Lógica 1 (2013-1)Mtro. Cristian A. Gutiérrez

Grupo Yahoo: http://espanol.groups.yahoo.com/group/logicaUNAM2013/

Tarea 12(Grupo 1104 entrega el jueves 8 de noviembre)(Grupo 1122 entrega el viernes 9 de noviembre)

Nombre:____________________________________________ Grupo:________________INSTRUCCIONES: La tarea debe estar completamente resuelta, tiene que ser contestada a computadora (con la excepción de la parte de deducción natural), tiene que ser entregada el día que se indica arriba y tiene que estar engrapada.

Nuestro sistema de reglas de lógica proposicional es el siguiente: Reglas de Introducción Reglas de Eliminación

⊃ α sup.....

β α⊃β

α⊃β α

β

∧ α β α∧β

α∧β α

α∧β β

∨ α α∨β

α β∨α

α∨β α sup.

...γ

β sup....γ

γ

≡ [(α⊃β) ∧ (β⊃α)]α≡β

[(α∧β) ∨ (∼α∧∼β)]α≡β

α≡β [(α⊃β) ∧ (β⊃α)]

α≡β [(α∧β) ∨ (∼α∧∼β)]

∼ α sup....

⊥ ∼α

∼α sup....

⊥ α

⊥ α ∼α

⊥

⊥ α

NOTA: Recuerden que la única forma de introducir supuestos (que es lo mismo que hipótesis) es usando una regla que lo permita, de tal forma que no puedes probar cosas simplemente suponiéndolas, tienen que respetar la forma de la regla. Las reglas que requieren de introducir supuestos son la Introducción de la Condicional (I⊃), la Eliminación de la Disyunción (E∨), la Introducción de la Negación (I~) y la Eliminación de la Negación (E~).

NOTA 2: Esto son otros nombre usuales para algunas de nuestra reglas.Introducción del Condicional (I⊃): Prueba condicionada, Metateorema de la deducción.Eliminación del Condicional (E⊃): Modus Ponens o Modus Ponendo Ponens.Introducción de la Conjunción (I∧): Conjunción.Eliminación de la Conjunción (E∧): Simplificación.Introducción de la Disyunción (I∨): Adición.Eliminación de la Disyunción (E∨): Prueba por casos.Introducción de la Negación (I~) y Eliminación de la Negación (E~): Prueba por Reducción al Absurdo.

1. SECCIÓN OBLIGATORIA. Considera la siguiente afirmación: El ejercito debe pelear en la guerra contra el narcotráfico. Da un argumento a favor de esta afirmación y uno en contra (se espera que sean buenos argumentos) los argumentos pueden ser del tipo que quieras (de preferencia deductivos), indica de qué tipo de argumento se trata (1/2 Punto por cada Argumento, en total 1 puntos)

Argumento a favor: _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Tipo de argumento:___________________________________________________________________

Argumento en contra:______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Tipo de argumento:___________________________________________________________________

2. SECCIÓN OBLIGATORIA (DEBES RESPONDER POR LO MENOS 24 DE LOS 40 EJERCICIOS) Demuestra que las siguientes reglas de equivalencia son reglas derivadas de nuestro sistema de deducción natural, una vez que hayas hecho la demostración, estarás autorizado a usarlas. Después de cada regla aparece un ejercicio de deducción natural que deberás responder dos veces, una usando sólo las 12 reglas y otra usando las nuevas reglas (puedes usar todas las reglas derivadas que ya hayas demostrado) (1/4 punto por cada demostración, para un total de 13.3 puntos)

Ejemplo:DOBLE NEGACIÓN

α ≡ ∼∼α

Demostración por deducción natural:1. α sup.2. ~α sup.3. α rep. (1)4. ⊥ I⊥ (3,4)5. ~~α I~ (2-4)6. α ⊃ ∼∼α I⊃ (1-5)7. ∼∼α sup.8. ~α sup.9. ∼∼α rep. (7)10. ⊥ I⊥ (8,9)11. α E~ (8-10)12. ∼∼α ⊃ α I⊃ (7-11)13. (α ⊃ ∼∼α) ∧ (∼∼α ⊃ α) I∧ (6, 12)14. α ≡ ∼∼α Ι≡ (13)

TRANSPOSICIÓN

(α ⊃ β) ≡ (∼β ⊃ ∼α)

I. Demostración de la regla de Transposición:

1. α ⊃ β sup.2. ∼β sup.3. α sup.4. β E⊃ (1,3)5. ⊥ I⊥ (2,4)6. ∼α I~ (3-5)7. ∼β ⊃ ∼α I⊃ (2-6)8. (α ⊃ β) ⊃ (∼β ⊃ ∼α) I⊃ (1-7)

9. ∼β ⊃ ∼α sup.10. α sup.11. ~β sup.12. α E⊃ (9,11)13. ⊥ I⊥ (10,12)14. α E~ (11-13)15. α ⊃ β I⊃ (10-14)16. (∼β ⊃ ∼α) ⊃ (α ⊃ β) I⊃ (9-15)17. [(α ⊃ β) ⊃ (∼β ⊃ ∼α)] ∧ [(∼β ⊃ ∼α) ⊃ (α ⊃ β)]

I∧ (8,16)18. (α ⊃ β) ≡ (∼β ⊃ ∼α) I≡ (17)

II. Demostrar usando todas las reglas:1. P ⊃ Q2. (~Q ⊃ ~P) ⊃ R/∴ R3. ~Q ⊃ ~P Trans. (1)4. R E⊃ (2,3)

III. Demosatrar sando sólo las 12 reglas básicas de nuestro sistema:1. P ⊃ Q2. (~Q ⊃ ~P) ⊃ R/∴ R3.~Q hip.4. P hip.5. Q E⊃ (1,4)6. ⊥ I⊥ (3,5)7. ~P I~ (4-6)8. ~Q ⊃ ~P I⊃ (3-7)9. R E⊃ (2,8)

CONMUTACIÓN

(α ∧ β) ≡ (β ∧ α)(α ∨ β) ≡ (β ∨ α)

