SYSTEMES D’EQUATIONS LINEAIRES DETERMINANTS -...

ALGE03 : Systèmes lin., déterminants Cours Janvier 2002

© Cycles Préparatoires du Service Commun de Formation Continue de l'INPL. Isabelle HENROT

1

SYSTEMES D’EQUATIONS LINEAIRES

DETERMINANTS

1 Déterminant

1.1 Introduction

Nous avons déjà vu dans l�UMN « Outil vectoriel » comment caractériser la colinéarité de deux vecteurs en dimension 2 ( grâce au déterminant ) et en dimension 3 ( grâce au produit vectoriel ). Puis dans le chapitre « Espaces vectoriels » nous avons défini la notion plus large de famille libre ou liée. Mais jusqu�à présent, pour savoir si une famille est libre ou liée il faut se donner une combinaison linéaire nulle des vecteurs concernés, et trancher entre deux conclusions possibles : • Chaque fois qu�une combinaison linéaire des vecteurs est nulle, alors tous les

coefficients sont nuls : la famille est libre • Il existe une combinaison linéaire nulle à coefficients non tous nuls :la famille est

liée. Le but de ce paragraphe est de se donner un outil de décision : ce sera le déterminant, nombre réel calculé à partir d�une famille de vecteurs, tel que : • Si le déterminant est nul alors la famille est liée • Si le déterminant est non nul alors la famille est libre. La notion de déterminant s�applique donc à une famille de vecteurs, et aussi par extension à un système d’équations, et surtout à une matrice. Elle permet en particulier le calcul de ses valeurs propres, et la réduction éventuelle à une forme plus simple ( exemple : matrice diagonale ). Pour simplifier l�approche de cette notion nous allons nous placer en dimension 3 ; la définition en dimension n ne pose ensuite pas de problème. Dans tout le chapitre K désigne un corps qui est R ou C.

1.2 Définition du déterminant en dimension 3

Soit f une application de 3E K= vers K. On dit que f est une application trilinéaire si : ( ) 2, Kλ µ∀ ∈

• ( ) 41 2u ,u ,v,w K∀ ∈

!!" !!" " !", ( ) ( ) ( )1 2 1 2f u u ,v,w f u ,v,w f u ,v,wλ µ λ µ+ = +

!!" !!" " !" !!" " !" !!" " !"



2

• ( ) 41 2u,v ,v ,w K∀ ∈

" !" !!" !", ( ) ( ) ( )1 2 1 2f u, v v ,w f u,v ,w f u,v ,wλ µ λ µ+ = +

" !" !!" !" " !" !" " !!" !"

• ( ) 41 2u,v,w ,w K∀ ∈

" " !!" !!", ( ) ( ) ( )1 2 1 2f u,v, w w f u,v,w f u,v,wλ µ λ µ+ = +

" " !!" !!" " " !!" " " !!"

On dit que f est alternée si chaque fois que deux des trois vecteurs ( )u,v,w

" " !"sont

égaux alors ( ) 0f u,v,w =" " !"

.

Enfin on dit que f est une forme si l�ensemble d�arrivée est K.

En conjuguant ces deux propriétés on peut démontrer que : ( ) 2, Kλ µ∀ ∈

• ( ) 0f v w,v,wλ µ+ =" !" " !"

• ( ) 0f u, u w,wλ µ+ =" " !" !"

• ( ) 0f u,v, u vλ µ+ =" " " "

ALGE01E01A

Soit K un corps et l�espace vectoriel 3K , f une forme trilinéaire alternée définie sur 3K . Démontrer les trois propriétés :

• ( ) 0f v w,v,wλ µ+ =" !" " !"

• ( ) 0f u, u w,wλ µ+ =" " !" !"

• ( ) 0f u,v, u vλ µ+ =" " " "

Ces propriétés vont nous permettre de trouver une « formule » pour le déterminant de trois vecteurs. Soit ( )1 2 3e ,e ,e

!" !!" !!" une base de 3K . Posons :

3

1 11 1 21 2 31 31

i ii

u a e a e a e a e=

= = + +∑" !" !" !!" !!"

3

2 12 1 22 2 32 31

j jj

v a e a e a e a e=

= = + +∑" !!" !" !!" !!"

3

3 13 1 23 2 33 31

k kk

w a e a e a e a e=

= = + +∑!" !!" !" !!" !!"

On développe par linéarité : on obtient 27 termes.

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

11 1 21 2 31 3 12 1 22 2 32 3 13 1 23 2 33 3

11 12 13 1 1 1 11 12 23 1 1 2 11 12 33 1 1 3

f a e a e a e , a e a e a e , a e a e a e

a a a f e ,e ,e a a a f e ,e ,e a a a f e ,e ,e ...

+ + + + + +

= + + +

!" !!" !!" !" !!" !!" !" !!" !!"

!" !" !" !" !" !!" !" !" !!"

• Lorsque les trois indices i,j et k sont égaux, ( ) 0i j kf e ,e ,e =!" !!" !!"

. Cela correspond à 3

termes.



3

• Lorsque deux des trois indices i,j et k sont égaux, ( ) 0i j kf e ,e ,e =!" !!" !!"

. Cela

correspond à 18 termes. • Il reste donc six termes pour lesquels les trois indices sont distincts : il y en a 6,

autant que de permutations de l�ensemble des indices { }1 2 3, , .

Pour ces termes on va mettre ( )1 2 3f e ,e ,e!" !!" !!"

en facteur et tenir compte des

changements de signe lorsqu�on échange les vecteurs :

( ) ( )( )1 2 3 11 22 33 11 23 32 12 21 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31f u,v,w f e ,e ,e a a a a a a a a a a a a a a a a a a= − − + + −" " !" !" !!" !!"

toutes les formes trilinéaires alternées sont donc proportionnelles à une même quantité :

11 22 33 11 23 32 12 21 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31a a a a a a a a a a a a a a a a a a− − + + − qu�on va baptiser déterminant. Cela revient à choisir une forme trilinéaire alternée appelée déterminant dans la base ( )1 2 3e ,e ,e

!" !!" !!" et qui vaudra 1 calculé sur ces vecteurs de base.

( ) ( )1 2 3

1 2 3 1e ,e ,edet e ,e ,e =!" !!" !!"!" !!" !!"

Notons simplement det cette forme trilinéaire alternée. Pour tous vecteurs ( )u,v,w

" " !" la formule du déterminant calculé dans cette même base

devient :

( ) 11 22 33 11 23 32 12 21 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31det u,v,w a a a a a a a a a a a a a a a a a a= − − + + −" " !"

que l�on présente sous la forme d�un tableau :

( )11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a adet u,v,w a a a

a a a=

" " !"

( )11 22 33 11 23 32 12 21 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31

11 12 13

21 22 23

31 32 33

det u,v,w

a a a a a a a a a a a a a a a a a aa a aa a aa a a

= − − + + −

=

" " !"

( ) ( ) ( ) ( )11 22 33 23 32 21 12 33 13 32 31 12 23 13 22

22 32 12 32 12 2211 21 31

23 33 13 33 13 23

det u,v,w a a a a a a a a a a a a a a a

a a a a a aa a a

a a a a a a

= − − − + −

= − +

" " !"

ce qui permet de ramener le calcul d�un déterminant « 3-3 » à celui de trois déterminants « 2-2 ».



4

1.3 Propriétés

1

Les déterminants d'un tableau et du tableau transposé (on échange lignes et colonnes) sont égaux .

