TC

APPUNTI DI TEORIA DEI CAMPI

G. LIBERTI

2 Appunti di Teoria dei Campi

SOMMARIO

Formulazione Lagrangiana e leggi di conservazione .................................................................................................... 3

Quantizzazione canonica delle teorie di campo libero ................................................................................................ 11

Quantizzazione del Campo elettromagnetico ............................................................................................................ 19

Connessione tra spin e statistica ................................................................................................................................ 25

Interazioni tra campi ed invarianza di gauge .............................................................................................................. 34

Simmetrie discrete: Parità, Coniugazione di carica ed Inversione temporale .............................................................. 41

Rottura spontanea della simmetria in teoria quantistica di campo ............................................................................ 46

Teoria delle perturbazioni e Matrice S ........................................................................................................................ 54

Rinormalizzazione della massa dell’elettrone .............................................................................................................59

Elettrodinamica Quantistica come prototipo di teoria di campo ............................................................................... 66


FORMULAZIONE LAGRANGIANA E LEGGI DI CONSERVAZIONE

INTRODUZIONE

La formulazione Lagrangiana della teoria di campo gioca un ruolo fondamentale nella comprensione delle

interazioni fondamentali e delle simmetrie, connesse a loro volta a leggi di conservazione. Nel contesto della fisica

classica, con “formulazione Lagrangiana” intendiamo “principio di minima azione”, un principio dinamico sul quale

possiamo basare la formulazione del nostro problema. In teoria quantistica di campo la formulazione lagrangiana

viene impiegata attraverso il formalismo dell’integrale di cammino di Feynman ed è strettamente connessa alla

formulazione dell’azione minima della teoria dei campi classici.

FORMULAZIONE LAGRANGIANA DELLA MECCANICA CLASSICA

In meccanica classica il più semplice sistema fisico è rappresentato dal punto materiale il cui dominio spaziale è

un singolo punto e la proprietà osservabile che lo caratterizza è la massa m . Sia ( )x t la posizione del punto

materiale al tempo t . Se esso si muove in una regione dove l’energia potenziale è ( )V x , allora la seconda legge del

moto di Newton ci dice che

2

2

d x dVm F

dt dx= = −

dove F è la forza che agisce sulla particella. Questa legge può essere derivata attraverso il principio di minima

azione. La Lagrangiana è definita come

21

( )2

dxL T V m V x

dt = − = −

dove T è l’energia cinetica posseduta dalla particella. L’azione è definita invece come

( , )f

i

t

t

S L x x dt= ∫ ɺ


Quando la particella si muove da ( )ix t a ( )fx t vi è, potenzialmente, un numero infinito di percorsi possibili

che può seguire. Il principio di minima azione stabilisce che il percorso effettivamente seguito è quello per il quale

l’azione è minima.

Consideriamo una piccola variazione nel cammino

( ) ( ) ( ) ( ),x t x t x t t xζ ζ′→ = + ≪

La particella è vincolata a trovarsi in ( )ix t a it e in ( )fx t a ft . Pertanto gli estremi sono fissati e

( ) ( ) 0i ft tζ ζ= =

Con la sostituzione ( ) ( )x t x t′→ l’azione diviene

( )21( ) ( ), ( ) ( ) ( )

2

f f

i i

t t

t t

S S L x t t x t t dt m x V x dtζ ζ ζ ζ ′ → = + + = + − + ∫ ∫ɺ ɺɺ ɺ

Espandiamo in serie e teniamo solo i termini al primo ordine per ottenere

( )21 ( ) ( )2 ( )

2

f f

i i

t t

t t

dV x dV xS m x x V x dt S mx dt S S

dx dxζ ζ ζ ζ δ ′ + − − = + − ≡ +

∫ ∫ɺ ɺɺ ɺ ɺ≃

Se S è minima per variazioni in x , si ha 0Sδ = ovvero

( )0

f

i

t

t

dV xmx dt

dxζ ζ − =

∫ ɺɺ

Integrando il primo termine per parti si ottiene

f f f

f

i

i i i

t t tt

tt t t

x dt x x dt x dtζ ζ ζ ζ= − = −∫ ∫ ∫ɺɺ ɺ ɺɺ ɺɺ e quindi

( )0

f

i

t

t

dV xS mx dt

dxδ ζ = − + =

∫ ɺɺ

da cui segue la Legge di Newton ( ) /mx dV x dx= −ɺɺ .


EQUAZIONI DI EULERO-LAGRANGE E LEGGI DI CONSERVAZIONE IN MECCANICA CLASSICA

Consideriamo la variazione dell’azione (classica)

[ ] [ ]( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( )f f

i i

t t

t t

S L q t a t q t a t dt L q t q t dtδ = + + −∫ ∫ɺ ɺ ɺ

dove q è la coordinata generalizzata e /q q t= ∂ ∂ɺ è la velocità. Si ha, per definizione,

[ ] [ ], ,L L

L q a q a L q q a aq q

∂ ∂+ + − = +∂ ∂

ɺ ɺ ɺ ɺɺ

ed inoltre

L d L d La a a

q dt q dt q

∂ ∂ ∂= − ∂ ∂ ∂ ɺɺ ɺ ɺ

Pertanto

ff f

i ii

tt t

t t t

L d L d L L d L LS a a a dt adt a

q dt q dt q q dt q qδ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + − = − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∫ ∫

ɺ ɺ ɺ ɺ

L’ultimo termine è nullo poiché ( ) ( ) 0i fa t a t= = , mentre l’azione è minima se

0L d L

q dt q

∂ ∂− =∂ ∂ ɺ

Questa è nota come Equazione di Eulero-Lagrange per la traiettoria classica. Il momento generalizzato p

coniugato a q è definito come /p L q= ∂ ∂ ɺ e dunque /p L q= ∂ ∂ɺ .

Se la Lagrangiana non dipende esplicitamente da q si ha:

0d L d

pdt q dt

∂ = =∂ ɺ


ovvero p è costante. Pertanto, se q rappresenta una posizione ( )( ) ( )q t x t≡ , p è un impulso e

l’invarianza per traslazioni porta alla conservazione dell’impulso. Se q è una rotazione, p è un momento angolare e

l’invarianza per rotazione porta alla conservazione del momento angolare. Inoltre, poiché non vi è un origine assoluta

per il tempo, tutti i sistemi devono essere invarianti per traslazioni temporali. Ciò significa che la Lagrangiana non

deve dipendere esplicitamente da t e dunque

0L

t

∂ =∂

che, come vedremo, esprime la conservazione dell’energia.

IL PASSAGGIO AL FORMALISMO HAMILTONIANO

L’Hamiltoniana è connessa alla Lagrangiana dalla trasformazione di Legendre

( , ) ( , )H q p pq L q q= −ɺ ɺ

Si ha

( ) ( )( , ) ( , )dH q p dp q p dq dL q q= + −ɺ ɺ ɺ

dove

( ) ( )( , )L L L L

dL q q dq dq dt dq p dq p dtq q t t

∂ ∂ ∂ ∂= + + = + +∂ ∂ ∂ ∂

ɺ ɺ ɺ ɺɺ

per cui

( ) ( ) ( ) ( )( , )L H H L

dH q p dp q dq p dt dp dq dtt p q t

∂ ∂ ∂ ∂= − − ≡ + −∂ ∂ ∂ ∂

ɺ ɺ

pertanto

H L

t t

∂ ∂= −∂ ∂

L’invarianza per traslazioni temporali porta così alla conservazione dell’energia / 0H t∂ ∂ = .


DENSITÀ LAGRANGIANA PER I CAMPI LIBERI

Il passaggio da una particella puntiforme nella posizione ( )x t�

ad un campo ( , )x tϕ � (il cui dominio spazio-

temporale è continuo ed il numero di gradi di libertà è infinito) può essere visualizzato con la sostituzione di x�

con

ϕ e di t con ( , )x t xµ = �. La densità di Lagrangiana è definita attraverso l’azione come

4( , )S d xµϕ ϕ= ∂∫�

dove ( )0/ ,xµµ∂ ≡ ∂ ∂ = ∂ ∇

�.

Al fine di restringere la classe di teorie di campo che dobbiamo considerare, è utile elencare alcune condizioni

generali a cui i campi devono obbedire. Queste condizioni possono essere formulate nei termini di condizioni

sull’azione o sulla densità di Lagrangiana:

1. la densità Lagrangiana è locale, poiché dipende dai campi e dalle loro derivate prime nel punto dello

spazio-tempo xµ ;

2. l’azione deve essere reale per assicurare la conservazione della probabilità totale;

3. l’azione deve portare alle equazioni del moto classiche che non hanno derivate superiori di quelle al

secondo ordine. Pertanto, la Lagrangiana può contenere al più due operazioni µ∂ in un unico termine;

4. l’azione deve essere invariante sotto rotazioni di Lorentz e traslazioni spazio-temporali al fine di

assicurare la conservazione di quantità fondamentali come l’energia ed il momento angolare. Per

esempio, la densità di Lagrangiana non deve dipendere esplicitamente dalle coordinate a meno che non

vi sia una sorgente esterna;

5. In alcuni casi specifici, l’azione deve essere invariante per simmetrie interne addizionali.

Possiamo ora definire, analogamente al caso classico, i momenti coniugati come


( , )x tπϕ

∂≡∂

�

ɺ

�

dove 0ϕ ϕ= ∂ɺ e costruire la densità di Hamiltoniana attraverso la trasformazione di Legendre

πϕ= −ɺ� �

L’integrazione di tale densità fornisce l’Hamiltoniana:

3H= d x∫�

TEOREMA DI NOETHER E CONSERVAZIONE DEL QUADRI-IMPULSO

Esiste un importante proprietà generale delle teorie di campo: a qualsiasi simmetria continua di una Lagrangiana

in teoria di campo corrisponde una quantità conservata. Questo è il Teorema di Noether di cui discuteremo un

particolare esempio.

Consideriamo la trasformazione spazio-temporale

x x x aµ µ µ µ′→ = +

dove lo spostamento infinitesimo aµ è indipendente da xµ . L’invarianza di Poincarè (l’invarianza sotto

rotazioni di Lorentz e traslazioni spazio-temporali) richiede che l’azione non cambi con questa trasformazione. Il

cambio corrispondente nella densità di Lagrangiana rispetto a xµ è

( ) ( )= x x aµµδ ′ − = ∂� � � �

e così per il campo

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

x x x a x

x a

µµ

νµ ν µ

δϕ ϕ ϕ ϕ

δϕ ϕ

′= − = ∂

∂ = ∂ ∂

poiché aµ è indipendente da xµ .

Se la Lagrangiana non dipende esplicitamente dalle coordinate ma solo dai campi e dalle sue derivate, dobbiamo

considerare le trasformazioni


( ) ( )= µµ

δ δϕ δ ϕϕ ϕ

∂ ∂+ ∂∂ ∂ ∂� �

�

Pertanto

( ) ( )

( ) ( )

( )

4

4

4

4

( , )S d x

d x

d x

d x

µ

µµ

µ µµ µ

µµ

δ δ ϕ ϕ

δϕ δ ϕϕ ϕ

δϕ δϕϕ ϕ ϕ

δϕϕ ϕ

= ∂

∂ ∂= + ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ = − ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂= − ∂ ∂ ∂ ∂

∫

∫

∫

∫

�

� �

� � �

� �

da cui si ricavano le equazioni di Eulero-Lagrange generalizzate

( ) 0µµϕ ϕ

∂ ∂− ∂ =∂ ∂ ∂� �

Poiché quindi ( )// µ µϕ ϕ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ � � possiamo scrivere

( ) ( ) ( )= a aν νµ ν ν µ

µ µ

δ ϕ ϕϕ ϕ

∂ ∂∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

� ��

ovvero, poiché aµ è indipendente da xµ ,

( )= aνµ ν

µ

δ ϕϕ

∂∂ ∂ ∂ ∂

��

Utilizziamo ora l’equazione = aµµδ ∂� � per scrivere

( ) ( )a a = a g = 0ν µ ν µνµ ν ν µ

µ µ

ϕ ϕϕ ϕ

∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂

� ��

che è una legge di conservazione locale. Questa relazione deve essere soddisfatta per spostamenti aµ arbitrari.

La quantità


( ) gµν ν µν

µ

θ ϕϕ

∂= ∂ −∂ ∂

��

è detta tensore energia-impulso e la legge di conservazione locale si può così scrivere in forma compatta

= 0µνµθ∂

Esplicitamente,

( )00 0 00

0

g = =θ ϕ ϕϕ ϕ

∂ ∂= ∂ − −∂ ∂ ∂

ɺɺ

� ��

che dimostra come l’energia totale è una costante del moto.

