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t-Student y F-Snedecor

IntroduccÍón

Lo pruebo t-Student se utilizo poro controstor hipótesis sobre medios en poblociones con distribuciónnormol. Tombién proporciono resultodos oproximodos poro los controstes de medios en muesfros

suficientemente grondes cuondo estos poblociones no se distribuyen normolmente (oungue en esteúltimo coso es preferiblereolizar uno pruebo no ponométrico). Pono conqcer si se puede suponer que los

dotos siguen uno distribución normol, se pueden realizor diversos controstes llomodos de bondod de

ojuste, de los cuqles el mós usodo es lo pruebo de Kolmogorov. A menudo, lo pruebo de Kolmogorov es

ref erida erróneomente como pruebo de Kolmogorov-Smirnov, ya que en reolidod esto último, sirve poro

controstor si dos poblociones tienen lo mismo distribución. Otros tests empleodos paro lo pruebo de

normolidod son debidos o Sophiro y Wilks.

Existen dos versiones de lo pruebo t-Student:iguoles y otro versión que no osume esto último.vorionzo en los dos poblociones, se debe realizardos vorionzos.

uno que supane gue los vorianzos poblocionoles son

Poro decidir si se puede suponer o no lo iguoldod de

previomente lo pruebo F-Snedecor de comporoción de

Lo pruebo t-Sfudent fue desorrollodo en 1899 por el químico inglés Willíom Seoley Gosset (1876-1937),mientros trobojobo en técnicos de control de colidod poro los destileríos 6uiness ¿n Dublín. Debido o

que en lo destilerío, su puesto de trobojo no e?a iniciolmente de,estodístico y su dedicoción debío estorexclusivomente encominodo o mejoror los costes de producción, publicó sus hollozgos onónimomente

f irmondo sus ortículos con el nombre de "Student".

William SeaIey Gosset ("Student") Georqe W. Snedecor

i:l .

l:'

;i.

,tjll',,it.i;

$:,!t; .

;:i:

lir ,,

ri,!i: t

i; t,

6f.ff;i&¡jr:lfr'

Lo distribución F es conocido con este nombre gracios ol motemótico omericon o George W. Snedecor(188?-1974) quien lo boutizó de este modo en honor de R. A. Fisher (1890-19ó2) que yo lo hobíoestudiodo onteriormente en 1924.

Los pruebos de bondod de ojuste mencionodos son debidos o Nikoloi Vosil'yevich Smirnov (1890-19óó),Andrei Nikoloevich Kolmogorov (1903-1987) gran teórico probobilisto que fundó los boses de lo teoríode lo medido en1929 y finolmente Somuel 5.Shopiro (octuolmenteprofesor de motemóticos e4 los

EE.UU) y Mortin .8. Wilk (motemótico conodiense) que publicoron sus hollozgos en lo revisto"Biometriko" en 1965.

Fórmulas básicos

En el coso de gue se estén estudiondo dos voriobl es donde uno de ellos es cuantitotivo normolconsiderodo como vorioble respuesto Rto y lo otro vorioble es dicotómica considerodo como voriobleexplicotivo Exp, se pueden oplicor técnicos de estimoción por fC paro diferencio de medios, lo pruebo t-Studeni poro controstor lq diferencios de medios, técnicos de estimoción por fC poro el cocienfe devorionzos y lo pruebo F-Snedecor poro iguoldod de vorionzos. Los fC poro diferencio de medios y lo

pruebo t-Student.poro diferencio de medios tíenen expresiones distintos dependiendo si se puede

osumir o no lo iguoldod de vor,ionzos poblociones (poro esto último estó lo pruebo F-Snedecor deiguoldod de vorionzos). Lo iguoldod de vorionzos se conoce como homocedosticidod y lo no iguoldod de

vorionzos como heterocedosticidod.

fntervqlq de conf ionza pqro lq diferehcio de mgdias y pruebo t-Student pora dos mediqs

Cálculo de los estadísficos descriptivos, básicos

5i se denoto pot \ y nz o los tomoños muestroles del primer y del segundo grupos, los medios y los

desviociones fípicos poro los dos grupos son:

Tx,/-/ l¡

nl

I *.,--u^¿ -

n2

Sr =

s2 =

donde xri indico los volores de lo vorioble Rto poro el grupo L y xz, indico los volores de lo vorioble Rtoporo el grupo 2.