11 12 13 11 21 31

21 22 23 12 22 32

31 32 33 13 23 33

a a a a a aa a a a a aa a a a a a

=

2

Un déterminant est une fonction linéaire des éléments de chaque ligne. Un déterminant est une fonction linéaire des éléments de chaque colonne. En utilisant la propriété 2, on a par exemple :

11 12 13 11 12 13 11 12 13

21 21 22 22 23 23 21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33 31 32 33

a a a a a a a a aa b a b a b a a a b b ba a a a a a a a a

+ + + = +

11 11 12 13 11 12 13 11 12 13

21 21 22 23 21 22 23 21 22 23

31 31 32 33 31 32 33 31 32 33

a b a a a a a b a aa b a a a a a b a aa b a a a a a b a a

++ = ++

ou encore 11 12 13 11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33 31 32 33

a a a a a a a a aa a a a a a a a aa a a a a a a a a

αα α α α αα

= =

3

Le déterminant change de signe si l'on permute deux lignes quelconques du tableau. Le déterminant change de signe si l'on permute deux colonnes quelconques du tableau. Par exemple,

11 12 13 21 22 23

21 22 23 11 12 13

31 32 33 31 32 33

1 22 13 3

a a a L a a a La a a L a a a La a a L a a a L

= −

ou



5

11 12 13 12 11 13

21 22 23 22 21 23

31 32 33 32 31 33

1 2 3 2 1 3C C C C C Ca a a a a aa a a a a aa a a a a a

= −

4

Le déterminant d'un tableau dont une ligne est une combinaison linéaire des autres lignes est nul. Le déterminant d'un tableau dont une colonne est une combinaison linéaire des autres colonnes est nul.

Ainsi, 1 3 24 5 1 03 2 1

=−

, car L3 = L2 - L1.

On peut déduire de cette propriété deux cas particuliers utiles. Un déterminant qui a deux lignes (ou deux colonnes) égales est nul. Un déterminant, dont tous les éléments d'une ligne (ou d�une colonne) sont nuls, est nul.

Par exemple, on a : 11 13

21 23

31 33

00 00

a aa aa a

= et 11 12 13

11 12 13

31 32 33

0a a aa a aa a a

= .

5

Un déterminant ne change pas si l'on ajoute à une ligne une combinaison linéaire des autres lignes. Un déterminant ne change pas si l'on ajoute à une colonne une combinaison linéaire des autres colonnes. En pratique, cette propriété est très utile pour calculer des déterminants, associée aux méthodes de développement par ligne ou par colonne des déterminants que nous allons présenter au paragraphe suivant.

Soient ( )u,v,w

" " !" trois vecteurs de 3R exprimés dans la base ( )1 2 3e ,e ,e

!" !!" !!". On note det le

déterminant dans cette base.

{ }u,v,w" " !"

est liée si et seulement si ( ) 0det u,v,w =" " !"

{ }u,v,w" " !"

est libre si et seulement si ( ) 0det u,v,w ≠" " !"

1) Si ( )u,v,w

" " !" est liée alors ( ) 0det u,v,w =

" " !" par définition.

2) Si ( )u,v,w" " !"

est libre, alors c�est une base de 3R et ( )1 2 31 , ,f e e e=!" !" !"

est

proportionnel à ( ), ,f u v w" " !"

qui n�est donc pas nul.



6

1.4 En dimension n

On dit qu�un déterminant est d’ordre n pour indiquer qu�il a n lignes et n colonnes. En appliquant les règles de développement selon les éléments d'une ligne (ou d'une colonne), un déterminant d'ordre n se réduit à une combinaison linéaire de déterminants d'ordre (n − 1). En appliquant plusieurs fois cette règle, on arrive donc simplement à des déterminants d'ordre 2 ou 3 qui sont très faciles à calculer. On arrive ainsi à la définition suivante :

Le déterminant d'un tableau carré n x n. est une fonction de 2n variables (les coefficients ija ) qui est égale à 1 1 2 21 k

( ) ( ) n ( n )( ) a a aσ σ σσ

∆ = −∑ … , où σ est une

permutation des nombres 1,..., n, et k représente le nombre d'inversions dans la permutation. Précisons que : • Soit S un ensemble de n éléments : { }S 1 2, ,n= $ . Une permutation est une

bijection de S sur lui-même. • Soit une permutation σ sur l'ensemble S. Deux éléments i et j de S forment une

inversion dans la permutation σ si et seulement si et i j ( i ) ( j )σ σ< > .

1.5 Méthodes de calcul

On appelle mineur ijM d'un déterminant ∆ d'ordre n le déterminant d'ordre ( )1n − déduit de ∆ en supprimant la i-ème ligne et la j-ème colonne.

On appelle cofacteur ijC d'un déterminant ∆ d'ordre n le déterminant d'ordre ( )1n −

égal à 1 i jij ijC ( ) M+= − .

Le mineur 12M du déterminant 1 2 34 3 2

3 2 1

−−

− est 12

4 23 1

M−

= . Le cofacteur 12C

du même déterminant vérifie 1 212 12

4 21

3 1C ( ) M+ −

= − = − .



7

Le déterminant ∆ d'ordre n n× peut être développé selon les éléments d'une ligne quelconque i :

11

ni j

ij ijj

( ) a M+

=∆ = −∑

Comme nous l'avons mentionné au début de ce paragraphe, le développement est aussi possible selon les éléments d'une colonne quelconque j, et l'on a alors :

1

1n

i jij ij

i( ) a M+

=∆ = −∑

Les signes 1 i j( ) +− dont on doit affecter chaque terme du développement sont très faciles à déterminer. Il suffit de remarquer que tous les mineurs associés à des coefficient diagonaux sont égaux à 1, et que d'un coefficient à un voisin le signe change. Par exemple, pour un déterminant d'ordre 3, le tableau des signes correspondant à 1 i j( ) +− est simplement :

1 1 11 1 11 1 1

+ − +⎡ ⎤⎢ ⎥− + −⎢ ⎥⎢ ⎥+ − +⎣ ⎦

Le développement du déterminant 1 2 34 3 2

3 2 1

−−

− selon la première ligne s'écrit :

1 2 33 2 4 2 4 3

4 3 2 1 2 32 1 3 1 3 2

3 2 1( ) ( ) .

−− −

− = + − + −− −

−

On peut aussi développer par rapport à l'une quelconque des autres lignes ou des colonnes, par exemple par rapport à la troisième colonne :

1 2 34 3 1 2 1 2

4 3 2 3 2 13 2 3 2 4 3

3 2 1( )

−−

− = − + − +− − −

−.



8

ALG03E02A

On considère le déterminant 1 2 32 1 01 3 2

D =−

.

1) Calculer D en développant le déterminant suivant les mineurs (a) de la 1ère ligne, (b) de la 2ème colonne, et (c) de la 3ème colonne. 2) Calculer les déterminants obtenus par les transformations suivantes et conclure : ( )1 1 1 2 32 3D c : c c c+ + , ( )2 1 1 2 35D c : c c c− − , ( )3 3 3 1 2D c : c c c− − 3) Transformer le déterminant D en faisant apparaître des termes nuls sur la 1ère colonne.

2 Systèmes de n équations à n inconnues

2.1 Interprétation géométrique

On considère le système de n équations à n inconnues notées 1ix , i n≤ ≤ :

11 1 1 1

1 1

n n

n nn n n

a x a x b

a x a x b

+ + =⎧⎪⎨⎪ + + =⎩

$% % % %

$ (S)

D'un point de vue vectoriel, ce système correspond à l'équation vectorielle : 1 1 n nA x A x B+ + =

" " "$

où

1

2 1

i

ii

ni

aa

A , i n...

a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ≤ ≤⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

!!" et

1

2

n

bb

B...b

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

".

