Taringa Comets
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Naruto Uzumaki 5 months ago
sha-la-la...eat a taquito
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"scar #eung ! $ay ago
%Naruto Uzumaki &onna 'uy a taquito e(erytime this song plays on my i)hone.
Reply ·
*inene Uryuu922 5 months ago
+inally a Normal non )itche$ Version
Reply · !,
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*s)ulimen / months ago
%*inene Uryuu922 0pre(iously $eaththeki$9221 5 3ecause o4 me /Reply ·
6kmal Ra(en 7 $ays ago
8 thought that too its $i44erent than aire$ on TV. The part hen the Rinnegan shoe$ up oul$
'e 4aster 4olloe$ 'y Naruto turning 'ack. The part hen asuke slashes "rochimaru a4ter he
shoe$ his haringan a4ter getting in the ater ere also missing
Reply ·
:arin 0カリン1 7 months ago
sha la la to'i is o'ito
Reply · /
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;a$e Ro'' / $ays ago
<(eryone shoul$ no 'y no not to 'e mean an$ not to 'e a hater
Tema 1. Teoría de Códigos
1
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the'igguns22! 2 eeks ago
,5 ha &6###
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the'igguns22! ! eek ago
%$octor4 ! lol rite
Reply · !
imme kaki 5 $ays ago
%$octor4 ! $r orochimaru
Reply ·
alestereric 7 months ago 6m 8 the only one ho thinks orochimaru looks like a per( hen he as atching sasuke=
Reply · !5
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imme kaki 5 $ays ago
6lays thought that since 2,,
Reply ·
Rolan$>o(e 2 $ays ago
*y 4a(orite moment asuke in his 'ath? @A
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3ram'l/ tar 2 months ago
Tema 1. Teoría de Códigos
2
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Bey 'oy you anna ha >a >a ith me=
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3lack*ania&aming ! $ay ago
Nostalgia.
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Cen >en DCensariE Ca4-4lo / $ays ago
sha la la 8 slept ith ino
Reply ·
:o'ra:lash / $ays ago
orochimaru as clinching his ass cheeks in the ater
Reply · !
6n$y 6lmen$arez 5 months ago
3ack hen Naruto as a'out actual ninFas lol
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&ri44in :ing 2 months ago
%6$am Gilliams 8 thought u ere saying that all the the su''e$ (ersions ere out
Reply ·
6$am Gilliams 2 months ago
Gell the su' $oes come out like a $ay a4ter the ;apanese ith no sun comes out %&ri44in :ing
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Tema 1. Teoría de Códigos
3
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*isaki an$ :otaro 5 months ago
+inally 4oun$ the regular one. 8 keep listening to the high pitche$ (ersion an$ i got use$ to
listening to it. )lus i like (er. 2 'etterHIH
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;oe Ro'inson 7 months ago
%#ukio Bans Vorarl'erna omeone likes #ukio
Reply ·
The killer Areams 2 $ays ago<stoy pensan$o en (erme naruto shippu$en 0solo me he (isto naruto1 me recomen$Jis (erlo=
"sea no es muy pesa$o= e que la historia $e naruto es chachi pistachiK pero por esto $e los
rellenos noseK que $icen=
Reply · !
Be'er >ima 5 $ays ago
aki plo tio oriLi
Reply ·
8'rahim 8''y 2 $ays ago
nice
Reply · !
Uchiha loyality 5 months ago
Naruto is 6mazing sometimes im so sa$ a'out naruto 'ecause FiraFa is $ie M0
Reply · !7
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canni'alistic &houl 2 eeks ago
"'(ious troll is o'(ious.
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Tema 1. Teoría de Códigos
4
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t4ppl srsly 2 eeks ago
%canni'alistic &houl >ol that pic tho... remin$s me o4 :ai'a 4rom #u-&i-"h.
Reply ·
Aillon 6u'in !5 hours ago
)ause at ,77 an$ take a close look at :a'uto.
Reply ·
Nathan ".6 / $ays ago
l like this song.
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3yaku san / months ago
Chek out my top 5 naruto shippu$en oppeningsReply ·
· 6nime +ore(er · 0 !,,O >i4e ·1ʚ ɞ ʚ ɞ ʚ ɞ ʚ ɞ 5 months ago 0e$ite$1
no llorare no llorare N" >>"R6R< N""""?? pinchi (i$eo Fusto en la in4ancia KC me trae
muchos recuer$os quiero (ol(er a esos momentos ....... TPPT cuan$o era 4eliz y esta'a con
mis hermanos TTPPPTT quiero (iaFar al pasa$o y que$arme alli para siempre TT---TT y ahora
esta 'ien ca'rQn el manga ee 0Naruto gai$en1 lamenta'lemente nunca 4ui naruhina y nunca
lo sere uu y el anime .....$os pinches capitulo y ya $e nue(o le ponen relleno #.# 3ale 3e$Fa>a 3i$a
Reply ·
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almen$ra 'arra ! eek ago
%rocio acua yo hinata osea en the last el siempre lo supo pero nesesita'a una mas una
prue'a $e amor a$emas naruto es un i$iota nose $a cuenta $e na$a pero na$a pero
narutosakura no sakura ama a sasuke a$emas a nauto le $iFo que lo ama'a y naruto le $iFo
no (ete ala mier$a te estas en gaan$o porque naruto ya lo sa'e a$emas asi es la reali$a$
Tema 1. Teoría de Códigos
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siempre 4ue asi ya que el anime 4ue crea$o con ese 4uturo aunque no estaria mal narusaku
pero mas hinanaru LS
Reply ·
rocio acua ! eek ago 0e$ite$1
%almen$ra 'arra no que equi(ocas el narusaku era lo mas pro'a'le en la historiia $e naruto y
si u'o un 4inal naruhina es porque en pocas pala'ras el autor se (en$io K y la triste (er$a$ es
que naruto nunca miro a hinata K en cam'io en shippu$en sakura miro con oFos a naruto y eso
se (io acercamientos en el manga y anime K en cam'io hinata lo unico que hizo en to$a la
serie en ru'orizarse y escon$erse atras $e un ar'ol y $ecir naruto - kun osea que pe$o K
$on$e que$o tu naruhina = a$emas cuan$o ella le con4eso a naruto en la pelea $e pain con
un te amo naruto no respon$io K sakura apenas termino la pelea lo a'razo y le $iFo gracias K
asi que no se pensalo te $oy mi mas humil$e opinion salu$os 1
TEMA 1. TEORÍA DE CÓDIGOS.
Introducción
Definición: Consideremos un conjunto finito A={a1, a2, ... aq}, al que denominaremos
alfabeto, a sus elementos, a1, a2, . . . aq , les llamaremos letras o símbolos. Las
sucesiones finitas de elementos de A se llaman palabras.
Aa
Palabraaaa
j
p
i
iii
∈
→...21
La palara ai1ai2...ain se dice que tiene lon!itud n o ien que es una n-palabra.
"na palara de lon!itud n se puede considerar como un elemento del producto
cartesiano de A por si mismo n #eces, es decir, de$
%l producto cartesiano est& formado por todas las n'tuplas de A$
}()......{* 1 Aaaa A in
n ∈=
%sto es i!ual que una palara, s+lo camia la notaci+n.
%l conjunto de todas las palaras sore el alfaeto A se denotar& como A *con
independencia de la lon!itud de las palaras).
.......}2,1{
.....}2,1,-{
=
=
=
+
∈ +
Z
N
A A Z n
n
Tema 1. Teoría de Códigos
n
n A AA A ....=
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Definición: "n c+di!o sore el alfaeto A es un suconjunto C de A, , AC ⊆*conjunto formado por palaras del alfaeto).
A los elementos del c+di!o C se les llama palabras de código.
%l n/mero de elementos del c+di!o C, que normalmente ser& finito, se denota por 0C0 se denomina tamao del c+di!o.
i C es un c+di!o sore A A tiene q elementos *0A0=q) entonces se dice que C es un
c+di!o q'ario. %l ejemplo m&s normal de alfaeto usado en teora de c+di!os es
A = 2 = {-,1} tendremos as c+di!os inarios.
%jemplo de c+di!o inario$
C = {-1--,--1-,-111}
Definición: i C es un c+di!o cuas palaras tienen todas la misma lon!itud n,
decimos que C es un c+di!o de longit!d fija o un c+di!o de blo"!es a n se le llama
lon!itud del c+di!o C.
%l c+di!o C anterior es un c+di!o de loques de lon!itud 4.
C = {-11, 1-11, 1-} 6o es un c+di!o de loques *no podemos 7alar de la lon!itud
del c+di!o)
i C es un c+di!o de lon!itud n tamao m se dice que C es un *n,m)'c+di!o.
C = {-1--,--1-,-111} *4,3) c+di!o
8ado un alfaeto al que denominaremos alfabeto f!ente dado un c+di!o C sore elalfaeto A, se llama funci+n de codificaci+n a una aplicaci+n iecti#a f$
)*)...*)*...
)*
$
2121 nn f f f
f #
C # f
→→∈→
es el alfaeto en el cual est& la informaci+n que queremos codificar. "na aplicaci+n
iecti#a entre 2 conjuntos es una aplicaci+n inecti#a *elementos diferentes tienen
im&!enes diferentes) soreecti#a *los elementos del conjunto C son im&!enes de
al!/n elemento de , en este caso de 1 a que la aplicaci+n es inecti#a). A #eces f noser& una aplicaci+n iecti#a9 si f no fuese inecti#a 7ara #arios smolos del
alfaeto fuente que se codificaran de la misma forma, lo que 7ara la decodificaci+n
mu difcil. Cuando f es iecti#a 7alamos de c+di!os descifrales.
%n muc7as ocasiones se le llama c+di!o a la funci+n de codificaci+n9 pero nosotros le
llamamos c+di!o al conjunto C *ima!en de f).
%jemplo$
Tema 1. Teoría de Códigos
:
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---111-1----1--1
-111)*
-1--)*
--1-)*
}-111,--1-,-1--{},,{
},,{
→
=→=→=→
= → =
=
babc
c f c
b f b
a f a
C cba#
cba#
f
%jemplos de c+di!os$
• ;oli#io *ao 2-< a.C.) o c+di!o de fue!o !rie!o.
}54....25,24,23,22,21,15,14,13,12,11{$
}5,4,3,2,1{$
},...,{
==
=→
C
A
# Alfabeto ω β α
55 no se inclue a que el alfaeto A tiene 24 letras. "n alfaeto A de lon!itud q tiene
qn palaras de lon!itud n *qn = 0An0 )
54)*
.
.
12)*
11)*$
=→
=→
=→→
ω ω
β β
α α
f
f
f C # f #ea
%ste es un *2,24) c+di!o. %ste c+di!o persi!ue claridad, facilidad de transmisi+n de
mensajes a distancia. %ste c+di!o no permite detectar (o corre!ir errores. e piensa
que este c+di!o se usaa para ocultar la informaci+n. %n cripto!rafa no se 7ala de
c+di!o sino de cifras o criptosistemas. %ste c+di!o se denomina cifra de ;oli#io.
8amero de ;oli#io$
1 2 3 4 5
1 α β2
3
4
5 ω
Tema 1. Teoría de Códigos
<
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f*α) = 11 f*β)=12 .......
• C+di!o orse. e usa para transmisiones tele!r&ficas. e usa para codificar un
mensaje fuente en len!uaje natural.
= {a, , c ......>}
A = {., ?, }
e usan 3 smolos$ punto, raa espacio.
.. ? ? )*
? .. ? )*
? .)* ? )*
.)*
$
=
=
==
=
→
$ f
f
ingl%sen frec!entesm&s 'etrasa f t f
e f
A# f
%ste c+di!o no es de lon!itud fija. Las letras m&s frecuentes se codifican con palaras
cortas, mientras que las letras menos usadas se codifican con palaras m&s lar!as9 esto
se usa para conse!uir m&s eficiencia, cuanto m&s frecuentes sean las letras m&s cortas
son las palaras del c+di!o.Los espacios se usan para separar palaras * espacios) o letras entre palaras *3
espacios). %ste c+di!o no permite corre!ir (o detectar errores no tiene fines
cripto!r&ficos.
• C+di!o AC@@ *American tandard Code for @nformation @nterc7an!e). %ste
c+di!o es usado por los ordenadores para representar los caracteres alfanumricos
caracteres especiales. %l AC@@ est&ndar usa palaras de : its$
C = {-------, ------1, .......1111111}2: = 12< palaras
%l c+di!o AC@@ eBtendido usa palaras de < its$
C= {--------, ......11111111}
2< = 25
%sta eBtensi+n permite codificar m&s smolos.
--1----- %spacio
Tema 1. Teoría de Códigos
D
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Al c+di!o AC@@ de : its se le aade un it de paridad para que el n/mero de 1 de la
palara sea par$
1------1
--------
%ste es el c+di!o AC@@ est&ndar con control de paridad. %l c+di!o AC@@ est&ndar no
detecta ni corri!e errores, si camia un it de la palara sta se confunde con otra
palara del c+di!o. Al aadir el it de paridad si se camia un it la palara que se
otiene no es #&lida, a que el n/mero de 1 pasa a ser impar con lo que se detecta el
error. %ste c+di!o s+lo detecta errores, no puedo saer cu&l fue la palara que se en#i+.
%l AC@@ con control de paridad es un *<,12<) c+di!o, mientras que el AC@@ est&ndar
es un *:,12<) c+di!o. %l c+di!o AC@@ eBtendido es un *<,25) c+di!o.
%l c+di!o AC@@ no es mu eficiente a que es de lon!itud fija usa el mismo n/mero
de its para codificar caracteres frecuentes poco frecuentes. %n este c+di!o no 7acefalta separar las palaras a que cada palara tiene un n/mero fijo de its.
La #entaja del AC@@ con it de paridad sore el AC@@ est&ndar es que permite
detectar errores se puede pedir repetir la transmisi+n 7asta que sta sea correcta9 el
incon#eniente es que es menos eficiente a que para transmitir la misma informaci+n
usa palaras de < its en lu!ar de palaras de : its.
;ara detectar corre!ir errores a los c+di!os se les aade redundancia con lo que se
pierde eficiencia. Los len!uajes naturales tienen una !ran cantidad de redundancia, lo
que permite entender una con#ersaci+n telef+nica a pesar de que 7aa errores en la
transmisi+n. Los c+di!os detectores de errores funcionan de tal forma que cuando se
produ>ca un error, la palara resultante no sea una palara del c+di!o de tal formaque la palara real sea la m&s pr+Bima a la palara reciida.
%l len!uaje natural tiene muc7a redundancia9 por ejemplo, el castellano tiene <35--
palaras con 2:4 palaras podramos codificar todas ellas, una posile codificaci+n$
aaaa, aaa .....>>>, >>>>, asi!naramos un si!nificado a cada palara de este c+di!o,
pero si se cometiese un error a tendramos otra palara del len!uaje no podramos
saer cu&l es la palara en#iada.
%sto no ocurre en el len!uaje natural. 7annon estudi+ la redundancia del idioma
in!ls lle!+ a la conclusi+n de que la redundancia del in!ls es del :5E. i se
7uiese diseado el in!ls para minimi>ar la redundancia se reduciran los teBtos en la
4F parte. i en un teBto en in!ls, la proailidad de eliminar una letra es de G el teBto
no ser& reconocile9 por el contrario si la proailidad de eliminar una letra es de H el
teBto ser& reconocile.
Códigos Detectores de Errores: Ejem!os
e intenta uscar una transmisi+n precisa entre dos puntos. %stos c+di!os se usan
cuando se reali>a una transmisi+n por un canal ruidoso. "n canal es el medio fsico
por el cual se reali>a la transmisi+n9 un canal ruidoso es un canal que est& sujeto a
perturaciones que !enera alteraciones en el mensaje *ejemplos de canales$atm+sfera, lnea telef+nica....). Los c+di!os detectores de errores se usan para
Tema 1. Teoría de Códigos
1-
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recuperar la informaci+n que se en#i+ incorrectamente. "n ejemplo de esto se usa en
los C8, para que la informaci+n se manten!a a pesar de que el C8 est raado.
