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INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
CURSO SUPERIOR DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
SABRINE COSTA OLIVEIRA
ISOMETRIAS POR MEIO DE ATIVIDADES DIDÁTICAS ENVOLVENDO
BORDADO EM PONTO CRUZ: INVESTIGANDO A PRODUÇÃO DE ALUNOS
Vitória
2014
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SABRINE COSTA OLIVEIRA
ISOMETRIAS POR MEIO DE ATIVIDADES DIDÁTICAS ENVOLVENDO
BORDADO EM PONTO CRUZ: INVESTIGANDO A PRODUÇÃO DE ALUNOS
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado àCoordenadoria do Curso de Licenciatura em Matemáticado Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologiado Espírito Santo, como requisito parcial para obtençãodo título de Licenciado em Matemática.
Orientadora: Profª. Drª. Sandra Aparecida Fraga da Silva
Vitória
2014
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(Biblioteca Nilo Peçanha do Instituto Federal do Espírito Santo)
O48i Oliveira, Sabrine Costa.Isomerias por meio de atividades didáticas envolvendo
bordado em ponto cruz: investigando a produção de alunos /Sabrine Costa Oliveira. – 2014.
64 f. : il. ; 30 cm
Orientadora: Sandra Aparecida Fraga da Silva.
Monografia (graduação) – Instituto Federal do EspíritoSanto, Programa de Pós-graduação em Educação em Ciênciase Matemática.
1. Matemática – Estudo e ensino. 2. Ensino – Meiosauxiliares. 3. Matemática (Ensino fundamental). 4. Geometria. 5.Didática. I. Silva, Sandra Aparecida Fraga da. II. InstitutoFederal do Espírito Santo. III. Título.
CDD 21: 510.7
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DECLARAÇÃO DO AUTOR
Declaro, para fins de pesquisa acadêmica, didática e técnico-científica, que este
Trabalho de Conclusão de Curso pode ser parcialmente utilizado, desde que se faça
referência à fonte e ao autor.
Vitória, 03 de abril de 2014.
Sabrine Costa Oliveira
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A Bruno Ribeiro, por minha ausência durante a confecção
deste trabalho.
Ao meu irmão Mathews e amigos, pelo amor, dedicação e
incentivo nos momentos mais difíceis.
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AGRADECIMENTOS
A Deus, por mais esta oportunidade divina.
A professora e orientadora Sandra Fraga, pelas sábias orientações nos momentos
de dúvida.
A Bruno Ribeiro, pelo apoio e palavras de incentivo durante toda essa trajetória.
Aos meus Colegas de Turma, pelo companheirismo e pela troca de experiências
durante todos esses quatro anos.
Ao IFES e toda a equipe de mestres e professores, que de alguma forma
contribuíram para minha formação.
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Agradeço todas as dificuldades que enfrentei; não fosse por
elas, eu não teria saído do lugar. As facilidades nos impedem
de caminhar.
Chico Xavier
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RESUMO
Este trabalho analisou soluções de atividades didáticas sobre transformações
geométricas envolvendo o bordado em ponto cruz em duas turmas de 8º ano deuma escola estadual em Vitória/ES, parceira do PIBID/IFES. Por meio de uma
pesquisa qualitativa exploratória, examinamos as resoluções produzidas nas
atividades, bem como as estratégias utilizadas para resolvê-las e criamos categorias
para classificar as soluções. Para isso, formulou-se como questão de pesquisa:
quais resoluções são realizadas pelos alunos em atividades didáticas de
transformações geométricas envolvendo o bordado em ponto cruz? Para responder
essa questão, foram ministradas oito aulas para aplicação das atividades didáticascom participação de 28 alunos. Adotou-se como metodologia de pesquisa os
procedimentos descritos por Bardin (2009) e Cury (2007) sobre análise de conteúdo
e análise de erros, explorando três etapas básicas: pré-análise, exploração do
material e tratamento dos resultados. A pesquisa possui como instrumentos de
coletas de dados questionários, fotografias e apostilas com as resoluções das
atividades pelos alunos. Os resultados indicaram que, embora os alunos não
tivessem estudado os conceitos sobre transformações geométricas anteriormente,
eles se apropriaram de conceitos trabalhados de forma intuitiva e as atividades
realizadas proporcionaram um aprendizado dinâmico e criativo nas aulas de
geometria com a utilização dos bordados em ponto cruz. Com base nos erros
cometidos pelos alunos foi possível analisar e refletir sobre dificuldades de
aprendizagem do conteúdo de isometrias.
Palavras-chave: Transformações geométricas. Ponto cruz. Ensino de geometria.
Arte. Ensino de matemática.
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ABSTRACT
This study analyzed the learning activities involving geometric transformations
solutions on the embroidery in cross stitch in two classes of 8th year in a state schoolin Vitória/ES, partner PIBID/IFES. Through a qualitative exploratory study, we
examined the resolutions produced in the activities as well as the strategies used to
solve them and creating categories to classify the solutions. To this, was formulated
as a research question: what resolutions are performed by students in educational
activities involving geometric transformations embroidery in cross stitch? To answer
this question, was given eight lessons for implementation of educational activities
with the participation of 28 students. It was adopted as a research methodologyprocedures described by Bardin (2009) and Cury (2007) on content analysis and
error analysis, exploring three basic steps: pre-analysis, material exploration and
using the results. The research has as an instrument of data collection
questionnaires, photographs and handouts with the resolutions of activities by
students. The results indicated that although students had not studied the concepts
of geometric transformations previously, they have appropriated concepts worked
intuitively and activities provided a dynamic and creative learning in geometry
classes with the use of cross-stitch embroidery. Based on the errors committed by
the students was possible to analyze and reflect on learning difficulties of the content
of isometries.
Keywords: geometric transformations. Cross stitch. Teaching geometry. Art.
Teaching math.
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LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Translação do vetor AB. ........................................................................... 20
Figura 2 - Rotação do segmento OA. ........................................................................ 20
Figura 3 - Exemplos de reflexão do ponto O e do Triângulo ABC. ........................... 21
Figura 4 - Exemplo de reflexão deslizante do segmento AB. .................................... 22
Figura 5 - Gráfico de reflexão da cereja. ................................................................... 24
Figura 6 - Gráfico de reflexão das flores. .................................................................. 24
Figura 7 - Solução de atividade aluno 7 - 8º ano A. .................................................. 38
Figura 8 - Solução de atividade aluno 2 - 8º ano B. .................................................. 38
Figura 9 - Aluna utilizando espelho como recurso. .................................................... 39
Figura 10 - Aluna utilizando o visor do celular como recurso. ................................... 39
Figura 11 - Solução de atividade aluno 2 - 8º ano A. ................................................ 40
Figura 12 - Solução de atividade aluno 6 - 8º ano B. ................................................ 40
Figura 13 - Solução de atividade aluno 2 - 8º ano A. ................................................ 41
Figura 14 - Solução de atividade aluno 6 - 8º ano B. ................................................ 41
Figura 15 - Resolução da atividade de translação aluno 8 - 8º ano B. ...................... 42
Figura 16 - Resolução da atividade de translação aluno 4 - 8º ano A. ...................... 43
Figura 17 - Resolução da atividade aluno 4 – 8º ano A............................................. 43
Figura 18 - Solução de atividade aluno 6 - 8º ano A. ................................................ 43
Figura 19 - Solução de atividade aluno 5 - 8º ano A. ................................................ 45
Figura 20 - Solução de atividade aluno 3 - 8º ano A. ................................................ 45
Figura 21 - Solução de atividade aluno 2 - 8º ano A. ................................................ 45
Figura 22 - Solução de atividade aluno 3 - 8º ano A. ................................................ 45
Figura 23 - Solução de atividade aluno 1 - 8º ano B. ................................................ 46
Figura 24 - Solução de atividade aluno 4 - 8º ano A. ................................................ 46
Figura 25 - Solução de atividade aluno 4 - 8º ano A. ................................................ 47
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Figura 26 - Solução de atividade aluno 8 - 8º ano B. ................................................ 47
Figura 27 - Solução de atividade aluno 1 - 8º ano B. ................................................ 48
Figura 28 - Solução de atividade aluno 5 - 8º ano A. ................................................ 48 Figura 29 - Solução de atividade aluno 6 - 8º ano A. ................................................ 48
Figura 30 - Solução de atividade aluno 5 - 8º ano B. ................................................ 48
Figura 31 - Solução de atividade aluno 7 - 8º ano B. ................................................ 48
Figura 32 - Solução de atividade aluno 7 - 8º ano B. ................................................ 49
Figura 33 - Solução de atividade aluno 1 - 8º ano A. ................................................ 49
Figura 34 - Solução de atividade aluno 2 - 8º ano A. ................................................ 49
Figura 35 - Solução de atividade aluno 6 - 8º ano B. ................................................ 50
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LISTA DE QUADROS
Quadro 1 - Principais atividades realizadas durante a iniciação científica. ............... 27
Quadro 2 - Resumo das atividades desenvolvidas. .................................................. 30
Quadro 3 - Perguntas questionário 1. ....................................................................... 35
Quadro 4 - Distribuição dos tipos de Ocorrências. .................................................... 37
Quadro 5 – Parte da atividade de reflexão horizontal do cacho de uva. ................... 38
Quadro 6 - Parte da atividade de reflexão horizontal. ............................................... 40
Quadro 7 - Atividade de translação. .......................................................................... 42
Quadro 8 - Atividade de rotação. ............................................................................... 44
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SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 13
2 ESTUDO MATEMÁTICO DAS ISOMETRIAS ....................................................... 18
2.1 TRANSLAÇÃO .................................................................................................... 19
2.2 ROTAÇÃO ........................................................................................................... 20
2.3 REFLEXÃO ......................................................................................................... 21
2.4 REFLEXÃO DESLIZANTE ................................................................................... 21
3 ENSINO DE TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS ........................................... 23
4 METODOLOGIA .................................................................................................... 26
4.1 CAMPO DA PESQUISA ....................................................................................... 29
4.2 SUJEITOS DA PESQUISA .................................................................................. 29
4.3 ETAPAS DA PESQUISA ...................................................................................... 30
4.4 REGÊNCIA DAS AULAS ..................................................................................... 31
4.5 COLETA DE DADOS ........................................................................................... 32
4.5 ANÁLISE DOS DADOS ....................................................................................... 33
5 ANÁLISE DOS DADOS ......................................................................................... 35
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................... 51
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 54
APÊNDICE A – APOSTILA 1 .................................................................................... 56
APÊNDICE B – APOSTILA 2 .................................................................................... 62
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1 INTRODUÇÃO
Durante o ensino fundamental, de todas as disciplinas cursadas sempre obtive maior
destaque em Matemática. Essa afinidade era revelada em bons resultados nasprovas e na agilidade com que eu resolvia os exercícios. Daí, decidi ser professora
de matemática. O gosto por ensinar foi aguçado no ensino médio quando em
véspera de prova me reunia com colegas de classe para revisarmos o conteúdo.
