Tarea 2 - Análisis en el dominio de la frecuencia

7/27/2019 Tarea 2 - Análisis en el dominio de la frecuencia

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Ricardo Alejos

Diseño Electrónico a Altas Frecuencias

1

TAREA2 Ejercicios sobre análisis de líneas de transmisión en el dominio de la frecuencia

PROBLEMA 1

EnunciadoUna forma indirecta de medir los parámetros Z de una red

de dos puertos es midiendo directamente las siguientes impe-

dancias de entrada: (impedancia medida desde el puerto 1

cuando el puerto 2 está en corto circuito), (impedancia me-

dida desde el puerto 2 cuando el puerto 1 está en corto circuito),(impedancia medida desde el puerto 1 cuando el puerto 2

está en circuito abierto) y (impedancia medida desde el

puerto 2 cuando el puerto 1 está en circuito abierto), tal como

se muestra en la Ilustración 1.

Ilustración 1. Mediciones de impedancia con los puertos contrariosen condiciones de corto circuito y circuito abierto.

Asumiendo que la red es recíproca, encuentre las fórmulas

para calcular los parámetros Z de esta red en términos de las

impedancias medidas.

SoluciónEn una red de dos puertos, los parámetros de impedancia y pueden ser medidos directamente midiendo la impe-

dancia en un puerto y dejando el puerto opuesto en condición

de circuito abierto. Esto es posible porque la condición bajo la

cual se hacen estas mediciones coincide con las definiciones de

los parámetros de impedancia mencionados (mostradas en las

expresiones (1) y (2)).

= (1)

= (2)

De lo anterior podemos concluir entonces que y

que .

Para obtener y nos valdremos de la definición de los

parámetros Z para una red de dos puertos (expresada matemáti-

camente en (3)) y haremos que 0 y luego que 0 (que

son las condiciones bajo las cuales se miden y

). Ade-

más, dado que la red es recíproca sabemos de antemano que

y haremos para referirnos a su va-

lor.

ℤ (3)

Para el caso en que 0 , si resolvemos para el parámetro ⁄ encontramos:

∴ ( )

PROBLEMA 2Enunciado

La red de dos puertos mostrada en la Ilustración 2 es mane

jada con los puertos a tales voltajes y corrientes como se muestra en la imagen (estas mediciones fueron realizadas con una

impedancia de referencia de 50 Ohm).

Ilustración 2. Red de dos puertos considerando los parámetros de

una línea de transmisión.Calcule la impedancia de entrada para cada puerto ( y), y las ondas de voltaje incidentes y reflejadas de cada

puerto (+, +, − y −).

SoluciónLa impedancia de entrada de un puerto cualquiera puede

ser calculada utilizando la ley de Ohm (mostrada en la expre-

sión (4)) y los datos de voltaje y corriente proporcionados para

dicho puerto.

, ,

, (4)

Para hacer los cálculos de los voltajes incidentes y reflejados

haremos uso de los coeficientes de reflexión de cada puerto Γ,(el cual está en función de la impedancia de referencia y de las

impedancias de entrada, como se muestra en la expresión (5)).

Γ, , , (5)

Así entonces obtenemos:



Ricardo Alejos


2

380∠−° Ω ≈ 1515.2∠° Ω Γ ≈ 1∠−.° Γ ≈ 0.98308∠.° Teniendo estos datos, ahora nos es posible calcular los vol-

tajes incidentes y reflejados. Para hacer estos cálculos nos val-

dremos del hecho de que el voltaje de un puerto puede escribirsecomo la superposición de sus componentes incidente y reflejada

(como se muestra en la expresión (6)) y también como se mues-

tra en la expresión (7).

+ − (6)

+1 Γ (7)

Haciendo algunas sustituciones y manipulaciones algebrai-

cas de las expresiones (6) y (7) obtenemos que:+ ≈ 0.9582∠.° V

+ ≈ 2.5226∠.° V − ≈ 0.9582∠−.° V − ≈ 2.4800∠.° V

PROBLEMA 3Enunciado

Una red de cuatro puertos tiene sus parámetros S como se

muestran en la matriz que está debajo de este párrafo cuyos va-

lores fueron obtenidos a una cierta frecuencia de operación.

0.23∠°

0.81∠°

0.25∠−°

00.81∠° 0 0 0.15∠°0.25∠−° 0 0.1∠° 0.93∠−°0 0.15∠° 0.93∠−° 0

(a) ¿Esta red es recíproca?