Cólculo del IC(l - u)1o poro lo diferencio de mediqs suponiendo iguoldod de vorionzos

Poro colculor elIC(l - cr)% poro lo diferencio de medios se necesito colculor el error estóndor de lodiferencio de medios que, en el supuestb de iguoldod de vorionzos , tiene lo expresión:

/_ _\' EE(x' - xrJ=

donde sz recibe el nombre de vorionzo conjunto ("pooled vorionce"), que tiene por expresión:

^,_(n,-l)tí +(n,-l)sl

Ense9undolugorporocolculor",,.o",**ffidelot.5tud?l1t\.o¡2.n1congrodosdelibertod9l =(n1 -1)+(nz-1)=(n1 .y-2L,,."?,!qu1 , t_ _ \l

IC(l - alz'(x, - xz )= [(x' - x' )* t,-",r.*,EE(x, - x, )proporciono el IC buscodo.

Cálculo del IC(1 - a)7" poro lc diferencio de medios suponiendo no iguoldod de vorionzqs

Pqro colculor el TC(l - a)% poro lo diferencio de medios se necesito colculor el error estóndor de lodif erencia de medios que, en el supuesto da no iguoldod de vorionzas, tiene lo expresión:

'ulrk'J¡r(.''

En segundo lugor, poro colculor elTC deseodo se necesito el valor.de la t-Student \-otz:stcon grodos delibertod gl dodos por lo siguiente expresión, ilomodo de sottherwoite:

con lo gue:

rc(r - .lnF ,.,-

;,)= [F, - ;, )r t,_.,,,]EEF, _ ;,)proporciono el IC buscodo.

Cálculo de lo pruebo t-Student pqro lq diferencio de medios suponiendo iguoldcd de vorionzqsPoro llevor o cobo el controstei

H9: ¡r1 - ¡r2 : Q

Hl:pr-p2+O

::1'^t:i:1" iguoldod de vorionzos poblocionoles, se construye el estadístico de controste experimentol toooo por:

gue bojo lo hipótesis nulo sigue uno distribución t-Student con grocJos de libertod gl = (n1 - 1) + (n2 - 1) =(nr*nz-2).

Cólculo de lo pruebo t-StudentPono llevor o cobo el controste:

poro lo dif erencia, de medios suponiendo no iguordod de voriqnzos

H9: ¡-r1 - ¡¡2 = Q

Hl: ¡.rr - $z + 0suponiendo no iguoldod de vorionzos poblocionoles, se .onit.ry" el estodístico de controsteexperimentol t dodo porr

'1= X¡ -xz _ X¡ -xzEE(x, -xz) G='-

-l-' I "2

Vn' n2gue bojo lo hipótesis nulo sigue uno distribucíón t-studeni.on grodos de libertod gldodos por:

f/--\r,

"¡ = IEE(*' - *, )l'P -!brF )l'*--l-lÉEfiJtr, -l' \"/J nr-11"-

que recibe el nombre de grodos de ljbertad de Sottherthwoite.

Cálculo del IC(l - o)% porc el cociente de vqrionzos

Lo expresión poro colculor elTC(.| - cr)% poro el c.oeiante.'{p, r¡ori¡l.l¡s r :

tc95% "i)-l % * l"i )-

f

F'-""'r'"*'o' 'z't-etz:erdetn )

donde: Ft<tz: stn: std se colculo o portir de uno F-Snedecor siendo gln los grodos de libertod del

numerodor, gue se colculon como el tomoño muestrol del grupo con moyor vorionzo muestrol menos uno,

y 9ld los grados de libertod del denominodor gue se colculon como el tomoño muestrol del grupo con

menor vorionzo muestrol menos uno.