In maniera analoga si può vedere che le componenti 0kθ sono associate a densità di impulso. La quantità

µνθ è

un esempio di tensore di Noether conservato, in questo caso connesso all’invarianza traslazionale con conservazione

del quadri-impulso.

Attraverso analoghe procedure possono essere costruiti altri tensori di Noether che connettono quantità

conservate sia a simmetrie continue dello spazio-tempo che a simmetrie continue interne.


QUANTIZZAZIONE CANONICA DELLE TEORIE DI CAMPO LIBERO

EQUAZIONI D’ONDA RELATIVISTICHE: CAMPO DI KLEIN-GORDON

Il nostro primo obiettivo è quello di sistemare i principi della meccanica quantistica e dell’invarianza relativistica

per costruire equazioni d’onda Lorentz-invarianti.

L’equazione d’onda per una particella relativistica scalare si ottiene a partire dall’espressione per l’energia

relativistica

2 2 2E p m= +�

attraverso le sostituzioni

,E i p it

∂→ → − ∇∂

��

Si ottiene così

( )2

2 2

2, 0m x t

tϕ∂ − ∇ + = ∂

� �

dove ( ),x tϕ � è l’autofunzione su cui agiscono gli operatori. In notazione relativistica

( )2 0m ϕ+ =□

è nota come equazione di Klein-Gordon (KG). Poiché l’operatore □ è uno scalare di Lorentz, la covarianza

dell’equazione d’onda è assicurata solo se ϕ è uno scalare.

Possiamo immediatamente notare come l’equazione di Schrödinger sia l’approssimazione non relativistica

dell’equazione di Klein-Gordon e, come per l’equazione di Schrödinger, sia possibile derivare una legge di

conservazione della probabilità di corrente del tipo

0jt

ρ∂ + ∇ ⋅ =∂

� �

Si ha infatti


( ) ( )2 2

2 2 2 2

2 20 m m

t tϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∂ ∂= + − + = − − ∇ + ∇

∂ ∂� �

□ □

e quindi

( )i

t t

j i

ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

∗ ∗

∗ ∗

∂ ∂ = − ∂ ∂

= − ∇ − ∇� ��

In notazione relativistica l’equazione di continuità si scrive

0jµµ∂ =

con

( ),j j iµ µρ ϕ ϕ∗= = ∂��

Contrariamente al caso non relativistico, dove la densità di probabilità è definita positiva ( )ρ ϕ ϕ∗= , nel caso

relativistico essa contiene le derivate temporali del campo (poiché l’equazione di KG è al secondo ordine in / t∂ ∂ ) e

non può essere definita positiva. La corretta interpretazione di tale equazione diviene quindi, piuttosto che di

equazione di particella singola, di equazione di campo in cui ρ è una densità di carica con segno positivo e negativo

che corrisponde a particelle ed antiparticelle, rispettivamente.

Possiamo definire formalmente una carica come l’integrazione spaziale della componente ‘time-like’ della

quadricorrente

( ) 3( , )Q t x t d xρ= ∫�

L’equazione del moto di Heisemberg per la carica è

( ) 3 3 ˆ( , ) ( , )S

dQ t dx t d x j x t d x j ndS

dt dtρ= = − ∇ ⋅ = − ⋅∫ ∫ ∫

� � ��

dove S è una superficie che racchiude il volume V ed n un versore uscente normale alla superficie.


CAMPO DI DIRAC

L’equazione di KG complessa ha una densità di probabilità che non è definita positiva e la presenza di stati ad

energia negativa. Per queste ragioni venne abbandonata in favore di un’equazione d’onda al primo ordine nelle

derivate sia spaziali che temporali, attraverso la richiesta

2 2E p m p mα β= + → ⋅ +��

con α� e β da determinare. L’equazione d’onda di Dirac si ottiene attraverso le usuali sostituzioni

/ ,E i t p i→ ∂ ∂ → − ∇��

, ovvero

( )( , ) ( , )i x t i m x ttψ α β ψ∂ = − ⋅∇ +

∂��

Affinché questa sia un’equazione valida deve essere covariante e consistente con la corretta relazione per

l’energia. Queste richieste sono incompatibili se α� e β sono numeri, mentre può essere soddisfatta se sono matrici

4x4 che soddisfano le seguenti relazioni:

{ }{ }

2 2 2 21 2 3 1,

, 2 ,

, 0.

i j ij

i

α α α βα α δ

α β

= = = =

=

=

Una scelta convenzionale (non l’unica) è la seguente:

0 0,

0 0

I

I

σα β

σ = = −

��

�

Poiché gli operatori che appaiono nell’equazione di Dirac sono matrici 4x4, le funzioni d’onda sono vettori a 4

componenti.

Deriviamo ora la legge di conservazione della probabilità di corrente. Si ha

( ) ( ) †† † †0 i m i m i i

t tψ α β ψ α β ψ ψ ψ ψ ψ ψ∂ ∂ = − ⋅∇ + − − ⋅∇ + = + ∂ ∂

� ��

e quindi, poiché †α α=� �

, †β β= , ( )† † †βψ ψ β= e così via, si ottiene


†

†j

ρ ψ ψψ αψ

==� �

Il fatto che la corrente non contenga ∇�

, contrariamente ai casi di Schrödinger e di Klein-Gordon, è dovuto al

fatto che l’equazione di Dirac è lineare nelle derivate spaziali.

Anche per l’equazione di Dirac è conveniente passare ad una notazione covariante ponendo

0 00

,0

σγ γ α γ β

σ = = = −

��

�

che soddisfano le relazioni di anticommutazione

{ }, 2v gµ µνγ γ =

Si ottiene pertanto (sfruttando al proprietà 0 0 1γ γ = )

( )0 0 0( , ) ( , )i x t i m x tt

γ γ ψ γ γ ψ∂ = − ⋅∇ +∂

��

ovvero

0i m it

γ γ ψ∂ + ⋅∇ − = ∂ ∂

�� ( ) 0m ψ− =

Le densità di probabilità e corrente si possono scrivere come

† 0 0 0

† 0 0j

ρ ψ γ γ ψ ψγ ψψ γ γ αψ ψγψ

= == =� � �

e dunque la quadricorrente conservata assume la forma compatta

jµ µψγ ψ=

QUANTIZZAZIONE DELL’HAMILTONIANA CLASSICA


La procedura di quantizzazione canonica costruisce un Hamiltoniana quanto-meccanica a partire da quella

classica attraverso la sostituzione delle coordinate generalizzate con operatori:

ˆ ˆ( , ) ( , )q p q p→

dove gli operatori ˆ ˆ( , )q p soddisfano le relazioni di commutazione

[ ] [ ] [ ]ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , 0,q p i q q p p= = =

La sostituzione esplicita nello spazio delle coordinate consistente con questa richiesta è

ˆ ˆ,q q p p iq

∂→ → ≡ −∂

dove le quantità a sinistra sono variabili dinamiche classiche e quelle a destra operatori che agiscono su uno

spazio vettoriale lineare (lo spazio di Hilbert).

Esistono varie rappresentazioni in cui è possibile formulare un problema quanto-meccanico. La più nota è quella

di Schrödinger in cui la dinamica è contenuta in una funzione d’onda che è soluzione dell’equazione

( ) 0Si H tt

ψ∂ − = ∂

Nella formulazione di Schrödinger le funzioni d’onda dipendono dal tempo al contrario degli operatori. In

alternativa, si può formulare un problema quantistico nella rappresentazione di Heisemberg dove a dipendere dal

tempo sono gli operatori mentre la funzione d’onda è indipendente dal tempo. Poiché

( ) ( )0iHt

S St eψ ψ−=

identifichiamo la funzione d’onda (indipendente dal tempo) nella rappresentazione di Heisemberg con

( )0H Sψ ψ≡

mentre gli operatori di Schrödinger sono connessi a quelli di Heisemberg attraverso la trasformazione

( ) iHt iHt

H SO t e O e−=

Se nella rappresentazione di Schrödinger si ottiene lo sviluppo temporale della funzione d’onda usando

l’equazione ( ) ( )/ 0Si t H tψ∂ ∂ − = , nella rappresentazione di Heisemberg si deve risolvere l’equazione per lo

sviluppo temporale degli operatori (l’equazione del moto di Heisemberg)


( ) [ ],H Hi O t O Ht

∂ =∂

Se HO commuta con H si ha ( ) / 0HO t t∂ ∂ = .

Consideriamo lo spostamento infinitesimo delle coordinate ( ) ( )x x t tζ→ + . La funzione d’onda cambia

come

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xx x x x x i p xx

ψ ψ ζ ψ ζ ψ ψ ζ ψ∂→ + + = +∂

≃

Il valore di aspettazione dell’Hamiltoniana è

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )3 3,xH x H x x H x d x i x p H x d xδ ψ ζ ψ ζ ψ ψ ζ ψ ψ∗ ∗ ∗= + + − = − ∫ ∫

L’invarianza per traslazioni spaziali impone che 0Hδ = ovvero [ ], 0xp H = che esprime la

conservazione dell’impulso / 0xp t∂ ∂ = .

QUANTIZZAZIONE DEL CAMPO SCALARE COMPLESSO

Il passaggio da una particella puntiforme nella posizione ( )x t�

ad un campo ( , )x tϕ � (il cui dominio spazio-

temporale è continuo ed il numero di gradi di libertà è infinito) può essere visualizzato con la sostituzione di x�

con

ϕ e di t con ( , )x x tµ = � . La densità di Lagrangiana è definita attraverso l’azione come

4( , ) ( , )f

i

t

t

S L x x dt d xµϕ ϕ= = ∂∫ ∫ɺ �

Possiamo ora definire, analogamente al caso classico, i momenti coniugati come

( , )x tπϕ

∂≡∂

�

ɺ

�

dove 0ϕ ϕ= ∂ɺ e costruire la densità di Hamiltoniana attraverso la trasformazione di Legendre


πϕ= −ɺ� �

L’integrazione di tale densità fornisce l’Hamiltoniana del sistema:

3H= d x∫�

L’equazione d’onda si ottiene attraverso le equazioni di Eulero-Lagrange che hanno la forma

( ) 0µµϕ ϕ

∂ ∂− ∂ =∂ ∂ ∂� �

La densità di Lagrangiana appropriata per il campo di KG complesso è

( )( ) 2mµµϕ ϕ ϕ ϕ∗ ∗= ∂ ∂ −�

Si ha pertanto

( , ) ( , )x t x tπ ϕϕ

∗∂≡ =∂

� �ɺ

ɺ

�

La quantizzazione del campo si ottiene sostituendo il campo ed il campo coniugato con operatori di campo che

obbediscono alle relazioni di commutazione a tempi uguali

[ ] ( )[ ] [ ]

( , ), ( , ) ,

( , ), ( , ) ( , ), ( , ) 0.

x t x t i x x

x t x t x t x t

ϕ π δϕ ϕ π π

′ ′= −′ ′= =

� � � �

� � � �

QUANTIZZAZIONE DEL CAMPO DI DIRAC

La densità di Lagrangiana appropriata per il campo di Dirac è la seguente

iψ= ∂� ( )m ψ−

da cui si ottiene il momento coniugato

†( , ) ( , )x t i x tα αα

π ψψ

∂≡ =∂

� �

ɺ

�


La quantizzazione di una campo di Fermi differisce da quella di un campo di Bose. Gli operatori di campo

obbediscono ora alle relazioni di anticommutazione

{ } ( ){ } { }

( , ), ( , ) ,

( , ), ( , ) ( , ), ( , ) 0.

x t x t i x x

x t x t x t x t

α β αβ

α β α β

ψ π δ δ

ψ ψ π π

′ ′= −

′ ′= =

� � � �

� � � �


QUANTIZZAZIONE DEL CAMPO ELETTROMAGNETICO

QUANTIZZAZIONE DEI CAMPI DI GAUGE

Esistono varie complicazioni nel quantizzare i campi di gauge ed il campo elettromagnetico le esibisce tutte.

L’origine di questa difficoltà risiede nel fatto che il campo elettromagnetico, come qualsiasi campo privo di massa,

possiede solo due componenti indipendenti ma è descritto in maniera covariante da un quadrivettore Aµ . Se

scegliamo due di queste componenti come quelle fisiche e le quantizziamo, sacrifichiamo la covarianza. Al contrario,

se il campo viene quantizzato in maniera manifestamente covariante, rimangono due componenti ridondanti e la

nozione di metrica definita positiva deve essere sacrificata.

