SZOLF Gazdmat I Feladatgyűjtemény
-
Upload
nczadrienn -
Category
Documents
-
view
229 -
download
1
Transcript of SZOLF Gazdmat I Feladatgyűjtemény
-
7/25/2019 SZOLF Gazdmat I Feladatgyjtemny
1/138
szolnoki
r
iskola
G
AZDASGI
MATEMATIKA
I.
feladatgy jtem ny
i
l
a
SZoLNoK
2006
i
-
7/25/2019 SZOLF Gazdmat I Feladatgyjtemny
2/138
Szeru
k:
I.fejezet
Libor Juen dl
f
iskolai
docens
II.
fejezet
Madaras Ldszl
n
dn
J
iskolai tanr
III.
fejezet
Madaras Lszln
dn
J
skolai
tanb
:
IV
fejezet
Hanich Juef
f
iskolai docens
11
fejezet
Nagt
Tams
f
iskola adjunhus
VI.fejaet
Feh r
M rla
f
slolai
djunhus
YIL
fejezet
Hanch Juef
skolai docens
WII.
fejezetLtbor
Juefn
f
iskola docens
Lektorlta:
Dn Kllncs k Mthdly
f
iskolai
tanr
szerkesztelle:
Fehr Mr a
l
slala djunhus
Felel s
k ad:
szoLNoKI
F
IsKoI}l
Dr Tans
k
va
Tbrjeszt :
STUDENT
Szaklc
nytElet
Kfi.
Nyomdai munkIatok:
Prinlex
'96
Kll, SzoInoL
Mrt rok
u. 25.
Tel.:
56/4l4-9l9,
Fc:
56/5l3-50I
www.prlnlu96.hu
Felel
s
vezet
:
T
m
svri
Sndor
ilgmezet igugat
Minden
jogfennlarNa
A
kiad
engedlye n lkilli utnnyomas tilos
nlsz
A feladatgytijtem ny k sz t s nek
lja az volt, hogy segtsen a Szolnoki
F iskola
els
ves,
gazdasgi
matematikt tanul
hallgatnak
az
anal zis alapvet
fogatmainak,
mdszereinek
kiiltinb
z szint i feladatok
seg tsg vel
i'rt n etsajt tsban,
az
alkalmazshoz sztiks ges
k szs gek
kialak tsban,
megk
nny tse a dolgozatokra,
vizsgkra
val
felk sztil st.
Ezrt
a
Gazdasgi Matematika
I.
feladatgyujtem ny
az
oktatsunkban
alkalmazott
,,Matematika
K
zgazdszoknak"
sorozat
Anal zis
(Szerkesette:
Dr. Csernyk
Lszl)
c. tank
nyvnek
nlunk
oktaton
t mira
pi,ll.
Fk nt
azokbol
a
p ldkb
tartalmaz
gytijtemnyt,
amelyeket
oktatnk
az anyag
elsajt ttatshoz
munkjuk
sorrin az
utbbi
vekben
alkalmaak.
gy
u feladatok
kOzt tt elfordulnak
ismert
feladatok
is.
'
A
p ldatrir
minden
fejezete
hrom
r szb ll. Az rt,hory
a
hallgatk
feladatmegold
k pessgilket tarrri
seg tsg
nlk l nrillan
is kialak thassk,
minden fejezetet
az
adott
t mban elfordul
legfontosbb
feladatt pusok
megoldrisnak
r szletes
bemutats{val
kezdtink.
Csak ezek
ttanulm,nyozsa,
meg rtseutn rdemes
a,
feladatok
nll
megoldsrihoz hozzkezdeni.
Az
t
nll p ldamegoldsokat
a megoldst
seg t
tmutatsokkal seg tettiik,
majd
a
harmadik
r szben
'csak
a
fe|adatok
v geredm nyeit
k
ztiltiik.
A nehezebbnek
ttin
feladatok
megoldsrinak
sikertelensge eset n
javasoljuk,
hogy
t rjenek
vissza
az el z
,
r szletesebben
bemutatott r szek
feladatainak
jbi
ttanulmnyozs toz.
A feladatgyujtem ny
vg n
allhat
irodalomjegyz k
tartalmrya
q felha
znlt
s
javasolt
irodalmat,
amelyeknek
a
seg ts g vel
hallgatnk
bv thetik
ismereteiket.
Rem ljiik, hogy akik
gondosan
megoldjri,k az
ltalunk
kijeltllt
feladatokat,gzok
smfua
a
p ldatar
az anal zis
tanulst
megktinny ti.
A feladatgyujtemny
kszt
2006. Szolnok
r].,"
-
7/25/2019 SZOLF Gazdmat I Feladatgyjtemny
3/138
a
.:
n
TARTALOMJEGYZ K
2.
-
7/25/2019 SZOLF Gazdmat I Feladatgyjtemny
4/138
5.
^R+ft
t pustifilggv nyek
dffirencihnyadosa
s
derivltfitggl nye............I22
5.1.
Differenciahnyados-filggv ny,
differencilhatsg............
..........t22
Mintafeladatok...........
......l22
Felndatok
.......l23
5.2.
Derivltfiiggv ny
.......l24
Feladatok
.......l25
.............
l3l
6.
8' IntegrdlSZdm tdS,..........................................o........................i;.a..;'......j.;,,r..-.*....226
8.2
Hatrozott
integrl
s
tulajdonsgai,
Newton-Leibniz-szably,
improprius
integrl.....
........236
Mintafeladatok.............
....236
Feladatok
.......237
8.3
_Hatrozott
integrl
alkalmazsai.........
....................................
...,.....242
Mintafeladatok.............
....242
Feladatok
.......246
.,L
il
N ego ldsok
a nyolcadik
fej ezeth
ez...........-.
2t9
-
7/25/2019 SZOLF Gazdmat I Feladatgyjtemny
5/138
:
:r
,(r
:lc
..
1
I
,i,
.l
:
,
]a]
l
,]
l
;
'},
L l
i
I
, f-_
;
I
I
1
tr.,
-=
I
I
,:
-l5
'
I
l
l.j
..
---l
I
;,t3
.:
l
I
]ul
]:
--r
l
.,J
..(J
.,:
l
l
l
l
. l i.itlr-? lr.i.,{i ;r l
ir
ir
'i;11;: l ;ltlr [i
1.
Halmazelmeleti
alapfogalmak
1.1. Alapfogalmak
Mintafeladatok
l. Az til.ibbi
tttegltatr
-
7/25/2019 SZOLF Gazdmat I Feladatgyjtemny
6/138
l.
tlalnlazelltlelet alaplOgallllak
M e
go
Ids : Egyelemti
r salmazok:
k telemti
r szhalmazok:
hromelemti r szhal
maz :
sv giil amit
gyakran
r salmaza.
{_l}, {0},
{l),
(_1,0},
{-1,1},
{0,1),
{-1,0,1}
elfelejtiink,
az
iires
halmaz,
mely minden
halmaznak
l. Urazotla
.
a) szmegyenesen
az A:
{xeR
l
l
*
+
l/x
l
>
2| halmazt illetve
b)
s kbeli
koordintarendszerben a
B:
{(x,
y)eR2l
1x-S;'+1y+l)'};
c)
C
:
{x I
x e R
s
x2-3x+2=0};
d) D
=
(okos
gondolatok};
e)
E=
{a
magyar
krtya
sz nei}?
1.2.
Sorolja fel a
k vetkezohalmaz
elemeit:
A=
{ag5O-nl kisebb
pr msziimok};
3
=
{99
osa};
g=
{l92
s729
k
z
soszt};
D
=
{az
}-
=
2 egyenlet
pozit v
gy kei};
B
=
{x2+-lx
0,125};
Ar
=
{n
e N
l
n
pratlan
s 0
0, azaz
Dt
=b.
Rl- asxsa\.
2.2.
x'-5x+4*0,
azaz
x*l s x+4. Az rtelmez si
artomi,ny
ez rt
4={rei|x*l,x*4|
2.3.
A
kifejez s
azon
vals
szmokra
rtelmeet
,
amelyekre
egyr szt
: }
,
g,
5
^"a?-x2
+2x>0, msr s
'n_
x2 +2x
)_0,
azaz
-
x2
-+2x
>l.
Az
els egyenlttlens g
55
megoldsa
0 O}.
2.5.
R,
=
R.
2.6.
R
=
f(x)e
n s
G)*
ql.
46
47
l,
l
l
,{
s
xt'
i
l
I
)j
,JJ-_
=';
2.7, R
=
{rG).
n|l(,)
0
-hoz meg tudtuk hatrozni
a
k isz
bszmot,
2.
Igazoljuk
a
tgabb
rtelemben
vett
hatr rtk
defin cija
alapjn,
hogy az
an
sorozatnak
l tezik
tgabb
rtelemben
vett hatrrt ke,
s
m##
=
*co
Megoldsz
A
defrrn ci
alapjn
be
kell
ltnunk,
hogy
brme|y
P
e Rt
szmhoz
l tezik
olYan
no N.
kiiszobszm,
hogy
valahiinyszor
,?
>
no,
mindannyiszor
a,
) P
Legyen
most
p=l000,
ekkor
oldjuk
meg az
*}*,
r,
azaz
+-1]g
>
1000
,
----P
3n
+
500
3lr
+
500
egyenl tlens get.
Mivel
n2+l0
u
"...r-'|==
=+=+,ezaztjelenti,hogyha
*rr,
vtlvwl
3n+500'
3n+500
-
3n+500n
503n
503'
503
akkor
n2
+l0
, ,
is
fennll.
Az
,
p,
teljesiil, ha
n
>
503p,
gy
Avt
3n+500-'
503
no
=503P
=503.1000
=503000.Teht
fl)
fro=503000
eset n
dn)
P,a?az
lno"
=
*
3.
Vizsgljuk
meg,
hogy
az
,,
=
+
sorozat
elemei
hnyadik
tagt
kezdve
esnek
a
"
n+l
hatarrt k
e=
l0-1 sugaru
k rnyezetbe
h egolds: Elsz
r
a
sorozat
hatrrt k t
kell
meghatroznunk.
Ehhez
elosztjuk
a szmllt
s
a
nevez
t
is az
n
el
fordul
legmagasabb hatvnyval,
jelenleg
n,e|,
azaz
o,
=
jT
l.rr.
t+l
tv ivel
a
szmll
konstans,
hatrrt ke
onmaga,
a
nevez
be" *
.I)
sorozat
Xonu.']"n'
e'
(r/
hatr rt ke
0. iw
u
nevez
hatr rt ke
l+0=l
,
azaz a
t
rt
hatr rt ke
=
S,
teht
l
}
*=},**=,,
f--
n2
+l0
=-
3rr + 500
A hatr rt k
defin cija
szerint ekkor brmety
e>
0
_hoz,
lgy
e=
t
0-'
-hez
is
megadhat olyan
llo e N'
kilsztJbsznl,
trogy
vttlnltrittysztrr ,,
>
,,o.
tttitttttttttryisztrr
llt
l.rill
-
rl
.*
egyenltlens g
teljesi,lt
^,
l#-r|
=l-*-|
=l*l
=*
-
7/25/2019 SZOLF Gazdmat I Feladatgyjtemny
38/138
,..[n+2)"'
=
,--[2+l,/
7.
llap tsuk
meg,
hogy konvergens-e
az'
a,
=(-|)"#*sorozat
I|IegoldszHa
n
pros,
akkor lim(+
'lli"r'?=rr^'-t=2,
hu
n
priratlan, akkor
2n'+3
n_..r, J
2'
I
'n'
l*(-
r
#=rrrr'=-:.Mivel
minden sorozatnak
legfeljebb
egy hatarrt ke
",7
lehet s most
kt
torldasi
helyet is
tallrunk,
ezrt
a megadott
sorozat nem konvergens,
azaz
divergens.
