,1404 0,7970 0,8157 1,1894 0,8154 0,8659 1,2407 0,8338 0,9187 1,2945 0,8522 0,9744 1,3511 0,8706 1,0332

1,1415 0,7974 0,8168 1,1905 0,8158 0,8670 1,2418 0,8342 0,9199 1,2957 0,8526 0,9756 1,3524 0,8710 1,0345

1,1425 0,7978 0,8178 1,1915 0,8162 0,8681 1,2429 0,8346 0,9211 1,2969 0,8530 0,9769 1,3536 0,8714 1,0358

1,1436 0,7982 0,8189 1,1926 0,8166 0,8692 1,2441 0,8350 0,9222 1,2981 0,8534 0,9781 1,3549 0,8718 1,0371

1,1446 0,7986 0,8200 1,1937 0,8170 0,8703 1,2452 0,8354 0,9234 1,2993 0,8538 0,9794 1,3562 0,8722 1,0385

1,1456 0,7990 0,8210 1,1948 0,8174 0,8715 1,2464 0,8358 0,9246 1,3005 0,8542 0,9806 1,3574 0,8726 1,0398

1,1467 0,7994 0,8221 1,1959 0,8178 0,8726 1,2475 0,8362 0,9258 1,3017 0,8546 0,9819 1,3587 0,8730 1,0411

1,1477 0,7998 0,8232 1,1970 0,8182 0,8737 1,2487 0,8366 0,9270 1,3029 0,8550 0,9831 1,3600 0,8734 1,0424

1,1488 0,8002 0,8242 1,1981 0,8186 0,8748 1,2498 0,8370 0,9282 1,3041 0,8554 0,9844 1,3612 0,8738 1,0438

1,1498 0,8006 0,8253 1,1992 0,8190 0,8760 1,2510 0,8374 0,9294 1,3053 0,8558 0,9857 1,3625 0,8742 1,0451

1,1509 0,8010 0,8264 1,2003 0,8194 0,8771 1,2521 0,8378 0,9305 1,3066 0,8562 0,9869 1,3638 0,8746 1,0464

1,1519 0,8014 0,8275 1,2014 0,8198 0,8782 1,2533 0,8382 0,9317 1,3078 0,8566 0,9882 1,3651 0,8750 1,0477

1,1530 0,8018 0,8285 1,2025 0,8202 0,8794 1,2544 0,8386 0,9329 1,3090 0,8570 0,9894 1,3663 0,8754 1,0491

1,1540 0,8022 0,8296 1,2036 0,8206 0,8805 1,2556 0,8390 0,9341 1,3102 0,8574 0,9907 1,3676 0,8758 1,0504

1,1551 0,8026 0,8307 1,2047 0,8210 0,8816 1,2568 0,8394 0,9353 1,3114 0,8578 0,9920 1,3689 0,8762 1,0517

Mode 0Mode 0 Mode 0 Mode 0 Mode 0


Master 1


8 / 43

Suite annexe A


1,3702 0,8766 1,0531 1,4308 0,8950 1,1163 1,4948 0,9134 1,1833 1,5624 0,9318 1,2541 1,6340 0,9502 1,3293

1,3715 0,8770 1,0544 1,4322 0,8954 1,1177 1,4962 0,9138 1,1847 1,5639 0,9322 1,2557 1,6356 0,9506 1,3310

1,3728 0,8774 1,0558 1,4335 0,8958 1,1192 1,4976 0,9142 1,1862 1,5654 0,9326 1,2573 1,6372 0,9510 1,3327

1,3740 0,8778 1,0571 1,4349 0,8962 1,1206 1,4991 0,9146 1,1877 1,5669 0,9330 1,2589 1,6388 0,9514 1,3344

1,3753 0,8782 1,0584 1,4362 0,8966 1,1220 1,5005 0,9150 1,1893 1,5685 0,9334 1,2605 1,6404 0,9518 1,3361

1,3766 0,8786 1,0598 1,4376 0,8970 1,1234 1,5020 0,9154 1,1908 1,5700 0,9338 1,2621 1,6420 0,9522 1,3378

1,3779 0,8790 1,0611 1,4390 0,8974 1,1248 1,5034 0,9158 1,1923 1,5715 0,9342 1,2637 1,6436 0,9526 1,3394

1,3792 0,8794 1,0625 1,4403 0,8978 1,1263 1,5048 0,9162 1,1938 1,5730 0,9346 1,2653 1,6453 0,9530 1,3411

1,3805 0,8798 1,0638 1,4417 0,8982 1,1277 1,5063 0,9166 1,1953 1,5746 0,9350 1,2669 1,6469 0,9534 1,3428

1,3818 0,8802 1,0652 1,4431 0,8986 1,1291 1,5077 0,9170 1,1968 1,5761 0,9354 1,2685 1,6485 0,9538 1,3445

1,3831 0,8806 1,0665 1,4444 0,8990 1,1306 1,5092 0,9174 1,1983 1,5776 0,9358 1,2701 1,6501 0,9542 1,3463

1,3844 0,8810 1,0679 1,4458 0,8994 1,1320 1,5106 0,9178 1,1998 1,5791 0,9362 1,2717 1,6517 0,9546 1,3480

1,3857 0,8814 1,0692 1,4472 0,8998 1,1334 1,5121 0,9182 1,2013 1,5807 0,9366 1,2733 1,6534 0,9550 1,3497

1,3870 0,8818 1,0706 1,4485 0,9002 1,1349 1,5135 0,9186 1,2029 1,5822 0,9370 1,2749 1,6550 0,9554 1,3514

1,3883 0,8822 1,0720 1,4499 0,9006 1,1363 1,5150 0,9190 1,2044 1,5838 0,9374 1,2765 1,6566 0,9558 1,3531

1,3896 0,8826 1,0733 1,4513 0,9010 1,1377 1,5164 0,9194 1,2059 1,5853 0,9378 1,2782 1,6583 0,9562 1,3548

1,3909 0,8830 1,0747 1,4527 0,9014 1,1392 1,5179 0,9198 1,2074 1,5868 0,9382 1,2798 1,6599 0,9566 1,3565

1,3922 0,8834 1,0760 1,4540 0,9018 1,1406 1,5193 0,9202 1,2090 1,5884 0,9386 1,2814 1,6615 0,9570 1,3582

1,3935 0,8838 1,0774 1,4554 0,9022 1,1421 1,5208 0,9206 1,2105 1,5899 0,9390 1,2830 1,6632 0,9574 1,3600

1,3948 0,8842 1,0788 1,4568 0,9026 1,1435 1,5223 0,9210 1,2120 1,5915 0,9394 1,2846 1,6648 0,9578 1,3617

1,3962 0,8846 1,0801 1,4582 0,9030 1,1450 1,5237 0,9214 1,2136 1,5930 0,9398 1,2863 1,6665 0,9582 1,3634

1,3975 0,8850 1,0815 1,4596 0,9034 1,1464 1,5252 0,9218 1,2151 1,5946 0,9402 1,2879 1,6681 0,9586 1,3652

1,3988 0,8854 1,0829 1,4610 0,9038 1,1479 1,5266 0,9222 1,2166 1,5961 0,9406 1,2895 1,6697 0,9590 1,3669

1,4001 0,8858 1,0843 1,4624 0,9042 1,1493 1,5281 0,9226 1,2182 1,5977 0,9410 1,2912 1,6714 0,9594 1,3686

1,4014 0,8862 1,0856 1,4638 0,9046 1,1508 1,5296 0,9230 1,2197 1,5992 0,9414 1,2928 1,6730 0,9598 1,3704

1,4027 0,8866 1,0870 1,4651 0,9050 1,1522 1,5311 0,9234 1,2213 1,6008 0,9418 1,2944 1,6747 0,9602 1,3721

1,4041 0,8870 1,0884 1,4665 0,9054 1,1537 1,5325 0,9238 1,2228 1,6024 0,9422 1,2961 1,6764 0,9606 1,3738

1,4054 0,8874 1,0898 1,4679 0,9058 1,1551 1,5340 0,9242 1,2244 1,6039 0,9426 1,2977 1,6780 0,9610 1,3756

1,4067 0,8878 1,0912 1,4693 0,9062 1,1566 1,5355 0,9246 1,2259 1,6055 0,9430 1,2994 1,6797 0,9614 1,3773

1,4080 0,8882 1,0925 1,4707 0,9066 1,1581 1,5370 0,9250 1,2275 1,6070 0,9434 1,3010 1,6813 0,9618 1,3791

1,4094 0,8886 1,0939 1,4721 0,9070 1,1595 1,5384 0,9254 1,2290 1,6086 0,9438 1,3026 1,6830 0,9622 1,3808

1,4107 0,8890 1,0953 1,4735 0,9074 1,1610 1,5399 0,9258 1,2306 1,6102 0,9442 1,3043 1,6847 0,9626 1,3826

1,4120 0,8894 1,0967 1,4749 0,9078 1,1625 1,5414 0,9262 1,2321 1,6118 0,9446 1,3059 1,6863 0,9630 1,3843

1,4134 0,8898 1,0981 1,4763 0,9082 1,1640 1,5429 0,9266 1,2337 1,6133 0,9450 1,3076 1,6880 0,9634 1,3861

1,4147 0,8902 1,0995 1,4778 0,9086 1,1654 1,5444 0,9270 1,2352 1,6149 0,9454 1,3093 1,6897 0,9638 1,3878

1,4160 0,8906 1,1009 1,4792 0,9090 1,1669 1,5459 0,9274 1,2368 1,6165 0,9458 1,3109 1,6914 0,9642 1,3896

1,4174 0,8910 1,1023 1,4806 0,9094 1,1684 1,5474 0,9278 1,2384 1,6181 0,9462 1,3126 1,6930 0,9646 1,3914

1,4187 0,8914 1,1037 1,4820 0,9098 1,1699 1,5489 0,9282 1,2399 1,6197 0,9466 1,3142 1,6947 0,9650 1,3931

1,4200 0,8918 1,1051 1,4834 0,9102 1,1713 1,5504 0,9286 1,2415 1,6212 0,9470 1,3159 1,6964 0,9654 1,3949

1,4214 0,8922 1,1065 1,4848 0,9106 1,1728 1,5519 0,9290 1,2431 1,6228 0,9474 1,3176 1,6981 0,9658 1,3967

1,4227 0,8926 1,1079 1,4862 0,9110 1,1743 1,5534 0,9294 1,2446 1,6244 0,9478 1,3192 1,6998 0,9662 1,3985

1,4241 0,8930 1,1093 1,4877 0,9114 1,1758 1,5549 0,9298 1,2462 1,6260 0,9482 1,3209 1,7015 0,9666 1,4002

1,4254 0,8934 1,1107 1,4891 0,9118 1,1773 1,5564 0,9302 1,2478 1,6276 0,9486 1,3226 1,7031 0,9670 1,4020

1,4268 0,8938 1,1121 1,4905 0,9122 1,1788 1,5579 0,9306 1,2494 1,6292 0,9490 1,3243 1,7048 0,9674 1,4038

1,4281 0,8942 1,1135 1,4919 0,9126 1,1803 1,5594 0,9310 1,2510 1,6308 0,9494 1,3259 1,7065 0,9678 1,4056

1,4295 0,8946 1,1149 1,4934 0,9130 1,1818 1,5609 0,9314 1,2525 1,6324 0,9498 1,3276 1,7082 0,9682 1,4074

Mode 0 Mode 0Mode 0 Mode 0 Mode 0


Master 1


9 / 43

Annexe B: Cartes de champs du guide étudié à 1550nm et 1310nm

carte de champ dans la direction vertical

0,0000

0,1000

0,2000

0,3000

0,4000

0,5000

0,6000

0,7000

0,8000

0,9000

1,0000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

x en µm

Am

pli

tud

e d

u c

ha

mp

E (

(a.u

.)

