Tarea01-15B Fourier

7/25/2019 Tarea01-15B Fourier

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TECNOL OGICO NACIONAL DE MEXICOINSTITUTO TECNOLOGICO DE MORELIA

Analisis de Fourier

Ingenierıa electronica

Tarea 01

No. de Control: Nombre:

Certifico que:

He leıdo y tomado en cuenta las instrucciones para la solucion, presentacion y evaluacion de esta tarea.

Conservo una copia de esta tarea en caso de que el original sea extraviado o danado.

El trabajo plasmado en esta tarea es de mi autorıa, y ninguna parte de esta tarea ha sido copiada del trabajo de

otra persona.

La autorıa de las fuentes de informacion consultadas ha sido debidamente reconocida.

No he permitido que otras personas copien este trabajo.

Firma

No escriba debajo de esta lınea

Problema Puntuacio n P ro bl em a P u nt ua cio n P ro bl em a P u nt ua cio n P ro bl em a P u nt ua cio n P ro bl em a P u nt ua cio n P ro bl em a P u nt ua cion

1 24 47 70 93 116

2 25 48 71 94 117

3 26 49 72 95 118

4 27 50 73 96 119

5 28 51 74 97 120

6 29 52 75 98 121

7 30 53 76 99 122

8 31 54 77 100 123

9 32 55 78 101 124

10 33 56 79 102 125

11 34 57 80 103 126

12 35 58 81 104 127

13 36 59 82 105 128

14 37 60 83 106 129

15 38 61 84 107 130

16 39 62 85 108 131

17 40 63 86 109 132

18 41 64 87 110 133

19 42 65 88 111 134

20 43 66 89 112 135

21 44 67 90 113 136

22 45 68 91 114 137

23 46 69 92 115 138

Total

Puntos deducidos por:

Calificacion




Analisis de Fourier


Tarea 01



Certifico que:


Conservo una copia de esta tarea en caso de que el original sea extraviado o da nado.

El trabajo plasmado en esta tarea es de mi autorıa, y ninguna parte de esta tarea ha sido copiada del trabajo de

otra persona.



Firma Firma



1 24 47 70 93 116

2 25 48 71 94 117

3 26 49 72 95 118

4 27 50 73 96 119

5 28 51 74 97 120

6 29 52 75 98 121

7 30 53 76 99 122

8 31 54 77 100 123

9 32 55 78 101 124

10 33 56 79 102 125

11 34 57 80 103 126

12 35 58 81 104 127

13 36 59 82 105 128

14 37 60 83 106 129

15 38 61 84 107 130

16 39 62 85 108 131

17 40 63 86 109 132

18 41 64 87 110 133

19 42 65 88 111 134

20 43 66 89 112 135

21 44 67 90 113 136

22 45 68 91 114 137

23 46 69 92 115 138

Total


Calificacion




Analisis de Fourier


Tarea 01




Certifico que:


Conservo una copia de esta tarea en caso de que el original sea extraviado o danado.

El trabajo plasmado en esta tarea es de mi autorıa, y ninguna parte de esta tarea ha sido copiada del trabajo deotra persona.



Firma Firma Firma



1 24 47 70 93 116

2 25 48 71 94 117

3 26 49 72 95 118

4 27 50 73 96 119

5 28 51 74 97 120

6 29 52 75 98 121

7 30 53 76 99 122

8 31 54 77 100 123

9 32 55 78 101 124

10 33 56 79 102 125

11 34 57 80 103 126

12 35 58 81 104 127

13 36 59 82 105 128

14 37 60 83 106 129

15 38 61 84 107 130

16 39 62 85 108 131

17 40 63 86 109 132

18 41 64 87 110 133

19 42 65 88 111 134

20 43 66 89 112 135

21 44 67 90 113 136

22 45 68 91 114 137

23 46 69 92 115 138

Total


Calificacion



Filosof ıa de las tareas

Una de las mejores maneras de aprender algo es a traves de la practica y la repeticion. Por lo tanto, las tareas son muy

importantes en este curso. El conjunto de problemas de tarea ha sido cuidadosamente seleccionado para ser viable, sin

embargo, puede ser un reto. Todas las tareas son integrales. Si estudia y comprende la tarea, usted no deber ıa tener

problema con los examenes.