8.
L .tezik-e
hatrir rt ke
az,
on
=F'I(;)"
sorozatnak?
Megolr sz
Mivel
a megadott
sorozat felbonthat
egy korltos
sorozat
(-lI)
er.gy
0-hoz
tart soroza,
'}g(;)
=
0
)
szorza
tfu:4 ez rtl,*(- ,I(;)"
=
0
a
tanult
tel alapjrin.
9.
Szmtsuk
ki
a
l,*(r,
-.F
-?)hatr rt ket
Megoldsz Mivel
most tagonk nt
vvea
hatr rtket
a
oo
-
o
tpusrhatrozatlan
kifejezshez
jutunk,
alak tsuk
t
a
sorozat
kplet t
azonos
talaktssal
rigy,
hogy a
hatrozatlansg
megsztinjtin.
ekkor
l,g(r,
-.t"\r)=l*r[r
-
/'
-
*)=
-.(2-1) =
.o
.
10. llap tsuk
meg
mh
-
Jl-
l)
sorozat hatr rt k t
Megoldsz
Tagonk nt
v vea
hatar rt ket
most is
a
.o-co
t pusir hatrozatlan
kifejezshez
jutunk,
de
most az
el z
talak tsunk
sem
lesz c lravezeto,
mert n-t
kiemelve
a
-.(l
-
l)=
oo
.0
hatarozatlan
kifejez shez
jutnnk.
Ez rt
bov tstik
most
a kifejez st a
konjugltjval. Ekkor
,{ ]
,-[fi]
*(i),
,
66
67
Feladatok
Szmtsuk
ki a ktivetkez
sorozatok
hatrrrt ket
(n
e lr-)t
3.4l. lim3n
-
2n+|
=:
"-'
;;
5n2
+9000
,
3.42.
lim
,n
+2
=,
"-'
;;;3n2 _8n+5
,
3.43. lim
,3T'+_? =;
n-o
,nr +700n
s.la.
rr^ :2
=,
3.45.
lim12
-3
=;
n+o
]2a1
3.46.
lim
_
4f
'
15 =;
n+o
Jn'
_)n
'.Or.'^ffi
=,
n+
n
+9
'.Or.
''*@=,
''-'
;;;
,J;,
_
i,n
'.Or.rr^'W=,
'-l5n2
-6n
i-:-
i
t
ln
3.
szm
orozatok
s
sorok
3.
szmsorozatok
s
sorok
-
7/25/2019 SZOLF Gazdmat I Feladatgyjtemny
39/138
:--
,.n
r--
--
l
]
i]n
r---
I
I
I
l,n
r-
l,
l.n
|---
I
l,
l
-l
r-
I
l
l:
,,
I
l
I
l_
l
-7,
:
-n
-*rl
]
T- 11
:
;--F
l
I
3.50.
lim@E=,
t+@
trr
+n-n
3.5l.
li*(.fi-+l
-r)=,
3.52.
li*(Js,,'
+
3
-
n)=,
3.53. l,*(.6r\
2,
J
-rr)=
;
3.54. lTi(fi
(.fi'
-Ji))=,
ll
-;t-
3.55. lim+_
=;
;*-
'n
lso
*(r
i)
(,-+)
[,-i)
(,-*)=
,.rr.|yW='
3.53.
1i*filfr.,2
=;
l
r.sg. ti,n '
*|);
=
ha
n 22:
n_.fn-l,/
0.0O.
ri* ,-
=
=;
n+o
$I
a
$-r
ha n22;
3.6r.
limf'-'_
)" =,
n--\t?-5/
3.62.
lim(zn+3')'
'=1
-----
;r;[
2n
-2
)
'
3.63.
limf4n
+
l)'-3'
=
,
"-.\4n-3
)
s.ol.
|gi(r
*
(-
ly
.,)=;
3.65.
l'gb
-
(-
r}')=,
s.oo. lim[(-
r),
.
5'4'
-
1)
=.
,_-(,
,
4,
)-'
3.6?.
lim[(+)'
#i)='
3.68.
lim
n46
3.69.
lim
lt+
.l
l
l
l+-+-+".*-
3
9
3n-'
,
J3r'
*zor'
-lor-J5r'
_
l0r
-5
-
ha
n>2;
s.zo.
ria(Vlr +
r
-'.fi)=,
O r0
3.7t.
lim
-
;;;4,
+2, +2
,
3.
szmsorozatok
s
sorok
3.
szmsorozatok
s
sorok
-
7/25/2019 SZOLF Gazdmat I Feladatgyjtemny
40/138
s.lz.
lim(t*
ll"
=
,
,+\
n
)
s.zs.
tim l*a]"
=,
n+o\
l0
)
3.74.
lim(-
75Y
=i
s.zs. tim z
+
(-
rY
3n
')
=
,
''
'''
;i';1,
,
,,
4; + 5
)_
,
l.t6.
|imdTn+2
=;
3.77. lir ,2n'
*-:'-l
l]
=;
;;-(
3n
-7
)
73.8. lT(.,fi+5
-r)=.
3.79.
Vizsgljuk
l
r* ,
ha
"=I#,
ha
3.80.
Vizsgljuk
""= (i)',
ha
l n-l
l---_.
ha
|3n
+2
meg
a
k
-
7/25/2019 SZOLF Gazdmat I Feladatgyjtemny
41/138
r;
r-
']
i
r-
I-
l
I
r:
l
l
|-,
l-,
i
l
--rl
Mintafeladatok
l. V gezztik
el az a,
='*?,
sorozat teljes vizsglatt
n+4
l| egotds:
Sorozatok tetjes
vizsgtatn
ltlban
az elziiekben
ktil n-k iltjn
r szletezett
tulajdonsgok (monotonits,
korltossg,
konvergencia)
vizsglatt
rtjilk.
Jv[onolonits:
Mivel
on*|={'-l1-1
=+,
on,,_o^=t]_'*2
-
(n+l)+4 n+5
"
n+5
n+4
bl
d,+l-dn)O k vetkezik,
ez rt
o,,l)on
minden
neN"-ra
sorozat
szigoruan
monoton
n
vekv.
Korlrossg:
Mivel
a
sorozat szigoruan
monoton
n
,veked
,
ezrt
ats
korlda k
=
a,
=1.
)
Ilyenkor
az ats korlt
egyben az als hatrt
is
jelenti,
vagyis
inr
o,
=
1
.
A
fels
korlt
meghatrirozsthozhozzuk
a
kifejez st
:Z--(n+q)-Z
=|_
2
alakra.
"
n+4
n+4
n+4
-'-'--'
Ebb l
lthat,
hogya fels korlt
K
=
l. Teht a
sorozat
korttos,
|
< o^
.t.
)
Konvergencla:
Mivcl
minden
monoton,
korltos sorozat
konvergelts
(3.3
t tel),
ezrt
^
t*?
megadott
sorozatr
tudjuk,
hogy
konvergens
lesz.
Hatrir rt ke,
I:y#=
l,*__
=
r.
l+-
2.Y gezz
k el
az
o,
=
}=
-+
sorozat
teljes vizsglattl
(-
lI
2n
Megoldsz
Most
rdemes el sztir
a konvergencia
vizsglatval
sorozatot
G-,i,*D'0-
fennll.
Teht
a
,* ,
ha
o,=]
--1
-n
[-l-
+,
ha
n
paros
alakra.
Mivel
n
pratlan
ri.n
n--f
kezdeni.
Ehhez
hozzuk
a
=ri.,[r-ll=.,,
;1'J["
z
)=
'r'
*3*')
2n)
li*r-r-+)
=-2:,
ez rtasorozat
nem konvergens,
azazdivergens.
A
3.1 ttel
alapjan
n_-\
2,
)
-2'
egy
sorozatnak
legfeljebb
csak egy hatar rt ke
ehet.
,|),
3.100.
q,
=
,t7i
lthatjuk,
hogy
a,
nem
monoton.
Ugyanis
a,
= -1,
az
=
4t
-
2'
ol 1Q,,
gy
a
sorozat
nem
monoton.
ol
=
-2,
vagyis
a, >
a,
de
Korltossg:
K pezz ik
a
sorozat
tagjainak
abszol
t rtkt|
3
3+nl
3+n
lPr-
2r|s3+-:-:
-
7/25/2019 SZOLF Gazdmat I Feladatgyjtemny
42/138
2n2
+3
3.10l.
cln
=
--j-
i
n-
3.t02.
a,
=(-rY
+
3.2.5
Ellenrz
feladatok
3.103.
Adjunk
megaz
o,
=tP,
ne N'
sorozatnak
legalbb kt als
korltjt
3.104.
|gaz-e,hogy
az
,,
=
#sorozatnak
a2 egyfels
korltja?
2
3.105. Keressi.ik
meg
azalbbi
sorozatok
torldsi
pondait:
7
l
15
l
2,-l').
8'
G' 16'
"'l
T'
-T-
)'
l3l
'
a'
8'-
(;,
:,
b\
-2,
:,
c)
l, 0,
l,
3.106.
llaptsuk
meg,
hogy
konvergens
-e az an
-
1
* ,(-t)"
sorozat
3.107.
Adjuk
meg
az ,,=L
sorozat olyan
r szsorozatt,
amelyet
az
adott sorozatb
rgy
kapunk,
hogy
az
els tz
tago? elhagyjuk
3.108. |gaz-e,
hogy
ha
egy
sorozatban
v gessok
tag rt ktmegvltoaaduk:
a sorozathoz
v ges
sok
tagot
hozzvesztink;
illewe
a
v ges sok tagot elhagyunk.
akkor sem
a
konvergencijt,
sem
a hatr rt k t
em
vltoztatjuk
meg?
edik hnyadost
kifeje z st,
azdivergens
lesz
an
3.110.
Vizsgljuk
meg,
hogy
l tezik-e
olyan sorozat,
amelynek
a ll-n l
kisebb
pozitv
term szetes szmok
mind torldsi pontjai
3.3. V gtelen
sorok
Mintafeladatok
t.Kpezz;JU
"
'(-l|-l
numerikus
sor
r szlet
sszegeinek
sorozatt
llaptsuk
meg,
hogy
r-l
konvergens-e
a
fel rt
sor
Megoldsz
Mivel
i(-,)'-'
=l+(-l)+l+(-r)*r+(-r)+...
s
n=l
r szlet
sszegek sorozata:
sn
=Za, =ot*az*...*o1l
a
l=l
.,
=a, =l,
z
=d|
*ar=l+(-t)=O,
3
=dt
+a2+ol=|+(-l)+l=l,
l =0,
t
=l,
szmokb
ll sorozat
lesz.
Mivel az
l,
0, l,
0,.
...
sorozat nem
konvergens,
ezrt. a
(-')'
numerikus
sor sem lesz konvergens.
z. rjut< el az(i)'-(+)
-(+)'-(i)'-
-(;)"'+...
v gtelen
sor
r szlettisszegeinek
sorozatt,
majd
k pezziik
ennek
a hatarrt k t
llap tsuk
meg,
hogy
konvergens_e
a
megadott
sor?
