Irányítástechnika (BMEGERIA35I)

2010/11/1. félév

Dr. Aradi Petra

SZABÁLYOZÁSI SZABÁLYOZÁSI KÖRÖK 2.KÖRÖK 2.

2010.10.29. AP:GERIA35I 2

Zárt szabályozási körrel szemben támasztott követelmények

tulajdonság időtartományban frekvenciatartományban

pontosság

gyorsaság ???

stabilitás lengési hajlam ???

statikus (maradó) hiba állandósult

állapotban

kör- vagy hurokerősítés(kisfrekvenciás erősítés)

fordított arányosság

szabályozási (beállási) idő

limt∞

xrt ~1K

2010.10.29. AP:GERIA35I 3

Pontosság limt∞

xrt ~1K

2010.10.29. AP:GERIA35I 4

lg ω

ω c

Y0

állandósult állapot

B [dB]

K-20

-40

tranziens mozgás

lg ω

ϕ

0°

-90°

-180°ϕ t

K nő

ts csökkenϕ t csökken

hiba csökken

2010.10.29. AP:GERIA35I 5

Stabilitás

2010.10.29. AP:GERIA35I 6

2010.10.29. AP:GERIA35I 7

A gerjedés fizikai okai

2010.10.29. AP:GERIA35I 8

A gerjedés fizikai okai

körerősítés: K = 1K növelése mit okoz?

2010.10.29. AP:GERIA35I 9

A gerjedés fizikai okai

körerősítés: K > 1

2010.10.29. AP:GERIA35I 10

Stabilitási viszonyok ábrázolása Nyquist diagramon

● a felnyitott kör erősítése és fázistolása● egységnyi erősítés: egységsugarú kör● -180° fázistolás: negatív valós tengely

2010.10.29. AP:GERIA35I 11

A stabilitás általános feltétele

Re λ

Im λ

● a karakterisztikus egyenlet gyökeinegatív valós számok vagy negatívvalós részű konjugált komplexszámpárok

Rei0

2010.10.29. AP:GERIA35I 12

A zárt szabályozási kör vizsgálata

WZÁRT

xa

xs

xa

Y0

Y0

xa

xs+

-

YR

xa

xs+

-

xr Y

SZ

xm

Y 0=Y R⋅Y SZ

W zárt=Y 0

1Y 0

2010.10.29. AP:GERIA35I 13

Stabilitási kritériumok● egy jelátvivő tag esetén:

● Routh-Hurwitz● Mihajlov-Leonhard

● struktúra figyelembevételével:● Nyquist kritérium

WZÁRT

xa

xs

xa

Y0

Y0

xa

xs+

-

2010.10.29. AP:GERIA35I 14

Routh-Hurwitz stabilitási kritérium

WZÁRT

xa

xs

xa W zárt=

Y 0

1Y 0=

bm smb1 sb0

an sna1 sa0

2010.10.29. AP:GERIA35I 15

Mihajlov-Leonhard stabilitási kritérium

WZÁRT

xa

xs

xa W zárt=

Y 0

1Y 0

2010.10.29. AP:GERIA35I 16

Zárt rendszer stabilitása a felnyitott kör vizsgálata alapján

Y 0=G sH s

=m-edfokú polinomn-edfokú polinom

=m darab zérusn darab pólus

, nm

W zárt=Y 0

1Y 0=

G sH s

1 G s H s

=

G s H s

H sG s H s

zárt kör karakterisztikus polinom: H sG sH s

=n darab zérusn darab pólus

Y0

Y0

xa

xs+

-

Y 0=Y R⋅Y SZ

W zárt=Y 0

1Y 0

WZÁRT

xa

xs

xa

2010.10.29. AP:GERIA35I 17

Gyökök forgatása● jobb félsíkra eső gyök forgatása -π,

bal félsíkra eső gyök forgatása +π● polinom fázisforgatása:

a gyöktényezők fázis-forgatásának összege

2010.10.29. AP:GERIA35I 18

Karakterisztikus polinom fázisforgatása

zárt kör karakterisztikus polinom: H sG sH s

=n darab zérusn darab pólus

Z=n−Z ⋅−Z⋅=−2Z−n

P=n−P⋅−P⋅=−2P−n

=Z−P=−⋅2Z−n⋅2P−n=2P−Z

● Z darab jobb félsíkra eső zérus és P darab jobb félsíkra eső pólus esetén

● a karakterisztikus polinom eredő fázisforgatása az origó körül:

2010.10.29. AP:GERIA35I 19

Origó → -1+0j● a zárt kör karakterisztikus polinomja 1+Y

0

Y0

Y0

xa

xs+

-

Y 0=Y R⋅Y SZ

W zárt=Y 0

1Y 0

WZÁRT

xa

xs

xa

2010.10.29. AP:GERIA35I 20

Origó → -1+0j

=Z−P=2P−Z

=Z−P=2P−Z

● a karakterisztikus polinom (1+Y0) eredő

fázisforgatása az origó körül:

● Y0 fázisforgatása a -1+0j pont körül:

2010.10.29. AP:GERIA35I 21

● EGYSZERŰSÍTETT● Z=0 a zárt rendszer

stabilitásának feltétele● P=0 esetén érvényes

az egyszerű Nyquist kritérium

● stabilitás feltétele: Y0

Nyquist diagramja nem kerüli meg a -1 pontot

Nyquist kritérium a zárt szabályozási kör stabilitásának eldöntésére

=Z−P=−⋅2Z−n⋅2P−n=2P−Z

● önmagában stabil felnyitott kör

2010.10.29. AP:GERIA35I 22

Egyszerű Nyquist kritérium

2010.10.29. AP:GERIA35I 23

Nyquist kritérium a zárt szabályozási kör stabilitásának eldöntésére

● önmagában instabil felnyitott kör, jobb félsíkra eső pólus(ok)

=Z−P=−⋅2Z−n⋅2P−n=2P−Z

● ÁLTALÁNOS● Z=0 a zárt rendszer

stabilitásának feltétele● P>0 esetén érvényes

az általános Nyquist kritérium

● stabilitás feltétele: Y0

Nyquist diagramja P-szer kerüli meg a -1 pontot

2010.10.29. AP:GERIA35I 24

Y 0 s=110s24s2

1−8s15s2 =14s 16s1−3s1−5s

2010.10.29. AP:GERIA35I 25

Y 0 s=20 110s24s2

1−8s15s2

2010.10.29. AP:GERIA35I 26

Y 0 s=0,5 110s24s2

1−8s15s2

2010.10.29. AP:GERIA35I 27

Nyquist kritérium a zárt szabályozási kör stabilitásának eldöntésére

● EGYSZERŰSÍTETT● Z=0 a zárt rendszer

stabilitásának feltétele● P=0 esetén érvényes

az egyszerű Nyquist kritérium

● stabilitás feltétele: Y0

Nyquist diagramja nem kerüli meg a -1 pontot

=Z−P=−⋅2Z−n⋅2P−n=2P−Z

● ÁLTALÁNOS● Z=0 a zárt rendszer

stabilitásának feltétele● P>0 esetén érvényes

az általános Nyquist kritérium

● stabilitás feltétele: Y0

Nyquist diagramja P-szer kerüli meg a -1 pontot

2010.10.29. AP:GERIA35I 28

A stabilitás mértékének megítélése, lengési hajlam

W zárt=Y 0

1Y 0

2010.10.29. AP:GERIA35I 29

Fázistartalék és erősítési tartalék

2010.10.29. AP:GERIA35I 30

M-görbe és N-görbe

M =∣Y 0 j∣

∣1Y 0 j∣

N =arg Y 0 j1Y 0 j

Y0

Y0

xa

xs+

-

Y 0=Y R⋅Y SZ

W zárt=Y 0

1Y 0

WZÁRT

xa

xs

xa

2010.10.29. AP:GERIA35I 31

M-görbe és N-görbe

2010.10.29. AP:GERIA35I 32

Ökölszabály a stabilitás biztosítására

2010.10.29. AP:GERIA35I 33

A felnyitott kör jellege

lg ωω c

Y0

ω << ω c

|Y0| >> 1

ω c<< ω

|Y0| << 1

állandósult állapot tranziens mozgás

B [dB]