Ao ingressar no curso de matemática no Ifes Campus Vitória só me entendi como
professora e pesquisadora após minha inserção em projetos de formação e
pesquisa que me mostraram outra realidade. Realidade essa que me faz entender
que o processo de aprendizagem dos alunos é tão importante quanto a minha
função de ensinar.
Em 2011, procurei a professora Drª Sandra Fraga a fim de me candidatar a uma
vaga no projeto de iniciação científica que envolvesse geometria. Conversando com
outros professores do curso, um deles o prof. Dr. Rony Freitas, surgiu a ideia de
explorar a matemática existente em algum tipo de artesanato. Como eu bordava
ponto cruz para confecção de artigos decorativos para cozinha, decidimos usarcomo objeto de pesquisa a matemática presente em bordados em ponto cruz.
Inicialmente ao investigar alguns gráficos de ponto cruz notamos que poderíamos
investigar as transformações geométricas existentes nestes bordados.
No período de junho de 2011 a julho de 2013, participei como voluntária de dois
projetos1 no Programa de Iniciação Científica desenvolvendo investigações sobre as
transformações geométricas estudadas por meio dos bordados em ponto cruz, sob
orientação da professora Sandra Aparecida Fraga da Silva.
1 O primeiro projeto intitulado “Materiais didáticos envolvendo matemática e diferentes bordadosmanuais de artesanato: investigando e explorando conceitos geométricos com alunos (as) doProeja”, para maiores informações ver em
http://pse.ifes.edu.br/prppg/pesquisa/jornadas/Jornada_2011_2012/anais/anais.htm. O segundoprojeto intitulado “Investigações sobre atividades didáticas desenvolvidas para o Pibid noLaboratório de Matemática do Ifes/Vitória” maiores informações ver emhttp://pse.ifes.edu.br/prppg/pesquisa/jornadas/Jornada_2012_2013/anais/anais.htm.
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Ao cursar a disciplina de Metodologia de Pesquisa, precisava definir meu projeto de
pesquisa para conclusão do curso e decidi dar continuidade ao estudo das
transformações geométricas por meio da arte de bordar ponto cruz.
Estudos mostram que a Geometria é pouco abordada em sala de aula (DANA, 1994;
MABUCHI, 2000). Muitos são os motivos que contribuem para este fato, dentre eles
podemos destacar que muitos dos professores que atuam no Ensino Fundamental
não tiveram, em sua formação inicial, a oportunidade de estudar os conteúdos da
Geometria ou, quando tiveram, vivenciaram estes conteúdos por meio das
demonstrações rigorosas, numa abordagem puramente axiomática e por isso não se
sentem à vontade para trabalhá-los em suas aulas (CATUNDA et al .,1988). Oestudo de conceitos geométricos, dado pelo rigor das demonstrações ou pela
valorização de símbolos e fórmulas, tornou a geometria de difícil compreensão para
os alunos da Educação Básica e até mesmo para os professores. Também é
importante destacar que esse rigor no ensino da geometria gerou um abandono e
um ensino superficial dos conceitos geométricos tanto no ensino básico quanto nas
universidades (VELOSO, 2012). A falta de conexão dos conceitos geométricos com
as formas e aplicações presentes no dia-a-dia conduzem ao abandono de seu
ensino nas salas de aula.
Catunda (1988) indica duas causas para a falta de compreensão dos conceitos
geométricos pelos alunos de ensino fundamental. Primeiro ele diz que o ensino da
geometria não se renovou e, por isso, perdeu seu vigor, a segunda causa
evidenciada por ele é que os professores não dominam os elementos da geometria,
influenciados pela geometria que eles tiveram e, por esse motivo, a retiram de seus
planos de aula. Outra causa evidenciada por Rita Bastos (2007) é que o tema dastransformações tem sido pouco abordado nas aulas de matemática em todos os
níveis de ensino. Ela afirma que o Movimento da Matemática Moderna – MMM
durante o século XX acabou com a geometria projetiva nos cursos superiores e em
consequência, poucos professores do ensino fundamental e médio têm
conhecimento nesse campo. Por essas causas, defendemos a importância da
formação continuada de professores no que tange conteúdos geométricos.
Pesquisas revelam que o conhecimento limitado do conteúdo matemático restringe a
capacidade do professor em promover uma aprendizagem conceitual entre os
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alunos (MA, 1999, apud GOMES, 2012). Nós, professores de matemática,
precisamos ter muitos saberes para ministrar as aulas de matemática e, além disso,
precisamos ter uma “visão integrada dos conteúdos matemáticos, recorrendo a um
mesmo conceito em diversos contextos matemáticos e fazer recurso a diversas
perspectivas ou abordagens” (ALBURQUERQUE et al ., 2008, p. 13). Esta
compreensão permite ao professor uma adaptação do ensino da matemática aos
seus alunos, tornando-o mais flexível e atrativo.
Dentre os conceitos geométricos que pouco é abordado em sala de aula,
destacamos o conteúdo de Transformações Geométricas no plano. Optamos por
trabalhar o tema Transformações Geométricas por julgar ser um dos conteúdos daGeometria que é de fácil compreensão e que permite explorar várias formas do
pensamento matemático, mas não tem se dado a devida importância a este
conteúdo não proporcionando um ensino e aprendizagem significativos nas aulas de
matemática.
A justificativa para a escolha deste tema tem base nas experiências vivenciadas nas
iniciações científicas e em observações realizadas no Programa Institucional de
Bolsas de Iniciação à Docência - PIBID, programa o qual fui bolsista por dois anos e
meio. Iniciamos a iniciação científica com leituras de artigos, dissertações e livros
que abordassem o tema de transformações geométricas e seus métodos de ensino.
Nessas leituras percebi inquietações de muitos autores ao afirmar que esse
conteúdo é raramente ensinado em todos os níveis de ensino, inclusive no ensino
superior. Mabuchi (2000) defende que as transformações geométricas são um rico
eixo orientador no trato da geometria, porém é pouquíssimo conhecido porque é
raramente utilizado. Minha inserção no PIBID serviu para comprovar esse fato,durante o período em que fui bolsista acompanhei professores de matemática de
ensino fundamental e médio e em nenhum momento presenciei aulas que
abordassem o tema. Por esse motivo no segundo projeto de iniciação científica
decidimos criar atividades didáticas para o ensino fundamental e aplicarmos nas
escolas parceiras do PIBID. Além disso, nas oficinas ministradas com professores e
licenciandos de matemática notamos a falta de conhecimento sobre o conteúdo de
transformações geométricas. Acreditamos na importância de o professor conheceros aspectos geométricos e algébricos das transformações geométricas para
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desenvolver em suas aulas uma aprendizagem significativa e motivar os alunos a
aprenderem esse conteúdo por meio de ferramentas que facilitem a aprendizagem.
Dentro desse contexto o presente trabalho tem como finalidade contribuir para areflexão docente da importância de ensinar o conteúdo de Transformações
Geométricas no ensino fundamental e em cursos de formação de professores. Para
isso elege como questão central:
Quais resoluções podem ser realizadas por alunos em atividades didáticas de
transformações geométricas2 com aplicações em gráficos de bordados de
ponto cruz?
Desta forma, a presente pesquisa tem por objetivo principal analisar soluções de
atividades didáticas de transformações geométricas com aplicações em
bordados de ponto cruz, correlacionando à discussão das atividades a partir das
resoluções de alunos do ensino fundamental, a identificação dos erros cometidos
pelos alunos e a verificação dos enunciados das atividades didáticas envolvendo
transformações geométricas.