Megolddsz
A r szlet
sszegek
sn sorozata:
l 6 l l ?l
l],-,
st
=l,
z=l+;=;,
r=l+i-*
=*,
n=l***...-[;I'='r,'
,
5-,
Fellrasznltuk,
ho
l
gy
,
egy
,
kvciensti
m rtani
sorozat, s
ltalban
a
+
aq
+
aq'
+
",
+
,qn-'
-
,q"
-,l
q-|
75
l
3.
szmsorozatok
s
sorok
')'
_,
3.
szmsorozatok
s
sorok
mega
-
7/25/2019 SZOLF Gazdmat I Feladatgyjtemny
43/138
K pezve
*
(r^)
sorozat
hatr rtk t:
1,1r,
=1111+=i.
Miu"l
a r sztet
sszegek
5
sorozata
konvergens, w a v gtelen
sor
konvergencijra
vonatkoz
defin ci
szerint
a
megadott sor
is konvergens
sd,sszege
megegyezik
a fenti
hatri,r rt kkel.
Teht
(i),'=;
3.Hatfuoznlk
meg
"
t;1; 11
v gtelen
sor
sszeg t
Megoldsz
A r szlet
sszegek sorozata
-
l
,
l
--=l*l
=(,-;)-[;-i),
,.=(,j)-(j
j)+
+(;
*)
,
=-=l__.
s,
'
|.2
2'
'
|.2 2.3
t
K pezve
u
l,
,"=m[(,-;)-(i
i)+
+(;
*)]
=,*(,
*)=l.
Mivel
a
r szlettjsszegek
sorozata konvergens, ez rt
a megadott
sor
is konvergens
e.
f___1-
-
,.
-
fr
n(n
+|)
4. Vizsgljuk
meg,
hogy konvergens
lehet-.
u
f
Jn-
,or2
fr
n+l
Megolds:
Mivel
most
liman
=
lh+
=
in-1
=5,
ezrt
a
konvergencia
sziiks ges
n)a
n)@n+'
,".r*i
felt tele,
ti.
lima,
=
0
felt tel nem teljesiil,
teht
a
sor
nem
lehet
konvergens.
5.
Hatrozzuk
meg
az
l+i-;***,..
v gtelen m rtani
sor
sszeg t,
amennyiben
l tezik
Megolds:Mivel
t+?*;-*{...
=(;I
-(i)
-[3)'
-(iI
-
-(i)''
+...,
ezrt
a
3.1 l t tel
alapjn vizsglvaa feladatot
lthatjuk,
hogy q
=
?.
Miu.l
lql
.
l
fennll,
ezr
76
tro"'
|-q
g
2
\'-' l
}l.;]
=;=',
3
6,Harrozzuk
meg
az
l+}-i-+*...
sor
sszeg t,
amennyiben
l tezik
Megolds:
Mivel
l+1+i-+*...
=(;)'-(;)'
-[;)'
- -(;)"'
+...,
ez rtmost
a
?
q
=;
,
lql
,
t
miatt
a
megadott
sor
divergens.
Feladatok
3.1ll.
llap tsuk
meg
a
l*f
*]*l
3
2
4
8
+
...
*
T
*...
son,
hogy
konvergens-e,
s
ha igen,
szmtsuk
ki
az
sszeg t
3.112.
Iatrozzame^^-'
l l
l
:gaz
I*T*
?T+.
.-G+...
sor
-
7/25/2019 SZOLF Gazdmat I Feladatgyjtemny
44/138
l4ll
3.117.
'-o
*
G-a*Tfr-",,
3l+3n
+5n
3.tl8.
*
u
-'
444
3.119.
2+-+
-+--+",;
3.120.
l
+ 8
+
27
+ 64
+|25
+ ",
;
3.t2l.
-
1,5
+
2,25
-
3,37
5
+ 5,0625
-
",
;
r--l
3.122. )
-
='
?"2n
g20
3.123.
}{orY
='
lll
3.125.
ir+,3
a+1.
+ +
",
+
3.124.i J)"
=,
fr\n
)
n.(n+t),(rr+Z)
(_t
_2
-7
_5 _l3
\
r.t'[T's'n'7'16'"')'
..r. o. . .1.?.
').
''''
["'r'''
5'3'
)
rg
l-
to'
3.9.
(1,1,2,3,5,8,13,2
l,...).
.,.[,F'
..r.
(o,J,],;,1,;,
)
,.r.(+,+,o,;,i,.
)
n E mB
l,l", *, m""J,
,.r.
(o,|,o
,|,4,1,4,2,4,;,
).
l.u.
(s,},l,;,T,
)
z.l.(t,), ,f,#
)
,.,o.(u,J,+,#,
)
s.,,.
(j,],i,1,;,
)
t-
3.
Szmsorozatok
s
sorok
-
Megolds
,.,r.(I,1,*,*,*'
l
3.
Szmsorozatok
ssorok
-
Megolds
3.25. Szigoruan
monoton
n
-
7/25/2019 SZOLF Gazdmat I Feladatgyjtemny
45/138
r-
l-:
l,
_
t-:
r^
[-
r:
r:
r"
,
}-
[,
-]
-]
-]
)
3.13. a,
=
n1 ,
=
(-
r)r(r
-
l0-,).
=I*,
ha n
l
2r,_,,
ha
n
3.14.
a,
=
(-t|
n'
.
3.15.
a,
=
(-
tI-'
U}
3.16.
a,
=
l0-o
.
3.17.
a,
3.18.
4
pratlan
pros
3.19.
a,
=
l,
dz
=
2,
a,
=
2an_,
+
5a,_2, ha
n
>-
3
.
3.20,
ar=), o2=3,
on=Qr_|-dn_2l
ha
n>3.
3.2l.
a.=
#
l
l l
-l
.22.
,,l=;*,,
s mivel
o,,1-o,=fj-;=ffi.O,
n e
N'-ra, a
megadott
sorozat szigoruan
monoton
cstikken
.
3.23. Szigoruan
monoton csokkeno.
3.2{. A
sorozat nem monoton.
teht
o,,l
1on
minden
3.2.
Ha n
2 2
-re
a sorozat
cs
kken
.
3.27.
A sorozat
nem
monoton.
3.28. Monoton
cs
-
7/25/2019 SZOLF Gazdmat I Feladatgyjtemny
46/138
1.1r.
rm
T', *:ol
=
l**u#
=
n+a
Jn'
+ 900
J
_r_
___;_
|
-2
3.42.
lim
=n
+2
=
lim
n
=
n'=
=
0.
n-aJn -8n+J n--.
5
J--+-;
nn'
3.43. i^
3:'+2,
t'*?
-.-,-
i,:
4;1^o;=
l'
;
=
+@.
3.44. lim3n
-2
=
ti,nfr
-
?]
=
,.
,,+o
n
'+
\
n)
_2
3.45. lim5"'
-2
=
tint",'
={co.
n+o
Jn.r-|
a-.
.
l
J+-
_4
5
3.46.
li,n-4:'+5
=
11r7*f
=o.
n+o
n'_)n
n-
36,
majd
.
dD
35
sorozat
tagjai
a
36.
tagt kezdve
esnek
a
hatrir rt kadott sugaru
k
rnyezetbe.
3.88.
lim
4+
=2.K pezve
az|a,_ el.a
sszeftig.er,
|2'-:
_2l=
","",;-;nr_s
lY--|w,
lnr_s
-l
F---ll
];
l.
|.
j---I
J
-|z"-t-z"+tol
=l+l
=
,9
= 400, n>20.
3.90. Lasd
a
kidolgozott
2. mintap ldt
l#-r|
=i.*,ahonnan
la,',;
-
rl
=
l#l
.
#
egyenl tlens get megoldva
ilo
=
3l addik. Teht a
sorozat tagjai
a 32.
tagt kezdve esnek
a
hatr rt kadott sugaru
ktimyezet be.
3.87.
fimf,ffi
=
H#*
=
1
* o.,
ve
az|a^- el.e,sszefi,igg st
|
(-
r)r *
+,
_
=
1rity
?o,
--o(-ty:-zo,|
_
|(-
r|-' +
s,r
5l
l
s(-
l|-'
+ 5nJ
I
n
paros
.
Megoldva
n
pratlan
3.92. A
U+>
200
egyenl
tlens g
megotd
sa:
n> l0l.
n+|
I
3.93.
lim a"
1,
teht
a
sorozat
konvergens.
Mivel
konvergens
,
ez rtkorltos
is,
.l
3
n4@3-9
Megvizsglva
az
n2 +2n+3
n2
+2
-l0n-, '
"'=
O'
o,+l-o^
=
1E;6;*
4-rTT
=@
kiil
nbs get
lthat,
hogy
a
szmll
brirmely
n e
N*-ra
negat v,
anevez pedig
pozit v,
a,*l
-
ao 1
0
minden
n
e
N*
-ra,
teht
a
sorozat
szigoruan
monoton cstjkken
.
3.94. talak
tva
az
sszeftigg st
an
-
2*+=
f|
addik.
ryo,=
3, teht
a sorozat
konvergens.
Mivel
konu..g.n,
,
ez rt
korltos
is,
0,a*l)
l+0
x
lna
nevezetes
hatr{rrt keket
hasznlhaduk
fel.
li.3,
-l
=tiJ 3'
-l)
=
1,n,
r+0
5x
,-o\.5
x
)
5
r+ox:+o\.x)ln39)
Feladatok
Hatrozza
meg a
k
vetkez
iiggv nyek
hatr rt k t
{.66.
lim
sin
2
:
r+0
5x
.|.67.
limsin2r:
,-
5x
4.68.
lim'87x
:
r+0
5x
4.69.
li.,in(2'-
4)
.
-----,;
x_2
,
4.70.
lim
3r
:
r+0
5in 1
'
,r.zr.
tirf,'+l]
;
I{e\
X
)
]
.-,-\
x
)
'
o.rr.
,._f
2x+3'1"'
,-^\2x
-
5
)
o.ro. ,.^(Zx
+l\'-'
,--\2x+l,/
,r
^
r 2r+{
4.75. lim jll
,--\
5
-
2,/
l.ze.
li*[I,1]"-'
..+@\
X
)
,'
m(+)
,
l.zg.
li. '-l )"
'
,--\y
+2
)
4.79.
lim
I4q
o.ro.
,.n.,[
zx
-
l
)'--
.._-\
x+2/
4.8l.
4.
Egyvltozs
vals
fiiggv nyek hatr rt ke
s
folytorros;
4.82.
liry(l
+z)1;
,a
{. t
8,),valtozs
valos ltiggvgnyek
ltatr rteKe
es tolyttltttlssaga
A
fiiggv ny folytonos,
mivel az r elmezsi
artomny
minden
pontjban
folytonos
(az
x=2
nem eleme az
rtelmez si
artomnynak ).
&_
-
7/25/2019 SZOLF Gazdmat I Feladatgyjtemny
58/138
4.83. nq(l
+
sr)i
;
l.al.
riqd'1,)'_,
4.86. limxe lr:
r-r0
5x'
l.sz. ri*]9g
_-t.
4.2. Foly onossg
Mintafeladatok
1.