IV. Demostración de la regla de Conmutación (primera versión (α ∧ β) ≡ (β ∧ α)):

1. α ∧ β sup.2. α E∧ (1)3. β E∧ (1)4. β ∧ α I∧ (2,3)5. (α ∧ β) ⊃ (β ∧ α) I⊃ (1-4)6. β ∧ α sup.7. β E∧ (6)8. α E∧ (6)9. α ∧ β I∧ (7,8)10. (β ∧ α) ⊃ (α ∧ β) I⊃ (6-9)11. [(α ∧ β) ⊃ (β ∧ α)] ∧ [(β ∧ α) ⊃ (α ∧ β)] I∧ (5,10)12. (α ∧ β) ≡ (β ∧ α) I≡ (11)

V. Demostración de la regla de Conmutación (segunda versión (α ∨ β) ≡ (β ∨ α)):

1. α ∨ β sup.2. α sup.3. β ∨ α I∨ (2)4. β sup.5. β ∨ α I∨ (4)6. β ∨ α E∨ (1,2-5)7. (α ∨ β) ⊃ (β ∨ α) I⊃ (1-6)8. β ∨ α sup.9. β sup.10. α ∨ β I∨ (9)11. α sup.12. α ∨ β I∨ (11)13. α ∨ β E∨ (8,9-12)14. (β ∨ α) ⊃ (α ∨ β) I⊃ (8-13)15. [(α ∨ β) ⊃ (β ∨ α)] ∧ [(β ∨ α) ⊃ (α ∨ β)] I∧ (7,14)16. (α ∨ β) ≡ (β ∨ α) I≡ (15)

VI. Demostrar usando todas las reglas:1. (P ∧ Q) ≡ (R ∨ S)/∴ (Q ∧ P) ≡ (S ∨ R)2. (Q ∧ P) ≡ (R ∨ S) Conm. (1)3. (Q ∧ P) ≡ (S ∨ R) Conm. (2)

VII. Demosatrar sando sólo las 12 reglas básicas de nuestro sistema:1. (P ∧ Q) ≡ (R ∨ S)/∴ (Q ∧ P) ≡ (S ∨ R)2. ((P ∧ Q) ⊃ (R ∨ S)) ∧ ((R ∨ S) ⊃ (P ∧ Q)

E≡ (1)3. Q ∧ P hip.4. Q E∧ (3)5. P E∧ (3)6. P ∧ Q I∧ (4,5)7. (P ∧ Q) ⊃ (R ∨ S) E∧ (2)8. R ∨ S E⊃ (6,7)9. R hip.10. S ∨ R I∨ (9)11. S hip.12. S ∨ R I∨ (11)13. S ∨ R E∨ (8,9-12)14. (Q ∧ P) ⊃ (S ∨ R) I⊃ (3-13)

15. S ∨ R hip.16. S hip.17. R ∨ S I∨ (17)18. R hip.19. R ∨ S I∨ (18)20. R ∨ S E∨ (15,16-19)21. (R ∨ S) ⊃ (P ∧ Q) E∧ (2)22. P ∧ Q E⊃ (20,21)23. P E∧ (22)24. Q E∧ (22)25. Q ∧ P I∧ (23,24)26. (S ∨ R) ⊃ (Q ∧ P) I⊃ (15-25)27. ((Q ∧ P) ⊃ (S ∨ R)) ∧ ((S ∨ R) ⊃ (Q ∧ P))

I∧ (14,27)28. (Q ∧ P) ≡ (S ∨ R) I≡ (27)

ASOCIACIÓN

[α ∧ (β ∧ γ)] ≡ [(α ∧ β) ∧ γ][α ∨ (β ∨ γ)] ≡ [(α ∨ β) ∨ γ]

VIII. Demostración de la regla de Asociación (primera versión [α ∧ (β ∧ γ)] ≡ [(α ∧ β) ∧ γ]):

1. α ∧ (β ∧ γ) sup.2. α E∧ (1)3. β ∧ γ E∧ (1)4. β E∧ (3)5. γ E∧ (3)6. α ∧ β I∧ (2,4)7. (α ∧ β) ∧ γ I∧ (5,6)8. [α ∧ (β ∧ γ)] ⊃ [(α ∧ β) ∧ γ] I⊃ (1-7)9. (α ∧ β) ∧ γ sup.10. α ∧ β E∧ (9)11. γ E∧ (9)12. α E∧ (10)13. β E∧ (10)14. β ∧ γ I∧ (11,13)15. α ∧ (β ∧ γ) I∧ (12,14)16. [(α ∧ β) ∧ γ] ⊃ [α ∧ (β ∧ γ)] I⊃ (9-15)17. {[α ∧ (β ∧ γ)] ⊃ [(α ∧ β) ∧ γ]} ∧ {[(α ∧ β) ∧ γ] ⊃ [α ∧ (β ∧ γ)]} I∧ (8,16)18. [α ∧ (β ∧ γ)] ≡ [(α ∧ β) ∧ γ] I≡ (17)

IX. Demostración de la regla de Asociación (segunda versión [α ∨ (β ∨ γ)] ≡ [(α ∨ β) ∨ γ]):

1. α ∨ (β ∨ γ) sup.2. α sup.3. α ∨ β I∨ (2)4. (α ∨ β) ∨ γ I∨ (3)5. β ∨ γ sup.6. β sup.7. α ∨ β I∨ (6)8. (α ∨ β) ∨ γ I∨ (7)9. γ sup.10. (α ∨ β) ∨ γ I∨ (9)11. (α ∨ β) ∨ γ E∨ (5,6-10)12. (α ∨ β) ∨ γ E∨ (1,2-11)13. [α ∨ (β ∨ γ)] ⊃ [(α ∨ β) ∨ γ] I⊃ (1-12)

14. (α ∨ β) ∨ γ sup.15. α ∨ β sup.16. α sup.17. α ∨ (β ∨ γ) I∨ (16)18. β sup.19. β ∨ γ I∨ (18)20. α ∨ (β ∨ γ) I∨ (19)21. α ∨ (β ∨ γ) E∨ (15,16-20)22. γ sup.23. β ∨ γ I∨ (22)24. α ∨ (β ∨ γ) I∨ (23)25. α ∨ (β ∨ γ) E∨ (14,15-24)26. [(α ∨ β) ∨ γ] ⊃ [α ∨ (β ∨ γ)] I⊃ (1-12)27. {[α ∨ (β ∨ γ)] ⊃ [(α ∨ β) ∨ γ]} ∧ {[(α ∨ β) ∨ γ] ⊃ [α ∨ (β ∨ γ)]} I∧ (13-26)28. [α ∨ (β ∨ γ)] ≡ [(α ∨ β) ∨ γ] I≡ (27)