Ey1550

EY1310

1/e

carte de champ dans la direction horizontale

0,0000

0,1000

0,2000

0,3000

0,4000

0,5000

0,6000

0,7000

0,8000

0,9000

1,0000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

y en µm

Am

pli

tud

e d

u c

ha

mp

E (

(a.u

.)

Ey1550

EY1310

1/e

Master 1


10 / 43

Annexe C

Spécifications de la SMF28.

Master 1


11 / 43

TD n°3 Cavités Optiques

Etude d’une cavité plan-concave.

On considère une cavité laser plan-concave de longueur L=0,5m, constituée d’un miroir

concave de rayon de courbure R=1m. La longueur d’onde du rayonnement émis est de

1.064µm.

1. Ecrire la matrice ABCD décrivant un aller retour dans cette cavité.

2. A quelle condition un rayon lumineux restera confiné dans cette cavité.

3. En déduire la condition de stabilité en fonction des paramètres de la matrice ABCD.

4. A quelle condition un faisceau gaussien pourra osciller dans cette cavité. En déduire la

forme du front d’onde au niveau des miroirs.

5. En déduire la position z0 du waist et sa taille w0.

6. Déterminer la taille du faisceau sur les miroirs.

Pompage optique d’une cavité concave-concave symétrique par une diode laser fibrée.

On considère une cavité laser concave-concave de longueur L et constituée de miroirs

concaves de rayon de courbure R. Le milieu amplificateur est un barreau de verre dopée

Erbium, ce qui permet une émission laser à 1.55µm. L’indice de réfraction du barreau

amplificateur égale à 1,5. Les miroirs sont collés au barreau et sont haute transmission pour

la pompe, et haute réflexion pour le faisceau laser (1.55µm) L’inversion de population est

obtenue par pompage. Ce pompage optique est réalisé par une diode laser fibrée émettant à

980nm. La longueur d’onde d’émission du laser est 1.55µm. On supposera dans tout le

problème que le faisceau de pompe n’est pas modifié lors de sa propagation à travers les

miroirs et négligera l’épaisseur des miroirs. R=150mm.

1. Etablir la condition de stabilité d'une telle cavité.

2. En utilisant la condition d’oscillation d’un faisceau gaussien dans la cavité et la

symétrie du problème, donner la position du waist du faisceau gaussien.

3. Donner les caractéristiques du faisceau au centre de cette cavité (voir annexe) et sur

les miroirs pour une cavité de 30 mm de long, on tiendra compte qu’un faisceau

gaussien diverge moins dans un milieu d’indice n que dans le vide. Tracer

schématiquement la propagation (taille) du faisceau dans la cavité.

4. On colle la diode de pompe à la cavité, donner sur caractéristiques du faisceau de

pompe au centre de cette cavité et sur les miroirs une cavité de 30 mm long. Tracer

schématiquement la propagation (taille) du faisceau de pompe dans la cavité.

5. Pensez-vous que ce pompage est optimum ? Expliquer votre réponse.

6. Afin de réaliser un pompage optique plus efficace, il nécessaire d'adapter la forme du

faisceau laser de pompage afin que son recouvrement avec le mode laser de la cavité

soit maximale. Pour cela on va utiliser une lentille que l’on va coller à la cavité.

Master 1


12 / 43

Déterminer la propagation du faisceau de pompe dans la cavité laser dans le cas d’une

lentille de focalisation de focale 2mm et 3mm.

7. Quelle lentille choisissez-vous pour effectuer le pompage.

Couplage d’un faisceau laser dans une fibre optique

On considère une cavité laser symétrique de longueur L=0,5m, constituée de deux miroirs

sphériques de rayon de courbure R=2m. La longueur d’onde du rayonnement émis est de

1.064µm. Le laser peut fonctionner sur un mode gaussien stable si les rayons de courbure du

faisceau sont adaptés aux rayons de courbure des miroirs délimitant la cavité.

1. Calculer la position z0 du col du faisceau laser (position du waist w0), son waist et le

paramètre de Rayleigh ZR associé.

2. Quelle est la taille du faisceau sur les miroirs.

3. On doit transporter ce faisceau à une centaine de mètre pour expérience. Pour cela, on

va utiliser une fibre optique. Le profil d’intensité dans une fibre monomode est

également Gaussien, et pour une fibre standard monomode (HI1060 Corning), on a

wfibre=7µm à la longueur d’onde de 1µm. La quantité d’énergie injectée dans la fibre

va dépendre de la ressemblance (taille et forme) entre les champs électromagnétique à

l’entrée de la fibre optique et dans la fibre optique. La fibre est placée à 10cm de la

sortie du laser calculer le couplage entre la fibre et le laser. On donne l’expression du

coefficient de couplage:

4. Afin d’augmenter ce couplage on va focaliser le faisceau laser à l’entrée de la fibre

optique avec une lentille de 11mm de focale placé juste à la sortie du laser. Calculer le

nouveau waist, ainsi que ça position. On utilisera pour cela (p et p’ non orienté) :

2222

02

0

22

0'

0

'1

'

1'

1'

'et

'

'

'

'

f

z

f

p

f

p

f

p

wfp

fw

zfp

fww

RR

5. Ou doit-on placée la fibre pour avoir le maximum de couplage. Calculer ce nouveau

coefficient de couplage.

Master 1


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Annexes TD n°3

Master 1


14 / 43

Corrigé TD n°1 Optique Guidée

I. Guide à gradient d'indice.

Soit un guide plan multimode à gradient d'indice symétrique et invariant selon l'axe oz. On veut utiliser ce guide pour confiner la lumière et réaliser une cavité optique en mettant de part et d’autre de ce guide des miroirs métalliques. La dépendance l'indice de réfraction n(x) est parabolique, tel que:

62,5µm a

0,01

cœur) du maximum (indice 1,5 n

: avec

a xpour 1)(

a xpour 1)( c

2

c

c

nxn

a

xnxn

1. Déterminer l’angle limite à l’entrée du guide pour lequel on a propagation.

On a ici un cœur à gradient d’indice, on peut modéliser ce cœur par une

succession de strates d’indice de réfraction différent. Avec la strate

d’indice le plus élevé en x=0. Au fur et à mesure que l’on s’éloigne du guide

l’angle de propagation d’un rayon lumineux diminue (on prend l’angle par

rapport à l’horizontal, axe de propagation du guide) pour arriver au cas

limité ou il est nul propagation selon z. on dit alors que l’on a un point

tournant la lumière repart vers le centre guide, c'est-à-dire x=0. Si on met

tout cela en équation on a :

2

2

2

1

10

1

2

2

sinsin '

SI fibre que identique cosou d'

)( limite Cas

:nantpoint tourdu Existance

)()0(cos)0(ou d' )(cos)()0(cos)0(

soit x quelque Constante)(cos)(

nnON

nnONoud

n

nar

nxn

xnnxxnn

xxn

ric

r

TP

TP

L’angle limite de propagation est donc l’angle θic

2. En déduire l'ouverture numérique de ce guide. Voir ci-dessus

Master 1


15 / 43

On veut déterminer la trajectoire des rayons lumineux dans ce guide. On suppose que les rayons sont suffisamment inclinés sur l'axe pour que l'on puisse identifier l'élément différentiel d'abscisse curviligne ds avec l'élément différentiel dz dans les équations de propagation.

3. Déterminez l'équation de propagation des rayons lumineux dans le guide optique.

On utilisera pour cela l'équation Iconale rngradrurnds

d)()( .

Le vecteur est un vecteur unitaire qui porte l’élément de trajectoire ds d’un

rayon. La propagation se faire dans le plan xz, on peut donc projeter ce

vecteur selon les axes x et y. Si on tient compte de plus que l’indice de

réfraction ne dépend que de x, on a alors :

egénéralisé Descarte-Snell (2) cos

(1) sin

:ou d'

n(x)n(r)

unitaire)(vecteur sincos)(

)()(

z

z

zz

xnds

d

dx

xdnxn

ds

d

xzru

rngradrurnds

d

4. Le gradient étant faible, on peut considérer que n(r)=nc. On considère qu'en z=0, x=0. A partir de ces considérations, déterminez la fonction qui décrit la propagation d'un rayon lumineux dans le guide optique.

σ

z)(θ

n

nσ : xdéduit que) on en (θ

n

nσd'ou B

)(θn

n)(θ ) en z(θ

dz

dx

d'ou A xEn z

σ

zB

σ

zAx

n n avec σ

x

dz

xd

σ

xn

dz

xdn

Δ

ae σ on pos

a

xΔn

dz

xdn

a

xΔnnx avec n

dx

xdn

dz

xdxsoit: n

dx

xdn

dz

dxxn

dz

d ) devient:alors (

dz ds et dz

dxθθ re que: On considè

) (dx

xdnθxn

ds

d

icic

icz

zz

z

sinsinsin

sinsin0sin

000

sincos

00

202

0

1

tansin

1sin

1

0

1

0

1

00

122

2

212

2

212

2

2

2

112

2

Master 1


16 / 43

5. Expliquez pourquoi d’une cavité réalisée avec un guide à gradient d'indice les fréquences de résonances correspondants aux deux parcours extrêmes par sont plus proche l’un de l’autre que dans le cas d'un guide à saut d'indice.