EQUAZIONI DI MAXWELL

Le leggi dell’elettromagnetismo classico sono

( )

( )

( )

0

E

BE

tB

EB j

t

ρ∇ ⋅ =

∂∇ ∧ = −∂

∇ ⋅ =

∂∇ ∧ = +∂

� �

��

� �

��

Gauss

Faraday

Ampère - Maxwell

dove E�

e B�

sono i campi elettrico e magnetico, ρ è la densità di carica e j�

è la densità di corrente.

Prendendo la divergenza dell’equazione di Ampere-Maxwell si ottiene immediatamente l’equazione di continuità

0jt

ρ∂ + ∇ ⋅ =∂

� �

che garantisce la conservazione della carica elettrica (la variazione di carica in un volume arbitrario è causata dal

flusso della corrente attraverso la superficie che racchiude tale volume: la carica è conservata localmente !).


I campi elettrico E�

e magnetico B�

possono essere eliminati in favore di un potenziale vettore A�

ed un

potenziale scalare φ attraverso le relazioni

AE

t

B A

φ∂= − − ∇∂

= ∇ ∧

��

��

Si ottiene

( ) ( )

2

2

E At

EB j A A A

t

ρ φ∂∇ ⋅ = = − ∇ ⋅ − ∇∂

∂∇ ∧ = + = ∇ ∧ ∇ ∧ = ∇ ∇ ⋅ − ∇∂

��

��

Il sistema di quattro equazioni differenziali accoppiate viene così sostituito dalle due che trasformano in campi

em nei potenziali e dalle due equazioni al secondo ordine

22

2

22

2

At t t

AA j A

t t

φ φ ρ φ

φ

∂ ∂ ∂ − ∇ = + + ∇ ⋅ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ − ∇ = − ∇ + ∇ ⋅ ∂ ∂

��

��

I potenziali non sono definiti in maniera univoca ma a meno di una trasformazione di gauge:

t

A A

χφ φ

χ

∂ ′ = − ∂ ′ = + ∇� � �

attraverso una funzione arbitraria ( ),x tχ � che lascia i campi elettrico e magnetico (e quindi anche la forza di

Lorentz) invariati. Infatti si ha:

( )( )

AE E A E

t t t

B B A A B

χφ χ φ

χ

∂ ∂ ∂ ′→ = −∇ − − + ∇ = −∇ − = ∂ ∂ ∂ ′→ = ∇ ∧ + ∇ = ∇ ∧ =

��

� ��

Possiamo usare questa invarianza per scegliere un insieme di potenziali che soddisfano la condizione


0Atφ∂ + ∇ ⋅ =

∂��

Le due equazioni differenziali al secondo ordine accoppiate si disaccoppiano così nelle

22

2

22

2

t

AA j

t

φ φ ρ∂ − ∇ =∂∂ − ∇ =∂

�

��

e possono essere risolte in maniera indipendente. Questa particolare scelta è chiamata gauge di Lorentz. Un’altra

possibile scelta è la gauge di Coulomb (o di radiazione) specificata dalla condizione

0A∇ ⋅ =��

che è detta richiesta di trasversalità. In questa gauge il potenziale scalare soddisfa l’equazione di Poisson

2φ ρ∇ = −�

NOTAZIONE COVARIANTE

Per esprimere tutti questi risultati in maniera compatta è conveniente l’uso della notazione relativistica. Il campo

elettromagnetico è descritto dal quadripotenziale

( ),A Aµ φ= −�

Introducendo l’operatore d’Alambertiano

22

2t

∂ − ∇∂

= �□ , le equazioni per i potenziali si possono scrivere

( )A j Aνµ µ µ ν= + ∂ ∂□

dove ( )0,µ∂ = ∂ ∇�

e ( ),j jµ ρ= −�

, mentre l’equazione di continuità diviene

0jµµ∂ =

Le sei componenti dei campi elettrico e magnetico sono ora gli elementi del tensore antisimmetrico


F A Aµν µ ν ν µ= ∂ − ∂

e le equazioni per i potenziali si ottengono attraverso la derivata covariante del tensore antisimmetrico

F A A jµν µ ν ν µ νµ µ µ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ =

Queste equazioni si possono ottenere inoltre variazionalmente attraverso la densità di Lagrangiana

1

4F F j Aµν µ

µν µ= − −L

La trasformazione di gauge locale assume ora la forma

A Aµ µ µ χ→ − ∂

Come abbiamo visto precedentemente, questa trasformazione lascia i campi elettrico e magnetico invariati.

Infatti si ha

F A A Fµν µ ν µ ν ν µ ν µ µνχ χ→ ∂ − ∂ ∂ − ∂ + ∂ ∂ =

La condizione che fissa la gauge di Lorentz diviene

0Aµµ∂ =

e le equazioni per i potenziali divengono

A jµ µ=□

La condizione di Lorentz riduce il numero di componenti indipendenti da quattro a tre ma non rende Aµ unico.

Se infatti Aµ soddisfa la condizione 0Aµµ∂ = , allora A Aµ µ µ χ′ = − ∂ soddisfa la medesima condizione a

patto che 0A Aµ µ µµ µ µ χ′∂ = ∂ − ∂ ∂ = ovvero 0χ =□ .

L’arbitrarietà nella scelta di χ ci consente prendere χ in maniera tale che soddisfi

0At

χ∂=∂

da cui segue 0 0A′ = . Da A A χ′ = + ∇� � �

, utilizzando la condizione di Lorentz, si ottiene


22 2 2

0 20A A A

t tχ χ χ χ χ∂ ∂′∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ = − + ∇ = − + ∇ = − =

∂ ∂� ��

□

I potenziali che soddisfano la condizione

0 0, 0A A= ∇ ⋅ =��

sono detti appartenere alla gauge di radiazione (o di Coulomb). Naturalmente tale condizione è verificata solo

per campi liberi. In questa gauge vi sono solo due componenti indipendenti del campo ed è la gauge in cui la natura

fisica del campo elettromagnetico diviene più evidente.

QUANTIZZAZIONE NELLA GAUGE DI RADIAZIONE

Per prima cosa bisogna definire i campi coniugati

Aµ

µ

π ∂≡∂ ɺL

Si ha

0 22 = 2Ei

oiF F F Fµνµν = + +

�cost cost

(poiché 00 0F = e 0oi iF F= − ) e dunque

( )0

0 0

0A

π ∂= =∂ ∂L

mentre

( )0

i i

i

EA

π ∂= =∂ ∂L

Per quantizzare il campo dobbiamo per prima cosa assumere che le componenti indipendenti del campo e del

campo coniugato commutino a tempi uguali, ovvero

( )( , ), ( , ) ( , ), ( , ) ,j j

i i ijA x t x t A x t E x t i x xπ δ δ′ ′ ′= = − � � � � � �


Questa condizione però è inconsistente con la condizione della gauge di radiazione 0A∇ ⋅ =��

. Si ha infatti

ˆ ˆ( , ), ( , ) ( , ) ( , ) 0i j i j

x i x iA x t E x t A x t E x t′ ′∇ = ∇ = � � � �

mentre

( )ˆ 0i

ij xi x xδ δ ′∇ − ≠� �

Bisogna dunque modificare le relazioni di commutazione attraverso l’introduzione del generico tensore del

secondo rango simmetrico ij∆ con la sostituzione

ij ijδ → ∆

in maniera tale che ( )ˆ 0i

x ij x xδ ′ ∇ ∆ − = � �

.

E’ immediato verificare come le corrette regole di commutazione siano

( ) ( )2( , ), ( , ) ,i ji j tr

ij ijA x t x t i x x i x xπ δ δ δ∇ ∇ ′ ′ ′= − − = − ∇

� � � � � �


CONNESSIONE TRA SPIN E STATISTICA

EQUAZIONE DI SCHRÖDINGER

Consideriamo una singola particella di massa m libera descritta da una funzione d’onda ( , )x tψ � soluzione

dell’equazione di Schrödinger

2

( , ) ( , )2

i x t x tt mψ ψ∂ ∇= −

∂

��

Consideriamo la più generale espansione della funzione d’onda in termini di un insieme completo di autostati

{ }( )n xψ � dell’Hamiltoniana

( )( , ) ( )n nn

x t b t xψ ψ=∑� �

Sostituendo nell’equazione di Schrödinger si ottiene

( ) ( ) ( )2

( ) ( ) ( )2n n n n n n n

n n n

di b t x b t x b t E xdt m

ψ ψ ψ ∇= − =

∑ ∑ ∑�

� � �

ovvero

( ) ( )n n n

di b t E b tdt

=

che rappresenta l’equazione del moto per le coordinate normali del sistema. Si ha inoltre che

3 3

n m n m n n nnm n

dE d x i b i b d x E b b

t dtψ ψ ψ ψ∗ ∗ ∗ ∗∂ = = = ∂

∑ ∑∫ ∫

dove abbiamo imposto le condizioni periodiche ai bordi utilizzando le soluzioni

( ) 1nik x

n x eV

ψ ⋅=� ��


con ( )1/3

2, ,n x y zk n n n

V

π=�

.

Si può andare oltre la formulazione di prima quantizzazione introducendo gli operatori di creazione ed

annichilazione attraverso le sostituzioni

†

ˆ

ˆn n

n n

b b

b b∗

→

→

e dunque

†ˆ ˆˆn n n

n

E H E b b→ =∑

Le equazioni del moto per nb sono dunque

( )† † †ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ, ,n n n m m m m n m m m m nm m

di b b H b E b b E b b b b b bdt − −

= = = − ∑ ∑

Dobbiamo ora stabilire le relazioni di commutazione per gli operatori. Le possibilità sono due, ovvero

†

† †

ˆ ˆ,

ˆ ˆ ˆ ˆ, , 0

n m nm

n m n m

b b

b b b b

δ±

± ±

=

= =

Si ha pertanto

( )† †ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆn m nm m n m m m n n n

m

di b E b b b b b b E bdt

δ = ± − = ∑

in entrambi i casi. Definiamo ora l’operatore numero

†ˆ ˆˆn n nN b b=

in maniera tale che

ˆn n n nN N N N=

Nel caso in cui valgano le relazioni di commutazione, il formalismo adoperato vale nel caso di bosoni. Nel caso

invece in cui valgono le relazioni di anticommutazione si ottiene


( )2 † † † †ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1n n n n n n n n n n n n n nN N b b b b N b b b b N N N= = − =

che segue da

† †ˆ ˆ ˆ ˆ 0n n n nb b b b= =

come si può ottere dalle regole di anticommutazione.

Pertanto

2 0,1n n nN N N= ⇒ =

Questo campo obbedisce alla statistica di Fermi-Dirac.

La teoria di Schrödinger è dunque consistente con entrambe le relazioni di commutazione e pertanto non

provvede a nessuna connessione tra lo spin e la statistica. Tutto quello che si può determinare concerne la simmetria

della funzione d’onda in connessione con la statistica.

In meccanica quantistica l’indistinguibilità tra due particelle assume la forma matematica

2 2

1 2 2 1ˆ ˆ1 1 1 1n n n nf O f O=

che si traduce nella

1 2 2 1ˆ ˆ1 1 1 1i

n n n nf O e f Oδ=

Il fattore di fase è 1± se due scambi ci riportano allo stato di partenza. Poiché O ed f sono arbitrari, si ha

allora

1 2 2 11 1 1 1n n n n= ±

Il caso simmetrico si ha quando i campi commutano

† † † †

1 2 1 2 2 1 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 0 0 1 1n n n n n n n nb b b b= = =

Il caso antisimmetrico si ha quando i campi anticommutano

† † † †

1 2 1 2 2 1 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 0 0 1 1n n n n n n n nb b b b= = − = −


CAMPO DI KLEIN-GORDON REALE

La densità di Lagrangiana appropriata per il campo di Klein-Gordon reale è

( )( ) 21

2mµ

µϕ ϕ ϕ ϕ∗ = ∂ ∂ − �

e porta all’equazione di Klein-Gordon per il campo scalare

( )2 0m ϕ+ =□

Calcoliamo esplicitamente il commutatore

[ ]( , ), ( , )x t x tϕ ϕ ′ ′� �

utilizzando l’espansione di Fourier per il campo scalare reale

( )†1( , )

2k ki t i tik x ik x

k kk

k

x t a e e a e eV

ω ωϕω

−− ⋅ ⋅= +∑� ��

� ��

�

Si ottiene

[ ]

( )( ) ( )† †

,

† †

,

( , ), ( , )

1

2

1, ,

2

p pk k

pk k

i t i ti t i tik x ik x ip x ip x

p pk kk p

k p

i ti t i tik x ip x ik x ip x

p pk kk p

k p

x t x t

a e e a e e a e e a e e k pV

a a e e e e a a e e e eV

ω ωω ω

ωω ω

ϕ ϕ

ω ω

ω ω

′ ′−′ ′−⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅

′′ ′−⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅

′ ′

= + + − ↔

= +

∑

∑

� ��

� � � ��

� ��

� ��

� �

{ }pi tω ′−

Gli operatori giocano un ruolo cruciale nell’interpretazione a particelle della teoria del campo quantizzato. Si può

notare infatti che per

†

,, pk k p

a a δ = � ��

ovvero se le particelle sono bosoni, si ha


[ ] ( ) ( ) ( ) ( ){ }

( )( ) ( )

3

3

1( , ), ( , )

2

sin2

k kik x x i t t ik x x i t t

k k

k

x t x t e e e eV

d ki k x x i x x

ω ωϕ ϕω

π ω

′ ′ ′ ′⋅ − − − − ⋅ − −′ ′ = −

′ ′= − − ≡ ∆ −

∑

∫

� ��

�

� �

ovvero, a tempi uguali,

[ ] ( )( , ), ( , ) ,0 0x t x t i x xϕ ϕ ′ ′= ∆ − =� � � �

Il campo coniugato a ( , )x tϕ � è

( , ) ( , )x t x tπ ϕϕ

∂≡ =∂

� �ɺ

ɺ

�

e dunque, poiché πϕ= −ɺ� � , si ottiene

( )22 2 21

23 3H = d x m d xϕ ϕ ϕ = + ∇ + ∫ ∫

�ɺ�

Sostituendo l’espansione di Fourier per il campo scalare reale si ottiene

( )† †1

2 k k k k kk

H = a a a aω +∑ � � � �

�

Una volta quantizzato il campo si ha

† 1

2k k kk

H = a aω +

∑ � ��

ovvero l’usuale Hamiltoniana scritta in termini dell’operatore numero †

k k kN = a a� � � .