X. Demostrar usando todas las reglas:1. (P ∧ Q) ∧ S/∴ (S ∧ P) ∧ Q2. S ∧ (P ∧ Q) Conm. (1)3. (S ∧ P) ∧ Q Asoc. (2)

XI. Demosatrar sando sólo las 12 reglas básicas de nuestro sistema:1. (P ∧ Q) ∧ S

/∴ (S ∧ P) ∧ Q2. P ∧ Q E∧ (1)3. P E∧ (2)

4. Q E∧ (2)5. S E∧ (1)6. S ∧ P I∧ (3,5)7. (S ∧ P) ∧ Q I∧ (4,6)

DISTRIBUCIÓN

[α ∧ (β ∨ γ)] ≡ [(α ∧ β) ∨ (α ∧γ)][α ∨ (β ∧ γ)] ≡ [(α ∨ β) ∧ (α ∨ γ)]

XII. Demostración de la regla de Distribución (primera versión [α ∧ (β ∨ γ)] ≡ [(α ∧ β) ∨ (α ∧γ)]):

1. α ∧ (β ∨ γ) sup.2. α E∧ (1)3. β ∨ γ E∧ (1)4. β sup.5. α ∧ β I∧ (2,4)6. (α ∧ β) ∨ (α ∧γ) I∨ (5)7. γ sup.8. α ∧γ I∧ (2,7)9. (α ∧ β) ∨ (α ∧γ) I∨ (8)10. (α ∧ β) ∨ (α ∧γ) E∨ (3,4-9)11. [α ∧ (β ∨ γ)] ⊃ [(α ∧ β) ∨ (α ∧γ)] I⊃ (1-10)12. (α ∧ β) ∨ (α ∧γ) sup.13. α ∧ β sup.14. α E∧ (13)15. β E∧ (13)16. β ∨ γ I∨ (15)17. α ∧ (β ∨ γ) I∧ (14,16)18. α ∧ γ sup.19. α E∧ (18)20. γ E∧ (18)21. β ∨ γ I∨ (20)22. α ∧ (β ∨ γ) I∧ (19,21)23. α ∧ (β ∨ γ) E∨ (12,13-22)24. [(α ∧ β) ∨ (α ∧γ)] ⊃ [α ∧ (β ∨ γ)] I⊃ (12-23)25. {[α ∧ (β ∨ γ)] ⊃ [(α ∧ β) ∨ (α ∧γ)]} ∧ {[(α ∧ β) ∨ (α ∧γ)] ⊃ [α ∧ (β ∨ γ)]} I∧ (11,24)26. [α ∧ (β ∨ γ)] ≡ [(α ∧ β) ∨ (α ∧γ)] I≡ (25)

XIII. Demostración de la regla de Distribución (segunda versión [α ∨ (β ∧ γ)] ≡ [(α ∨ β) ∧ (α ∨ γ)]):

1. α ∨ (β ∧ γ) sup.2. α sup.3. α ∨ β I∨ (2)4. α ∨ γ I∨ (2)5. (α ∨ β) ∧ (α ∨ γ) I∧ (3,4)6. β ∧ γ sup.7. β E∧ (6)8. γ E∧ (6)9. α ∨ β I∨ (7)10. α ∨ γ I∨ (8)11. (α ∨ β) ∧ (α ∨ γ) I∧ (9,10)12. (α ∨ β) ∧ (α ∨ γ) E∨ (1,2-11)13. [α ∨ (β ∧ γ)] ⊃ [(α ∨ β) ∧ (α ∨ γ)] I⊃ (1-12)14. (α ∨ β) ∧ (α ∨ γ) sup.15. α ∨ β E∧ (14)16. α ∨ γ E∧ (14)17. α sup.18. α ∨ (β ∧ γ) I∨ (17)19. β sup.20. α sup.21. α ∨ (β ∧ γ) I∨ (14)22. γ sup.23. β ∧ γ I∧ (19,22)24. α ∨ (β ∧ γ) I∨ (23)25. α ∨ (β ∧ γ) E∨ (16, 19-24)26. α ∨ (β ∧ γ) E∨ (15, 17-25)27. [(α ∨ β) ∧ (α ∨ γ)] ⊃ [α ∨ (β ∧ γ)] I⊃ (14-26)28. {[α ∨ (β ∧ γ)] ⊃ [(α ∨ β) ∧ (α ∨ γ)]} ∧ {[(α ∨ β) ∧ (α ∨ γ)] ⊃ [α ∨ (β ∧ γ)]} I∧ (13,27)29. [α ∨ (β ∧ γ)] ≡ [(α ∨ β) ∧ (α ∨ γ)] I≡ (28)

XIV. Demostrar usando todas las reglas:1. ((P ∧ Q) ∨ S) ∨ T/∴ Τ ∨ ((S ∨ P) ∧ (Q ∨ S))2. Τ ∨ ((P ∧ Q) ∨ S) Conm. (1)3. Τ ∨ (S ∨ (P ∧ Q)) Conm. (2)4. Τ ∨ ((S ∨ P) ∧ (S ∨ Q)) Dist. (3)5. Τ ∨ ((S ∨ P) ∧ (Q ∨ S)) Conm. (4)

XV. Demosatrar sando sólo las 12 reglas básicas de nuestro sistema:1. ((P ∧ Q) ∨ S) ∨ T/∴ Τ ∨ ((S ∨ P) ∧ (Q ∨ S))2. (P ∧ Q) ∨ S hip.3. P ∧ Q hip.4. P E∧ (3)5. Q E∧ (3)6. S ∨ P I∨ (4)7. Q ∨ S I∨ (5)8. (S ∨ P) ∧ (Q ∨ S) I∧ (6,7)9. Τ ∨ ((S ∨ P) ∧ (Q ∨ S)) I∨ (8)10. S hip.11. S ∨ P I∨ (10)12. Q ∨ S I∨ (10)13. (S ∨ P) ∧ (Q ∨ S) I∧ (11,12)14. Τ ∨ ((S ∨ P) ∧ (Q ∨ S)) I∨ (13)15. Τ ∨ ((S ∨ P) ∧ (Q ∨ S)) E∨ (2,3-14)16. T hip.17. Τ ∨ ((S ∨ P) ∧ (Q ∨ S)) I∨ (16)18. Τ ∨ ((S ∨ P) ∧ (Q ∨ S)) E∨ (1,2-17)