Nesse sentido, a pesquisa de caráter qualitativo, para atingir os objetivos e
responder a questão, está estruturada em quatro capítulos descrita de forma
resumida a seguir.
No capítulo 1, apresentamos a trajetória do interesse pelo estudo da Matemática e
os motivos que levaram a escolha do tema deste trabalho. Em seguida, apresento à
justificativa e os objetivos dessa pesquisa, destacando alguns aspectos relevantes
sobre o conhecimento dos professores.
No capítulo 2, abordamos de maneira breve um estudo matemático sobre as
isometrias no plano, destacando os tipos de isometrias e apresentando suas
definições. Nesse capítulo, também descrevemos uma revisão bibliográfica e os
procedimentos metodológicos utilizados nesse trabalho.
2 Neste trabalho o enfoque será nas transformações geométricas no plano.
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No capítulo 3, desenvolvemos segundo os objetivos da pesquisa, usando como base
os referenciais teóricos, a análise das soluções das atividades didáticas, produzidas
durante a iniciação científica, aplicadas no ensino das transformações geométricas
utilizando o bordado em ponto cruz em turmas de 8º ano.
No capítulo 4, apresento as considerações finais do trabalho, sintetizando o estudo
das transformações geométricas e as análises realizadas.
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2 ESTUDO MATEMÁTICO DAS ISOMETRIAS
Nesse capítulo, vamos estudar as transformações geométricas no plano euclidiano,
que será designado de ℝ, símbolo que remete a associação de todos os pares
ordenados de números reais.
É importante destacar a concepção de alguns autores a cerca do termo
transformações geométricas. Para Eduardo Veloso (2012) transformações
geométricas é uma correspondência biunívoca do conjunto de pontos do plano (ou
de todos pontos do espaço) sobre si próprio, ou seja, transformação geométrica é
uma aplicação bijetiva entre duas figuras geométricas, no mesmo plano ou emplanos diferentes, de modo que, a partir de uma figura geométrica original se forma
outra geometricamente igual ou semelhante à primeira. Ele considera oito
transformações geométricas: translação, rotação, reflexão, reflexão deslizante,
dilatação ou homotetia, dilatação rotativa ou semelhança em espiral, alongamento e
inversão. Dessas oito transformações geométricas apenas quatro preservam as
distâncias entre pontos e amplitude dos ângulos, isto é, a figura inicial e o seu
transformado são congruentes. As quatro transformações geométricas que verificamesta propriedade são chamadas de isometrias e são o objeto de estudo nesse
trabalho.
As isometrias são transformações geométricas no plano que preservam as formas e
o tamanho. Essas transformações modificam apenas a posição da figura original. A
palavra Isometria origina-se do grego e significa igualdade de medida (Iso- igual;
Metria – medida).
As isometrias preservam as seguintes propriedades geométricas:
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Distância entre pontos;
Colinearidade de pontos;
Amplitude de ângulos;
Paralelismos e perpendicularidade entre retas;
Medidas de segmentos de retas;
Conforme dito anteriormente, no plano euclidiano apenas quatro transformações
geométricas conservam as distâncias. São consideradas isometrias a translação, a
rotação, a reflexão e a reflexão deslizante. Assim, uma transformação geométrica T
é uma isometria se, para quaisquer dois pontos R e S, se tem distância (R’S’) =
distância (RS), onde R’ = T(R) e S’ = T (S).
Como o enfoque deste trabalho são as isometrias no plano é conveniente apresentar
resumidamente tais noções.
2.1 TRANSLAÇÃO
Sejam A e B pontos distintos do plano. Considere o segmento orientado AB, ou seja,
o ponto A é a origem e o ponto B é a extremidade do segmento. Dado AB um
segmento orientado, diz-se translação definida por AB a transformação geométrica T
que faz corresponder a cada ponto P do plano, o ponto Q que é extremidade do
segmento PQ se, e somente se, os segmentos AB e PQ são paralelos, tem o
mesmo comprimento e o mesmo sentido (equipolentes).
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Figura 1 - Translação do vetor AB.
Fonte: Elab. pela autora, 2013.
2.2 ROTAÇÃO
Sejam A, O e A’ três pontos distintos do plano. Considere o ângulo orientado α=
AÔA’, ou seja, AO é o lado de origem do ângulo e OA’ é o lado de extremidade. Se α
é um ângulo orientado, −α = A’ÔA definido pelos segmentos OA’ (lado de origem) e
AO (lado de extremidade). Diz-se rotação R de centro O e ângulo α a transformação
geométrica que faz corresponder a cada ponto A do plano, o ponto A’ = R (A) nas
condições abaixo:
i. Se A = O, então R (A) = A, ou seja, o ponto A é fixo para a rotação R.
ii. Se A ≠ O, o ângulo AÔA é igual a α e os segmentos OA e OA’ são
congruentes.
Figura 2 - Rotação do segmento OA.
Fonte: Elab. pela autora, 2013.
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2.3 REFLEXÃO
Dada uma reta r, diz-se reflexão E de eixo r a transformação geométrica que associa
a cada ponto O do plano, não pertencente a r, o ponto O’ = E (O), tal que r é amediatriz do segmento OO’. A reta r chama-se eixo de simetria e os pontos O e O’
são chamados simétricos em relação a r.
Figura 3 - Exemplos de reflexão do ponto O e do Triângulo ABC.
Fonte: Elab. pela autora, 2013.
2.4 REFLEXÃO DESLIZANTE
Considere um segmento orientado AB e uma reta r paralela ao segmento AB. Diz-se
reflexão deslizante a transformação geométrica obtida fazendo uma reflexão de ABem relação a r, obtendo o segmento A’B’, e em seguida por meio da translação em
A’B’ obtendo A”B”.
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Figura 4 - Exemplo de reflexão deslizante do segmento AB.
Fonte: Elab. pela autora, 2013.
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3 ENSINO DE TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS
Desde década de 1970, estudos mostram a ausência da geometria nas escolas,
esse fato reflete no conhecimento dos professores em atuação. Os professores,
influenciados pelo ensino que tiveram, excluem a geometria de suas aulas com a
justificativa que esse conteúdo é maçante e irrelevante ao ensino básico (DANA,
1994; MABUCHI, 2000).
Na tentativa de modificar esse cenário uma das recomendações de documentos
oficiais, como os Parâmetros Curriculares Nacionais e o Plano Nacional do Livro
Didático, é que o ensino da geometria seja articulado com a arte. O estudo dasisometrias por meio dos bordados em ponto cruz é uma maneira de integrar o ensino
da geometria às artes. Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL,
1998), o ensino das artes proporciona aos alunos o desenvolvimento da visualização
espacial, da análise e do raciocínio geométrico, ele estará habilitado a construir
textos e desenvolver estratégias pessoais para solucionar um problema matemático.
Nessa direção, a arte contribui na expansão do universo cultural dos indivíduos,
abrindo espaço a participação social, mobilizando sentidos e capacidades essenciaispara o desenvolvimento humano: a imaginação e a observação. E, o
estabelecimento de ligações entre a Matemática e Arte auxilia na compreensão dos
conceitos e procedimentos geométricos.
A análise das reflexões, translações, rotações são fontes ricas para o
desenvolvimento dos conceitos geométricas em sala de aula. Investigando a
matemática que está presente nos diversos campos da atividade humana, no nosso
caso em bordados em ponto cruz, observamos que atividades envolvendo
transformações geométricas contribui na estrutura do pensamento e no progresso
do raciocínio dedutivo. De acordo com as recomendações do PCN para o 3º e 4º
ciclo:
As atividades que envolvem as transformações de uma figura no planodevem ser privilegiadas nesses ciclos, porque permitem o desenvolvimentode conceitos geométricos de uma forma significativa , além de obter um
caráter mais “dinâmico” para este estudo (BRASIL, 1998, p.124, grifosnossos).
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Além disso, as atividades de transformações geométricas são fundamentais para
desenvolver habilidades de percepção espacial e podem favorecer a construção da
noção de congruência de figuras planas. E ainda, as atividades sobre geometria se
apresentam com potencialidades e possibilidades de tornar-se uma tarefa
exploratório-investigativa. Grando et al. (2008) define que tarefas exploratório-
investigativas são atividades abertas que permite diferentes perguntas, estratégias
de resolução e processos de validação.
O uso de gráficos em ponto cruz é um recurso didático que auxilia na visualização
das propriedades, facilitando a construção dos conceitos sobre transformações
geométricas. Luiz Carlos Pais (2000) afirma que a finalidade da utilização demateriais ou recursos didáticos por parte dos professores de ensino fundamental é
amenizar as dificuldades de ensino existentes em determinados conteúdos
matemáticos. A seguir alguns gráficos utilizados como exemplos.
Figura 5 - Gráfico de reflexão da cereja.
Fonte: Elab. pela autora, 2013.
Figura 6 - Gráfico de reflexão das flores.
Fonte: Elab. pela autora, 2013.
Os processos de ensino e aprendizagem da matemática, por muitos anos e ainda
hoje, estão ligados à repetição de exercícios e memorização de fórmulas, tarefas
que para os alunos está associado a sofrimentos e fracassos escolares
(FAIGUELERNT; NUNES, 2006). E, segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais:
Em nosso país o ensino de Matemática ainda é marcado pelos altos índicesde retenção, pela formalização precoce de conceitos, pela excessiva
preocupação com o treino de habilidades e mecanização de processos semcompreensão (BRASIL, 1998, p.19).
