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Cuando se toman muestras el propósito es conocer más acerca de una población, ya que al examinar una población completa se pierde mucho tiempo y resulta costoso. La información que podemos obtener de las muestras pueden ser estimadores puntuales, es decir, datos como la media muestral y la desviación estándar muestral. Los estimadores puntuales son un solo valor (punto) calculado a partir de información de la muestra para estimar el valor de una población ó parámetro poblacional.

Un enfoque que arroja más información es la estimación por intervalo cuyo objetivo es aportar información de que tan cerca se encuentra la estimación puntual, obtenida de la muestra, del valor del parámetro poblacional.

La estimación por intervalo se calcula al sumar o restar al estimador puntual una cantidad llamada margen de error. La formula general de una estimación por intervalo es:

Existen dos tipos de estimación de intervalo: La estimación de intervalos de confianza para la media poblacional (µ). Y su

formula general es: ±Margen deerror La estimación de intervalos de confianza para la proporción poblacional (P). Y

su formula general es: p±Margende error .

ESTIMACIÓN DE INTERVALO PARA LA MEDIA POBLACIONAL.Los factores que determinan la magnitud de un intervalo de confianza para una media poblacional son:

El número de observaciones en la muestra (n). La variabilidad en la población calculada por la desv. estándar de la muestra (s) Y el nivel de confianza.

En la estimación de intervalo para la media poblacional (µ) se deben considerar dos casos:

1. Cuando se conoce la desviación estándar de la población (σ).2. Cuando se desconoce la desviación estándar de la población (σ). En este caso

se sustituye la desviación estándar de la muestra (s) por la desviación estándar de la población (σ).

1. LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE LA POBLACIÓN ES CONOCIDA ( ).σ

INTERVALOS DE CONFIANZA


Intervalo de confianza es el conjunto de valores formado a partir de una muestra de datos de forma que exista la posibilidad de que el parámetro poblacional se encuentre dentro de dicho conjunto con una probabilidad específica.Esa probabilidad específica recibe el nombre de nivel de confianza.

Estimación puntual ± Margen de error

FORMULA.

Donde: = Es la estimación puntual (media muestral) y punto central del intervalo.z = Valor de z, que depende del nivel de confianza.

σ

√n = Es el error estándar, la desviación estándar de la distribución muestral de las

carro medias muestrales.

PROCEDIMIENTO:1. Describir el parámetro poblacional de interés.

Por ejemplo la media poblacional (µ). 2. Especificar los criterios del intervalo de confianza.

a) Comprobar supuestos. Si se conoce o no la desviación estándar poblacional ( ). Si se trata de unaσ distribución normal.

b) Identificar la distribución de probabilidad y la formula a utilizar para la desviación estándar conocida.Cuando se conoce la desviación estándar de la población se utiliza la

distribución z y la formula a utilizar será ±zσ

√n .

c) Establecer el nivel de confianza. El que determine el problema. Por ejemplo 90%, 85%...

3. Recolectar y presentar hechos muestrales.Recolectar la información muestral que se presente en el problema, como el tamaño de muestra (n), la media muestral (), etc.

4. Determinar el intervalo de confianza.a) Determinar el valor de z, dependiendo el nivel de confianza.b) Encontrar el error estándar de la muestra y multiplicarlo por el valor de z, de

esta forma se obtiene el valor del margen de error ó error máximo de estimación

Fórmula de error estándar σ=σ

√n margen de error ¿ z×σ

√n

c) Encontrar los límites de confianza inferior y superior.El límite de confianza superior se encuentra sumando el valor de la media

muestral () con el margen de error. +z σ√n

El límite de confianza inferior se encuentra restando del valor de la media

muestral () el valor del margen de error. −z σ√n

5. Presentar los resultados y establecer el intervalo de confianza.

±zσ

√n

El intervalo de confianza del (nivel de confianza: 95%, 80%, etc.) para la media poblacional µ es de (límite de confianza inferior) a (límite de confianza superior). EJEMPLO:

Se toma una muestra de 49 observaciones de una población normal con una desviación estándar de 10. La media de la muestra es de 55. Determine el intervalo de confianza de 99% para la media poblacional.

