Szent István Egyetem Fizika és folyamatirányítási Tanszék

FIZI

KA

rezgések

egydimenziós hullám hangok fizikája Dr. Seres István

FIZI

KA

fft.szie.hu 2

Hangtan Harmonikus rezgőmozgás

( ) ( ) )ctsin(c)ctcos(c)ctsin( 2 ⋅−=⋅=

( ) ( ) )ctcos(c)ctsin(c)ctcos( 2 ⋅−=⋅−=

xmDxa −==

mDc =ω=

FIZI

KA

fft.szie.hu 3

Hangtan

)tcos(C)tsin(C)t(x 21 ω+ω=

Legyen: ϕ= cosAC1

ϕ= sinAC2 22

21

1

2

CCA

CCtg

+=

=ϕ

)tcos(sinA)tsin(cosA)t(x ωϕ+ωϕ=

Harmonikus rezgőmozgás

FIZI

KA

fft.szie.hu 4

Hangtan

)tsin(A)t(x ϕ+ω=

)tcos(sinA)tsin(cosA)t(x ωϕ+ωϕ=

( ) βα+βα=β+α sincoscossinsin

Harmonikus rezgőmozgás

FIZI

KA

fft.szie.hu 5

Hangtan Harmonikus rezgőmozgás a kezdőfázis szerepe

ϕ = 0

FIZI

KA

fft.szie.hu 6

Hangtan

ϕ = π/2

Harmonikus rezgőmozgás a kezdőfázis szerepe

FIZI

KA

fft.szie.hu 7

Hangtan

ϕ = π/6 + -

Harmonikus rezgőmozgás a kezdőfázis szerepe

FIZI

KA

fft.szie.hu 8

Hangtan Csillapodó rezgések

macvDx =−−

xmcx

mDxa −−==

220 β−ω=ωm

c2=β

)tsin(Ae)t(x t ϕ+ω= β−

FIZI

KA

fft.szie.hu 9

Hangtan

)tsin(Ae)t(x t ϕ+ω= β−

Csillapodó rezgések

FIZI

KA

fft.szie.hu 10

Hangtan Kényszerrezgés, rezonancia

ma)tsin(fcvDx 0 =ω+−−

)tsin(mfx

mcx

mDxa 0 ω−−−==

220 β−ω=ω

mc2 =β

mfa 0

0 =

FIZI

KA

fft.szie.hu 11

Hangtan

)tsin(ax2xxa 020 ω−β−ω−==

( ) 222220

0

4

aAωβ−ω−ω

=

220

2tgω−ω

βω=ϕ

Kényszerrezgés, rezonancia

FIZI

KA

fft.szie.hu 12

Hangtan

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

1

2

3

4

5

6x 10

-3

FIZI

KA

fft.szie.hu 13

Hangtan

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

220

2tgω−ω

βω=ϕ

Kényszerrezgés, rezonancia

FIZI

KA

fft.szie.hu 14

Hangtan

Példák:

•Tacoma híd • karosszéria rezgésbe jön alapjáraton • Lézeres kémkedés • mérőműszerek csillapítása

Kényszerrezgés, rezonancia

FIZI

KA

fft.szie.hu 15

Hangtan Egydimenziós hullámfüggvény

)tsin(A)t(y ω=))tt(sin(A)t,x(y ∆−ω=

))xTt(2sin(A)t,x(y

))cxt(sin(A)t,x(y

λ−π=

−ω=

x

c

FIZI

KA

fft.szie.hu 16

Hangtan Azonos frekvenciájú hullámok interferenciája

))xTt(2sin(A)t,x(y 1

1 λ−π=

)t,x(y)t,x(y)t,x(y 21 +=

))xTt(2sin(A)t,x(y 2

2 λ−π=

x1 x2

FIZI

KA

fft.szie.hu 17

Hangtan

))xTt(2sin(A))x

Tt(2sin(A)t,x(y 21

λ−π+

λ−π=

2cos

2sin2sinsin β−αβ+α

=β+α

))2

xxTt(2sin())xx(cos(A2)t,x(y 2121

λ+

−πλ−

π=

)t,x(y)t,x(y)t,x(y 21 +=x1 x2

))xx(cos(A2)x,x(A 2121 λ

−π=

Azonos frekvenciájú hullámok interferenciája

FIZI

KA

fft.szie.hu 18

Hangtan

Hang keltése húron: Rögzített vég (csomópont)

Húr hossza L = λ/2 Alaphang frekvenciája:

L2ccf0 =

λ=

L

FIZI

KA

fft.szie.hu 19

Hangtan

Hullámok Hang: f=16 Hz- 20 000 Hz

)tsin(A)t(y ω=

hangerősség hangmagasság

f2T2

π=π

=ω

FIZI

KA

fft.szie.hu 20

Hangtan

Hang keltése húron: Felharmonikus (1,2,… belső csomópont)

L=λ 01 f2

Lccf ==

λ=

02 f3L

32ccf ,L

32

==λ

=λ=

FIZI

KA

fft.szie.hu 21

Hangtan

Hang keltése húron: Felharmonikusok: f1 = 2f0 f2 = 3f0

: Hangszín: felharmonikusok aránya

FIZI

KA

fft.szie.hu 22

Hangtan

Hang tulajdonságainak vizsgálata: Frekvencia analízis (furulya)

FIZI

KA

fft.szie.hu 23

Hangtan

Hang tulajdonságainak vizsgálata: Frekvencia analízis (zongora)

FIZI

KA

fft.szie.hu 24

Hangtan

Hang tulajdonságainak vizsgálata: Frekvencia analízis (hegedű)

FIZI

KA

fft.szie.hu 25

Hangtan

Hang tulajdonságainak vizsgálata: •Hang interferencia (hanglebegés) bal csatornán 440 Hz, jobb csatornán 440 →450 Hz hanglebegés Közben a hangerő szabályozó hanghullám szabályozó jobb vagy bal csatornájára állítva nincs lüktetés, sztereóban van.