La tarea le da la oportunidad de aprender y practicar nuevas habilidades. Resolver la tarea le ayuda a aprender. Haga

la tarea todos los dıas y no deje que se acumule. Trate de resolver todos los problemas de la tarea por su cuenta antes

de discutir el problema o buscar la ayuda de otros. La experiencia ha demostrado que es importante intentar de forma

independiente la tarea, es decir, aplicando sus habilidades y conocimientos con el planteamiento del problema y una

hoja de papel en blanco.

En retrospectiva, la mayorıa de las soluciones parecen obvias, por lo que comenzar usted solo, con sus propios

recursos, le ayuda a evaluar los lımites de su comprension. Una vez que usted ha intentado resolver la tarea, no dude

en buscar la ayuda de los demas; sin embargo, busque comprender y no solo copiar el proceso o el resultado.

La resolucion de problemas de ingenierıa implica tanto la construcci´ on como la documentaci´ on de la solucion. La

capacidad para resolver un problema en ingenierıa no sirve para nada si el ingeniero no es capaz de comunicar la

solucion a aquellos que lo requieran. En la industria, las soluciones de ingenierıa a menudo se archivan y se utilizan

despues para solucionar un problema similar, como prueba en un juicio, o como base para un nuevo diseno, por lo que

la documentacion de su proceso de razonamiento es esencial.

Las directrices siguientes se presentan para ayudar a documentar y comunicar eficazmente tanto la solucion a un

problema como el proceso de obtencion del mismo. La correccion de cualquier solucionsolo puede ser juzgada despues

de evaluar el proceso de solucion junto con sus supuestos subyacentes.

Polıtica de las tareas

Los estudiantes pueden trabajar en equipos de dos o tres personas en las tareas asignadas, siempre que cada inte-

grante del grupo contribuya en la solucion de cada uno de los problemas. Si elige trabajar en un grupo, s olo una tarea

completa debe ser entregada por equipo. Por favor, asegurese de que el nombre completo, numero de control y firma

de cada alumno se incluya claramente en la portada de la tarea. Todos los estudiantes en un equipo recibir an la misma

calificacion por esa tarea.

Las tareas deberan entregarse al inicio de la clase del dıa senalado conforme al formato indicado en la siguiente

seccion.

Formato de las tareas

Para facilitar la evaluacion, y por coherencia, cada conjunto de problemas deber a ser presentado en el siguiente

formato:

1. Utilice hojas blancas, tamano carta (81 / 2 × 11”).

2. No use el papel de un cuaderno de espiral, hojas de block o papel para carpetas de argolla.

3. Preferentemente utilice una hoja (o las que sean necesarias) por problema, pero los problemas cortos pueden ser

combinados en una sola pagina, en este caso, asegurese que la separacion entre problemas sea suficientemente

clara.

4. Resuelva cada problema siguiendo las instrucciones del formato indicado en la siguiente seccion. Asegurese

de marcar (subrayando o encerrando en un rectangulo) la solucion o respuesta a cada una de las preguntas

planteadas en el enunciado del problema.

5. Preferentemente utilice solo una cara de la hoja, si decide usar ambas caras del papel aseg urese de que ambas

caras sean legibles, y que lo escrito en una cara no interfiera con la cara al reverso.

i



6. Imprima la portada de la tarea y asegurese de incluir toda la informacion pertinente (numero(s) de control,

nombre(s) y firma(s)).

7. Organice los problemas siguiendo la numeracion de la tarea, con la portada al frente. Marque cada pagina de la

tarea, excluyendo la portada, en la esquina inferior derecha con el numero de pagina, con el formato Pag. n de

N donde n es el correspondiente numero de pagina y N el numero de paginas totales.

8. Engrape todas las paginas juntas en la esquina superior izquierda (el uso de carpetas es optativo, pero no engrape

las hojas de la tarea a la carpeta).

Se restara hasta un 30 % de la calificacion total si su tarea si no cumple con las indicaciones anteriores.

Formato de los problemas

Para facilitar la evaluacion, y por coherencia, cada problema debe presentarse en el siguiente formato:

1. Escriba el enunciado completo del problema (impreso o manuscrito), dejando margen suficiente en los cuatro

costados de la pagina.

2. Incluya los siguientes pasos o etapas en la solucion de cada problema (no es necesario que los identifique con

un tıtulo, ni que aparezcan estrictamente en el orden que aqu ı se mencionan, piense en la estructura logica que

mejor se adapte al problema que esta resolviendo):

Planteamiento del problema: identifique y resuma la informacion contenida en el enunciado del pro-

blema que puede ser empleada para la solucion del mismo. Identifique que es lo que intenta encontrar.