(b) ¿Esta red es una red sin pérdidas?

(c) ¿Cuál es el valor de las pérdidas de retorno desde el

puerto 1 cuando todos los demás están acoplados?

(d) ¿Cuáles son las pérdidas por inserción y el retraso de

fase (en grados) entre el puerto 2 y 4 cuando todos los

demás puertos están acoplados?

(e) ¿Cuáles son las pérdidas de retorno en el puerto 1 si el

puerto 3 se termina en un corto-circuito y todos los de-

más puertos terminan en una carga acoplada?

Solución

Inciso (a)Sí, la red es recíproca. Esto porque se cumple la condición que es tanto necesaria como suficiente para que la red

de dos puertos bajo estudio sea considerada recíproca.

Inciso (b)Para que una red sea considerada sin pérdidas a partir del

análisis de sus parámetros S es necesario que esta cumpla si-

multáneamente con las condiciones descritas en las expresiones

(8) y (9). Dado que después de hacer una prueba por sustitución

se rompe la primera condición concluimos que esta red si tiene

pérdidas.

∑ ∗= 1 (8)

∑ ∗

= 0 (9)

Inciso (c)Las pérdidas de retorno () están definidas matemática

mente como se muestra en (10). Dado que esta expresión está

en función del coeficiente de reflexión Γ, las pérdidas de re-

torno pueden calcularse directamente utilizando los parámetros

ubicados en la diagonal principal de la matriz siempre que e

resto de los puertos respecto al puerto que nos referimos estén

acoplados.

20 log|Γ| (10)

Para el caso preguntado en este inciso, la condición de que

los demás puertos estén acoplados se cumple. De modo que las pérdidas de retorno del puerto 1 en dichas condiciones son: ≈ 12.765 dB

Inciso (d)Las pérdidas de inserción () están definidas matemática

mente como se muestra en la expresión (11). Dado que esta ex

presión está en función del coeficiente de transmisión , las pér

didas de inserción pueden calcularse a partir de los parámetros

S (obedeciendo la expresión (12)) de forma directa siempre que

los puertos no involucrados en el cálculo estén acoplados. En e

caso expuesto en el enunciado para este inciso esta condición se

cumple.

, 20log, (11)

− 0, ∉ {, } ∴ , (12)

Después de hacer los cálculos correspondientes encontra-

mos que: , ≈ 16.478 dB

Además se nos pide el retraso de fase entre un puerto y e

puerto , es decir , , que puede calcularse utilizando la expre-

sión (13). Después de aplicar esta expresión al coeficiente de

transmisión utilizado en el cálculo anterior encontramos que

, 93°.

, arg(, ) (13)

Inciso (e)En esta ocasión no tendremos la facilidad que tuvimos en e

inciso (b) dado que ahora existe un puerto que no está acoplado

Para este caso nos auxiliaremos de la definición del coeficiente

de reflexión que es la razón del voltaje reflejado respecto del

voltaje incidente, como se expresa en (14).



Ricardo Alejos


3

Γ −+ (14)

Dado que el puerto 3 se considera terminado en corto-cir-

cuito se cumple la condición + − 0, de modo que+ −. Además, si los demás puertos están acoplados sig-

nifica que + + 0 ya que cuando un puerto ha sido aco-

plado este no presenta reflexiones y por lo tanto el valor de su

voltaje reflejado es cero (aunque desde la perspectiva del gene-rador, dichas ondas reflejadas están representadas por + y +

en vez de por − y −). Dadas estas condiciones podemos lle-

gar a una nueva expresión para calcular el coeficiente de refle-

xión de interés en función de los parámetros S dados:

−−−− +0−0 ∴ Γ −+ 1

Después de realizar las sustituciones numéricas correspon-

dientes en la expresión anterior y en la expresión (10) encontra-

mos que:

Γ ≈ 0.2860∠.° ≈ 10.873 dB

PROBLEMA 4Enunciado

Un atenuador de 3 decibeles ideal de dos puertos consiste de

una red recíproca cuyos parámetros S son || || 0 y|| || 1 √ 2⁄ a todas las frecuencias. Utilizando la red

resistiva en T mostrada en la imagen, encuentre los valores de y necesarios para implementar este atenuador de 3 deci-

beles, asumiendo una impedancia de referencia de

50 Ω.

Ilustración 3. Diagrama esquemático del atenuador de tres decibelesideal.