Vizsglja a
kovetkez
fiiggv ny
folytonossgt
az
rtelmez si
'artomnyn:
x'-
4
(x)==,
x
e R\{2}
Megolds: Az
f
ftiggv ny
gy
s megadhat:
/(x)
=
x12, x
e rR\{2} Az
f fiiggv ny
grafikonjanak
k pe
az
albbi:
l.as.
ri4[9rn(,+r),);
l06
2. Vizsglja a
k
-
7/25/2019 SZOLF Gazdmat I Feladatgyjtemny
59/138
J
,1
J
.{
l
J
]
]
4.
Vizsglja
a ktivetkez
ftiggv ny
folytonossgt
az _rtelme_zsi
tartomnyn:
(x+2.
x e }--.2[
/(r)
=
{
l*
,
*.
L,-[
''
Megol ds : Az/filggv ny
grafikonj
nak
Az/fttggvny az
rtelmez si artomany
(
r
=
2
nem
r sze az
rtelmez si
artomanynak )
minden
pontjban
folytonos,
ezrt folytonos.
5. Vizsglja
a
k
vetkez
ftlggv ny
folytonossgt
az
rtelmez si artomnyn:
fx+2,
x e
|.o,2[
/(x)={
5
,
x=2
Ir*
,
x
F,-[
Megolds: Az/fitggvny
gra ikonjnak
]
]
k pe
az albbi:
/
k pe az
albbi
/
/
/
:
]
i:
]
i
:]
]
]
1
l08
nem folytonos.
6.
Vizsglja
a k
vetkez
fi.iggv ny
folytonos
sgt
az rtelmez si
artomnyn:
(x)={x+2,
*,l--,.'],
ll*
,
x
P,-[
I}Iegoldds:
Az/fiiggv ny
grafikonjnak
kpe az albbi:
Az
x
=
2 helyen
kell
vizsglni
a fiiggv nyt,
mert
az
rtelmez si
folytonos.
A helyettes t si
rt k
(2)
=
4, l,rg/(.v)
,ljPo, (')
=
4
*, To/(x)
=
),
vagyis
a fiiggv ny
nem
folytonos.
Az
e|z feladattal
ellent tben
most
viszont
f(2)=,lpo/(r)=4,
teht
az
x=2 helyen
a
fttggv ny
balr
folytonos.
Feladatok
Vizsglja
a
ktjvetkez
ftiggv nyek
folytonossgt
az
rtelmezsi
tartomny:
a.88.
/(x)=3'
+l,
xeR\{l};
-l,
xeR\{t}.
_,
5
,
x=l
tartomny
t
bbi pontjban
nem
l tezik
.
(hiszen
("l,
/(.) =
t
4.89.
l09
4. Egyvltozs
vals
fiiggv nyek
hatr rt ke
s
folyto\_
Jssga
[(x-t)'+s,
xe|-,t[
4.
Egyv '
.zs,
vals fiiggv n
,'
,xeR-
I
4.100.
(x\={
l
,x=0
;
l
t2'*l
,x
R'
-
7/25/2019 SZOLF Gazdmat I Feladatgyjtemny
60/138
a.90. (x)=.l
l0
,
x=l
;
I
rn*
,
xe},-[
,r.lr.
/(x)=|r-l|,
x
e
R;
a.9Z./(x)=[x}
xeR;
4.93.
/(x)=[x},
xeR;
-l
,xelt-
0
,x=0
;
l
,xeR*
x e
R\{0};
-jr
.94.
f
(x)
=
4.95.
f
(x)
=
a.96.
f(x\=+3,
x
R\(-3,3};
x
e
|-,l].
xe},-[
'
xeRf
.
x
R*'
,xeR-.
,xeRj'
-t
1.1l.
/(.r)={
x
4.10l.
/(,)
=
{
#
,xeR\{t}.
3
,x=l
,'l
.
.
4.
Egyvltozs vals fiiggv nyek hatr rt ke
s
folytonor
ga
-
Megotdsok
a negyedik
fejezethez
a.1. ]im(6x'
-lox'
+
3x2
-o)=,\[,'('-#
-i- )
= -
4.
Egyvltozs
vals fiiggv nyek
hatr rt ke
s
blytono
sga
-
Megolds
o.n.
.,l*[-V7)="--.""=
ri.
,[l
-*]=
-
++o
(
*)
lim
/(x)= -oo.
-
7/25/2019 SZOLF Gazdmat I Feladatgyjtemny
61/138
]|q/(,)=
--,
4.2. lim
(t
r,
-
25x1
+
4xa
,-*\
.l
/(r)=
-.
4.3. lim
/(r)=.o,
-6)=,,*,,(5
_:-o-*)=-
4.4. |lm
(x)=
-,
llirn
3.
=-
s
\-..
{.5. lim
/(x)=-,
..
5x{+6x]-8
,,@u
rrrrr
-----:--
=
-
-.o
];' +
2x +
50
co
lim
/(.r)=
1.
t9-@
J
,ln/G)=-@.
,lli/G)=
t
,li13'=0miaft )
.
,llT/G)=
-4.
lim
/(x)=
t.
-6
8
)+
_- _n
5
=,']T:fi-=]
J+;+
n
xx
4.6.
lim
(3,
-2,
+3)="oo
-@"=,,rTr,[,
-(i)'
-i)
=
-
lim
/(x)=r.
4.7.
4.8. lim
/()=
l,
4.10.
lim
(r)=1,
++@
)
lim
/(x)=]
J{
)
4.1l.
lin",
:'*3
= tim
r+a
Jy'
_
x
+2
r+
,[q/(,)
=
o,
4.12. ,,^4x3
--2x2
+2
=
lim
x)
x'+l
+tQ
lim
/(r)=
-.o
.
=,'*[,
2
*;
r'
il
x
+
4_
,7-
'l
t
1-,)
,iT]=-oo
,(,
-
i)
,'(,-i-i)
r'
=*[+_=+]=,;=,
o-?-4)
r X'
l-.o
r*4
)
1.13.
]im
/(r)=
l,
4.14.
+
o.
4.15.0.
4.16.
lim
3x-x2
=
lim
. -+o
x+l
JJi
4.17.
0.
,\T/G)=
l.
28
|*7-7
l
4.
Egyvltozs vals ftiggv nyek hatr rt ke
s
folyt,
"ossga
-
4.18.
lim
.r'\2"
-8
=
tim
r+.o
;Z
_
6x
+2
l++@
4.
E,gyvltozs
vals
fiiggv nyek
hatr rt ke
s
folytono
sga
-
7/25/2019 SZOLF Gazdmat I Feladatgyjtemny
62/138
4.19.
l.
4.20. lim
+
E2 E
i/;-;
-t/;
t+?+
ll
-l--
xr'
4.2t. lim
lr(Ji
*
J,
*
z
)=
_.o
.
r+
-2
I
4.22.
lim
,
'
+ lim 3lt+2
-
_l
+oo
=
}oo.
,_*
l
_l
t+E
1^
x-
4.23.
-
l+0=-l.
4.24.
3
+
1- 1= 3.
4.2S. 12-0+3=15.
4.26.1.
4.27.
]im
(J,r
+ 3
-..F)="-
-"o"=, Lff;5
=
o.
4.28.0.
4.3l.
A
iiggvny
az
x=l
helyen
folytonos
(etemi
ftiggv ny )
,
ev |:y (r)
=
,f0) =
o.
4.32.
Folytonos fiiggv ny, teht
l
/G)
=
(-l)
=
-zs.
a.sl.
tiy; (x)=
7(Z)=
t.
asa.
liry
fG)=
r(o)=
,
4.35.
]im
t{
=.
*"
=
]sa.*P
=
JT,(2
-r)=
4.
4.37.0.
4.38.
li-
6('+
l)
=
-|2
.
r+l
x
-2
1.1l.
lin,
''
('-
3)
=
9 .
r+J
x
_3
.1.40.
lim
*r
=_
9'
=
,,n1
x2
-,r
+
l
_
_
3
r--l
;.-t
Q
.t+-l
x-l
2
4J6.
1
3
l1.5
r,
4.
Egyvltozs vals fiiggv nyek hatr rt ke
s
folyton
4.{l.
lim r+l .
-
3
,-l
x(x
+
3)
l0
ga
-
rf
:a
E,
t
.
-,t
I
:
s
:,
1
a
4.
Egyvlt^zs
vals fiiggv nyek
hatr rt ke
s
folytono
sga
rirr'_-j=
=
*oo
r
gy
lim-j_
nem
l tezik.
r+5+03_
'"'
1-5
x_5
---
-
7/25/2019 SZOLF Gazdmat I Feladatgyjtemny
63/138
l-x
a.a2. 6r-:',
=l,T+P
=-2.
4.43.
Ahatrrt k1169-6lr
alakir,
k
z
s
nevez
re hozs
s
egyszer
sts
utn:
ll
llm-
=
-_.r-2y1) 4
4.44.
"o.-o"
t pusit
hatr rt k,
talakts
utn:
liqc;] }-*T
=
_:.
.9
alaku
hatr rtk,
a szrimll
gy
ktetenit se
segyszenis t s ti,n:
0
lim
=
- .
;r(x-r[Jr'+x+3
+Jx'
+2x+l)
6
4.46.
l
1
4.17.
l
]
1l
ll
4.48.
lim-:-:__-=--
=_
'-t
{,/x2
+2]Ji
+
4
12
{.a9.
limJ=
-0
,J(x
+ zz)'
a3l,[*
1Y
ag
27
,1.50.
lim
=5
r-5
1-
.Q
lim
x
=-o
r-5-0
1-
{
l
{
ti
.i
4.51.
,limo,/(r)=
--
,li1o/(r)=
fol igy
Jlr*
nem
l tezik.
.r_-|
r"
-
l
4.52.
,lipo/'(r)
=
-t
,[p./G)=
l,
teht
',T/G)
nem l tezik.
4.53.
,tim
(*)=2
,[y.,r(r)=
O.
4.5.1.,
limo,/(..)
=,
nT,/
(r)
;
-@
=,liq/G)
4.55.
-0,25.
4.56.
Nem l tezik.
4.57.
0.
4.58.
3.
4.59.0,5.
4.60.
|80
=
5.
216
6
r--
-
4.6l.
lim
V5x'+5
-_5
--Z
x_l
3'
4.
Bgyvltozs vals
f iggv nyekhatr rt ke
s
folyto
isga
-
4.62. lim,J+l
=-l.
r+0
1l +2x_|
fiiggv nyek
hatr rt ke
s
folytono
ga
4.72.
*[(,-*),(,-+)']=,
-'
,l
=
,-'
=|
-
7/25/2019 SZOLF Gazdmat I Feladatgyjtemny
64/138
4.63.
,lim
/(r)=
*-
,li1o/(x)=
-@
,
lis/G)
nem
i tezik.
4.64. Nem l tezik.
4.65. ]im'"r(r)
=
0
,ti1o,f(r)=-, l,
/(r)
n.mltezik.
4.66. lim
sin2
=.
9'
=
nJZ,in2,']
=
?
--
;n
5x
0
,-o[5
2x
)
S
,1.67.
lim
sin
2f,
=
'i=n
o
=
0
.
,*
5-r
)
"2
,'
4.68. lim
,8
7x
=.
9'
=
,r^( s]
,\
=
'--'
iiri
51
6
,_o\.5
7x
)
5
4.69.
li*'in(2'-
4)
-.
9'
=
rir z'in(2'
,4)]
=
,
.
r+2
x_2
0
r+2(
2x-4
)
{.70. lim
3x
-.