1. Describir el parámetro poblacional de interés. El parámetro de interés es la media poblacional (µ).

2. Especificar los criterios del intervalo de confianza.a) Comprobar supuestos.

Se conoce la desviación estándar poblacional ( ). Y se trata de unaσ distribución normal.

b) Identificar la distribución de probabilidad y la formula a utilizar para la desviación estándar conocida. Como se conoce la desviación estándar de la población se manjará la

distribución z y la formula a utilizar será ±zσ

√n .

c) Establecer el nivel de confianza. El nivel de confianza es de 99%.

3. Recolectar y presentar hechos muestrales. n = 49, =55, = 10, σ

4. Determinar el intervalo de confianza.a) Determinar el valor de z, dependiendo el nivel de confianza.

Se sabe que el 99% de las observaciones se encuentra ubicado en el centro de la distribución y entre dos valores de z. Por consiguiente el 1% restante se divide en partes iguales en las dos colas de la campana.99% = .9900 1−.9900=.0100 .0100÷2=.0050 Este valor lo buscamos en la tabla de distribución normal estándar y nos dará como resultado z = -2.58, pero como la distribución es normal y por lo tanto simétrica el otro valor de z es: z = +2.58, entonces z=±2.58

b) Encontrar el error estándar de la muestra y multiplicarlo por el valor de z, de esta forma se obtiene el valor del margen de error ó error máximo de estimación

σ=σ

√n= 10

√49=1.4285

Margen de error ¿ z×σ

√n ¿2.58×1.4285=3.6857

c) Encontrar los límites de confianza inferior y superior.

+z σ√n 55+3.6857=58.6857


−z σ√n

55−3.6857=51.3142

5. Presentar los resultados y establecer el intervalo de confianza.El intervalo de confianza del 99% para la media poblacional µ es de51.3142 a58.6857

2. LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE LA POBLACIÓN ES DESCONOCIDA ( ).σEn la mayoría de los casos de muestreo no se conoce la desviación estándar de la población ( ), y por lo tanto no se puede utilizar la distribución σ z para calcular el intervalo de confianza para la media poblacional (µ). Sin embargo se puede utilizar la desviación estándar de la muestra y sustituir la distribución z con la distribución t.

La distribución t se calcula con la siguiente fórmula: t=−μ

s

√n

Donde: = Media muestral.µ = Media poblacional.s = Desviación estándar de la muestra, es un estimador puntual de la desviación estándar poblacional.n = numero de observaciones de la muestra.

Características de la distribución t. Es una distribución continua. Tiene forma de campana y es simétrica. Existe una familia de distribuciones t. Todas las distribuciones t tienen una

media de 0, y sus desviaciones estándar difieren de acuerdo con el tamaño de la muestra.

Es plana o más amplia que la distribución normal estándar.

Para crear un intervalo de confianza para la media poblacional con la distribución t se utiliza la siguiente fórmula:

FORMULA.

Donde: = Es la estimación puntual (media muestral) y punto central del intervalo.t = Valor de t, que depende del nivel de confianza.


±ts

√n

s

√n = Es el error estándar, la desviación estándar de la distribución muestral de las

carro medias muestrales.

La distribución t cuenta con una tabla para localizar el valor de t en intervalos de confianza, dependiendo el nivel de confianza que se requiera. Existe una columna que se identifica como “GL” ó grados de libertad. El número de grados de libertad es igual al número de observaciones en la muestra menos el número de muestras.

PROCEDIMIENTO:

1. Describir el parámetro poblacional de interés. Por ejemplo la media poblacional (µ).


Si se conoce o no la desviación estándar poblacional ( ). Si se trata de unaσ distribución normal.

b) Identificar la distribución de probabilidad y la formula a utilizar (para la desviación estándar conocida o desconocida). Cuando no se conoce la desviación de la población estándar de la población se

utiliza la distribución t y la formula a utilizar será ± ts

√n .

c) Establecer el nivel de confianza. El que determine el problema. Por ejemplo 90%, 85%...