Describa brevemente el proceso que seguira para resolver el problema. Incluya los sımbolos de valores no

proporcionados o calculados y establezca la fuente de donde los obtuvo (de la tabla m.n del libro de texto

xyz ).

Representacion: si el problema se puede dibujar o esquematizar mediante un diagrama de cuerpo libre

(o equivalente), hagalo. Una descripcion grafica (modelo cualitativo) le ayudara en la descripcion y en la

solucion del problema. Incluya junto con el diagrama un listado o una tabla con los datos, las incognitas y

las variables con las que los representara en el proceso de solucion. Modelo: en este punto identifique las ecuaciones constitutivas que representan cuantitativamente el sis-

tema. Un modelo puede tener dimensiones cuantificables (masa, longitud, tiempo, etc.) sin unidades es-

pecıficas definidas (si, mks, sistema ingles).

Suposiciones: enumere todas las suposiciones hechas para resolver el modelo. En ningun momento de-

ben aparecer como suposiciones: hechos, teoremas, o informacion proporcionada en el enunciado del pro-

blema, a menos que el enunciado del problema indique explıcitamente que debe hacerse alguna suposicion

especıfica.

Desarrollo: a partir de este momento debe comenzar la solucion algebraica del problema. Incluya una

descripcion de los c alculos que vaya realizando (solucion de ecuaciones, derivadas, integrales). Como

ultimo paso del desarrollo, las ecuaciones constitutivas del modelo deben quedar reducidas a su forma final,

es decir, la incognita aislada en un lado de la ecuacion, antes de realizar cualquier sustitucion numerica.

Esto le ayudara a comprender la f ısica del problema.Con frecuencia, algunos estudiantes llevan este proceso al extremo, generando expresiones excesivamente

largas. Para evitar esto, busque calcular respuestas intermedias en el proceso de solucion. Por ejemplo,

puede que se requiera la masa m del gas contenido en un tanque en una ecuacion muy larga, pero la masa

depende a su vez de la presion, el volumen, la temperatura y la constante de un gas ideal a traves de

la relacion m1 = ( p1V 1)/( RT 1), entonces, en lugar de arrastrar la expresion ( p1V 1)/( RT 1) en la ecuacion

grande, utilice la variable m1 para la masa en dicha ecuacion y haga un calculo intermedio a un lado del

desarrollo principal para obtener el valor numerico de m1.

Solucion: sustituya los valores numericos conocidos en la expresion final del desarrollo (modelo termi-

nado), haga los calculos y evalue las unidades. Presente sus respuestas con el numero correcto de cifras

ii



significativas, nunca puede ser mayor que el mınimo de cifras significativas proporcionadas en el enun-

ciado del problema. Si el numero de cifras significativas no es claro del enunciado, utilice tres cifras

significativas.

Nunca escriba la magnitud de una cantidad fısica sin las unidades apropiadas. La experiencia ha demostra-

do que no acarrear las unidades a lo largo de un calculo es una causa importante de errores. (Esa es tambien

la razon de que el uso de sımbolos, siempre que sea posible, es una buena idea.) Las respuestas numericas

reportadas sin unidades son inutiles e inaceptables. Los errores de unidades son mas f aciles de controlar

cuando se calculan respuestas intermedias como se menciono anteriormente, en lugar de rastrearlos en una

ecuacion larga.

Validacion: ¿Como saber si su respuesta es correcta? Una manera de validar su respuesta es sustituir los

valores obtenidos como soluci´ on junto con los datos identificados en el planteamiento del problema, en las

ecuaciones constitutivas del modelo y verificar que se satisfacen dichas ecuaciones. Argumente la logica

de su planteamiento y los calculos y la validez de sus respuestas. Trate de encontrar una estimacion de

soporte y apoyo a la exactitud de la respuesta. (¿Que calculo podrıa realizar su jefe en treinta segundos en

el reverso de un sobre para comprobar los resultados?)

3. Si no logra resolver con exito un problema, pero incluye una solucion parcial aceptable puede obtener hasta un

40 % de la puntuacion asignada al problema. Una solucion parcial aceptable debe contener lo siguiente (ver el

apartado anterior):

Una leyenda con el texto Soluci´ on parcial inmediatamente despues del enunciado del problema.

