Simplificar el siguiente radical : 12

Para hallar la solución debemos reconocer que el radicando no tiene raíz exacta, por lo cual lo descomponemos en su factores primos: 12 2 6 2 3 3 Por tanto, 12 = 2² x 3 1 Re-escribiendo este radical como el producto de los factores primos del radicando

12 = 2² ·3 A continuación aplicamos la propiedad del radical de un producto

12 = 22 3 =

22 3

y extrayendo la raíz del factor, donde sea posible

12 = 2 3

Ahora hallaremos 54 2 27 3 9 3 Luego 54 = 2 ·3³ 3 3 1

Al Simplifica 40 obtenemos 3 1 1 1 140 2 5 2 2 5 2 10

Se dice que un radical está simplificado si:

a) El radicando no contiene factores polinomiales de potencia mayor o igual índice del radical.

b) La potencia del radicando y el índice del radical no tiene factor común diferente de 1

3 754m

32

3 123

3 1333 33

3 733 7

23

32

32

3·254

mm

mm

mmm

mm

Asignatura: ALGEBRA 9º

Profesor: Lic. ALDRON AYALA MENDOZA

COLEGIO SAN FERNANDO

En clases anterior hemos desarrollado el concepto de RADICALES, y lo hemos

desarrollado trabajando con las propiedades básicas.

SIMPLIFICACION DE RADICALES

Las propiedades de los radicales que vimos anteriormente, son instrumentos que

utilizaremos para su simplificación. Veamos el siguiente ejemplo:

TALLER DE OPERACIONES CON RADICALES Y RACIONALIZACIÓN

PL

AN DE MEJORAMIENTO

TRABAJO INDIVIDUAL Simplifica:

a. 27

b. 3 48

c. 7 200

d. 63 96x

e. 4 85 16x y

f.

g.

h. -4 ·

i.

j. 6a³b² ·

OPERACIONES CON RADICALES Radicales Semejantes Para efectuar operaciones entre radicales, como adición y sustracción, es necesario identificar cuando dos o más radicales son semejantes, con el fin de agrupar términos donde sea posible. Veamos el siguiente ejemplo

Simplifiquemos 8 ; 72

38 2 2 2

3 2 1 1 172 2 3 2 3 2 2 3 2 6 2

Como podemos observar los ejemplos anteriores tienen a 2 como término común, luego:

Dos o más radicales son semejantes si tienen igual índice en el radical e igual radicando. Como los radicales son números reales, entonces podemos efectuar entre ellos operaciones tales como: adición, sustracción, multiplicación, etc.

a) Adición y Sustracción de Radicales

Para sumar o restar radicales se simplifican y, luego, se agrupan aquellos que sean semejantes.

Ejemplos

Resolver : 3 18 98 12

Solución

2 1 2 1 2 1

1 1 1 1 1 1

3 18 98 12

3 3 2 7 2 2 3

3 3 2 7 2 2 3

9 2 7 2 2 3

16 2 2 3

Resolver : 620 - 324 + 345 - 45

Sol. 620 - 324 + 345 - 45

=62²·5 - 32³·3¹ +33²·5 - 45

=6·25 - 3·22¹·3¹ +3·35 - 45

= 125 - 66 + 95 - 45

= 125 + 95 - 45 - 66

= 17 5 - 66

3 48832 16y

3 127 ··64 nm

7 1048 64y z

5 61294860 cba

TRABAJO INDIVIDUAL Efectuar las siguientes operaciones

a) 4 3 5 3

b) 5 2 15 2

c) 4 3 5 5 8 3 2 5

d) 14 3 8 3 6 3m m m

e) 128 5 5 20 162

f) 128 3 75 2 162 7 3

g) .

h) .

b) Multiplicación de radicales

Para multiplicar dos o más radicales, se deben tener en cuenta los siguientes pasos:

1. Si lo radicales tiene el mismo índice basta escribir los radicandos bajo el mismo radical; efectuar los productos indicados y luego, simplificar el resultado.

2. Silos radicales tienen distintos índice, primero se reducen a un índice común hallando el m.c.m. de ellos; después se divide éste índice de cada radical y el cociente resultante en cada caso será el exponente del respectivo radicando. Se efectúan las operaciones indicadas y se simplifica el resultado.