CAMPO DI KLEIN-GORDON COMPLESSO

La densità di Lagrangiana appropriata per il campo di Klein-Gordon complesso è

( )( )† 2mµµϕ ϕ ϕ ϕ∗= ∂ ∂ −�


e porta alle equazioni di Klein-Gordon

( ) ( )2 2 †0, 0m mϕ ϕ+ = + =□ □

per i campi indipendenti †,ϕ ϕ . Il campo coniugato a ( , )x tϕ � è

† †( , ) ( , )x t x tϕ πϕ

∂ = =∂

� �ɺ

ɺ

�

mentre Il campo coniugato a †( , )x tϕ �

è

†( , ) ( , )x t x tϕ π

ϕ∂ = =∂

� �ɺ

ɺ

�

e dunque, poiché † †π ϕ ϕ π= + −ɺ ɺ� � , si ottiene

( ) ( )† 2 †3 3H = d x m d xϕ ϕ ϕ ϕ = ∇ ⋅ ∇ + ∫ ∫� �

�

Sostituendo l’espansione di Fourier per il campo scalare complesso

( )†1( , )


k kk

k

x t a e e b e eV

ω ωϕω

−⋅ − ⋅= +∑� ��

� ��

�

e quindi

( )† †1( , )


k kk

k

x t b e e a e eV

ω ωϕω

−⋅ − ⋅= +∑� ��

� ��

�

si ottiene

( )† †

k k k k kk

H = a a b bω +∑ � � � ��

Per ottenere questo risultato non abbiamo ancora quantizzato il campo. Il termine in †

k kb b� � non è nel giusto

ordine per ssere un operatore numero. Se imponessimo le condizioni di commutazione avremmo † †1

k k k kb b b b= ±� � � �

nei due casi. E’ evidente che, al fine di ottenere un energia definita positiva dobbiamo richiedere che k

a� e k

b�

soddisfino le relazioni di commutazione e quindi la statistica di Bose Einstein.


CAMPO DI DIRAC

Come per il campo di Klein-Gordon complesso si può espandere il campo di Dirac in un insieme completo di

autostati

( ) † ( )( , ) ( , ) ( , )p p p pp

x t c x t d x tψ ψ ψ+ − = + ∑ � � � �

�

� � �

dove

( ) ( , )ipx

p p

ex t N

V

χψ

η± =

∓

� �

�

dove χ ed η sono vettori a due componenti e pN � è un fattore di normalizzazione.

Consideriamo inizialmente le soluzioni ad energia positiva. L’equazione di Dirac, in forma esplicita, è

0 i= ∂( ) ( )( )

( )( )

0( )

0

ipx

p

pipx

p

i m I im e

i i m I

E m I pe

p E m I

χσψ

ησ

σ χησ

+ −

−

∂ − ⋅∇ − = − ⋅∇ − ∂ +

− − ⋅ = ⋅ − +

�

��

��

� �

� �

ovvero

( )( )

0

0

p

p

E m p

E m p

χ σ η

η σ χ

− − ⋅ =

+ − ⋅ =

� �

� �

pertanto deve essere

p

p

E m

ση χ⋅=+

� �

Il vettore χ è un arbitrario spinore a due componenti che normalizziamo come † 1χ χ = .

La normalizzazione degli stati consente di determinare pN � . Si ha


( ) ( )( )

2

2 † † 2 22

21 1 p

p p p

pp

EpN N N

E mE m

χ σχ η

η

⋅ = = + = + +

� � �

� �

ovvero

2p

p

p

E mN

E

+=�

La scelta più ovvia è quella di quantizzare lo spin nella direzione z e quindi lo spinore sarà un autovettore di zσ ,

ovvero

(1) ( 1)1 0

,0 1

χ χ − = =

Utilizzando questi risultati avremo

( )( )

( )( ), ,( , ) , 1, 1

2

s

p ipx ipxsp s p s

p pp

E m mx t e u e sp

E V E VE m

χψ σ χ

+ − −

+ = ≡ = −⋅

+

� �

� � �

dove

( )

( ), 2

s

psp s

p

E mu p

mE m

χσ χ

+ = ⋅

+

�

� �

Lo stesso procedimento può essere usato per ricavare le soluzioni ad energia negativa. Si ha

0 i= ∂( ) ( )( )

( ) pipx

p

p

E m I pm e

p E m I

σ χψ

ησ−

− − ⋅ − = − ⋅ − − +

�

� �

� �

ovvero

( )( )

0

0

p

p

E m p

E m p

χ σ η

η σ χ

+ − ⋅ =

− − ⋅ =

� �

� �

e quindi ora


p

p

E m

σχ η⋅=+

� �

per cui

( )

( )

, ,

( )

( , )2

s

p ipx ipxpp s p s

p ps

pE m mE mx t e e

E V E V

σ χψ υ

χ

−

⋅ + += ≡

� �

� �

�

dove

( )

,

( )2

s

ppp s

s

pE m

E mm

σ χυ

χ

−

−

⋅ + +=

�

� �

Infine, il campo di Dirac è

†

, ,,

1( , )

2ipx ipx

ps p s p p sp s

p

x t c u e d eE V

ψ υ− = + ∑ � � � �

�

�

Per il campo di Dirac l’Hamiltoniana si può calcolare direttamente utilizzando l’espressione

( ) ( )† †

0

3 3 3H = i m d x i m d x i d xψ α β ψ ψ γ β ψ ψ ψ− ⋅∇ + = − ⋅∇ + = ∂∫ ∫ ∫� ��

Sostituendo l’espansione in serie di Fourier si ottiene

( )† †

p p p p pp

H = E c c d d−∑ � � � �

�

Nel caso del campo di Dirac siamo obbligati, se vogliamo che l’energia sia definita positiva, a modificare le

relazioni di commutazione in relazioni di anticommutazione e così le particelle di Dirac sono fermioni.


INTERAZIONI TRA CAMPI ED INVARIANZA DI GAUGE

TRASFORMAZIONI DI GAUGE GLOBALI E CAMPI LIBERI: CONSERVAZIONE DELLA CARICA

Attraverso una procedura simile a quella descritta per la conservazione del quandri-impulso nel caso di in campo

scalare reale, possono essere costruiti altri tensori di Noether connessi a quantità conservate sia nel caso di simmetrie

spazio-temporali continue che di simmetrie interne continue. Studiamo il caso dell’invarianza della densità di

Lagrangiana per il campo scalare complesso sotto rotazioni ( )1U (globali)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

i

i

x x e x

x x e x

α

αµ µ µ

ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ

′→ = ′∂ → ∂ = ∂

La lagrangiana per il campo scalare complesso

( )( ) 2mµµϕ ϕ ϕ ϕ∗ ∗= ∂ ∂ −�

e per il campo di Dirac

iψ= ∂� ( )m ψ−

sono chiaramente invarianti sotto tali trasformazioni, nel senso che

=′→� � �

Consideriamo ora le trasformazioni infinitesime

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

i

i

x e x x i x

x e x x i x

α

α

ϕ ϕ ϕ αϕϕ ϕ ϕ αϕ∗ − ∗ ∗ ∗

→ +

→ −

≃

≃

attraverso le quali ottiene


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

=

i

µ µµ µ

µ µµ µ

δ δϕ δ ϕ δϕ δ ϕϕ ϕ ϕ ϕ

α ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ

∗ ∗∗ ∗

∗ ∗∗ ∗

∂ ∂ ∂ ∂+ ∂ + + ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂= + ∂ − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

� � � ��

� � � �

L’invarianza della Lagrangiana sotto queste trasformazioni implica che 0=δ � .

Per mezzo delle equazioni di Eulero-Lagrange ( )// µ µϕ ϕ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ � � si ottiene

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 i

i J

µ µ µ µµ µ µ µ

µµ µ

µ µ

α ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ

α ϕ ϕ αϕ ϕ

∗ ∗∗ ∗

∗∗

∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ + ∂ − ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂= ∂ − = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

� � � �

� �

Nel caso del campo scalare complesso

( ) ( ) ( ) ( )J i iµ µ µ

µ µ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ

∗ ∗ ∗∗

∂ ∂ = − − = ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

� �

L’equazione per la conservazione della quadricorrente è

0 0J J Jt

µµ

∂∂ = + ∇ ⋅ =∂

� �

Se integriamo sul volume abbiamo

0 3 3 0V V S

J d x Jd x J dSt

∂ = − ∇ ⋅ = − ⋅ =∂ ∫ ∫ ∫

��

pertanto

0 3 3

V VQ J d x i d x

t t

ϕ ϕϕ ϕ∗

∗ ∂ ∂ = = − ∂ ∂ ∫ ∫

rappresenta la carica conservata. Naturalmente, nel caso del campo scalare reale 0Q = .

Nel caso del campo di Dirac si ottiene


( ) ( )J iµ µ

µ µ

ψ ψ ψγ ψψ ψ

∂ ∂= − − = ∂ ∂ ∂ ∂

� �

TRASFORMAZIONI DI GAUGE LOCALI E CAMPI INTERAGENTI

Abbiamo identificato una quantità conservata Q , come risultato dell’invarianza dell’azione sotto trasformazioni

di gauge (infinitesime) ( )1U . Poiché α è costante, queste trasformazioni sono valide in tutti i punti dello spazio-

tempo, sono cioè trasformazioni di gauge globali. Dunque, se operiamo una rotazione nello spazio interno del campo

in un punto, attraverso l’angolo α , dobbiamo operare la stessa rotazione in tutti gli altri punti allo stesso tempo.