Planteamiento del problema.

Representacion.

Un bosquejo del modelo.

Analisis: en esta seccion debe estar documentado el intento de solucion y debe incluir una declaracion

explıcita o una pregunta que indique claramente por que esta confundido, que es lo que le esta causando

problemas, o que es lo que falta y que necesita saber para proceder con la soluci on del problema.

Criterios de evaluacion

Cada problema tiene una puntuacion maxima, asignada en funcion del grado de dificultad y de la cantidad de trabajo

necesario para resolverlo. De acuerdo con los criterios establecidos en la rubrica para evaluar la solucion de problemas

(ver pagina iv ) se otorgara un porcentaje de la puntuacion maxima a cada problema. La calificacion total de la tarea se

obtendra a partir de la suma de las valoraciones obtenidas en cada problema, dividida entre la puntuaci on total maxima

posible y multiplicada por cien. A esta nota se le podran restar puntos en caso de no cumplir con alguna(s) de la(s)

inidicacion(es) establecidas en las secciones anteriores.

Los problemas no entregados, o no resueltos se penalizaran con el 40 % de la puntuacion asignada al problema. Para

evitar esta situacion recuerde que puede optar por la opcion de Soluci´ on parcial de un problema (ver el apartado 3 de

la seccion anterior).

iii



Rubrica para evaluar la solucion de problemas de matematicas

Conocimiento matematico Conocimiento estrategico Explicacion

Nivel Conocimiento de los conceptos y principios matematicos

que resultan en la correcta solucion del problema

Identificacion y uso de los elementos importantes del pro-

blema que representa e integra conceptos que llevan a la

solucion (i.e., modelos, diagramas, sımbolos, algoritmos

Explicacion escrita de las razones y lo

ceso de solucion. Proporciona una just

paso. Aunque es importante, la extensi

ta, la gramatica y la sintaxis no son elem

esta dimension.

4Muestra una comprension completa de los concep-

tos y principios matematicos del problema.

Usa apropiadamente la terminologıa y la notacion

matematica.

Puntualiza la respuesta cuando es apropiado.

Ejecuta completa y correctamente los calculos y al-

goritmos.

Identifica los elementos importantes del problema

y muestra una comprension completa de las rela-

ciones entre los elementos.

Muestra evidencia completa de una estrategia ade-

cuada con la que podrıa resolver correctamente el

problema.

Presenta una explicacion escrita c

ceso de solucion; explica clarame

cho y por que se ha hecho.

Puede incluir un diagrama con

completa de todos sus elementos.

3

Muestra una comprension casi completa de los

conceptos y principios matematicos del problema.

Usa de manera casi correcta la terminologıa y la

notacion matematica.

Ejecuta los algoritmos adecuadamente; los c al-

culos son generalmente correctos pero contienen

errores menores.

Identifica la mayorıa de los elementos del proble-

ma y muestra una comprension general de las rela-

ciones entre ellos.

Muestra evidencia casi completa de una estrategia

adecuada para la solucion del problema.

Presenta una explicacion escrita c

proceso de solucion; explica clara

hecho y comienza a abordar el p

cho.

Puede incluir un diagrama con la

elementos explicados.

2

Muestra alguna comprension de los conceptos y

principios matematicos del problema.

Usa alguna terminologıa y notacion matematica.

Puede incluir algunos errores algorıtmicos o com-

putacionales mayores.

Identifica algunos elementos importantes del pro-

blema pero muestra una comprension limitada de

las relaciones entre ellos.

Muestra alguna evidencia de una estrategia para re-

solver el problema.

Presenta alguna explicacion escri

solucion; ya sea que explica que

mienza a abordar por que se ha h

La explicacion es vaga, dif ıcil de

concuerda completamente con el

cion.

Puede incluir un diagrama con al

mentos explicados.

1

Muestra una comprension limitada o nula de los

conceptos y principios matematicos del problema.

Usa incorrectamente la terminologıa y la notacion

matematica.

Intenta una respuesta.

Falla en la identificacion de los elementos impor-

tantes o enfatiza elementos no eseciales.

Refleja una estrategia inadecuada para la solucion

del problema; la estrategia puede ser difıcil de

identificar.

Presenta una explicacion mınim

solucion; falla al explicar que se

que se ha hecho.

La explicacion no concuerda con

lucion presentado.