Soit ∆ le déterminant associé au système :

11 1

1

1

n

n

n nn

a adét( A , , A )

a a∆ = =

$ " "% % % $

$

La famille{ }1iA , i n≤ ≤"

est linéairement indépendante si et seulement si le

déterminant ∆ est non nul.

Le système a dans ce cas une solution unique égale aux coordonnées du vecteur B"

dans la base ( )1iA , i n≤ ≤"

.



9

Dans le cas contraire, déterminant nul, la famille{ }1iA , i n≤ ≤"

est liée. Cette famille

n'engendre alors qu'un sous-espace de dimension strictement inférieure à n. La

résolution du système consiste à étudier si le vecteur B"

appartient à ce sous-espace.

Si oui, le système a des solutions avec indétermination, si non le système est

impossible.

Considérons le système :

3 2

2

x y z ax y z bx y z c

+ − =⎧⎪ − + =⎨⎪ + − =⎩

où a, b et c sont trois réels donnés. Le déterminant du système vaut :

3 2 11 1 1 71 1 2

−∆ = − =

−

donc la famille 1 2 3

3 2 11 1 11 1 2

e ,e ,e⎧ − ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = − =⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

!" !!" !!" est une famille libre et donc une

base de 3R : quel que soit les choix des réels a, b et c, le vecteur a

B bc

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

!" aura des

coordonnées uniques dans la base ( )1 2 3e ,e ,e!" !!" !!"

et le système aura une solution unique.

On verra au chapitre suivant comment déterminer cette solution.

Soit à présent le système :

3 2

4

x y z ax y z b

x y c

+ − =⎧⎪ − + =⎨⎪ + =⎩

de déterminant 3 2 11 1 1 04 1 0

−′∆ = − =



10

Cette fois la famille 1 2 3

3 2 11 1 11 1 2

e ,e ,e⎧ − ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = − =⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

!" !!" !!" est liée et engendre un espace

vectoriel F qui est au maximum de dimension 2. Deux cas se présentent : • B F∈

!" : le système a une infinité de solutions

• B F∉!"

: le système n�a aucune solution On verra au chapitre suivant comment trancher entre ces deux cas et calculer les solutions éventuelles.

2.2 Système de Cramer

Si le déterminant ∆ est différent de zéro, le système est appelé système de Cramer et il y a une solution unique. On peut alors utiliser les deux théorèmes suivants :

Si le déterminant d'un système de n équations linéaires à n inconnues est différent de zéro, le système admet une solution unique :

1 21 2

nxx xnx , x , , x

∆∆ ∆= = =

∆ ∆ ∆$

où ix∆ est le déterminant d'ordre n obtenu à partir de ∆ en remplaçant le colonne i

par la colonne du second membre

1

2

n

bb

B...b

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

". (théorème de Cramer)

En effet, on peut calculer le déterminant

ix∆ , 1i , ,n= $ :

1 1 1

1 1 11

1 1 11

ix i i n

n

i j j i nj

n

j i j i nj

dét( A , A ,B, A , , A )

dét( A , A , A x , A , , A )

x dét( A , A , A , A , , A )

− +

− +=

− +=

∆ =

=

=

∑

∑

" " " ""$ $

" " " " "$ $

" " " " "$ $

.

Excepté le déterminant pour lequel j i= , tous les déterminants de la somme sont nuls puisqu'ils ont deux colonnes identiques : la i-ème colonne est égale à une des autres. Il reste donc : 1 1 1ix i i i i nx dét( A , A ,A ,A , ,A )− +∆ =

" " " " "$ $ .

Si les ib sont tous nuls, le système est dit sans second membre ou homogène. De façon évidente, 1 2 0nx x x= = = =$ est toujours solution de ce système.



11

Si son déterminant est différent de zéro, un système homogène de n équations à n inconnues admet la solution unique évidente : x1 = x2 =$=xn = 0

ALG03E03A Résoudre le système d�équations linéaires suivant :

5 2 92 6

0

x y zx y z

x y z

− + =⎧⎪− + + =⎨⎪ + − =⎩

.

2.3 Système avec déterminant nul.

Si le déterminant est nul, cela signifie : • d'un point de vue algébrique, que dans le premier membre, une des équations au

moins est une combinaison linéaire des autres. Il faut alors étudier, si cette relation linéaire est encore vérifiée dans le second membre.

• d'un point de vue vectoriel, que la famille 1 n( A , , A )" "

$ est liée. Il faut alors

déterminer quel est le sous-espace engendré par la famille 1 n( A , , A )" "

$ et étudier

si B"

appartient à ce sous-espace.

On appelle rang du système la taille maximale du sous-système de déterminant non nul. Supposons que le déterminant suivant, extrait de ∆ en conservant les r premières lignes et les r premières colonnes, soit non nul :

11 1

1

r

r

r rr

a aD

a a=

$% % %

$

Cette hypothèse n'est pas restrictive car il suffit d'ordonner les équations et les inconnues pour y arriver. On peut alors réécrire le système sous la forme :

11 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

r r ,r r n n

r rr r r r ,r r rn n

a x a x b a x a x

a x a x b a x a x

+ +

+ +

⎧ + + = − − −⎪⎨⎪ + + = − − −⎩

$ …% % % %

$ … (SP)



12

11 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

r , r ,r r r r ,r r r ,n n

n nr r n n,r r nn n

a x a x b a x a x

a x a x b a x a x

+ + + + + + +

+ +

⎧ + + = − − −⎪⎨⎪ + + = − − −⎩

$ …% % % %

$ … (SS)

où le premier système est le système dit principal (SP) constitué de r équations à r inconnues où les n r− inconnues restantes jouent le rôle de paramètres, et le second système (SS) est constitué de n r− équations auxiliaires. Le système principal a une solution puisque son déterminant est non nul :

11 1 1

rx xr r n n r

r r

D Dx , , x , x , , x

D Dλ λ+ −= = = =$ $ (SOL)

où les déterminants ixD sont obtenus à partir du déterminant rD , en remplaçant la

colonne i par la colonne du second membre. La solution est indéterminée puisqu'elle dépend de n r− paramètres arbitraires : les inconnues 1 2r r nx ,x , x+ + $ . Pour que la solution du système principal (SP) soit solution du système (S), elle doit également satisfaire les n r− équations auxiliaires du second système (SS) : on dit que ce sous-système doit être compatible avec (SP). La compatibilité de (SP) avec (SS) peut être vérifiée en remplaçant dans chacune des équations de (SS) les inconnues par la solution indéterminée (SOL) ci-dessus. Si une des équations n'est pas vérifiée, le système (S) est impossible. Si toutes les équations sont vérifiées, le système (S) possède la solution indéterminée (SOL). Cette méthode de vérification de la compatibilité de (SS) avec (SP) est lourde. On

peut remarquer qu'une équation de (SS) est compatible avec (SP) si elle est une

combinaison linéaire des équations du sous-système (SP), second membre compris.