%n la teora de la informaci+n, desde el punto de #ista de la eficiencia, nos centramos
en la codificaci+n pero a7ora nos centraremos en los errores que se producen en elcanal. La codificaci+n decodificaci+n deen ser f&ciles r&pidas9 la transmisi+n a
tra#s del canal dee ser r&pida9 deemos maBimi>ar la cantidad de informaci+n
transmitida por unidad de tiempo deemos detectar corre!ir errores, esta /ltima
caracterstica entra en conflicto con las anteriores caractersticas a que 7ace que
aumente el tamao de lo que se transmite. %l c+di!o dee ser lo m&s eficiente posile
dee permitir detectar corre!ir errores.
%l canal acepta smolos de un alfaeto finito A={a1, a2, ... aq} que llamaremos
alfaeto del canal *ejemplo$ A = {-, 1}). C+mo saemos si un canal es mu ruidoso o
poco ruidoso9 esto se sae si conocemos cu&l es la proailidad de que si se emite un
smolo se recia otro smolo$;*a j reciido0ai en#iado) *proailidad de que si se 7a en#iado a i se recia a j). Cuando
este conjunto de proailidades se conoce para todos los #alores de i j conocemos las
caractersticas del canal.
%l canal perfecto sera aquel en el que$
iji j aa P δ =)0*
pero esto no eBiste en la pr&ctica. A estas proailidades se les llama probabilidadesdel canal o probabilidades de transición.
Tema 1. Teoría de Códigos
11
% s q u e m a d e u n a t r a n s m i s i + n $
I r i ! e n C o d i f i c a d o r C a n a l 8 e c o d i f i c a d o r 8 e s t i n o
J u i d o
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Definición: "n canal es un alfaeto *de canal) A={a1, a2, ... aq} junto con un conjunto
de proailidades de transici+n ;*a j reciido0ai en#iado) que satisfacen$
∑=
="
j 1
i j 1en#iado)a0reciido;*a
es decir, siempre se recie un car&cter del alfaeto. "na palara de c+di!o de lon!itud
n correspondiente al c+di!o del alfaeto del canal da una palara reciida de lon!itud
n que no tiene por qu coincidir con la en#iada *ni ser una palara de c+di!o, a que
puede ser una palara del alfaeto pero no del c+di!o).
6o eBiste dificultad para identificar el comien>o de la 1F palara en#iada. i usamos
un c+di!o de loques saemos donde empie>a acaa cada palara.
%l ruido se distriue aleatoriamente9 la proailidad de que un smolo sea camiado
por otro en la transmisi+n es la misma para todos los smolos. La transmisi+n de un
smolo no est& influenciada por la transmisi+n del smolo precedente ni de los
anteriores, es decir, el canal es un canal sin memoria. %l error en la transmisi+n de unsmolo no afecta a la transmisi+n de los si!uientes smolos.
alfabetodel Palabra A
códigode PalabraC ccc
en(iadocrecibido P en(iadocrecibido P sim%tricocanal
n
n
n
n
i
ii
→∈=
→∈=
=⇔ ∏=
...
...
)0*)0*
1
1
1
Cada suceso es independiente del anterior. Kodos los sucesos son independientes.
%l canal que usaremos m&s a menudo es el canal inario simtrico *inar simetric
c7annel C). %l alfaeto del canal es A={-,1}.
1- ≤≤ p1'p proailidad del canal
p proailidad del cruce
p proailidad de que un - sea reciido como un 1
1'p proailidad de que un - sea reciido como un -
Tema 1. Teoría de Códigos
12
1 ' p
1 ' p
p
p
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p = - Canal perfecto
p = 1 iempre se comete error *%ste caso se con#ierte en perfecto in#irtiendo el
smolo reciido).
%n un canal simtrico eBiste la misma proailidad de que un smolo se reciaincorrectamente adem&s si un smolo se recie incorrectamente 7a la misma
proailidad de que se recia cualquier otro smolo.
i ⇒≤≤ 12(1 p e puede con#ertir el canal de tal forma que 2(1- ≤≤ p simplemente
camiando los smolos reciidos. p = M es el caso m&s desfa#orale. %n la pr&ctica
los canales tienen una alta fiailidad. upondremos que traajamos con un C que
cumple 2(1- ≤≤ p .
upon!amos que queremos detectar errores9 deemos disear un c+di!o de tal forma
que si a una palara del c+di!o le camiamos un /nico smolo la palara resultante
no sea una palara del c+di!o para as poder saer que se 7a producido un error. i
adem&s queremos corre!ir errores, la idea es parecida, para 7acer la correcci+n 7aque saer cu&l es la palara en#iada. La idea &sica es comparar la palara reciida
con todas las palaras de c+di!o asi!narle la palara que difiera en menos smolos.
%jemplo$
C = {--, -1, 1-, 11} =2
2 Z
2 = {-, 1}
%ste c+di!o no ser#ira para detectar errores.
i se producen errores las palaras que se otienen son palaras del c+di!o. ;ara
detectar errores 7a que aadir redundancia. e modifica el c+di!o para conse!uir que
las palaras del c+di!o se pare>can menos entre s. La idea m&s sencilla es repetir la
palara$
C1 = {------, -1-1-1, 1-1-1-, 111111}
Aumento la lon!itud de las palaras. i a7ora recio 111-1- #eo que no es una palara
#&lida del c+di!o as s que se 7a cometido un error. Comparo esta palara con las
palaras del c+di!o #eo en cu&ntos smolos se diferencia de las palaras del c+di!o.
Neo que la palara m&s pr+Bima es la 1-1-1- a que s+lo camia un smolo
podramos asi!narle esta palara. %ste c+di!o tiene la propiedad de que si al transmitir
una palara se comete un /nico error siempre podemos recuperar la palara
ori!inalmente transmitida a que dista uno de una palara m&s de uno del resto de
palaras. e dice que este c+di!o corri!e un error. %sto se lo!ra a costa de aumentar la
Tema 1. Teoría de Códigos
13
% n # i a d o J e c i i d o
- 1
1 1
- -
3 o n p a l a r a s d e l c + d i ! o
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lon!itud del c+di!o, necesitamos el triple de tiempo espacio para transmitir la misma
informaci+n *disminue la eficiencia del c+di!o). %ste c+di!o se denomina c+di!o de
repetici+n. i nos conformamos con que s+lo se detecte un error podramos usar este
c+di!o$
C2 = {---, -11, 1-1, 11-}
Aadimos un it de paridad. i a al!una palara le camiamos un /nico smolo la
palara otenida no es una palara del c+di!o. %ste c+di!o no permite corre!ir errores9
si se recie 1-- podra 7aerse en#iado ---, 1-1 o 11- 7aiendo cometido un error,
pero no podemos saer qu es lo que realmente se 7a transmitido. e dee requerir una
nue#a transmisi+n de la palara. La eficiencia 7a disminuido con respecto a C pero no
tanto como con C1.
Clases )esid!ales *ód!lo n:
= {-, 1, '1, 2, '2, .....}
ea 2, ≥∈ n Z n . 8ados a, Z ∈ se dice que a es con!ruente con m+dulo n,
a ≡ *mod n) ⇔ n 0 a' *n di#ide a a') ⇔ ∃ O ∈ ( a' = On
{*a,) ( a ≡ *mod n)} ⊆ B
La relaci+n de con!ruencia m+dulo n es una relaci+n de equi#alencia, pues es$
' JefleBi#a, a≡ a *mod n) Z a∈∀' imtrica a ≡ *mod n) ⇒ ≡ a *mod n) Z ba ∈∀ ,
' Kransiti#a a≡ *mod n), ≡ c *mod n) ⇒ a ≡ c *mod n) Z cba ∈∀ ,,
La relaci+n de equi#alencia permite definir las clases de equi#alencia a ∈ . La clase
de equi#alencia de a se define como aquellos n/meros relacionados con a$
a ∈ , a ={ Z ∈ ( a ≡ *mod n)} ⊆
%l conjunto de todas las clases de equi#alencia forman una partici+n de * es la
uni+n disjunta de todas las clases). Al conjunto de todas las clases de equi#alencia se
le denomina conjunto cociente *sus elementos son clases).
}({ Z aa Z n
Z ∈=∈
;ropiedades$
ean a, ∈ , las si!uientes condiciones son equi#alentes$
i) a ≡ *mod n)
ii) +nab Z + +=∈∃ (
iii) a tienen el mismo resto al di#idir por n
Tema 1. Teoría de Códigos
14
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8i#isi+n entera$ a,n ∈ a= nq P r nr ≤≤- , r = a *mod n), el resto o residuo es
/nico.
}({}({)}*mod({ n por di(idir al restomismoel tienenb ,a Z b Z + +nanba Z ba ∈=∈+=≡∈=
QCu&ntas clases de equi#alencia mod n 7aR Cada elemento est& en la misma clase de
equi#alencia que su resto al di#idir por n9 el n/mero de clases es el n/mero de posilesrestos al di#idir por n *n clases).
}1......1,-{ −=∈
n Z n
Z
, ,
) ))
, ,
) ))
S),*
),*
S
→ →
+→ → +
"n anillo *J,P,S) es un conjunto J junto con dos operaciones inarias P S que
cumplen estas propiedades$
' J con respecto a la suma es un !rupo aeliano$ P es asociati#a, tiene elemento
neutro *-), todo elemento de J tiene simtrico *'B) **J,P) es !rupo) es
conmutati#a **J,P) es un !rupo aeliano).
' S es asociati#a tiene elemento neutro *1).
' S es distriuti#a con respecto a P, es decir$
o *B P ) S > = B S > P S >
o B S * P >) = B S P B S >
) $ , ∈∀ ,,
%l anillo J se dice conmutati#o cuando S es conmutati#a.
)
) , , , ) )
)
) $ , $ , $ ,
∈∀==∈∀+=+
=+−=−+∈−∃∈∀
∈∀=+=+∈∀++=++
S11S
,-)*)*(,
--
,,)*)*
Los anillos usuales son *,P,S)9 *J,P,S)9 *C,P,S) *T,P,S).
Definición: "n c!erpo es una anillo tal que todo elemento no nulo tiene in#erso.
*,P,S) no es un cuerpo pero *J,P,S)9 *C,P,S) *T,P,S) son cuerpos conmutati#os.
Tema 1. Teoría de Códigos
15
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}1,....1,-{
0)*mod
−=
−⇔≡
nnZ
Z
bannba
%nnZ
Z se definen dos operaciones$
-124S3
1:43
}5,4,3,2,1,-{
S$S
$
,
==
==+
=
=
+=+
∈
Z Z
baba
baba
nZ Z ba
*nZ
Z ,P,S) es un anillo conmutati#o. %l opuesto de 2 es 4 * -42 ==+ )
Los alfaetos que usaremos son conjuntos de clases residuales.
;ara cada )2* ≥∈ n Z n sea
n$={-,1,2.....n'1}
i para cada entero a ∈ llamamos a*mod n) al resto de di#idir a por n, la aplicaci+n
definida as$
)*mod)* naa f a
Z nZ
Z n
f
=→
→
es una aplicaci+n iecti#a. Amos conjuntos tienen n elementos, as para #er que f es
iecti#a asta con #er que sea inecti#a.
ean banbanbnab f a f nZ
Z ba =⇔≡⇔=⇔=∈ )*mod)*mod)*mod)*)*,
As la aplicaci+n es inecti#a, a que si dos elementos tienen la misma ima!en
entonces son el mismo elemento.
8efinimos en n las si!uientes operaciones n Z , ∈∀ , $
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1
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B P $= *B P ) *mod n)
B S $= *B S ) *mod n)
*n , P , S) es un anillo conmutati#o. f es un isomorfismo de anillos, es una aplicaci+n
entre 2 anillos que conser#a las operaciones$
f*aP) = f*a) P f*)
f*aS) = f*a) S f*)
Los 2 anillos son isomorfos, tienen las mismas propiedades. %stos 2 anillos se pueden
identificar.
= {-,1,2,3,4,5,}
5P2=1 3S5=3 5P3=2
QCu&ndo es n un cuerpoR "n cuerpo es un anillo en el que todo elemento diferente de- tiene in#erso para el producto.
2 = {-,1} es un cuerpo. U1=1 *1 P 1 = -).
3 = {-,1,2} es un cuerpo.
P - 1 2
- - 1 2
1 1 2 -
2 2 - 1
'1 = 2 %l opuesto del 1 *1 P *'1) = -9 1 P 2 = -)
4 = {-,1,2,3} no es un cuerpo a que 2 no tiene in#erso para el producto. 2 S 2 = -, 2
es un di#isor de -, un anillo con di#isores de - no puede ser un cuerpo.
)-*min dedi(isorestieneno -nteroio DoC!erpo⇐/
⇒
"n di#isor de - no puede tener in#erso para la multiplicaci+n.
5 = {-,1,2,3,4} es un cuerpo. 2 S 3 = 1, 4 S 4 =1.
no es un cuerpo, : es un cuerpo...
n es un cuerpo si n es primo.
Z ba ∈, d0a, d0
d0a, d0 ⇒ d0d si d es el m&Bimo com/n di#isor de a se denota d = mcd *a,) o
d = *a,).
∏
∏∏
=
≤≤≤≤
=
==
+
i
l ei
+ i
l
i
+ i
e
i
ii
ii
pbamcd
pb pa
1
),min*
11
),*
Tema 1. Teoría de Códigos
1:
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%sto tiene un incon#eniente a que se necesita descomponer los n/meros como
producto de n/meros primos, lo cual es infactile computacionalmente.
Neremos a7ora un al!oritmo que nos permite 7allar el mcd de 2 n/meros, el al!oritmo
de %uclides, usa una sucesi+n de di#isiones enteras.
Proposición: ean a, ∈ , entonces Vd 0 a , d 0 W ⇔ Vd 0 , d 0 a *mod n)W
Proposición: : ean a, ∈ , entonces mcd *a,) = mcd *,a*mod ). %sto es una
consecuencia directa de la anterior propiedad.
a X e reduce el c&lculo al 7allar el mcd a que a*mod ) es menor que .
ean a, ∈ P
r '1 = a
r - = a = q1 P r 1r '1 = q1r - P r 1r - = q2r 1 P r 2r 1 = q3r 2 P r 3
.
.
.
r O'3 = qO'1r O'2 P r O'1
r O'2 = qO r O'1 P r O
r O'1 = qOP1r O
r 3 Y r 2 Y r 1 Y r -
mcd *a,) = mcd *,r 1) = mcd *r 1,r 2) Z = mcd *r i,r iP1) Z.
%ste proceso no continua de forma indefinida, se alcan>ar& un resto cero9 supon!amos
que r OP1 = -. %ste resto - se otiene en un n/mero pequeo de pasos.
mcd *a,) = mcd *r O ,-) = r O
r OP1 = - ⇒mcd *a,) = r O
%jemplo
1 2 2
<4 - 24 12
24 1" -
mcd *<4,-) = 12
n = {-, 1, 2 Z.n'1}
Proposición: ean a, ∈ , entonces eBisten enteros u,# ∈ ( mcd *a,) = ua P #
Tema 1. Teoría de Códigos
1<
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mcd *a,) = r O = r O'2 U qO r O'1 = r O'2 U qO *r O'3 UqO'1r O'2) = Z.. = ua P #
Proposición: n es cuerpo ⇔ n es primo
8emostraci+n$
[[⇒ upon!amos que n no es primo, entonces n = rs, r,s X 1. r,s ∈n, rs
= - ∈ n ⇒ r s son di#isores de - ⇒ r s no tienen in#erso para el producto.