Puede presentar una discusion m

mentos en un diagrama; la explic

mentos significativos no es clara.

0

No aparece un intento de solucion. No hay una estrategia aparente. No presenta una explicacion escri

solucion.



Fecha de publicacion: Septiembre 29, 2015

Fecha de entrega: Octubre 14, 2015

Teorıa

Teorema 1. Si una sucesi´ on {an} es mon´ otona y acotada,

entonces es convergente.

Teorema 2. Si una serie alternada convergente satisface

la condici´ on an+1 ≤ an , el valor absoluto del resto R N ,

al aproximar la suma S por S N , es menor o igual que el

primer t ´ ermino desechado. Esto es,

|S − S N | = | R N | ≤ a N +1

Unidad 1: Sucesiones y series

Ejercicio 1 (10 puntos)

Escriba los primeros 10 terminos de la sucesion

an =

−1

2

2



an = 5−

1

n+

1

n2



an = 3n

n!



an = 3n!

(n

−1)!


Escriba los primeros 10 terminos de la sucesion defini-

da por recurrencia

a1 = 4 ak +1 =

k + 1

2

ak


Escriba los primeros 10 terminos de la sucesion defini-

da por recurrencia

a1 = 32 ak +1 = 1

2ak


Escriba los dos terminos que parecen seguir la sucesion

7/2, 4, 9/2, 5,. . . Describa la pauta observada escribiendo

una expresion para el termino generico an.


Escriba los dos terminos que parecen seguir la sucesion

3, −3/2, 3/4, −3/8,. . . Describa la pauta observada escri-

biendo una expresion para el termino generico an.


Escriba una expresion para el termino n-esimo de la su-

cesion. (Hay mas de una respuesta correcta posible.)

1, 4, 7, 10, . . .




−1, 2, 7, 14, 23, . . .




1,−14, 1

9,− 1

16, . . .




2, 1 + 1

2, 1 +

1

3, 1 +

1

4, 1 +

1

5, . . .




1 + 1

2, 1 +

3

4, 1 +

7

8, 1 +

15

16, 1 +

31

32, . . .




1, 1

2, 1

6,

1

24,

1

120, . . .

1






1,− 1

1

·3,

1

1

·3

·5,− 1

1

·3

·5

·7 . . .


Determine si la sucesion es convergente o no. En caso

de convergencia encuentre el lımite, y si la sucesion diver-

ge, justifique el porque de la divergencia.

an = (−1)n

n

n + 1





an =

√ n√

n + 1





an = ln(n2)

n





an = (n + 1)!

n!





an = n − 1

n − n

n − 1





an = n2

2n + 1 − n2

2n − 1





an =

n sin

1

n





an =

1 +

k

n

n


(a) Utilice el teorema 1 para demostrar que la sucesion

an = 3 − 4

n

es convergente. (b) Calcule los primeros diez terminos de

la sucesion y determine su lımite.


(a) Utilice el teorema 1 para demostrar que la sucesion

an = 1

3

1 − 1

3n

es convergente. (b) Calcule los primeros diez terminos de

la sucesion y determine su lımite.


Calcule los primeros siete terminos de la sucesion de

sumas parciales de la serie

1

2 · 3 +

2

3 · 4 +

3

4 · 5 +

4

5 · 6 +

5

6 · 7 + · · ·




3−

9

2 +

27

4 − 81

8 +

243

16 − · · ·Ejercicio 28 (10 puntos)



∞n=1

3

2n−1

2




Verifique que la serie

∞n=1

n

2n + 3 =

1

5 +

2

7 +

3

9 +

4

11 + · · ·

es divergente. Justifique su respuesta.



∞n=0

4

3

n




∞n=1

2n + 1

2n+1



Demuestre que la serie

∞n=0

2

3

4

n

= 2 + 3

2 +

9

8 +

27

32 +

81

128 + · · ·

es convergente. Justifique su respuesta.



∞n=0

(−0.6)n= 1 − 0.6 + 0.36 − 0.216 + · · ·

es convergente. Justifique su respuesta.



∞n=1

1

n(n + 2)

es convergente. Justifique su respuesta.Ejercicio 35 (40 puntos)

(a) Calcule la suma de la serie

∞n=1

4

n(n + 4)

(b) Encuentre las sumas parciales S n indicadas y complete

la tabla siguiente.

n 5 10 20 50 100

S n

(c) Elabore una grafica donde muestre las diez primeras

sumas parciales y una recta horizontal que represente el

valor de la suma. (d) Explique la relacion entre la magni-

tud de los terminos de la serie y el ritmo al que la sucesion

de sumas parciales tiende a la suma de la serie.