Ejemplos Efectuar: Efectuar Podemos observar que los factores de los radicales son diferentes, entonces, para manipularlos debemos convertirlos a un mismo índice y para lo cual hallamos el m.c.m. de cada uno de ellos; éste será el índice común, luego: Hallamos el m.c.m. de lo índices, el m.c.m. (3, 4) = 12

Dividido el índice común por el índice de cada radical y este cociente será el exponente del radicando correspondiente. Luego, expresamos el producto de lo radicales como el radical de un producto y efectuamos operaciones indicadas

3333 1358112816

8

1

50

1

72

1

2

1

4 73 5 818 xx

12124 73 5 ??818 xx

12 53

12 53

12 411212

12 21122012

12 37344543

12 3745

12 3712 45

6

32

32

32

32

818

818

xx

xx

x

xx

xx

xx

xx

2 3

5

4 3 5

2 1 2 1 1

2

24 18

432

2 3

2 3 3

12 3

m m

m

m

m m

m m

c) División de Radicales

Para dividir dos radicales se debe tener en cuenta que:

1. Si los radicales son del mismo índice basta dividir los radicandos y este cociente se escribe bajo un radical común, simplificando el resultado.

2. Si los radicales tienen distintos índice, se reducen a un índice común, luego, se efectúa la división como radicales de índice igual.

Ejemplos

Efectuar 27 ÷ 48 Solución Efectuar

TRABAJO INDIVIDUAL Efectuar las siguientes operaciones

a) 2 · (5 + 1)

b) 6 · (8 - 6 )

c) 5 · (8 - 7 )

d) 3 · (38 - 63 )

e) 27 · (52 - 63 ) f) . g) . h) .

i) 20 ÷ 5

j) 120 ÷ 10

k) 412 ÷ 520

l) 496 ÷ 324 m) . n) . o)

RACIONALIZACION Cuando se tienen expresiones fraccionarias con denominadores irracionales (Radicales) se debe RACIONALIZAR y para ello tener en cuenta siguientes situaciones:

Para racionalizar un denominador monomio, se multiplican tanto el numerador (dividendo) como el denominador (divisor) por un radical del mismo índice, que multiplicado por este

(denominador) nos dé un radical exacto.

4

3

16

9

48

27

48

27

4 23 5 816 yy

12 2

12 271

12 147

1269

2016

123233

4544

12 32

12 45

4 23 5

128

2

2

2

2

2

2

8

16816

yy

yy

y

y

y

y

y

y

yyy

4 93 5 62516 xx

4 42 8 8024 mm 4 975 8 81160 baa

4 53 4 896 xx

4 42 5 1880 mm

4 1255 3 900196 yxx

Cuando el Denominador es un Monomio

Ejemplos: Racionalizar las siguientes expresiones. 1. . 3. 2. .

Antes de utilizar esta forma de racionalización necesitamos saber cuando dos expresiones

son conjugadas una de la otra. Fíjate en los siguientes ejemplos:

a + b su conjugada a - b

2 + 3 su conjugada 2 - 3

5 - 6 su conjugada 5 + 6 como puedes observar, solo difieren en el signo que separa las cantidades que los

conforman; por tanto, decimos que las cantidades son conjugadas .

Aquellos binomios de la forma : a + bx y, a - bx , es decir, cuyos términos no son ambos racionales y solo difieren en el signo de uno de los términos, se denominan

cantidades irracionales conjugadas

Ahora sí podemos aplicar la racionalización cuando el denominador es un binomio.

Para racionalizar una expresión cuyo denominador es un binomio, se multiplican tanto el numerador como el denominador por la conjugada del denominador, luego se efectúan las

operaciones indicadas y se simplifica el resultado.

Ejemplos: Racionalizar las siguientes expresiones: 1. . 2. .

x

x

x

x

x

x

xx 2

25

4

25

2

2

2

5

2

5

2

5

52

25

52

5

5

5

2

5

2

33

3 33

3

3 12

3 12

3 23 2

422

44

2

44

2

2

2

4

2

4

xx

xx

x

xx

x

x

x

x

x

x

Cuando el Denominador es un Binomio

2

7515

79

7515

)7(3

735

73

73

73

5

73

522

2

35

16

3858

925

3858

)3()5(

358

35

35

35

8

35

822

xxxxxxxxx

TRABAJO INDIVIDUAL

Racionalizar el denominador de cada una de las siguientes expresiones. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

3

2

7

4

x3

2

23

6

x

x

3 23

6

x

x

3 28

2

x

x

4 29

24

x

x

2 a

ba

5 23

2)(

ba

ba

75

2

23

6

104

7

124

18

x

25

215

1210

35

25

33

62

573

yx

yx

9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.