[[⇐ upon!amos que n es primo sea a ∈ n, a ≠ -. mcd *a,n) = 1 ⇒∃ u, # ∈ ( 1 = ua P #n ⇒ 1 *mod n) = ua *mod n) P #n *mod n) ⇒1 = ua *mod n)⇒ ua = 1∈ n
%jemplo$
D ∈ 23
2 1 1 4
23 D 5 4 1
5 4 1 -
1 = 5 U 4 = 5 U *D U5) = 2S5 U D = 2S *23 U 2SD) U D = 2S23 U 5SD
1 = '5SD *mod 23)
%n 23 D S *'5) = 1 ∈ 23
'5 = 1<
'5 = 23S1 P1<
11<
235
−
−
D S 1< = 1 ∈ 23
%n Keora de C+di!os traajaremos con p cuerpo, es decir p primo. p no son los
/nicos cuerpos finitos que 7a. i q = pr con p primo entonces eBiste un */nico) cuerpo
finito que tiene q elementos *\q o ]\*q)). \4 es cuerpo pero 4 no lo es.%n la pr&ctica usaremos 2 = {-, 1}
P - 1
- - 1
1 1 -
S - 1
- - -
1 - 1
Tema 1. Teoría de Códigos
1D
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A!ic#ción:
Neremos el c+di!o que se utili>a para !enerar la letra del 6@\. e toma el 86@ que
tiene < d!itos *n = n/mero de 86@) se calcula el resto de di#idir n por 23$
r = n *mod 23)
%sto da la letra,,,,,,,,,,,,,,,,[
21-# Z 2 N 3 4 D P 5 6 * 7 A8 )T
n P letra que acupa el lu!ar r.
Definición: ea C un *n,m)'c+di!o q'ario *0A0 = q, siendo A el alfaeto). e define la
tasa de informaci+n *o de transmisi+n) de C como$
mn
) "lo!1=
%n el caso inario tenemos$
mn
) 2lo!1
=
%sta definici+n trata de dar la relaci+n que 7a entre los smolos del c+di!o dedicados
a la informaci+n los smolos dedicados a la redundancia *detectar (o corre!ir
errores).
%jemplo$
C = {--, -1, 1-, 11}
mm=2lo!
2
14lo!2
12 == )
*n,m) ' c+di!o
..00 dadon!n paramdem&imo0alor nlongit!d de palabrasden9mero" A
AC nn
n
→=⊆
%ste c+di!o no corri!e ni detecta errores. Kodos los smolos est&n dedicados a la
transmisi+n de informaci+n as este c+di!o tiene la m&Bima tasa de transmisi+n.
lo!q m ≤ n
;ara corre!ir un error podemos aadir un it de paridad.
C = {---, -11, 1-1, 11-}
Tema 1. Teoría de Códigos
2-
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3
24lo!
3
12 == )
La tasa de informaci+n disminue, aadimos un it para detectar errores pero no
transmite informaci+n. e puede #er esto como el cociente entre el n/mero de
smolos dedicados a la informaci+n el n/mero total de smolos.8ado J no podemos determinar si el c+di!o permite detectar (o corre!ir errores.
C = {------, -1-1-1, 1-1-1-, 111111}
3
14lo!
12 == )
Conociendo J saemos la eficiencia del c+di!o. Los c+di!os m&s eficientes tienen
J = 1.
Dist#nci# $#mming % Descodi&ic#ción or Dist#nci# M'nim#
C ⊆ An
u ^
8onde u es la palara transmitida ^ es la palara reciida. ;ara descodificar se usa
una re!la de decisi+n que es una aplicaci+n de An en C$
ación Descodific!: f :
C A f n
⇒=→ → )*
Lo que se recie puede no ser una palara del c+di!o *se conser#a la lon!itud de la
palara). %sta re!la de decisi+n me da palaras del c+di!o. i f*^) = u descodifico ^
como u. i ^ a es una palara del c+di!o entonces f*^) = ^.
upon!amos que tenemos una re!la de decisi+n C A f n →$ que #erifica$
; *^ reciido 0 f*^) en#iado) =C (∈
maB ; *^ reciido 0 # en#iado)
%sto quiere decir que f*^) tiene la propiedad de que no 7a nin!una otra palara dec+di!o que sea m&s proale que 7aa sido en#iada. i esto se cumple se dice que f es
una re!la de decisi+n de proailidad m&Bima. %n la pr&ctica no se si!ue este camino.
C
Tema 1. Teoría de Códigos
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i usamos un C no conocemos el #alor de 1'p. 6o se calculan proailidades, se #e
cu&l es la palara de c+di!o m&s pr+Bima a la palara reciida9 esto coincide, para un
C, con la descodificaci+n de proailidad m&Bima.
Proposición: 8ado un C con 2(1- ≤≤ p la re!la de decisi+n de proailidad
m&Bima consiste en ele!ir la palara de c+di!o que difiera de la palara reciida en el
n/mero mnimo de smolos posiles.
La proailidad de que una palara ten!a O errores en O posiciones dadas es p O *1'p)O .
i en#iamos # la palara reciida ^ difiere de # en O lu!ares entonces la
proailidad ; * ^ reciido 0 # en#iado) = pO *1'p)O . %sta proailidad aumenta al
aumentar O9 deemos 7acer O lo maor posile *distancia mnima), A partir de a7ora
no trataremos con proailidades si no con la distancia mnima.
;uede ocurrir que 7aa #arias palaras a distancia mnima *L8). e dice que la
descodificaci+n es completa si s+lo 7a una palara posile con distancia mnima se
dice que la descodificaci+n es incompleta cuando 7a m&s de una posile palara con
distancia mnima se produce un error.
Definición: ea A un alfaeto u,^ ∈ An. e define la distancia _ammin! d*u,^)
como el n/mero de posiciones en las que difieren # ^.
),*),* :!d :!
) Z A A d nn
→⊆ →
%sta aplicaci+n es una mtrica$
' %s definida positi#a$ d*u,^) ≥ - d*u,^) = - ⇔ u = ^n
A:! ∈∀ ,
' %s simtrica$ d*u,̂ ) = d* ,̂u) n A:! ∈∀ ,
' 8esi!ualdad trian!ular$ d *u,#) ≤ d *u,^) P d *^,#) n A:(! ∈∀ ,,
La ola con centro en un elemento u radio 1 es u, todos los puntos son aiertos *⇒ topolo!a aierta).
Definición: e llama distancia mnima *o distancia) de un c+di!o C a$
},,(),*min{)* (!C (!(!d C d ≠∈=
Tema 1. Teoría de Códigos
22
1 ' p
1 ' p
p
p
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Definición: "n c+di!o C es t'detector *de errores), t +∈ Z , si cuando el n/mero de
errores cometidos al transmitir una palara es maor o i!ual que 1 menor o i!ual que
t, entonces la palara resultante no es una palara del c+di!o. C se dice que es
eBactamente t'detector cuando es t'detector pero no es *tP1)'detector.
Proposición: "n c+di!o C es eBactamente t'detector si s+lo si d*C) = tP1.
Definición: "n c+di!o C es t'corrector de errores si la descodificaci+n permite corre!ir
todos los errores de tamao t o menor en una palara de c+di!o, suponiendo que
cuando 7a #arias palaras de c+di!o equidistantes de la palara reciida el proceso de
descodificaci+n declara un error el proceso no se completa. "n c+di!o C se dice que
es eBactamente t'corrector cuando es t'corrector pero no es *tP1)'corrector.
%rror de tamao t$ %rror en el cual el n/mero de errores es t.
Proposición: "n c+di!o C es eBactamente t'corrector si s+lo si d*C) = 2t P 1 o 2t P2.
8emostraci+n$
[[⇐ upon!amos que d*C) = 2t P 1 o 2t P 2 que la palara reciida ^
difiere de la palara en#iada # en a lo sumo t posiciones, es decir, d*#, )̂ ≤ t.
upon!amos que u ∈ C tal que d*u,^) ≤ t u ≠ #. %ntonces d*u,#) ≤ d*u,^) P
d**^,#) ≤ t P t ≤ 2t, contradicci+n a que d*C) = 2t P 1 o 2t P 2, as no puede
7aer 2 palaras de c+di!o distintas cua distancia es menor que la distancia
mnima del c+di!o. As lle!o a que cualquier palara de c+di!o diferente de # dista
de ^ m&s que t.
Neamos a7ora que C es t'corrector no *tP1)'corrector suponiendo que
d*C) = 2t P 1 o 2t P 2
d*C) = 2t P1
∃ u,# ∈ C ( d*u,#) = 2t P1. upon!amos que se transmite ^ que se camian
tP1 smolos correspondientes a tP1 posiciones de entre las 2tP1 en que difieren u
# por los correspondientes smolos de la palara u. Nemos un ejemplo$
111111--
11--111-
==(!
t = 1
2t P1 = 3
-1--111111--111- 2 = → = :!
d*u,^) = 2 pero d*^,#) = 1
%ntonces la palara reciida ^ dista tP1 de u dista t de #, lue!o el c+di!o no
corri!e tP1 errores.
d*C) = 2t P 2 Icurre lo mismo
Tema 1. Teoría de Códigos
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d*C) = 2t P 2 = 2*tP1) C es eBactamente t'corrector.
d*C) = 2t C es eBactamente *t'1)'corrector.
[[⇒ upon!amos que d*C) ≤ 2t por lo tanto no es t 'corrector.
%ntonces si el c+di!o es t Ucorrector esto no puede ocurrir por tanto si C es t'
corrector ⇒ d*C) ≥ 2t P 1. i d*C) ≥ 2t P 3 = 2*tP1) P 1 ⇒C sera eBactamente*tP1)'corrector *Contradicci+n). As d*C) = 2t P 1 o 2t P 2.
Definición: "n c+di!o de lon!itud n, tamao m distancia d se dice que es un
*n,m,d) U c+di!o.
%jemplos$
• C+di!o de repetici+n inario de lon!itud n$
{ -....-- , n
1....111} *n, 2, n)'c+di!o
%ste c+di!o corri!e
−
2
1n errores.
• %l ariner D *1D:D) tom+ fotos en lanco ne!ro de arte. Las im&!enes eran de
--B-- con 4 ni#eles de !ris. e us+ un c+di!o inario de tamao 4. e us+
un *32, 4, 1)'c+di!o *c+di!o de Jeed'uller). %ste era un c+di!o :'corrector.
1
3
32
4lo!2 == )
• %l Noa!er *1D:D'1D<1) tom+ fotos en color de `/piter aturno de 4-D colores.
e us+ un *24, 4-D, <)'c+di!o *C+di!o de ]ola). %ste era un c+di!o 3'corrector.
2
1
24
12
24
4-Dlo!2 === )
Códigos (er&ectos
Definición: ea A un alfaeto, 0A0 = q, # ∈ An r ∈ J, r ≥ -. La esfera de radio r
centro # es$
Tema 1. Teoría de Códigos
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}),*({),* r :(d A:r (# n
" ≤∈=
*ola cerrada de centro # radio r).
%l #olumen de q*#,r) es 0q*#,r)0 est& dado por$
∑=
−
=
r
+
+
" "+
nr n0
-
)1*),*
%l #olumen de la esfera de radio r es independiente del centro.
Nq*n,r) = 1 P n*q'1) P
2
n*q'1)2 P ....
r
n*q'1)r
1 palaras a distancia -n*q'1) palaras que distan 1
2
n ;arejas de elementos
*q'1)2 ;osiles posiciones para el resto de smolos
%jemplo$
A = {-, 1}
n = 3
1 - -1 1 -
- 1 1
1 1 11 - 1
- - 1
- - - - 1 -
%sfera de radio 1 centrada en 111 = {1-1, 111, 11-, -11}
Definición: ea C ⊆ An. %l radio de empaquetamiento de C es el maor entero r tal
que todas las esferas de radio r *q *#,r), # ∈ C) son disjuntas.
Tema 1. Teoría de Códigos
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%sto siempre eBiste a que todas las esferas de radio - son disjuntas.
Definición: %l radio de recurimiento es el menor entero s tal que la uni+n de todas las
esferas de radio s es An.
C (
n
" A s(# ∈ =),*
r = pr*C)
s = cr*C)
Proposición: "n c+di!o C es t'corrector si s+lo si las esferas de radio t q *#,t), #∈ C, son disjuntos. C es eBactamente t'corrector si s+lo si pr*C) = t. %l radio de
empaquetamiento de un *n,m,d)'c+di!o es$
−=2
1)* d
C pr
%jemplo$
d*C) = 4
4
1
Las palaras intermedias no son palaras del c+di!o. La distancia mnima entre dos
palaras es 4.Las esferas de radio 1 son disjuntas %ste c+di!o corri!e 1 error
Las esferas de radio 2 no son disjuntas, tienen un punto com/n
d*C) = 3
Tema 1. Teoría de Códigos
2
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%ste c+di!o corri!e 1 error.
Definición: "n c+di!o C⊆ An se dice perfecto cuando cr*C) = pr*C), es decir, cuando
eBiste un entero r tal que q*#,r), #∈ C, son disjuntas recuren An. %n este caso las
esferas de radio r forman una partici+n de An.
%jemplo$
_2 *3) *_ammin!) %s un *:,1,3)'c+di!o inario
%ste es un c+di!o 1'corrector
d = 3 9 t = 1 = pr*_2*3))
m = 0 _2 *3)0 = 1
Neamos si este c+di!o es perfecto.
0An0 = 00 :
2 Z = 2: = 12<
_a que #er que las esferas de radio 1 recuren :2 Z . _a que #er que la uni+n de
todas las esferas tiene 12< elementos.
N2*:,1) = 02*#,1)0 = 1 P: = <
_a 1 esferas Kienen <S1 palaras =12<
%l c+di!o es perfecto.
Proposición ;Condición de empa"!etamiento de esferas<: ea C un *n,m,d)'c+di!o q'
ario. C es perfecto si s+lo si d = 2t P 1 es impar adem&s nSN q*n,t) = q
n
, es decir$
∑=
−
=
t
+
+
n
"+
n
"m
-
)1*
8emostraci+n$
Tema 1. Teoría de Códigos
2:
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[[⇒ i la distancia mnima fuese par, d= 2t P 2 7ara palaras que no
estaran en una esfera de radio t=1, para d = 4 *Ner 1F ima!en de la p&!ina anterior)
. %l radio t no sera el radio de recurimiento9 t P 1 puede que sea el radio de
recurimiento pero a no es el radio de empaquetamiento.
C perfecto, d = 2t P 1, pr*C) = cr*C) = t. { q*#,t) ( # ∈ C} es una partici+n de An.
qn
= 0An
0 = mSNq*n,t) *m n/mero de esferas)
[[⇐ C es un *n,m,2tP1)'c+di!o que cumple mSNq*n,t) = qn. %l n/mero de
esferas por el #olumen de las esferas es qn ⇒La uni+n de todas las esferas de
radio t contiene a An. Las esferas de radio t son disjuntas ⇒%l c+di!o es perfecto.
*n,m,d) = *D-,2:<,5) 6o corresponde a nin!/n c+di!o perfecto. _a al!unos
par&metros que corresponden a m&s de un c+di!o distinto.
*n,m,d)'c+di!o q'ario$
n
mC )
"lo!)* =
La eficiencia la capacidad de corre!ir errores son incompatiles, para corre!ir
errores las palaras deen ser lar!as, con lo que se reduce la eficiencia. e uscan
c+di!os +ptimos que cominen estas dos propiedades.
Definición: La tasa de correcci+n de errores de un *n,m,d)'c+di!o C es$
n
d
C
−
= 2
1
$)*δ
%s el n/mero de errores que se corri!en en relaci+n a la lon!itud de las palaras.