Determine la suma de la serie

∞n=0

−1

2

n



3 − 1 + 1

3 − 1

9 + · · ·



∞n=2

1

n2 − 1



∞n=1

1

(2n + 1)(2n + 3)



∞n=0

1

2n − 1

3n


Determine si la serie

∞n=1

n + 10

10n + 1

es convergente o divergente. En cualquier caso justifique

su respuesta.Ejercicio 42 (10 puntos)


∞n=1

2n

n2


su respuesta.

3





∞n=1

1

4n

es convergente o divergente. En cualquier caso justifiquesu respuesta.



∞n=2

n

ln n


su respuesta.



∞n=1

1 +

k

n

n


su respuesta.


Aplique el criterio de la integral para decidir si la serie

∞n=1

1

n + 1

es convergente o divergente.



∞n=1

ne−n




1

2 +

1

5 +

1

10 +

1

17 +

1

26 +

· · ·es convergente o divergente.



ln 2

2 +

ln 3

3 +

ln 4

4 +

ln 5

5 +

ln 6

6 + · · ·




∞n=1

nk −1

nk + ck es un entero positivo

es convergente o divergente.Ejercicio 51 (10 puntos)


∞n=1

nk e−n k es un entero positivo



Aplique el criterio de la integral para decidir si la p-

serie ∞

n=1

1

n1/3



Determine los valores de p > 0 para los que la serie

∞n=2

1

n(ln n) p

converge.


Determine si la p-serie

∞

n=1

1

5√ nes convergente o no. Justifique su respuesta.



∞n=1

1

n4/3

es convergente o no. Justifique su respuesta.



1 + 14 + 1

9 + 1

16 + 1

25 + · · ·




1 + 1

2√

2+

1

3√

3+

1

4√

4+

1

5√

5+ · · ·


4





1 + 1

3√

4+

13√

9+

13√

16+

13√

25+ · · ·



Dada la serie ∞n=1

1

n2 =

π2

6

(a) Encuentre las sumas parciales S n indicadas y complete

la tabla siguiente.

n 5 10 20 50 100

S n

(b) Elabore una grafica donde muestre las diez primeras

sumas parciales y una recta horizontal que represente elvalor de la suma. (c) Explique la relacion entre la magni-

tud de los terminos de la serie y el ritmo al que la sucesion

de sumas parciales tiende a la suma de la serie.


Sea f una funcion positiva, continua y decreciente en

x ≥ 1, tal que an = f (n). Demuestre que si la serie

∞n=1

an

converge a S , el resto R N = S

−S N esta acotado por

0 ≤ R N ≤ ∞

N

f ( x)dx


Probar que el resultado del ejercicio 60 se puede expre-

sar como:

N n=1

an ≤∞

n=1

an ≤ N

n=1

an +

∞ N

f ( x)dx


(a) Usar el resultado del ejercicio 60 para aproximar lasuma de la serie convergente

∞n=1

1

n2 + 1

tomando 10 terminos. (b) Estimar una cota para el error

en la aproximacion.


(a) Usar el resultado del ejercicio 60 para aproximar la

suma de la serie convergente

∞

n=1

e−n

tomando 10 terminos. (b) Estimar una cota para el error

en la aproximacion.


Usar el resultado del ejercicio 60 para determinar un N

tal que R N ≤ 0.0001 para la serie

∞n=1

e−5n


Usar el criterio de comparacion directa para estudiar la

convergencia de la serie

∞n=1

1

3n2 + 2




∞n=1

1

3n + 1




∞n=1

1√ n3 + 1




∞

n=0

1

n!




∞n=1

1

3 4√

n − 1

5




Usar el criterio de comparacion en el lımite para estu-

diar la convergencia de la serie

∞

n=1

n

n2 + 1




∞n=1

1

2n − 5




∞n=1

2n2

− 13n5 + 2n + 1




∞n=1

1

n√

n2 + 1




∞n=1

1

n +√

n2 + 1




∞n=1

sin 1

n

Ejercicio 76 (40 puntos)Dada la serie

∞n=1

(−1)n−1

n2 =

π2

12

(a) Calcule la suma parcial S n indicada y complete la ta-

bla.

n 1 2 3 4 5

S nn 6 7 8 9 10

S n

(b) Construya una grafica donde muestre las primeras diez


valor de la suma. (c) ¿Que comportamiento tienen los pun-

tos respecto a la recta horizontal? La distancia de los pun-

tos a la recta ¿crece o decrece? (d) Discuta la relacion

entre las respuestas al apartado (c) y lo dicho acerca del

resto de las series alternadas en el teorema 2.