2010.10.29. AP:GERIA35I 34

A felnyitott kör és a zárt kör kapcsolata

W zárt j=Y 0 j

1Y 0 j∣Y 0 j∣

∣1Y 0 j∣1

∣Y 0 j∣∣1Y 0 j∣

f t

Im

Re-1

Y0ω c

1

Y01+Y0ϕ t

● közelítő megfontolások:● állandósult állapot:

(statikus pontosság)● tranziens átmenet:

(lengési hajlam)

2010.10.29. AP:GERIA35I 35

Szabályozási kör gyorsasága

beállási vagy szabályozási idő: ts

2010.10.29. AP:GERIA35I 36

Közelítő megfontolások

lg ωω c

Y0

ω << ω c

|Y0| >> 1ω c<< ω

|Y0| << 1

B [dB]

Wzárt

-20

-40

≪c : W zárt=Y 0

1Y 0≈

Y 0

Y 0=1 c≪ : W zárt=

Y 0

1Y 0≈

Y 0

1=Y 0

2010.10.29. AP:GERIA35I 37

Aperiodikus jellegű szabályozás vizsgálata

lg ωω c

Y0

B [dB]

Wzárt

-20

-40

≪c : W zárt=Y 0

1Y 0≈

Y 0

Y 0=1

c≪ : W zárt=Y 0

1Y 0≈

Y 0

1=Y 0

≈c : W zárt=1

1T 1 s

T 1=1c

● aperiodikus határátmenet feltétele: φt>60°

2010.10.29. AP:GERIA35I 38

Aperiodikus jellegű szabályozás vizsgálata

0,95=1−e−ts

T 1

t s=3T 1=3c

2010.10.29. AP:GERIA35I 39

Szimulációs vizsgálat

2010.10.29. AP:GERIA35I 40

Ökölszabály

lg ω

ω c

Y0

B [dB]

-20

-40

ω c

Y0

-20

-40

lg ωϕ [°]

0°

-90°

-180°

3/ω c ≤ ts ≤ 10/ω c

2010.10.29. AP:GERIA35I 41

Pontosság

limt∞

xrt ~1K

Y 0=K⋅1si⋅Y 0

*

lims 0

Y 0*=1

t∞⇔ s 0⇔0

2010.10.29. AP:GERIA35I 42

Stabilitás

60 °t

aperiodikus

30 °t60°lengő

Y 0 j=A0 e j0

A0c=10c−t=−

2010.10.29. AP:GERIA35I 43

Gyorsaság

3c

t s10c

Y 0 j=A0 e j0

A0c=10c−t=−

2010.10.29. AP:GERIA35I 44

Zárt szabályozási körrel szemben támasztott követelmények

tulajdonság időtartományban frekvenciatartományban

pontosság

gyorsaság

stabilitás lengési hajlam

statikus (maradó) hiba állandósult

állapotban

kör- vagy hurokerősítés(kisfrekvenciás erősítés)

fordított arányosság

szabályozási (beállási) idő

vágási körfrekvenciafordított arányosság

fázistartalék,erősítési tartalék

limt∞

xrt ~1K

30 °t60 ° lengő60 °t aperiodikus

3c

t s10c

2010.10.29. AP:GERIA35I 45

lg ω

ω c

Y0

állandósult állapot

B [dB]

K-20

-40

tranziens mozgás

lg ω

ϕ

0°

-90°

-180°ϕ t

K nő

ts csökkenϕ t csökken

hiba csökken