Cólculo de lo pruebo F-Snedecor poro lo iguoldod de vqrionzos

Poro llevor o cobo el contraste: 'H9:o1-o2=Q

' Ht: o1 -o2*0medionte,lo pruebo F-Snedecor de comporoción de vorionzos se construye el estadístico de controsteexperitnentol F dodo por:

*e'{sl, sl)F=--.-i,3mn pi lsii

gue bojo lo hipótesis nulo sigue uno distribución F-Snedecor siendo gln los grodos de libertod del

numerodor y gld los grodos de libertod del denominodor. En el coso de no poder rechazor lo hipótesis

nulo (p-volor > O.O5) se considero gue los dos vorionzqs son iguoles (homogéneos).

Se tienen los siguientes dotos experimentoles correspondientás o 17 individuos de los gue se ho

recogido el volor que presenton en dos voriobles, uno de ellos cuonfitotivo con distribución, normol

considerodo como vorioble respuesto (Rto), y lo otro vorioble,dicotómico considerodo como vorioble

explicotivo (Exp). Los dotos se presenton de formo gue en los f ilos hoy vorios individuos poro focilitor lo

leciuro:

Rto ExP Rto Éxp

15

15

25

25?5

33

43

15

t6

16,25

28

2828'28

35

43

I1

1

1

1

1

1

2

2

2

?

2

?

2

2

2

2

Colculor un intervolo de confianzool 90% poro lo diferencio de medios oumiendo iguoldod de vorionzos

y no osumiendo lo iguoldod de éstos y realizar el siguiente controste:Hp: ¡r1 - ¡12 : Q

Hr: pr-Fz+Omedionte lo pruebo t-Student poro dos medios en los dos supuestos de iguoldod y no iguoldod de

vorionzos.

Cólculo de los estodísticos descríptivos bósicos

Poro los dotos del ejemplo se tiene que los tomoños muestroles son: nl = 7 Y nz = 10. Los medios y los

desviociones típicos poro los dos grupos son:\-

;,=Z*" =181 =25.g57rnr 7

*, = I *r,

-262 =262ooon2 l0

sr=

s2=

= 9.8561

donde xr¡ indico los volores de lo vorioble Rto poro el grupo '1

poro el grupo 2.

= 8.8669

y x2¡ indico los volores de lo vqrioble Rto;-'tk'' -;')'

Cólculo del IC9O7. poro lo diterencia de medios suponiendo igualdod de voriqnzos ,

poro colculor el TCSO% poro lo diferencio de medios se necesilo colculor el error estóndor d¿ lo

diferencio de medios que,enel supuesto de iguoldod de vorionzos, tiene.lo expresión:

#r(*,,

EEft, - "r)=donde s2 recibeel nombre de vorionzaconjunto ("pooled vorionce"), gue tiene por expresión:

s2 - (n, -l)si + (n, -l)s3

= 86.0305' n r+nr-2con lo que:

t--\

EE(x, .xr)=

En segundo lugor poro colculor drc d"r.odo se necesito el volor de lo t-Siudent t1-o¡2'nlPoro d = o'10

(confúnzo ¿efgoz)ycongrodos de llbertod gl= (n1 - 1)+ (n2 - 1)= (nr +nz - 2) = 15, gue resulto ser t1-

a/z:st= 1.7531, con lo gue el intervolo de conf ionzo buscodo es:

ICeo%(;, - ;; ) = [F"' - ;, ) t t,-",,,,, EE F', - *, )]

= l- o.t' +29 r 1 .3 53 | . 4.s7 0g)= [- t. I s s I ; 7 .67 02]

que cubre ol volor de cero poro lo diferencio de medios poblocionoles de los dos grupos'