On peut remarquer que les parcours les plus long se fond dans un milieu de

plus bas indice et vis versa. On a alors égalisation des temps de parcours

entre les différents chemins possibles pour la lumière. On peut également

dire que l’on égalisation des chemin optique (L.n). or c’est ces chemins

optique qui vont déterminer la distance entre les pics de résonance des deux

parcours extrêmes. Donc de ce fait les résonances seront plus proches

l’une de l’autre dans le cas de la fibre à gradient d’indice.

6. Voyez vous une autre application pour ce principe d’égalisation des temps de parcours.

Une autre application est l’égalisation des temps de parcours dans fibre

optique afin de limiter la déformation de l’information. En effet,

l’information à transporter va se répartir sur l’ensemble des parcours de

possibles ce qui va se traduire par une déformation de celle-ci dans le temps

(or il s’agit d’une information temporelle, modulation dans le temps) sauf si

on arrive à égaliser les temps de parcours possibles

II. Comparaison de deux guides plans.

Soit 2 guides plans réalisés dans la même technologie. Cette technologie permet de réaliser des guides à saut d’indice. L’indice de cœur est 1.48 et l’indice du substrat est de 1.46. Le superstrat est l’air. On considère uniquement la polarisation TE et la longueur de 1.55µm. Le guide 1 fait une épaisseur de 2 µm et le guide 2 fait une épaisseur de 5µm.

1. Quelle est dans ce guide la condition limite de guidage.

La condition limite de guidage correspond au cas l’angle de propagation

solution de l’équation de dispersion ne satisfait plus la condition de réflexion

totale.


a nguide

nsubstrat

x

nsuperstrat nsuperstrat=1

nguide=1.48

nsubstrat=1.46

a1=2µm

a2=5µm

Master 1


17 / 43

2. Est ce que ces guides sont monomodes aux =1.3µm, =1.55µm.

Pour un guide asymétrique l'expression de l'épaisseur de coupure est:

2

1

2

2

1

2

2

2

2

1

2

2

1

2

2

2

2

1

2

2

1

2

2

garctanm

2où d' m garctan- 2.2

gc

gc

gg

m

gc

gg

c

gc

c

nn

nn

nn

nn

nn

n

nnn

On en déduit:

ng1 ng2 nc lambda (µm) m 2r coupure (µm) d/lambda

1,4600 1,0000 1,4800 1,5500 1,0000 4,566062668 2,945846882

1,4600 1,0000 1,4800 1,3000 1,0000 3,829600947 2,945846882

Le guide 1 est donc monomode et le guide 2 est donc multimode (au bimode).

3. S’ils ne sont pas monomode, quel est alors le nombre de mode. Quelle épaisseur

doit faire le guide pour être monomode?

Pour déterminer le nombre de mode du guide 2 on traite les cas m>1.


1,4600 1,0000 1,4800 1,3000 2,0000 6,510155768 5,007812129

Le mode 2 n'est pas guidé, le guide 2 supporte alors deux modes. On traite

la longueur d'onde la plus critique. Si le mode 2 n'est pas guidé à =1.3µm

alors il est n'est pas guidé à =1.55µm. Pour être monomode le guide doit faire une épaisseur de:

4.5µm pour =1.55µm

3.8µm pour =1.3µm 4. En déduire, le sens de variation du nombre de mode en fonction de l'épaisseur a.

Le nombre de mode augmente quand a augmente.

Master 1


18 / 43

Soit 2 guides plans d’épaisseur 4µm, mais le confinement de la lumière est assuré

par un n différent. L’indice de substrat et de superstrat est de 1.46 pour les deux guides. L’indice de cœur est de 1.48 pour le guide 1 et de 1.47 pour le guide 2. On considère uniquement la polarisation TE et la longueur de 1.55µm.

4. Est ce ces guides sont monomodes aux =1.3µm, =1.55µm?

Pour un guide asymétrique l'expression de l'épaisseur de coupure est:

2

1

2

2

1

2

2

m2où d' m 2.

2

gc

m

c

gc

c

nnn

nnn

On en déduit:


1,4600 1,4600 1,4800 1,3000 1,0000 2,680554821 2,061965247

1,4600 1,4600 1,4800 1,5500 1,0000 3,196046133 2,061965247

1,4600 1,4600 1,4800 1,3000 2,0000 5,361109642 4,123930494

1,4600 1,4600 1,4800 1,3000 2,0000 5,361109642 4,123930494

1,4600 1,4600 1,4700 1,5500 1,0000 4,527598343 2,921031189

1,4600 1,4600 1,4700 1,3000 1,0000 3,797340546 2,921031189

Le guide 2 est donc monomode à 1.55µm mais pas à 1.3µm. Le guide 1 est

donc multimode (ou bimode). 5. S’ils ne sont pas monomodes sur quels paramètres on peut jouer pour qu’ils le

deviennent? Donner une application numérique.

On peut jouer sur l'épaisseur du guide ou sur le n.

6. En déduire, le sens de variation du nombre de mode en fonction du n.

Le nombre de mode augmente quand n augmente.


a nguide

nsubstrat

x

nsuperstrat nsuperstrat= nsubstrat =1.46

n1guide=1.48

n2guide =1.47

a=4µm

Master 1


19 / 43

Corrigé TD n°2 Optique Guidée

Réalisation d'un guide optique monomode Vous travaillez dans une entreprise qui réalise des composants d'optiques intégrées passifs. La

technologie utilisée permet de réaliser des guides optiques de largeur limitée à saut d'indice

enterrés (figure 1). Votre chef vous demande de déterminer les paramètres de fabrication d'un

guide optique fonctionnant sur la plage de longueur d'onde [1260,1560]nm. Pour être

performante, ce guide doit présenter un minimum de pertes et doit être compatible avec la

fibre monomode SMF28. En raison du faible n, on ne distinguera pas le cas TE du cas TM.

I Paramètres du guide optique.

Le guide optique enterré obtenu par la technologie utilisée est représenté sur la figure 1.

a = à déterminer

d = à déterminer

b=5µm

n=1.46 et n=0.003

figure 1: guide étudié.

NB: d = distance entre la surface et le centre du guide

a) dimensions transverses du guide optique.

Le guide optique doit être monomodes. On doit donc déterminer les dimensions

transverses des guides optiques afin de satisfaire cette condition de monomodicité. Afin de

simplifier l'étude de ce guide de largeur limitée, on va se ramener à l'étude de 2 guides

planaires symétriques à partir de la méthode de l'indice effectif. On traitera la dimension

verticale (figure 2) en premier, puis la dimension horizontale.

figure 2: guide plan étudié pour la dimension verticale.

1) Est-ce que ce guide est monomode aux longueurs d'onde souhaitées dans la direction

verticale?

On veut savoir si le guide planaire de la figure 2 est monomode à 1260nm et 1560nm, pour

cela on va calculer la fréquence normalisée V à ces deux longueurs d'onde.

ng1 ng2 nc d=2r lambda (µm) V

1,4600 1,4600 1,4630 5,0000 1,5600 0,9429

1,4600 1,4600 1,4630 5,0000 1,2600 1,1674

a

b n+n

n d

b=5µm n+n

n d

Master 1


20 / 43

D'après des courbes de dispersion donnée dans l'annexe A, on remarque que pour ces

valeurs de V on a une seule valeur de U possible. Le guide planaire de la figure 2 est donc

monomode à ces deux longueurs d'onde.

2) Déterminer la longueur d'onde de coupure du premier mode d'ordre supérieur dans la

direction verticale.

La longueur d'onde du premier mode d'ordre supérieur du guide planaire de la figure 2 est

donnée par, cela correspond à V=pi/2:

4 22

m

nn gc

m

avec m=1, on a donc:

ng1 ng2 nc d=2r mlambda coupure

(µm)

1,4600 1,4600 1,4630 5,0000 1,0000 0,936429389

Le guide est donc monomode jusqu'à la longueur d'onde de 0.93nm

En conclusion, le guide de largeur limitée est monomode dans la dimension verticale jusqu'à

la jusqu'à la longueur d'onde de 0.93nm

3) Montrer qu'à partir de la méthode de l'indice effectif l'étude du guide de largeur limité

peut être ramenée à l'étude du guide planaire de largeur a, d'indice de gaine 1.46 et

d'indice de cœur: nc=1,4616 pour =1260nm, , nc=1,4613 pour = 1560nm. Vous

utiliserez pour cela la fréquence normalisée V et les paramètres U et W vus en cours. (Cf

annexe A).

La méthode de l'indice effectif permet de ramener l'étude d'un problème 2D à l'étude de

2 problèmes 1D, c'est à dire à l'étude de 2 guides plans. Elle très utilisée en optique

guidée et donne de très bon résultats sur les indices effectif des modes guidés.

Dans notre cas du fait que le guide est enterré, on se ramener à l'étude de deux guides

planaire symétrique. Le premier guide plan correspond à la dimension verticale, c'est à dire

au guide plan suivant:

A partir de l'annexe A on en déduit les valeur de U ou de W pour les valeur de V calculée

précédemment, on a:

Master 1


21 / 43

V U W V U W

1,1678 0,8074 0,8437 0,9426 0,7130 0,6166

neff^2 neff^2 neff^2 neff^2

2,1362 2,1362 2,1354 2,1353

neff neff neff neff

1,4616 1,4616 1,4613 1,4613

1,2600 1,5600

neff est obtenu à partir de :

D'où : neff(1260)= 1,4616 et neff(1550)= 1,4613

L'indice effectif le plus élevé correspond de la longueur d'onde la plus basse, comme on

l'a vu en cours.

Le second guide planaire à étudier est donc un guide de a de largeur, d'indice de gaine

1.46 et d'indice de cœur:

nc=1,4616 pour =1260nm,

nc=1,4613 pour =1560nm,

4) Déterminer la largeur a optimum (on prendra une valeur entière en µm) pour que le guide

soit monomode aux longueurs d'onde souhaitées avec le meilleur confinement possible.