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Ao trazermos a arte para a sala de aula de matemática é possível transformar o
ambiente escolar em um espaço de criação, prazer, construção de conhecimentos e
de descobertas. No entanto, para criar esse ambiente de aprendizagem é
necessário que os professores de matemática conheçam bem as transformações
geométricas para orientar os alunos na construção correta das ideias (BASTOS,
2007), pois a falta do conhecimento matemático dos professores pode comprometer
o ensino e, consequentemente, a aprendizagem (MA, 1999, apud GOMES, 2012).
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4 METODOLOGIA
Com a finalidade de analisar soluções de atividades didáticas de transformações
geométricas com aplicações em bordados de ponto cruz, a pesquisa de caráterqualitativa e exploratória, sustentada por observação direta da situação de
aprendizagem.
Segundo Gil (2008), a pesquisa exploratória consiste em desenvolver, esclarecer e
modificar conceitos e ideias, com vistas à formulação de problemas mais precisos ou
hipóteses pesquisáveis para estudos posteriores. Seu objetivo é proporcionar uma
visão geral sobre um determinado fenômeno. E ainda segundo o autor:
Muitas vezes as pesquisas exploratórias constituem a primeira etapa deuma investigação mais ampla. Quando o tema escolhido é bastantegenérico, tornam-se necessários seu esclarecimento e delimitação, o queexige revisão da literatura, discussão com especialistas e outrosprocedimentos. O produto final deste processo passa a ser um problemamais esclarecido, passível de investigação mediante procedimentos maissistematizados (GIL, p. 27, 2008).
Conforme já dito anteriormente, o interesse pelo tema deste trabalho surgiu a partir
de duas pesquisas de iniciação científica realizadas no período de julho de 2011 a
julho de 2013 sob orientação da professora Sandra Aparecida Fraga da Silva.
Iniciamos a pesquisa de iniciação científica realizando um estudo bibliográfico sobre
as transformações geométricas e investigando em livros didáticos questões que
abordassem as transformações geométricas. Após esse estudo, elaboramos e
readaptamos atividades didáticas utilizando os gráficos de bordado em ponto cruz e
as organizamos em uma apostila para facilitar a aplicação em sala de aula.
As atividades que envolviam o ponto cruz foram criadas com o auxilio do programa
PC-Stitch , que é um software gratuito que permite criar gráficos em ponto cruz e nos
auxiliou na produção de atividades. A seguir, apresentamos um quadro resumido
com as principais atividades realizadas durante as pesquisas de iniciações
científicas.
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Quadro 1 - Principais atividades realizadas durante a iniciação científica.
Iniciações Científicas Atividades Realizadas
Conceitos geométricos em bordadosmanuais de artesanato: organizando
atividades e analisando construções doconhecimento matemático em turmas dePROEJA
Estudo de trabalhos sobre geometria,
matemática e arte, em especial, os queinvestigam bordados e matemática. Estudo teórico sobre as
transformações geométricas no plano. Levantamento de diferentes bordados
manuais de artesanato identificandoconceitos geométricos que podem serexplorados. Identificação das transformações
geométricas nos gráficos de pontos cruz. Elaboração, seleção e organização
de atividades para exploração dastransformações geométricas no plano. Oficina na II Semana da Matemática
no Ifes em maio de 2012. Aplicação das atividades
selecionadas com alunos do PROEJA emgrupo de estudos. Oficina no 3° Simpósio Internacional
de Pesquisa e Educação Matemática –Fortaleza em junho de 2012.
Oficina realizada no Laboratório deMatemática – Ifes Campus Vitória em julhode 2012.
Investigações sobre atividades didáticasdesenvolvidas para o Pibid no Laboratório
De Matemática do Ifes/Vitória
Leitura de livros para embasamentoteórico. Oficina no Programa Mulheres Mil -
IFES Campus Vitória em fevereiro de 2013. Reelaboração das atividades
didáticas envolvendo os gráficos em pontocruz e as isometrias. Elaboração da Sequência Didática
sobre Isometrias para aplicação nas turmasdo PIBID. Oficina na escola parceira do PIBID
de maio a julho de 2013. Oficina na III Semana da Matemática
no Ifes em novembro de 2013.
Fonte: Elab. pela autora, 2014.
Durante a execução dos dois projetos de iniciação científica utilizamos três versões
de apostila diferentes. As modificações foram realizadas devido à necessidade de
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adaptarmos as questões ao público alvo de cada oficina e ao tempo de duração das
mesmas.
A primeira versão da apostila estava organizada em fichas separadas por assunto,dessa forma foram elaboradas quatro fichas com os títulos: Transformações
Geométricas, Simetria, Reflexão e Aplicação com Bordados, Translação e Aplicação
com Bordados e Rotação e Aplicação com Bordados. Essas fichas continham uma
explicação intuitiva de cada assunto utilizando exemplos, atividades tradicionais e
envolvendo o ponto cruz, essa primeira versão da apostila foi utilizada em oficina
para alunas do PROEJA do Ifes.
A segunda versão da apostila foi utilizada nas oficinas ministradas no 3º Simpósio
Internacional de Pesquisa em Educação Matemática e na Semana da Matemática
no Instituto Federal do Espírito Santo. Realizamos essa adaptação por causa da
duração das oficinas, nesses eventos são destinadas quatro horas para a realização
da mesma, e também por causa dos participantes. Em eventos específicos da área
de matemática o debate poderia ser mais sofisticado porque estaríamos trocando
experiências com professores e licenciandos de matemática. Assim, devido ao curto
espaço de tempo selecionamos nas fichas as atividades mais relevantes para os
participantes e criamos uma apostila única com todas as transformações
geométricas. Esta versão também continha as explicações de forma intuitiva dos
assuntos, porém nenhuma questão foi modificada, apenas enxugamos as atividades
para tornar a oficina mais dinâmica e simples.
A terceira versão da apostila tinha como público alvo alunos do 8º ano de uma
escola estadual em Vitória/ES, parceira do PIBID. Essa apostila foi totalmentereestruturada, dentre as mudanças retiramos as explicações de conteúdos e as
atividades foram modificadas. Outra mudança nessa aplicação foi à duração da
oficina, que foi ministrada em oito encontros semanais com duração de 55 minutos
cada. Essa apostila continha apenas atividades, as explicações do conteúdo foi feita
em sala de aula, de forma intuitiva utilizando exemplos do cotidiano, lousa e pincel.
O foco deste trabalho está na análise das soluções produzidas por esses alunos.
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4.1 CAMPO DA PESQUISA
O campo da pesquisa foi uma escola pública da rede estadual parceira do
PIBID/IFES e está localizada na região da Grande Vitória no estado do EspíritoSanto. Esta escola, situada em um bairro de classe média no município de Vitória,
oferece o segundo ciclo do ensino fundamental, o ensino médio e o ensino de jovens
e adultos (EJA), e recebe anualmente alunos oriundos do entorno da mesma e
também de toda a região.
O Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência – PIBID que tem como
principal objetivo oferecer aos licenciandos um contato direto com o ambiente
escolar e melhorar a qualidade da educação básica nas escolas envolvidas. O
PIBID, financiado pela Capes, realiza interações entre universidade e a escola
pública de forma a contribuir para aperfeiçoar e dinamizar o trabalho desenvolvido
pelos professores das escolas participantes, visando à obtenção de resultados
relevantes para a aprendizagem dos alunos, bem como contribuir com trabalhos de
caráter formativo para os licenciandos envolvidos.
No PIBID/IFES os bolsistas atuam em coparticipação com os professores regentesdas classes acompanhadas. São realizadas observações das aulas, ações de
monitoria nas atividades, reuniões semanais e planejamento de atividades
dinâmicas e diferenciadas.
4.2 SUJEITOS DA PESQUISA
Os sujeitos que participaram dessa pesquisa são alunos regularmente matriculados
em duas turmas de 8° ano do ensino fundamental (antiga 7ª série), no ano de 2013.Optamos por escolher alunos do 8° ano devido à sugestão dos PCN (BRASIL,
1998).
Conforme dito anteriormente, eu, a pesquisadora, foi bolsista do PIBID e desde o
ano de 2012 encontra-se inserida nessa escola por meio do programa. Assim, a
escolha da turma se deu de acordo com os horários de atuação da bolsista, visto
que percebemos a necessidade de ministrar aulas referentes ao conteúdo envolvido
na pesquisa por tempo determinado.
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4.3 ETAPAS DA PESQUISA
1ª etapa: Revisão bibliográfica
Iniciamos a pesquisa realizando leituras mais aprofundadas sobre o tema das
transformações geométricas. Em seguida, investigamos em livros didáticos e em
outros trabalhos algumas atividades que pudessem ser adaptadas utilizando os
bordados em ponto cruz.
2ª etapa: Elaboração de Atividades
Após elaborarmos atividades que envolvessem os gráficos de ponto cruz,organizamos uma pequena apostila com atividades didáticas e iniciamos a
elaboração de uma sequência didática para conduzir as aplicações definindo a
melhor metodologia a ser aplicada.