Cólculo del TC9Q7. poro la diferencio de medios suponiendo no iguoldod de vqrianzos

poro colculor el'lC9O% poro la difere.ncio de medios se necesito colculor el error estóndor de lo

diferencio de medios que,enel supuesfo de no iguoldod de vorionzos,tiene lo expresión:

/--\EE(x' -xz)=

En segundo lugor poro colculor ZltC deseodo se necesito el volor de lo t-Studenl \-o¡2tnlporo cr = 0'10

(conf ionzo del9O'/"¡ y con grodos de libertod l]

O"1trf . lo siguiente expresión:

., - [Bgl*' - *'J] =r2.r290b'

-l[ee(;,)l' * -l-br(.,)]'r -l'' n, - I -

que resulto ser t1-ú/2:st= 1.7807, con lo que,el intervolo de confionzo buScodo es:

IC90%(xr - xz)=lf*, -;r)t t,-",r,r'EEfx, -;' )]

=l-o.s+zt tt .7807 ' 4.66261=[- a.o+so ;7 .9s99]

gue cubre ol volor. de cero paro lo diferenciode medios poblocionoles de los dos grupos.

Cálculo de lo pruebo t-Studeni poro lo diferenciq de medios suponiendo igualdod de vorionzos

poro llevor o cobo el controsie requerido se construye el estodístico de controste experimentol f dodo

por:L

que bojo lo hipótesis nulo sigue uno distribución t-Studenl con grodos de libertod gl = (n1 - 1) + (n2 - 1) =

(nr * nz - 2) = 15 , que tiene osociodo un p-volor de 0 '9412'

ffr*l):4.570eil (n' n, )

EE(;,)'/- \t

+ EE(x, )'

;r, . *T4:.

.I'.r1

cdbulo de b Pruebs

Poro llevor 6 cabo el

Por:

t-Student poro la

controste requerido

diferencio de medíos suponiendo no iguoldod de vorionzcs

se construye el estadístico de controste experimentol t dcdo

que boio lo hiPótesis nulo sigue

ol :

uno distribución t-Student con grodos de libertad gl dodos por:

fm(;, -;,)l'= 12.1290

quetiene osociodo un p-volor de0.9426.

fntervolo de confionzo pors el cociente de vorionzos y piuebo F-Snedecor poro dos vorionzosPoro los dotos experimentoles onteriores, colculor un intervolo de confianza al 95% poro el cocienle de

vorionzos y realizar el siguiente controste:H6:o1-62=QH1:o1 -c2*O o

medionte lo pruebo F-Snedecor de comporoción de vorionzos.

Cólculo del IC957" poro el cociente de vorionzos '

Lo expresión poro colculor elTC95% poro el cociente de voriqnzos es:

-f- hr F, )]' * --!- lrr F, )]'

( si/ )

"í )_l /,i .,i, I

": )- [ t--,r-, ' I '-'-" rz;utaut'

J

rcss%(+)= ¡o rruo' a.n+sl["] J

proporciono el intervolo de confianza buscodo.

IC95%

donde: gln son los grodos de libertod del numerodor gue se colculon como el tomoño muestrol del grupocon moyor vorionzo muestrol menos uno, gld son los grodos de libertod del denominodor que se colculoncomo el tomoño muestrol del grupo con menor vorionzo muestrol menos uno,F1-¡2;9tn; gtd es 4.3t97 poro a

= 0.05, gln= 6, gld = 9 y Ft,,tz:std:stnes5.5234 poro o = 0.05, gld= 9,gln= 6, con lo que el intervolo:

Cólculo de

Poro llevor

por:

que bojo lo

numerodor =

0.7440.

lo pruebo F-Snedecor poro lo iguoldod de vorionzos

o cobo el controste requerido se construye el estodístico de controste experimentol F dodo

con gln los grodos de libertod del

9, qu. tiene osociodo un P-volor de

m¿x{s3: sl }F =--:-i3=1.2356

mntsi;s;Jhipótesis nulo sigue uno distribución F-Snedecor6 y gld los grodos de libertod del denominodor =