%jemplo$
C ={ -....-- , n
1....111}
J*C) =nn
12lo!2 =
-)* =∞→
C ) 'imn
n = 2t P1
Tema 1. Teoría de Códigos
2<
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2
1)*
12)*
=
+=
∞→C
t
t C
'imn
δ
δ
Cuanto maor sea la lon!itud del c+di!o m&s aumenta la tasa de correcci+n de errores
*7asta el lmite de -.5). %ste c+di!o es /til d.p.# de la correcci+n de errores pero no
d.p.# de la eficiencia.
m = 1$
J*C) = - %ste c+di!o tiene la mnima tasa de transmisi+n a que un c+di!o de una
sola palara no transmite informaci+n.
%n este caso no podemos 7alar de una distancia mnima, se suele tomar )*C δ = 1 a
que no puede 7aer errores deido a que s+lo 7a una palara.
*n,qn,1)'c+di!o, C = An *0A0 = q)
1lo!
)* ==n
"C )
n
"
J es m&Bimo *todos los smolos transmiten informaci+n).
-)* =C δ
6o se corri!en errores a que todas las palaras de An son palaras del c+di!o.
%l prolema de cu&les son los mejores c+di!o a/n no est& resuelto.
La tasa de correcci+n de errores est& dada por d n9 fijamos d n tratamos de
optimi>ar m para que el c+di!o ten!a J lo maor posile. e definen unos n/meros$
Aq*n,d) $= maB {m ( eBiste *n,m,d)'c+di!o q'ario}
"n *n,Aq*n,d),d)'c+di!o se dice que es un c+di!o optimale.
;rolema principal de la teora de c+di!os$ 8eterminar el #alor de Aq*n,d)
Aq*n,d) ≤ qn'dP1 *Cota de in!leton)
Cota de ;lotOin$
a) i n es par entonces$
;ara n Y 2d, A2*n,d) ≤
− nd
d 2
Tema 1. Teoría de Códigos
2D
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;ara n = 2d, A2*n,d) = 4d
) i n es impar entonces$
;ara n Y 2d P 1, A2*n,d)
−+
+≤nd
d 121
;ara n = 2d P 1, A2*2dP1,d) ≤ 4d P 4
7annon$ A at7ematica K7eor of Communication
Keorema del Canal Juidoso$ %ste teorema demuestra que eBisten uenos c+di!os pero
no dice c+mo otenerlos.
;ara un C con proailidad de paso p la capacidad es$
)1*lo!)1*lo!1)* 22 p p p p pC −−++=
Consideremos un C con capacidad C*p). i J*C) Y C*p) entonces para cada ε X -
eBiste un *n,m)'c+di!o C cua tasa de transmisi+n es maor o i!ual que J para el
cual ;*error de descodificaci+n) Y ε.
%jemplo$
C con p = -.-1
C*p) = -.D1D *casi D2E);odemos encontrar un c+di!o con J = -.D1D con proailidad de error
aritrariamente aja.
Códigos )ine#!es
Los c+di!os lineales son espacios #ectoriales sore un cuerpo finito. Los alfaetos que
usaremos son cuerpos finitos *).
p = {-,1....p'1}q = pr p primo, \q cuerpo finito con q elementos.
%n particular si q = p *primo), entonces \q = \ p = p.
\2 = 2 = {-,1}
\3 = {-,1,2}
\5 = {-,1,2,3,4}
Definición: "n c+di!o lineal de lon!itud n sore es un 'suespacio #ectorial C de
n
n = {*B1 ..Bn) ( B1,ZBn ∈ }
Tema 1. Teoría de Códigos
3-
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8ados 2 elementos de C su suma su producto pertenece a C * P S son cerradas).
C ⊆ n, #,^∈ C, α,β ∈ Κ ⇒ α# P β^ ∈ C
= 2
C = {---,-1-} C+di!o Lineal
=+=+=+
----1--1-
-1--1----
---------
%n el caso inario la suma de dos palaras dee ser una palara del c+di!o.
C (!C (! ∈+⇒∈,
C = {-1-}
6o es un c+di!o lineal, a que no contiene a ---.
C = {---,-1-,11-} 6o es un c+di!o lineal a que 11- P -1- = 1-- ∉ C
"n c+di!o lineal inario tiene un n/mero de palaras que es potencia de 2.
"n c+di!o lineal C sore de lon!itud n dimensi+n O se dice que es un Vn,OW'c+di!o
*lineal)9 si la distancia es d, se dice que es un Vn,O,dW'c+di!o.
QCu&l es el tamao de un Vn,O,dW'c+di!o q'arioR
i C es un Vn,OW'c+di!o q'ario ⇒ C es isomorfo a O *C≅ O )
0C0 = 0 O 0 = 00O = qO
m = qO
"n Vn,O,dW'c+di!o q'ario es un *n,qO ,d)'c+di!o q'ario.
#∈C, C c+di!o inario ⇒# P # = 2# = -
)epaso de =lgebra 'ineal:
N 'espacio #ectorial *N un %N sore un cuerpo ). 8ado un suconjunto ⊆N, el
suespacio de N !enerado por es el menor suespacio de N que contiene a se
denota YX. e #erifica que$
},({1
# ( . (# ii
n
i
ii ∈∈>=< ∑=
α α
i YX = N entonces se dice que es un conjunto !enerador de N.
},({ 1 # ( . (0 ii
n
iii ∈∈= ∑= α α
Tema 1. Teoría de Códigos
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⊆N, se dice que es linealmente independiente cuando$
ni# ( . ( i
n
i
iiii ....1,-,,-1
=∀=⇒∈∈=∑=
α α α
⊆N, = {#1, Z.#n}. e dice que es una ase de N cuando es conjunto !enerador
de N es L@.
es ase ⇔ ∑=
=∈∃∈∀n
i
iin (( . 0 (1
1
- (,...., α α α
∑ ∑= =
=∀=⇒==n
i
ii
n
i
ioii ni(((1 1
....1C,C α α α α
Proposición: e N un 'espacio #ectorial ⊆N* un suconjunto de N). Las
si!uientes afirmaciones son equi#alentes$
i) es una ase.
ii) es un conjunto L@ maBimal de N.iii) es un conjunto !enerador minimal de N.
Conjunto L@ maBimal Conjunto L@ tal que cualquier suconjunto de N que lo
conten!a propiamente no es L@.
Conjunto !enerador minimal Conjunto !enerador tal que nin!/n suconjunto
propio de es conjunto !enerador.
Corolario: ea N un 'espacio #ectorial. Kodo conjunto !enerador de N contiene una
ase todo conjunto L@ de N est& contenido en una ase.
Corolario: Kodo 'espacio #ectorial N tiene una ase. Adem&s todas las ases de N
tienen la misma cardinalidad *n/mero de elementos) que en nuestro caso es siempre
finita que se llama dimensi+n de N, dim N.
Proposición: dim N = O ⇔ N≅ O . Kodos los %N de la misma dimensi+n son
isomorfos. "n isomorfismo es una aplicaci+n iecti#a lineal *conser#a las
operaciones).
8emostraci+n$
Tema 1. Teoría de Códigos
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[[⇒ dim N = O ⇒ N tiene una ase = {#1, .....#O }
∑=
∈=→=∈
→ +
i
+
+ ii
+ f
. ( f ((0 (
. 0
1
1 ),.....*)*, α α α
C⊆ n
dim C ≤ dim n = n
Vn,O,dW'c+di!o lineal
O ≤ n
O = - ⇒C = {--Z.-}
O = n ⇒C = n
Definición: ea L una sucesi+n *puede 7aer trminos i!uales) finita de #ectores de n, *#1....#O ). e llaman operaciones elementales sore *#1,....#O ) a las si!uientes$
i) e*p,q) $ @ntercamiar # p #q *# p ↔ #q)
ii) eλ*p) $ Jeempla>ar el #ector # p por el #ector λ# p, donde λ∈ Κ, λ≠ -
*# p ↔ λ# p).
iii) e*p)Pλ(q) $ Jeempla>ar un #ector # p de la sucesi+n por # p P λ#q, con λ∈ Κ, λ≠ - *# p ↔ # pPλ#q).
i e denota una operaci+n elemental de las anteriores, llamaremos e*L) a la sucesi+n
finita de #ectores otenida a partir de L mediante la aplicaci+n de e.
Proposición: ea L una sucesi+n finita de #ectores de n e una operaci+n elemental
sore L. %ntonces se #erifica$
i) YLX = Ye*L)X
ii) L es L@ ⇔ e*L) es L@
8emostraci+n$
i) Kodo elemento de e*L) es una CL de los elementos de L #ice#ersa, as el
espacio que !eneran es el mismo.
ii) Consecuencia de i).
i aplicamos una opraci+n elemental lue!o su in#ersa otenemos la sucesi+n L.
Tema 1. Teoría de Códigos
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111
)*)*
1
)*)*
)*
1
)*
),*
1
),*
1
==
=
=
=
−−
−−
+
−
−
−
eeee
ee
ee
ee
" p" p
p p
" p" p
λ λ
λ λ
"na sucesion finita de #ectores de n es una matri> de O filas n columnas.
L = *#1,......#O ) sucesi+n finita de #ectores de n ⇔atrices OBn*)
#1 = *#11,....#1n)
#2 = *#21,Z#2n)
.
.
.
#O = *#O1,Z#On)
%sto se puede #er as$
)*
...
..
...
..
...
1
111
. *
((
((
+n
+n+
n
∈
Las operaciones elementales se aplicar&n a las filas de la matri>. Namos a transformar
una matri> dada en otra que nos sea m&s /til para traajar.
Definición: "na sucesi+n finita #1,....#O ∈ n se dice que es escalonada cuando, si se
considera la 1F componente no nula de cada #ector todas las componentes no
posteriores de los #ectores si!uientes son cero adem&s todos los #ectores - de la
sucesi+n est&n al final, es decir, # p = - ⇒ # pP1 = ...= #O = -.
%jemplo$
*3, 5, -, 1, 4, 2, 2)
*-, -, 3, 1, -, 2, 4)
*-, -, -, -, 5, 2, 1)*-, -, -, -, -, 2, 3)
*-, -, -, -, -, -, 1)
*-, -, -, -, -, -, -)
*-, -, -, -, -, -, -)
Proposición: i L = *#1, ....#O ) es una sucesi+n escalonada de #ectores de n, entonces
los #ectores no nulos de L forman una ase de YLX.
"na sucesi+n escalonada es L@.
Tema 1. Teoría de Códigos
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Proposición: ea L un conjunto finito de #ectores de n, entonces L se puede
transformar en una sucesi+n escalonada por medio de un n/mero finito de operaciones
elementales. La sucesi+n as otenida *descartando los #ectores nulos si los 7uiera) es
una ase de YLX.
i aado n'O #ectores de forma que la sucesi+n resultante sea escalonada oten!o una ase de n.
%jemplo$
)*
1-21-12
121-221
211-122
12-2121
211-2--
335 Z * =
3 = {-, 1, 2}
Namos a transformar esta matri> en escalonada mediante operaciones elementales.
→
→
→
→
−
−
−
−
−
1------
2121---
211-2--
--1221-
12-2121
222-1--
--111--
211-2--
--1221-
12-2121
222-1--
--111--
--1221-
211-2--
12-2121
1-21-12
121-221
211-122
211-2--
12-2121
1-21-12
121-221
211-122
12-2121
211-2--
)3*2)5*
)3*2)4*
)3,2*)1*2)5*
)1*)4*
)1*2)3*
)2,1*
e
e
ee
e
e
e
%l c+di!o !enerado por los 5 primeros #ectores est& formado por estos 5 #ectores. Los
primeros #ectores a forman una ase pero en !eneral no suceder& esto. %sta matri>
tiene ran!o 5.
C = Y1-11-1, -11---, 11-1-1, --1-1-X
2 Z ⊆
%n primer lu!ar deemos encontrar una ase de C.
Tema 1. Teoría de Códigos
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→
→
+
+
------
-1-1--
---11-
1-11-1
-1-1--
---11-
---11-
1-11-1
-1-1--
1-1-11
---11-
1-11-1
)4,3*
)2*)3*
)1*)3* e
e
e
"na ase de C, ={1-11-1, -11---, --1-1-}
C = Y1-11-1,-11---, --1-1-X
Namos a #er a7ora c+mo es el c+di!o eBplcitamente.
C = Yu1, u2, u3X
C = {u1, u2, u3, -, u1Pu2, u1Pu3, u2Pu3, u1Pu2Pu3}
C = {------, 1-11-1, -11---, --1-1-,11-1-1, 1--111, -1--1-,111111}
qO = 23
dim C = 3
C = Y-121, 21-1X4
3 Z ⊆
→
121-
1-12 on L@
3 = {-, 1, 2}
Kamao del c+di!o = qO = 32 = D
C = {----, -121, 21-1, 12-2, -212, 2222, 1-2-, 2-1-, 1111}
C = Y1----11, -1--1-1, --1-11-, ---1111X :
2 Z ⊆
V:,4W' c+di!o *_ammin!)
24 = 1 palaras
QC+mo 7allar la distancia mnimaR
%n !eneral, para un c+di!o aritrario se toma todo el c+di!o se #an comparando las
palaras para #er cu&l es la distancia mnima9 si el c+di!o tiene tamao m deeramos
calcular
2
m distancias, n/mero que puede ser !rande *m=1----
2
m=
4DDD5---)
La distancia mnima es la distancia mnima entre dos palaras del c+di!o que sean
distintas.
Tema 1. Teoría de Códigos
3
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Definición: ea C un c+di!o *no necesariamente lineal) # ∈ C una palara del
c+di!o. e define el peso de # como el n/mero ^*#) de smolos no nulos de #.
# = 1--1- ⇒^*#) = 2
Proposición: ea C un c+di!o lineal u,# ∈ C. %ntonces se #erifica$
• d*u,#) = ^*u'#)
• ^*u) = d*u,-)
%l c+di!o dee ser lineal a que u'# dee pertenecer al c+di!o.
Definición: ea C un c+di!o. e llama peso de C *o peso mnimo de C) a$
}-,()*min{$)* ≠∈= (C ((:C :
Proposición: i C es un c+di!o lineal entonces d*C) = ^*C).
8emostraci+n$
ean u,# ∈ C tales que d*u,#) = d*C)
^*C) ≤ ^ *u'#) ≠ -
^*u'#) = d*u,#) = d*C)
As $ ^*C) ≤ d*C)
ea u una palara distinta de cero de peso mnimo, es decir, ^*u) = ^*C)
d*C) ≤ d*u,-) = ^*u) = ^*C)
As$ d*C) ≤ ^*C)
`untando las dos desi!ualdades otenemos$ d*C) = ^*C).
;ara otener la distancia mnima s+lo ten!o que recorrer m'1 palara del c+di!o
calcular sus pesos, con lo que el n/mero de operaciones se reduce.
%l peso mnimo no tiene por qu coincidir con el peso mnimo de los elementos de la
ase.
M#trices Gener#trices % M#trices de Contro!
Definición: ea C un Vn,OW'c+di!o lineal sore un cuerpo *C ⊆ n). "na matri>
!eneratri> de C es una matri> de OBn*) cuas filas forman una ase de C.
La matri> !eneratri> no es /nica a que 7a muc7as ases.
C = Y1-11-1, -11---, 11-1-1, --1-1-X es un V,3W'c+di!o
Tema 1. Teoría de Códigos
3:
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=∈
=
-1-1--
1-11-1
---11-
C)*
-1-1--
---11-
1-11-1
23 7 Z * 7
iempre se cumple que O ≤ n.
;ara que una matri> sea !eneratri> sus filas deen ser una ase del c+di!o, deen ser
un conjunto L@. La matri> dee tener ran!o O *= n/mero de filas).