3ª etapa: Desenvolvimento de Oficina nas turmas do PIBID
Com a apostila já elaborada, desenvolvemos a oficina sobre transformações
geométricas estudadas por meio dos bordados em ponto cruz, nas turmas de 8º anoA e B. No quadro a seguir, está o resumo de todas as aulas ministradas nessa
oficina com suas respectivas atividades:
Quadro 2 - Resumo das atividades desenvolvidas.
Datas Atividades desenvolvidas
22/05 (2 aulas)Questionário Diagnóstico.Aula expositiva sobre simetria e reflexão (Apostila 1 – Atividades 1 e 2).
05/06 (2 aulas)
Término das atividades de reflexão (Apostila 1 – Atividades 3 a 7).
Aula expositiva sobre translação e rotação.Atividades de translação e rotação (Apostila 1 – Atividades 9 a 12).
12/06 (2 aulas)
Construção de desenho livre em malha quadriculada que contenha a isometriaescolhida, por meio de sorteio.
Atividades de simetria e reflexão nos gráficos em ponto cruz (Apostila 2 –Atividade 1).
26/06 (1 aula) Atividades de translação e rotação (Apostila 2 – Atividades 2 e 4).
03/07 (1 aula) Questionário Final.
Fonte: Elab. pela autora, 2013.
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4ª etapa: Realização de questionários com os alunos.
Finalizada as aulas de aplicação das atividades, realizamos questionários com os
alunos para dialogarmos sobre o material e a compreensão dos conceitosgeométricos abordados.
5ª etapa: Análise dos materiais produzidos.
Após a coleta de todo material, iniciou-se uma análise criteriosa das soluções
desenvolvidas pelos alunos e criaram-se as categorias a partir das quais as
soluções seriam classificadas.
4.4 REGÊNCIA DAS AULAS
Para que o leitor tenha clareza sobre como ocorreram às aulas de isometrias no
período de regência, optamos por apresentar resumidamente o tema explorado de
acordo com as datas citadas.
1º dia: No inicio, a professora regente explicou aos alunos que nas aulas de quarta-
feira eu, bolsista do PIBID, iria conduzir as aulas. Como eles já me conheciam, fiz
uma breve apresentação da pesquisa de iniciação científica e do tema pesquisado.
Antes de iniciar a exposição do conteúdo, realizei o questionário diagnóstico. Iniciei
uma discussão por meio de um desenho em uma folha de papel e expliquei que ao
dividirmos uma figura plana em duas partes iguais, se as partes ao serem dobradas
coincidissem, então o vinco feito folha é chamado eixo de simetria. Realizamos
atividades para traçar e identificar o eixo de simetria de figuras planas. Em seguida,
conceituei reflexão usando uma dinâmica simples, escolhi uma aluna para ser minha
imagem no espelho, e comecei levantando a mão direita e perguntava como olhava
minha imagem no espelho, depois pisquei com o olho esquerdo e questionei o que
os alunos estavam observando. Nesse momento, discuti alguns conceitos sobre
reflexão e realizamos mais atividades, inclusive mencionei uma situação bem real,
questionando as palavras ambulância e bombeiros estampadas nos carros.
2º dia: Iniciamos a aula terminando as atividades de reflexão e, em seguida demos
continuidade às aulas conceituando translação e rotação. Definimos translação
como um movimento que desloca uma figura original segundo uma direção, um
sentido e um comprimento pré-determinados. Já a rotação foi definida como o
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movimento que modifica uma figura original a partir de um giro, tendo sido
determinados o centro, um ângulo e o sentido do giro. Para facilitar o entendimento
aplicamos somente rotações de 90º graus. Realizamos atividades sobre os
conceitos estudados.
3º dia: Após conceituarmos todas as isometrias, realizamos uma dinâmica de sorteio
para que cada aluno criasse um desenho livre em malha quadriculada com a
transformação geométrica sorteada. Essa atividade foi importante para comprovar a
compreensão dos alunos sobre os conteúdos estudados. Terminada essa atividade,
iniciamos as atividades envolvendo os gráficos de ponto cruz sobre simetria e
reflexão.
4º dia: Iniciamos as atividades envolvendo os gráficos em ponto cruz sobre
translação e rotação. Nesse dia levamos as barras de étamine já estavam iniciadas
e propomos aos alunos que aplicassem os conceitos estudados nas barras de ponto
cruz. Apenas uma aluna bordou, pois já sabia bordar, enquanto isso os demais
alunos continuaram as atividades na apostila.
5º dia: Destinamos um tempo para que alguns alunos que terminassem as
atividades anteriores pendentes. Após esse momento aplicamos o questionário final.Esse questionário não será analisado neste trabalho. Os alunos trouxeram um bolo
para comemorar o encerramento do trabalho.
4.5 COLETA DE DADOS
A coleta de dados se deu entre os meses de maio e julho de 2013 por meio dos
seguintes instrumentos: apostilas (Apêndice) elaboradas durante a iniciação
científica, questionários, registro fotográfico das oficinas e o diário de bordo dapesquisadora. Segundo Moreira e Caleffe (2008) a utilização de questionários é uma
das formas mais populares para coletar dados em pesquisa, pois as respostas
podem ser classificadas por meio técnicos estatísticos e os resultados são
expressos com toda a confiança que trazem os números.
Para fundamentar o caráter qualitativo da pesquisa percebeu-se a necessidade da
utilização de registro fotográfico para realçar a interação dos participantes nas
oficinas, com vias de ter um melhor entendimento dos debates destacando ospontos positivos e negativos e garantir um feedback autêntico do desenvolvimento
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das atividades durantes as oficinas. As fotografias estão ligadas as investigações
qualitativas e serão utilizadas nessa pesquisa para salientar os recursos aplicados
na resolução das atividades (BOGDAN et al .,1994).
4.5 ANÁLISE DOS DADOS
Com o intuito de investigar quais são as resoluções são realizadas pelos alunos em
atividades envolvendo as transformações geométricas e o ponto cruz, realizamos
análises das soluções das atividades aplicadas no decorrer da Iniciação Científica.
Nossa intenção é detectar erros cometidos pelos alunos de ensino fundamental,
obtendo informações que nos permitam avançar no conhecimento das causas
desses erros. As estratégias empregadas na resolução das atividades foram
analisadas com o objetivo de verificar a compreensão tanto do conteúdo quanto do
enunciado pelos participantes, além de evidenciar as diferentes resoluções das
atividades. Segundo Cury (2007) a análise das respostas de alunos pode ter
enfoque tanto como metodologia de pesquisa quanto como metodologia de ensino.
Para ela, metodologia de pesquisa é quando o professor procura entender, por meio
da análise das soluções, as formas de como o aluno produziu a resposta, verificando
as estratégias de resolução e as formas de validação das respostas. E, metodologiade ensino é quando o professor durante a aula detecta os erros e cria meios de
retomar os conteúdos os quais os alunos apresentam dificuldades.
Segundo Bardin (2009, p.41) a análise de erros de uma produção escrita é uma
atividade baseada na análise de conteúdo e pode ser feita a partir de documentos
como: respostas a questionários, testes ou experiências. A autora apresenta três
etapas para a análise de conteúdo: pré-análise, a exploração do material e o
tratamento dos resultados. A primeira etapa é fase de organização da análise eengloba a escolha dos documentos a ser analisada, a formulação das hipóteses e
dos objetivos, além da elaboração de indicadores que fundamentem a interpretação
final. Durante essa etapa, Moraes (1999) sugere a criação de um código que permita
identificar rapidamente cada elemento da amostra dos documentos a serem
analisados.
A etapa de exploração do material envolve um estudo aprofundado do conjunto de
produções textuais sobre o qual o pesquisador vai se debruçar, com procedimentos
de unitarização e categorização. Segundo Moraes (1999, p.11) o processo de
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unitarização consiste na releitura cuidadosa dos materiais a fim de definir as
unidades de análise, que podem ser “palavras, frases, termos ou mesmo
documentos em sua forma integral”. Durante a releitura cada unidade é
individualizada e separada do corpus 3 para, em seguida, se poder fazer a
categorização, que tem por objetivo representar de forma simplificada os dados
brutos obtidos segundo os objetivos da pesquisa.
Na etapa de tratamento dos resultados é feita a descrição das categorias, que pode
ser feita a partir da apresentação de tabelas com indicação de frequência e
percentagens ou texto sobre a compreensão do significado da classe incluindo como
apoio exemplos retirado do corpus.
Ao unir as etapas de Bardin (2009) com os procedimentos de Cury (2007) para a
análise das respostas de estudantes, iniciamos realizando a leitura e seleção das
atividades contidas na apostila de iniciação científica utilizadas no ensino
fundamental. A seguir, separamos como “corretas”, “parcialmente corretas” e
“incorretas”, fazendo a contagem de cada tipo de resposta. Nessa etapa, criamos
um código para selecionar aquelas respostas que constituem o corpus da pesquisa.
Em seguida, aprofundamos a análise, realizando a unitarização e categorização das
respostas. Nessa fase, o pesquisador já produz uma interpretação dos dados, pois
estabelece critérios segundo as quais cria as categorias (CURY, 2007). Na última
etapa de tratamento dos resultados, as categorias são apresentadas por meio de
quadros utilizando exemplos dos erros cometidos.
Dessa forma, explorar as soluções de questões de Matemática pode ser utilizado
tanto para subsídio de avaliação quanto para tentar minimizar os erros criando
meios para retomar os conteúdos nos quais os alunos apresentam mais
dificuldades.