Ceci peut se vérifier en formant les déterminants suivants, qui doivent être tous nuls :

11 1 1 1 1 1 1

1 1 1

1 1 1

r ,r r n n

kr rr r r ,r r rn n

k kr k k ,r r kn n

a a b a x a x

Da a b a x a xa a b a x a x

+ +

+ +

+ +

− − −

=− − −− − −

$ …% % % %

$ …$ …

En appliquant les règles de linéarité des déterminants, on a :

11 1 111 1 1

11 1

11

r ,irn

k ir rr r ,ir rr r i r

k kr k ,ik kr k

a a aa a b

D xa a aa a ba a aa a b

= += − ∑

$$% % % %% % % %

$$$$

Or, les déterminants en facteur dans la somme sont des déterminants d'ordre 1r + extraits du déterminant ∆. Ils sont par conséquent tous nuls puisque d'ordre supérieur



13

au rang du déterminant. On arrive alors au déterminant appelé déterminant caractéristique :

11 1 1

1

1

r

kr rr r

k kr k

a a b

Da a ba a b

=

$% % % %

$$

La compatibilité de (SS) avec toutes les n r− équations auxiliaires nécessitent de vérifier que les n r− déterminants caractéristiques sont nuls. D'où les deux théorèmes :

Le système (SS) est compatible avec le système (SP) si et seulement si tous les déterminants caractéristiques kD , r + 1 ≤ k ≤ n, sont nuls. Ces déterminants sont obtenus à partir de rD en rajoutant une (r + 1)ième ligne constituée des coefficients

1k kra a$ de l'équation k (r + 1 ≤ k ≤ n) et la colonne des seconds membres correspondants de (S).

Si le déterminant d'un système de n équations à n inconnues est nul, le système est soit indéterminé soit impossible. Soit r le rang du système, on peut alors l'écrire sous la forme d'un système de r équations principales à r inconnues et n r− paramètres et d'un système de n r− équations auxiliaires. Si un des déterminants caractéristiques est non nul, le système n�a pas de solutions. Si tous les déterminants caractéristiques sont nuls, la solution dépend de n r− paramètres arbitraires et s'écrit :

11 1 1

rx xr r n n r

r r

D Dx , , x , x , , x

D Dλ λ+ −= = = =$ $ ,

où les déterminants ixD sont des déterminants d'ordre r, obtenus à partir du

déterminant rD en remplaçant la colonne i par la colonne du second membre du système principal (SP).

Résoudre le système :

2 42 2

2 1

x y zx y zx y z

− + + =⎧⎪ − + = −⎨⎪ + − =⎩

.

On vérifie aisément que le déterminant est nul :

2 1 1 0 3 3

3 31 2 1 0 3 3 0

3 31 1 2 1 1 2

.− −

−∆ = − = − = =

−− −



14

En revanche, tous les déterminants d'ordre 2 sont non nuls. On peut simplement considérer le premier placé en haut et à gauche de ∆ :

2 13 0

1 2.

−= ≠

−

Le rang du système est donc r = 2. On peut alors mettre le système sous la forme d'un système de 2 équations à deux inconnues x et y et à un paramètre z, associé à une équation supplémentaire :

2 42 2

1 2

x y zx y z

x y z

− + = −⎧⎨ − = − −⎩

+ = +

.

Ici, il n'y a qu'un seul déterminant caractéristique, qui est : 2 1 4 2 3 6

3 61 2 2 1 3 3 0

3 31 1 1 1 0 0

D .− −

= − − = − − = ≠− −

Le déterminant caractéristique est non nul : l'équation supplémentaire n'est pas compatible, il n'y a pas de solution. Le système n�a pas de solutions.

ALG03E04A Discuter suivant la valeur du réel m le nombre de solutions du système d�équations linéaires suivant :

02 2 0

0

mx y z x y z x y mz

+ − =⎧⎪ − + =⎨⎪− + + =⎩

.

3 Systèmes de n équations à p inconnues

Nous avions jusqu�à présent des systèmes « carrés » dans lesquels il y avait autant de lignes que de colonnes dans le membre de gauche. Nous considérons maintenant le cas plus général de systèmes « rectangulaires » avec n lignes et p colonnes, c�est-à-dire n équations et p inconnues. On distingue deux cas possibles : • n p> : plus d�équations que d�inconnues. L�idée est de commencer par résoudre

un système de p équations à p inconnues et de vérifier la compatibilité des solutions éventuelles avec les n p− équations restantes.

• n p< : plus d�inconnues que d�équations. On considère arbitrairement p n− inconnues comme des inconnues « auxiliaires » en les faisant passer dans le membre de droite et on essaie de résoudre le système de n équations à n inconnues restant.

Dans les deux cas, on commence par chercher le rang r du système, c'est-à-dire l'ordre du plus grand déterminant non nul extrait du tableau de coefficients de taille n p× associé au système :



15

11 1

1

p

n np

a a

a a

⎡ ⎤⎢ ⎥

∆ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

$

% % %$

On appelle rang d�un système linéaire de n équations à p inconnues l�ordre du plus grand déterminant non nul extrait de ce système.

3.1 Plus d'équations que d'inconnues (n > p).

Dans ce cas, le rang r est inférieur ou égal à p.

3.1.1 Cas r p= .

Si le rang r est égal à p, le système (S) peut être décomposé en un sous-système de Cramer de p équations à p inconnues, associé à un ensemble de n p− équations auxiliaires. La solution unique du système de Cramer d'ordre p doit être compatible avec toutes les équations auxiliaires, c'est-à-dire que les n p− déterminants caractéristiques suivants doivent être nuls :

11 1 1

1

1

0 1

p

kp pp p

k kp k

a a b

D , p k n.a a b

a a b

= = + ≤ ≤

$

% % % %$

$

Résoudre le système de trois équations à deux inconnues :

2

12

4

x yx y a .

x y a

⎧ + =⎪

+ =⎨⎪

+ =⎩

On décompose ce système en un système principal de deux équations à deux inconnues (de déterminant différent de zéro) associé à une équation auxiliaire :

2

12

4

x yx y a

x y a

+ =⎧⎨ + =⎩

+ =

.

Avant de calculer la solution du système, on s'assure d'abord la compatibilité en vérifiant que le déterminant caractéristique est nul :

3 22 2

1 1 1 1 0 0 1 22 1 2 1 2 2 1

3 44 1 4 3 4

aD a a ( a )( a ).

aa a

− −= = − − = = − − −

− −− −



16

Il n'y a des solutions que si 2a = ou 1a = : ( ) ( )( ) ( )

2 1 0

1 0 1

a x, y ,

a x, y ,

= ⇒ =

= ⇒ =

Si 1a ≠ et 2a ≠ : pas de solution.

ALG03E05A Discuter en fonction du paramètre m et résoudre le système d�équations linéaires suivant :

242

2 3 8

x yx zy z mx y z

+ =⎧⎪ + =⎪⎨ + =⎪⎪ + + =⎩

.

3.1.2 Cas r p<

Si le rang r est inférieur au nombre p d'inconnues, le système s'écrit sous la forme d'un sous-système de r équations à r inconnues et p r− paramètres arbitraires, associé à un ensemble de n r− équations auxiliaires. La solution du système est impossible si un seul déterminant caractéristique est différent de zéro. La solution est indéterminée, et dépend de p r− paramètres arbitraires, si toutes les équations auxiliaires sont compatibles avec le sous-système, c'est-à-dire si les n r− déterminants caractéristiques suivants sont nuls :

11 1 1

1

1

0 1

r

kr rr r

k kp k

a a b

D ,r k n.a a ba a b

= = + ≤ ≤

$% % % %

$$

Cette solution s'écrit :

11 1 1

rx xr r p p r

r r

D Dx , , x , x , , x

D Dλ λ+ −= = = =$ $

Discuter en fonction du réel m les solutions du système :

2

24

2

2 3 8 2

x yx z

y z m

x y z m

+ =⎧⎪ + =⎪⎨− + =⎪⎪ − + = +⎩

les déterminants extraits d�ordre 3 sont tous nuls. Isolons un sous-système :



17

24

x yx z

+ =⎧⎨ = −⎩

Le déterminant de ce système est 1 1

1 01 0

= − ≠ donc le rang du système est 2.

