Tarea#4 - Ejemplo de Compensadores
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ELABORADO POR: GRUPO #5
-Hanliet Lira 2007-21950
-Claudia Mendez 2007-21558
-Sergio Mendieta 2007-21604
-Sabrina Mendoza 2007-21557
-Francisco Sevilla 2007-21835
-Frederick Ramirez 2007-21655
GRUPO 4T1 – ELECTRONICA
![Page 2: Tarea#4 - Ejemplo de Compensadores](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022100304/5571f8de49795991698e4590/html5/thumbnails/2.jpg)
Ejemplo 7.5
Un sistema de control con
es inestable para todos los valores positivos de la ganancia K.
1. Dibuje los lugares de las raices del sistema
2. Usando esta grafica, demuestre que este sistema se estabiliza al añadir
un cero al eje real negativo o modificando G(s) a G1(s), donde
)1()(
2
ss
KsG
)1(
)()(
21
ss
sKsG
1)( sH
)10(
![Page 3: Tarea#4 - Ejemplo de Compensadores](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022100304/5571f8de49795991698e4590/html5/thumbnails/3.jpg)
Ejemplo 7.5 Representación en diagrama de bloques
1)( sH
1
R(s) C(s)K)1(
12 ss
)1()(
2
ss
KsG
)1()()(
2
ss
KsHsG
Ganancia en Lazo Abierto
)()(1
)(
)(
)(
sHsG
sG
sR
sC
Función de Transferencia
Compensador
G(s)
H(s)
0)()(1 sHsG
Ecuación Característica
¿Cómo se comporta el sistema cuando K varía de 0 a infinito?
¿Respuesta Transitoria y Respuesta Estacionaria?
![Page 4: Tarea#4 - Ejemplo de Compensadores](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022100304/5571f8de49795991698e4590/html5/thumbnails/4.jpg)
Ejemplo 7.5
Medida de desempeño del sistema
td Tiempo de retardo
tr Tiempo de subida
tp Tiempo pico
ts Tiempo de asentamiento
Mp Sobreenlongación
ess Error en estado estacionario
ζ Factor de Amortiguamiento relativo del sistema
ωn Frecuencia natural no amortiguada
• Todo el desempeño transitorio puede ser trasladado en
términos de un par de polos en lazo cerrado dominantes
• Ofrecen completamente el
desempeño transitorio del sistema
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Ejemplo 7.5
Medida de desempeño del sistema
ζ Factor de Amortiguamiento relativo del sistema
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Ejemplo 7.5
Lugar de las raices #1
Es una descripción total del sistema en términos del parámetro de diseño
(parametro K)
A parir del lugar de las raíces es claro observar el desempeño del sistema a las
variaciones del parámetro de diseño
¿Cómo se comporta el sistema cuando K varía de 0 a infinito?
n
j
j
m
i
i
ps
zs
KsHsG
1
1
)(
)(
)()(
0)()(1 sHsG
Ecuación Característica
0)(1 sF
Siempre es posible
El grafico del lugar de las raíces serán todos los
puntos que satisfacen la ecuación
)1()()(
2
ss
KsHsG
Ganancia en Lazo Abierto
Del ejemplo:
Condición de Magnitud
La condición de magnitud se satisface
siempre para todos los puntos en el plano S
debido que K varia de 0 a infinito
Condición de Angulo
por tanto para hacer el grafico del lugar
de las raíces se buscan los puntos que
satisfacen la condición de Angulo
1)( sF
180)12()( qsF
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Ejemplo 7.5
Lugar de las raices #1 Simetría
Segmentos del eje real
Centro de las Asíntotas
Dirección de Asíntotas
Punto de separación
Angulo de salida un polo complejo
Angulo de llegada a un zero complejo
K0
Si el numero de polos y ceros a la derecha
del punto de prueba es impar entonces ese
segmento del eje real es parte de una rama
del lugar de las raíces
)1()()()(
2
ss
KsHsGsF
Ganancia en Lazo Abierto
Del ejemplo:
jω
σ
Plano S
0-1
0K
Polo doble