3 Segundo Bardin (2009, p.122) o corpus da pesquisa é o conjunto dos documentos que serásubmetido aos procedimentos de análises.
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5 ANÁLISE DOS DADOS
Como já descrito, a coleta de dados foi realizada durante os meses de maio a julho
de 2013 por meio da aplicação das apostilas de atividades elaboradas durante a
pesquisa iniciação científica.
O objetivo da investigação, além de analisar e classificar as soluções apresentadas
pelos alunos participantes, é verificar possíveis erros nos enunciados das atividades
didáticas de transformações geométricas com aplicações em gráficos de bordados
em ponto cruz.
Assim, aplicamos duas apostilas de atividades (apêndice A e B) contemplando os
conteúdos de reflexão, translação e rotação, divididas em 8 aulas de 55 minutos
cada, em duas turmas de 8º ano turmas A e B de uma escola estadual parceira do
PIBID, em Vitória/ES. Conforme já dito anteriormente, eu me encontrava inserida
nessa turma como bolsista do PIBID e quando apresentei os objetivos da pesquisa
de iniciação científica, fui acolhida com todo carinho e respeito por eles. A
professora regente da turma acompanhou todas as aulas e auxiliava os alunos com
dúvidas nas atividades. Cabe salientar, que as oito aulas foram ministradas por mim.
Os alunos dessas turmas apresentavam um índice grande de faltas, por isso foi
necessário realizar uma seleção das atividades resolvidas pela maioria dos alunos,
em especial as que possuem relação com os gráficos de bordado em ponto cruz.
Aplicamos um questionário diagnóstico a fim de identificar nos alunos possíveis
conhecimentos sobre o conteúdo de transformação geométrica. Aplicado no dia 22
de maio, trinta e três alunos responderam as seguintes perguntas:
Quadro 3 - Perguntas questionário 1.
1) Você sabe o que é simetria ou eixo de simetria?2) Você sabe definir o que é rotação?3) Você já estudou o que é translação?4) Você conhece algum tipo de bordado manual?5) Você já bordou ponto cruz?
Fonte: Elab. pela autora, 2013.
A fim de diagnosticar conhecimentos prévios sobre o conteúdo de transformaçõesgeométricas, analisamos as respostas das três primeiras perguntas do questionário,
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e percebemos que a maioria dos alunos não soube responder as perguntas
corretamente, sob o ponto de vista matemático. Dois alunos responderam na
questão 1, que simetria é o oposto de um número e algum número que fica a mesma
distância do zero. Apesar de relacionar a ideia com a matemática, esses alunos não
citaram a geometria, apenas comentaram sobre números simétricos. Outro aluno
respondeu que simetria é a metade de algo, dando como exemplo o rosto humano.
Onze alunos responderam que sabia o que era, porém não sabia explicar, dezoito
responderam que não sabiam e um esqueceu o que era.
Na pergunta 2, uma aluna disse que rotação é um giro a partir de um ponto central,
outra respondeu que é tudo que gira. Oito alunos disseram ter estudo em geografiaque rotação é o movimento da terra em torno de si mesma durante 24 horas. Cinco
alunos disseram ter esquecido, duas respostas não entendemos, onze alunos
responderam não e cinco responderam que sabia o que era, porém não
conceituaram.
Na terceira pergunta, quatro alunos responderam ter estudado em geografia e
conceituaram translação como o movimento da terra em torno do sol durante 365
dias. Dezessete disseram que sabiam, porém não explicaram, cinco não souberam
responder e sete esqueceram a resposta.
A análise das respostas do questionário diagnóstico serviu para mostrar que os
alunos não tinham estudado esse conteúdo, assim partimos para uma abordagem
intuitiva sobre o tema de transformações geométricas. É interessante notar que
alguns desses alunos possuem uma noção sobre o assunto a ser estudado
relacionando a palavra com algo conhecido em outra disciplina ou da experiência devida.
Diante da seleção e da análise prévia do corpus da pesquisa e após a listagem de
todas as resoluções, estas foram analisadas e categorizadas, obtendo três classes,
descritas e exemplificadas a seguir:
Classe A - Correspondem às soluções corretas. Neste caso foram encontradas
várias estratégias de resolução das atividades.
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Classe B - Correspondem às soluções parcialmente corretas. Nessa categoria,
apesar da solução certa, não há como afirmar se o aluno acertou porque
compreendeu o conteúdo ou por acaso.
Classe C - Correspondem às soluções incorretas. Foram identificados erros como:
interpretação de enunciados, dificuldade no conteúdo e falta de atenção (confusão
das transformações).
Para descrever as categorias, primeiramente foi feita uma contagem do número de
ocorrências de cada categoria, apresentada no quadro, a seguir:
Quadro 4 - Distribuição dos tipos de Ocorrências.
AtividadesNº
ocorrênciasem A
Nºocorrências
em B
Nºocorrências
em CBrancos4 Total
1(b) apostila 2 –uva
10 13 5 0 28
1(b) apostila 2 –maça
7 8 13 0 28
1(b) apostila 2 –
borboleta
4 16 6 2 28
2(a) apostila 2 16 2 9 1 28
2(b) apostila 2 13 0 3 12 28
4(a) apostila 2 14 0 0 14 28
4 (b) apostila 2 12 2 0 14 28
Fonte: Elab. pela autora, 2014.
Em seguida, cada categoria é ilustrada por meio de exemplos retirados do corpus da
pesquisa e as soluções e estratégias utilizadas pelos alunos são descritas em
detalhes.
A questão a seguir está na apostila 2 envolve o conceito de reflexão e tem o
seguinte enunciado:
4 Não fizeram por falta de tempo ou faltaram no dia da aplicação.
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Quadro 5 – Parte da atividade de reflexão horizontal do cacho de uva.
1) Nos bordados abaixo faça o que se pede:
b) trace o eixo de simetria e efetue a reflexão das figuras.
Fonte: Acervo da autora, 2013.
Os dez alunos que acertaram a questão e foram incluídos na classe A,
apresentaram as seguintes soluções:
Figura 7 - Solução de atividade aluno 7 - 8º ano A.
Fonte: Acervo da autora, 2013.
Figura 8 - Solução de atividade aluno 2 - 8º ano B.
Fonte: Acervo da autora, 2013.
A maioria dos alunos utilizou a marcação da linha mais escura contida na malha
quadriculada como eixo de simetria. Note que o segundo aluno não utiliza essa
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estratégia, mas traça o eixo de simetria ao lado da linha mais escura. Também é
importante observar que na figura 7, o aluno fez primeiro o contorno da figura a ser
refletida e depois coloriu. Já na figura 8, o aluno fez sem o contorno, porém,
escolheu um ponto e realizou com marcações de “x” a distância inicial que deveria
iniciar a pintura.
Para resolver essa questão alguns alunos utilizaram como recurso o espelho e até o
visor do celular, a fim de visualizar a reflexão. Veja a seguir.
Figura 9 - Aluna utilizando espelho como recurso.
Fonte: Acervo da autora, 2013.
Figura 10 - Aluna utilizando o visor do celularcomo recurso.
Fonte: Acervo da autora, 2013.
Segundo Pais (2000) o uso de recursos didáticos em sala de aula tem como
finalidade dar suporte no processo de ensino e de aprendizagem, facilitando o
processo de aquisição do conhecimento. Porém concordamos com Veloso et al.
(2009) que todos os materiais possuem potencialidades e limitações, cabendo ao
professor estar atento a essas especificidades.
Ainda na classe A, destacamos outras questões com o mesmo enunciado da
questão anterior.
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Quadro 6 - Parte da atividade de reflexão horizontal.
Fonte: Acervo da autora, 2013.
A atividade de reflexão da maçã apresentava um nível maior de complexidade,
devido ao detalhe nas folhas, sete alunos acertaram essa atividade apresentando aresolução a seguir.
Figura 11 - Solução de atividade aluno 2 - 8º anoA.
Fonte: Acervo da autora, 2013.
Figura 12 - Solução de atividade aluno 6 - 8º ano B.
Fonte: Acervo da autora, 2013.
Note que na reflexão da maçã, os alunos também utilizaram a marcação da malha
quadriculada (linha mais escura) como eixo de simetria. Percebemos que na
resolução do aluno na figura 12 o uso de estratégia de marcação na contagem da
distância em que deveria manter até os quadradinhos que deveriam ser pintados
(uso de pontos) e depois ainda contornou com canetinha colorida à figura. Já o
aluno da figura 11 tinha realizado erradamente a reflexão, porém apagou e corrigiu,
terminando a atividade corretamente.
Já a atividade de reflexão da metade da borboleta foi acertada por cinco alunos, e
alguns traçaram o eixo de simetria no meio da figura (fig. 13) e outros ao lado dafigura (fig. 14). Como o enunciado solicitava que os estudantes traçassem o eixo de
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simetria e efetuasse a reflexão, e ambos fizeram isso, apesar de diferente, as duas
soluções são consideradas corretas.
As soluções diferentes para um mesmo problema envolvendo atividades sobregeometria justificam-se pelo fato de que essas atividades se apresentam com
potencialidades e possibilidades de tornar-se uma tarefa exploratório-investigativa.