Proposición: i ] ∈ OBn*) con O ≤ n, ] es matri> !eneratri> de un c+di!o lineal
sore *Vn,OW'c+di!o) si s+lo si r!*]) = ρ*]) = O.
Proposición: ea C un Vn,OW'c+di!o lineal sore ] una matri> !eneratri> de C.
%ntonces C = { B] ( B ∈ O } la aplicaci+n$
7 C .
f +
→
→
es un isomorfismo de O'espacios #ectoriales.
B ∈ O , B ∈ 1BO *)
] ∈ OBn*)
B] ∈ 1Bn*) = n
e multiplica la primera componente de B por la primera fila de ] as sucesi#amente,
al final se 7ace una suma componente a componente.
)111*3)--1*2)1--*1
111
--1
1--
)321* ++=
] ∈ OBn*)9 ρ*]) = O = ρ*f) = dim*@m f)9 @m f = C
8 0 f →
dim N = dim Oer f P dim @m f
O = dim Oer f P O ⇒ dim Oer f = - ⇒ f es inecti#a
N f @m≅
@nteresa encontrar matrices !eneratrices lo m&s sencillas posiles para que la
descodificaci+n sea sencilla. Neamos c+mo conse!uir matrices !eneradoras lo m&s
sencillas posiles.
Definición: ea C un *n,m,d)'c+di!o q'ario sore un alfaeto A. Consideramos los dos
tipos de operaciones si!uientes$
Tema 1. Teoría de Códigos
3<
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1' ea σ una permutaci+n del conjunto de ndices {1, 2, .... n}. %s una aplicaci+n
iecti#a de un conjunto en si mismo. %jemplo$
=
=
45123
54321
)5*)4*)3*)2*)1*
54321
σ σ σ σ σ σ
;ara cada palara de c+di!o u = u1u2 ...un, ui ∈ A, se sustitue u por la palara uσ*1)uσ*2)
.... uσ*n) *permutaci+n posicional).
2' ea para cada ndide i ∈ {1, 2, ....n}, Πi$ A A una permutaci+n. e sustitue
cada palara del c+di!o u = u1u2 ...un por u1u2 ... Πi*ui)... un *permutaci+n de
smolos).%jemplo$
i = 3
22
3
Z Z →
∏
Π3 = *1 -) Cada elemento #a al si!uiente el /ltimo #a al primero.
1-11- 1--1-
Definición: %l c+di!o C es equi#alente al c+di!o C cuando C se otiene a partir de C
mediante una sucesi+n finita de operaciones de los 2 tipos anteriores.
%jemplo$
C = {1-121, 2112-, --221, 1-12-, -1212} 5
3 Z ⊆
σ ∈ 5
σ = *1 3) *2 5)
1 3 2 5
3 1 5 2
C= {11121, 1b221, 21-2-, 1-12-, 22-11}
A7ora aplico$
*Π1) *- 2 1) en la posici+n 1
*Π4) *- 1) en la posici+n 4
Aplico Π1$
C = { -112-, --221, 11-2-, --12-, 12-11}
Aplico Π4$
C = {-112-, --221, 11-2-, --12-, 12--1}
Tema 1. Teoría de Códigos
3D
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%sta relaci+n es una relaci+n de equi#alencia, es decir, cumple las propiedades
refleBi#a, simtrica transiti#a.
%stas operaciones conser#an todos loas par&metros del c+di!o *lon!itud, tamao
distancia entre palaras). 8os c+di!os equi#alentes tienen los mismos par&metros la
misma distancia mnima, con lo que tienen la misma capacidad de corre!ir errores.
Proposición: ea C un c+di!o de lon!itud n sore el alfaeto A u ∈ An. %ntonces
eBiste un c+di!o C equi#alente a C tal que u ∈ C.
8emostraci+n$
ea # ∈ C. ediante a lo sumo n permutaciones de smolos se pasa de # a u.
%ntonces el c+di!o C otenido a partir de esas permutaciones es equi#alente a C
tenemos la propiedad de que u ∈ C.
Definición: "na matri> !eneratri> ] de un Vn,OW'c+di!o se dice normali>ada o est&ndar *o est&ndar por la i>quierda) cuando es de la forma si!uiente$
)0* A > 7 + =
donde @O es la matri> identidad de O *) *matrices cuadradas O B O). Adem&s si un
c+di!o C tiene una matri> !eneratri> est&ndar se dice que C es un c+di!o sistem&tico.
%jemplo$
V5,3W'c+di!o
] =
3534
2524
1514
1--
-1-
--1
aa
aa
aa
A O filas n'O columnas
A∈ OB*n'O)*)
n = O, n = C
Vn,nW'c+di!o
] =
1...-
...
.-.
-1-
-..-1
"n c+di!o de este tipo es el c+di!o AC@@ est&ndar.
Tema 1. Teoría de Códigos
4-
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%l c+di!o AC@@ con it de paridad es un *<,12<,2)'c+di!o9 es un c+di!o lineal a que
si sumamos 2 palaras con un n/mero par de unos otenemos una palara con un
n/mero par de unos. %s un V<,:W'c+di!o.
A >
1
1
1
11
1-
..
..
-.-1--..-1
:
Neamos a7ora un ejemplo en 3$
-12
121
6o es un c+di!o sistem&tico. a que la matri> de 2B2 tiene ran!o 1
*1S1 ' 2S2 = -)
Las primeras O columnas de la matri> deen formar una matri> OBO de ran!o O para
que el c+di!o sea sistem&tico a que as podemos transformar esta matri> OBO en la
matri> identidad aplicando operaciones elementales.
Proposición: e #erifican las si!uiente propiedades$
i) Kodo c+di!o lineal es equi#alente a un c+di!o sistem&tico.
ii) "n c+di!o sistem&tico posee una /nica matri> !eneratri> est&ndar.iii) i C es un Vn,OW'c+di!o sistem&tico entonces para cada u = u1u2 ...un
∈ O
eBiste una /nica palara de c+di!o cu∈C de la forma cu = u1u2 ...uO BOP1...Bn.
Komamos todo O le aadimos n'O smolos de tal forma que el c+di!o
si!a siendo un %N. Las O primeras componentes se llaman smolos de
informaci+n las n'O si!uientes se llaman smolos de control o smolos
de redundancia.
C+di!o AC@@ con it de paridad Las : primeras posiciones no corri!en errores,
forman todo:
2 Z , lue!o se aade un smolo de control para permitir la detecci+n
de errores.
8emostraci+n$
i) upon!amos que el primer coeficiente no nulo de la fila i est& en la
columna ji *i ≤ ji). ean i1....ir las filas de la matri> escalonada tales que
+ i+ ji ≠ *O = 1....r). Consideremos la permutaci+n posicional de la palaras
de C$ *ir jr ) *ir'1 jr'1) .... *i1 j1), todas estas trasposiciones son disjuntas
forman una permutaci+n *la trasposici+n situada m&s a la derec7a es la que
se aplica primero). %jemplo$
Tema 1. Teoría de Códigos
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21-------
121------
2112-11--
11212-121
j2 = 3, j3 = :, j4 = <
Aplicamos la permutaci+n *4 <) *3 :) *2 3)
Ces equi#alente a C.
→
1
..-
..
1
1
atri> !eneratri> de C, el primer loque es de
tamao OBO el se!undo loque es de tamao OB*n'O). Aplicando
operaciones elementales por columnas esta matri> se reduce a una matri>
!eneratri> est&ndar.
ii) ean ] ] matrices !eneratrices est&ndar de C sean a i ai las filas
i'sima de ] ]. Como amas matrices !eneran el mismo c+di!o las filas
de ] se pueden poner como CL de las filas de ]. a i tiene un 1 en la
posici+n i, ai deer ser i!ual a a i, a que si ai lo pusisemos como CL de
las filas de ] en esta CL s+lo inter#endra la fila a i a que si no la matri>
fila ai tendra unos en una posici+n distinta de la i.
iii) 3, V5,3W'c+di!o. C = { ....}-1-,--2,--1,--- , aparecen todas las
posiles palaras de
3
3 Z 7a una /nica palara que comien>a por esossmolos. u = u1....uO ∈ O , sea ] una matri> !eneratri> est&ndar con filas
a1,...aO ∈ n. *u1....uO )] = u1a1 P u2a2 P ....uO aO = u1u2 ...uO BOP1....Bn.
)...-.....--1*1 a+
= . La palara empie>a por los smolos u i deido
a que la matri> es est&ndar lue!o aparecen otros elementos. Kodas las
palaras del c+di!o se otienen as. %l c+di!o AC@@ con un it de paridad
es un c+di!o sistem&tico a que se co!e todo:
2 Z se le aade un it de
redundancia.
ea C el c+di!o ternario de matri> !eneratri>$
=
1211-
111-1
--221
7
%ncontrar un c+di!o sistem&tico que sea equi#alente a C una matri> !eneratri> de
dic7o c+di!o.
Tema 1. Teoría de Códigos
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→
→
−−
-12--
1121-
--221
1211-
1121-
--221
1211-
111-1
--221)2*)3*)1*)2* ee
%sta matri> es una matri> !eneratri> del mismo c+di!o a que s+lo 7emos reali>ado
operaciones elementales. %l c+di!o C a es sistem&tico, #amos a 7allar la matri>
est&ndar. La matri> 3B3 tiene ran!o 3. ;ara que la matri> OBO escalonada ten!a ran!o O
los elementos de la dia!onal deen ser distintos de cero.
→
→
→
−
−
−
-21--
1--1-
12--1
-21--
1--1-
--221
-21--
1121-
--221
-12--
1121-
--221)2*2)1*
)3*2)1*
)3*2)2*)3*2 e
e
ee
_acer lo mismo con un c+di!o C cua matri> !eneratri> es$
)*
-1211
112-1
--221
353 Z * 7 ∈
=
→
→
−−
−
12---
11-1-
--221
-1-2-
11-1-
--221
-1211
112-1
--221)2*)3*)1*)3*
)1*)2*
ee
e
%l ran!o de la matri> 3B3 no es 3. %sta matri> no se puede reducir mediante
operaciones elementales a la matri> identidad a que sta tiene ran!o 3.
→
→
→
−−↔
-21--
-2-1-
22--1
-21--
-2-1-
2--21
-21--
-111-
2--21
12---
11-1-
--221)2*2)1*)3*)2*53
eecc
C es equi#alente a C. %l c+di!o C se otiene a partir de C permutando las posiciones
3 5. Itra matri> !eneratri> de C sera$
21-11
211-1
2--21
8iferencia entre la descodificaci+n de fuente la descodificaci+n de canal$
La descodificaci+n de canal consiste en, al usar un c+di!o detector de errores, reciir
las palaras transmitidas si stas no son palaras del c+di!o por al!/n mtodo
sustituir la palara reciida por una palara del c+di!o. La descodificaci+n de la fuente
consiste en tomar la informaci+n pasarla a su formato ori!inal.
%n el caso de los c+di!os lineales la codificaci+n descodificaci+n de fuente es
astante eficiente.
ea ] la matri> !eneratri> de un Vn,OW'c+di!o C sore .
Tema 1. Teoría de Códigos
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7
C . 7+
→
→
%sta aplicaci+n es un isomorfismo de %N. ;ara codificar se codifica por loques9 se
construe la fuente como elementos de O aplicando el isomorfismo pasamos al
c+di!o C.La descodificaci+n de fuente consiste en una #e> que se 7a reciido B] recuperar B9
esto se 7ace resol#iendo un sistema de ecuaciones lineales.
=
+n+
n
aa
aa
7
..
.
.
..
1
111
B = *B1, .....,BO )
).....,.....,.....,.....*),.....,* 11211211111 + +nn+ + + + n a a a a a a!! 7 ++++==
a11B1 P ZZP aO1BO = u1
.
.
a1nB1 P .......P aOnBO = un
%ste sistema tiene ran!o O, entonces tiene soluci+n /nica. _a O ecuaciones L@, con lo
que podemos eliminar n'O ecuaciones. %l n/mero de inc+!nitas es i!ual al ran!o del
sistema, la soluci+n es /nica.
_a un caso en el que esto es mu sencillo. i C es un c+di!o sistem&tico$
u = u1....uO∈ O
u →u] = u1....uO BOP1....Bn
)0* A > 7 + =
As las descodificaci+n es tri#ial, asta con truncar las palaras tomando los O primeros smolos.
Definición: ea C un Vn,OW. %l c+di!o dual *c+di!o orto!onal) de C es el espacio
#ectorial orto!onal de C con respecto al producto escalar ordinario de n, es decir$
nn . C , , . C ⊆∈∀=∈=⊥ },-S({$
Proposición: i C es un Vn,OW'c+di!o entonces C ⊥ es un Vn,n'OW'codi!o.
ea u1...uO ∈ n una ase de C, entonces }....1,-S({ + i! . C i
n ==∈=⊥.
Tema 1. Teoría de Códigos
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i ui = *ui1,....uin) ∀ i = 1...O, entonces C ⊥ es la soluci+n del sistema 7omo!neo.
u11B1 P ZZP u1nBn = -
.
.
uO1B1 P .......P uOnBn = -
Ken!o n inc+!nitas el sistema tiene ran!o O. La soluci+n es un eN de ran!o n'O.
Propiedades:
i) i C 8 son c+di!os lineales tales que C ⊆ 8, entonces 8 ⊥ ⊆ C ⊥ .
ii) i ] es una matri> !eneratri> de C entonces C ⊥ = {B ∈ n ( B]t = -}.
iii) C ⊥ ⊥ = C.
8emostraci+n$
i#) dim C ⊥ = n U dim C9 dim C ⊥ ⊥ = n U dim C ⊥ = n U *n U dim C) = dim C C⊆ C ⊥ ⊥ , pero dim C ⊥ ⊥ = dim C ⇒C ⊥ ⊥ = C
%jemplo$
C = Y-11-, 12-1X4
3 Z ⊂
=
1-21
-11-7
B2 P B3 = -
B1 P 2B2 PB4 = -
dim C ⊥ = 4 U2 = 2
B3 = αB4 = β
B2 = ' α
B1 = 2α ' βα = - β = 1 *'1,-,-,1)
α = 1 β = - *2,'1,1,-)
−
−=
-112
1--1C7 es una matri> !eneratri> del c+di!o C ⊥
Definición: e llama matri> de control *parit'c7ecO matriB) de C a cualquier matri>
!eneratri> de C ⊥ . i _ es una matri> de control de C entonces$
}-({ =∈= t n / . C
Tema 1. Teoría de Códigos
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i C es un Vn,OW'c+di!o _ es una matri> de control de C, _ ∈ *n'O)Bn*)
C∩C ⊥ = - cuando traajamos con el cuerpo de los n/meros reales, pero para otros
cuerpos esto no tiene por qu ser cierto *cuerpos finitos, cuerpo de los n/meros
complejos).
Definición: "n c+di!o lineal C se dice autodual cuando coincide con su dual.
%jemplo$
C = Y11--,--11X
Comproar que C = C ⊥ .
B1 P B2 = -
B3 P B4 = -
B2 = αB3 = β
B1 = 'αB3 = 'β
α = 1 β = - *11--)
α = - β = 1 *--11)
C = C ⊥
Al!unos liros dan esta definici+n de matri> de control$
; es una matri> de control de C cuando u ∈ C ⇔ u;t = -
Aqu no se eBi!e que la matri> !enere C ⊥ .
%l c&lculo de la matri> de control en la pr&ctica se 7ace de forma diferente a la que
7emos 7ec7o.
Tema 1. Teoría de Códigos
4
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Proposición: ea C un c+di!o lineal sistem&tico que tiene una matri> !eneratri>
est&ndar ] = *@O 0 A). %ntonces ; = *At 0 '@n'O ) es una matri> de control de C.