Comme il reste deux équations on doit calculer deux déterminants caractéristiques :

( )1

1 1 21 0 4 2 10 1 2

D mm

= = −−

et ( )( )22

1 1 21 0 4 2 1 1

2 1 8 2

D m m

m

= = − +

− +

• Premier cas : 1 21 0m D D= ⇒ = = : le système admet comme ensemble de solutions ( ){ }4 2S z,z ,z ,z R= − − ∈

• Deuxième cas : 11 0m D≠ ⇒ ≠ : l�un au moins des déterminants caractéristiques est non nul, il n�y a pas de solution : S = ∅ .

3.2 Plus d’inconnues que d’équations : n<p

Dans ce cas , le rang r est inférieur ou égal à n.

3.2.1 Cas r n=

On peut écrire le système sous la forme :

11 1 1 1 11

1 11

p

n n k kk n

p

n nn n n nk kk n

a x a x b a x

a x a x b a x

= +

= +

⎧+ + = −⎪

⎪⎪⎨⎪⎪ + + = −⎪⎩

∑

∑

$

% % % %

$

La solution est indéterminée et dépend de p n− paramètres arbitraires :

11 1 1

rx xr r p p r

r r

D Dx , , x , x , , x

D Dλ λ+ −= = = =$ $

où les déterminants ixD sont des déterminants d'ordre n, obtenus à partir du

déterminant nD du système en remplaçant la colonne i par la colonne du second membre.

3.2.2 Cas r n<

Le système s'écrit sous la forme d'un système de r équations à r inconnues dépendant de p r− paramètres arbitraires, associé à un système de n r− équations auxiliaires :



18

a11x1 + $ +a1r xr = b1 − a1kxkk =r +1

p

∑% % % %

ar1x1 + $ +arr xr = br − arj xjj =r +1

p

∑

⎧

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

ar +1,1x1 + $ + ar +1, r xr = b1 − a1kx jj = r+1

p

∑% % % %

an1x1 + $ +anr xr = bn − anjx jj = r+1

p

∑

⎧

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

similaire au système étudié au paragraphe 3.2.1. Elle dépend notamment des déterminants caractéristiques. La solution est impossible si un des déterminants caractéristiques est différent de zéro. La solution est indéterminée et dépend de p r− paramètres arbitraires si tous les déterminants caractéristiques sont nuls :

x1 =

Dx1

Dr

, $, xr =Dx

r

Dr

, xr +1 = λ1 , $, x p = λ p −r

ALG03E06A Discuter en fonction du paramètre m et résoudre le système d�équations linéaires suivant :

2 52 3 2 24 5 3

x y z ux y z ux y z m

+ + + =⎧⎪ + − − =⎨⎪ + + =⎩

.

4 Résumé des discussions.

Les discussions des différents cas sont très importantes et nous les résumons dans ce paragraphe sous la forme de trois organigrammes associés aux trois situations n = p, n > p, n < p.



19

4.1 Cas n = p.

n = p

∆ ≠ 0

Système de Cramer 1 solution unique

Calcul du rang r

Calcul des n - r déterminants caractéristiques

Système incompatible Pas de solution

Solution indéterminée dépendant de n - r paramètres

∃ k tel queDk ≠ 0

oui non

oui non

Dk ,r +1 ≤ k ≤ n



20

4.2 Cas n > p.

n > p

Calcul du rang r

oui nonr = p

Calcul des n - p déterminants caractéristiques

Dk , p +1 ≤ k ≤ n


Dk,r +1 ≤ k ≤ n


Solution indéterminée dépendant de p - r paramètres


oui non

Solution unique



oui non



21

4.3 Cas n < p.

n < p

Calcul du rang r

oui nonr = n


Dk,r +1 ≤ k ≤ n


Solution indéterminée dépendant de p - r paramètres


oui non

Solution indéterminée dépendant de p - n paramètres



22

5 Méthode du pivot de Gauss

Cette méthode permet de résoudre un système de n équations linéaires à n inconnues en le transformant en un système triangulaire équivalent, dont la solution, par substitutions successives est évidente comme nous allons le voir dans le paragraphe suivant. Cette méthode se programme très facilement et fait partie des routines de base des logiciels de résolutions de système d'équations linéaires, mais nous ne détaillerons pas l'algorithme qui pourrait lui être associé.

5.1 Résolution d'un système triangulaire.

On considère le système triangulaire de n équations à n inconnues :

11 1 12 2 1 1

22 2 2 2

n n

n n

nn n n

a x a x a x ba x a x b

a x b

+ + + =⎧⎪ + + =⎪⎨⎪⎪ =⎩

$$% % %

avec 0 1iia , i , ,n.≠ = $ Le déterminant du système est alors différent de zéro :

1

0n

iii

a=

∆ = ≠∏

Les solutions sont alors déterminées simplement de la dernière à la première équation. En effet, on déduit d'abord de la dernière équation :

nn

nn

bxa

=

En reportant ce résultat dans la 1n − équation, on en déduit la valeur de 1nx − :

1 11

1 1

n n n nn

n n

b a xx

a− −

−− −

−=

D'une façon générale, on a la relation :

1 1 1

n

i ij jj i

iii

b a x

x , i , ,n .a

= +−

= = −∑

$

5.2 Equation pivot.

Nous allons décrire la méthode de Gauss de façon générale. Nous reviendrons sur cette méthode dans le cours d�analyse numérique où nous verrons comment l�optimiser afin de mettre en place des logiciels solveurs efficaces.



23

Considérons un système de n équations à n inconnues :

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

n n nn n n

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x ... a x b

+ + + =⎧⎪ + + + =⎪⎨⎪⎪ + + =⎩

$$% % %

Nous supposons qu�il existe i de l�intervalle entier [ ]1..n tel que 1 0ia ≠ . ( sinon le système « perd » une variable ) Nous réorganisons les équations de telle façon à « faire remonter » la ligne i en première ligne et nous réindexons les coefficients de manière normale. Cette man�uvre donne évidemment un système équivalent avec 11 0a ≠ . Nous allons maintenant opérer pour transformer le système initial en un système triangulaire. On privilégie alors l�équation 1 et le coefficient 11a , qui sera le premier pivot. La première étape consiste à éliminer l'inconnue 1x dans les équations 2, 3, ..., n par combinaison linéaire de chacune de ces équations avec la première. On commence par diviser la première équation par 11 0a ≠ :

112 11 2

11 11 11

nn

aa bx x x .a a a

+ + + =$

En multipliant cette équation par 1ia , on obtient :

112 11 1 1 2 1 1

11 11 11

ni i i n i

aa ba x a x a x a .a a a

+ + + =$

En retranchant celle-ci à la i-ème équation du système initial, on élimine 1x , et l'équation devient :

112 12 1 2 1 1

11 11 11

ni i in i n i i

aa ba a x a a x b a .a a a

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠$

En effectuant cette élimination pour 2i , ,n= $ , et en posant

11

11

11

11

2kik i ik

i i i

aa a a ', k , ,na

bb a ba

⎛ ⎞− = =⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

− =⎜ ⎟⎝ ⎠

$

on arrive au système :

11 1 12 2 1 1

22 2 2 2

2 2

n n

n n

n nn n n

a x a x a x ba ' x a ' x b '

a ' x a ' x b '

+ + + =⎧⎪ + + =⎪⎨⎪⎪ + + =⎩

$$% % %

$

On répète ensuite le procédé pour éliminer 2x dans les équations 3, ..., n. Après 1n − étapes, on obtient un système triangulaire.