Pour un composant intégré plus compacte possible, on doit passer les courbures les plus

petites possibles, ce qui signifie que l'on doit avoir les champs les plus confinés possibles et

donc avoir les indice effectif les élevés possibles. Ceci correspond à une largeur "a" la plus grande possible tout en restant monomode aux longueurs d'onde souhaitée. La longueur

d'onde pour la quelle on va devenir multimode en premier est 1260nm. La largeur "a" optimum doit alors être juste inférieur à l'épaisseur de coupure du premier mode d'ordre

supérieur du guide planaire à 1260 nm.

Cette épaisseur de coupure est donnée par:

2

m2

22

gc

m

nn

avec m=1, on a:

ng1 ng2 nc lambda (µm) m 2r coupure (µm)

1,4600 1,4600 1,4616 1,2600 1,0000 9,214466176

La largeur "a" optimum est donc de 9µm. le guide largeur limité aura donc une épaisseur de

5µm et une largeur de 9µm.

5) Déterminer dans ce cas les indices effectifs des modes guidés à 1260nm et 1560nm.

Pour déterminer les indices effectifs des modes guidés à 1260 et 1560nm, on calcule V à

ces longueurs d'onde et à partir de l'annexe A, on en déduit U et W, puis neff. on a

2

avec et W U 222222 betknnknk effgc

Master 1


22 / 43

ng1 ng2 nc d=2r lambda (µm) V 2V/piNombre de

mode TEdeltan %

1.4600 1.4600 1.4613 9.0000 1.5500 1.1241 0.7156 1.0000 -0.0445

1.4600 1.4600 1.4616 9.0000 1.2600 1.5342 0.9767 1.0000 -0.0548

W1= #DIV/0! W2= #DIV/0! U= #DIV/0!

V U W V U W V U W

1.5342 0.9242 1.2244 1.1241 0.7906 0.7989

neff^2 neff^2 neff^2 neff^2 neff^2 neff^2

#VALEUR! #VALEUR! 2.1346 2.1346 2.1335 2.1335

neff neff neff neff theta neff neff

#VALEUR! #VALEUR! 1.4610 1.4610 1.1232 1.4607 1.4607

1.5500U= 1.2600

D'où : neff(1260)= 1,4610

neff(1550)= 1,4607

b) Profondeur d'enterrage du guide optique (direction verticale).

Le guide optique présentera peu de pertes si le champ électromagnétique guidé ne voit pas

la surface de la puce optique. Les guides optiques doivent être alors enterrés à une profondeur

suffisante pour cela. On considéra que le champ électrique ne voit plus la surface de la puce

lorsque son amplitude au niveau de la surface est inférieur à 1% de son maximum

d'amplitude.

6) Expliquer pourquoi le champ électromagnétique guidé ne doit pas voir la surface de la

puce optique pour avoir de bonnes performances optiques. (il y a 2 raisons importantes)

Si on n’a pas un bon isolement optique avec la surface alors on va avoir des pertes dû à des

phénomène de diffraction engendré par des rugosité à la surface de la puce:

Etat de surface rugosité.Interaction avec la surface diffraction.

Pertes de surface. Pertes de propagation.

Erad

E1.8µm E0.8µm

La seconde raison est que cela permet de symétriser le champ et donc d'améliorer les

pertes de couplage avec une fibre qui présente un champs bien circulaire.

7) Donner les expressions du champ électrique dans un guide planaire symétrique pour les

modes pairs.

Les expressions du champ électrique dans le guide sont:

1 Xpour Wexp

XWexp)X(E

1 Xpour Ucos

UXcos)X(E

:e)(symétriqu pairs modes lesPour

y

y

xX

Master 1


23 / 43

8) A partir de ces expressions de champs déterminer la profondeur d'enterrage d (distance

entre la surface et le centre du guide) permettant d'avoir un bon isolement du champ

électrique avec la surface de la puce optique à 1260nm et à 1560nm. En déduire qu'une

profondeur d'enterrage de 20µm permet d'avoir un bon isolement optique avec la surface.

Ici, on s'intéresse de nouveau à la direction verticale, on reprend donc l'étude du guide

planaire de la figure 2, et va uniquement s'intéresser à la longueur d'onde la moins

confinée, c'est à dire 1560nm. On a donc:

V U W

0,9428 0,7131 0,6167

1,5600

On en déduite que le maximum d'amplitude est donné en x=0 et est égale à 1.3222:

La profondeur d'enterrage pour avoir un bon isolement optique est donc donné par la valeur

de X pour laquelle Ey=0.01*1.3222.

Soit:

W

1.3222*0.01ln-1Xsoit

1 Xpour 1.3222*0.01*exp Xexp

WW

D'ou X=8.02 soit x= 20µm.

On en déduire que qu'une profondeur d'enterrage de 20µm permet d'avoir un bon isolement

optique avec la surface.

9) A partir des expressions du champ dans un guide symétrique retrouver les résultats des

cartes de champs données en annexes B. On assimilera les modes guidées à des faisceaux

gaussiens asymétrique de largeur wx et wy . Dans ce cas, on peut montrer que le couplage

entre deux faisceaux gaussiens est égale à :

22 2

2

2

1

21

2

2

2

1

21

yy

yy

xx

xxyx

ww

ww

ww

ww

Dans la direction verticale on a :

1.2600 1.5500

V U W V U W

1.1674 0.8074 0.8437 0.9490 0.7130 0.6166


2.1362 2.1362 2.1354 2.1353

neff neff theta neff neff

1.4616 1.4616 2.5355 1.4613 1.4613

x % x %

1.7735 36.0000 2.2041 36.0000

d enterrage diamètre d enterrage diamètre

4.4337 8.8674 5.5103 11.0207

Master 1


24 / 43

Dans la direction horizonale on a :

1.2600 1.5500

V U W V U W

1.5342 0.9242 1.2244 1.1241 0.7906 0.7989


2.1346 2.1346 2.1335 2.1335

neff neff theta neff neff

1.4610 1.4610 1.1232 1.4607 1.4607

x % x %

1.4206 36.0000 1.8385 36.0000

d enterrage diamètre d enterrage diamètre

6.3925 12.7851 8.2731 16.5462

D'après l'annexe B on a: w1x=5.4µm et w1y=8.2µm @1550nm

D'après l'annexe C on a: w2x=5.2µm et w2y=5.2µm @1550nm

Ce qui donne: =0.9 soit 10% de pertes ou encore -0.44dB de pertes @1550nm.

D'après l'annexe B on a: w1x=4.4µm et w1y=6.4µm @1310nm

D'après l'annexe C on a: w2x=4.6µm et w2y=4.6µm @1310nm


10) Déterminer alors les pertes de couplage entre ce guide et une fibre SMF28 pour cela les

spécifications de la SMF28 données en annexe C. Vous exprimerez votre résultat en dB.

Comment peut on améliorer ce couplage?


Ce qui donne: =0.95 soit 10% de pertes ou encore -0.22dB de pertes @1310nm

c) Amélioration du couplage optiques.

11) Montrer que le guide suivant (n=0.005 au lieu de 0.003, technologie concurrente à celle

de la société dans laquelle vous travaillez) permet d'améliorer considérablement les pertes

de couplage à 1550nm.

a = 6µm

d = 20µm

b=5µm

n=1.46 et n=0.005

Pour cela, on déterminera la taille du mode dans la dimension verticale et horizontale, en

utilisant la méthode de l'indice effectif. Vous traiterez en premier la direction verticale.

Pour cette étude on réutilise la méthode de l'indice effectif afin de déterminer U et W

dans les directions verticales et horizontales à 1550nm. On connaît alors le champ

a

b n+n

n d

Master 1


25 / 43

électrique et on peut donc en déduire la largeur à 1/e, c'est à dire à 36% du maximum

d'amplitude.

On a dans la dimension verticale:

ng1 ng2 nc d=2r lambda (µm) V 2V/piNombre de

mode TEdeltan %

1,4600 1,4600 1,4650 5,0000 1,5500 1,2256 0,7802 1 -0,1709

V U W

1,2259 0,8286 0,9035

neff^2 neff^2

2,1395 2,1395

neff neff

1,4627 1,4627

x %

1,6972 36,0000

largeur 1/e diamètre

4,2431 8,4862

1,5500

On a dans la dimension horizontale:

ng1 ng2 nc d=2rlambda

(µm)V 2V/pi

Nombre de

mode TEdeltan %

1,4600 1,4600 1,4627 6,0000 1,5500 1,0717 0,6823 1 -0,0909

V U W

1,0838 0,7746 0,7580

neff^2 neff^2

2,1355 2,1355

neff neff

1,4613 1,4613

x %

1,9047 36,0000

d enterrage diamètre

5,7141 11,4282

1,5500

on a donc: w1x=4.3µm et w1y=5.8µm

D'après l'annexe C on a: w2x=5.2µm et w2y=5.2µm

Ce qui donne: =0.975 soit 10% de pertes ou encore -0.1dB de pertes

Master 1


26 / 43

Annexe A

Courbes de dispersion

Master 1


27 / 43

Suite annexe A

##


0,9000 0,6926 0,5747 0,9384 0,7110 0,6124 0,9783 0,7294 0,6520 1,0199 0,7478 0,6936 1,0634 0,7662 0,7373

0,9008 0,6930 0,5755 0,9392 0,7114 0,6132 0,9792 0,7298 0,6528 1,0209 0,7482 0,6945 1,0643 0,7666 0,7383

0,9016 0,6934 0,5763 0,9401 0,7118 0,6140 0,9801 0,7302 0,6537 1,0218 0,7486 0,6954 1,0653 0,7670 0,7393

0,9024 0,6938 0,5771 0,9409 0,7122 0,6149 0,9810 0,7306 0,6546 1,0227 0,7490 0,6964 1,0663 0,7674 0,7403

0,9032 0,6942 0,5779 0,9418 0,7126 0,6157 0,9819 0,7310 0,6555 1,0236 0,7494 0,6973 1,0672 0,7678 0,7412

0,9041 0,6946 0,5787 0,9426 0,7130 0,6166 0,9827 0,7314 0,6564 1,0246 0,7498 0,6982 1,0682 0,7682 0,7422

0,9049 0,6950 0,5795 0,9435 0,7134 0,6174 0,9836 0,7318 0,6573 1,0255 0,7502 0,6992 1,0692 0,7686 0,7432

0,9057 0,6954 0,5803 0,9443 0,7138 0,6183 0,9845 0,7322 0,6582 1,0264 0,7506 0,7001 1,0701 0,7690 0,7442