8emostraci+n$
i demostramos que las filas de ; son #ectores de C ⊥ adem&s que son L@, entoncestendremos n'O #ectores L@ de C ⊥ que tiene dimensi+n n'O, as forman una
ase de C ⊥ . Las filas !eneran un suespacio de dimensi+n n'O de C ⊥
como dim C ⊥ = n'O se tiene que las filas son una ase de C ⊥ , es decir, ; es
una matri> de control de C.
e tiene que ];t = - por tanto las filas de ; pertenecen a C ⊥ . %l ran!o de ; es n'O,
lue!o sus n'O filas son L@.
Definición: e dice que la matri> de control ; del c+di!o C es una matri> de control
est&ndar cuando es de la forma ; = * 0 @n'O )
i C es un c+di!o inario sistem&tico con matri> !eneratri> ] = *@ O 0 A) entonces lamatri> ; = *At 0 @n'O ) es una matri> de control est&ndar de C *'1 = 1).
] = *@O 0 A)
%l sistema que 7ara que resol#er para otener C ⊥ sera$
B1 P a1OP1BOP1 P .....P a1nBn = -
B2 P a2OP1BOP1 P Z..P a2nBn = -
.
.
BO P aOOP1BOP1 P Z..P aOnBn = -
Komamos n'O par&metros *BOP1 ...Bn). Itenemos una ase.
ea C el c+di!o inario de matri> !eneratri>$
=
1111---
-11-1--
1-1--1-
11----1
7
C = _2 *3) *C+di!o de _ammin!)
_allar una matri> de control de C.
; = *At 0 '@n'O )
]= *@4 0 A)
=
111
-11
1-1
11-
A
Tema 1. Teoría de Códigos
4:
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=
1--1-11
-1-11-1
--1111-
P
Caractersticas de las matrices !eneratrices las matrices de control$
La #entaja de la matri> !eneratri> es que a partir de ella es m&s f&cil otener las
palaras del c+di!o *CL de sus filas).
;ara el c&lculo de la distancia mnima es mejor tener la matri> de control. A partir de la
matri> !eneratri> no se conoce nin!/n mtodo directo para otener ^*C), en camio a
partir de la matri> de control s.
Proposición: ea ; una matri> de control de un Vn,O,dW'c+di!o lineal. %ntonces la
distancia mnima d es el menor entero positi#o r para el cual eBisten r columnas
linealmente dependientes en la matri> ;.
8emostraci+n$
ean p1....pn las columnas de ;. ea B = B1....Bn ∈ n. B ∈ C ⇔ B;t = -
B;t = B1S*1F fila de ;t) P B2S*2F fila de ;t) P ..... BnS*nF fila de ;t) = B1 p1 P ... Bn pn
B ∈ C ⇔ B1 p1 P ... Bn pn = -
i B es una palara de peso mnimo el n/mero de coeficientes no nulos es el menor de
entre todas las palaras del c+di!o. %l peso mnimo es el n/mero mnimo de columnasL8 *cada palara me da un CL de las columnas de la matri>).
%jemplo$
_2*3)
=
1--1-11
-1-11-1
--1111-
P
QCu&l es el mnimo n/mero de columnas linealmente dependientesR
r! ; = 3 ⇒ %l n/mero m&Bimo de columnas L@ es 3, as 4 columnas son L8, la
distancia mnima es menor o i!ual que 4.
Q;uede 7aer 3 columnas L8R
La 3F columna es la suma de las dos primeras9 as d ≤ 3, 7e encontrado 3 columnas
L8.
d≠ 1 a que s+lo el #ector - puede formar por s solo un conjunto L8.
6o 7a 2 columnas L8 a que una deera ser m/ltiplo de la otra, pero en este caso
esto implicara que fuesen i!uales. Lle!amos a que d = 3.
Tema 1. Teoría de Códigos
4<
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ea C el V1-,<W'c+di!o sore 11 con matri> de control$
=
1-D<:54321
1111111111 /
_allar la distancia mnima de C.
Cualquier columna es L@ a que no 7a nin!una columna que sea -. 6o 7a 2
columnas que sean L8 a que una deera ser m/ltiplo de la otra como la 1F
componente es 1, la 2F componente deera ser i!ual9 as d*C) ≥ 3. 3 columnas
cualesquiera deen ser L8 a que r!*_) = 29 as d*C) = 3.
Los c+di!os lineales tienen un mtodo de descodificaci+n *de canal) mu ueno.
ea C un Vn,OW'c+di!o lineal _ una matri> de control de C, _ ∈ *n'O)Bn*). La
matri> _ define una aplicaci+n lineal$
))** t t
t
+ n?n
/
/
. .
→
→
→ −
La aplicaci+n se puede dar de cualquiera de estas dos formas.
_ = *7)ee Las columnas de _ son las im&!enes de los #ectores de la ase de n
mediante 7.
Definición: upon!amos que se transmite la palara B ∈ C ⊆ n que la palara
reciida es ∈ n. %ntonces a la diferencia ε = U B ∈ n se le llama palara deerror.
QC+mo se puede determinar ε a partir de 7R
B ∈ n9 B ∈ C ⇔ B_t = -
%sto es lo mismo que decir que$
C = Oer 7 = {B ∈ n ( 7*B) = -}
%ntonces se #erifica que 7*) = 7*B P ε) = 7*B) P 7*ε) = 7*ε)
t
+ n?n
/
. .
→
→ −
Oer 7 = C
n(C = {B P C ( B ∈ n} %N de n m+dulo suespacio C
B P C = {B P u ( u ∈ C} ⊆ n
Tema 1. Teoría de Códigos
4D
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7 define una relaci+n de equi#alencia en n$
B, ∈ n9 B 7 ⇔ 7*B) = 7*) ⇔ 7*B U ) = - ⇔ B U C ∈ er 7 = C
La clase de equi#alencia de B ∈ n es BPC. %l conjunto cociente asociado a la
relaci+n de equi#alencia es$
n(C = {B P C ( B ∈ n}
Las clases {B P C ( B ∈ n} *el conjunto cociente) constituen una partici+n de n.
n es la uni+n disjunta de las clases de BPC con B ∈ n .
n(C es un 'espacio #ectorial con operaciones$
1) *BPC) P *PC) $= BPPC n . , ∈∀ ,
2) a*BPC) $= aBPC nn . . a ∈∀∈∀ ,
i BPC ∈ n(C entonces
! !
C C
+→+→
es una iecci+n entre C BPC, lue!o 0BPC0 = 0C0 ∀ B∈ n.
%l c+di!o es la clase del -.
00 = q, 0 n0 = qn, 0BPC0 = 0C0 = qO
%l n/mero de clases es$
qn(qO = qn'O , 0 n(C0 = qn'O
8 0 f →
N(er f ≅ @m f
n(C ≅ n'O
7*) = 7*ε)
Definición: ea C un Vn,OW'c+di!o con matri> de control _. 8ado B ∈ n
se llamasndrome de B a la palara 7*B) = B_ t ∈ n'O . B ∈ C si s+lo si el sndrome de B es -.
Proposición: ea C un Vn,OW'c+di!o lineal con matri> de control _. %ntonces si
B, ∈ n, B e tienen el mismo sndrome si s+lo si pertenecen a la misma clase del
espacio cociente n(C.
La descodificaci+n por distancia mnima consiste en uscar la palara ε de peso
mnimo entre todas las que tienen el mismo sndrome que la palara reciida a
continuaci+n calcular B = ' ε.
s"!ema:
Tema 1. Teoría de Códigos
5-
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' e calcula el sndrome de la palara reciida , 7*) = _t.
' e determina la clase lateral asociada a este sndrome, PC.
' e usca en esta clase la palara de peso mnimo ε.
' e calcula B = 'ε.
i C es un c+di!o t'corrector en la transmisi+n se 7an cometido t o menos errores
entonces en la clase PC 7a una /nica palara de peso menor o i!ual que que es la
palara de error ε.
8escodificaci+n por sndrome$
Construimos la tala est&ndar$
ea C un Vn,OW'c+di!o de tamao m*=qO ), C ⊆ n
)*..
.....
.....
)*
)*
-)-*-..-
2
133133
222122
1
+ n+ n+ n+ n+ n ""m"""
m
m
+ n
m
!?C !c!c!!
!?C !c!c!!
!?C !c!c!!
. ?C cc
−−−−− +++
++++++
∈=+ −
ea u2 una palara de n'C de peso minimal. La 2F fila est& formada por las palaras
de u2PC. ea u3 una palara de n'C que no pertenece a u2PC de peso minimal.
0 n(C0 = qn'O
Jepetimos esto qn'O #eces. n es la uni+n disjunta de las clase uPC.
Las palaras de la 1F columna de la tala est&ndar se llaman lderes de clase tienen
peso minimal dentro de la clase.
i C es t'corrector, cualquier palara de n de peso menor o i!ual que t es lder de
clase.
%n el caso inario el c&lculo del sndrome se reali>a tomando la matri> de control9 nos
fijamos en las componentes no nulas de la palara reciida sumamos las columnas
de la matri> de control que ocupan las posiciones no nulas de la palara reciida.
%jemplo$
ea C el c+di!o con matri> de control$
=
1--11
-1--1
--11-
/
Construir la tala est&ndar descodificar las palaras reciidas$ 111-1, --11- -11-1.
Tema 1. Teoría de Códigos
51
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%n primer lu!ar #amos a determinar una matri> !eneratri> para 7allar las palaras del
c+di!o. C es un V5,2W'c+di!o. i calculo la matri> de control del c+di!o dual oten!o
una matri> !eneratri> del dual del dual, que es el c+di!o C. _ es una matri> de control
est&ndar as el c+di!o es sistem&tico.
_ = *0@3) ] = *@20t)
=
1-11-
11--17
La distancia mnima es el n/mero mnimo de columnas L8 de la matri> de control.
r!*_) = 3 4 columnas ser&n L8
6o 7a nin!una columna que sea -, as d X 1. 2 columnas L8, en el caso inario,seran i!uales, como no 7a 2 columnas i!uales d X 2. _a 3 columnas L8 *1F = 4F P
5F), as d = 3.
%l c+di!o es 1'corrector.
Namos a construir la tala est&ndar.
111-1-1-11--1--1111-1--
11---11-1-1-1-1-1111---
--111111-11--1--1-----1
-1-111---11111---1---1-1--11-1--1--11-111--1--
1-11-11---1-111-11-1---
-11-111-111-1---111----
---1111--11-11--11-----
#indromes 'íderes
%n un c+di!o t'corrector todas las palaras de peso menor o i!ual que t #an a ser
lderes de clase.
A7ora deo tomar la palara de peso 2 que no 7aamos puesto *7asta la F fila).
;onemos una palara de peso 2 otenemos su sndrome, si ste a 7a salido es que la
palara a 7a salido deemos co!er otra palara.
= -11-1
7*) = -11-1 _t = ---
-11-1∈ C *er 7 = C)
6o puede 7aer ocurrido un error a que se 7a reciido una palara del c+di!o9
tampoco se pueden 7aer cometido 2 errores, pero si se pudieron cometer 3 errores.
= -11-1 B = -11-1
= 111-1
Tema 1. Teoría de Códigos
52
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7*) = --1 * ∉ C)
uscamos el lder de clase de este sndrome.
B = P 1---- = -11-1
%sta es la /nica palara que podemos otener si se 7a producido un /nico error. i
7uiesen ocurrido 2 errores la palara real podra ser otra pero este c+di!o s+lo corri!e
un error. %sta palara es la palara de c+di!o que aparece en la columna de la palara
en la tala.
= --11- 7*) =11-
%l lder de clase es 11---, que tiene peso 2, as se 7an cometido al menos 2 errores,
como el c+di!o es 1'corrector no #amos a tener la se!uridad de 7acer la
descodificaci+n correcta.
8escodificaramos como$
B = ' ε = 1111-
e 7an cometido 2 errores la palara reciida podra 7aer sido -----. i se 7an
cometido 2 errores cualquiera de estas dos palaras podra 7aer sido transmitida.
%ste mtodo tiene un incon#eniente a que la tala est&ndar puede ser !rande, por
ejemplo, en un c+di!o inario de lon!itud 1-- en la tala 7ara que poner 21--
palaras *sin contar sndromes). %sto 7ace que para c+di!os de estos tamaos la tala
sea inaordale9 por eso en estos casos se utili>ara una tala reducida con 2 columnas,la columna de los lderes de clase la de los sndromes. Kendramos esto$
..
..
.1
-----
peso
#índrome 'íderes
%n primer lu!ar #amos poniendo las palaras de peso uno su sndrome. Al acaar
con las palaras de peso uno pasamos a las de peso 2. %sta tala es muc7o m&s
reducida. %jemplo$
V1--,-W'c+di!o, n'O = 4-, tenemos 24- lderes de clase sus correspondientes
sndromes. Contando las 2 columnas$ 2S24- = 241. %ste mtodo de descodificaci+n #ale
para cualquier c+di!o. %Bisten c+di!os que tienen mtodos de descodificaci+n
especficos.
%l prolema principal en el caso de los c+di!os lineales es dada la lon!itud n la
distancia mnima d encontrar la dimensi+n m&Bima O para la cual eBiste un
Vn,O,dW'c+di!o lineal.
Tema 1. Teoría de Códigos
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%ste prolema es demasiado difcil, entonces se plantea otro m&s f&cil9 fijadas la
lon!itud la dimensi+n cu&l es la m&Bima distancia d posile. La cota de in!leton
nos da esto.
Proposición: i C es un Vn,O,dW'c+di!o lineal entonces d ≤ n'OP1
8emostraci+n$
Kodo c+di!o lineal saemos que es equi#alente a un c+di!o lineal sistem&tico la
equi#alencia de c+di!os conser#a los par&metros de los c+di!os. Itenemos un c+di!o
sistem&tico equi#alente a C, con lo que tendr& sus mismos par&metros. ;odemos
suponer que C es sistem&tico$
] = *@O 0A) A∈ OB*n'O)*)
d ≤ peso m&Bimo de cualquier fila de la matri> !eneratri> *= peso m&Bimo de las filasde ])
A lo sumo en cada fila de ] tenemos n'OP1 d!itos distintos de cero. %ntonces a lo
sumo el peso de las filas de ] es n'OP1. %ntonces d ≤ n'OP1. %sta cota se puede
alcan>ar.
Definición: "n Vn,O,dW'c+di!o lineal C se dice que es un c+di!o 8 *maBimun
distance separale code) cuando d = n'OP1.
8emostrar que eBisten c+di!os q'arios 8 de tipo Vn,n,1W, Vn,1,nW Vn,n'1,2W. %stos
c+di!os se llaman c+di!os 8 tri#iales.
q = 2, C =n
Z 2 → Vn,n,1W'c+di!o
C1 = Y11...1X
C1 = {--....-,11....1} → Vn,1,nW'c+di!o
→⊥
1C Vn,n'1,2W'c+di!o
*11....1) es una matri> !eneratri> de C1,⊥1C tiene como matri> de control
−
1
1...101
n
.
] = *@O 0A) → _ = *At0@n'O )
⊥1C tiene como matri> !eneratri> *matri> de control de C1 de 1B*n'1)) a$
Tema 1. Teoría de Códigos
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1-..-1
-...
....
.1-1
-..-11
_a que #er que la distancia mnima es 2$
⊥1C → _ = *1011....1)
2 columnas son L8 ⇒ d = 2 ⇒ %s un c+di!o 8
Códigos Eseci#!es: Códigos de $#mming* de Go!#% % de Reed+Mu!!er
Códigos de $#mming:
%stos fueron los primeros c+di!os interesantes que aparecieron. \ueron descuiertos
independientemente por J. _ammin! *1D5-) . ]ola *1D4D). %stos c+di!os tienen
un procedimiento de descodificaci+n especial.