9'
-
rim
.]_
=
1;,
_
|
=
]
" '
"'
;]T
sin 5x
-
0
',-ti
sin 5x
iiri
5
sin
5x
5
3x35x
4.?l.
]lm[(,-})']
=.
.
J
e1
-T=e,
ea
[(,-i)"]
*
]
;
4.73.
e'-
=
r'
.
eT
4.74.
4.75.
e|0
4.76.
e2 .
4.77.
=
(,-')-j
=
J;
.
l_
i+
l
.}
}
4.78.+=i
4.79.
lim[:{l
_,,_,o
'---[(,-;+)"]'
o.ro.*(#)"'=(i)"
=o
4.8l.
lim
(t_x+?\"'
="cp-
=
co.
,_,-\
xt2,/
4.
Egyvltozs vals fiiggv nyek
hatr rt ke
s
folyton
Megoltls
,ga
-
l.aZ.
tim( +
2x)*=, 1"
4.
Egyv\
s
vals
fiiggv nyekhatr rt ke
sfolytonos
ga
4,94,
Racionlis
t rtftiggvnY,
gy
u rtelmez si
artomny
minden
pontjban
fo1ytonos.
-
7/25/2019 SZOLF Gazdmat I Feladatgyjtemny
65/138
Legyen
,=:,r=lrx+0
eset n z-ro-,igy
l,s(l+zr)i
=.'*('-:)
=,
4.83.
e|'
(Lasd
az el
z feladatot ).
4.84.
li.j-l+'
=
l,*dP
=,
.
4.85.
liml2
ln(r+
l)
=,r.
+0
x
a.86.
iml"
-l
=
1
.
i+Ox5
a.37.
1;rn1log,(l*')=]
l
=]lon,r.
+OJ x 3ln2 3
"'
d.88.
Follonos
(x=l
nem eleme a ftiggv ny
rtelmez si
artomnynak).
4.89.
Az
x=l helyen
nem folytonos
(/(l)
=
5,
lrry/(x)=
0
).
4.90.
Az
x=l helyen
kell csak
vizsglni
a
fiiggv nyt,
mivel
az rlelmez si
artomny
t
-
7/25/2019 SZOLF Gazdmat I Feladatgyjtemny
66/138
5.
1 .
D i
ff
e re n
c
i a
h
n
y
a
d o
s-f
i
g gv
ny,
diffe
re
n
c
i
l h
at s
g
Mintafeladatok
t. rja
fel
az
f
: x
t-+
5x2
-2,
x eR
ftiggv ny
xg
:'
l rtelmez si
artomnybeli
ponthoz
tartoz
di
fferenciahanyados-fii
ggv ny t
Megoldsz
d:xr+
(5x'
-2)-(5-2)
xeR\{l}
x-l
.
5x2
-5
d:xH
xeR\{l}
x-l
5x2
-5
_
5(x-lXx+l)
x-l
x-l
tl;xv-+
5(x+l),
x
eR\{l}.
2.hu
el
az
f
:xr>{i:;'r:,;.rl_,1r
ftiggv ny
x0:2
rtelmez si
artomrnybeli
po
ntho
z lartoz
d
i
fferenc
i
ahanyados-
i i
g gv ny t
Megolds:
Az
xo
=
2
helyen
vett
helyettes t si
tkJQ)
3,
gy
[(z'-t)-l,
p,-[
l x-/
d:x+>l
I(''*z)-l,
r
J--,2[
l.
.r-Z
I
Z,
xeP,-[
d:xr+
,lrn
-l
"xl)l=,
xe]-'',2 '
3.
vizsglia
meg,
hogy
a
f
:xvs{1;1, j.'/_lr
iiggvny
&z
x6
=
l
rtelmez si
tartomt,nybeli
pontban
di
fferencilhat-e
Dr
bels
ponda
s
/(l)=|2+l=2.
Vizsgljuk
el
bb
az
f
fuggv ny
=
l
helyen
Mivel
,tlpr/(x)
=
rip^(x'
+
l)=
2
s
Megoldds:
Az
xo
=
l
a
folytonossgt
az
x6
K sztsiik
el az x6:
l helyhez
tartoz
differenciahnyados-ftiggv nyt
d:xt->
(zx-s)-z
,
x
E]t,-[
x-l
(''*r)-z,
}-*,l[
x-l
,
]t,*[
x e
|.o,
l[
llpoa=Z
,\god=-.
Mivel a
differenciahrinyados-fiiggv nynek
nem
l tezik hatar rtke dz xg
=
l helyen,
ezrt
f
nem dilferencilhat az x6
helyen.
Feladatok
5.1. rjafelazf:xH3x'-l, x
eR
filggv ny x9
=
-1
rtelmez si
artomrinybeli
helyhez tartoz differenciahanyados-fi.iggvny t
s.2.
lrafel
az
f
:
x
t->{'::
-:'
"'b'- ,
niggueny xo
=
0
rtelmez si
artomnybeli
[
2,
-
|, x
}-
-,
0[
--'"-
---J
-'
helyhez
tartoz
differenciahnyados-ftiggv ny t
L
r
L
t
zx-s
-
d:xv-+
1 ,_ r
Ix+l,
t
i
53.
rja fel
az
f
: x
e
log,
x,
x eR*
fiiggv ny xg =
helyhez
tartoz differenciahtinyados-ftiggvny t
5.4. Vizsglja meg,
hogy az
f
:
x
* 1fil
,
x eR iiggvny
rtelmez si
artomarrybeli
helyen
5.5.
Vizsglja meg, hogy az
f
;
x t+{ox
-l'
x e
P'
'[
|.x2
+
2,
.t e
|o,3[
x0
= 3
rtelmez si tartomnybeli
helyen
9 rtelmez si artomanybeli
differencilhat-e az
x6
=
0
ftiggv ny
differencilhat-e
az
5.
R-+R
t pusri
fiiggv nyek
differencirilhnyadq4
es
deriv. ltfii
renye
5..
ViHglja
meg, hogy az
f
: x r+
{5x
+ z,
x
e
[t,
.o[
1x]+l,'.i.,jlfiiesuenydifferencilhat-eaz
xo
=
l
rtelmez si
artomanybeli helyen
5.
It+R
t p,- ,i
4.Hatrozza
meg
u
:x
r-+
togr
2't7j,
x e]-co,-.,6Pr
-[
fiiggv ny
derivltfiiggvny t
-
7/25/2019 SZOLF Gazdmat I Feladatgyjtemny
67/138
5.7.
Vizsglja
meg,
hogy az
f
:xt-+r'-3,
+2,
x eR
xo
=
l
rtelmez si
artomnybeli
helyen
iiggv ny
differencilhat-e
az
ftlggv ny
minden
vals
helyen
eR
.8.
Vizsgtja
meg, hogy
az
f
:
x
t-+|x|(r'
+ Z)
differencilhat-e
5.9. Vizsglja
meg, hogy az
f
: x
r+
(x
+
l)|x + l|
,
differencirilhat-e
x
eR ft,iggvny
minden
vals
helyen
5.2.
DerivItfii ggv ny
Mintafeladatok
l.
Hatrozzuk
meg
u
:,
-
V7+3xa
+ 7,x
eR
ftlggv ny
derivitftiggv ny t
Megolds:
f:x*>x5+3xa+7,
.1
f
':
x r-l
-+
+llxJ
5Vx2
xgR
,
x eR\{0}.
2. Hatrozzuk
megaz
,,
-++*,
x R*
ftlggv ny
derivltfiiggvny t
'
3'+3'
Megold
s:
Rt ny lt
halmaz.
A
hrryadosftiggv ny
derivlsi
szablyt
alkalmazva:
Lp'
*3)-(lnx+2)3'ln3
f
:x
-+
.r eR".
3.Hatrozzuk
meg u
:x F) xo
.log,
x
,
x ef2,5]
ftiggv ny
derivltftiggvny t
Megolds:
Csak
bels pontban rtelmezett
a
differencilhnyados.
A
szorzatftiggv ny
dcrivlsi
szablyt alkalmazva:
f';
x
t-s
4x
]
log,
*
*9,
x
e]2,
5[.
ln)
MegoIds:
A lncszablY
szerint
a
k
zvetett
fiiggv ny
derivltjrira
vonatkoz
szabIyt
alkalmazva:
(,or,r{o)
=F*(',-)
=J
6;)
=i*
#=r-,
-rI
=
ln2
=
--_-r*
ln3#J'^
xln2
:XH----F,
ln3Vx'-3
Feladatok
Hatrozzuk
meg
a k
vetkez
ftiggv nyek
derivltfiiggvny t
5.10.
/:xt-+
5x2
-3x+2,
.r
eR;
5.1l. ,r-],
xeR\{0};
5.12.
,r-
f
-+*
x+2,
x
eR\{o};
xx
5.13.
/,r-
V7+fi,
x
epo-;
5.|4.
f
:xt-+
*.J--,-[,rtmt
x
eR*;
5.15.
/,..
p
fi.'*-
/T
'*'
.V;,
x
eR*,.
,_
5.t6.
,r-
riVVl
+3x]
-l,
x
eR;
5. Il_+R
fipus|i
fiiggv ny
k
di terenc lhnyado
a
&
derivldt
]v nye
5.
R+llt ,
-ri
iigry nyek
li ferrcncirilhnyadosa
s
clerivltfiiggv nye
5.30.
/,r- .
L.
xeR;
X'
+x+l
-
7/25/2019 SZOLF Gazdmat I Feladatgyjtemny
68/138
5.18.
:xr-+5xJi
#
+2,
x
eR*;
5.|g.
,r- 4$,
x
ER\{o};
5.20.
f,"-(3r'
-2Y,
x
e|2,3|;
5.2l.
,
r
-
(o'
-r),
x
eR,
aeR;
5.72.
,,
-
(5r'
-l\zr'
-2x
+l),
x
e[0,
7];
5.23. ,r-ffi*J,
xeR;
_(t
_fi]
,
x
R*;
S.24.
,
-
V*[1*
)
5.25.
f
:xH3logrx-5Ji,
x
eR*;
5,26.
:
t+
3x
-5,2'
,
x
ER;
5.27.
:xl)5e'
-2lnx+3,
x
eR*;
l
5.28.
:xr+;},
x
eR\tl};
3
5.2g.
:xv-+;j=.
x
R;\{4};
5.3l.
,,
-
*#,
x eR\{ *J|l,
5.32.
f,r-
$$S,
x eR\{1,2};
5.33. .r-f+, xeR-\{l};
5.34.
J',r-fi,
x
eR\|-2,2|;
5.35.
/,r-=,
x eR\{0};
^
3.2'
-SJi
+2
5.J.
/.xF)-
lnx-2
'
x eRl{e2};
t
t
5.37.
:
x F)
x'
.lnx,
x eR*;
5.38.f:xH3''.V7,
xeR:
5.3g.
,,
-
(t
-
r')-r'
x eR*;
5.40.
f
:xHx2.Inx
4^[i+2,
x
eR*;
3.4l,
,
-
(3r'
-
2.r|lnx
-
t),
.r
eR*;
t-
t-
t
t
L
)
TT-
ll
ll
]l
,I
]
i]
l
-l
x eR*;
5.
R+R
t pusri
fiiggv nyek
differencilhnyadosa
es
derivl'^'o
y ny.
5.12.
,
-
(stg*
-fiIr'
+
*'
-l),
5.13. ,r-$?l,
ren\{o};
5.
R-+R.'
.u
li
5.55.
