TD de gravimétrie L2STE corrigés - · PDF file1.1 Mesure du rayon de la...
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TD de gravimétrie L2STE corrigés
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1.1 Mesure du rayon de la Terre par Eratosthène
Eratosthene avait un outil qui mesurait les angles et les proprietes geometriques entre les angles etaient connus a cette epoque. Sachant que ombre/obelisque=7.2°=360/50 (on obtient 50), Eratosthene deduit que ce rapport etait identique a D
AS/R (AS=Distance Alexandrie – Syène).
● AS = 50 jours * 100 * 157.5m = 787.5 km●
● Le perimetre vaut donc
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1.2 Force de gravitation exercée par une planète sur un satellite
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1.2.b: Etablissement de la loi de Kepler
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1.2.c : Calcul de la masse de la Terre à partir de l'orbite de la lune
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1.2 d Altitude d'un satellite géostationnaire
1/3
R=4.175 e+7 m ~ 41 750 km
(en tenant compte des valeurs plus exactes de M et T, c'est ~ 35784 km)
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1.3 Chute libre et mesure de la gravité par Galilée
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Champ gravité d'une Terre sphérique
2.1 direction du champ de gravité crée par une planète
● Si on néglige l'effet de la rotation de la Terre, le champ de gravité ne dépend que de r.
● Si on prend en compte la rotation, g dépend également de la latitude (variation de 3%, cf Cours).
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2.2 Champ de gravité au sein de la Terre (on suppose la densité homogène)
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2.2 Champ de gravité à l'exterieur de la Terre (on suppose la densité homogène)
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2.3 A quelle altitude fautil s'élever pour que g diminue de 1%
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2.3 A quelle altitude fautil s'élever pour que g vale 1% de l'acceleration au sol ?
On definit r1= R+h, donc g
1=GM/r
1²
Et on cherche h tel que g1< GM/R²/100
Donc r1² > (10R)²
Donc h > 9R
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2.3 Calcul détaillé
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2.3 bis : Que vaut g à 10 km de profondeur ?
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2.4 : Calcul de la pression au sein de la Terre
En réalité, la pression atteint 360 GPa au centre de la Terre (ρ n'est pas homogene).
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3 La forme de la Terre : montrez que le gradient est perpendiculaire aux isovaleurs
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3.1 expression du potentiel crée par une masse m
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3.3 accélération en fonction de V
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● B : une meme équipotentielle est plus proche de M1 que de M2 => grad(V) plus important au voisinage de M1 : la gravité y est plus forte
● => M1 > M2
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4 Effets de l’altitude et de la topographie
Attention, dans cet exercice on demande des variations de pesanteur ∆g, ce qui est l'opposé de la correction à effectuer pour niveler ces variations.
- ∆g1 sur la plaine, loin de la falaise, au sommet d’une tour de hauteur h.∆g1 est plus faible que ∆g0 ici car plus loin du centre de la terre.∆g1=∆g0 – 0.3086h
- ∆g2 sur le plateau, loin de la falaise.Ici il y a en plus l'attraction du plateau qui est positive (masse en plus)∆g2=∆g0 – 0.3086h + 0.0419*d*h
- ∆g3 sur le plateau, loin de la falaise, au fond d’un puits de profondeur h.Il faut retrancher 2 fois la correction de plateau. D'une part, parce
qu'elle n'agit pas en ∆g0 (pas de plateau) et d'autre part, parce qu'elle agit dans le sens opposé (attraction vers le haut, vu que le plateau est au-dessus).
∆g3=∆g0 – 2*0.0419*d*h
- ∆g4 au pied de la falaise (calculer l’anomalie créée par un demi-plateau).∆g4=∆Dg0 – 0.0419*d*h
- ∆g5 au sommet de la falaise.∆g5=∆g0 - 0.3086h + 0.0419*d*h/2
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5. Isostasie
5.1 Relation entre epaisseur de racine (B) et topographie (h) en equilibre isostatique:
B = ρc .h /(ρ
mρ
c )
Poids de la colonne de reference: P1= ρ
c*H
c + ρ
m*H
m
Hc=30km , H
m arbitraire.
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5.2 Isostasie, relief dû à une nappe
5.2 Poids de la colonne P2= ρ
e*H
e + ρ
c*H
c + ρ
m*(H
m H
e+h
e),
He=10km.
P1=P
2 => h
e = (ρ
mρ
e )*H
e /ρ
m
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5.3 Isostasie, anomalies associées
Anomalie Air libre nulle
Anomalie isostatique (Bouguer) négative, corrélée avec l'enfoncement de la racine crustale….
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6. épave dans l'océan
● Comme L >> R, on peut supposer l'épave infiniment longue .
● Pour tout X on constate que du fait de la symétrie, les contibutions de la perturbation de g s'annulent sauf la
composante radiale
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6.2.a : Anomalie gravimétrique en M
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6.2.b : Rayon minimum de l'épave tel qu'on peut la détecter
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6.3 : anomalie radiale en fonction de X : déjà vu...
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6.4 : anomalie gravimétrique verticale
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6.4 Résultat
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7. Profondeur du plancher oceanique
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ELEMENTS DE COURS
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Les anomalies de gravité
● La gravité dépend de divers facteurs : Altitude, latitude, topographie en surface, structures profondes
● => On souhaiterait isoler ces différents facteurs.● => On introduit différentes corrections
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Correction d'altitude (Faye) = correction à l'air libre
● Quantifie la variation de g due à l'altitude ie la distance du point de mesure du géoide.