Kenemos un Vn,OW'c+di!o lineal9 su distancia mnima es el mnimo n/mero de
columnas L8 de una matri> de control. ea d la distancia mnima entonces si tomamos
d'1 columnas cualesquiera de cualquier matri> de control #a a ser L@, pero 7a un
!rupo de d columnas L8.
Namos a construir un Vn,O,3W'c+di!o lineal. Construimos este c+di!o de tal forma que
su matri> de control ten!a 2 columnas cualesquiera L@ con 3 columnas L8,
co!iendo el m&Bimo n/mero de columnas posile.
%l c+di!o de _ammin! q'ario de orden r *r ∈ , r ≥ 2) #a a ser un c+di!o q'ario
Tema 1. Teoría de Códigos
55
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Hq*r) que tiene una matri> de control _q*r) con r = n U O filas con el m&Bimo
n/mero posile de columnas *siendo d = 3). Las columnas de _q*r) son #ectores der
" 5 .
2 #ectores deer se L@ ⇒ Los suespacios que !eneran son distintos*las 2 rectas que
!eneran deen ser diferentes).
Considero todas las rectas de r " 5 que son de la forma Y#X, # r
" 5 ∈ .
Komemos un #ector no nulo en cada recta Y#Xr
" 5 ⊆ 9 2 de estos #ectores son L@
siempre puedo co!er 3 que son L8.
r " 5 (
r
" ( 5 ∈
−><=− })-{*}-{
%sta uni+n es disjunta.
}({
10}-{0
10}-{0
"
r r
"
5 ((
"(
" 5
∈>=<
−−><
−=−
α α
%l n/mero de rectas es1
1
−−
"
"r
.
La matri> de control de Hq*r) es una matri> que tiene r filas n =1
1
−−
"
"r
columnas,
el c+di!o Hq*r) es un Vn,O,3W'c+di!o donde O = n U r. %sta matri> se llama matri> de
_ammin! no es /nica.
Consideremos los elementos de _q*r) como n/meros en el sistema de numeraci+n de ase q. %le!imos los que son distintos de cero que tienen d!itos m&s si!nificati#o
i!ual a 1. %ntonces las columnas de _q*r) son estos n/meros escritos en orden
creciente.
H2*3)
=
1-1-1-1
11--11-
1111---
)3*2 /
r = 3. Las columnas son n/meros de 3 d!itos inarios.
n = :12
12
1
1 3
=−−
=−−
"
" r
d = 3
%l tomar el d!ito m&s si!nificati#o i!ual a 1 implica que co!emos un /nico punto en
cada recta.
Tema 1. Teoría de Códigos
5
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=
21-21-21-21-1
222111---111-
111111111----
)3*3 /
Las columnas est&n ordenadas en orden creciente.
n = 1313
133
=−−
i pusisemos la columna2
-
-
sera m/ltiplo de1
-
-
as d = 2 *co!eramos 2 #ectores
en la misma recta).
=321-4321-4321-4321-4321-133332222211111-----11111-
1111111111111111111------
)3*5 /
314
124
15
153
==−−
=n
r = 3 = n U O ⇒ O = 2<
m = qO = qn'r
%stos fueron los primeros c+di!os correctores de errores. %n el caso inario la matri>
de control est& formada por todos los n/meros inarios menos el cero.
Proposición: Los c+di!os de _ammin! son c+di!os perfectos.
∑
−
=
=−
2
1
-
)1*S
d
i
ni""
i
nm
8emostraci+n$
12
3
2
1=
=
−
= d
t
m = qn'r
qn'r S *1 P n S *q U 1)) = qn
Namos a #er la descodificaci+n de los c+di!os de _ammin!.
Proposición: i una palara B ∈ H2*r) sufre un /nico error resultando la palara
entonces el sndrome de ,r t
r Z r ,/ ,? 2)*)* ∈= , es la representaci+n inaria de la
posici+n del error de la palara reciida.
Tema 1. Teoría de Códigos
5:
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8emostraci+n$
upon!amos que el error se 7a cometido en la posici+n i, es decir, = B P e i, con
-...-1-...--
i
ie = la palara de error. %ntonces$
7*) = 7*BPei) = 7*B) P 7*ei) = 7*ei) = ei)*2 r / t = columna i'sima de _2*r)
La columna i'sima es la representaci+n inaria del n/mero i, i es la posici+n del error.
Conocido u se corri!e el error calculando B = ' e i, camiando el i'simo it de .
V:,4,3W'c+di!o
upon!amos que se recie la palara = 11-111-
( ) ( )--1
111
-11
1-1
--1
11-
-1-
1--
-111-11)11-111-* =
=?
1-- = 4 ⇒ %l error se 7a cometido en la posici+n 4.
La palara de error es e4 = * ---1---). La palara emitida es B = U e4 = 11--11-
A este mtodo de descodificaci+n se le llama descodificaci+n de _ammin!.
Proposición: upon!amos que una palara B ∈ Hq*r) sufre un /nico error, resultando
la palara reciida . ea 7*) ∈ r el sndrome de la palara reciida α ∈ el
smolo m&s si!nificati#o de 7*). i la columna de _ q*r) que contiene a α'17*) es la
columna i'sima entonces la palara de error es )-....--....--*i
ie α α = se #erifica
que B = ' αei.
8emostraci+n$
upon!amos que el error se 7a cometido en la posici+n i'sima de modo que
= B P αei, con -, ≠∈ α α . . %ntonces$
7*) = 7*αei) = )*r / e t "iα = αSi'sima columna de _q*r).
%jemplo$
H3*3) supon!amos que se recie la palara = 11-11122112-1. 8escodificar esta
palara.
Tema 1. Teoría de Códigos
5<
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( ) ( ) 331-2
221
121
-21
211
111
-11
2-1
1-1
--1
21-
11-
-1-
1--
1-21122111-11)* Z ,? ∈=
=
7*) no es una columna de _3*3).
*2-1) = 2 S *1-2)
*1-2) es la :F columna de _3*3), lue!o la palara de error es
αSe: = 2S*------1------). La palara emitida es B = U 2e: = 11-111-2112-1
Códigos de Go!#%:
%l c+di!o de ]ola inario !24$
%l c+di!o !24 es el c+di!o lineal inario de matri> !eneratri> ] = *@ 120A) ∈ 12B24*2),
donde$
=
1---111-11-1
---111-11-11
--111-11-1-1
-111-11-1--1
111-11-1---1
11-11-1---11
1-11-1---111
-11-1---1111
11-1---111-1
1-1---111-11
-1---111-111
11111111111-
A
A partir de la 3F fila las filas se otienen despla>ando la fila anterior una posici+n a la
i>quierda.
Tema 1. Teoría de Códigos
5D
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Namos a calcular la distancia mnima de este c+di!o.
Proposición: !24 es un c+di!o autodual$
⊥= 2424 g g
8emostraci+n$
%s f&cil #er que las filas de ] son orto!onales entre s *incluendo una fila consi!o
misma). La 1F fila de ] tiene peso 12 las restantes tienen peso <. Kodas las filas
tienen peso par, as todas las filas son autoorto!onales. e tiene que si r s son filas de
] entonces r S s = -. %sto quiere decir que todas las filas de ] pertenecen tamin al
c+di!o dual ⊥24
g . i todas las filas de ] pertenecen a ⊥24
g entonces el propio 24 g est&
contenido en ⊥24
g * ⊥⊆ 2424 g g ). ;ara #er que son i!uales 7a que calcular sus
dimensiones.
dim 24 g = 12
dim⊥24
g = n U O = 24 U 12 = 12
As⊥= 2424 g g
Proposición: La matri> *A0@12) es una matri> !eneratri> de !24.
8emostraci+n$
La matri> *A0@12) es una matri> de control de !24, es decir una matri> !eneratri> de
2424 g g =
⊥
Cuando un c+di!o es autodual la matri> !eneratri> la matri> de control son la misma
cosa.
Proposición: i C es un c+di!o inario u,# ∈C, entonces$
)*2)*)*)* (!:(:!:(!: ∩−+=+
donde ),.....,*$ 2211 nn(!(!(!(! =∩ siendo u = *u1,...un) # = *#1,...#n)
8emostraci+n$
# = 1-111--1-1-11
u = 11-1-1111---1
# P u = -11-111-11-1-
^*u∩#) = n/mero de posiciones en las que amas palaras tienen un 1
Proposición: %l peso de cada palara de !24 es di#isile por 4.
8emostraci+n$
Tema 1. Teoría de Códigos
-
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asta demostrar que la suma de dos filas cualesquiera de la matri> ] es di#isile por 4.
ean u # dos filas de ]. %ntonces por la f+rmula anterior$
)*2)*)*)* (!:(:!:(!: ∩−+=+
^*u) ^*#) son m/ltiplos de 4 a que #alen < o 12. _a que #er que el peso de la
intersecci+n es m/ltiplo de 2.
)*S2)2*mod-)*)2*mod-S
)2*modS)*(!:(!:
(!
(!(!:∩⇒≡∩⇒
≡≡∩
es m/ltiplo de 4
%l peso mnimo de !24 es m/ltiplo de 4 como ] tiene filas de peso < el peso mnimo
ser& 4 u <.
Proposición: !24 no tiene palaras de peso 4.
8emostraci+n$
ea u ∈ !24 una palara de peso 4. Consideremos u como la uBtaposici+n de sus
mitades i>quierda derec7a, amas de lon!itud 12.
)0* d i! =
ean ]1 = *@120A) ]2*A0@12), amas son matrices !eneratrices de !24. la palara i es una
CL de las filas de @12 como u ≠ - se tiene que ^*i) ≥ 1.
"sando el mismo ra>onamiento para d con la matri> ]2 #emos que ^*d) ≥ 1.
i ^*i) = 1 entonces u es una fila de ]1 nin!una de ellas tiene peso 4, lue!o ^*i) ≥2
%l mismo ra>onamiento muestra que ^*d) ≥ 2.
%ntonces tiene que ser ^*i) = ^*d) = 2.
^*i) = 2 ⇒ u es la suma de 2 filas de ] 1 pero nin!una de estas sumas puede tener
peso 4.
!24 es un V24,12,<W'c+di!o. %ste c+di!o se us+ para transmitir im&!enes de `/piter
aturno *Noa!er 1D:D'1D<1).
m = 212 = 4-D
*1D< Nera ;ress) Cualquier V24,12,<W'c+di!o lineal inario es equi#alente por
m/ltiplos escalares *en la matri> !eneratri> se pueden multiplicar las columnas por un
escalar) al c+di!o !24.
*1D:5 8elsorte']oet7ols) Los c+di!os de ]ola son los /nicos c+di!os lineales con
estos par&metros. Cualquier *24,212,<)'c+di!o inario es equi#alente por m/ltiplos
escalares a !24.
Tema 1. Teoría de Códigos
1
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%l C+di!o de ]ola inario !23$
e otiene a partir de !24 pinc7ando una componente a !24 *usualmente se elimina el
/ltimo smolo de todas las palaras).
n = 23, m = 212
La distancia mnima o es la misma o disminue una unidad. %n este caso al pinc7ar la
/ltima columna de la matri> de control de !24 la /ltima fila tienen peso :, as d = :. ! 23
es un V23,12,:W'c+di!o. !23 es perfecto. !24 se otiene a partir de !23 aadindole un it
de paridad.
Los C+di!os de ]ola Kernarios$
!12 tiene por matri> !eneratri> ] = *@0) donde
=
-12211
1-1221
21-121
221-11
1221-1
11111-
3
A partir de la 3F fila una fila se otiene a partir de la anterior despla>&ndola una
posici+n 7acia la derec7a.
Propiedades:
i) !12 es autodual.
ii) es simtrica.
iii) ]12 es un V12,,W'c+di!o.
i#) %l c+di!o ternario !11 otenido pinc7ando !12 es un V11,,5W'c+di!o
perfecto.
Códigos de ,ordstrom+Ro-inson:
on c+di!os no lineales tienen la propiedad de que tienen una distancia mnimamaor que cualquier c+di!o lineal que ten!a el mismo tamao la misma lon!itud.
Tema 1. Teoría de Códigos
2
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Códigos de Reed+Mu!!er:
%stos c+di!os son f&ciles de descodificar.
Definición: "na funci+n de oole de m #ariales es una aplicaci+n 22$ Z Z f m→ .
Las funciones de oole se suelen representar dando su tala de #erdad.
m = 3
%ntero
inario
- 1 2 3 4 5 :
B1 - - - - 1 1 1 1
B2 - - 1 1 - - 1 1
B3 - 1 - 1 - 1 - 1
\*B1,B2,B3) - 1 1 1 - 1 1 -
;ara dar la funci+n ooleana me asta quedarme con la /ltima fila a que me descrie
completamente la funci+n *si asumo que siempre ten!o el mismo orden).
%Biste una correspondencia iun#oca entre funciones de oole de m #ariales
palaras inarias de lon!itud 2m
.
2
4
2$ Z Z f →
1-111-1--1---11-
f*111-) = 1
f*-1-1) = -
Bm = {funciones de oole de m #ariales}
0Bm0 =m22 → n/mero de palaras inarias de lon!itud m
%n Bm se define una suma$
f, ! ∈ Bm, *f P !)*B1,Z.Bm) $ = f*B1,Z.Bm) P !*B1,Z.Bm)
*Bm,P) es un !rupo aeliano.
o eBclusi#o *Bor)
*f P !)*B1,Z.Bm) = 1 ⇔ f*B1,Z.Bm) = 1 o !*B1,Z.Bm) = 1 pero no amos son 1.
8efinimos una multiplicaci+n escalar$
Tema 1. Teoría de Códigos
3
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α ∈ 2, f ∈ Bm, *αf) *B1,Z.Bm) $ = α*f*B1,Z.Bm))
Bm es un 2'espacio #ectorial.
8ados f, ! ∈ Bm, *f S !)*B1,Z.Bm) $ = f*B1,Z.Bm) S !*B1,Z.Bm)
ea m $ = {\*B1,....Bm) =}.....)*
21
1
)...*
1∑∈= m
m
m
Z !!!
!
m
! !a, con a*u) ∈ 2.
A los elementos de este conjunto se les llaman polinomios de oole.
0m0 =m
22
QCu&ntos monomios 7a de !rado O$ + !! m!m! m=++ ....(... 11
1 R
_a
+
m monomios de !rado O en m #ariales.
mm
m
mmmm2)11*.....
21-=+=
+
+
+
, estos son todos los posiles monomio de m
#ariales.
Proposición: La aplicaci+n$
m → Bm
\ → f
que a cada polinomio de oole \*B1,....Bm) le 7ace corresponder la funci+n de oole
f*B1,...Bm) dada por f*B1,...Bm) = \*B1,....Bm) es un isomorfismo de 2'espacios
#ectoriales.
8emostraci+n$
asta demostrar que toda funci+n de oole de m #ariales est& inducida por un
polinomio de oole de m #ariales a que los 2 conjuntos tienen el mismo n/mero de
elementos, as si la aplicaci+n es soreecti#a es iecti#a.
_a que demostrar que toda funci+n de oole f*B1,....Bm) ∈ Bm est& inducida por un
polinomio de oole. "samos inducci+n en m.
m = 1
Las funciones de oole de 1 #ariale son --, 11, -1, 1-.