0,9065 0,6958 0,5811 0,9452 0,7142 0,6191 0,9854 0,7326 0,6591 1,0274 0,7510 0,7010 1,0711 0,7694 0,7452

0,9074 0,6962 0,5819 0,9460 0,7146 0,6200 0,9863 0,7330 0,6599 1,0283 0,7514 0,7020 1,0721 0,7698 0,7462

0,9082 0,6966 0,5827 0,9469 0,7150 0,6208 0,9872 0,7334 0,6608 1,0292 0,7518 0,7029 1,0730 0,7702 0,7471

0,9090 0,6970 0,5835 0,9478 0,7154 0,6217 0,9881 0,7338 0,6617 1,0301 0,7522 0,7038 1,0740 0,7706 0,7481

0,9098 0,6974 0,5843 0,9486 0,7158 0,6225 0,9890 0,7342 0,6626 1,0311 0,7526 0,7048 1,0750 0,7710 0,7491

0,9107 0,6978 0,5851 0,9495 0,7162 0,6234 0,9899 0,7346 0,6635 1,0320 0,7530 0,7057 1,0760 0,7714 0,7501

0,9115 0,6982 0,5859 0,9503 0,7166 0,6242 0,9908 0,7350 0,6644 1,0330 0,7534 0,7067 1,0769 0,7718 0,7511

0,9123 0,6986 0,5868 0,9512 0,7170 0,6251 0,9917 0,7354 0,6653 1,0339 0,7538 0,7076 1,0779 0,7722 0,7521

0,9131 0,6990 0,5876 0,9521 0,7174 0,6259 0,9926 0,7358 0,6662 1,0348 0,7542 0,7086 1,0789 0,7726 0,7531

0,9140 0,6994 0,5884 0,9529 0,7178 0,6268 0,9935 0,7362 0,6671 1,0358 0,7546 0,7095 1,0799 0,7730 0,7541

0,9148 0,6998 0,5892 0,9538 0,7182 0,6276 0,9944 0,7366 0,6680 1,0367 0,7550 0,7104 1,0809 0,7734 0,7551

0,9156 0,7002 0,5900 0,9547 0,7186 0,6285 0,9953 0,7370 0,6689 1,0376 0,7554 0,7114 1,0818 0,7738 0,7561

0,9165 0,7006 0,5908 0,9555 0,7190 0,6293 0,9962 0,7374 0,6698 1,0386 0,7558 0,7123 1,0828 0,7742 0,7571

0,9173 0,7010 0,5916 0,9564 0,7194 0,6302 0,9971 0,7378 0,6707 1,0395 0,7562 0,7133 1,0838 0,7746 0,7580

0,9181 0,7014 0,5925 0,9573 0,7198 0,6311 0,9980 0,7382 0,6716 1,0405 0,7566 0,7142 1,0848 0,7750 0,7590

0,9190 0,7018 0,5933 0,9581 0,7202 0,6319 0,9989 0,7386 0,6725 1,0414 0,7570 0,7152 1,0858 0,7754 0,7600

0,9198 0,7022 0,5941 0,9590 0,7206 0,6328 0,9998 0,7390 0,6734 1,0424 0,7574 0,7161 1,0868 0,7758 0,7610

0,9206 0,7026 0,5949 0,9599 0,7210 0,6336 1,0007 0,7394 0,6743 1,0433 0,7578 0,7171 1,0878 0,7762 0,7621

0,9215 0,7030 0,5957 0,9607 0,7214 0,6345 1,0016 0,7398 0,6752 1,0442 0,7582 0,7180 1,0887 0,7766 0,7631

0,9223 0,7034 0,5966 0,9616 0,7218 0,6354 1,0025 0,7402 0,6761 1,0452 0,7586 0,7190 1,0897 0,7770 0,7641

0,9232 0,7038 0,5974 0,9625 0,7222 0,6362 1,0034 0,7406 0,6770 1,0461 0,7590 0,7199 1,0907 0,7774 0,7651

0,9240 0,7042 0,5982 0,9634 0,7226 0,6371 1,0043 0,7410 0,6780 1,0471 0,7594 0,7209 1,0917 0,7778 0,7661

0,9248 0,7046 0,5990 0,9642 0,7230 0,6380 1,0053 0,7414 0,6789 1,0480 0,7598 0,7219 1,0927 0,7782 0,7671

0,9257 0,7050 0,5999 0,9651 0,7234 0,6388 1,0062 0,7418 0,6798 1,0490 0,7602 0,7228 1,0937 0,7786 0,7681

0,9265 0,7054 0,6007 0,9660 0,7238 0,6397 1,0071 0,7422 0,6807 1,0499 0,7606 0,7238 1,0947 0,7790 0,7691

0,9274 0,7058 0,6015 0,9669 0,7242 0,6406 1,0080 0,7426 0,6816 1,0509 0,7610 0,7247 1,0957 0,7794 0,7701

0,9282 0,7062 0,6023 0,9677 0,7246 0,6414 1,0089 0,7430 0,6825 1,0518 0,7614 0,7257 1,0967 0,7798 0,7711

0,9290 0,7066 0,6032 0,9686 0,7250 0,6423 1,0098 0,7434 0,6834 1,0528 0,7618 0,7267 1,0977 0,7802 0,7721

0,9299 0,7070 0,6040 0,9695 0,7254 0,6432 1,0107 0,7438 0,6844 1,0538 0,7622 0,7276 1,0987 0,7806 0,7731

0,9307 0,7074 0,6048 0,9704 0,7258 0,6441 1,0116 0,7442 0,6853 1,0547 0,7626 0,7286 1,0997 0,7810 0,7742

0,9316 0,7078 0,6057 0,9712 0,7262 0,6449 1,0126 0,7446 0,6862 1,0557 0,7630 0,7296 1,1007 0,7814 0,7752

0,9324 0,7082 0,6065 0,9721 0,7266 0,6458 1,0135 0,7450 0,6871 1,0566 0,7634 0,7305 1,1017 0,7818 0,7762

0,9333 0,7086 0,6073 0,9730 0,7270 0,6467 1,0144 0,7454 0,6880 1,0576 0,7638 0,7315 1,1027 0,7822 0,7772

0,9341 0,7090 0,6082 0,9739 0,7274 0,6476 1,0153 0,7458 0,6890 1,0585 0,7642 0,7325 1,1037 0,7826 0,7782

0,9350 0,7094 0,6090 0,9748 0,7278 0,6484 1,0162 0,7462 0,6899 1,0595 0,7646 0,7334 1,1047 0,7830 0,7793

0,9358 0,7098 0,6098 0,9757 0,7282 0,6493 1,0172 0,7466 0,6908 1,0605 0,7650 0,7344 1,1057 0,7834 0,7803

0,9367 0,7102 0,6107 0,9765 0,7286 0,6502 1,0181 0,7470 0,6917 1,0614 0,7654 0,7354 1,1067 0,7838 0,7813

0,9375 0,7106 0,6115 0,9774 0,7290 0,6511 1,0190 0,7474 0,6927 1,0624 0,7658 0,7364 1,1077 0,7842 0,7823

Mode 0 Mode 0 Mode 0 Mode 0 Mode 0


Master 1


28 / 43

Suite annexe A


1,1087 0,7846 0,7833 1,1561 0,8030 0,8318 1,2058 0,8214 0,8828 1,2579 0,8398 0,9365 1,3126 0,8582 0,9932

1,1097 0,7850 0,7844 1,1572 0,8034 0,8329 1,2069 0,8218 0,8839 1,2591 0,8402 0,9377 1,3139 0,8586 0,9945

1,1107 0,7854 0,7854 1,1583 0,8038 0,8339 1,2080 0,8222 0,8851 1,2602 0,8406 0,9389 1,3151 0,8590 0,9958

1,1117 0,7858 0,7864 1,1593 0,8042 0,8350 1,2091 0,8226 0,8862 1,2614 0,8410 0,9401 1,3163 0,8594 0,9970

1,1127 0,7862 0,7875 1,1604 0,8046 0,8361 1,2103 0,8230 0,8873 1,2626 0,8414 0,9413 1,3175 0,8598 0,9983

1,1138 0,7866 0,7885 1,1614 0,8050 0,8372 1,2114 0,8234 0,8885 1,2637 0,8418 0,9425 1,3187 0,8602 0,9996

1,1148 0,7870 0,7895 1,1625 0,8054 0,8383 1,2125 0,8238 0,8896 1,2649 0,8422 0,9438 1,3200 0,8606 1,0008

1,1158 0,7874 0,7906 1,1636 0,8058 0,8394 1,2136 0,8242 0,8908 1,2661 0,8426 0,9450 1,3212 0,8610 1,0021

1,1168 0,7878 0,7916 1,1646 0,8062 0,8405 1,2147 0,8246 0,8919 1,2672 0,8430 0,9462 1,3224 0,8614 1,0034

1,1178 0,7882 0,7926 1,1657 0,8066 0,8415 1,2158 0,8250 0,8931 1,2684 0,8434 0,9474 1,3237 0,8618 1,0047

1,1188 0,7886 0,7937 1,1667 0,8070 0,8426 1,2169 0,8254 0,8942 1,2696 0,8438 0,9486 1,3249 0,8622 1,0060

1,1199 0,7890 0,7947 1,1678 0,8074 0,8437 1,2180 0,8258 0,8954 1,2708 0,8442 0,9498 1,3261 0,8626 1,0072

1,1209 0,7894 0,7957 1,1689 0,8078 0,8448 1,2192 0,8262 0,8965 1,2719 0,8446 0,9510 1,3274 0,8630 1,0085

1,1219 0,7898 0,7968 1,1699 0,8082 0,8459 1,2203 0,8266 0,8977 1,2731 0,8450 0,9522 1,3286 0,8634 1,0098

1,1229 0,7902 0,7978 1,1710 0,8086 0,8470 1,2214 0,8270 0,8988 1,2743 0,8454 0,9535 1,3298 0,8638 1,0111

1,1239 0,7906 0,7989 1,1721 0,8090 0,8481 1,2225 0,8274 0,9000 1,2755 0,8458 0,9547 1,3311 0,8642 1,0124

1,1250 0,7910 0,7999 1,1732 0,8094 0,8492 1,2237 0,8278 0,9012 1,2766 0,8462 0,9559 1,3323 0,8646 1,0137