24

5.3 Exemples.

5.3.1 Exemple 1.

On numérote les lignes 1 2 3L , L et L Résoudre le système :

1 2 3 1

1 2 3 2

1 2 3 3

62 73 2 10

x x x Lx x x Lx x x L

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

Première étape : On conserve la première équation que l�on multiplie par 2− et 3− qu�on ajoute aux lignes 2 et 3 respectivement du système, afin d'éliminer la variable 1x dans ces deux équations. On arrive à :

1 2 3 1 1

2 3 2 2 1

2 3 3 3 1

65 2

2 8 3

x x x L L x x L L L

x x L L L

+ + = =⎧⎪ − − = − = −⎨⎪ − − = − = −⎩

Deuxième étape : On conserve maintenant les deux premières équations, et on élimine la variable 2x dans la troisième équation en la remplaçant par la différence des équations 3 et 2 de, ce qui donne le système triangulaire :

1 2 3 1 1

2 3 2 2

3 3 3 2

653

x x x L L x x L L

x L L L

+ + = =⎧⎪ − − = − =⎨⎪ − = − = −⎩

Troisième étape : On obtient directement 3x dans la troisième équation puis on « remonte ». On peut ainsi trouver 2x dans la deuxième équation puis enfin 1x à l�aide de la première. La solution est alors le triplet : ( )1 2 3, ,

5.3.2 Exemple 2.

Résoudre le système :

1 2 3

1 2 3

1 2 3

62 9

2 3 13

x x xx x xx x x

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

On applique la méthode d'élimination sur le pivot 1 de la variable 1x dans la première équation. Après transformation, on arrive à :

1 2 3

3

2 3

631

x x xx

x x

+ + =⎧⎪ =⎨⎪ − + =⎩



25

Le pivot de la variable 2x étant nul dans la seconde équation, on permute les deux lignes et on arrive au système triangulaire :

1 2 3

2 3

3

613

x x xx x

x

+ + =⎧⎪ − + =⎨⎪ =⎩

d'où l'on déduit les solutions :

3

2 3

1 2 3

31 2

6 1

xx xx x x

== − == − − =

L�écriture des variables alourdit la notation et n�apporte rien à la méthode. L�exercice qui suit adopte une notation matricielle simple à mettre en �uvre. Il suffit de mettre le deuxième membre à la ( )1 ièmen + colonne. La correction proposée met en place cette nouvelle notation.

(ALG03E07A) Résoudre le système suivant avec la méthode du pivot de Gauss

2 2 4 6 47 8

3 2 4 8 25 6 20

x y z tx y tx y z tx y z t

− + + =⎧⎪ − + = −⎪⎨ − + + =⎪⎪− − + − =⎩

que l�on écrira

2 2 4 6 41 1 0 7 83 2 4 8 21 1 5 6 20

−⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎝ ⎠

5.4 Comparaison des méthodes de Cramer et de Gauss

La complexité de calcul pour résoudre un système de n équations à n inconnues est

de l�ordre de 3

3n pour n assez grand et 2n n! pour la méthode de Cramer.

Soit pour 10n = : • 900 opérations élémentaires pour Gauss ( une seconde ) • 360 millions d�opérations élémentaires pour Cramer ( une heure ). Sans commentaires ! En analyse numérique on explore d�autres méthodes plus sophistiquées de résolution des systèmes numériques. Ils ont de nombreuses applications. L�une des plus récentes est la 3ème génération de téléphones mobiles ( UMTS ).

ALGE03 : Déterminants Exercices supplémentaires Juin 2003

Cycles Préparatoires du Service Commun de Formation Continue de l'INPL. Isabelle HENROT

ALGEO3S01 Résoudre par la méthode du pivot le système :

2 33 2 5

2 3 44

x y z tx y z tx y z t

x z t

+ + − = − − + + =− + + − = − + + =

ALGEO3S02 Soit a un paramètre réel. Résoudre le système

1111

ax y z tx ay z tx y az tx y z at

+ + + = + + + = + + + = + + + =

ALGE03 : Déterminants Enoncés Juin 2003


1

ALGE03E02B Calculer le déterminant D en faisant apparaître des termes nuls sur une rangée :

3 1 615 4 38 7 12

D = −



2

ALGE03E02C

Calculer le déterminant

3 1 0 24 7 2 12 1 0 53 1 4 1

D

−

=−

−



3

ALGE03E03B

On considère le système d’équations linéaires suivant : 1

ax y a b x ay + = −

+ =

Où x et y sont des inconnues et a et b des paramètres. 1) Calculer les déterminants du système. 2) Discuter l’existence des solutions en fonction des paramètres et indiquer ces

solutions lorsqu’elles existent.



4

ALGE03E06B Résoudre le système d’équations linéaires suivant :

4 2 3 3 9 32 3 12 2 2 6 2

x y z u vx y z u v

x y z u v

− + + + − − =− + + + + = − + + + =

.

ALGE03 : Déterminants Solutions Juin 2003


1

ALG03E01A Les trois propriétés ont des démonstrations identiques. Effectuons la première. Soient ,λ µ deux éléments du corps K et ,v w

r ur deux vecteurs de l’espace vectoriel

3K . Comme f est trilinéaire on peut écrire

( ) ( ) ( ), , , , , ,f v w v w f v v w f w v wλ +µ = λ +µr ur r ur r r ur ur r ur

Comme f est alternée, elle s’annule chaque fois que deux vecteurs sont égaux : ainsi

( ), , 0f v v w =r r ur

et ( ), , 0f w v w =ur r ur

.

On en déduit que ( ), , 0f v w v wλ +µ =r ur r ur

.

Appliquée à la forme trilinéaire alternée « déterminant » cette formule se traduit par : si une famille de trois vecteurs de 3K est liée, alors son déterminant est nul. Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vous conseillons de contacter votre tuteur



2

ALG03E02A 1) Développement selon les mineurs :

1 0 2 0 2 11 2 3 2 8 21 15

3 2 1 2 1 3

2 0 1 3 1 32 1 3 8 5 18 15

1 2 1 2 2 0

2 1 1 23 2 21 6 15

1 3 2 1

a

b

c

D

D

D

= × − × + × = − + =− −

= − × + × − × = − + + =− −

= × + × = − =−

On peut remarquer que les calculs sont plus économiques lorsque l’on utilise des rangées comportant des termes nuls. 2) Calcul de 1 2 3D , D , D :

( )

1 1

2 2

3 3

14 2 34 1 14 2

4 1 0 3 2 3 12 1511 3 4 1

11 3 2

0 2 32 3 2 3

9 1 0 9 10 45 30 75 53 2 1 0

10 3 2

1 2 01 2

2 1 3 3 151 3

1 3 0

D D D

D D D

D D D

= = × + × = + = ⇒ =

= = − × − × = + = ⇒ =−

= − = − − × = ⇒ =−

−

Le calcul de 3D est plus simple car on fait apparaître deux termes nuls sur la 3ième colonne. Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vous conseillons de cliquer sur Exercice



3

ALG03E02B Dans la combinaison des rangées, on a intérêt à utiliser les termes les plus simples, c’est à dire les termes 1 ou −1 s’il y en a. Par exemple, les combinaisons des lignes :

2 2 1

3 3 1

47

L L LL L L← −← −

simplifient la seconde colonne.