Segundo Grando et al. (2008) as tarefas exploratório-investigativas são problemas
abertos que possibilitam diferentes perguntas, estratégias de resolução e processos
de validação. Nesse sentido, entendemos que cada aluno produz uma solução de
acordo com a interpretação de sua realidade, utilizando os conhecimentos que
possui e decidindo a maneira como utilizá-los para solucionar a atividade.
Figura 13 - Solução de atividade aluno 2 - 8º anoA.
Fonte: Acervo da autora, 2013.
Figura 14 - Solução de atividade aluno 6 - 8º anoB.
Fonte: Acervo da autora, 2013.
As soluções das atividades de translação que incluímos na classe A, possuem o
enunciado a seguir:
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Quadro 7 - Atividade de translação.
2) Faça a translação das figuras abaixo:
Fonte: Acervo da autora, 2013.
Nessa questão, dezesseis alunos acertaram a translação da melancia e
apresentaram a seguinte resolução:
Figura 15 - Resolução da atividade de translação aluno 8 - 8º ano B.
Fonte: Acervo da autora, 2013.
Na figura 15, percebemos que o aluno não observou a mudança de cor na parte
verde da melancia e fez a pintura em um único tom e ainda, como a maioria dos
alunos, utilizou como estratégia o contorno da figura para depois colorir.
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Figura 16 - Resolução da atividade de translação aluno 4 - 8º ano A.
Fonte: Acervo da autora, 2013.
Repare na figura 16, que apesar do aluno ter utilizado um vetor para orientar atranslação, ele não se atentou à definição. A translação é definida por um segmento
orientado que possui o mesmo comprimento e mesmo sentido, no entanto o aluno
acertou o sentido e errou o comprimento do vetor. Ainda assim, essa solução foi
considerada correta, pois percebemos que o aluno possui a ideia correta segundo a
definição. Além disso, observamos que ele foi o único a utilizar essa ideia e nas
outras soluções consideradas corretas contemplamos apenas o resultado final.
Ainda nessa questão é importante notar que o aluno fez o contorno pretoevidenciado no gráfico de ponto cruz.
Analisando a translação da borboleta, observamos que treze alunos acertaram e
apresentaram a solução a seguir (fig. 17 e 18).
Figura 17 - Resolução da atividade aluno 4 – 8º anoA.
Fonte: Acervo da autora, 2013.
Figura 18 - Solução de atividade aluno 6 - 8ºano A.
Fonte: Acervo da autora, 2013.
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Essa questão da translação da borboleta possui um grau de dificuldade maior,
apesar de ser uma figura menor, o aluno deveria estar atento ao sobe e desce dos
quadradinhos na construção da figura.
Nas soluções das questões sobre translação observamos que todos os alunos
efetuaram somente a translação na horizontal, acreditamos que isso pode ter
acontecido pela falta de espaço deixado na malha quadriculada para que se
efetuasse translação na vertical ou transversal.
As atividades de rotação inseridas na classe A, possuem o enunciado abaixo:
Quadro 8 - Atividade de rotação.
4) Complete os gráficos abaixo com a rotação da pétala para formar uma flor.
a) b)
Fonte: Acervo da autora, 2013.
As soluções apresentadas nas figuras 19 e 20 retratam as soluções realizadas por
quatorze alunos na atividade de rotação ao item (a) considerado correto foram:
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Figura 19 - Solução de atividade aluno 5 - 8º anoA.
Fonte: Acervo da autora, 2013.
Figura 20 - Solução de atividade aluno 3 - 8º anoA.
Fonte: Acervo da autora, 2013.
Note que o enunciado dessa questão não determina o centro e o sentido em que a
rotação deve ser realizada, explica somente que a rotação da pétala deve ser feita
para formar uma flor. Nessa questão podemos destacar as diferentes estratégias
utilizadas, a figura 19 mostra que o aluno iniciou fazendo a pintura de pontinhos para
orientar a translação e depois concluiu fazendo a pintura na malha quadriculada. Já
na figura 20, percebemos que o aluno fez a pintura com lápis de escrever e depois
fez o contorno em vermelho, optando por não colorir.
Já o item (b) teve doze respostas corretas, com a seguinte resolução:
Figura 21 - Solução de atividade aluno 2 - 8º anoA.
Fonte: Acervo da autora, 2013.
Figura 22 - Solução de atividade aluno 3 - 8º anoA.
Fonte: Acervo da autora, 2013.
Na figura 21 percebemos por meio do contorno feito pelo aluno, que ele agrupou os
pontos em blocos retangulares, assim rotacionando uma figura plana. Já na figura
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22, o aluno preferiu não colorir o desenho e utilizou como estratégia a marcação dos
quadradinhos na malha quadriculada.
É importante notar que independente da transformação geométrica na maioria dasatividades os alunos utilizaram como recurso primeiramente o contorno a lápis da
figura e posteriormente a pintura.
Diante das análises realizadas para a classe A, vê-se que esses alunos souberam
relacionar corretamente o conteúdo estudado com as informações que leram no
enunciado da questão.
Na categoria B foram incluídas soluções das atividades de reflexão em que osalunos não traçaram o eixo de simetria, logo sem eixo não há como afirmar se a
solução está correta. Treze alunos apresentaram soluções conforme as imagens
abaixo.
Figura 23 - Solução de atividade aluno 1 - 8º ano B.
Fonte: Acervo da autora, 2013.
Figura 24 - Solução de atividade aluno 4 - 8º ano A.
Fonte: Acervo da autora, 2013.
Note que apesar da solução parecer correta, ambos não traçaram o eixo de simetria,
por esse motivo a solução foi considerada parcialmente correta. Pela análise dassoluções deduzimos que esses alunos consideraram como eixo de simetria a linha
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mais escura da malha quadriculada. Na reflexão da maçã, oito alunos também
praticaram o mesmo ‘erro’, como podemos comprovar nas figuras a seguir.
Figura 25 - Solução de atividade aluno 4 - 8º anoA.
Fonte: Acervo da autora, 2013.
Figura 26 - Solução de atividade aluno 8 - 8º anoB.
Fonte: Acervo da autora, 2013.
É importante observar que a contagem dos pontos realizada pelos alunos, nos
permite afirmar que eles consideraram como eixo de simetria a linha mais escura da
malha quadriculada.
Já na reflexão da metade da borboleta, quinze alunos resolveram a atividade sem
traçar o eixo de simetria e notamos três estratégias de resolução diferentes. Na
figura 27 acreditamos que os alunos imaginaram o eixo de simetria na metade dafigura. Na figura 28 deduzimos pela solução apresentada, que os alunos acreditaram
que o eixo de simetria estava ao lado da figura. Já na figura 29, o aluno seguiu o
mesmo raciocínio das resoluções anteriores, deixando um espaço entre a figura
original e a figura refletida. Esse aluno fez um desenho não convencional, porém
artístico, diferente de todos os outros alunos.
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Figura 27 - Solução de atividadealuno 1 - 8º ano B.
Fonte: Acervo da autora, 2013.
Figura 28 - Solução deatividade aluno 5 - 8º ano A.
Fonte: Acervo da autora, 2013.
Figura 29 - Solução deatividade aluno 6 - 8º ano A.
Fonte: Acervo da autora, 2013.
Na atividade de translação, duas soluções consideradas classe B foram incluídas
nessa categoria, pois os alunos não terminaram as atividades, porém a quantidade
de pontos no gráfico criado por eles está correta, logo concluímos que a falta de
tempo foi um fator que contribuiu para esse fato.
Figura 30 - Solução de atividade aluno 5 - 8º ano B.
Fonte: Acervo da autora, 2013.
Figura 31 - Solução de atividade aluno 7 - 8º ano B.
Fonte: Acervo da autora, 2013.
As análises realizadas para classe B não são conclusivas, são apenas hipóteses
sobre os erros dos alunos. Para ter conclusões precisas seria necessária uma
entrevista com os alunos participantes da pesquisa após a aplicação das atividades.
Na atividade de reflexão da maçã treze respostas foram incluídas na classe C. Os
erros cometidos possuem relação com a falta de atenção dos alunos, pois eles
confundiram a transformação geométrica a ser executada nas atividades.
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Figura 32 - Solução de atividade aluno 7 - 8º anoB.
Fonte: Acervo da autora, 2013.
Figura 33 - Solução de atividade aluno 1 - 8º anoA.
Fonte: Acervo da autora, 2013.
Acreditamos baseados em Pais (2000) que a causa desse erro é o que o autor de-nomina de configuração geométrica. Segundo ele, em relação às noções geométri-
cas mais elementares, verificamos a predominância de algumas figuras particulares
encontradas com frequência nos livros, cadernos e em outros suportes do saber es-
colar. Trata-se de um desenho encontrado com relativa frequência no contexto do
ensino e da aprendizagem escolar, ou seja, entendemos que é comum encontrar-
mos desenhos nos quais uma figura é transladada do que refletida.
Observe na figura 32, que o aluno não traçou o eixo de simetria, porém iniciou a
atividade corretamente, mas errou nas folhas efetuando a translação ao invés da
reflexão. Já na figura 33, o aluno, por falta de atenção, confundiu a transformação
geométrica. É importante dizer que nas outras atividades o aluno realizou
corretamente a reflexão, por isso acreditamos que houve uma confusão dos
conceitos já estudados.