Chiaramente, questo punto di vista contraddice lo spirito della teoria della relatività in accordo alla quale esiste un

ritardo temporale minimo tra due eventi che è uguale al tempo di propagazione della luce. Per tener conto di ciò,

abbandoniamo la richiesta che α sia una costante e scriviamola come una funzione arbitraria dello spazio-tempo

( )xµα . Otteniamo in questo caso una trasformazione di gauge “locale”

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )

i x

i x

x x e x

x x x i x x e

α

αµ µ µ µ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ α ϕ +

′→ = ′∂ → ∂ = ∂ + ∂

Campo scalare complesso

La lagrangiana del campo scalare complesso cambia come

( ) ( ){ } ( ) ( ){ } 2= i i mµ µµ µϕ α ϕ ϕ α ϕ ϕ ϕ∗ ∗ ∗′ ∂ − ∂ ∂ + ∂ −�

ovvero

( )( )= J µ µµ µα α α ϕ ϕ∗′− − ∂ + ∂ ∂� �

che quindi non è invariante per trasformazioni di gauge locali. Per renderla invariante è necessario introdurre un

quadrivettore Aµ che si accoppia alla corrente J µ attraverso un termine extra 1 qJ Aµ

µ=� (nel caso di

elettroni q e= − ) in maniera tale che


0 1= +� � �

dove 0� è la densità di lagrangiana dei campi liberi. La costante di accoppiamento è un numero tale che

1qA Lµ µ− ≡ ∂ = . Si ha dunque

( ) ( ){ }( )2

1 qi i i A

qJ A q A

µ µ µ µµ

µ µµ µ

ϕ ϕ α ϕ ϕ α ϕ ϕ

ϕ ϕ α

∗ ∗ ∗

∗

′ ′ = ∂ + ∂ − ∂ − ∂

′ ′= − ∂

�

La legge di trasformazione ( ) ( )A x A xµ µ′→ deve essere locale e costruita in maniera tale da consentire di

cancellare i termini extra nella Lagrangiana. Se poniamo

A A Aµ µ µδ′ = +

e sostituiamo, si ottiene

( )( ) ( )( )2= J qJ A q A Aµ µ µ µµ µ µ µ µα δ ϕ ϕ δ α α α ϕ ϕ∗ ∗′− − ∂ + − + ∂ + ∂ ∂� �

Posto

1A

qµ µδ α= ∂

si ottiene infine

( ) ( )( )2= q A µ µµ µϕ ϕ α ϕ ϕ α α∗ ∗′− − ∂ − ∂ ∂� �

che non è ancora nulla. Una possibilità è quella di introdurre un ulteriore termine nella lagrangiana in maniera

tale che, se 0 1 2= + +� � � � , allora 0=δ � . Tale risultato si ottiene con

2

2 q A Aµµϕ ϕ∗=�

Si ha

2 1 12 q A A

q qµ µ

µ µϕ ϕ α α∗ ′ = + ∂ + ∂

�

e quindi

0=′−� �


La lagrangiana totale è ora invariante in virtù dell’introduzione di un campo Aµ che si accoppia con il campo

scalare complesso ϕ attraverso il termine

2

int 1 2= qJ A q A Aµ µµ µϕ ϕ∗+ = +� � �

Il campo Aµ deve contribuire alla lagrangiana anche con un proprio termine di campo libero che deve essere

gauge-invariante. Questo si costruisce attraverso il tensore antisimmetrico

F A Aµν µ ν ν µ= ∂ − ∂

ed è

1

4A F F µνµν= −�

Raccogliendo tutti i risultati, la lagrangiana totale per l’interazione tra il campo scalare complesso ed il campo

Aµ è

( )( )

( )( )

2 2

2

1

41

4

= m qJ A + q A A F F

iqA iqA m F F

µ µ µ µνµ µ µ µν

µ µ µνµ µ µν

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗

∂ ∂ − + − =

= ∂ + ∂ − − −

�

Ricapitolando:

1) Il campo Aµ è il campo di gauge che deve essere introdotto nella teoria per garantire l’invazianza per

trasformazioni locali di gauge ( )1U .

2) L’invarianza di gauge richiede che tale campo sia privo di massa (ovvero che non siano presenti termini

del tipo 2M A Aµ

µ=� ).

3) La carica assume un doppio ruolo: è una quantità conservata ma anche la una costante di accoppiamento

che misura l’intensità di interazione tra le particelle ed il campo.

CAMPO DI DIRAC


Ripetiamo questi calcoli nel caso del campo di Dirac. La Lagrangiana, in questo caso, cambia come

= iψ′ ∂� ( )m ψ ψ− − ∂αψ

ovvero

= -J µµα′− ∂� �

Introdurre il quadrivettore Aµ , che si trasforma come A A Aµ µ µδ′ = + e si accoppia alla corrente J µ

attraverso il termine 1 qJ Aµµ=� in maniera tale che

0 1= +� � �

Si ha dunque

0= J qJ Aµ µµ µα δ′− − ∂ + =� �

con

1A

qµ µδ α= ∂

La lagrangiana totale per l’interazione tra il campo di Dirac ed il campo Aµ è

= iψ ∂� ( ) 1

4m qJ A F F

i

µ µνµ µνψ

ψ

− + −

= ∂ iq A−( ) 1

4m F F µν

µνψ − −

INVARIANZA DI GAUGE NON-ABELIANA

L’invarianza per trasformazioni di gauge (globali e locali) associata ( )1U è detta abeliana poiché ( )1U è un

gruppo abeliano. Questi concetti possono essere estesi a gruppi non abeliani, come ad esempio ( )2SU . Gli

elementi di ( )2SU sono rappresentati da matrici


( )2 i ii

x

U eτ α

=

dove le iτ sono le matrici di Pauli e gli ( )i xα sono tre parametri indipendenti che variano con continuità.

Consideriamo il caso di una trasformazione globale non abeliana, ovvero con ( )i ixα α≡ . Nel caso del campo

di Dirac si ha

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

2

12

12

i i

i i

i

i i

i

i i

ix x e x x

ix x x e x

τ α

τ α

ψ ψ ψ τ α ψ

ψ ψ ψ ψ τ α

′→ = +

′→ = −

≃

≃

La corrispondente quadricorrente conservata è

1

2i iJ µ µψγ τ ψ=

Se la simmetria è locale, la Lagrangiana di Dirac non è più invariante e cambia come

i i= J µµα′− − ∂� �

Nasce così l’esigenza di introdurre un campo di gauge iAµ per ogni generatore del gruppo, che si accoppi alla

corrente attreverso un termine ,i igJ Aµµ e che si trasformi come ,

1i iA

gµ µδ α= ∂ per garantire l’invarianza sotto

trasformazioni locali.

Questa discussione può essere estesa a tutti i gruppi ( )SU n . L’invarianza per trasformazioni di gauge locali

del gruppo ( )SU n è detta Teoria di Yang –Mills.


SIMMETRIE DISCRETE: PARITÀ, CONIUGAZIONE DI CARICA ED INVERSIONE

TEMPORALE

LEGGI DI CONSERVAZIONE

La simmetria gioca un ruolo estremamente importante in fisica e la sua origine risiede nell’assunzione che

determinate quantità siano non osservabili. Ciò implica un invarianza sotto una certa trasformazione matematica e

l’invarianza sotto questa trasformazione comporta una legge di conservazione (o una regola di selezione). Per

esempio, l’assunzione che una direzione assoluta nello spazio non sia osservabile (l’isotropia dello spazio) implica un

invarianza sotto trasformazioni che ruotano il sistema e ciò porta alla conservazione del momento angolare. In

tabella vi è una lista di tali relazioni tra le più importanti simmetrie note.

Non osservabile Trasformazione di simmetria Legge di conservazione

Differenza tra particelle identiche Permutazione Statistiche di Bose-Einstein e Fermi-

Dirac

Posizione assoluta

traslazione spaziale

x x xδ→ +� � �

Impulso

Tempo assoluto

traslazione temporale

t t tδ→ +

Energia

Direzione assoluta

Rotazione

θ θ ′→

Momento angolare

Velocità assoluta Trasformazioni di Lorentz Generatori del gruppo di Lorentz


Fase relativa tra stati a carica

differente Q

iQe θψ ψ→ Carica

Fase relativa tra stati a numero

barionico differente N

iNe θψ ψ→ Numero Barionico

Fase relativa tra stati a numero

barionico differente L

iLe θψ ψ→ Numero Leptonico

Destra o Sinistra assolute ( ) ( ), ,x t x t→ −� � Parità

Differenza tra una mistura coerente

di stati p e n

p pU

n n

→

Isospin

Le tre leggi di conservazione non connesse con lo spazio e con il tempo sono quelle della carica, del numero

barionico e del numero leptonico. Nel caso della carica, l’invarianza è legata alla non misurabilità della fase della

funzione d’onda di una particella carica rispetto ad una neutra. Queste tre leggi di conservazione hanno in comune

con quelle per l’impulso, del momento angolare e dell’energia, il fatto che sono tutte assolute, sono cioè simmetrie

esatte nel senso che sono simmetrie di tutte le interazioni, forti, elettromagnetiche e deboli.

Esiste un’altra classe di simmetrie, quelle cosiddette approssimate, che non sono osservate in tutte le interazioni

e sono di due tipi: il primo è in relazione all’inversione spaziale ed all’inversione temporale; il secondo non è connesso

allo spazio-tempo ed include l’isospin, la stranezza e tutte le simmetrie unitarie.

INVERSIONE SPAZIALE E PARITÀ

L’inversione spaziale è definita dalla seguente trasformazione

( ) ( ), ,P

x t x t→ −� �

dove P è l’operatore di Parità. Consideriamo l’equazione di Schrödinger


( ) ( ) ( ), ,H x x t i x tt

ψ ψ∂=∂

� � �

Se ( )H x�

è invariante per inversione spaziale si ha

( ) ( )H x H x= −� �

ovvero

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ,H x x t i x t H x x tt

ψ ψ ψ∂− − = − = −∂

� � � � �

pertanto ( ),x tψ −� obbedisce alla medesima equazione di Schrödinger alla quale obbedisce ( ),x tψ �.

Possiamo dunque definire le combinazioni lineari

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1, , ,

21

, , ,2

x t x t x t

x t x t x t

ψ ψ ψ

ψ ψ ψ

+

−

= + −

= − −

� � �

� � �

che sono stati a parità definita. Infatti:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1, , , ,

21

, , , ,2

P x t x t x t x t

P x t x t x t x t

ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ ψ

+ +

− −

= − + =

= − − = −

� � � �

� � � �

Per questi stati

[ ], 0P H H Hψ ψ ψ ψ ψ ψ∗ ∗ ∗± ± ± ± ± ±= ± =∫ ∫ ∫∓

e pertanto la parità si conserva. Per definizione di Parità ( ) ( ), ,P

x t x t→ −� � e dunque

P

p p→−� �. Poiché

l x p= ∧� � �

si ha P

l l→� �

.

Consideriamo ora le funzioni d’onda del momento angolare, ovvero le armoniche sferiche

( ) ( ), cosm m im

l lm lY N P e φθ φ θ=

ed applichiamo la trasformazione di parità. Si ha


,P P

θ π θ φ π φ→ − → +

per cui

( ) ( ) ( ) ( ), , 1 ,lm m m

l l lPY Y Yθ φ π θ π φ θ φ= − + = −

Consideriamo uno stato che consiste di due particelle ,a b descritto da una funzione d’onda

ab a bψ ψ ψ=

Sia aε la parità intrinseca di a e bε quella di b , ovvero

,a a a b b bP Pψ ε ψ ψ ε ψ= =

e sia l il momento angolare orbitale tra le due particelle. Si ha dunque

( )1l

ab a b a bPψ ε ε ψ ψ= −

Supponiamo ora che nell’interazione tra le due particelle venga creata una nuova particella c

a b a b c+ → + +

Se la reazione conserva la parità, ovvero se ab ab abc abcP Pψ ψ ψ ψ∗ ∗= e se L è il momento angolare dei prodotti

finali dell’interazione, si ottiene ( ) ( )1 1l L

a b a b cε ε ε ε ε− = − ovvero

( )1l L

cε += −

che è la parità intrinseca della particella c che è dunque ben definita per bosoni privi di carica. (se c è un

fermione oppure ha carica elettrica, essa deve necessariamente essere creata assieme ad un'altra particella per le

leggi di conservazione della carica).

INVERSIONE TEMPORALE

L’inversione temporale è definita dalla trasformazione

( ) ( ), ,T

x t x t→ −� �


Se H è invariante per inversione temporale si ha

( ) ( ), ,H x t i x tt

ψ ψ∂− = − −∂

� �

che non è più l’ equazione di Schrödinger alla quale obbedisce ( ),x tψ �. Abbiamo invece

( ) ( ), ,H x t i x tt

ψ ψ∗ ∗∂= −∂

� �

Il fatto che l’inversione temporale cambi una funzione d’onda nella sua complessa coniugata significa che questa

non può essere un autostato di T e quindi T non ha un corrispondente numero quantico conservato.

CONIUGAZIONE DI CARICA

L’operatore di coniugazione di carica C cambia ciascuna particella nella sua corrispondente antiparticella. C

pertanto cambia il segno di tutte le cariche (elettrica, numero barionico, numero leptonico e stranezza). Poiché il

campo elettrico ed il campo magnetico sono generati da cariche statiche ed in movimento, rispettivamente, ne segue

che

,C C

E E B B→− →−� � � �

ovvero

( ) ( ), ,C

A A A Aµ µφ φ= − →− = −� �

Gli autostati di C hanno carica nulla e per questi stati possiamo definire una “parità di carica” Cε tale che

CCϕ ε ϕ=

con 1Cε = ± . Il fotone ha parità di carica negativa.

Le interazioni forti ed elettromagnetiche conservano C .