0K
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Ejemplo 7.5
Lugar de las raices #1 Simetría
Segmentos del eje real
Centro de las Asíntotas
Dirección de Asíntotas
Punto de separación
Angulo de salida un polo complejo
Angulo de llegada a un cero complejo
K0
El centro de las asíntotas
)1()()()(
2
ss
KsHsGsF
Ganancia en Lazo Abierto
Del ejemplo:
mn
cerosderealpartepolosderealparteA
jω
σ
Plano S
0-1
0K
Polo doble
0K
0,3 mn
3
1
3
0)100(
AA
-1/3
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Ejemplo 7.5
Lugar de las raices #1 Simetría
Segmentos del eje real
Centro de las Asíntotas
Dirección de Asíntotas
Punto de separación
Angulo de salida un polo complejo
Angulo de llegada a un zero complejo
K0
La dirección de las asíntotas
)1()()()(
2
ss
KsHsGsF
Ganancia en Lazo Abierto
Del ejemplo:
mn
qA
180)12(
jω
σ
Plano S
0-1
0K
Polo doble
0K
0,3 mn
300,180,60A
-1/3
1,,1,0 mnq
K
K
K
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Ejemplo 7.5Utilizando MATLAB para graficar el lugar de las raíces obtenemos para:
Como hay dos ramas en el
semiplano derecho, el
sistema es inestable para
cualquier valor
K > 0
)1()()()(
2
ss
KsHsGsF
Ganancia en Lazo Abierto
Del ejemplo:
Lugar de las raices #1
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Ejemplo 7.5
Lugar de las raices#2 Simetría
Segmentos del eje real
Centro de las Asíntotas
Dirección de Asíntotas
Punto de separación
Angulo de salida un polo complejo
Angulo de llegada a un zero complejo
K0
jω
σ
Plano S
0-1
0K
Polo doble
0K
Ganancia en Lazo Abierto
Del ejemplo:
)1(
)()()(
21
ss
sKsHsG
5.0
K
-0.5
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Ejemplo 7.5
Lugar de las raices#2 Simetría
Segmentos del eje real
Centro de las Asíntotas
Dirección de Asíntotas
Punto de separación
Angulo de salida un polo complejo
Angulo de llegada a un zero complejo
K0
El centro de las asíntotas
mn
cerosderealpartepolosderealparteA
1,3 mn
4
1
2
)5.0()100(
AA
Ganancia en Lazo Abierto
Del ejemplo:
)1(
)()()(
21
ss
sKsHsG
5.0
jω
σ
Plano S
0-1
0K
Polo doble
0K K
-1/4-0.5
![Page 13: Tarea#4 - Ejemplo de Compensadores](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022100304/5571f8de49795991698e4590/html5/thumbnails/13.jpg)
Ejemplo 7.5
Lugar de las raices#2 Simetría
Segmentos del eje real
Centro de las Asíntotas
Dirección de Asíntotas
Punto de separación
Angulo de salida un polo complejo
Angulo de llegada a un zero complejo
K0
La dirección de las asíntotas
mn
qA
180)12(
1,3 mn
270,90A
1,,1,0 mnq
Ganancia en Lazo Abierto
Del ejemplo:
)1(
)()()(
21
ss
sKsHsG
5.0
jω
σ
Plano S
0-1
0K
Polo doble
0K K
-1/4
K
K
-0.5
![Page 14: Tarea#4 - Ejemplo de Compensadores](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022100304/5571f8de49795991698e4590/html5/thumbnails/14.jpg)
Ejemplo 7.5Utilizando MATLAB para graficar el lugar de las raíces obtenemos para:
1)( sH
La adición de un cero a la
función de transferencia
G(s) inclina las ramas del
semiplano derecho a la
izquierda y lleva todas las
ramas del lugar de las
raíces al semiplano
izquierdo
Por tanto es ESTABLE
)1(
)()(
21
ss
sKsG
)10(
Lugar de las raices#2
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Ejemplo 7.5
Es una descripcion total del sistema en terminos de un parametro (parametro K)
El amortiguamiento del sistema
El tiempo de establecimiento con el criterio del 2%, (4T)
El denominador es la parte real de los polos en lazo cerrado
El efecto de un zero dará
un pico en la respuesta transitoria.