1,1260 0,7914 0,8010 1,1742 0,8098 0,8503 1,2248 0,8282 0,9023 1,2778 0,8466 0,9571 1,3336 0,8650 1,0150

1,1270 0,7918 0,8020 1,1753 0,8102 0,8514 1,2259 0,8286 0,9035 1,2790 0,8470 0,9584 1,3348 0,8654 1,0163

1,1280 0,7922 0,8031 1,1764 0,8106 0,8525 1,2270 0,8290 0,9046 1,2802 0,8474 0,9596 1,3360 0,8658 1,0176

1,1291 0,7926 0,8041 1,1775 0,8110 0,8536 1,2282 0,8294 0,9058 1,2814 0,8478 0,9608 1,3373 0,8662 1,0188

1,1301 0,7930 0,8051 1,1785 0,8114 0,8547 1,2293 0,8298 0,9070 1,2826 0,8482 0,9620 1,3385 0,8666 1,0201

1,1311 0,7934 0,8062 1,1796 0,8118 0,8558 1,2304 0,8302 0,9081 1,2837 0,8486 0,9633 1,3398 0,8670 1,0214

1,1322 0,7938 0,8073 1,1807 0,8122 0,8569 1,2316 0,8306 0,9093 1,2849 0,8490 0,9645 1,3410 0,8674 1,0227

1,1332 0,7942 0,8083 1,1818 0,8126 0,8581 1,2327 0,8310 0,9105 1,2861 0,8494 0,9657 1,3423 0,8678 1,0240

1,1342 0,7946 0,8094 1,1829 0,8130 0,8592 1,2338 0,8314 0,9116 1,2873 0,8498 0,9670 1,3435 0,8682 1,0253

1,1353 0,7950 0,8104 1,1839 0,8134 0,8603 1,2350 0,8318 0,9128 1,2885 0,8502 0,9682 1,3448 0,8686 1,0267

1,1363 0,7954 0,8115 1,1850 0,8138 0,8614 1,2361 0,8322 0,9140 1,2897 0,8506 0,9694 1,3461 0,8690 1,0280

1,1373 0,7958 0,8125 1,1861 0,8142 0,8625 1,2372 0,8326 0,9152 1,2909 0,8510 0,9707 1,3473 0,8694 1,0293

1,1384 0,7962 0,8136 1,1872 0,8146 0,8636 1,2384 0,8330 0,9163 1,2921 0,8514 0,9719 1,3486 0,8698 1,0306

1,1394 0,7966 0,8146 1,1883 0,8150 0,8647 1,2395 0,8334 0,9175 1,2933 0,8518 0,9732 1,3498 0,8702 1,0319

1,1404 0,7970 0,8157 1,1894 0,8154 0,8659 1,2407 0,8338 0,9187 1,2945 0,8522 0,9744 1,3511 0,8706 1,0332

1,1415 0,7974 0,8168 1,1905 0,8158 0,8670 1,2418 0,8342 0,9199 1,2957 0,8526 0,9756 1,3524 0,8710 1,0345

1,1425 0,7978 0,8178 1,1915 0,8162 0,8681 1,2429 0,8346 0,9211 1,2969 0,8530 0,9769 1,3536 0,8714 1,0358

1,1436 0,7982 0,8189 1,1926 0,8166 0,8692 1,2441 0,8350 0,9222 1,2981 0,8534 0,9781 1,3549 0,8718 1,0371

1,1446 0,7986 0,8200 1,1937 0,8170 0,8703 1,2452 0,8354 0,9234 1,2993 0,8538 0,9794 1,3562 0,8722 1,0385

1,1456 0,7990 0,8210 1,1948 0,8174 0,8715 1,2464 0,8358 0,9246 1,3005 0,8542 0,9806 1,3574 0,8726 1,0398

1,1467 0,7994 0,8221 1,1959 0,8178 0,8726 1,2475 0,8362 0,9258 1,3017 0,8546 0,9819 1,3587 0,8730 1,0411

1,1477 0,7998 0,8232 1,1970 0,8182 0,8737 1,2487 0,8366 0,9270 1,3029 0,8550 0,9831 1,3600 0,8734 1,0424

1,1488 0,8002 0,8242 1,1981 0,8186 0,8748 1,2498 0,8370 0,9282 1,3041 0,8554 0,9844 1,3612 0,8738 1,0438

1,1498 0,8006 0,8253 1,1992 0,8190 0,8760 1,2510 0,8374 0,9294 1,3053 0,8558 0,9857 1,3625 0,8742 1,0451

1,1509 0,8010 0,8264 1,2003 0,8194 0,8771 1,2521 0,8378 0,9305 1,3066 0,8562 0,9869 1,3638 0,8746 1,0464

1,1519 0,8014 0,8275 1,2014 0,8198 0,8782 1,2533 0,8382 0,9317 1,3078 0,8566 0,9882 1,3651 0,8750 1,0477

1,1530 0,8018 0,8285 1,2025 0,8202 0,8794 1,2544 0,8386 0,9329 1,3090 0,8570 0,9894 1,3663 0,8754 1,0491

1,1540 0,8022 0,8296 1,2036 0,8206 0,8805 1,2556 0,8390 0,9341 1,3102 0,8574 0,9907 1,3676 0,8758 1,0504

1,1551 0,8026 0,8307 1,2047 0,8210 0,8816 1,2568 0,8394 0,9353 1,3114 0,8578 0,9920 1,3689 0,8762 1,0517

Mode 0Mode 0 Mode 0 Mode 0 Mode 0


Master 1


29 / 43

Suite annexe A


1,3702 0,8766 1,0531 1,4308 0,8950 1,1163 1,4948 0,9134 1,1833 1,5624 0,9318 1,2541 1,6340 0,9502 1,3293

1,3715 0,8770 1,0544 1,4322 0,8954 1,1177 1,4962 0,9138 1,1847 1,5639 0,9322 1,2557 1,6356 0,9506 1,3310

1,3728 0,8774 1,0558 1,4335 0,8958 1,1192 1,4976 0,9142 1,1862 1,5654 0,9326 1,2573 1,6372 0,9510 1,3327

1,3740 0,8778 1,0571 1,4349 0,8962 1,1206 1,4991 0,9146 1,1877 1,5669 0,9330 1,2589 1,6388 0,9514 1,3344

1,3753 0,8782 1,0584 1,4362 0,8966 1,1220 1,5005 0,9150 1,1893 1,5685 0,9334 1,2605 1,6404 0,9518 1,3361

1,3766 0,8786 1,0598 1,4376 0,8970 1,1234 1,5020 0,9154 1,1908 1,5700 0,9338 1,2621 1,6420 0,9522 1,3378

1,3779 0,8790 1,0611 1,4390 0,8974 1,1248 1,5034 0,9158 1,1923 1,5715 0,9342 1,2637 1,6436 0,9526 1,3394

1,3792 0,8794 1,0625 1,4403 0,8978 1,1263 1,5048 0,9162 1,1938 1,5730 0,9346 1,2653 1,6453 0,9530 1,3411

1,3805 0,8798 1,0638 1,4417 0,8982 1,1277 1,5063 0,9166 1,1953 1,5746 0,9350 1,2669 1,6469 0,9534 1,3428

1,3818 0,8802 1,0652 1,4431 0,8986 1,1291 1,5077 0,9170 1,1968 1,5761 0,9354 1,2685 1,6485 0,9538 1,3445

1,3831 0,8806 1,0665 1,4444 0,8990 1,1306 1,5092 0,9174 1,1983 1,5776 0,9358 1,2701 1,6501 0,9542 1,3463

1,3844 0,8810 1,0679 1,4458 0,8994 1,1320 1,5106 0,9178 1,1998 1,5791 0,9362 1,2717 1,6517 0,9546 1,3480

1,3857 0,8814 1,0692 1,4472 0,8998 1,1334 1,5121 0,9182 1,2013 1,5807 0,9366 1,2733 1,6534 0,9550 1,3497

1,3870 0,8818 1,0706 1,4485 0,9002 1,1349 1,5135 0,9186 1,2029 1,5822 0,9370 1,2749 1,6550 0,9554 1,3514

1,3883 0,8822 1,0720 1,4499 0,9006 1,1363 1,5150 0,9190 1,2044 1,5838 0,9374 1,2765 1,6566 0,9558 1,3531

1,3896 0,8826 1,0733 1,4513 0,9010 1,1377 1,5164 0,9194 1,2059 1,5853 0,9378 1,2782 1,6583 0,9562 1,3548

1,3909 0,8830 1,0747 1,4527 0,9014 1,1392 1,5179 0,9198 1,2074 1,5868 0,9382 1,2798 1,6599 0,9566 1,3565

1,3922 0,8834 1,0760 1,4540 0,9018 1,1406 1,5193 0,9202 1,2090 1,5884 0,9386 1,2814 1,6615 0,9570 1,3582

1,3935 0,8838 1,0774 1,4554 0,9022 1,1421 1,5208 0,9206 1,2105 1,5899 0,9390 1,2830 1,6632 0,9574 1,3600

1,3948 0,8842 1,0788 1,4568 0,9026 1,1435 1,5223 0,9210 1,2120 1,5915 0,9394 1,2846 1,6648 0,9578 1,3617

1,3962 0,8846 1,0801 1,4582 0,9030 1,1450 1,5237 0,9214 1,2136 1,5930 0,9398 1,2863 1,6665 0,9582 1,3634

1,3975 0,8850 1,0815 1,4596 0,9034 1,1464 1,5252 0,9218 1,2151 1,5946 0,9402 1,2879 1,6681 0,9586 1,3652

1,3988 0,8854 1,0829 1,4610 0,9038 1,1479 1,5266 0,9222 1,2166 1,5961 0,9406 1,2895 1,6697 0,9590 1,3669

1,4001 0,8858 1,0843 1,4624 0,9042 1,1493 1,5281 0,9226 1,2182 1,5977 0,9410 1,2912 1,6714 0,9594 1,3686

1,4014 0,8862 1,0856 1,4638 0,9046 1,1508 1,5296 0,9230 1,2197 1,5992 0,9414 1,2928 1,6730 0,9598 1,3704

1,4027 0,8866 1,0870 1,4651 0,9050 1,1522 1,5311 0,9234 1,2213 1,6008 0,9418 1,2944 1,6747 0,9602 1,3721

1,4041 0,8870 1,0884 1,4665 0,9054 1,1537 1,5325 0,9238 1,2228 1,6024 0,9422 1,2961 1,6764 0,9606 1,3738