/:
x
t-+
5
.3'
+
e2',
x eR;
5.56.
,
r
FJ
"-3x|+5r1-1
,
x
eR;
differcn cir{lluinvad
osa
6
-
7/25/2019 SZOLF Gazdmat I Feladatgyjtemny
69/138
.
-rn
-/rt
.'n
a
--lt
"lT-
I
l.
.-t_
{
I
l
r
,
T-
l
l
r
t
1
1
r
i
;-
:
T*
j
I
--
5.50.
/:
x
H
,
x
e|-2,2[;
5.5l./:xH+,
./x'
-
l6
5.52.
f,r-rf,*fi,
5.53.
/,r--E.---- J
l
-r[*'1'
5.54.
:x2-'+2',
x e]-co,
-4[v]4, o[;
x
eR*;
re]-co,
-
nt_ }.r]
.[
,_Ir{
};
x
ER;
l28
^I
_
5.44.
f
: x
F-l3'
(r'
-i}
x ert\{O};
i
l-r
5.45.
,r-
("'
+Zx},
r
ER;
5.46.
f :x r+
logr2m, r
eJ-o, -2]u[2, o[;
5.47.
,rr+(3r'-z|lnx+t),
x eR*;
5.48.
/,
r
-
.6*t,
e]-co,
-l]v[l,
-[;
5.4g.
,r-{fi-/,
xeR;
2+x
2-x
5.57.
:
x
l+
36,
x
R;;
x
-l
5.58.
/:
x
t+
eli
+
3*'-l,
x
ert\{-l
};
5.5g. ,r-Vt-2',
xeR;
5.60.
:
x r+
2fr,
.r
]-o,
_l]r..l[l,
co[;
lT:;
5.6l.
,r-. t,
x
e]-l,l];
5.62.
J':xr+logrZx,
x
eR*i
5.63.
f:rr+ln(3x'-t),
5.64.
f,r-
ln3*-2
---5x-3'
xe]-co,
-fr"
]*,*,,
,.]--,;[.,]1,{,
5.65.
/,,
-
.,[n(-*'
ii),
xen;
5.66.
:
x
+l
h(ln.r),
xe]l,
rc[;
5.67.
,,
-
ln*,
x
R*;
Vx
5.68.
/
:
r r+
log,
(r'
+.r
+
t|
,
xefi;
5.
R+R
t pusri fiiggv nyek
differencilhnyadosa
es
derivri'
5.69. t,,
r+ tgg
,
xeR'i
Jx2
+ l0
,ggvenr_
5.82.
:,rF+
#*2x
xefi\{
+k2t,
+kn,
++k2n|:
5.83.
/:xt-+
6.2''n',
xeR;
-
7/25/2019 SZOLF Gazdmat I Feladatgyjtemny
70/138
5.70.
:
x
F) e"-'*"
,frrJ,
5.7|.
f
: r
-+
3"-t
,rg(x'
+:)
x
eR;
o _ o-1
5.72.f:xa
,
xeR;
e,+e
5.73.
:xF+
e"-"',ln(*'
+x+t)+Vl+t,
xeR;
5.74.
:xr+ln2x-lnx2
+ln2x,
xeR*;
S.75.
,
,
-
S
@,
xe]-co
,
-2|wJ2,
orlf;
|'\
5.76.
:
x r+
|los](zJ"-'
* r}
x
eR;
5.77.
,,
-
.,,/if
*Tffi,
xen*;
S.78.
f,r-'nffi*'
xe]O,
l[;
5,7g.
:
x
r+
lnsinx,
xe]O+k2n,
2n+ar ,
keZ;
5.80.
/:xHlge',
xeR;
5.81.
/:
x
l+
x'in'
,
xeR;
5.
3.
De ri
v
I
tf
i
g
gv
n
y
h e
l
y
ettes si
rt kei
Mintafeladat
l.Hatrozank
meg az"a"
rt kt ,
aaz
f
:xl)
ax2
+2x+3,
x
R,
derivlt iiggv ny nek
a
z rushelye
l
MegoId s:
f':xt-+2ax+2,
x eR
f(|)=2a*2=0
a=-l.
aeR
ftlggv ny
Feladatok
5.84.
Hataozza
meg
az
f
:xr+x-3Vi,
xeR
ftiggv ny
derivltfiiggv ny nek
a
z rushelyeit
5.85.
Hatrirozzamegu
:xl-)
x2e-',xeRfiiggv nyderivltfiiggv ny nekaz rushelyeit
5.86.
Hatrol::amelu
:,
F+
.x -4x+2
,
xeR iiggvny
derivltftiggv ny nek
a
z rushelyeit
5.87.
Hatrozza
meg
az
"a" R
param ter
rtkt,
a
tudjuk,
hogy
az
I
.r
eR\(-
1
)
ftiesv ny
derivltftiggv ny nek
a z rushelye
_ a+x2
l:x
3x+l
5.88. Hatarozza
meg
az
"a"
R
param ter rt kt,
a
tudjuk, hogy
az
f :xt+x'+4,
x'
x eR\{0}
fiiggv ny
derivlt iiggv nye
azx=
l
helyen
0
rt ket esz
fel
l3l
5.
R+R
t pusri
fiiggv nyek differencir{thnyadosa
&
tlerivlffii
vjnye
5.4.
Geometriai
alkalmazs
Mintafeladatok
|.Hal rozzameg,hogyaz
f
:xt-+
*f
-*i
x
e]-l,
l[
iiggv nygrafikonjanakakPehnY
5.
R+R
d,
sri
fiigry nyek differcncilhnyado
a
s
derivltfiiggv nye
f'(xg)=
12,
6
x62+6xg =
12, amib l x6
=
l, x,g,=
_2
Az
rintsi
pontok:
El(1,10),
El(-2,1)
A
"b'
rt ke:bt=
_2,
bz= 25
Az
rintokegyenletei:
y
:
l2x
-
2
y
=
l2x+ 25.
-
7/25/2019 SZOLF Gazdmat I Feladatgyjtemny
71/138
fokos
sz
gben
metszi
az
x
tengelyt
Megold
s:
A
fi.iggvny
grafikon
x
tengellyel
beztrt
sz
gn az
adott
pontbeli
rint
haj
l
asszti
gt rtj
iik.
A
filggv ny
z rushelye
x
=
0.
*i"iri" a
fiiggv nyt
s
hatrozzuk
meg/'(0)
rtkt
f
:xr+
-7
-+,
x
e]-l,
l[
J '
,il-x'
.f
'(0)
=
l,
tgcr
=
l,
cr
=
45o
z. irla fe|
az
f:
x
H log,
(3
,'
-
4),
,
.
l-
-,,F[']
xo =
2abszcisszjir
pondba
h zott
rint
je
egyenlett
I| egold
s:
Az
rint
egyenlete:
y
=
mx+b,
ahol
m = '(2),
Az?rint si
pont
ordint$a:fl2):
logz8
:
3,
Az rint si
pont
koordintil
E(2,3),
,(z)=*
Az
rint
egyenlete:
y
=
l*
*
6,
'
2ln2
Az
rintsi
pont
koordintinak
ki kell
elg teni
az
rint
egyenlett
is,
gy
b= 3-
3
ln2
Az rint
egyenlete
,, =
#**
''
-
*
),
3.Hatrozza
rneg
az
f
:xr>2x
+3x2
+5,x
eR
ftiggv ny
grarrkonjahoz
hrizhat
azon
rint
egyenlet t,
amelyik
mereges
My =-*-
+
5
egyenesre
Iv egolds:Az
rint
egyenlete:
y
=
mx+b,
A
rieregess g
miatt
m
=
12,
gy
uegyenlet:
,
=
|]x+b,
Ha
azrintsi
ont
koordinti:(xg,y6),
m =,f
'(xo),
K sztsiik
el a
derivltfiiggv nyt:
f':xt-+6x1
+6x,
x
eR
,F-[
friggv ny
grafikonjanak
az
-f"t
-rrl
Feladatok
5.89.
Hatrirozza
meg, hogy a k vetkez
ftlggv nyek
grafikonja
hany fokos sz
gben
metszik
az x tengelyt
a)
f:r---l-.
xep:
log,
(x'
+
3) '
b)
:x r>
(x
-2)'
,
xeR;
c)
:x
a
ln(5
-
x), xe]_o,
5[.
5.90.
Hatrozza
meg
az
f:xr+(x-Z}.,6-x,
reR fitggv ny
grafikonjrlnak
xo=2
abszc
i
sszj
ri
pontj
ba
huzott
rinto egyenlett
5.91. . Iat rozza
meg
az
f
:
x
r-+
x2
-2x
+3
,
x eR
ftlggv ny grafikonjanak
az
y
=
4x
-
3 egycnletri
egyenessel prhuzamos
rint
e
egyenlet t
5.92.
Hatr
auza
meg,hogy
az
f
:
x
t-+++,
xeR
ftlggv ny
grafikonjrinak
melyik
pondba
hrizott rintje
prhuzamos
az x'.ng.ttfil
*
5.93.
Hatarozza
meg,hogy
az
f
:xt->
*-Z,
x
en\{t}
ftiggv ny
grafikonjnak
melyik
pondba
h zott rint
je
pirhuzamos
rzx tengellyel
5.94.
Hat
ozza meg,
hogy
u
:,
-
l,
x
eR
hirzott
rintje
meroleges
uy
=|x*
l
.g].n.rr.t
5
ftlggv ny
grafikonjnak
melyik
pontjba
5.95.
tlatrozza meg, hogy
az
;xt->2x3 -6x2
+9x-5,
x eR ftiggv ny
grafikonjnak
melyik pondba
h
zott
rintje
mereges
azy =-lr *
3 egyenesre
'9
5. I{-+
lt
tp usu i i
ggvnyek di lc
rcncillr
nyatlosa
es
tle
riv
l
tfiiggv rrye
5.96.
Hatriro7za meg "a"
paamter
rt kt,
a tudjuk, hogy
az
f
:
xt-+
ax2+2x-3,
x
eR
iiggvny
grafikonjrinak
az xo
=
2
abszcisszj r
pontjba
huzott rint
je
prhuzamos
az
y
=
l0x-3 egyenletti egyenessel
S.97. lv{ekkora
teriiletti
az
a hromsz
g,
amelyet az
l
xH
e2*+x2, x eR ftiggv ny
grafikonjnak
az x9 =
0 abszcisszj
pontjba
h
rzott
rint
je
a koordintatengelyekket.bezr?
5.
t{+tt
3+3e-'-l-.e-'
l+e*
_
l
=2+e''
_
l
=2er+l-e"-l_
l
e'
l+e'
e'
e'(l+er)
l+e'
Feladatok
Hattirozzuk
-
7/25/2019 SZOLF Gazdmat I Feladatgyjtemny
72/138
S.98.
llaptsa
meg, hogy
azf: xH
(x+l)2,
x eR sag: x1-1
x2-3x*6,
x eR ftiggv nyek
graikonjai
mekkora
sz
g
alatt
metszik egymast
5.
5. Magasabbrend
ti
derivltak
Mintafeladatok
l.
Hatriroz za meg
u
:,
-
"*
,
xeR
\{ l
}
iiggvnymasodrend i
-
7/25/2019 SZOLF Gazdmat I Feladatgyjtemny
73/138
5.109.
.*v+
*'logr.F,
x
R*
t=
f,J
5.1l0.