Na atividade de translação da melancia foram envolvidas na classe C as seguintes
resoluções:
Figura 34 - Solução de atividade aluno 2 - 8º ano A.
Fonte: Acervo da autora, 2013.
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Na figura 34, o aluno fez a reflexão ao invés da translação. Esse erro é pouco
comum, olhando rapidamente parece que a solução está correta, somente por meio
de uma minuciosa análise o erro foi descoberto. Outro ‘erro’ encontrado, também
considerado falta de atenção, apresentamos na figura abaixo:
Figura 35 - Solução de atividade aluno 6 - 8º ano B.
Fonte: Acervo da autora, 2013.
Repare o erro evidenciado na figura destacado em cor laranja, esse erro pode ser
justificado pela estratégia utilizada para a resolução da atividade. Pela análise feita
notamos que o aluno preservou a mesma distância lateral da figura, assim
deduzimos que ele iniciou o desenho da direita para a esquerda, não se atentando
que o desenho não era simétrico.
A análise dos erros da classe C permitiu concluir que os alunos apresentaram faltade atenção com relação aos enunciados e por esse motivo confundiram as
transformações geométricas. Em outros casos, acreditamos que os conceitos
estudados mal consolidados foram um dos fatores que podem ter influenciado nas
respostas erradas. Nesse sentido, Abrantes (1999) afirma que em um trabalho com
atividades matemáticas de cunho investigativo, não podemos esperar uma evolução
significativa em pouco tempo. Ele ressalta que este tipo de trabalho requer tempo e
persistência para mudar hábitos e práticas enraizadas nas aulas de matemática.
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6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Esta pesquisa percorreu várias etapas para alcançar o objetivo proposto.
Inicialmente, realizamos uma pesquisa bibliográfica a cerca do tema das
transformações geométricas, ressaltando a importância do seu estudo.
A seguir, realizamos pesquisas em livros didáticos sobre atividades que abordassem
as transformações geométricas e elaboramos atividades que envolvessem os
gráficos de bordados em ponto cruz. Após criarmos as atividades e organizarmos
uma apostila, aplicamos as mesmas em duas turmas de 8º ano de uma escola
estadual em Vitória/ES, durante os meses de maio a julho de 2013.
As atividades contaram com a participação de 28 alunos e as resoluções nos
forneceu o corpus desta pesquisa. A metodologia escolhida para este trabalho
baseou-se nos procedimentos descritos em Bardin (2009) e Cury (2007) sobre
análise de conteúdo e análise de erro, que utilizam três etapas básicas: pré-análise,
exploração do material e tratamento dos resultados. A seguir, analisamos as
resoluções e criamos três categorias: Classe A (soluções corretas), Classe B
(soluções parcialmente corretas) e Classe C (soluções incorretas), e prosseguimos
na análise dos dados.
Na tentativa de interpretar os resultados, é importante voltar aos objetivos da
pesquisa. Nosso primeiro objetivo era analisar soluções de atividades didáticas de
transformações geométricas com aplicações em bordados em ponto cruz, e a
análise revelou que, embora a maior parte das soluções de reflexão estejam
parcialmente corretas ou incorretas, a maioria dos alunos utilizaram osprocedimentos de resolução corretamente para as atividades reflexão, translação e
rotação.
Nosso segundo objetivo era discutir as atividades a partir das resoluções dos alunos
de ensino fundamental e verificamos que os alunos utilizaram diversas estratégias
para solucionar as atividades propostas, entre elas podemos citar: realizar
primeiramente o contorno da figura para depois colorir, criar o desenho sem o
contorno, fazer a contagem de pontos, utilizar a linha escura da malha quadriculada
como eixo de simetria.
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Nosso terceiro objetivo era identificar os erros cometidos pelos alunos nas atividades
envolvendo gráficos em ponto cruz, e pela apreciação das resoluções, percebemos
erros como: interpretação de enunciados, falta de atenção e dificuldade no
conteúdo. As dificuldades com o conteúdo estão ligadas aos conceitos estudados
mal consolidados e acreditamos que um dos fatores que influenciaram esse fato foi
a falta de tempo para que os alunos questionassem suas respostas, construindo o
próprio conhecimento. Já os erros de interpretação de enunciados e confusão nas
transformações geométricas estão associados à falta de atenção durante a
resolução das atividades.
Por fim, nosso último objetivo era verificar os enunciados das atividades didáticasenvolvendo transformações geométricas e ao analisar encontramos erros no plural
de palavras e enunciados que permitiam dupla interpretação. Outro erro encontrado
na análise da apostila de atividades foi a figura utilizada em algumas questões, por
exemplo, a translação da borboleta (atividade 2). Por ser uma figura simétrica,
efetuar a reflexão ou translação dá o mesmo resultado, logo concordamos com
Veloso (2012) que o professor deve ser mais cuidadoso e para não induzir ideias
erradas na mente dos alunos do ensino básico.
Em síntese, verificamos que os alunos foram capazes de construir o próprio
conhecimento por meio de atividades didáticas sobre transformações geométricas
envolvendo o bordado em ponto cruz e orientados pela pesquisadora. E, além disso,
também verificamos uma mudança no ambiente escolar, pois a aula se tornou
dinâmica e produtiva com as resoluções das atividades.
Fundamentado nestas análises descritas anteriormente voltamos à nossa questãode pesquisa: quais resoluções são realizadas pelos alunos em atividades didáticas
envolvendo transformações geométricas com aplicações em gráficos de ponto cruz?
Retornando ao dado em que a análise de nossa pesquisa refere-se a duas turmas
com vinte e oito alunos, não podemos considerar os resultados obtidos durante a
oficina com estes alunos como ideal. Porém, consideramos que estes alunos
avançaram em seus conhecimentos de forma intuitiva sobre transformações
geométricas, embora não tivessem estudado esse tema.
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Realizar esta pesquisa me proporcionou um crescimento acadêmico, pois pude
perceber por meio de leituras, as inquietações de outros pesquisadores tanto sobre
o ensino de geometria quanto sobre as transformações geométricas. Este trabalho
mostrou-me a importância de desenvolver situações proveitosas, para colocar o
aluno em contato com o conhecimento. Acreditando assim, que para ter um avanço
no ensino da geometria é necessário suscitar novas alternativas e metodologias de
ensino, e uma delas é ampliar a ligação entre matemática e arte, que favorecem o
aprendizado da geometria na educação básica de forma dinâmica e criativa.
Enfim, compreendemos que embora este trabalho chegue ao fim, acreditamos
confiantes nos nossos resultados, que contribuímos para consolidar algumas buscasna melhoria do ensino de geometria utilizando algum tipo de artesanato. Um aspecto
não abordado em nosso trabalho, porém muito importante e que pode ser objeto de
estudos em trabalhos futuros, é identificar e descrever as dificuldades/erros que os
professores apresentam em relação às isometrias.
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REFERÊNCIAS
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APÊNDICE A – APOSTILA 1
NOME:______________________________________ TURMA: _______
1. INDIQUE COM S AS FIGURAS QUE SÃO SIMÉTRICAS E COM N AS QUE NÃO SÃO SIMÉTRICAS. NAS FIGURAS SIMÉTRICAS REPRESENTE O(S) EIXO(S) DE SIMETRIA.
2. NA FIGURA ESTÁ REPRESENTADA PARTE DE UMA ESTRELA. A LINHA TRACEJADAREPRESENTA UM EIXO DE SIMETRIA DA ESTRELA.
A) QUANTOS BRAÇOS VAI TER A ESTRELA QUANDO ESTIVER COMPLETA?
B) COMPLETE A ESTRELA.
3. PONTOS QUE COINCIDEM QUANDO UMA FIGURA É DOBRADA SOBRE O SEU EIXO DESIMETRIA SÃO CHAMADOS CORRESPONDENTES OU SIMÉTRICOS.
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A E G SÃO CORRESPONDENTES.
B E ........ SÃO SIMÉTRICOS.C CORRESPONDE A ...........
......... E ......... CORRESPONDEM A SI MESMOS.
4. VOCÊ JÁ REPAROU O QUE ESTÁ ESCRITO NA FRENTE DAS AMBULÂNCIAS E NOS CARROS DOCORPO DE BOMBEIROS. DISCUTA COM SEUS COLEGAS E EXPLIQUE O MOTIVO.
5. A MÃE DE JÚLIA ESTÁ BORDANDO UM PANO DE PRATO EM PONTO CRUZ . ELA JÁ BORDOUMETADE DE UMA BORBOLETA. SE VOCÊ COLOCAR UM ESPELHO SOBRE A LINHA VERMELHA, PODERÁ ENXERGÁ-LA POR COMPLETO. TERMINE O GRÁFICO ABAIXO, OBSERVANDO A FIGURAREFLETIDA NO ESPELHO.
6. A PARTIR DO EIXO DE SIMETRIA COMPLETE AS FIGURAS.
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7. OBSERVE A FIGURA. TRAÇE A FIGURA SIMÉTRICA DE A EM RELAÇÃO AO EIXO DE SIMETRIA
P.
9. DÊ CONTINUIDADE À SEQUÊNCIA ABAIXO E, EM SEGUIDA VERIFIQUE QUAL O TIPO DE
SIMETRIA QUE ESTÁ SENDO UTILIZADO (REFLEXÃO, ROTAÇÃO OU TRANSLAÇÃO).