1,4054 0,8874 1,0898 1,4679 0,9058 1,1551 1,5340 0,9242 1,2244 1,6039 0,9426 1,2977 1,6780 0,9610 1,3756

1,4067 0,8878 1,0912 1,4693 0,9062 1,1566 1,5355 0,9246 1,2259 1,6055 0,9430 1,2994 1,6797 0,9614 1,3773

1,4080 0,8882 1,0925 1,4707 0,9066 1,1581 1,5370 0,9250 1,2275 1,6070 0,9434 1,3010 1,6813 0,9618 1,3791

1,4094 0,8886 1,0939 1,4721 0,9070 1,1595 1,5384 0,9254 1,2290 1,6086 0,9438 1,3026 1,6830 0,9622 1,3808

1,4107 0,8890 1,0953 1,4735 0,9074 1,1610 1,5399 0,9258 1,2306 1,6102 0,9442 1,3043 1,6847 0,9626 1,3826

1,4120 0,8894 1,0967 1,4749 0,9078 1,1625 1,5414 0,9262 1,2321 1,6118 0,9446 1,3059 1,6863 0,9630 1,3843

1,4134 0,8898 1,0981 1,4763 0,9082 1,1640 1,5429 0,9266 1,2337 1,6133 0,9450 1,3076 1,6880 0,9634 1,3861

1,4147 0,8902 1,0995 1,4778 0,9086 1,1654 1,5444 0,9270 1,2352 1,6149 0,9454 1,3093 1,6897 0,9638 1,3878

1,4160 0,8906 1,1009 1,4792 0,9090 1,1669 1,5459 0,9274 1,2368 1,6165 0,9458 1,3109 1,6914 0,9642 1,3896

1,4174 0,8910 1,1023 1,4806 0,9094 1,1684 1,5474 0,9278 1,2384 1,6181 0,9462 1,3126 1,6930 0,9646 1,3914

1,4187 0,8914 1,1037 1,4820 0,9098 1,1699 1,5489 0,9282 1,2399 1,6197 0,9466 1,3142 1,6947 0,9650 1,3931

1,4200 0,8918 1,1051 1,4834 0,9102 1,1713 1,5504 0,9286 1,2415 1,6212 0,9470 1,3159 1,6964 0,9654 1,3949

1,4214 0,8922 1,1065 1,4848 0,9106 1,1728 1,5519 0,9290 1,2431 1,6228 0,9474 1,3176 1,6981 0,9658 1,3967

1,4227 0,8926 1,1079 1,4862 0,9110 1,1743 1,5534 0,9294 1,2446 1,6244 0,9478 1,3192 1,6998 0,9662 1,3985

1,4241 0,8930 1,1093 1,4877 0,9114 1,1758 1,5549 0,9298 1,2462 1,6260 0,9482 1,3209 1,7015 0,9666 1,4002

1,4254 0,8934 1,1107 1,4891 0,9118 1,1773 1,5564 0,9302 1,2478 1,6276 0,9486 1,3226 1,7031 0,9670 1,4020

1,4268 0,8938 1,1121 1,4905 0,9122 1,1788 1,5579 0,9306 1,2494 1,6292 0,9490 1,3243 1,7048 0,9674 1,4038

1,4281 0,8942 1,1135 1,4919 0,9126 1,1803 1,5594 0,9310 1,2510 1,6308 0,9494 1,3259 1,7065 0,9678 1,4056

1,4295 0,8946 1,1149 1,4934 0,9130 1,1818 1,5609 0,9314 1,2525 1,6324 0,9498 1,3276 1,7082 0,9682 1,4074

Mode 0 Mode 0Mode 0 Mode 0 Mode 0


Master 1


30 / 43

Annexe B: Cartes de champs du guide étudié à 1550nm et 1310nm

carte de champ dans la direction vertical

0,0000

0,1000

0,2000

0,3000

0,4000

0,5000

0,6000

0,7000

0,8000

0,9000

1,0000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

x en µm

Am

pli

tud

e d

u c

ha

mp

E (

(a.u

.)

Ey1550

EY1310

1/e

carte de champ dans la direction horizontale

0,0000

0,1000

0,2000

0,3000

0,4000

0,5000

0,6000

0,7000

0,8000

0,9000

1,0000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

y en µm

Am

pli

tud

e d

u c

ha

mp

E (

(a.u

.)

Ey1550

EY1310

1/e

Master 1


31 / 43

Annexe C

Spécifications de la SMF28.

Master 1


32 / 43

Corrigé TD n°3 Cavités optiques

I. Etude d’une cavité plan-concave.

On considère une cavité laser plan-concave de longueur L=0,5m, constituée d’un miroir

concave de rayon de courbure R=1m. La longueur d’onde du rayonnement émis est de

1.064µm.

7. Ecrire la matrice ABCD décrivant un aller retour dans cette cavité.

La géométrie de la cavité considérée est la suivante :

Les matrices ABCD permettant de décrire un AR dans la cavité laser sont la matrice ABCD d’une propagation sur une distance L, la matrice ABCD d’un miroir de rayon R. La matrice M représentant un AR dans la cavité est :

1. A quelle condition un rayon lumineux restera confiné dans cette cavité.

Un rayon lumineux restera confiné dans la cavité si à l’issu de N aller retour il est toujours dans la cavité. Autrement il faut que INaller-retour reste borné. C'est-à-dire : MNI0 reste borné. Pour résoudre ce problème on doit travailler dans la base des vecteurs propre car dans ce cas on a :INaller-retour =MNI0=a

N Ia+b

N Ib avec b et b les valeurs propres de la matrice M. La

condition de stabilité se ramène donc à l’étude de ces valeurs propres et plus précisément déterminer les conditions pour lesquelles elles restent

12

24

1

12

01

10

21

12

01

10

1

10

1 1

201

10

1

10

01

10

1 : Donc

R1det(M) 12

01

10

11

201

10

1

2

2

2

22

1

21

R

LR

L

R

LM

R

LL

R

LLM

R

L

R

LM

Master 1


33 / 43

inférieure à 1. On doit dans un premier temps déterminer l’expression de ces valeurs propres :

Dans le cas d’un examen s’il n’est pas demandé de refaire la démonstration, on peut donner directement cette expression.

2. En déduire la condition de stabilité en fonction des paramètres de la matrice ABCD.

La condition de stabilité est donc 110 2

R

L

110 :soit

12

1

4021

201

211

2 Donc

21

2 donca On

n.diffractiola defait du cavitéla dans pasrestera ne gaussien faisceau le alors

sicar acceptable pas solution ou 012

1 12

DA

complexessont si ou 12

DA si 1et 1aura a On

1222

4

) 1(det(M) 1Dcar 01 ou 04

124

:

0 ou 04

14

1

0det

12

24

1

det

R1det(M) 12

01

10

11

201

10

1

0)det( : que tel de valeursles cherche On

2

2

2

22

2

22

2

22

2

22

2

2

1

21

R

L

DADADADA

DAj

DA

RRLR

L

DADADADA

BCADAR

L

R

Lsoit

BCDAR

L

R

L

DC

BA

R

LR

L

R

L

R

L

M

N

Master 1


34 / 43

3. A quelle condition un faisceau gaussien pourra osciller dans cette cavité. En déduire la

forme du front d’onde au niveau des miroirs.

Un faisceau gaussien pourra osciller (état stationnaire) dans la cavité s’il se réfléchi sur lui-même au niveau des miroirs, c'est-à-dire qu’il repart comme il est arrivé. Cela sous entend que le rayon de courbure des miroirs et le front d’onde du faisceau gaussien a une courbure égale à celle des miroirs au niveau des miroirs.

Le rayon de courbure d’un faisceau gaussien après une propagation sur une

distance z par rapport à la position du waist est : 1

2

z

ZzzR R

Si on prend z=0 comme étant le milieu de la cavité et en posant z0 la position du waist on a :

R

zL

Zz

LR

zL

Zz

LR

R

R

2

12

2

12

2

0

02

2

0

01

On en déduit que la z0=-L/2, c'est-à-dire que le waist est situé sur le miroir plan, ce qui est logique car sur le miroir plan, le faisceau gaussien doit avoir un front d’onde plan, or ceci n’est possible qu’au waist du faisceau gaussien.

4. En déduire la position z0 du waist et sa taille w0.

On peut en déduire ZR : RL

ZL R

2

Soit : 5.0 LLRZR

Or on a : 2

0

wZR D’où : 411.5µm

5.0*10.064.1

6

0

RZw

On rappelle qu’il s’agit du rayon à 1/e en amplitude.

5. Déterminer la taille du faisceau sur les miroirs.

La taille du faisceau sur le miroir plan est donc une tache circulaire ayant un rayon de 411µm. Pour le miroir sphérique, on doit calculer le rayon de la tache après une propagation sur 0.5m. On a :

Master 1


35 / 43

2 w(L)donc 0.5m avec 1w(z) 0

2

0 wZZ

zw R

R

. Le rayon est donc de

582µm.

II. Pompage optique d’une cavité concave-concave symétrique par une diode laser fibrée.

On considère une cavité laser concave-concave de longueur L et constituée de miroirs

concaves de rayon de courbure R. Le milieu amplificateur est un barreau de verre dopée

Erbium, ce qui permet une émission laser à 1.55µm. L’indice de réfraction du barreau

amplificateur égale à 1,5. Les miroirs sont collés au barreau et sont haute transmission pour la

pompe, et haute réflexion pour le faisceau laser (1.55µm) L’inversion de population est

obtenue par pompage. Ce pompage optique est réalisé par une diode laser fibrée émettant à

980nm. La longueur d’onde d’émission du laser est 1.55µm. On supposera dans tout le

problème que le faisceau de pompe n’est pas modifié lors de sa propagation à travers les

miroirs et négligera l’épaisseur des miroirs. R=150mm.

1. Etablir la condition de stabilité d'une telle cavité.

Pour établir la condition de stabilité on doit déterminer la matrice ABCD permettant de décrire un AR dans la cavité laser. Les matrices nécessaires pour cela sont la matrice ABCD d’une propagation sur une distance L, la matrice ABCD d’un miroir de rayon R. La matrice M représentant un AR dans la cavité est :

La condition de stabilité correspond au cas ou un rayon ne diverge pas au

bout de N aller retour dans la cavité, ce qui revient à déterminer la condition

pour laquelle les valeurs propre de M sont complexes.