3. Recolectar y presentar hechos muestrales.Recolectar la información muestral que se presente en el problema, como el tamaño de muestra (n), la media muestral (), etc.

4. Determinar el intervalo de confianza.a) Determinar el valor de t, dependiendo el nivel de confianza.

Hay que buscar en la tabla la columna “Intervalos de confianza” y localizar el nivel de confianza que se requiere. Y en la columna “GL” buscar los grados de libertad, haciendo lo siguiente: al número de observaciones en la muestra hay que restarle el número de muestras. n – 1. Por último ver el valor de t que resulte de acuerdo al nivel de confianza y los grados de libertad que calculamos.

b) Obtener el margen de error

Margen de error ¿ t ×s

√n



El límite de confianza superior se encuentra sumando el valor de la media

muestral () con el valor del margen de error. +t s√n

El límite de confianza inferior se encuentra restando valor del margen de error

del valor de la media muestral (). −t s√n

5. Presentar los resultados y establecer el intervalo de confianza.El intervalo de confianza del (nivel de confianza: 95%, 80%, etc.) para la media poblacional µ es de (límite de confianza inferior) a (límite de confianza superior).

EJEMPLO:

La Asociación Estadounidense de Productores de Azúcar desea calcular el consumo medio de azúcar por amo. Una muestra de 16 personas revela que el consumo medio anual es de 60 libras, con una desviación estándar de 20 libras. Construya un intervalo de confianza de 90% para la media de la población.

1. Describir el parámetro poblacional de interés. Es la media poblacional (µ).


No conoce la desviación estándar poblacional ( ). Se supone que se trata deσ una distribución normal.

b) Identificar la distribución de probabilidad y la formula a utilizar (para la desviación estándar conocida o desconocida). Como no se conoce la desviación de la población estándar de la población se

manejará la distribución t y la formula a utilizar será ±ts

√n .

c) Establecer el nivel de confianza. El nivel de confianza es de 90%

3. Recolectar y presentar hechos muestrales.n = 16 = 60 s = 20

4. Determinar el intervalo de confianza.a) Determinar el valor de t, dependiendo el nivel de confianza.

Nivel de confianza = 90% GL = n – 1 = 16 – 1 = 15 Valor de t = 1.753

b) Obtener el margen de error


t ×s

√n=1.753× 20

√16=1.753× 20

√16=1.753×5=8.765


+t s√n

60+8.765=68.765

−t s√n 60−8 .765=51.235

5. Presentar los resultados y establecer el intervalo de confianza.El intervalo de confianza del 90% para la media poblacional µ es de 51.235 a 68.765

ESTIMACIÓN DE INTERVALO PARA LA PROPORCIÓN POBLACIONAL.

Una proporción es una fracción, razón o porcentaje que indica la parte de la muestra de la población que posee un rasgo de interés particular.

Una proporción muestral se determina de la siguiente manera: p=xn

Donde:x = Es el numero de éxitos.n = Es el número de elementos de la muestra.

La proporción de la muestra (p) es un estimador puntual de la proporción de la población (P).

Para crear un intervalo de confianza para una proporción, es necesario cumplir con los siguientes supuestos:

1. Que la condiciones binomiales queden satisfechas: Los datos de la muestra son resultado de conteos. Solo hay dos posibles resultados (lo normal es referirse a uno de los

resultados como éxito y al otro como fracaso). La probabilidad de un éxito permanece igual de una prueba a la siguiente. Las pruebas son independientes. Esto significa que el resultado de la

prueba no influye en el resultado de otra.2. Los valores de nP y n(1-P) deben ser mayores o iguales que 5. Esta condición

permite recurrir al teorema del límite central y emplear la distribución normal estándar, es decir, z, para completar un intervalo de confianza.


Para crear un intervalo de confianza para una proporción de población se aplica la siguiente fórmula:

FORMULA.

Donde:p = Es la estimación puntual (proporción muestral) y punto central del intervalo de mar confianza.z = Valor de z, que depende del nivel de confianza.n = Es el número de elementos de la muestra.

El desarrollo de un estimador puntual para la proporción poblacional y un intervalo de confianza para una proporción poblacional es similar a hacerlo para una media.