Dada la serie∞

n=1

(−1)n−1

(2n − 1)! = sin 1

(a) Calcule la suma parcial S n indicada y complete la ta-

bla.

n 1 2 3 4 5

S nn 6 7 8 9 10

S n

(b) Construya una grafica donde muestre las primeras diez


valor de la suma. (c) ¿Que comportamiento tienen los pun-

tos respecto a la recta horizontal? La distancia de los pun-

tos a la recta ¿crece o decrece? (d) Discuta la relacion

entre las respuestas al apartado (c) y lo dicho acerca del

resto de las series alternadas en el teorema 2.


Determinar si la serie∞

n=1

(−1)n+1n

2n − 1es convergente o divergente. Justifique su respuesta.



n=2

(−1)n

ln n

es convergente o divergente. Justifique su respuesta.


Determinar si la serie∞n=1

(

−1)nn2

n2 + 1




n=1

(−1)n

√ n


6




Determinar si la serie

∞n=1

(−1)n+1 ln(n + 1)

n + 1




∞n=1

sin (2n − 1)π

2




∞

n=1

cos(nπ)




∞n=1

(−1)n+1√

n3√

n




∞n=1

2(−1)n+1

en − e−n = (−1)n+1 csch n



(a) Usando el teorema 2 determinar cuantos terminos

hay que considerar para aproximar la suma de la serie

∞n=0

(−1)n

2nn! =

1√ e

con un error menor que 0.001. (b) Aproxime la suma de

la serie con un error menor que 0 .0001.


(a) Usando el teorema 2 determinar cuantos terminos

hay que considerar para aproximar la suma de la serie

∞n=0

(−1)n

(2n)! = cos 1

con un error menor que 0.001. (b) Aproxime la suma de

la serie con un error menor que 0 .0001.



∞n=1

(−1)n+1

(n + 1)2

es absolutamente convergente, condicionalmente conver-gente o divergente. Justifique su respuesta.



∞n=1

(−1)n+1(2n + 3)

n + 10

es absolutamente convergente, condicionalmente conver-

gente o divergente. Justifique su respuesta.



∞n=0

(−1)n

(2n + 1)!





∞n=0

cos nπ

n + 1

es absolutamente convergente, condicionalmente conver-gente o divergente. Justifique su respuesta.



∞n=1

sin(2n − 1)π/2

n




(a) Demuestre que la serie

∞n=1

n2 + 1

n!

converge. (b) Complete la tabla calculando la suma parcial

S n.

n 5 10 15 20 25

S n

(c) Elabore una grafica donde muestre los valores de las

primeras diez sumas parciales. (d) Usando la informacion

7



proporcionada por la tabla y la grafica de los apartados an-

teriores estime la suma de la serie. (e) Explique la relacion

entre la magnitud de los terminos de la serie y el ritmo de

acercamiento de la sucesion de sumas parciales a la suma

de la serie.


Utilice el criterio del cociente para determinar la con-

vergencia de la serie∞

n=0

n!

3n



vergencia de la serie

∞n=1

(−1)n+1(n + 2)

n(n + 1)




∞n=1

n!

n3n




∞

n=0

3n

(n + 1)n




∞n=0

(−1)n24n

(2n + 1)!




∞n=1

(−

1)n2·

4·

6· · ·

(2n)

2 · 5 · 8 · · · (3n − 1)


Utilice el criterio de la raız para determinar la conver-

gencia de la serie

∞n=1

n

2n + 1

n



gencia de la serie

∞

n=1

2 n√

n + 1n



gencia de la serie

1

(ln 3)3 +

1

(ln 4)4 +

1

(ln 5)5 +

1

(ln 6)6 + · · ·



∞

n=1

5

n

es convergente o divergente empleando el criterio mas

adecuado. Indique el citerio empleado y justifique por que

es el mas adecuado.



∞n=1

π

4

n


adecuado. Indique el citerio empleado y justifique por quees el mas adecuado.