_:
xt+
*'
,.'*,
xeR
,(5)
_
,rtl-
5.11l.
.:
*r+
e*
sinx,
xeR
^4l
-
lrJ
Hatilrozzuk
meg
a
ktivetkez
filggv nyek
msodik
derivltftiggv ny nek
a
z rushelyeit
5.1l2, x
p+
2x3+3x2+l,
xeR;
--.
5,113,1
-
-
ffi,
xeR\{l};
5.1t4. |*
H
(x-1)2..-('-tl,
xeR;
--
5.1l5.1
*
-
l;*1
,
xeR\{-l,1}.
x'-l'
5.116.
Mutassa
meg, hogy
a
ktlvetkez
fiiggv ny
,
_i
x x3 lnx, xeRt
eleget tesz
a
_
lu'(*)
=
(-l)6
2 x3' egyenletnek
_
5.117. Mutassa
meg,
hogy
a k
vetkez
fitggv nyl
x F+
2e-'+3e-2"+(e'*+e-2*;ln1l+e'), xeR
eleget
tesz
a k vetkez
iisszeftigg snek:
_
f"(x)+3f'(x)+2/(x)=
#'
-.-
5.6. L'Hospitat szabty
alkalmazsa
'
Mintafeladatok
--T
l.Hatrozza
meg
u
:x
F)
x'e-*'
,
x eR fiiggv ny
hatrrt k t
co-ben
l1
ri.4
=
lim
lx
=
liml
=
0.
.t-o
eX'
I+
eX'2x
r+o
ax'
2.Hatrozzttkmeg
az
f
:xl+
(x-l)*,xe]l,co[\(2}
fi.iggv nyhatr rt k tazx=Zhelyen
MegoIds:
lT/=lgG-t)*
=1-.
Alaktsuk
t a
k
vetkez
k ppen
ahozzrendel si
szablyt:
_ . +
J=m1*-t1
(x-1;,-z
=gr-2
Hatrozzuk
meg
a
r,*
hatr rtketr
ez
I
alak
gy alkalmazhatjuk
az L'
Hospital
szablyt
l
li,r,,
ln(*
-_l)
=
liril
=
linr
l
=
l
l-,2
x_2
ll2
l
r+r1-|
gy
ezentalak ts
utn a
k rdseshatrrt k:
l,s(*
-
l)*
=
lirn.1+
=
e|
=
e.
Feladatok
AzL'
HosPital
szablytalkalmazva
hatrozzuk
meg
a ktivetkez
filggv nyek
hatrrt k t
5.1l8.
f:xt-+*1
-l
.
xu
J
,
xeR\{-l,
1}
1inl,f
=
?,
_2-,
5.119.
f
:xt-+
,
xeR\{6}
x
l,q,f
=
l37
5.
R+R
t pusri
fiiggy nyekdifferencilhnyatlosa
&
derivltf'
,ry._
,2
_4
5.120.
f
:xr+-,
.reR\{2}
X-l
|iqf
=
5. R+R
t -,.r ,
iiggn ny.k
difr.*n.ilh
x(x-l)
(-3)
r
F+
--.,-
-,
.---\_t,
x e|2,7|
3
(x-l;'
,-*,
xe[2,7]
-
7/25/2019 SZOLF Gazdmat I Feladatgyjtemny
74/138
x2
+5x+6
5.12l.
f
:xr+
J]ji/
=
xJ+2x2+x+2'
xeR\{-2}
ln2r
5.122.
f
:xt-+
*+,
xeR
li
/=
5.123.
f
:xr+
(,r-t)tn(x-t), xe]1,oo[
lim
/=
r+l r0
-
5.124.
f
:
x
r+-+-
-_-L,
x ef,2,o[\{_l
}
---
'ln(x+2)
x+l'
J
/=
5.125.
f
:
xrs
(r-Z)'-', x e]2,o[
lim
/=
r+2+0
"
5.7.
A f
ggv nyelaszticitsa
Mintafeladatok
l.
Tekintsiik
a k vetkez
keresleti
fiiggv nyr
|r-4,
xe|2,7f. Flatrozzuk meg
a
-l
hozztartoz elaszticitris
fi,lggv nyt
Megolds: Az elaszticits
fiiggv ny:
x
H
*.r't*l
,
.r
el slx) *
0, ami megmutatja, hogy
f(x)
1%-os
rvltozas
(vagy
jrivedelem
vltozs)
hany
o-os
keresletvltozst
okoz.
Hatrozzuk
meg/'-t
a
1
f';xl+
---+,,
xef2,7j
'
(x-l)'
Az
elaszticitsftiggv ny
a
k
-
7/25/2019 SZOLF Gazdmat I Feladatgyjtemny
75/138
5.2.d,-- l=,
X
J--,0[.
Iri,
xe]o,-[
5.3.d,*-
f,
xeR\{91,
l
5.4.
d: x
r+
,f,,,
x
e n/{O
}
'[nod=-,'1-1[od=-@,limdneml tezik,aftiggv nynemdifferencilhat.
5.7.
d:
xF) x2+x-2,
x
e
|-,l[
x
e
},-[
l$q
=
6,
a
ilggvny
differencilhat,
,
x
]*,l[
x
e
]t,o[
]ipl"d
=,lir.s
=
5, a
filggv ny
nem
differencilhat.
x
eR\{
l
},
l,,Td
=
0,
a
ftlggv ny
differencilhat.
+2,
x e
]o,.[
-2,
x
e
|-,0[
limd
=
-2,
a
fiiggv ny
nem
differencilhat.
.
x+l,
*e|t,-[
Cl :x
',
[-(**r;,
x
]--,-l[
, aod
=
0,
, +od
=
0,
a
ftiggv ny
differencilhat
az x=-l
helyen.
x+3.
5.5.
O,*-t
u,
l,s
=
6,
(
x'-6
5.6.
d:xr+{
x-l
I
[5,
lim
d
=
+co,
[*'
5.8.
d:xrr{
,
L-
x,
lim
d=2,
l+0+0
l40
5.9.
5.12.
f',*
-
-{*{+t,
x
e
R\{O}.
5.13.
f'
,*- J-*-L.
x e
R*.
3Vx
2J
x'
5.1{.f,,*-__- ,_,
x
R..
5.15.
f':
x r+ l,
x R"
5.1.
f,,
*
-
- ,.
+9x2,
l5,./i
5.17.f',*-9tfi',
x R*
6
5.18. f,,
*
-
]iJi
2
2'
*
*V;'
xeR\{o}.
xeR*
5.19. f':x-
-,
l
=
*__2----,
x
e nr{o}.
x'.Vx'
5.x'.Vx'
'
5.20.
f':xr+36x3
-24x,
xeP,r[.
5.2l. f':xr+-3a
+6arx-3x',
xeR,
aeR.
5.22.
r':xt+50xa
-48x2
+lOx+6,
xe[O,z].
l4l
5.
R_>R t prsri
fiiggy nyek
differencilhnyadosa
es
derivlt,"
gv nye-
M
5.23. f':xr-l ,
x.nr{o,rfi}.
5.
R-+R
t p
i
iiggv nyek
difrerencirilhnyado
a
s derivrilffiiggv nye
-
Megolds
2'.[i
2
9{;
3
L
t
t
5.33.f,.--
:
lifi
.?
zfi,
x
nt{o,r}.
(J;
-,I
-
7/25/2019 SZOLF Gazdmat I Feladatgyjtemny
76/138
s.24. f, ,*-
_L_::,
x
e Rt
l5',1x'3
6Vx
5.27. f
':x
F)
5e'
,XR'
5.25.f,,*-
3 _::, x
R..
xln2
2^lx
3.26. ': x r+ l8xJ
-
5.2'ka,
x
e
R.
_?
x
5.28. f':xH
;
-:3X
.,,
x
R\[l}.
(*'
-
t)'
5.7g.f':xH
=:-,=,
x
nt{O,+}.
2^lxP- J*
/
5.30.
f,:xt+-,
6x*3
.;,
x
R.
(x2 +x+l)'
5.31.
f',--ffi,
x,R\E,6},
3x
-l2xJ
+
l0xa
-9x2-18x
+
6
(*'-rx+Z|
.32.
f
':
x
xeRt{t,z}.
5.34. f':
x r+
5.36. f':xt-+
l'tn:(x'
-
+)-
zx(l"
-
z)
(*'
-
o)'
xeRt{tz}.
,
.
|t
).
,i
,
,
'{
5.35. f',--ffi,
xenr{O}.
t
t
t
,t
t
t
t
t
t
t
t
r"
,
x R-\{"'}.
(tnx
-
z)'
5.37.
f':xt-+3x2lnx+x2,
xe
R'.
/-^\
5.38.
f':xt+ 3'[rnlV*'
-ft),
xe
n\{o}.
5.39. f':xF)et(t-*'
-z*)
xeR.
5.40.
f':xr+2xlnx**-ft,
xe R*.
5.41. f':x t+
3e'('**i-')-2lnx,
x e R'.
5.42.
f,,--(#-#)0,
+x,
-r)+(srg*-fiIlh3+2x)
x
e
R*
5.43.
f,,--+-#,
xe n\{o}.
(r.
r-,r-*)(tnx
-r)-i(l.
z,
-sfi
+
z)
1-
l-
r.-
t
l-n
5..l{.
f':xH3'(r,,nr*5*
2'ha-*), x eR\{0}.
5. R+R t pusri fii
ggv nyek differencillr
nyadosa &
derivllfi
i
qgv nye-
IVIegoltlris
5.45.
f':xs3(c-
+Z*)'(.'tn.+Z}
xeR,
ceR'
5.
I{-rR
tpusr
iiggv nyek
differencilhnyadosa
es
clerivltfiiggv nye
-
Megolds
5.55.
f':xH5.3'ln3
+2e2',
xe
R.
5.56.
f,:
x
F)
(-n*'
+l0x)e-r*'ts*'-t,
x
e R.
-
7/25/2019 SZOLF Gazdmat I Feladatgyjtemny
77/138
r-
|-"
5.{6. f,:x--$,
ln3Vx'-4
5.47.
f
': x
r+
6xlnx
+g*
-?,
x
e
R*
.
5..l8.
flx-,5ft,, x
]-.o,-t[u]t,.o[.
1-
r-
l-r
I"
,l
-
T-
l-
T.--
,-
r--
l
l
:I
'l
r
|r-,"
:
f':xl+
2
'(z_x)fiJ,
5.51.
f''*
-
(l
x
e
]-.o,
-Z[v]z,o[.
x.|z,zf.
,
x
Io,-4[uh,-[.
r,-"i
.
T-
--T1
5.54.
f':
x t+
-2-'ln2+2*|n2,
x
e R.
tr-n
:|
,I
,l-
l*-L
5.52.
flxr+-+{., x
R'.
2Jx +
Jx
3_3,Ix'
-:2*-,L
5.53.
f,ixH---_z
Jx'-2
*.}_.,-.,D[r{-ri}rtrD,-[,k }.
,.JJ.
l,.^-6'
|44
5.65.
f':
x
t-l
/i;(--'O(x'
+
t)'
l45
5.57.
f':xr+J-rfitnr,
x R'.
^l
l\lx
5.58.
f':xH.=;u
+2x.3"-'ln3,
xeRr{-r}.
5.59.
f':xH+,
xenr{O}.
3,J(1_2,),'
-
(-
5.60.
f',
*
-
;1fi
2{T
ln2,
x
J-oo,-l[u},-[.