● Sur l'ellipsoide on a :
● A une altitude h :
● Avec un dévelopement limité:
Référence= géoïde
h
M
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Correction plateau● On quantifie la variation de g due à la matière
se trouvant entre l'ellipsoide et le point de mesure.
● On suppose une densité de 2.67● La matière entre l'ellipsoide contribue à la
gravité de la façon suivante : ●
Référence= géoïde
d
M
Cette correction tient compte de la densité,d,du matériel présent entre la surface deréférence et le point de mesure..
p
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Correction topographique
● Plutot que de supposer qu'entre le point de mesure et l'ellipsoide il y'a de la matière partout, on tient compte de la topographie réelle.
● Cette correction peut etre importante dans les zones à relief contrasté (montagnes).
Loin de la montagne
go
∆g
gmgo
gmont
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Correction Bouger
● Il s'agit de la somme des corrections d'altitude, de plateau et de topographie.
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Anomalie Bouguer et à l'air libre
● Anomalie à l'air libre : dépend de la masse sous le point de mesure, pas de son altitude.
● Anomalie Bouguer : information sur ce qu'il y'a en profondeur.
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Anomalie sous une dorsale océanique
● Anomalie à l'air libre faible : 80 mgal● Elle suit la topographie
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● Que doit valoir l'anomalie à l'air libre et l'anomalie de bouguer dans ces deux cas?
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● Si le relief est compensé en profondeur (équilibre isostasique) l'anomalie air libre est ~ 0 au milieu
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● Quelle est l'anomalie de Bouguer dans ce cas là ?
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Rappel de physique
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Rappel de physique : propriété de l'espacetemps
● L'espace est homogène : les lois de la physique sont pareil en tous points.
● L'espace est isotrope : les lois de la physique ne dépendent pas de l'orientation
● Les lois de la physique sont invariantes au cours du temps
● Un référentiel dans lequel l'espace temps respecte ces 3 propriétés est dit 'galiléen'.
● Tous les référentiels galiliéens sont mouvement de translation uniforme les un par rapport aux autres (i.e pas d'accélération)
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Lois de conservation (valable pour un système isolé)
● Espace homogène => conservation de la quantité de mouvement
● Espace isotrope => conservation du moment cinétique
● Conservation de l'énergie
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Conservation quantité de mouvement et principe d'inertie
● Un système isolé cad n'intéragissant pas avec d'autres objets a une quantité de mouvement
●
● => Si aucune force ne s'exerce sur un objet, il se déplace en mouvement rectiligne uniforme.
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Conservation quantité de mouvement et loi de Newton
● La quantité de mouvement d'un objet ne peut varier que si il en échange avec un autre objet.
● Les 'échanges' de quantité de mouvement se font par l'intermédiaire des forces :
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Remarque sur la conservation de la quantité de mouvement
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Remarque sur la loi de Newton
● Deux cas particuliers :
● F est dans la meme direction que V : le solide ne change pas de trajectoire, et sa vitesse augmente : la force augmente l'energie cinétique de l'objet
● F est perpendiculaire à V : la norme de V en m/s reste constante. Mais l'orientation de V change : la force dévie l'objet sans modifier son énergie cinétique
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● Conséquence : pour qu'une planète gravite autour d'un astre, la force de gravité s'exerce perpendiculairement à la trajectoire
● i.e : la force est perpendiculaire à la vitesse
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Deux formulations de la loi de Newton
● 1) variation de la quantité de mouvement d'un objet est proportionnelle aux forces s'exerçant sur lui
● 2) En chaque point de l'espace la quantité de mouvement qu'un objet peut échanger avec l'exterieur = champ de force en ce point
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Notion de champ en physique
● Définition. Lorsque dans une région de l’espace, on attache à chaque point une
grandeur scalaire ou vectorielle, on definit un champ.
● On peut définir des champs de température, gravité, électrique, vitesse d'un fluide ....
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Comment décrire un champ ?
● Deux notions permettent de décrire intégralement la structure et les propriétés d'un champ :
● Petite échelle : la divergence et le rotationnel ● Grande échelle : flux et la circulation du champ
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Pour la gravité :
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Théorème de Gauss en mécanique de fluide
nnV
V
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Théorème de Gauss en mécanique de fluide autour d'une source
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Théorème de Gauss en mécanique de fluide autour d'une source
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Théorème de Gauss en mécanique de fluide autour d'un puit
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Théorème de Gauss en mécanique de fluide autour d'un puit
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Sens physique du théorème de Gauss
● Le flux d'un champ de vecteur à travers une surface fermée est un scalaire: ● Positif si il y'a une source ● Negatif si il y'a un puit ● Nul si il y'a ni source ni puit
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Application à la physique
● La divergence d'un champ de vecteur représente le flux autour d'une surface fermée infinitésimal
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Application à la physique 2
● La divergence ou le flux de B sont nul, car le champ magnétique n'est pas créer par une particule matériel, mais par le mouvement d'une charge
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Qu'est ce que dS ?
● dS est la surface balayée lorsqu'on fait varier les axes d'une quantité infinitésimale
●
Coordonnée cartésienne : dS = dxdy =surface du carré obtenu lorsqu'on fait varier x de dxet y de dy
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dS en coordonnée sphérique
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Aire d'un disque
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dS en coordonnée sphérique
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Surface d'une sphère
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Lecture quasi obligatoire
● Cours physique feynmann : mécanique + electromagnétisme tome 1, chap 1 à 5
● Cours de Physique de Landau : tome 1, chapitre 1