IDEMPOTENCIA o TAUTOLOGÍA(α ∨ α) ≡ α(α ∧ α) ≡ α

XVI. Demostración de la regla de Idempotencia o Tautología (primera versión (α ∨ α) ≡ α):1. α ∨ α sup.2. α sup.3. α sup.4. α E∨ (1,2-3)5. (α ∨ α) ⊃ α I⊃ (1-4)6. α sup.7. α ∨ α I∨ (6)8. α ⊃ (α ∨ α) I⊃ (6-7)9. [(α ∨ α) ⊃ α] ∧ [α ⊃ (α ∨ α)] I∧ (5,8)10. (α ∨ α) ≡ α I≡ (9)

XVII. Demostración de la regla de Idempotencia o Tautología (segunda versión (α ∧ α) ≡ α):1.α ∧ α sup.2. α E∧ (1)3. (α ∧ α) ⊃ α I⊃ (1-2)4. α sup.5. α ∧ α I∧ (4,4)6. α ⊃ (α ∧ α) I⊃ (4-5)7. [(α ∧ α) ⊃ α] ∧ [α ⊃ (α ∧ α)] I∧ (3,6)8. (α ∧ α) ≡ α I≡ (7)

XVIII. Demostrar usando todas las reglas:1. (P ∧ P) ∧ (Q ∨ Q)/∴ Q ∧ P2. P ∧ (Q ∨ Q) Idem. (1)3. P ∧ Q Idem. (2)4. Q ∧ P Conm. (3)

XIX. Demosatrar sando sólo las 12 reglas básicas de nuestro sistema:1. (P ∧ P) ∧ (Q ∨ Q)/∴ Q ∧ P2. P ∧ P E∧ (1)3. P E∧ (2)4. Q ∨ Q E∧ (1)5. Q hip.6. Q hip.7. Q E∨ (4,5-6)8. Q ∧ P I∧ (3,7)

DEFINICIÓN DE IMPLICACIÓN MATERIAL (DIM).

(α ⊃ β) ≡ (∼α ∨ β)(α ⊃ β) ≡ ∼(α ∧ ∼β)

XX. Demostración de la regla DIM (primera versión (α ⊃ β) ≡ (∼α ∨ β)):1. α ⊃ β sup.2. ~(∼α ∨ β) sup.3. α sup.4. β E⊃ (1,3)5. ∼α ∨ β I∨ (4)6. ⊥ I⊥ (2,6)7. ∼α I~ (2-6)8. ∼α ∨ β I∨ (7)9. ⊥ I⊥ (2,8)10. ∼α ∨ β E~ (2-9)11. (α ⊃ β) ⊃ (∼α ∨ β) I⊃ (1-10)12. ∼α ∨ β sup.13. α sup.14. ∼α sup.15. ⊥ I⊥ (13,14)16. β E⊥ (15)17. β sup.18. β E∨ (14-17)19. α ⊃ β I⊃ (13-18)20. (∼α ∨ β) ⊃ (α ⊃ β) I⊃ (12-19)21. [(α ⊃ β) ⊃ (∼α ∨ β)] ∧ [(∼α ∨ β) ⊃ (α ⊃ β)] I∧ (11,20)22. (α ⊃ β) ≡ (∼α ∨ β) I≡ (21)

XXI. Demostración de la regla DIM (segunda versión (α ⊃ β) ≡ ∼(α ∧ ∼β)):1. α ⊃ β sup.2. α ∧ ∼β sup.3. α E∧ (2)4. ∼β E∧ (2)5. β E⊃ (1,3)6. ⊥ I⊥ (4,5)7. ∼(α ∧ ∼β) I~ (2-6)8. (α ⊃ β) ⊃ ∼(α ∧ ∼β) I⊃ (1-7)9. ∼(α ∧ ∼β) sup.10. α sup.11. ∼β sup.12. α ∧ ∼β I∧ (10,11)13. ⊥ I⊥ (9,12)14. β E~ (11-13)15. α ⊃ β I⊃ (10-14)16. ∼(α ∧ ∼β) ⊃ (α ⊃ β) I⊃ (9-15)17. [(α ⊃ β) ⊃ ∼(α ∧ ∼β)] ∧ [∼(α ∧ ∼β) ⊃ (α ⊃ β)] I∧ (8,16)18. (α ⊃ β) ≡ ∼(α ∧ ∼β) I≡ (17)

XXII. Demostrar usando todas las reglas:1. (P ∧ ~Q) ∨ S/∴ (P ⊃ Q) ⊃ S2. ~~(P ∧ ~Q) ∨ S DN(1)3. ~(P ⊃ Q) ∨ S DIM (2)4. (P ⊃ Q) ⊃ S DIM (3)

XXIII. Demosatrar sando sólo las 12 reglas básicas de nuestro sistema:1. (P ∧ ~Q) ∨ S/∴ (P ⊃ Q) ⊃ S2. P ⊃ Q hip.3. P ∧ ~Q hip.4. P E∧ (3)5. ~Q E∧ (3)6. Q E⊃ (2,4)7. ⊥ I⊥ (5,6)8. S E⊥ (7)9. S hip.10. S E∨ (1,3-9) 11. (P ⊃ Q) ⊃ S I⊃ (2-10)

DEFINICIÓN DE EQUIVALENCIA MATERIAL (DEM).