ROTTURA SPONTANEA DELLA SIMMETRIA IN TEORIA QUANTISTICA DI CAMPO

INVARIANZA DI GAUGE E MASSA DEL FOTONE

Un campo vettoriale massivo ha una densità di Lagrangiana

21 1

4 2 A= F F m A Aµν µµν µ− +�

Se F µν è un invariante di gauge così non è per il termine di massa. L’incompatibilità dell’invarianza di gauge

con un termine di massa è un problema per qualsiasi tentativo di generalizzare la simmetria di gauge

dell’elettrodinamica ad altre interazioni fondamentali. Il fotone è infatti l’unico bosone privo di massa (libero)

osservabile in natura. Per esempio, se le interazioni deboli sono associate a campi di gauge, le corrispondenti densità

di lagrangiana non possono avere termini di massa e l’analogo debole dei fotoni (i bosoni vettoriali intermedi)

dovrebbero essere privi di massa. Poiché non è così, la via attraverso la quale un campo di gauge può acquistare una

massa è uno dei problemi fondamentali della teoria di campo. Questo meccanismo è connesso all’osservazione che

una lagrangiana di teoria di campo e lo stato di vuoto di tale teoria possono non avere la medesima simmetria. Ciò

porta alla rottura spontanea di simmetria ed al comparire del bosone di Goldstone, privo di massa. Per una

particolare classe di teorie, il meccanismo di Higgs elimina il bosone di Goldstone e genera una particella vettoriale

massiva, sebbene la teoria rimanga gauge-invariante.

CAMPO SCALARE REALE

La Lagrangiana per un campo scalare reale con un termine

di auto-interazione è la seguente:

( )( ) ( )( ) ( )2 2 41 1 1 1

2 2 4 2m Vµ µ

µ µϕ ϕ ϕ λϕ ϕ ϕ ϕ= ∂ ∂ − − = ∂ ∂ −L

dove m è un parametro arbitrario e 0λ > affinché l’energia sia ‘bounded below’. Questa Lagrangiana è

invariante per trasformazioni discrete ϕ ϕ→ − .


Il potenziale efficace ( )V ϕ è rappresentato in figura per 2 0m > (curva blu) e

2 0m < (curva rossa). Lo

stato fondamentale si ottiene minimizzando il potenziale. Si ha così

( ) 2 3 0V mϕ ϕ λϕϕ∂ = − − =

∂

per cui

2

2 22

0 0

0

m

mm

ϕλ

>=

− <

Nella teoria quantistica, dove ϕ è un operatore, questa condizione è riferita al valore di aspettazione sul vuoto di

ϕ

00 0ϕ ϕ=

Dunque, nel caso 2 0m < , il potenziale ha un massimo locale a 0ϕ = e due minimi, ovvero due stati di

vuoto degeneri a 2

0/a mϕ λ= ± = ± − . Questa situazione è tipica delle transizioni di fase in cui

2m gioca il

ruolo di parametro d’ordine. La Lagrangiana originale è invariante per trasformazioni discrete ϕ ϕ→ − ed i

risultati fisici devono essere indipendenti da questa scelta. Poiché lo stato di vuoto può essere 0

aϕ = + o

0aϕ = − non è più invariante sotto tale trasformazione. Questo è un tipico caso di rottura spontanea di

simmetria: malgrado la Lagrangiana sia invariante sotto una certa operazione di simmetria, il vuoto non lo è.

Quando 0

0ϕ = possiamo espandere la densità di lagrangiana al secondo ordine in ϕ per ottenere

( )( ) 2 21 1

2 2mµ

µϕ ϕ ϕ∂ ∂ −≃L

ovvero la densità di lagrangiana di un campo scalare libero di massa m . Questo significa che possiamo

interpretare le piccole oscillazioni quantizzate del campo attorno all’origine come particelle.

Scegliamo 0

aϕ = + come stato di vuoto su cui costruire la nostra teoria quantistica. Per facilitare i calcoli

definiamo il campo ‘shiftato’

0( ) ( ) ( )x x x aζ ϕ ϕ ϕ= − = −


Nei termini di questa nuova variabile 0

0ζ = e la densità di Lagrangiana diviene (trascurando i termini

costanti e operando la sostituzione 2 2m a λ= − ):

( )( ) ( ) ( )

( )( )

2 42

2 2 3 4

1 1 1

2 2 41 1

2 4

m a a

a a

µµ

µµ

ζ ζ ζ λ ζ

ζ ζ λ ζ ζ ζ

∂ ∂ − + − +

∂ ∂ − − −

L=

=

che non ha un’apparente simmetria per riflessione. Per piccole oscillazioni

( )( ) ( )( )2 2 2 21 1

2 2a mµ µ

µ µζ ζ λ ζ ζ ζ ζ∂ ∂ − = ∂ ∂ +≃L

che è la densità di Lagrangiana di un campo scalare reale di massa 22 0m mζ = − > .

Questo semplice esempio contiene molti dei comportamenti che caratterizzano una rottura spontanea della

simmetria:

1. Vi è un valore di aspettazione non nullo di un certo campo nello stato di vuoto.

2. La teoria classica risultante ha un vuoto degenere e la scelta tra vuoti equivalenti è completamente

arbitraria.

3. La transizione da un vuoto simmetrico ad un vuoto degenere avviene come una transizione di fase al

variare di un certo parametro d’ordine.

4. Lo stato di vuoto non possiede la medesima simmetria della Lagrangiana.

5. Nell’espansione attorno allo stato di vuoto la simmetria originale non è più evidente ma i vuoti

degeneri sono connessi l’uno all’altro dalle operazioni di simmetria, ovvero la simmetria è ancora presente ma

non si manifesta.

6. Le masse delle particelle che appaiono nella teoria con o senza la rottura spontanea possono

differire considerevolmente. Si dice che le masse sono state generate spontaneamente.

7. Quando la teoria sviluppa vuoti degeneri, l’origine diventa un punto di instabilità e quindi la

simmetria può essere rotta spontaneamente senza interventi esterni.

CAMPO SCALARE COMPLESSO


La Lagrangiana per un campo scalare complesso con un termine di autointerazione è la seguente:

( )( ) ( ) ( )( ) ( )22 ,m Vµ µµ µϕ ϕ ϕ ϕ λ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ∗ ∗ ∗ ∗ ∗= ∂ ∂ − − = ∂ ∂ −L

dove m è un parametro arbitrario e 0λ > . Questa Lagrangiana è invariante sotto la trasformazione di fase

globale

( ) ( ) ( )ix x e xθϕ ϕ ϕ′→ =

dove θ è indipendente da x . Definendo

ρ ϕ ϕ∗=

il potenziale efficace si può scrivere ( ) 2 2V mρ ρ λρ= + . Come nel caso precedente possiamo distinguere

due casi: (a) 2 0m > , il minimo è a 0ρ = e lo stato fondamentale classico è simmetrico; (b)

2 0m < , i minimi si

trovano sul piano complesso su un cerchio di raggio

2

2

mϕ ρλ

= = −

Dunque, nel caso 2 0m < , vi è un numero infinito di stati fondamentali degeneri che corrispondono a differenti

posizioni sull’anello dei minimi nel piano complesso e l’operazione di simmetria globale li connette gli uni agli altri.

L’intero anello dei minimi assoluti si trova dunque a

2

0( ) , 0 2

2i im

x e eθ θϕ ϕ θ πλ

= = − ≤ <

La rottura spontanea di simmetria si manifesta se scegliamo una particolare direzione di θ per rappresentare lo

stato fondamentale. Scegliamo 0θ = ed espandiamo attorno a questo minimo per investigare lo spettro.

Definiamo il campo ‘shiftato’

0

( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2

x i x ax x x

ξ χζ ϕ ϕ ϕ+≡ = − = −

con 2 2m a λ= − . Nei termini della nuova variabile la densità di Lagrangiana diviene


( )( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

2

2

2 22 22 2

2 2 2 2

1

2 2 4

a a a am

ma a

µµ

µ µµ µ

ζ ζ ζ ζ λ ζ ζ

λξ ξ χ χ ξ χ ξ χ

∗ ∗ ∗ ∂ ∂ − + + − + +

∂ ∂ + ∂ ∂ − + + − + +

L=

=

Trascurando i termini costanti si ottiene

( )( ) ( )( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 21 1

2 2 4a aµ µ

µ µ

λξ ξ χ χ λ ξ λ ξ ξ χ ξ χ∂ ∂ + ∂ ∂ − − + − +≃L

Se interpretiamo questa come la densità di Lagrangiana di una teoria quantistica di campo con due campi ξ e

χ , allora il campo χ è privo di massa mentre il campo ξ è massivo in virtù del termine

2

2 2 2 2 2

2

ma m ξλ ξ ξ ξ− = = − . Il modo massivo corrisponde a oscillazioni radiali mentre il modo privo di massa

corrisponde al moto angolare lungo il fondo della regione circolare per il quale non vi sono forze di “restoring”.

L’apparire del campo scalare privo di massa è un esempio specifico di un fenomeno generale presente nella

rottura spontanea delle simmetrie globali che è stabilito dal teorema di Goldstone:

Se una simmetria globale continua viene rotta spontaneamente, per ciascun generatore del gruppo che viene rotto

deve apparire nella teoria una particella priva di massa.

Tali particelle sono dette bosoni di Goldstone. I bosoni di Goldstone sono dunque eccitazioni ad energia nulla che

connettono l’uno all’altro tutti i possibili vuoti della teoria.

IL MECCANISMO DI HIGGS

Il teorema di Goldstone si applica alle teorie di campo che obbediscono a “postulati normali” come la località,

l’invarianza di Lorentz e la norma definita positiva nello spazio di Hilbert. Investighiamo ora se tale teorema è

operativo per teorie che possiedono una invarianza di gauge locale. L’esempio più semplice è l’estensione della

simmetria globale ( )1U ad una simmetria ( )1U locale, detta Modello di Higgs Abeliano. Ricordiamo che, quando

richiediamo l’invarianza locale

( , )( , ) ( , )i x tx t e x tϑϕ ϕ→��

ovvero


( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )i x tx t e x t i x t x tµ ϑ µ µϕ ϕ ϕ ϑ∂ → ∂ + ∂ ��

la Lagrangiana si trasforma come

( )( )( ) ( )

i i V

J V

µ µµ µ

µ µµ µ

ϕ ϕ ϑ ϕ ϕ ϑ ϕ ϕϕ ϕ ϑ ϕ ϕ

∗ ∗ ∗

∗ ∗

′ = ∂ − ∂ ∂ + ∂ −

= ∂ ∂ − ∂ −

L

dove

( )J iµ µ µ µϕ ϕ ϕ ϕ ϑϕ ϕ∗ ∗ ∗= ∂ − ∂ + ∂

è una corrente. L’azione non è evidentemente invariante per trasformazioni locali della funzione d’onda. Affinché

sia invariante per trasformazioni locali è necessario che il campo scalare interagisca con il campo e.m. descritto dal

quadripotenziale ( )0,A A Aµ = −�

, che si trasforma come 1

A Aqµ µ µϑ′ = + ∂ , attraverso un termine

2

int 1 2= qJ A q A Aµ µµ µϕ ϕ∗+ = +� � � . La lagrangiana totale per l’interazione tra il campo scalare

complesso ed il campo Aµ è dunque

( )( )

( )( )

2 2

2

1

41

4

= m qJ A + q A A F F

iqA iqA m F F

µ µ µ µνµ µ µ µν

µ µ µνµ µ µν

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗

∂ ∂ − + − =

= ∂ + ∂ − − −

�

dove v vF A Aµν µ µ= ∂ − ∂ è il rotore quadridimensionale di Aµ .

Riscriviamo la Lagrangiana in forma compatta, introducendo il termine di auto-interazione,

( ) ( ) ( )22 1

4D D m F Fµ µν

µ µνϕ ϕ ϕ ϕ λ ϕ ϕ∗ ∗ ∗= − − −L

dove

D iqAµ µ µ≡ ∂ −

Possiamo ancora distinguere due casi: (a) 2 0m > , il potenziale ha un minimo a 0ϕ ϕ ∗= = . La simmetria

della Lagrangiana è anche la simmetria dello stato fondamentale e lo spettro consiste di fotoni Aµ privi di massa e

coppie di campi scalari ,ϕ ϕ ∗ con la medesima massa; (b)

2 0m < , i minimi assoluti sono a


22

2

mϕλ

= −

Scegliamo come vuoto

2

0 2 2

m aϕλ

= − =

con a reale e positivo ed espandiamo attorno a questo minimo per investigare lo spettro.