FIZI

KA

fft.szie.hu 26

Hangtan

Gondolkodtató kérdés: Koncertek előtt a zenészek közvetlenül

az előadás megkezdése előtt még hangolnak. Miért nem teszik ezt meg mielőtt a közönség megérkezik? Mi lenne, ha nem tennék ezt?

FIZI

KA

fft.szie.hu 27

Hangtan Egyirányú rezgések összetétele

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-1

0

1

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-1

0

1

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-2

0

2

f1=f2, ∆ϕ=0

FIZI

KA

fft.szie.hu 28

Hangtan

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-1

0

1

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-1

0

1

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-2

0

2

Egyirányú rezgések összetétele

f1=f2, ∆ϕ=π/2

FIZI

KA

fft.szie.hu 29

Hangtan

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-1

0

1

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-1

0

1

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-2

0

2

Egyirányú rezgések összetétele

f1=f2, ∆ϕ=π

FIZI

KA

fft.szie.hu 30

Hangtan

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-1

0

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-1

0

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-2

0

2

Egyirányú rezgések összetétele

f1=2f2, ∆ϕ=0

FIZI

KA

fft.szie.hu 31

Hangtan

0 5 10 15 20 25-1

0

1

0 5 10 15 20 25-1

0

1

0 5 10 15 20 25-2

0

2

Egyirányú rezgések összetétele

5f1=7f2, ∆ϕ=0

FIZI

KA

fft.szie.hu 32

Hangtan Lebegés

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-1

0

1

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-1

0

1

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-2

0

2

f1=440 Hz, f2=442 Hz

FIZI

KA

fft.szie.hu 33

Hangtan Lebegés

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-1

0

1

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-1

0

1

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-2

0

2

f1=440 Hz, f2=442 Hz

FIZI

KA

fft.szie.hu 34

Hangtan

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

0

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

0

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2

0

2

Lebegés

f1=440 Hz, f2=442 Hz

FIZI

KA

fft.szie.hu 35

Hangtan Rezgések felbontása

Fourier tétel

( )( ) ...t2cosbt2sina

tcosbtsinaa)t(f

22

110

+ω+ω+ω+ω+=

FIZI

KA

fft.szie.hu 36

Hangtan

Háromszög rezgés:

10 20 30 40 50 60

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Rezgések felbontása

−ω+ω−ω

π= ...t5sin

51t3sin

31tsin8)t(f 222

FIZI

KA

fft.szie.hu 37

Hangtan

+ω+ω+ω

π= ...t5sin

51t3sin

31tsin4)t(f

Négyszög rezgés:

0 50 100 150 200 250-3

-2

-1

0

1

2

3

Rezgések felbontása

FIZI

KA

fft.szie.hu 38

Hangtan

+ω+ω+ω

π= ...t5sin

51t3sin

31tsin4)t(f

0 50 100 150 200 250-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

FIZI

KA

fft.szie.hu 39

Hangtan

Hangerősség: Kétféle szokásos mértékegysége van: •Decibel skála •Phon skála

Hangintenzitás:

[ ] 2mWI

AP

tAEI

=

=⋅

=

FIZI

KA

fft.szie.hu 40

Hangtan

Decibel skála

0IIlg10dB ⋅=

ahol I0 az 1000 Hz-es hallásküszöb: (I0 = 10-12 W/m2)

FIZI

KA

fft.szie.hu 41

Hangtan

Decibel skála

FIZI

KA

fft.szie.hu 42

Hangtan

Hangintenzitás

FIZI

KA

fft.szie.hu 43

Hangtan

Hangintenzitás

FIZI

KA

fft.szie.hu 44

Hangtan

Fon(phon) skála

0

lg10IIfon ⋅=

ahol I0 az adott frekvencián mérhető hallásküszöb A fon hangosság azt mutatja, hogy az adott frekvenciájú hallott hang hány decibeles 1000 Hz-es hanggal azonos hangérzetet kelt.

FIZI

KA

fft.szie.hu 45

Hangtan

Doppler effektus a, Álló hangforráshoz közeledő megfigyelő esete

t 0 ∆t

Hangkibocsátás kezdete vége

Hangérzékelés kezdete vége

cx

ctvxt ∆⋅−

+∆

Álló hangforrás Mozgó megfigyelő x v

∆t’

cvctt

cvt

cx

ctvxt't −

∆=∆−∆=−

∆⋅−

+∆=∆

fvc

cft't'f

tf

't'fN

m−=

∆∆

=⇒∆

=∆

=

FIZI

KA

fft.szie.hu 46

Hangtan

Doppler effektus Általános eset:

0f

m fvcvc'f

±=

Ahol c a terjedési sebesség, vm a megfigyelő, vf a hullámforrás sebessége. A felső előjel alkalmazandó, ha közeledik, a felső ha távolodik egymástól a megfigyelő és a forrás.