(α ≡ β) ≡ [(α ⊃ β) ∧ (β ⊃ α)](α ≡ β) ≡ [(α ∧ β) ∨ (∼α ∧ ∼β)]

XXIV. Demostración de la regla DEM (primera versión (α ≡ β) ≡ [(α ⊃ β) ∧ (β ⊃ α)]):1. α ≡ β sup.2. (α ⊃ β) ∧ (β ⊃ α) E≡ (1)3. (α ≡ β) ⊃ [(α ⊃ β) ∧ (β ⊃ α)] I⊃ (1-2)4. (α ⊃ β) ∧ (β ⊃ α) sup.5. α ≡ β I≡ (4)6. [(α ⊃ β) ∧ (β ⊃ α)] ⊃ (α ≡ β) I⊃ (4-5)7. {(α ≡ β) ⊃ [(α ⊃ β) ∧ (β ⊃ α)]} ∧ {[(α ⊃ β) ∧ (β ⊃ α)] ⊃ (α ≡ β)} I∧ (3,6)8. (α ≡ β) ≡ [(α ⊃ β) ∧ (β ⊃ α)] I≡ (7)

XXV. Demostración de la regla DEM (segunda versión (α ≡ β) ≡ [(α ∧ β) ∨ (∼α ∧ ∼β)]):1. α ≡ β sup.2. (α ∧ β) ∨ (∼α ∧ ∼β) E≡ (1)3. (α ≡ β) ⊃ [(α ∧ β) ∨ (∼α ∧ ∼β)] I⊃ (1-2)4. (α ∧ β) ∨ (∼α ∧ ∼β) sup.5. α ≡ β I≡ (4)6. [(α ∧ β) ∨ (∼α ∧ ∼β)] ⊃ (α ≡ β) I⊃ (4-5)7. {(α ≡ β) ⊃ [(α ∧ β) ∨ (∼α ∧ ∼β)]} ∧ {[(α ∧ β) ∨ (∼α ∧ ∼β)] ⊃ (α ≡ β)} I∧ (3,6)8. (α ≡ β) ≡ [(α ∧ β) ∨ (∼α ∧ ∼β)] I≡ (7)

XXVI. Demostrar usando todas las reglas:1. ((P ≡ Q) ∧ T) ⊃ S2. T ∧ ((P ⊃ Q) ∧ (Q ⊃ P))/∴ S3. T ∧ (P ≡ Q) DEM (2)4. (P ≡ Q) ∧ T Conm. (3)5. S E⊃ (1,4)

XXVII. Demosatrar sando sólo las 12 reglas básicas de nuestro sistema:1. ((P ≡ Q) ∧ T) ⊃ S2. T ∧ ((P ⊃ Q) ∧ (Q ⊃ P))/∴ S3. T E∧ (2)4. (P ⊃ Q) ∧ (Q ⊃ P) E∧ (2)5. P ≡ Q I≡ (4)6. (P ≡ Q) ∧ T I∧ (3,5)7. S E⊃ (1,6)

IMPLICACIÓN / EXPORTACIÓN (I/E)

[α ⊃ (β ⊃ γ)] ≡ [(α ∧ β) ⊃ γ]

XXVIII. Demostración de la regla de I/E ([α ⊃ (β ⊃ γ)] ≡ [(α ∧ β) ⊃ γ]):1. α ⊃ (β ⊃ γ) sup.2. α ∧ β sup.3. α E∧ (2)4. β E∧ (2)5. β ⊃ γ E⊃ (1,3)6. γ E⊃ (4,5)7. (α ∧ β) ⊃ γ I⊃ (2-6)8. [α ⊃ (β ⊃ γ)] ⊃ [(α ∧ β) ⊃ γ] I⊃ (1-7)9. (α ∧ β) ⊃ γ sup.10. α sup.11. β sup.12. α ∧ β I∧ (10,11)13. γ E⊃ (9,12)14. β ⊃ γ I⊃ (11-13)15. α ⊃ (β ⊃ γ) I⊃ (10-14)16. [(α ∧ β) ⊃ γ] ⊃ [α ⊃ (β ⊃ γ)] I⊃ (9-15)17. {[α ⊃ (β ⊃ γ)] ⊃ [(α ∧ β) ⊃ γ]} ∧ {[(α ∧ β) ⊃ γ] ⊃ [α ⊃ (β ⊃ γ)]} I∧ (8,16)18. [α ⊃ (β ⊃ γ)] ≡ [(α ∧ β) ⊃ γ] I≡ (17)

XXIX. Demostrar usando todas las reglas:1. (P ∧ Q) ⊃ (S ⊃ R) /∴ (S ∧ P) ⊃ (Q ⊃ R) 2. ((P ∧ Q) ∧ S) ⊃ R I/E (1)3. (S ∧ (P ∧ Q)) ⊃ R Conm. (2)4. ((S ∧ P) ∧ Q) ⊃ R Asoc. (3)5. (S ∧ P) ⊃ (Q ⊃ R) I/E (4)

XXX. Demosatrar sando sólo las 12 reglas básicas de nuestro sistema:1. (P ∧ Q) ⊃ (S ⊃ R) /∴ (S ∧ P) ⊃ (Q ⊃ R)2. S ∧ P hip.3. Q hip.4. S E∧ (2)5. P E∧ (2)6. P ∧ Q I∧ (3,5)7. S ⊃ R E⊃ (1,6)8. R E⊃ (4,7)9. Q ⊃ R I⊃ (3-8)10. (S ∧ P) ⊃ (Q ⊃ R) I⊃ (2-9)

LEYES DE MORGAN (DeM)

(α ∧ β) ≡ ∼ (∼α ∨ ∼β)(∼α ∧ β) ≡ ∼ (α ∨ ∼β)(α ∧ ∼β) ≡ ∼ (∼α ∨ β)(∼α ∧ ∼β) ≡ ∼ (α ∨ β)(α ∨ β) ≡ ∼ (∼α ∧ ∼β)(∼α ∨ β) ≡ ∼ (α ∧ ∼β)(α ∨ ∼β) ≡ ∼ (∼α ∧ β)(∼α ∨ ∼β) ≡ ∼ (α ∧ β)