PERO ESTABILIZARA EL SISTEMA
cosn
4
Lugar de las raices
jω
σ
Plano S
0-1
0K
Polo doble
0K K
-1/4
K
K
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Ejemplo 7.5
Lugar de las raices (COMPARACION)
Ganancia en Lazo Abierto
Del ejemplo:
)1(
)()()(
21
ss
sKsHsG
5.0
jω
σ
Plano S
0-1
0K
Polo doble
0K K
-1/4
K
-0.5
)1()()()(
2
ss
KsHsGsF
Ganancia en Lazo Abierto
Del ejemplo:
jω
σ
Plano S
0-1
0K
Polo doble
0K
-1/3
K
K
K
![Page 17: Tarea#4 - Ejemplo de Compensadores](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022100304/5571f8de49795991698e4590/html5/thumbnails/17.jpg)
Ejemplo 7.5
Lugar de las raices (COMPARACION)
Ganancia en Lazo Abierto
Del ejemplo:
)1(
)()()(
21
ss
sKsHsG
5.0
)1()()()(
2
ss
KsHsGsF
Ganancia en Lazo Abierto
Del ejemplo:
![Page 18: Tarea#4 - Ejemplo de Compensadores](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022100304/5571f8de49795991698e4590/html5/thumbnails/18.jpg)
Obtener la función de transferencia del sistema mecánico de la
figura. Suponga que el desplazamiento xi es la entrada y el
desplazamiento xo es la salida.
Tomando la trasformada de Laplace de estas
dos ecuaciones y suponiendo condiciones
iniciales cero obtenemos:
Ejemplo 7.1
![Page 19: Tarea#4 - Ejemplo de Compensadores](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022100304/5571f8de49795991698e4590/html5/thumbnails/19.jpg)
Obtener la función de transferencia del sistema mecánico de la
figura. Suponga que el desplazamiento xi es la entrada y el
desplazamiento xo es la salida.
Como el valor de α es menor que 1, se
trata de una red de adelanto.
Ejemplo 7.1
![Page 20: Tarea#4 - Ejemplo de Compensadores](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022100304/5571f8de49795991698e4590/html5/thumbnails/20.jpg)
Considere la red eléctrica de la figura. Obtenga la función de
transferencia de la red.
Ejemplo 7.3
![Page 21: Tarea#4 - Ejemplo de Compensadores](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022100304/5571f8de49795991698e4590/html5/thumbnails/21.jpg)
Considere la red eléctrica de la figura. Obtenga la función de
transferencia de la red.
Ejemplo 7.3
![Page 22: Tarea#4 - Ejemplo de Compensadores](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022100304/5571f8de49795991698e4590/html5/thumbnails/22.jpg)
Considere la red eléctrica de la figura. Obtenga la función de
transferencia de la red.
Como el valor de α es menor que 1, se trata de una red de
adelanto.
Ejemplo 7.3
![Page 23: Tarea#4 - Ejemplo de Compensadores](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022100304/5571f8de49795991698e4590/html5/thumbnails/23.jpg)
Obtener la función de transferencia del sistema mecánico de la
figura.
Ejemplo 7.2
![Page 24: Tarea#4 - Ejemplo de Compensadores](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022100304/5571f8de49795991698e4590/html5/thumbnails/24.jpg)
Ejemplo 7.2
![Page 25: Tarea#4 - Ejemplo de Compensadores](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022100304/5571f8de49795991698e4590/html5/thumbnails/25.jpg)
Transformada de Laplace y condiciones iniciales
de cero
Ejemplo 7.2
![Page 26: Tarea#4 - Ejemplo de Compensadores](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022100304/5571f8de49795991698e4590/html5/thumbnails/26.jpg)
Ejemplo 7.2
![Page 27: Tarea#4 - Ejemplo de Compensadores](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022100304/5571f8de49795991698e4590/html5/thumbnails/27.jpg)
Sistema Mecánico de red de adelanto
A partir de esta función de transferencia se observa que este
sistema mecánico es una red de retardo – adelanto.
Ejemplo 7.2
![Page 28: Tarea#4 - Ejemplo de Compensadores](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022100304/5571f8de49795991698e4590/html5/thumbnails/28.jpg)
Considere la red eléctrica de la figura. Obtenga la función de
transferencia de la red.
Ejemplo 7.4
![Page 29: Tarea#4 - Ejemplo de Compensadores](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022100304/5571f8de49795991698e4590/html5/thumbnails/29.jpg)
Ejemplo 7.4
![Page 30: Tarea#4 - Ejemplo de Compensadores](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022100304/5571f8de49795991698e4590/html5/thumbnails/30.jpg)
Ejemplo 7.4
Esta es una red de retardo - adelanto.
)1(