SoluciónEn una red de dos puertos, para que Γ 0 es necesa-

rio que la impedancia de entrada del puerto

sea igual a la im-

pedancia de referencia cuando el puerto opuesto ha sido acoplado (, ). Esta situación puede describirse matemáti-

camente como se muestra en la expresión (15).

, (15)

Para calcular el parámetro debemos acoplar el puerto 2

utilizando una carga acoplada lo cual traerá como

consecuencia que −. Además + ya que la impe-

dancia de entrada también es igual a la impedancia de referen-

cia. Por lo tanto, podemos calcular el parámetro mediante:

Para calcular el parámetro utilizaremos (16), de modo

que tendremos que acoplar el puerto 2 con una impedancia de

carga igual a la impedancia de referencia.

−+= (16)

Después de hacer las sustituciones y álgebra correspon-

diente, de la expresión (16) podemos llegar a que el parámetro

puede calcularse mediante:

Aunque después de algunas manipulaciones algebraicas

considerando la expresión (15) podemos reducir la igualdad an

terior a la forma mostrada en (17).

(17)

Dado que esta expresión debe cumplir con que

1 √ 2⁄entonces

debe tener un valor de

≈ 8.579 Ω. Sustituyendo

este valor en la ecuación de obtenemos que el valor de debe ser ≈ 141.42 Ω.

PROBLEMA 5Enunciado

Un atenuador de 3 decibeles de dos puertos más realista

muestra inductancias parásitas en serie con cada resistencia

como se muestra en la Ilustración 4.

Ilustración 4. Diagrama esquemático de un atenuador de tres decibeles más realista.

Para este circuito:

(a) Obtenga las fórmulas para calcular

y

respecto a

una impedancia de referencia de 50 Ω.(b) Utilizando los valores encontrados para y en e

problema anterior y utilizando 0.5 nH y 0.8 nH, grafique || y || en el dominio de la fre-

cuencia (utilizando un rango de 10 MHz hasta 10 GHz)

Solución

Inciso (a)El parámetro será igual a Γ siempre que los demás puer-

tos estén acoplados. Así entonces, para calcular podremos

utilizar la expresión (18).



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4

Γ , , (18)

Por la simetría del circuito, tanto como tendrán el

mismo valor, ya que para ambos el valor de la impedancia de

entrada a utilizar está dado por (19) donde y .

(19)

Para el parámetro se utilizará la expresión (20), que es

muy similar a la que habíamos encontrado en el ejercicio pa-

sado. Sólo que en esta ocasión el parámetro tendrá dependencia

en el valor de la frecuencia de operación debido a los inducto-

res.

(20)

Inciso (b)

Ilustración 5. Valor absoluto del parámetro para el atenuador.

Ilustración 6. Valor del ángulo de fase del parámetro del atenua-dor.

Ilustración 7. Valor en decibeles del parámetro .

Ilustración 8. Valor del ángulo de fase del parámetro .

PROBLEMA 6Enunciado

El siguiente circuito de microcinta está implementado sobre

un substrato de 3.9 cuya altura es de 40 mil (en este

ejercicio despreciaremos las pérdidas ocasionadas tanto por los

conductores como por los dieléctricos). Este consiste de una lí-

nea microcinta de 100 Ω con 20 mil, 400 mil y, 2.7664; y un transformador de cuarto de onda con 11.27 mil

,

600.1 mily

, 2.6901, el cuál corres

ponde a una longitud eléctrica de 90° a 3 GHz con una impedancia característica de 122.47 Ω. El transformador de

cuarto de onda está diseñado con la intención de acoplar a3 GHz la línea microcinta de 100 Ω con una resistencia de carga

de 150 Ω. Las líneas se manejan con una fuente idea

cuyo valor es 1.5∠0° V y 30 Ω.

2 4 6 8 10

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Valor absoluto de S11

Frecuencia [GHz]

|S11|

2 4 6 8 1060

65

70

75

80

85

90

Ángulo de S11

Frecuencia [GHz]

S11

2 4 6 8 10

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

Valor en decibeles de |S21

|

Frecuencia [GHz]

-20log|S21|

2 4 6 8 10

-50

-40

-30

-20

-10

0

Ángulo de S21

Frecuencia [GHz]

S21



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5

Ilustración 9. Esquemático completo del circuito del problema 6.