XXXI. Demostración de la regla DeM (primera versión (α ∧ β) ≡ ∼ (∼α ∨ ∼β)):

1. α ∧ β sup.2. ∼α ∨ ∼β sup.3. ∼α sup.4. α E∧ (1)5. ⊥ I⊥ (3,4)6. ∼β sup.7. β E∧ (1)8. ⊥ I⊥ (6,7)9. ⊥ E∨ (2,3-8)10. ∼ (∼α ∨ ∼β) I~ (2-9)11. (α ∧ β) ⊃ ∼ (∼α ∨ ∼β) I⊃ (1-10)

12. ∼ (∼α ∨ ∼β) sup.13. ∼α sup.14. ∼α ∨ ∼β I∨ (13)15. ⊥ I⊥ (12,14)16. α E~ (13-15)17. ∼β sup.18. ∼α ∨ ∼β I∨ (13)19. ⊥ I⊥ (12,18)20. β E~ (17-19)21. α ∧ β I∧ (16,20)22. ∼ (∼α ∨ ∼β) ⊃ (α ∧ β) I⊃ (12-21)23. [(α ∧ β) ⊃ ∼ (∼α ∨ ∼β)] ∧ [∼ (∼α ∨ ∼β) ⊃ (α ∧ β)]

I∧ (11,22)24. (α ∧ β) ≡ ∼ (∼α ∨ ∼β) I≡ (23)

XXXII. Demostración de la regla DeM (segunda versión (∼α ∧ β) ≡ ∼ (α ∨ ∼β)):

1. ~α ∧ β sup.2. α ∨ ∼β sup.3. α sup.4. ~α E∧ (1)5. ⊥ I⊥ (3,4)6. ∼β sup.7. β E∧ (1)8. ⊥ I⊥ (6,7)9. ⊥ E∨ (2,3-8)10. ∼ (α ∨ ∼β) I~ (2-9)11. (~α ∧ β) ⊃ ∼ (α ∨ ∼β) I⊃ (1-10)

12. ∼ (α ∨ ∼β) sup.13. α sup.14. α ∨ ∼β I∨ (13)15. ⊥ I⊥ (12,14)16. ~α I~ (13-15)17. ∼β sup.18. α ∨ ∼β I∨ (13)19. ⊥ I⊥ (12,18)20. β E~ (17-19)21. ~α ∧ β I∧ (16,20)22. ∼ (α ∨ ∼β) ⊃ (~α ∧ β) I⊃ (12-21)23. [(~α ∧ β) ⊃ ∼ (α ∨ ∼β)] ∧ [∼ (α ∨ ∼β) ⊃ (~α ∧ β)]

I∧ (11,22)24. (~α ∧ β) ≡ ∼ (α ∨ ∼β) I≡ (23)

XXXIII. Demostración de la regla DeM (tercera versión (α ∧ ∼β) ≡ ∼ (∼α ∨ β)):

1. α ∧ ~β sup.2. ~α ∨ β sup.3. ~α sup.4. α E∧ (1)5. ⊥ I⊥ (3,4)6. β sup.7. ~β E∧ (1)8. ⊥ I⊥ (6,7)9. ⊥ E∨ (2,3-8)10. ∼ (~α ∨ β) I~ (2-9)11. (α ∧ ~β) ⊃ ∼ (~α ∨ β) I⊃ (1-10)

12. ∼ (~α ∨ β) sup.13. ~α sup.14. ~α ∨ β I∨ (13)15. ⊥ I⊥ (12,14)16. α E~ (13-15)17. β sup.18. ∼α ∨ β I∨ (13)19. ⊥ I⊥ (12,18)20. ~β I~ (17-19)21. α ∧ ~β I∧ (16,20)22. ∼ (~α ∨ β) ⊃ (α ∧ ~β) I⊃ (12-21)23. [(α ∧ ~β) ⊃ ∼ (~α ∨ β)] ∧ [∼ (~α ∨ β) ⊃ (α ∧ ~β)]

I∧ (11,22)24. (α ∧ ~β) ≡ ∼ (~α ∨ β) I≡ (23)

XXXIV. Demostración de la regla DeM (cuarta versión (∼α ∧ ∼β) ≡ ∼ (α ∨ β)):

1. ~α ∧ ~β sup.2. α ∨ β sup.3. α sup.4. ~α E∧ (1)5. ⊥ I⊥ (3,4)6. β sup.7. ~β E∧ (1)8. ⊥ I⊥ (6,7)9. ⊥ E∨ (2,3-8)10. ∼ (α ∨ β) I~ (2-9)11. (~α ∧ ~β) ⊃ ∼ (α ∨ β) I⊃ (1-10)

12. ∼ (α ∨ β) sup.13. α sup.14. α ∨ β I∨ (13)15. ⊥ I⊥ (12,14)16. ~α I~ (13-15)17. β sup.18. α ∨ β I∨ (13)19. ⊥ I⊥ (12,18)20. ~β I~ (17-19)21. ~α ∧ ~β I∧ (16,20)22. ∼ (α ∨ β) ⊃ (~α ∧ ~β) I⊃ (12-21)23. [(~α ∧ ~β) ⊃ ∼ (α ∨ β)] ∧ [∼ (α ∨ β) ⊃ (~α ∧ ~β)]

I∧ (11,22)24. (~α ∧ ~β) ≡ ∼ (α ∨ β) I≡ (23)

XXXV. Demostración de la regla DeM (quinta versión (α ∨ β) ≡ ∼ (∼α ∧ ∼β)):

1. α ∨ β sup.2. ~α ∧ ~β sup.3. α sup.4. ~α E∧ (2)5. ⊥ I⊥ (3,4)6. β sup.7. ~β E∧ (2)8. ⊥ I⊥ (6,7)9. ⊥ E∨ (1,3-8)10. ∼ (~α ∧ ~β) I~ (2-9)11. (α ∨ β) ⊃ ∼ (~α ∧ ~β) I⊃ (1-10)

12. ∼ (~α ∧ ~β) sup.13. ~(α ∨ β) sup.14. ~α sup.15. ~β sup.16. ∼α ∧ ∼β I∧ (14,15)17. ⊥ I⊥ (12,16)18. β E~ (15-17)19. α ∨ β I∨ (18)20. ⊥ I⊥ (13,19)21. α E~ (14-20)22. α ∨ β I∨ (21)23. ⊥ I⊥ (13,,22)24. α ∨ β Ε∼ (13−23)25. ∼ (∼α ∧ ∼β) ⊃ (α ∨ β) Ι⊃ (12-24)26. [(α ∨ β) ⊃ ∼ (~α ∧ ~β)] ∧ [∼ (∼α ∧ ∼β) ⊃ (α ∨ β)]