( )3 1 6 3 1 6

3 615 4 3 3 0 27 1 90 351 441

13 308 7 12 13 0 30

D = − = − = − × = − − − =− −

− −

De même, les combinaisons sur les colonnes : 1 1 2

3 3 2

36

C C CC C C

← −← −

simplifient première ligne.

( )3 1 6 0 1 0

3 2715 4 3 3 4 27 1 90 351 441

13 308 7 12 13 7 30

D−

= − = − = − × = − − − =− −

− −

Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vous conseillons de cliquer sur Exercice



4

ALG03E02C On fait apparaître un terme nul supplémentaire sur la 3ième colonne, par :

4 4 22L L L← − 3 1 0 2 3 1 0 2

3 1 24 7 2 1 4 7 2 1

2 2 1 52 1 0 5 2 1 0 5

11 13 13 1 4 1 11 13 0 1

D

− −−

= = = − −− −

− − −− − − −

On peut maintenant simplifier la première ligne en combinant les colonnes : 1 1 2

3 3 2

32

C C CC C C

← −← +

( )( ) ( )3 1 2

5 32 2 1 5 2 1 2 135 84 438

28 2711 13 1

D−

= − − = − − = − − = −−

− − −

NB : Lorsque l’on effectue plusieurs transformations simultanément, il faut vérifier que les rangées utilisées n’ont pas été modifiées préalablement. Par exemple, si on utilise :

1 1 2 3

2 2 1

24

C C C CC C C

← + +← −

La colonne 1C dans la deuxième transformation est celle déjà modifiée par la première transformation et non celle du déterminant initial. Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vous conseillons de contacter votre tuteur



5

ALG03E03A Le déterminant principal du système est formé par les coefficients x, y et z :

5 1 21 2 1 21

1 1 1D

−= − = −

−.

Les déterminants xD , yD , zD s’obtiennent en remplaçant, respectivement, les colonnes des coefficients de x, y et z par la colonne du second membre :

9 1 26 2 1 210 1 1

xD−

= = −−

, 5 9 21 6 1 42

1 0 1yD = − = −

−,

5 1 91 2 6 63

1 1 0zD

−= − = − .

La solution du système de Cramer est donnée par :

1xDxD

= = , 2yDy

D= = , 3zDz

D= = .




6

ALG03E03B

1) 211

1a

D aa

= = − , 211

1xa b

D a aba

−= = − − ,

1 1ya a b

D b−

= = .

2) Il y a toujours deux cas principaux selon les valeurs du déterminant principal D. cas 1 : 0D ≠ , c’est-à-dire 1a ≠ ± . Le système admet une solution unique :

2

21

1xD a abx

D a− −

= =−

, 2 1yD by

D a= =

−.

cas 2 : 0D = , conduisant à deux sous-cas. cas 2.1 : 1a = . On calcule xD b= − et yD b= . Deux nouvelles possibilités.

cas 2.1.1 : 0b ≠ . Le système est impossible car 0xD ≠ . Il correspond géométriquement à deux droites parallèles : 1x y b+ = − et 1x y+ = . cas 2.1.2 : 0b = . Donc 0x yD D= = . L’une des deux équations du système est inutile de sorte qu’il y a une infinité de solutions 1x y= − . Les deux droites formant le système sont confondues.

cas 2.2 : 1a = − . x yD D b= = . Deux autres possibilités. cas 2.1.1 : 0b ≠ . Le système est impossible car 0xD ≠ . Il correspond géométriquement à deux droites parallèles : 1x y b− = + et 1x y− = . cas 2.1.2 : 0b = . Donc 0x yD D= = . L’une des deux équations du système est inutile de sorte qu’il y a une infinité de solutions 1x y= + . Les deux droites formant le système sont confondues.

Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vous conseillons de contacter votre tuteur



7

ALG03E04A Un système homogène (sans second membre) n’est jamais impossible car il admet toujours la solution évidente 0x y z= = = . Dans les systèmes carrés, le cas 0D ≠ ne fournit que cette solution unique et banale, alors que le cas 0D = est plus intéressant en pratique conduisant à une infinité de solutions. Nous avons ( )( )2 1 1D m m= − + + . Cas 1 : 0D ≠ . Solution banale 0x y z= = = . Cas 2 : 0D = . Une équation superflue.

Cas 2.1 : 1m = − . On élimine la 1ère équation qui est identique à la 3ème. En utilisant les 2 autres équations, on peut déterminer x et y en fonction de z :

1 21

1 1xyD−

= = −−

, 2 2

01x

zD

z− −

= = , 1 21y

zD z

z−

= = −−

.

Infinité de solutions :

0x

xy

DxD

= = , y

xy

Dy z

D= = .

Cas 2.2 : 12

m −= . La 1ère équation est toujours redondante (identique à la 2ème) :

1 21

1 1xyD−

′ = = −−

, 2 2

12

x

zD zz

− −= = − ,

1 2321

2y

zzD z

−= = −−

.

Infinité de solutions : x

xy

Dx zD

= = , 32

y

xy

D zyD

= = .

Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vous conseillons de contacter votre tuteur



8

ALG03E05A Forme matricielle du système :

1 1 0 21 0 1 40 1 1 21 2 3 8

M

Xm

× =

r

14243

.

On cherche un déterminant 3.3 de M non nul. En utilisant les 3 premières équations :

123

1 1 01 0 1 2 00 1 1

D = = − ≠ .

Ces trois équations conduisent donc à une solution unique : 2 1 04 0 1 2 6

2 1 1xD m

m= = − ,

1 2 01 4 1 2 20 2 1

yD mm

= = − , 1 1 21 0 4 2 20 1 2

zD mm

= = − − .

1233xDx m

D= = − ,

1231yD

y mD

= = − , 123

1zDz mD

= = + .

On remplace x, y et z dans la 4ème équation : ( ) ( )3 2 1 3 1 8 1m m m m− + − + + = ⇒ = .

Cas 1 : 1m ≠ , le système est impossible. Cas 2 : 1m = , le système admet une solution unique 2 0 2x , y , z= = = . Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vous conseillons de contacter votre tuteur



9

ALGE03E06A Forme matricielle du système :

1 1 2 1 52 3 1 2 24 5 3 0

Xm

− − =

r.

On vérifie que tous les déterminants 3.3 de M sont nuls. Il existe donc une combinaison linéaire des lignes, qu’on peut trouver en identifiant 1 2 3 0al bl cl+ + = . On obtient 3 1 22l l l= + . On regarde si cette combinaison est vérifiée ou non par les termes du second membre : 2 5 2m = × + . Cas 1 : 12m ≠ , le système est impossible. Cas 2 : 12m = . On élimine la 3ème équation du système qui est inutile (combinaison des 2 autres). La procédure est répétée : on cherche un déterminant 2.2 de M non nul, par exemple 1xyD = . Par conséquent, x et y s’expriment de façon unique en fonction de z et u :

5 2 113 7 5

2 2 3xz u

D z uz u

− −= = − −

+ +,

1 5 28 5 4

2 2 2yz u

D z uz u

− −= = − + +

+ +.