Per facilitare i calcoli definiamo il campo ‘shiftato’

0

( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2

x i x ax x x

ξ χζ ϕ ϕ ϕ+≡ = − = −

Nei termini di questa nuova variabile si ottiene

( ){ }1

2D qA i qA aµ µ µ µ µϕ ξ χ χ ξ= ∂ − + ∂ + +

e dunque

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( )22 2

1 1

2 21

2

D D qA a

q A A a

µ µ µ µµ µ µ µ µ

µµ

ϕ ϕ ξ ξ χ χ ξ χ χ ξ

ξ χ

∗ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + + ∂ − ∂

+ + +

mentre

( ) ( ) ( )2 22 2 22 2 2

2 4

mm a a

λϕ ϕ λ ϕ ϕ ξ χ ξ χ∗ ∗ + + + + + + =

Raccogliendo i risultati, trascurando i termini costanti, e mantenendo i termini all’ordine più basso, si ottiene

( )( ) ( )( ) 2 2 2 21 1 1 1

2 2 2 4a qaA q a A A F Fµ µ µ µ µν

µ µ µ µ µνξ ξ χ χ λ ξ χ∂ ∂ + ∂ ∂ − + ∂ + −≃L

Questa è la densità di Lagrangiana per una teoria quantistica di 3 campi, due scalari (uno massivo (ξ con massa

)2 0m mξ = − > ed uno massless ( )χ ed un campo vettoriale massivo (con massa Am qa= ). In origine

avevamo 4 gradi di libertà che, dopo la rottura spontanea della simmetria, diventano 5 a causa della presenza del


fotone massivo. Il campo privo di massa può essere eliminato attraverso le trasformazione di gauge locale

(infinitesima)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 ( ) 1

2 2

x x x i x a x i x ax i x i

a a

α α ξ χ ξ χϕ ϕ ′ ′+ + + + → + = + =

dove

( )a

ξ ξ αχ χ α ξ′ = −′ = + +

L’arbitrarietà nella scelta di α ci consente di eliminare χ′ ponendo

a

χαξ

= −+

In questo caso la densità di Lagrangiana prende la forma

( )( ) 2 2 2 21 1 1

2 2 4a q a A A F Fµ µ µν

µ µ µνξ ξ λ ξ′ ∂ ∂ − + − +≃L coupling terms

Lo spettro ora è chiaro ed è costituito da una particella scalare con massa 22m aξ λ= − ed un campo

vettoriale massivo con massa qa . Il campo ( )xχ scompare per effetto di una trasformazione di gauge locale ed il

numero di gradi di libertà rimane invariato.

In realtà, piuttosto che usare le coordinate cartesiane conviene porre ( ) /( )

( )2

i x ax ax e χξϕ += . La

trasformazione di gauge locale che elimina il campo massless è allora

( ) / ( )( ) ( )

2i x a x a

x e xχ ξϕ ϕ− +→ =

Non ci sono dunque campi privi di massa: il teorema di Goldstone non si applica ad una teoria di gauge locale.

Il campo scalare massivo è detto campo di Higgs.


TEORIA DELLE PERTURBAZIONI E MATRICE S

TRASLAZIONE TEMPORALE

Lo sviluppo dinamico degli stati governato dall’equazione di Schrödinger può essere scritto nei termini di una

trasformazione unitaria. Per stati dipendenti dal tempo

( ) 0i H tt

ψ∂ − = ∂

E’ possibile definire un operatore di traslazione temporale attraverso l’equazione

( ) ( ) ( ),t U t t tψ ψ′ ′=

U è unitario ovvero † 1U U −= ed obbedisce alla proprietà di chiusura

( ) ( ) ( ), , ,U t t U t t U t t′ ′ ′′ ′′=

che impone che due traslazoni temporali successive costituiscono una traslazione temporale.

Per determinare la forma esplicita di U notiamo innanzitutto che ( ), 1U t t = . Per traslazioni infinitesime

t t τ′ = + , ( ),U t t′ deve quindi evolvere in maniera continua dall’identità. Si ha

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1U t t t t t t i H tt

τ ψ ψ τ ψ τ ψ τ ψ∂+ = + + = −∂

≃

Poniamo ora

( ) ( ) ( )0 0,t U t t tψ ψ=

ed otteniamo

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )0 0

0

0 0

,, 0

,

i t i U t t tt t i H U t t

tH t HU t t t

ψ ψ

ψ ψ

∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ⇒ − = ∂ =


La soluzione più generale di questa equazione, con la condizione iniziale ( )0 0, 1U t t = , è la seguente

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

0 0 0 0, , , 1 ,t

t

U t t iHU t t U t t i dt H t U t tt

∂ ′ ′ ′= − ⇒ = −∂ ∫

Questa soluzione può essere iterata per nel modo seguente

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )0

1

0

0 1 1 1 0

1 0 2 2 2 0 2 1

, 1 ,

, 1 , ,

t

t

t

t

U t t i dt H t U t t

U t t i dt H t U t t t t

= − = − ≤

∫

∫

e cosi via, per ottenere

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

0 0 0

11

0 0 0

2

0 1 1 1 2 1 2

1 2 1 21

, 1 ...

1n

tt t

t t t

tttn

n nn t t t

U t t i dt H t i dt dt H t H t

i dt dt dt H t H t H t−∞

=

= − + − +

= + −

∫ ∫ ∫

∑ ∫ ∫ ∫⋯ ⋯

Se H non dipende dal tempo si ottiene

( ) ( )0 0, expU t t iH t t= − −

Se invece H dipende dal tempo ma ( ) ( ), 0H t H t′ = si ha

( ) ( ) ( ) ( ) ( )11

0 0 0

0 1 1 2 21

, 1nttt

n

n nn t t t

U t t i dt H t dt H t dt H t−∞

== + −∑ ∫ ∫ ∫⋯

Poiché

( ) ( )0 0

1

2

t t

t t

dtH t dtH t′ ′

=∫ ∫

si ottiene infine

( ) ( ) ( ) ( )0 0

01

, 1 exp!

nnt t

n t t

iU t t dt H t i dt H t

n

∞

=

− ′ ′ ′ ′= + = −

∑ ∫ ∫


In tutta questa trattazione non abbiamo fatto menzione della dipendenza temporale delle osservabili. In teoria di

campo (ma non solo) l’Hamiltoniana che descrive il sistema fisico in esame, può sempre essere decomposta come

0 IH H H= +

dove 0H è l’Hamiltoniana dei campi liberi e IH quella di interazione. Se definiamo

( ) ( ) ( )0expI

t iH t tψ ψ=

si ha

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0

0 0

exp

exp exp

I I I

II I

i H H t i H H iH t tt t

i iH t t H iH t tt

ψ ψ

ψ ψ

∂ ∂ − − = − − − ∂ ∂

∂= − − −∂

Mltiplicando a sinistra per ( )0exp iH t si ottiene infine

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 00, exp expI I IIi H t t H t iH t H iH t

tψ∂ − = = − ∂

Possiamo quindi definire, nella rappresentazione di interazione, la trasformazione

( ) ( ) ( )0 0,II It U t t tψ ψ=

dove l’operatore unitario ( )0,IU t t obbedisce all’equazione

( ) ( )0, 0I Ii H t U t tt

∂ − = ∂

e dunque

( ) ( ) ( ) ( ) ( )11

0 0 0

0 1 2 1 21

, 1nttt

n

I n I I I nn t t t

U t t i dt dt dt H t H t H t−∞

== + −∑ ∫ ∫ ∫⋯ ⋯

Ordinamento temporale


Generalmente ( ) ( ), 0I IH t H t′ ≠ . Per semplificare la scrittura del’operatore di evoluzione temporale

introduciamo l’operatore di ordinamento temporale T che ha la proprietà:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 2 1 2 1I I I I I IT H t H t t t H t H t t t H t H tθ θ= − + −

Consideriamo il termine al secondo ordine della precedente espansione. Si ha

( ) ( ) ( ) ( )1 2

0 0 0 0

1 2 1 2 2 1 2 1

t tt t

I I I It t t t

dt dt H t H t dt dt H t H t=∫ ∫ ∫ ∫

Possiamo scrivere inoltre

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2

0 0 0 0 0 0

1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1

t tt t t t

I I I I I It t t t t t

dt dt T H t H t dt dt H t H t dt dt H t H t= + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

e dunque

( ) ( ) ( ) ( )1

0 0 0 0

1 2 1 2 1 2 1 2

1

2

tt t t

I I I It t t t

dt dt H t H t dt dt T H t H t= ∫ ∫ ∫ ∫

Se generalizziamo ad n fattori il risultato finale sarà

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

0 0 0

0

0 1 2 1 21

, 1!

exp

nt t t

I n I I I nn t t t

t

It

iU t t dt dt dt T H t H t H t

n

T i dt H t

∞

=

−= +

′ ′≡ −

∑ ∫ ∫ ∫

∫

⋯ ⋯

MATRICE S

In un processo di collisione, lo stato iniziale è considerato a 0t = −∞ . Tale stato evolve, dopo la collisione, fino

a t = +∞ . La matrice S connette questi due stai ed è definita come

( ) ( ) ( ){ }4, exp expI I IS U T i dtH t T i d xH x∞

−∞

= ∞ −∞ ≡ − = − ∫ ∫


( )IH t , se l’interazione è sufficientemente debole, può essere trattato come una perturbazione. Ciò è tipico

della QED dove la costante di accoppiamento è 1/137α ≃ . In questo caso sarà possibile calcolare sia i processi al

più basso ordine della teoria perturbativa che le correzioni agli ordini superiori.


RINORMALIZZAZIONE DELLA MASSA DELL’ELETTRONE

INTRODUZIONE

Un importante aspetto dell’elettrodinamica quantistica è il fatto che l’interazione tra le particelle cariche ed il

campo di radiazione può essere trattata quasi sempre come una perturbazione. Attraverso l’utilizzo della teoria

perturbativa alcune quantità che dovrebbero rimanere “piccole” diventano però infinitamente “grandi”. Questa

difficoltà viene superata attraverso l’utilizzo di alcune tecniche di calcolo. In primo luogo è necessario regolarizzare la

teoria ovvero modificarla in maniera tale che rimanga finita e ben-definita a tutti gli ordini della teoria perturbativa.

Per esempio, ciò può essere fatto introducendo, all’interno degli integrali divergenti, dei fattori di convergenza che

contengono opportuni parametri di cut-off. Questa procedura viene detta regolarizzazione. Esistono vari formalismi

di regolarizzazione ma, nel limite in cui la teoria originale è ripristinata, le predizioni fisiche devono essere

indipendenti dal metodo di regolarizzazione scelto. In secondo luogo bisogna considerare il fatto che i leptoni ed i

fotoni da cui la teoria perturbativa deve partire non sono la medesima cosa delle particelle fisiche reali che

interagiscono. L’interazione modifica le proprietà delle particelle, ad esempio la massa e la carica dell’elettrone, e le

predizioni della teoria devono essere espresse nei termini delle proprietà delle particelle fisiche e non di quelle non

interagenti. La rinormalizzazione consiste appunto nel mettere in relazione le proprietà delle particelle fisiche con

quelle delle particelle non interagenti e nell’esprimere le predizioni della teoria nei termini delle masse e delle cariche

delle particelle interagenti. L’ultimo passo consiste nel ritornare dalla teoria regolarizzata alla teoria originale. Gli

infiniti appaiono ora nelle relazioni tra le particelle fisiche e quelle non interagenti. Queste relazioni, così come le

particelle non interagenti, non sono osservabili, mentre le predizioni osservabili della teoria sono espresse nei termini

delle masse e delle cariche misurate delle particelle mentre la teoria rimane finita.