122

22

22

221

12

21

12

21

12

01

10

1

12

01

10

1 : Donc

150.0 R1det(M) 12

01

10

1

12

01

10

1

22

R

L

R

L

R

R

LL

R

L

R

L

M

R

LR

L

R

LR

L

R

L

R

LM

R

L

R

LM

complexessont si ou 12

DA si 1et 1aura a On

1222

4

) 1(det(M) 1Dcar 01 :

0 0det

0)det( : que tel de valeursles cherche On

22

2

N

DADADADA

BCADAsoit

BCDADC

BA

M

Master 1


36 / 43

On en déduit que : L<2R pour que la cavité soit stable.

2. En utilisant la condition d’oscillation d’un faisceau gaussien dans la cavité et la

symétrie du problème, donner la position du waist du faisceau gaussien.

Un faisceau gaussien pourra osciller (état stationnaire) dans la cavité s’il se réfléchi sur lui-même au niveau des miroirs, c'est-à-dire qu’il repart comme il est arrivé. Cela sous entend que le rayon de courbure des miroirs et le front d’onde du faisceau gaussien a une courbure égale à celle des miroirs au niveau des miroirs. Ici, les deux miroirs ont le même rayon de courbure ce qui veut dire que la distance parcourue par le faisceau gaussien depuis la position du waist doit être la même pour les deux miroirs. Le waist est donc situé au centre de la cavité.

012

1

2 122

10

12

10 220111 direà est c'

110 : doncest stabilité de conditionla 12

12

1

4

12

1

4021

201

211

2 Donc

21

2 donca On

n.diffractiola defait du cavitéla dans pasrestera ne gaussien faisceau le alors

sicar acceptable pas solution ou 0 12

DA

24

12

14

42

1

2

142

1

2

DA

22

2

2

2

2

22

R

L

R

L

RLR

L

R

L

R

L

R

L

R

L

R

L

R

L

R

L

R

LDA

DADADADA

DAj

DA

RRL

R

L

R

LR

L

R

L

R

LR

L

R

L

Master 1


37 / 43

Si on veut le faire de façon plus mathématique on a le rayon de courbure d’un faisceau gaussien après une propagation sur une distance z par rapport

à la position du waist est : 1

2

z

ZzzR R

Si on prend z=0 comme étant le milieu de la cavité et en posant z0 la position du waist on a :

0

2

2

2

2

0

2

12

2

12

2

12

2

12

0

2

0

0

2

0

2

0

0

2

0

0

2

0

02

2

0

01

zL

Zz

L

zL

Zz

L

zL

Zz

L

zL

Zz

L

R

zL

Zz

LR

R

zL

Zz

LR

RR

RR

R

R

On en déduit que z0=0, c'est-à-dire que le waist est situé au centre de la cavité, ce qui est logique étant donné la symétrie du problème.

3. Donner les caractéristiques du faisceau au centre de cette cavité (voir annexe) et sur

les miroirs pour une cavité de 30 mm de long, on tiendra compte qu’un faisceau

gaussien diverge moins dans un milieu d’indice n que dans le vide. Tracer

schématiquement la propagation (taille) du faisceau dans la cavité.

On peut en déduire ZR car 1

2

z

ZzzR R c'est-à-dre : R

L

ZL R 2

2

2

Soit :

15.022

LLRZR

Il reste à déterminer la longueur effective de propagation (longueur de propagation équivalente dans le vide), la divergence d’un faisceau gaussien

Master 1


38 / 43

est 0

0

w

dans le vide. Dans un milieu d’indice n, la vitesse de la lumière

étant différente longueur et la divergence changent.

et 0

0

0

00

wnwn

La longueur effective de propagation est donc : L/n (longueur de propagation dans le vide pour laquelle on aura la même taille de faisceau)

Or on a alors : 150mmet R 20 avec 22

mmL

LLRZ eff

effeff

R

On trouve ZR=37mm

2

0

wZR D’où : 137µm

10.37*10.55.1

36

0

RZw

On rappelle qu’il s’agit du rayon à 1/e en amplitude.

Le rayon du faisceau sur le miroir plan est donnée par :

m155.101.142) w(0.0donc 0.037m avec 1w(z) 6-

0

2

0

wZ

Z

zw R

R

.

Le rayon est donc de 155µm. Le faisceau ne s’élargie quasiment pas.

faisceau laser

0.00E+00

2.00E-02

4.00E-02

6.00E-02

8.00E-02

1.00E-01

1.20E-01

1.40E-01

1.60E-01

1.80E-01

2.00E-01

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

Longueur effective de propagation en mm

w(z

) en

mm

faisceau laser

4. On colle la diode de pompe à la cavité, donner sur caractéristiques du faisceau de

pompe au centre de cette cavité et sur les miroirs une cavité de 30 mm long. Tracer

schématiquement la propagation (taille) du faisceau de pompe dans la cavité.

Master 1


39 / 43

Le rayon du faisceau de pompe sur le miroir d’entrée est d’après l’annexe de 3µm. Et le rayon sur le miroir de sortie est donnée par :

2.08mmm2080.10w(0.02)

3µmet 98.0 :avec avec 1w(z)

6-

0

2

0

2

0

wµm

wZ

Z

zw R

R

.

On a un faisceau de pompe qui diverge énormément.

5. Pensez vous que ce pompage est optimum ? Expliquer votre réponse.

On a un très mauvais recouvrement entre le faisceau de pompe et le signal

laser, ce qui veut dire que la quasi-totalité de la pompe ne profite pas à

l’amplification laser.

6. Afin de réaliser un pompage optique plus efficace, il nécessaire d'adapter la forme du

faisceau laser de pompage afin que son recouvrement avec le mode laser de la cavité

soit maximale. Pour cela on va utiliser une lentille que l’on va coller à la cavité.

Déterminer la propagation du faisceau de pompe dans la cavité laser dans le cas d’une

lentille de focalisation de focale 2mm et 3mm.

D’après l’annexe avec une lentille de 2mm on a un faisceau gaussien au foyer

image de la lentille avec un waist e 106µm et avec une lentille de 3m on a

un faisceau gaussien au foyer image de la lentille avec un waist e 160µm.

On a alors dans la cavité :

Master 1


40 / 43

0.00E+00

2.00E-02

4.00E-02

6.00E-02

8.00E-02

1.00E-01

1.20E-01

1.40E-01

1.60E-01

1.80E-01

2.00E-01

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

Longueur effective de propagation en mm

w(z

) en

mm

Pompe focalisée f=2mm

Pompe focalisée f=3mm

faisceau laser

7. Quelle lentille choisissez-vous pour effectuer le pompage.

On remarque qu’avec la lentille de 3mm on a un faisceau de pompe qui

tjrs plus large que le faisceau laser tout en restant assez proche de

celui-ci. Donc si on veut un bon pompage il faut utiliser la lentille de

3mm.

Master 1


41 / 43

III. Couplage d’un faisceau laser dans une fibre optique

On considère une cavité laser symétrique de longueur L=0,5m, constituée de deux miroirs

sphériques de rayon de courbure R=2m. La longueur d’onde du rayonnement émis est de

1.064µm. Le laser peut fonctionner sur un mode gaussien stable si les rayons de courbure du

faisceau sont adaptés aux rayons de courbure des miroirs délimitant la cavité.

1. Calculer la position z0 du col du faisceau laser (position du waist w0), son waist et le

paramètre de Rayleigh ZR associé.

D’après la symétrie du problème on a avoir la même courbure sur les deux miroirs,

c’est dire que la distance entre la position z0 du col du faisceau laser et les miroirs est

la même pour les deux miroirs. La position z0 du col du faisceau laser est au centre

de la cavité.

Si on prend comme origine le sommet du miroir de gauche, on a :

0 0

2 2

0 00 0

2 22 2 2 200 0

0 0 0

0

et

1 et 1

et R

La solution vérifie bien l'équation ci dessu.2

R R

RR R

R z R R L z R

Z Zz R L z R

z L z

L z Zz Z z ZR

z L z z

Lz

Pour déterminer w0 on va utiliser l’égalité : RL

R

2

mw

Z

µmwL

RL

w

wZ

LR

LZR

LL

ZR

L

ZL

RL

R

R

RRRR

66.0

473soit 22

avec 22

12

2

2

12

2

2

0

0

2

0

2

0

22

2. Quelle est la taille du faisceau sur les miroirs.

µmZ

Lw

Z

zw

RR

50625)soit w(0, 2

11w(z)

2

2

0

2

2

0

2

Master 1


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3. On doit transporter ce faisceau à une centaine de mètre pour expérience. Pour cela, on

va utiliser une fibre optique. Le profil d’intensité dans une fibre monomode est

également Gaussien, et pour une fibre standard monomode (HI1060 Corning), on a

wfibre=7µm à la longueur d’onde de 1µm. La quantité d’énergie injectée dans la fibre

va dépendre de la ressemblance (taille et forme) entre les champs électromagnétique à

l’entrée de la fibre optique et dans la fibre optique. La fibre est placée à 10cm de la

sortie du laser calculer le couplage entre la fibre et le laser. On donne l’expression du

coefficient de couplage:

222222

yfibreylaser

yfibreylaser

xfibrexlaser

xfibrexlaser

yxww

ww

ww

ww

A 10cm de la sortie de la cavité le faisceau gaussien à parcouru 35cm, donc sa dimension

à l’entrée de la fibre est de 535µm.

wx wy wy1 wy2 x y couplage total

7 7 535 535 0,026164 0,026164 0,000684542

Le taux de couplage correspondant est de 0,068%:

4. Afin d’augmenter ce couplage on va focaliser le faisceau laser à l’entrée de la fibre

optique avec une lentille de 11mm de focale placé juste à la sortie du laser. Calculer le

nouveau waist, ainsi que ça position. On utilisera pour cela le formalisme des matrices

ABCD.

On a:

2222

02

0

22

0'

0

'1

'

1'

1'

'et

'

'

'

'

f

z

f

p

f

p

f

p

wfp

fw

zfp

fww

RR

On a f’=11mm, p=250mm, w0=0,473mm.

On a : p’=11,06mm w0’=7. 4µm

5. Ou doit-on placée la fibre pour avoir le maximum de couplage. Calculer ce nouveau

coefficient de couplage.

On doit placer la fibre à 11,06mm de la lentille et on a un couplage supérieur à 99%

(99.4%).

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