I
5.62.f':xH-+',
xeR'
x
.ln5
5.63.
f,,*-f\,
x
]--,-flr]+,-[
-,
]-.",;[,]3,."[
xeR\{0}.
5.
R+R
t pusri
iiggv nyekdifferencilhnyadosa
es
deriv'
'iiggv nyc -
5.66. f',*
-
- -,
x
},-[.
x,lnx
5.67.f,,**- .
x
R,.
4x-
5.
R->R
".u
li iiggvnyek
differencillrnyatlosa
es
derivlffiiggv nye-
Zlgx
.
l
5.77.
f':
x H
-+r"l 5_,
x e R,.
Z.r/tg2x+lgx+l
-
7/25/2019 SZOLF Gazdmat I Feladatgyjtemny
78/138
5.68.
f',--5ff#,
xeR.
5.69.
f', *
-
]*
-d*,.),
x Rt
5.70.
f':xF+e*'-"-'(2*-2}fi'
-l
-#, x e
|*,_t[utr,-[.
/x'-l
5.7l.
f, :
x t+
3x2
.3"-'ln3.tg(,*'
-
r)-1;frh,
x e R.
5.72. ':xH--j -.
xeR.
(e'+e-')''
5.73.f,:xH(2x_l)e',-'.r,n(*,+*-')-*P-ffi,xeR.
5.74.
f',*-
2l*
-Z*L,
xeRt
5.75.
f':
x
r--r
x
}-
o,-2[v
P,-[.
Ztog.[Zffi
+
l
ltnr(Zfii
+
r
'ffi
ln2.x
5.76.
f':
x
g
xeR.
5.88.
a:l.
147
5.78.
f': x
H
#,
x
[-l,
l]\{0}.
5.79.f':xHctgx, xeR.
5.80. f,:xH*=lg..
lnl0
|-
5.8l.
f': x H
x""'|
(cosx|lnx)+1.ri*l,
x R*.
LxJ
5.82. f, :
x H
4x(cosx
-sin2xXl
+
tg2x2)
+
2(sinx
+
2cos2x)tgx2
(cosx
-
sin2x)2
xeR\{
+k2t,
|+kr,
++k2n}.
6 2
6
5.83.
f': x
H
6ln2,2"-
.cosx,
5.84.
f'
:
x
r+
t
-l,*
e
R\
{O},
Vx'
5.85.
xt=0,
x2=2.
5.86.
x:2.
5.87.
xeR.
I
l
-17
=
0,
xt
=l, xz
=-l.
5
a
--
3
-n
i
n
5.
R-+R
t pusri fiiggv nyek
differencilhnyadosa
es
derivkr' -gv n}F
Megolds
5.89.
a) Ha
50,
x:0,
M(0,0), (0)=m=l, gy
tgo:l,
o:45o
b) Ha
50,
x=2,
M(2,0),
'(2)=m=0,
gy
gcr=O,
cr:Oo
c) Ha
50,
x=4, M(4,0), f-(4)=m=
-l,
gy
tga=-l,
cr=l35o.
5.90.
E(2,0),6=f'())=l,
y
=
x+b,
y
=
x-2.
5.
R+R
t pl,sli
fiiggv nyek
differencirilhnyadosa
&
derivltfiiggv nye
-
5.102. f('):x*
6
xlrr3'
xeR*'
5.103.
f':xt+,#fr,
xeR'
-
7/25/2019 SZOLF Gazdmat I Feladatgyjtemny
79/138
--i
t
I
l
-,a
-:a
,a
-.t
--T
5.9l.
E(3,6),y=4x-6.
l5.92.
P(0,1).
5.93.
P(e,e+2.
5.94.
Er
(1,5),
E2
(-l,-5).
5.95.
El
(2,5);
E2
(-2,5).
5.96.
a=2.
5.97.
Az rint
egyenlete:
y:2x+
l
,
t=
l
.
4
5.98.
Hatrozank
meg a metsz spontot
A metsz spontba
h
zott
rint
k
ltal
bezrt sz
g
adja
a k rdezett
sz
get.
A
metsz spont
koordinti:
(1,4),
ml
=4,
m2 =-1
cr1
=75.96o, cr2
=l35o,
Ct=C1,2-cr1
:59,04o.
5.99. f('):xH4320x,
xe
R.
5.100.
f':xl-+
*fu *fr7,
xeR\{0}.
5.10l.
f':xl+.'-'(t6*'
-a)
xeR.
l48
l49
5.104. f":xF)
2x6
_6x{
+l2x2
,
xen\{tt}.
(*'
-
rI
5.105.
f':xl+
25ln23.3sx-z,
xe
R.
-*l
5.106.
f":xpr*(-'
-,)
xeR.
JZ,t
-r+2ln x-2)
1
5.107.
f":xH_-1' {i_ l,
x
P,-[.
(x
-
2)'
5.108.
f,:xl+
2x-l1n.l
r-
ib,
xe
n\{z}.
5.109.
f': x F>
6xlogrJt'
*#,
x e
R'.
5.1l0./
(5):
xt-+
e"(32x2+l60x+l60),
xeR.
5.1ll./(a):
xr+
-4(sinx)e*,
xeR.
5.1 12. *=
-f
.
2
5.1 13. x=
0.
5.114. f":x
t+
?e-( -l)'lrt--t)'-s(x-r)'+r}
x
R,
5.
R+R
tp usri
fii
ggvnyek
di ferencilhnyadosa
es cleriv^
__
.t
ggv
nye_
,,J ;{i _f
z,stoz
y.=l*Js-Jtz
_(1,4682
T
t
=l
=---;=(j;,'j,X'r,
|2
=
,rry =(;i:i,
5.
R_>R
rsri
iiggv nyekdiffercncilhnyado
a s
tlerivlffiiggv nye_
Megolcltis
l
5.123.
|,Tf
=
$
D
=
|l-=L
=
lim-(x
-
t)=
o.
x
-l
(*
-l)'
L
t
t
-
7/25/2019 SZOLF Gazdmat I Feladatgyjtemny
80/138
5.115.
f':xHo$,
xe
Rt{t},Nincs,e^,n"ryr
5.116.
,r'l(x)
J3
5.1l7.
zr(x)=
4e-*
+ 6e-2*
+ z(e-'
*,-'-)n(t
*"'
)
f
"(x)
=
e-'
+72e-2*
+
(e-*
+ 4e-2*
)ln(l
+
e';
- 13a'
3f(x)
=
-6e-'-l8e-2*
-3(e-'
+2e-2')ln(l+
")**
f(x)
+
3f(x)
+
2f(x)
=
3
-*=
=
#
5.118.
Iimf
=
li^*= ,
x+t
r+l
1'
O
5.119.
l,*f
=
|rgrnZ(Z-
+2'-)=2lr2,
5.120.
l,sf
=
lim2x
=
4,
5.121.]$f
=l$Jfih=i
?|n*
5.|22.1,,
f
=H+=lg5=l'
}=o.
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
I
I
5.124.
J
f=111fiH5#=ljl,
=lim
l
=l.
x+-l
1a]
2
fir-+
l)+
ln(x
+ 2)
l-
l
x+2
]d+
,,y*
5.125.
l,sG_2).-,
=[i69 (,-2r-,=lis.,
-2)rn(x-z)=l,$.
=
=e
(*-,y
="|'r-(,-z)_,,
5.126.
e:
x H
____:-(-2)
x
e R*
-Zx+J
5.t27.a)
e:x-
--L,
pe
]O,to[,
p+l
cs kken.
2x2
5.128.t:xHxr+l,
b)
P:=
rt"i]:o
-1,78,
vagyis
1,78%-kal
,{;}
x
R*,
e(3)
=
1,3
.
x+2)-(x+l
(x
+2)'
.
I
ra
6.
Fiiggvnyvizsglat
{
6.
Fiiggv nyvizsglat
6.
.
Sz /s
rt R,monotonits
Mintafeladatok
1. I{atarozzuk meg
a
k
vetkez
fiiggv ny
sz ls
rtkeit
smonotonitsi szakaszait
6. Fiiggvnyvizsglat
Eredm nyeinket
foglaljuk
tblzatba:
(a
szigoruan
monoton
n veked st 7l,
a
szigoruan
monoton cstjkken st
l
jel
li)
x
e
l-co.
-l
-
_l
e
1-1.
3
-3
e
13,
co[
J"G)
+
0
0
+
(,)
,/
max.
Jv|):l7
min.
,/(3)=
-ls
./
-
7/25/2019 SZOLF Gazdmat I Feladatgyjtemny
81/138
{
l-
,r(r)=
x'
-
3x2
-9x
+l?,
x
e
R
It[egolds:
A toklis
sz ls
rt k
tezs nek
ztilu ges
fett tete:/'G)=0.
Derivljuk a
fiiggv nyt skeressiik
meg
a
derivlt ftiggv ny
z rushelyeit:
/'G)
=3x2
-6x-,),
xe
R,
/'(r)=O,
3x2
-6x-9=0.
A msodfokri egyenletet
megoldva:
r/
=
-l,
x2
=
3.(xleD1
s
x2eD1).
A
derivlt fiiggv ny zrushelyei
hrom
r szintervallumra bondk
azf
fnggv ny
rtelmez si tartomnyt.
(
]-.o,
-l[;
]-l,
3[
s
]3,
*[
)
'
ezen
r szintervallumokban
felvett eljel b l
ktivetkeetheti.lnk
az
ftiggv ny
monotonitsra,
valamint
a
sz ls
rt khelyeire
.
Az
'
el
jele
szmtssal,
(3x'-
6x-9
=3(x+l[x-3),
a szorzat
eljele
pozitv,
ha az
(x+l)
s
(x-3)
szorzt nyezok
azonos eljelriek, negat v,
ha
a
t nyez k
eljele ktil
nb
z
,
vagy
az
egyes
r szintervallumok
egy
-egytetsz
leges
x helyn
/'G)
rt kt
iszfun tva)
vagy
/'
grafikonjnak
vzolsval
k
nnyen
eld nthet
.
_
r-{
'(r)ro,ha.re]-o,
-lI
r.l
]3,
-[, '(r\.0,
haxe]-l,
3[.
Ahol
az
els
derivlt
pozit v,
ott
az
/
fiiggv ny szigoruan
monoton n
veked
(
]-.,
-l
I
u
]3, -[
),
ahol a
derivlt
negat v, ott
az
f
fuggv ny szigoruan
monoton
cs kken
(
]-l,3[).
A
szls
rt k tez snek
lgs ges
felt tele,hosy
eljelet
vltson
a? xl=
-l,
illetve.v;=3
k
rnyezetben.
lv ivel
/'(r)
A?
x
:
-l
helyen
pozitvr
negat vravltva
nutla,
ezrt
az/ fiiggv nynek
itt
helyi
maximuma van,
azx=
3
helyen
negat vr pozit vra vltva nulla,
ez rtazffilggv nynek
itt helyi
minimuma van. A maximum
rt ke1-1)=|7, minimum
r ke:/(3)=
-15.
l52
l53
Most vizsgljuk
meg, hogy
lehet-e
abszol
t sz ls
rt kea
fiiggv nynek.
Mivel/folytonos,
ez rt elegendo
az albbi
hatr rtkeket vizsglni
:
,IiaG'
-3x1
-9x+lz)=timx3('-i
-*-3)=*,
l ,
Azf-neknincs
lim(x,
_3x