-- → -
11→
1-1 → B1
Tema 1. Teoría de Códigos
4
7/24/2019 Taringa Comets
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1- → 1 P B1
Kodas las funciones de 1 #ariale est&n inducidas por polinomios.
upon!amos que se #erifica para m'1 #ariales sea f*B1,....Bm) ∈ Bm
f*B1,....Bm) = f*-,B2,ZBm) P Π1*B1,ZBm)Vf*1,B2,...Bm) U f*-,B2,...Bm)W
donde Π1*B1,ZBm) = B1, es decir
f*B1,....Bm) = f*-,B2,ZBm) P B1*B1,ZBm)Vf*1,B2,...Bm) U f*-,B2,...Bm)W
8efinimos funciones de oole de m'1 #ariales$
f -*B2,...Bm) $ = f*-,B2,ZBm)
f 1*B2,...Bm) $ = f*1,B2,ZBm)
;or la 7ip+tesis de inducci+n eBisten polinomios de oole \ -*B2,...Bm) \1*B2,...Bm)
tales que$
\-*B2,...Bm) = f -*B2,...Bm) = f*-,B2,ZBm)
\1*B2,...Bm) = f 1*B2,...Bm) = f*1,B2,ZBm)
La funci+n Π1*B1,ZBm) est& inducida por el polinomio ]*B1,...Bm) = B1. %ntonces el
polinomio
\*B1,...Bm) = \-*B2,ZBm) P B1V\1*B2,...Bm) U \-*B2,...Bm)W
induce la funci+n f*B1,...Bm).
'ea f la funci+n de oole dada por$
-11---11
_allar el polinomio de oole que la induce.
11---11-)*,,*
1-1-1-1-
11--11--
1111----
321
3
2
1
f
-11-),,-*
1-1-
11--
32
3
2
f
Tema 1. Teoría de Códigos
5
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11--),,1*
1-1-
11--
32
3
2
f
f*B1,...Bm) = f*-,B2,ZBm) P B1Vf*1,B2,ZBm) U f*-,B2,...Bm)W
-11---11 = -11- P B1V--11 ' -11-W = -11- P B1*-1-1) = -1 P B2V1- ' -1W P B1V-1 P
B2V-1 ' -1WW = -1 P B2*11) P B1*-1) = V- P B3*1 U -)W P B2V1 P B3*1 U 1)W P B1V- P
B3*1 U -)W = B3 P B2 P B1B3
'_allar los polinomios de oole que inducen las funciones$
a) --1-1--1
) -1--1-111-1---1-
a) --1-1--1 = --1- P B1*1-11) = B2*1-) P B1V1- P B2*-1)W = B2V1 P B3W P B1V1 P B3
P B2B3W = B2 P B2B3 P B1 P B1B3 P B1B2B3
) -1--1-111-1---1- = -1--1-11 P B1*111-1-11) = -1-- P B2*1111) P B1V111- P
B2*-1-1)W = -1 P B3*-1) P B2*11) P B1V11 P B3*-1) P B2V-1 PB3*-1)WW = B4 P B3B4
P B2 P B1V1 P B4B3 P B2B4 P B2B3B4W = B4 P B3B4 P B2 P B1 P B1B4B3 P B1B2B4
PB1B2B3B4
→←d2
2
m
Z Bm m 3 →←d
Definición: ea m un entero positi#o mr ≤≤- . e define el c+di!o de Jeed'uller
J*r,m), de lon!itud 2m orden r como el conjunto de las palaras inarias dem
Z 22asociadas a polinomios de oole de m que tienen !rado menor o i!ual que r.
J*r,m) es un c+di!o lineal
m*r) → J*r,m)
m*r) polinomios de oole de m #ariales de !rado menor o i!ual que r
%jemplos$
J*-,m)
1... --
1 =m
- S -... --
1 =m
1 S 1... --
1 =m
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J*-,m) = { m2
-...-,
m2
1...1} = Jep* m2 ) ⊆
m
Z 22
J*m,m) =m
Z 22
J*1,3)
Los polinomios de oole de 3 #ariales !rado menor o i!ual que 1 son de la forma$
332211- 1S α α α α +++
con αi ∈ 2 i = -...3
Los 4 monomios forman una ase del espacio de los polinomios. La palara de J*1,3)correspondiente a este polinomio ser&$
)-1-1-1-1*)--11--11*)----1111*)11111111* 321- α α α α +++
Las palaras entre parntesis son los polinomios que corresponden a los polinomios de
oole de 4 #ariales.
1111----1-1-1-1-
11--11--
1111----
1
3
2
1
;olinomios de 3 #ariales de !rado menor
o i!ual que 1
;olinomio
- --------
B1 ----1111
B2 --11--11
B3 -1-1-1-1
B1PB2 --1111--
B1PB3 -1-11-1-B2PB3 -11--11-
B1PB2PB3 -11-1--1
1 11111111
1PB1 1111----
1PB2 11--11--
1PB3 1-1-1-1-
1PB1PB2 11----11
1PB1PB3 1-1--1-1
1PB2PB3 1--11--1
1PB1PB2PB3 1--1-11-
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:
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%Bcepto la palara 1 la - todas las palaras tienen 4 unos 4 ceros. %l peso mnimo
es 4, as este c+di!o tiene distancia mnima 4.
Proposición: ea \*B1...Bm) = Bm P p*B1...Bm'1) donde p*B1...Bm'1) es un polinomio de
oole. %ntonces la funci+n de oole inducida por \ toma los #alores - 1 el mismo
n/mero de #eces, es decir, 2m'1
#eces.22$ Z Z 5
m→
8emostraci+n$
*B1,...Bm'1,Bm)m
Z 2∈*B1,...Bm'1,-)
*B1,...Bm'1,1)
Kodos los elementos dem
Z 2 los puedo otener a partir de los de1
2
−m
Z aadiendo alfinal un 1 o un -.
i p*B1...Bm'1) = -$
\*B1...Bm'1,1) = 1 P - = 1
\*B1...Bm'1,-) = - P - = -
i p*B1...Bm'1) = 1$
\*B1...Bm'1,1) = 1 P 1 = -
\*B1...Bm'1,-) = 1 P - = 1
La mitad toma el #alor 1 la otra mitad el #alor -.
Proposición: Kodas las palaras de J*1,m) tienen peso mnimo 2m'1, eBcepto la palara
--...- la palara 11...1. %n consecuencia la distancia mnima de J*1,m) es 2m'1.
8emostraci+n$
J*1,m) est& formado por palaras que a eBcepci+n de -...- 1...1 est&n inducidas por
polinomios de oole de la forma Bt P p*B1...Bt'1BtP1...Bm). %stas palaras tienen 2m'1
ceros 2m'1 unos.
%n los c+di!os de Jeed'uller m no es el tamao del c+di!o si no el n/mero de
#ariales del polinomio de oole que le corresponde.
Proposición: %l c+di!o de Jeed'uller J*r,m) tiene lon!itud 2m dimensi+n$
+
+
+=
r
mmm+ ...
211
Ls tasa del c+di!o es$
Tema 1. Teoría de Códigos
<
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m
+ )
2=
8emostraci+n$
%l c+di!o es isomorfo a los polinomios de oole de !rado menor o i!ual que r, que
tiene como ase los monomios de !rado menor o i!ual que r. %l n/mero de polinomios
de !rado menor o i!ual que r es$
+
+
+=r
mmm+ ...
211
Kamao = 2O
n = lon!itud del c+di!o
m
+ +
n )
2
2lo!2 ==
'8eterminar cu&les de las si!uientes palaras pertenecen al c+di!o J*2,4)
a) 11-1 111- ---1 1--1
) --11 -1-1 --11 1-1-
%ste c+di!o tiene lon!itud 1.8eemos #er que los polinomios de oole que inducen
estas palaras tienen !rado menor o i!ual que 2.
a) 11-1111- P B1 *11---111) = 11-1 P B2 *--11) P B1 *11-- P B2 *1-11)) = 11 P B3
*1-) P B2 *B3 *11)) P B1 *11 P B3 *11) P B2 *1- P B3 *-1))) = 1 P B3 *1 P B4) P B2B3 P B1 *1
P B3 P B2 *1 P B4 P B3B4)) = 1 PB3 P B3B4 P B2B3 P B1B3 PB1B2 P B1B2B4 P B1B2 P B1B2B3B4
%ste polinomio de oole tiene !rado 4. La palara no pertenece a J*2,4)
) --11-1-1 P B1 *--111-1-) = --11 P B2 *-11-) P B1 *B2 *1111)) = B3 *11) P B2 *-1 P B3*11)) P B1B2*11) = B3 P B2B4 P B3B2 P B1B2
%sta palara pertenece a J*2,4)
Definición: ea C1 un *n,m1,d1)'c+di!o lineal C2 un *n,m2,d2)'c+di!o lineal sore un
cuerpo . e define un c+di!o lineal sore $
},()*{$ 2121 C (C !(!!C C ∈∈+=⊕
donde u*uP#) es la uBtaposici+n de las palaras u uP#.
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D
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n
n
. C
. C
⊆
⊆
2
1
n . C C
2
21 ⊆⊕ , lue!o 21 C C ⊕ es un c+di!o de lon!itud 2n.
u*uP#) P u*uP#) = *uPu)*uPuP#P#) 21 C C ⊕∈α*u*uP#)) = αu*αuPα#) 21 C C ⊕∈
Proposición: 21 C C ⊕ es un *2n,m1m2,d)'c+di!o con d= min{2d1,d2}
8emostraci+n$
ea B1 = u1*u1P#1) B2 = u2*u2P#2)9 u1,u2 ∈ C1, #1,#2 ∈ C2.
i #1 = #2 entonces d*B1,B2) = ^**u1'u2)*u1'u2)) = 2^*u1'u2) = 2d*u1,u2)
≥ 2d1
i #1 ≠ #2 entonces d*B1,B2) = ^*u1'u2)P ^**u1'u2) P *#1'#2)) ≥ ^*#1'#2) = d*#1,#2) ≥ d2
d*B1,B2) ≥ min{2d1,d2}
_a que #er que se cumple la i!ualdad eli!iendo las palaras con#enientemente.
i min{2d1,d2} = 2d1. Komamos u1,u2 ∈ C1 ( d*u1,u2) = d1 tomamos B1 = u1*u1P#),
B2 = u2*u2P#) con # ∈ C2, entonces d*B1,B2) = 2d1.
i min{2d1,d2} = 2d2. Komamos #1,#2 ∈ C2 ( d*u1,u2) = d2 tomamos B1 = u*uP#1),
B2 = u*uP#2) con u ∈ C1, entonces d*B1,B2) = ^*#1'#2) = d*#1,#2) = d2
Proposición: ea - Y r Y m. e #erifica que J*r,m) = J*r,m'1) ⊕ J*r'1,m'1)
8emostraci+n$
Namos a demostrar que J*r,m) ⊆ J*r,m'1) ⊕ J*r'1,m'1)
ea B ∈ J*r,m) dada por el polinomio de oole \*B1...Bm) de !rado menor o i!ual que
r.
\*B1...Bm) = B1]*B2ZBm) P _*B2ZBm), donde ]*B2ZBm) tiene !rado menor o i!ual que
r'1 _*B2ZBm) tiene !rado menor o i!ual que r.
ea B] la palara inaria correspondiente a ], B] ∈ J*r'1,m'1). ea B_ la palara
inaria correspondiente a _, B_ ∈ J*r,m'1)
B1] ↔ -B]
_ ↔ B_B_
B = B\ = -B] P B_B_ = B_*B_ P B])
Tema 1. Teoría de Códigos
:-
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;ara #er que se cumple la i!ualdad 7a que #er que los dos espacios tienen la misma
dimensi+n.
+
+
+==r
mmm+ mr ) ...
211),*dim
e #erifica que
−−+
−=
1
11
r
m
r
m
r
m, - Y r Y m
dim *J,m) = O =
−−
+
−+
−+
−+
−+
1
11...
1
1
-
1
1
11
r
m
r
mmmm=
−−
+
−++
−+
−+=
1
1...
1
11
1...
1
11
r
mm
r
mm=dim J*r,m'1) P dim J*r'1,m'1) =
= dim VJ*r,m'1) ⊕ J*r'1,m'1)W
Corolario: %l c+di!o de Jeed'uller J*m'1,m) est& formado por todas las palaras inarias de lon!itud 2m peso par. ;or tanto si r Y m J*r,m) s+lo contiene palaras de
peso par.
8emostraci+n$
J*-,1) = {--, 11} s+lo tiene palaras de peso par.
upon!amos que J*m'2,m'1) s+lo tiene palaras de peso par
)1,2*)2,2*)1,1*),1*12
2 −−⊕=−−⊕−−=− −
mm ) Z mm )mm )mm )m
espacioel Todo
B ∈ J*m'1,m)
B = *P>) = P ->
12
2
−
∈ m
Z > ∈ J*m'2,m'1)
siempre tiene peso par
^*->) = ^*>), > ∈ J*m'2,m'1) tiene peso par por 7ip+tesis de inducci+n.
^*B) = ^*) P ^*->) U 2^*∩->) es par
ea ; ={palaras de lon!itud 2m
peso par} ⊆
m
Z 2
2
; es un suespacio #ectorial dem
Z 22dim ; R
{*1-...-1), *-1-...-1), *--1-...-), ...*--...-11)}
%ste conjunto es una ase de ;. %ste conjunto es L@ a que es un conjunto escalonado.
; tiene 2m U 1 #ectores
dim ; = 2m U 1
J*m'1,m) ⊆ ;
Tema 1. Teoría de Códigos
:1
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dim J*m'1,m) =
−
+
+
+
1...
211
m
mmm = *1P1)m U 1 = 2m U 1
%n la eBpresi+n faltara el trmino 1=
m
m para poder aplicar la f+rmula del inomio.
dim ; = dim *J*m'1,m) ⇒ ; = J*m'1,m)
r Y m ⇒ J*r,m) ⊆ J*m'1,m)
%jemplo$
J*2,3) est& formado por las palaras inarias de lon!itud < peso par. "na matri>
!eneratri> es$
=
11------
1-1-----
1--1----
1---1---
1----1--
1-----1-
1------1
7
%sta es la matri> !eneratri> del c+di!o AC@@ con paridad.
Proposición: J*r,m) tiene distancia mnima 2m'r por tanto tiene par&metros$
+
+ −r mm
r
mm2,....
11,2
8emostraci+n$
J*m,m) =m
Z 22 , 1 = 2- = 2m'm
d*J*1,2)) = d*J*1,1) ⊕ J*-,1)) = min{2S1,2} = 2 = 22'1
upon!amos que - Y r Y m
upon!amos que se #erifica para m'1
J*r,m) = J*r,m'1) ⊕ J*r'1,m'1)
d*J,m) = min{2Sd*J*r,m'1)),d*J*r'1,m'1))} = min{ 2S2m'1'r ,2m'r } = 2m'r
J*r,m) es un
+
+ −r mm
r
mm2,....
11,2 'c+di!o
Tema 1. Teoría de Códigos
:2
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ariner 4 *1D5)
22 fotos de arte de 2-- B 2-- de 4 ni#eles
2 ni#eles →
2 Z ={------,...,111111}
< S 1(3 its(s, 1 foto ≈ < 7oras
ariner D *1DD'1D:1)
:-- B <32 = 5<24<- piBels, 4 ni#eles
p = -.-5 , 1'p = -.D5, *-.D5)
≈ -.:4
AproBimadamente el 2E de la ima!en sera err+nea.
e meten aproBimadamente 3- its de redundancia.
i tomamos un c+di!o de repetici+n tenemos d = 5 el c+di!o corre!ira 2 errores.
;roailidad de error = 1E
in correcci+n de errores 7ara unos 15---- piBels err+neos por foto. Con el c+di!o
de repetici+n tendra 5<-- piBels err+neos por foto. e us+ J*1,5), que es un V32,,1W'
c+di!o, en este caso p = -.-19 con este c+di!o 7ara unos 5< piBels err+neos por foto.
12-- its(s
:-- B <32 B 32its(piBel = 1<3<-- its
1 ima!en ≈ 115--- s ≈ 32 7oras
:3