I∧ (11,25)27. (α ∨ β) ≡ ∼ (∼α ∧ ∼β) I≡ (26)

XXXVI. Demostración de la regla DeM (sexta versión (∼α ∨ β) ≡ ∼ (α ∧ ∼β)):

1. ~α ∨ β sup.2. α ∧ ~β sup.3. ~α sup.4. α E∧ (2)5. ⊥ I⊥ (3,4)6. β sup.7. ~β E∧ (2)8. ⊥ I⊥ (6,7)9. ⊥ E∨ (1,3-8)10. ∼ (α ∧ ~β) I~ (2-9)11. (~α ∨ β) ⊃ ∼ (α ∧ ~β) I⊃ (1-10)

12. ∼ (α ∧ ~β) sup.13. ~(~α ∨ β) sup.14. α sup.15. ~β sup.16. α ∧ ∼β I∧ (14,15)17. ⊥ I⊥ (12,16)18. β E~ (15-17)19. ~α ∨ β I∨ (18)20. ⊥ I⊥ (13,19)21. ~α I~ (14-20)22. ~α ∨ β I∨ (21)23. ⊥ I⊥ (13,,22)24. ~α ∨ β Ε∼ (13−23)25. ∼ (α ∧ ∼β) ⊃ (∼α ∨ β) Ι⊃ (12-24)26. [(~α ∨ β) ⊃ ∼ (α ∧ ~β)] ∧ [∼ (α ∧ ∼β) ⊃ (∼α ∨ β)]

I∧ (11,25)27. (~α ∨ β) ≡ ∼ (α ∧ ∼β) I≡ (26)

XXXVII. Demostración de la regla DeM (séptima versión (α ∨ ∼β) ≡ ∼ (∼α ∧ β)):

1. α ∨ ~β sup.2. ~α ∧ β sup.3. α sup.4. ~α E∧ (2)5. ⊥ I⊥ (3,4)6. ~β sup.7. β E∧ (2)8. ⊥ I⊥ (6,7)9. ⊥ E∨ (1,3-8)10. ∼ (~α ∧ β) I~ (2-9)11. (α ∨ ~β) ⊃ ∼ (~α ∧ β) I⊃ (1-10)

12. ∼ (~α ∧ β) sup.13. ~(α ∨ ∼β) sup.14. ~α sup.15. β sup.16. ∼α ∧ β I∧ (14,15)17. ⊥ I⊥ (12,16)18. ~β I~ (15-17)19. α ∨ ∼β I∨ (18)20. ⊥ I⊥ (13,19)21. α E~ (14-20)22. α ∨ ~β I∨ (21)23. ⊥ I⊥ (13,,22)24. α ∨ ∼β Ε∼ (13−23)25. ∼ (∼α ∧ β) ⊃ (α ∨ ∼β) Ι⊃ (12-24)26. [(α ∨ ~β) ⊃ ∼ (~α ∧ β)] ∧ [∼ (∼α ∧ β) ⊃ (α ∨ ∼β)]

I∧ (11,25)27. (α ∨ ~β) ≡ ∼ (∼α ∧ β) I≡ (26)

XXXVIII. Demostración de la regla DeM (octava versión (∼α ∨ β∼) ≡ ∼ (α ∧ β)):

1. ~α ∨ ~β sup.2. α ∧ β sup.3. ~α sup.4. α E∧ (2)5. ⊥ I⊥ (3,4)6. ~β sup.7. β E∧ (2)8. ⊥ I⊥ (6,7)9. ⊥ E∨ (1,3-8)10. ∼ (α ∧ β) I~ (2-9)11. (~α ∨ ~β) ⊃ ∼ (α ∧ β) I⊃ (1-10)

12. ∼ (α ∧ β) sup.13. ~(~α ∨ ∼β) sup.14. α sup.15. β sup.16. α ∧ β I∧ (14,15)17. ⊥ I⊥ (12,16)18. ~β I~ (15-17)19. ~α ∨ ∼β I∨ (18)20. ⊥ I⊥ (13,19)21. ~α I~ (14-20)22. ~α ∨ ~β I∨ (21)23. ⊥ I⊥ (13,,22)24. ~α ∨ ∼β Ε∼ (13−23)25. ∼ (α ∧ β) ⊃ (∼α ∨ ∼β) Ι⊃ (12-24)26. [(~α ∨ ~β) ⊃ ∼ (α ∧ β)] ∧ [∼ (α ∧ β) ⊃ (∼α ∨ ∼β)]

I∧ (11,25)27. (~α ∨ ~β) ≡ ∼ (α ∧ β) I≡ (26)

XXXIX. Demostrar usando todas las reglas:1. (P ∧ Q) ∨ S/∴ ∼((~P ∨ ~Q) ∧ ~S)2. ~(~P ∨ ~Q) ∨ S DeM (1)3. ∼((~P ∨ ~Q) ∧ ~S) DeM (2)

XL. Demosatrar sando sólo las 12 reglas básicas de nuestro sistema:1. (P ∧ Q) ∨ S/∴ ∼((~P ∨ ~Q) ∧ ~S)2. (~P ∨ ~Q) ∧ ~S hip.3. ~P ∨ ~Q E∧ (2)4. ~S E∧ (2)5. P ∧ Q hip.6. ~P hip.7. P E∧ (5)8. ⊥ I⊥ (6,7)9. ~Q hip.10. Q E∧ (5)11. ⊥ I⊥ (9,10)12. ⊥ E∨ (3,6-11)13. S hip.14. ⊥ I⊥ (4,13)15. ⊥ E∨ (1,5-14)16. ∼((~P ∨ ~Q) ∧ ~S) I~ (2-15)

3. SECCIÓN OBLIGATORIA (Debes contestar por lo menos 4 ejercicios de los 8). Demuestra que las siguientes fórmulas son teoremas de nuestro sistema (1/4 de punto cada uno, en total 2 puntos.