RINORMALIZZAZIONE DELLA MASSA DELL’ELETTRONE

Per i nostri obiettivi è sufficiente considerare l’Hamiltoniana non relativistica che descrive l’interazione di un

elettrone con il campo di radiazione (in unità naturali) nella gauge di Coulomb:

22

int ( ) ( )2

e eH p A x A x

m m= − ⋅ +

� ��

dove


†

, , ,,

2( ) ik x ik x

k r k r k rk r k

A x a e a eV

π εω

⋅ − ⋅ = + ∑

� ��

� ��

�

� ��

,k ra � e

' ,

†

k s

a�

sono gli operatori di distruzione e creazione del campo che obbediscono alle usuali relazioni di

commutazione:

'' ,

' ', ,

†

, ,

† †

, ,

,

, , 0

k s

k s k s

rsk r k k

k r k r

a a

a a a a

δ δ =

= =

�

� �

� � �

� �

,k rε �� è il versore di polarizzazione che soddisfa le proprietà

, ,

,ˆ 0

rsk r k s

k rk

ε ε δ

ε

⋅ =

⋅ =

� �

�

� �

�

Esprimiamo gli operatori atomici nella base dell’Hamiltoniana atomica

2

2A

pH p p

m=�

� �

La funzione d’onda dell’elettrone è data da

( ) 1 ip x

p x x p eV

ψ ⋅= =� �

�

� � �

e lo stato del sistema imperturbato può essere scritto come

( , )

,

k r

p k rp nψ = ⊗

�

��

�

Il contributo del termine di interazione entra in gioco al secondo ordine della teoria perturbativa. Assumiamo che

nello stato iniziale sia presente un elettrone e non contenga fotoni ( ),0

k rn =� :

, ,(2)

(0) (0), ,0 ,

0 0I Ik r k r

pq k r p q k

p H q n n q H pE

E E=

−∑∑� �

��

� �

� � � �

dove


2(0)

, 2q k k

qE

mω= +�

�

Si ha

, , ,

20 ik x

Ik r k r k r

k

en H p e

m V

π εω

− ⋅= − ⋅� �

� � �

��

ed inoltre

3

, , , , , ,

20 0iq x ip x

I Ik r k r k r k r k r q p k

k

d x eq n H p e e n H p

V m V

π ε δω

− ⋅ ⋅−

= = − ⋅∫� � � �

� � � � � ��

��

La delta di Kronecker amministra la conservazione dell’impulso. Si ottiene infine

22

,(2)

2 (0) (0),

,0 ,

2 k r

pk r

k p p k k

peE

m V E E

επω

−

⋅=

− ∑

�

��

��

��

,1 ,2ˆ, ,

k kkε ε� �

� � formano un sistema di coordinate ortonormale. Possiamo così scrivere

,1 ,1 ,2 ,2ˆ ˆˆ

k k k kI k kε ε ε ε= + +� � � �

� � � �

e quindi

( ) ( )222

, , ,ˆ ˆ ˆˆ

k r k r k rr r

p p p p I k k p p p kε ε ε ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ = − ⋅

∑ ∑� � �

� � ��

Il denominatore è invece

( )22 2

(0) (0),0 , 2 2 2p kp k k

p kp k p kE E k

m m m mω

−

− ⋅− = − − = − + −��

� � ��

Passando all’integrale, il contributo al secondo ordine si può così scrivere


( )( )2

22

(2) 322 2

2 2 2 2

ˆ2

2 2 2

1 coscos

2 21 cos2

p

p p ke mE d k

m k k p k mk

p e pdkd D

k pm m mm m

π

θθπ θ

− ⋅= −

− ⋅ +

−= − = − + −

∫

∫

�

� �

� ��

� �

dove D è la parte divergente. L’integrale su k diverge logaritmicamente, poiché per grandi k si comporta

come /dk k∫ . Nel limite non relativistico 1p

m≪ e piccoli k si ottiene il risultato

24

3

eD dk

mπ= ∫

che diverge linearmente.

Combinando questo risultato con l’energia all’ordine zero abbiamo

( )2 2

(0) (2)

exp

12 2p p p

p pE E E D

m m= + = − =� � �

� �

dove

exp 1

mm

D=

−

è il valore della massa dell’elettrone dedotta dall’esperimento. La procedura di interpretare la self-energy

divergente come il collegamento tra la massa fittizia e la massa reale dell’elettrone è detta rinormalizzazione della

massa.

LAMB SHIFT

Esprimiamo gli operatori atomici nella base dell’Hamiltoniana atomica

( )2

2A n

pH nl V x nl E nl

m

= + =

��


dove n e l sono i numeri quantici principale e del momento angolare. La funzione d’onda è

( )nl x x nlψ ≡� �.

Il level shift di uno stato dell’atomo di idrogeno contributo del termine di interazione entra in gioco al secondo

ordine della teoria perturbativa:

, ,(2)

, ,

0 0I Ik r k r

nlm j k r n m k

nl H mj n n mj H nlE

E E ω=

− −∑∑� �

�

dove lo stato intermedio è un atomo di idrogeno assieme ad un fotone trasverso.

Si ha

, , ,

2 20 ik x

Ik r k r k r

k k

e en H p e p

m V m V

π πε εω ω

− ⋅= − ⋅ − ⋅� �

� � �

� �� ≃

in approssimazione di dipolo. Si ottiene dunque

( )2

(2) , ,

2, ,

2 k r k r

nlm j k r k n m k

nl p mj mj p nleE

m V E E

ε επω ω⋅ ⋅

=− −∑∑

� �

�

� ��

,1 ,2ˆ, ,

k kkε ε� �

� � formano un sistema di coordinate ortonormale. Possiamo così scrivere

,1 ,1 ,2 ,2ˆ ˆˆ

k k k kI k kε ε ε ε= + +� � � �

� � � �

e quindi

22

, ,ˆ

k r k rr

nl p mj mj p nl nl p mj nl p k mjε ε⋅ ⋅ = − ⋅∑ � �

� ��

Passando all’integrale, il contributo al secondo ordine si può così scrivere

222 1

(2)

20 1

22

20

ˆ1

cos2

2

3

nlm n n mj l

mj m n

nl p mj nl p k mjeE kdk d

m E E k

nl p mjekdk

m k E E

θπ

π

∞

≠ −≠

∞

− ⋅=

− −

= −+ −

∑∫ ∫

∑∫

� �

�

L’integrale su k diverge linearmente per k → ∞ .


Per un elettrone libero con impulso p�

la corrispondente self-energy (nel limite non relativistico) è proporzionale

all’energia cinetica dell’elettrone

2(2) 2

2

2

3p

eE p dk

mπ= − ∫�

�

e viene interpretata in termini di correzione di massa. Un elettrone nello stato ( )nl x x nlψ ≡� � ha una certa

distribuzione dell’impulso e quindi anche una corrispondente self-energy

2(2) 2

2

2

3nl

eE nl p nl dk

mδ

π= − ∫

�

In accordo con lo schema di rinormalizzazione della massa, questo contributo all’energia cinetica dell’elettrone

deve essere sottratto al level shift per ottenere il level-shift osservabile. Poiché

22

mj mj

nl p nl nl p mj mj p nl nl p mj= =∑ ∑� � � �

si ottiene

22(2) (2)

20

2

3obs n mnl nl nl

mj n m

e E EE E E nl p mj dk

m E E kδ

π

∞ −∆ = − =− −∑ ∫

�

che diverge logaritmicamente per k → ∞ . Affinché possa convergere sostituiamo il limite superiore infinito

con un cut-off finito k K= . Nell’emettere un fotone virtuale, l’elettrone subisce un rinculo e, nel limite non

relativistico, questo rinculo e quindi l’energia del fotone virtuale devono essere piccole comparate alla massa a riposo

dell’elettrone e quindi possiamo porre K m∼ . Si ottiene pertanto

( ) ( )0

log logK

n m m nn m m n

n m m n m n

E E E E Kdk E E E E

E E k E E K E E

− −= − −− − − + −∫ ≃

per n mK E E−≫ . L’argomento del logaritmo è un numero molto grande e varia molto lentamente con

n mE E− . Nell’ipotesi che la dipendenza da m sia trascurabile, Bethe opera la sostituzione

log logm n m n

K K

E E E E→

− −

dove il valor medio mE è da determinare numericamente attraverso l’equazione

( ) ( )2 2log logm n m n

mj mjm n m n

K Knl p mj E E nl p mj E E

E E E E− = −

− −∑ ∑� �


A questo punto abbiamo

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

[ ] [ ]{ }

2

0 0

0 0 0 0

0 0 0

1

21

2

1 1, , , ,

2 2

m nmj

m n m nmj

m mmj

mj

i i

nl p mj E E

nl p mj mj p nl E E E E nl p mj mj p nl

nl p mj mj p E H nl nl E H p mj mj p nl

nl p mj mj H p pH nl nl pH H p mj mj p nl

nl p H p H p p nl nl p H p nl

−

= ⋅ − + − ⋅

= ⋅ − + − ⋅

= ⋅ − + − ⋅

= ⋅ − ⋅ =

∑

∑

∑

∑

�

� � � �

� � � �

� � � � � �

� � � �

Si ha

( )2

2 2 2

0, , ,4

i i i i ep H p i i V V e x

xδ

π

= − ∇ ∇ = ∇ = −∇ =

��

pertanto

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

2 2 23 02 2 2m n nl nl

mj

e e enl p mj E E nl x nl d x x xδ ϕ δ ϕ− = = =∑ ∫� � � �

Poiché ( ) ( )2 2

00 0nl nl lϕ ϕ δ≡ si ottiene infine

( )4

2

0 02

10 log

3obs

n n

m n

e KE

m E Eϕ

π∆ =

−

Il contributo principale al valor medio dell’energia è fornito dagli stati del continuo. Si ottiene

20 1040obsE MHz∆ ≃

un valore molto vicino a quello ottenuto sperimentalmente.


ELETTRODINAMICA QUANTISTICA COME PROTOTIPO DI TEORIA DI CAMPO

Raccogliamo gli elementi essenziali della QED.

Se consideriamo una teoria per leptoni carichi, l’equazioni del moto per il campo libero è l’equazione di Dirac

i ∂( ) 0m ψ− =

che deriva dal principio di Hamilton a partire dalla densità di Lagrangiana

0 iψ= ∂� ( )m ψ−

Questa densità di Lagrangiana è invariante per trasformazioni di fase ( )1U globali

( ) ( )( ) ( )

i

i

x e x

x x e

α

α

ψ ψψ ψ −

→

→

dove α è indipendente dalle coordinate spazio-temporali x . Attraverso il teorema di Noether, possiamo

stabilire che tale simmetria continua della densità di Lagrangiana è associata ad una legge di conservazione; in

particolare, la corrente di Dirac

J µ µψγ ψ=

è conservata:

0J µµ∂ =

e la carica elettrica

( ) ( ) ( )0 3 † 3

V VQ J x d x x x d xψ ψ= =∫ ∫

è una costante del moto. Così una simmetria globale rende globale (l’integrale su tutto lo spazio) la

conservazione della carica.

La Lagrangiana libera non è invariante per trasformazioni di fase ( )1U locali


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

i x

i x

x e x

x x e

α

α

ψ ψ

ψ ψ −

→

→

a causa del termine che contiene la derivata. Esiste un modo per generare una invarianza di fase locale ma al

prezzo di introdurre un campo addizionale con proprietà di trasformazione che compensano i nuovi termini che

appaiono nella densità di Lagrangiana una volta che il campo si trasforma. Il risultato dell’introduzione di questo

nuovo campo si traduce nella sostituzione delle derivate con le derivate covarianti (la sostituzione minima)

iqAµ µ µ∂ → ∂ −

dove q è la carica della particella ( q e= − per l’elettrone) e Aµ il potenziale vettore. La densità di

Lagrangiana diviene così

( )i iqA mµµ µψ γ ψ = ∂ − − �

che è ora invariante per trasformazioni di fase ( )1U locali del campo e del potenziale vettore

( ) ( ) ( )1A x A x x

qµ µ µα→ + ∂

Il termine

0 q Aµµψγ ψ− =� �

può essere identificato come l’interazione tra i campi del leptone e del fotone.

Da queste considerazioni emergono due importanti principi:

1. Imporre una invarianza di fase locale sui campi fermionici richiede l’introduzione di un nuovo campo

vettoriale privo di massa;

2. l’invarianza di fase locale ha un contenuto dinamico: essa specifica la natura del termine di interazione tra

il campo fermionico ed il campo di gauge bosonico vettoriale.

Il nuovo campo deve essere vettoriale a causa dei termini che nella Lagrangiana derivano dalla derivata della fase

locale e che devono essere cancellati. Inoltre deve essere privo di massa per preservare l’invarianza di gauge. Il nuovo


campo che viene introdotto è detto campo di gauge bosonico ed i quanti di questi campi sono dette particelle di

gauge. Pertanto il fotone è il bosone di gauge del campo elettromagnetico.

L’estensione di una simmetria globale ad una invarianza di gauge locale è vantaggiosa solo se la simmetria

globale è esatta, poiché la rinormalizzabilità della teoria corrispondente richiede tale simmetria. Quando la QED

viene quantizzata, si trova che le quantità fisiche possono essere calcolate come serie perturbative in potenze della

costante di struttura fine α . Agli ordini più alti appaiono diagrammi per i quali l’integrazione sugli impulsi porta a

divergenze ultraviolette. E’ ben noto che esiste una via per addomesticare tali divergenze assorbendo i loro effetti

nella rinormalizzazione ella funzione d’onda e dei parametri della teoria. La QED è rinormalizzabile proprio perché

possiede una invarianza di gauge locale e, più in generale, teorie che sono localmente gauge invarianti sono teorie

rinormalizzabili (a meno di anomalie).

TC

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