Utilizando parámetros ABCD, grafique la magnitud y la

fase del voltaje en la carga en el rango de frecuencias abar-cado entre 100 MHz y 15 GHz para los siguientes casos:

(a) Asumiendo que la línea de microcinta de entrada se co-

necta a la carga directamente (utilice 1.5∠0°, 30 Ω, 100 Ω, 150 Ω y 400 mil).(b) Considerando que la microcinta de entrada se conecta a

la carga a través de la sección del transformador de

cuarto de onda (utilice 1.5∠0°, 30 Ω, 100 Ω, 150 Ω, 400 mil y 122.47 Ω).

(c) Considerando el circuito equivalente a la transición en-

tre la entrada de una línea microcinta y un transforma-

dor de cuarto de onda (utilice los mismos parámetros

que se utilizaron anteriormente y añada 7.2 pH, 5.8 pH y 1.6 fF).

SoluciónPara hacer el cálculo de haremos uso del parámetro de

la matriz ABCD, ya que este está definido como la razón entre

el voltaje de salida y el voltaje de entrada cuando la corriente

del puerto de salida es cero (lo cual se cumplirá siempre que la

última red que modelemos sea la carga en sí misma). Esto se

expresa matemáticamente en (21).

= ∴

= (21)

Esto considerando A como el primer elemento de la matriz

resultante de combinar todas las matrices ABCD de las seccio-

nes que se estén estudiando.

Inciso (a)Comencemos pues por obtener los parámetros ABCD de las

secciones del circuito correspondientes.

De acuerdo a las descripciones dadas en el enunciado, en

este inciso contamos con tres circuitos de los cuales podemos

sacar sus parámetros ABCD: la resistencia de la fuente (22), la

línea de transmisión (23) y la carga (24). Todo esto conside-

rando

, ⁄.

ℂ 1 0 1 (22)

ℂ cos sin sin cos (23)

ℂ 1 01 1 (24)

Una vez habiendo identificado estas matrices de parámetros

estas se multiplican en el orden en que están conectadas y utili-

zamos el parámetro A. Tal como se mencionó al principio para

obtener el voltaje de salida con estas tres secciones.

Ilustración 10. Magnitud del voltaje de carga para el circuito com- puesto por tres etapas de matrices ABCD.

Ilustración 11. Ángulo de fase del voltaje de carga para el circuitocompuesto por tres etapas de matrices ABCD.

Inciso (b)Ahora realizaremos el mismo ejercicio añadiendo esta vez

la matriz de parámetros ABCD del transformador de cuarto de

onda (25) donde

, ⁄.

ℂ cos sin sin cos (25)

Habiendo encontrado esta matriz, podemos ahora volver a

ejecutar las multiplicaciones matriciales correspondientes para

incluir el efecto del transformador de cuarto de onda sobre el

circuito original.

2 4 6 8 10 12 14

1.25

1.3

1.35

1.4

1.45

1.5

1.55

|VL| para inciso (a)

Frecuencia [GHz]

|VL|

2 4 6 8 10 12 14

-200

-100

0

100

200

VL

para inciso (a)

Frecuencia [GHz]

VL



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6

Ilustración 12. Magnitud del voltaje de salida tomando encuentra losefectos del transformador de cuarto de onda.

Ilustración 13. Ángulo de fase del voltaje de salida tomando encuen-tra los efectos del transformador de cuarto de onda.

Inciso (c)Finalmente, añadimos la sección que modela la intersección

de la línea microcinta con el transformador de cuarto de onda la

podemos modelar con la matriz (26) donde , y 1 ⁄ .

ℂ 1

1 1 (26)

Una vez encontrados estos parámetros, podemos describir el

valor de en el rango de frecuencias solicitado en el enunciado

del problema.

Ilustración 14. Magnitud del voltaje de salida tomando encuentra losefectos de la unión de los dos fragmentos de microcinta.

Ilustración 15. Ángulo de fase del voltaje de salida tomando encuen-tra los efectos de la unión de los dos fragmentos de microcinta.

2 4 6 8 10 12 14

1.25

1.3

1.35

1.4

1.45

1.5

1.55

|VL| para inciso (b)

Frecuencia [GHz]

|VL|

2 4 6 8 10 12 14

-200

-100

0

100

200

VL

para inciso (b)

Frecuencia [GHz]

VL

2 4 6 8 10 12 14

1.25

1.3

1.35

1.4

1.45

1.5

1.55

|VL| para inciso (c)

Frecuencia [GHz]

|VL|

2 4 6 8 10 12 14

-200

-100

0

100

200

VL

para inciso (c)

Frecuencia [GHz]

VL

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