a) P ⊃ (P ∨ Q)1. P hip.2. P ∨ Q I∨ (1)3. P ⊃ (P ∨ Q) I⊃ (1-2)

b) P ⊃ (Q ∨ P)1. P hip.2. Q ∨ P I∨ (1)3. P ⊃ (Q ∨ P) I⊃ (1-2)

c) (P ∧ Q) ⊃ P1. P ∧ Q hip.2. P E∧ (1)3. (P ∧ Q) ⊃ P I⊃ (1-2)

d) (P ∧ Q) ⊃ Q1. P ∧ Q hip.2. Q E∧ (1)3. (P ∧ Q) ⊃ Q I⊃ (1-2)

e) (P ⊃ (Q ⊃ R)) ⊃ (Q ⊃ (P ⊃ R))1. P ⊃ (Q ⊃ R) hip.2. Q hip.3. P hip.4. Q ⊃ R E⊃ (1,3)5. R E⊃ (2,4)6. P ⊃ R I⊃ (3-5)7. Q ⊃ (P ⊃ R) I⊃ (2-6)8. (P ⊃ (Q ⊃ R)) ⊃ (Q ⊃ (P ⊃ R)) I⊃ (1-7)

f) (P ⊃ (Q ⊃ R)) ⊃ ((P ⊃ Q) ⊃ (P ⊃ R))1. P ⊃ (Q ⊃ R) hip.2. P ⊃ Q hip.3. P hip.4. Q ⊃ R E⊃ (1,3)5. Q E⊃ (2,3)6. R E⊃ (4,5)7. P ⊃ R I⊃ (3-6)8. (P ⊃ Q) ⊃ (P ⊃ R) I⊃ (2-7)9. (P ⊃ (Q ⊃ R)) ⊃ ((P ⊃ Q) ⊃ (P ⊃ R)) I⊃ (1-8)

g) (P ⊃ Q) ⊃ ((P ⊃ ∼Q) ⊃ ~P)1. P ⊃ Q hip.2. P ⊃ ∼Q hip.3. P hip.4. Q E⊃ (1,3)5. ~Q E⊃ (2,3)6. ⊥ I⊥ (4,5)7. ~P I~ (3-6)8. (P ⊃ ∼Q) ⊃ ~P I⊃ (2-7)9. (P ⊃ Q) ⊃ ((P ⊃ ∼Q) ⊃ ~P) I⊃ (1-8)

h) (P ⊃ Q) ⊃ (∼Q ⊃ ~P)1. P ⊃ Q hip.2. ∼Q hip.3. P hip.4. Q E⊃ (1,3)5. ⊥ I⊥ (2,4)6. ~P I~ (3-5)7. ∼Q ⊃ ~P I⊃ (2-6)8. (P ⊃ Q) ⊃ (∼Q ⊃ ~P) I⊃ (1-7)

4. SECCIÓN OBLIGATORIA. Formaliza los siguientes argumentos y demuestra que son válidos (1 punto cada uno, ½ por la formalización y ½ por la prueba de validez, para un total de 2 puntos):

a) Es necesario que los seres humanos seamos agentes morales, para imputarnos responsabilidad moral. De hecho se nos imputa responsabilidad moral. Por lo tanto, los seres humanos somos agentes morales.

Diccionario:P: Los seres humanos somos agentes morales.Q: Se imputa responsabilidad moral a los seres humanos.

Formalización:1. Q ⊃ P2. Q /∴ P

Demostración:1. Q ⊃ P2. Q /∴ P3. P E⊃ (1,2)

b) Únicamente si el análisis tripartito de conocimiento es correcto, podemos dar una definición adecuada de conocimiento. Pero si los contraejemplos tipo Gettier son correctos, nuestro análisis tripartito de conocimiento es incorrecto. De ello podemos concluir que o bien no tenemos una definición adecuada de conocimiento o bien los contraejemplos tipo Gettier son incorrectos.

Diccionario:P: El análisis tripartito del conocimiento es correcto.Q: Podemos dar una definición adecuada de conocimiento.R: Los contraejemplos tipo Gettier son correctos.

Formalización:1. Q ⊃ P2. R ⊃ ~P/∴ ~Q ∨ ~R

Demostración:1. Q ⊃ P2. R ⊃ ~P/∴ ~Q ∨ ~R3. ~(~Q ∨ ~R) sup.4. ~Q sup.5. ~Q ∨ ~R I∨ (4)6. ⊥ I⊥ (3,5)7. Q E~ (4-6)8. P E⊃ (1,7)9. R sup.10. ~P E⊃ (2,9)11. ⊥ I⊥ (8,10)12. ~R I~ (9-11)13. ~Q ∨ ~R I∨ (12)14. ⊥ I⊥ (3,13)15. ~Q ∨ ~R E~ (3-14)

Una prueba más corta:

1. Q ⊃ P2. R ⊃ ~P/∴ ~Q ∨ ~R3. ~~R ⊃ ~P DN (2)4. P ⊃ ~R Trans. (3)5. Q ⊃ ~R S.H. (1,4)6. ~Q ∨ ~R D.I.M. (5)

5. SECCIÓN OPTATIVA. Bonus para ñoños: En el extraño planeta Og, existen dos tipos de personas, las verdes y las rojas. Las personas rojas que nacieron en el sur siempre dicen la verdad, pero las personas rojas que nacieron en el norte del planeta siempre mienten. Las personas verdes que nacieron en el norte siempre dicen la verdad, pero las personas verdes que nacieron en el sur siempre mienten. En una ocasión un lógico terrícola visitó el planeta Og, en una noche sin luna se encontró a un habitante del planeta og, como era un noche sin luna no pudo ver de color era. Sin embargo el nativo hizo una afirmación que le ayudo al lógico a saber de qué color era y si había nacido en el sur o en el norte. ¿Qué afirmación hizo?

a) Soy un sureño rojo.b) Siempre miento.c) Soy un sureño verde.d) 2 + 2 = 4.

6. SECCIÓN OPTATIVA. Medio punto extra para el examen 6: Presentar un argumento filosófico deductivo, indicar de dónde fue extraído, indicar de manera clara cuáles son las premisas y cuál es la conclusión, formalizarlo y demostrar su validez usando deducción natural. (1 punto para el examen 6)