Donc

13 7 5x

xy

Dx z uD

= = − − , 8 5 4y

xy

Dy z u

D= = − + + .




10

ALGE03E06B Forme matricielle du système :

4 2 3 3 9 32 1 1 1 3 1

2 1 2 2 6 2M

X− − − − × = −

r

14444244443

.

Pour pouvoir exprimer 3 inconnues en fonction des 2 autres, il faut trouver un déterminant 3.3 de M non nul. Il y a 10 déterminants possibles ( )3

5 10C = . On

minimise le choix, en notant que les 2 premières colonnes de M sont proportionnelles. Tout déterminant qui inclurait ces colonnes serait nul, autrement dit les inconnues x et y ne peuvent pas être déterminées simultanément. Même raisonnement et conclusion pour u et v. On calcule yzuD :

2 3 31 1 1 181 2 2

yzuD−

= = −−

.

yzuD étant non nul, on peut exprimer, de façon unique, y, z et u en fonction de x et

v :

y

yzu

Dy

D= , z

yzu

DzD

= , u

yzu

DuD

= .

Les déterminants yD , zD , uD sont obtenus en transférant d’abord les termes en x et v dans le second membre du système, et ensuite en substituant cette colonne libre à celle de y, z et, respectivement, u dans yzuD :

3 4 9 3 31 2 3 1 1 362 2 6 2 2

y

x vD x v x

x v

+ + −= + − = −

− −,

2 3 4 9 31 1 2 3 1 181 2 2 6 2

z

x vD x v

x v

+ + −= + − = −− − −

, 54uD v= .

Une solution du système est donc 2 1 3y x , z , u v= = = − . De manière similaire, on aurait pu montrer que 0xzuD ≠ et déterminer ( )x,z,v en

fonction de ( )y,u . Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vous conseillons de contacter votre tuteur



11

ALGE03E07A Système initial :

2 2 4 6 41 1 0 7 83 2 4 8 21 1 5 6 20

− − − − − − −

1

2

3

4

LLLL

Première étape : 2 2 4 6 40 0 2 4 100 1 2 1 40 2 7 3 22

− − − − − − − −

1 1

2 2 1

3 3 1

4 4 1

1 23 21 2

L L L L LL L LL L L

← ← − ← − ← +

Première étape (bis) On fait remonter le pivot non nul 32a en 22a , ce qui équivaut à l’échange des lignes 2 et 3.

2 2 4 6 40 1 2 1 40 0 2 4 100 2 7 3 22

− − − − − − − −

1 1

2 3

3 2

4 4

L LL LL LL L

← ← ← ←

Deuxième étape : l’élimination du coefficient de 2x est déjà faite à la ligne 3, il suffit de le faire à la ligne 4.

2 2 4 6 40 1 2 1 40 0 2 4 100 0 3 5 14

− − − − − − −

1 1

2 2

3 3

4 4 22

L L L L L L L L L

← ← ← ← +

Troisième étape :

2 2 4 6 40 1 2 1 40 0 2 4 100 0 0 1 1

− − − − − − −

1 1

2 2

3 3

4 4 232

L L L L L L

L L L

← ← ← ← +

On trouve finalement la solution unique : ( )0 1 3 1; ; ;− Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vous conseillons de contacter votre tuteur

ALGE03 : Déterminants Aides Juin 2003


1

ALGE03E01A Utilisez les deux propriétés suivantes : • Comme f est trilinéaire on peut développer l’expression. • Comme f est alternée, elle s’annule chaque fois que deux vecteurs sont égaux.



2

ALGE03E02A 1) Développement selon les mineurs : Utilisez la méthode du paragraphe 1.5. 2) Calcul de 1 2 3D , D , D : utilisez les propriétés du paragraphe 1.3.



3

ALGE03E02B Dans la combinaison des rangées, on a intérêt à utiliser les termes les plus simples, c’est à dire les termes 1 ou −1 s’il y en a. Par exemple, les combinaisons des lignes :

2 2 1

3 3 1

47

L L LL L L← −← −

simplifient la seconde colonne.



4

ALGE03E02C On fait apparaître un terme nul supplémentaire sur la 3ième colonne, par :

4 4 22L L L← − 3 1 0 2 3 1 0 2

3 1 24 7 2 1 4 7 2 1

2 2 1 52 1 0 5 2 1 0 5

11 13 13 1 4 1 11 13 0 1

D

− −−

= = = − −− −

− − −− − − −

On peut maintenant simplifier la première ligne en combinant les colonnes :

1 1 2

3 3 2

32

C C CC C C

← −← +



5

ALGE03E03A On calcule le déterminant principal du système :

5 1 21 2 1

1 1 1D

−= −

−.

Ensuite on calcule les déterminants xD , yD , zD qui s’obtiennent en remplaçant, respectivement, les colonnes des coefficients de x, y et z par la colonne du second membre.



6

ALGE03E03B

1) 1

1a

Da

= , 1

1xa b

Da

−= ,

1 1ya a b

D−

= .

2) Il faut partir des valeurs du déterminant principal D : s’il est non nul solution unique, sinon soit une infinité de solutions, soit pas de solutions du tout.



7

ALGE03E04A Un système homogène (sans second membre) n’est jamais impossible car il admet toujours la solution évidente 0x y z= = = . Dans les systèmes carrés, le cas 0D ≠ ne fournit que cette solution unique et banale, alors que le cas 0D = est plus intéressant en pratique conduisant à une infinité de solutions.



8


1 1 0 21 0 1 40 1 1 21 2 3 8

M

Xm

× =

r

14243

.

On cherche un déterminant 3.3 de M non nul On exprime alors les trois inconnues et on vérifie la compatibilité de la quatrième équation.



9


1 1 2 1 52 3 1 2 24 5 3 0

Xm

− − =

r.

On vérifie que tous les déterminants 3.3 de M sont nuls. Il existe donc une combinaison linéaire des lignes, qu’on peut trouver en identifiant 1 2 3 0al bl cl+ + = . On regarde si cette combinaison est vérifiée ou non par les termes du second membre.



10

ALGE03E06B Forme matricielle du système :

4 2 3 3 9 32 1 1 1 3 1

2 1 2 2 6 2M

X− − − − × = −

r

14444244443

.

Pour pouvoir exprimer 3 inconnues en fonction des 2 autres, il faut trouver un déterminant 3.3 de M non nul. Il y a 10 déterminants possibles ( )3

5 10C = . On

minimise le choix, en notant que les 2 premières colonnes de M sont proportionnelles. Tout déterminant qui inclurait ces colonnes serait nul, autrement dit les inconnues x et y ne peuvent pas être déterminées simultanément. Même raisonnement et conclusion pour u et v.



11

ALGE03E07A Système initial :

2 2 4 6 41 1 0 7 83 2 4 8 21 1 5 6 20

− − − − − − −

1

2

3

4

LLLL

Première étape : on élimine les coefficients de la première colonne n dessous du 2 2 2 4 6 40 0 2 4 100 1 2 1 40 2 7 3 22

− − − − − − − −

1 1

2 2 1

3 3 1

4 4 1

1 23 21 2

L L L L LL L LL L L

← ← − ← − ← +

Première étape (bis) On fait remonter le pivot non nul 32a en 22a , ce qui équivaut à l’échange des lignes 2 et 3, et on élimine les coefficients de la deuxième colonne en dessous du 1.

SYSTEMES D’EQUATIONS LINEAIRES DETERMINANTS -...

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