PROCEDIMIENTO:1. Describir el parámetro poblacional de interés.

La proporción poblacional (P). 2. Especificar los criterios del intervalo de confianza.

a) Comprobar supuestos. Ver que se cumplan las condiciones binomiales. Los datos de la muestra son resultado de conteos. Solo hay dos posibles resultados. La probabilidad de un éxito permanece igual de una prueba a la siguiente. Las pruebas son independientes. Que los valores de nP y n(1-P) deben ser mayores o iguales que 5.

b) Identificar la distribución de probabilidad y la formula a utilizar.Se utiliza la distribución z y la formula a

utilizar será: p± z √ p(1−p)nc) Establecer el nivel de confianza.

El que determine el problema. Por ejemplo 90%, 85%...3. Recolectar y presentar hechos muestrales.

Recolectar la información muestral que se presente en el problema, como el tamaño de muestra (n), la proporción muestral (p), etc.

4. Determinar el intervalo de confianza.

a) Calcular la proporción de la muestra con la formula: p=xn

b) Determinar el valor de z, dependiendo el nivel de confianza.

p±z √ p(1−p)n


c) Obtener el margen de error

Margen de error ¿ z×√ p(1−p)n

d) Determinar el intervalo de confianza con la formula: p±z √ p(1−p)n

e) Encontrar los límites de confianza inferior y superior.El límite de confianza superior se encuentra sumando el valor de la

proporción muestral (p) con el margen de error. p+z √ p(1−p)nEl límite de confianza inferior se encuentra restando del valor de la

proporción muestral (p) el valor del margen de error. p−z √ p(1−p)n5. Presentar los resultados y establecer el intervalo de confianza.

El intervalo de confianza del (nivel de confianza: 95%, 80%, etc.) para la proporción poblacional P es de (límite de confianza inferior) a (límite de confianza superior).

EJEMPLO:El propietario de West End Kwick Fill Gas Station desea determinar la proporción de clientes que utilizan tarjeta de debito para pagar la gasolina en el área de las bombas. Entrevistó a 100 clientes y descubre que 80 pagaron en el área de bombas. Construye un intervalo de confianza de 95% para la proporción poblacional.1. Describir el parámetro poblacional de interés.

La proporción poblacional (P). 2. Especificar los criterios del intervalo de confianza.

a) Comprobar supuestos. Se cumplen las condiciones binomiales. Los datos de la muestra son resultado de conteos. Solo hay dos posibles resultados. La probabilidad de un éxito permanece igual de una prueba a la siguiente. Las pruebas son independientes. Que los valores de nP y n(1-P) deben ser mayores o iguales que 5.

b) Identificar la distribución de probabilidad y la formula a utilizar.

Se utiliza la distribución z y la formula a utilizar será: p±z √ p(1−p)nc) Establecer el nivel de confianza.

El nivel de confianza es de 95%3. Recolectar y presentar hechos muestrales.

p =80/100 n = 1004. Determinar el intervalo de confianza.


a) Calcular la proporción de la muestra : p=xn= 80100

=0.80=80%

b) Determinar el valor de z, dependiendo el nivel de confianza.Se sabe que el 95% de las observaciones se encuentra ubicado en el centro de la distribución y entre dos valores de z. Por consiguiente el 5% restante se divide en partes iguales en las dos colas de la campana.95% = .9500 1−.9500=.0500 .0500÷2=.0250 z=±1.96

c) Obtener el margen de error

z×√ p(1−p)n=1.96×√ .80(1−.80)100

=1.96×√.0016=1.96× .04=.0784

d) Encontrar los límites de confianza inferior y superior.

p+z √ p (1−p )n

.80+.0784=.8784

p−z √ p(1−p)n .80−.0784=.7216

5. Presentar los resultados y establecer el intervalo de confianza.El intervalo de confianza del 95%para la proporción poblacional P es de 72.16%a 87.84 %.

Anderson, D. R., D. J. Sweeney y T. A. Williams. (2008). Estadística para la administración y la economía. (10a ed). México: CENGAGE Learning. 267- 283, 307 -313.

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BIBLIOGRAFIA

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