Universidad Nacional de Colombia - Sede BogotDepartamento de MatemticasPrimer semestre de 2015

Matemticas Bsicas - PRECLCULO Grupos 1 al 7(Facultades de Ciencias, Ciencias Econmicas, Ingeniera, Agronoma y Zootecnia)

Coordinacin: Margarita Ospina

Taller 3 Tema: Polinomios y teorema del binomio

"La cualidad ms importante que inuir en tu xito en un curso de Matemticas es tu actitud. stadeterminar lo que ests dispuesto a hacer en el curso, y la calidad de ese esfuerzo contribuir de lamanera ms signicativa a tu xito." (Richard Manning Smith, en su libro: Cmo ser un gran estudiantede Matemticas)

En este taller los ejercicios han sido tomados de las siguientes fuentes: De talleres anteriores del grupo deMatemticas Bsicas los ejercicios 6, 8, 10, 12, 15 B y C. De colaboracin del profesor Bernardo Acevedode la Sede Manizales los ejercicios 4 y 5. Y de la edicin preliminar de las Notas de Clase del curso de laprofesora Margarita Ospina los ejercicios 1, 2, 3, 7, 9, 13, 14 y 15 A y D.

1. Considere los polinomios p1(x) = 2x2 3x+ 1 y p2(x) = 5x 7; calcule:A. p1(x) + p2(x) B. p1(x) p2(x)C. p2(x) p1(x) D. p1(x) p2(x):2. Considere las siguientes factorizaciones:

Factorizado Expandido(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

(a b)2 = a2 2ab+ b2(a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3

(a b)3 = a3 3a2b+ 3ab2 b3"Expandido" Factorizado

Diferencia de cuadrados a2 b2 = (a b)(a+ b)Diferencia de cubos a3 b3 = (a b)(a2 + ab+ b2)Suma de cubos a3 + b3 = (a+ b)(a2 ab+ b2)

A. Pruebe la veracidad de las 7 igualdades de las tablas multiplicando los factores y agrupando trminossemejantes.

B. Utilice la informacin de las tablas para factorizar los siguientes polinomios

i. 9x2 + 30x+ 25 ii. 8x3 27 iii. 64x3 + 1iv. x3 6x2 + 12x 8 v. 25x2 30x+ 9 vi. 8x3 + 36x2 + 54x+ 27vii. 100x2 49 viii. 3x2 5 ix. 125x3 27

3. Dados los polinomiosp(x) = 2x3 + x 1 q(x) = x2 6x+ 2 r(x) = 5x4 2x2 3s(x) = x 5 t(x) = x 4 w(x) = x+ 3 z(x) = 2x 3Realice las siguientes operaciones (cuando sea posible, si lo preere use divisin sinttica):

A. p(x) q(x) B. r(x) p(x) C. r(x) q(x)D. s(x) p(x) E. q(x) s(x) F. p(x) t(x)G. p(x) w(x) H. p(x) z(x) I. t(x) w(x)J. r(x) t(x) K. r(x) w(x)

4. Realice todo el proceso de simplicacin para mostrar que las dos expresiones son equivalentes.

A.

"8a61=3 1

(a2)1=2

#1y 2a:

B.a1b2 + a2b1

b2 a2 y1

a b :

C.ma1=3

9nb3n1=2a1=3

b1=2

2y ma:

D. x2m 2xmyn + y2n y (xm yn)2:E. [a+ fa+ (a b) (a b+ c) [(a) + b]g] y 3a+ b+ c:F. (ambx)(a2)(2ab)(3a2x) y 6am+5bx+1x:

G.n6 + 1

n2 + 1y n4 n2 + 1:

H. ax(ax+1 + bx+2)(ax+1 bx+2)bx y a3x+2bx axb3x+4:5. Factorice las siguientes expresiones algebraicas:

A. 6am 4an 2n+ 3m B. 20 x x2 C. 9n2 + 4a2 12anD. a2 + 9 6a 12x2 E. 1 + 6x3 + 9x6 F. x3 y3 + x y:

6. Encuentre el residuo de dividir p(x) = x5 3x2 + 2x 5 entre:A. x 1 B. x+ 1 C. x+ 27. En todos los ejercicios de este punto, exprese los polinomios encontrados en forma factorizada yexpandida. En caso de no ser posible encontrar un polinomio que cumpla las caractersticas pedidasexplique por qu.

A. Encuentre dos polinomios de grado 3 que tengan como ceros a 1; 5; 3:B. Encuentre tres polinomios de grados 3; 4 y 5 respectivamente que tengan como ceros nicamente a 2y 1.C. Encuentre un polinomio de grado 4 que tenga como un cero de multiplicidad 2 a 0.

D. Encuentre un polinomio de grado 3 que tenga como ceros a 2;1; 1 y 0.E. Encuentre dos polinomio de grado 3 que tengan como ceros a 1 y 2 pero con diferentes multiplicidadesen cada caso.