∞n=1

n

2n2 + 1



es el mas adecuado.


Determine si la serie∞

n=1

(−1)n3n−2

2n



es el mas adecuado.

8





∞n=1

10n + 3

n2n

es convergente o divergente empleando el criterio masadecuado. Indique el citerio empleado y justifique por que

es el mas adecuado.



∞n=1

ln n

n2



es el mas adecuado.



∞n=1

(−1)n3n−1

n!



es el mas adecuado.



∞n=1

3 · 5 · 7 · · · (2n + 1)18n(2n − 1)n!



es el mas adecuado.


Encuentre el polomio de Maclaurin de grado n = 3 para

la funcion

f ( x) = e− x


Encuentre el polomio de Maclaurin de grado n = 3 parala funcion

f ( x) = sin π x


Encuentre el polomio de Maclaurin de grado n = 4 para

la funcion

f ( x) = x2e− x


Encuentre el polomio de Taylor de grado n = 4, centra-

do en c = 1 para la funcion

f ( x) = ln x


Encuentre el polomio de Taylor de grado n = 2, centra-

do en c = π para la funcion

f ( x) = x2 cos x


Aproxime el valor de la funcion

f ( x) = e− x

en x = 1/2, mediante el polinomio obtenido en el ejercicio

112.



f ( x) = x2e− x

en x = 1/4, mediante el polinomio obtenido en el ejercicio

114.



f ( x) = ln x

en x = 1.2, mediante el polinomio obtenido en el ejercicio

115.



f ( x) = x2 cos x

en x = 7π/8, mediante el polinomio obtenido en el ejerci-

cio 116.


Use el teorema de Taylor para determinar la precision

de la aproximacion

e ≈ 1 + 1 + 12

2! + 13

3! + 14

4! + 15

5!


Use el teorema de Taylor para determinar la precision

de la aproximacion

arctan0.5 ≈ 0.5 − (0.5)3

3

9




Determinar el grado mınimo del polinomio de Maclau-

rin a fin de tener un error menor que 0.001 al emplear

dicho polinomio para aproximar el valor de e0.75.


Determinar el rango de valores de x que pueden em-plearse para emplear el polinomio de Taylor para aproxi-

mar la funcion sin que el error cometido exceda de 0.001.

f ( x) = sin x ≈ x − x3

3!


Calcule el radio de convergencia de la serie de poten-

cias ∞n=0

(4 x)n



cias ∞n=1

(2 x)n

n2



cias ∞n=0

(2n)! xn

n!


Calcule el intervalo de convergencia de la serie de po-tencias ∞

n=0

x

k

n

k > 0

Recuerde que es necesario analizar el comportamiento de

la serie en los puntos extremos del intervalo.


Calcule el intervalo de convergencia de la serie de po-

tencias ∞n=0

xn

n!





tencias ∞n=0

(−1)nn!( x − 4)n

3n





tencias ∞n=0

(−1)n+1( x − 1)n+1

n + 1

Recuerde que es necesario analizar el comportamiento dela serie en los puntos extremos del intervalo.



tencias ∞n=1

(−1)n+1 x2n−1

2n − 1





tencias ∞n=1

n

n + 1(−2 x)n−1





tencias ∞n=1

2 · 4 · 6 · · · 2n

3 · 5 · 7 · · · (2n + 1)

x2n+1





tencias ∞n=1

n!( x − c)n

1 · 3 · 5 · · · (2n − 1)




Dado

f ( x) =

∞

n=0

x

2 n

Encuentre los intervalos de convergencia de (a) f ( x), (b)

f ( x), (c) f ( x), y (d)

f ( x)dx. Analizar, en cada caso, la

convergencia en los puntos terminales.


Dado

f ( x) =

∞n=1

(−1)n+1( x − 1)n

n

Encuentre los intervalos de convergencia de (a) f ( x), (b)

f ( x), (c) f ( x), y (d)

f ( x)dx. Analizar, en cada caso, la

convergencia en los puntos terminales.

10




Sea

f ( x) =

∞n=0

(−1)n x2n+1

(2n + 1)! g( x) =

∞n=0

(−1)n x2n

(2n)!

Hallar los intervalos de convergencia de f y g.a)

Probar que f ( x) = g( x).b)

Verificar que g( x) = − f ( x).c)

Identificar las funciones f y g.d)

Total de puntos: 1570

Tarea01-15B Fourier

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