8. Considere el polinomio p(x) = 2x5 7x4 + 10x2 2x 3A. Haga la lista de las posibles races racionales.

B. Factorice completamente el polinomio:

9. En todos los casos factorice al mximo el polinomio dado y determine cuntos ceros tiene, de qumultiplicidad y si son racionales o irracionales. Tambin determine cundo se presentan factores nolineales (cuadrticos) que no se pueden factorizar en los reales.

A. x4 + x3 3x2 5x 2B. 3x4 + 3x3 18x2 12x+ 24C. x4 4

3x3 53

9x2 +

20

9x+

4

3D. x3 + 9x2 + 27x+ 27

E. 8x4 2x3 + 15x2 4x 2F. 8x5 + 32x4 + 32x3 x2 4x 4G. x4 6x3 + 4x2 + 9x 210. Para qu valores de k el polinomio p(x) = kx3 + x2 + k2x+ 3k2 + 11 es divisible por (x+ 2)?

11. Sean a y b dos nmeros naturales, armamos que:I. (ab)! = a!b! II. (a+ b)! = a! + b!

De las armaciones anteriores es correcto decir que:

A. Ambas son ciertas B. Ambas son falsas.

C. I es verdadera y II es falsa D. I es falsa y II es verdadera.

12. De las amaciones:

I.9!6!3!

8!5!2!= 162 II.C(28; 2) =

282

= 378

es correcto decir que:

A. Ambas son ciertas B. Ambas son falsas.

C. I es verdadera y II es falsa D. I es falsa y II es verdadera.

13. A. Calculen

0

yn

n

cualquiera sea n; y concluya.

B. Encuentre el valor de los siguientes combinatorios y adems muestre que son igualesn

1

y

n

n 1:

C. Observe la simetra que hay en cada rengln del tringulo de Pascal y apyese en ella para llenar elespacio en blanco que haga cierta la igualdad entre los combinatorios:

i.4

1

=

4

ii.4

0

=

4

iii.5

0

=

5

iv.5

4

=

5

v.5

2

=

5

vi.6

2

=

6

vii.23

5

=

23

viii.18

4

=

18

ix.15

9

=

15

14. En cada literal aparece un sumando del desarrollo del binomio (x + y) elevado a cierta potencia,escriba el coeciente que le corresponde en forma de combinatorio.

Por ejemplo, si aparece

x12y3 la potencia a la que est elevado (x + y) es 15 (por qu?) y el

combinatorio es15

12

luego el sumando es

15

12

x12y3:

A.

x12y3 B.

x4y13

C.

xy9 D.

x22

15. En los ejercicios que siguen presente los coecientes como combinatorios y potencias de constantes.Luego, simplique al mximo y si tiene una calculadora a mano tambin encuentre el valor numrico delcoeciente.

A. En el desarrollo de (x+ y)12 encontrar:

i. El coeciente del trmino que contiene a x5 y la potencia de y en ese trmino.

ii. El trmino que contiene a y9:

iii. El coeciente del trmino que contiene a y6 y la potencia de x en ese trmino.

iv. El trmino donde las potencias de x y y coinciden.

B. (Cuidado con el signo) En el desarrollo de (x y)14 encontrar:i. El coeciente del trmino que contiene a x5 y la potencia de y en ese trmino.

ii. El trmino que contiene a y9:

iii. El nmero de sumandos que tienen coeciente negativo.

iv. El trmino donde las potencias de x y y coinciden.

C. Considere el binomio (2x3y)12:(En este ejercicio existen varias diferencias con los casos anteriores quedebe tener en cuenta cuando aplique sus conocimientos sobre el teorema del binomio. Lea detenidamentelas tres advertencias siguientes antes de desarrollar el ejercicio.

- Al elevar el trmino 2x a una potencia, tanto el 2 como la x resultan elevados a dicha potencia.

- El segundo trmino del binomio es 3y luego su signo debe ser tenido en cuenta al elevar el trminoa cualquier potencia.

- Las potencias de 2 y de 3 en cualquier trmino del desarrollo del binomio son constantes, por lotanto forman parte del coeciente que acompaa a la variables.)

En el desarrollo de (2x 3y)12 encontrar:i. El coeciente del trmino que contiene a x5 y la potencia de y en ese trmino.

ii. El trmino que contiene a y9:

iii. El nmero de sumandos que tienen coeciente negativo.

iv. El trmino donde las potencias de x y y coinciden.

D. (Ojo a los signos y las potencias negativas) En el desarrollo dex2 2

y

8encontrar:

i. El coeciente del trmino que contiene a x10 y la potencia de y en ese trmino.

ii. El trmino que contiene a y5:

iii. El nmero de sumandos que tienen coeciente negativo.

iv. Los trminos donde alguna de las potencias de x o y sean impares.