Sygnały i układy Zbiór zadań

5/14/2018 Sygnay i ukady Zbir zada

1/88

SYGNA l YI U K lA DYZ b i 6 r z n d n n

P r n e n p o d r e d e k q qI r e n y K u z o r y

W y d a n i e I I I

R z e s z 6 w


2/88

I S B N 83-86705-26-4


3/88

S Y G N A l YI U K l A D YI b i 6 r z a d a n

P r o c o p o d r e d e k q qI r e n y K u z o r y

W y d o n ie I I I


4/88

Wydano za zgoda Rektora

Autorzy:Tadeusz BEWSZKOGrzegorz DRALUSMariusz GAMRACKIIrena KUZORA

Grzegorz MASLOWSKI

Materialy pomocnicze do przedmiotu "sygnaly i uklady"nie recenzowane

Druk wykonano z makiet dostarczonych przez autor6w

Obwody elektryczne - stany nieustaloneSygnaly analogowe - analiza - zadaniaSystemy cyfrowe - analiza - zadania

Przeksztalcenie FourieraRepetytorium

ISBN 83-86705-26-4

Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiejul. W. Pola 2,35-959 Rzesz6w

N aklad 1 85 egz. A rk. w yd. 4 ,9 8. A rk. d ru k. 5,5. P apier offset. kl. III 70 g B I.O ddano do druku w styczniu 2001 r. W ydrukow ano w styczniu 2001 r. W ydanie III ze zmianamiZ ak la d P olig ra fii P olite ch nik i R ze sz ow sk ie j im . Ig na ce go L uk asiewic za , u l. W . P ola 2 , 3 5-9 59 Rze sz 6wZam. nr5/01


5/88

SPIS TREseI

1. Metoda klasyczna 52. Metoda zmiennych stanu 163. Metoda operatorowa 264. Przeksztalcenie Fouriera 415. Sygnaly analogowe i cyfrowe oraz podstawowe uklady cyfrowe 486. Przeksztalcenie Z 527. Splot 688. Repetytorium - zadania rozne 71Literatura R " I


6/88


7/88

l.Metoda Id asy cma1.1. W obwodzie jak n . rys . PrzeillC zono k1ucz z pozycji I na pozycje 2 w chwili

t=O. Wyznaczyc przebieg pradu i(t) dla t > 0, jezeli e(t) =105 sin( lOOt + 1f/4) V ,a-ron, L =0.2 H , C = I mF.a) L R

ci(t)

b)

Rys. do zad . 1 .1 (2)Rozwi~nie.

A naliza stanu ustalonego przed przelaczeniem k1ucza:t


8/88

6

I = E-u R+ jXLlOejltl4 ejlt/4I=-- I = '032-u 10+ j20' -u 2,236ejlIl' Iu = 0,447e-J A.

Wartosc pradu dla sktadowej ustalonej w chwili t= O wynosi:iu = [0.44 7.n sin( lOOt- 0,32)]A, iu(O+)= -0,2 A.Z prawa komutacji wylicza si~ ip(O+):i(O-)= iu(O+)+ip(O+), ip(O+)= 0,2 A.Stan przejSciowy opisuje r6wnanie rozniczkowe:

diRi +L__ = 0.p dtRozwiazanie og61ne tego r6wnania ma postac:

R-~Iip(t)= A e L ,gdzie A jest stat~ catkowania i r6wna jest A =0,2.CzyJ ii(t)=(O,44 i-Ii sin( lOOt- 0,32)+O,2e -SOl) A.Przebiegi sktadowej ustalonej, przejSciowej oraz pradu wypadkowego zostalyprzedstawione na rys. b.1.2. Do obwodu wedhig rys. a doprowadzono napi~ie state U = 200 V. Podacprzebieg natezenia pradu pobieranego ze ir6dta i przebieg napi~a na kondensatorze,

jesli Rl=200n , R2=100n , C=11l F.a)

b) c)

.0.0004. ,0.RYI. do zad. 1.2 (2)

,o~


9/88

7Rozwi4Z80ie .

Analiza stanu ustalonego przed przelaczeniem klucza:t< 0Z warunkow zadania wynika, ze: uC 0Rownania opisujace obwod po zalaczeniu napiecia stalego maja postac:

Po rozwiazaniu ukladu rownan wzgledem napiecia na kondensatorze otrzymuje sie:R Cduc RI +R2 E1 Tt+ R2 vc = .W stanie ustalonym napiecie na kondensatorze wyniesie:

UuCu(t)= R2RI +R2CzyliuCu(O+)= 66,67 V.Stan przejSciowy odpowiada rozwiazaniu rownania rozniczkowego jednorodnego:

ducp RI +R2R1C--+ Uc =0.dt R2 pRozwiazanie ogolne tego rownania rozniczkowego rna postac:

_RI+R2tucp(t) = Ae RIR2C ,

Stall\ A wyznacza sie wykorzystujac prawo komutacji:uc(O-)= UCu(O+)+ucp(O+), ucp(O+)= -66,67 V, ucp(O+)= A, A = -66,67.

Ostatecznie napiecie na kondensatorze dla t > 0 rna postac:uc(t)= 66,67(1- e -1.5-l0 t) V.Teraz mozna obliczyc prady w obwodzie:iJ = C duc 4 4dt' i1 =(0,67+0,33e-I,5.10 t)A, iJ = le-1,5.10 t A.Natomiast prad prad iIi i2 wynosi:


10/88

8Przebieg napiecia na kondensatorze oraz przebiegi pradow w obwodzie przedstawioneS I\ na rys. b i rys. c.Uwaga: zadanie 1.2. rnozna rozwiazac rowniez w bardzo prosty sposob wykorzystujacmetode Thevenina.1.3. Do obwodu wedlug rys. a zostala przylozona stala SEM E = 50 V Obliczyc

przebieg natezenia pradow i. i2. ij.jezeli i ) = i2 + i3 C = 100,u F. R=500n. L = 1 H,gdy w chwili wlaczenia obwodu napiecie na okladzmach kondensatora rna wartosc150 V ijest skierowane przeciwnie niz SEM zrodla,a)

b)

Rys. do zad. 1.3 12)Rczwiazanie.

t < 0Z warunk6w zadania wynika. ze uC 0Rownan ia op isu jace obw6d po zala czen iu nap ie cia s ta lego ma ja pos ta c:

1II.. di dE=~ l)dt+Ri (I) 12 . Uc ...C 3 RI3 =L- (2) I) =C- (3) II = 12 +13 (4)o dt dtPo zrozniczkowaniu r6wnania (I) i skorzystaniu z r6wnania (4):


11/88

9

Z rownania (2) wynika, ze:Rdi3 Ld2i21_r L di2) Ld2i2-= -- 0=-:::\12+--+--dt dt2' C R dt dt2Czylid2i2 +_I_di2 +_2_=0 d2i2 +20di2 +104i2 =0.dt2 RC dt LC ' dt2 dtRownanie charakterystyczne jest rownaniem kwadratowym z delta mniejsza od zera:p2+20p+104 =0, h=202_4.104, h=-3,96.104, h


12/88

10Stadi3 = [0,02'e -lOt sin 99.5t - O,2.e-10t cos99.5t]A.Oraz

Prady ii, i2, i3 Sl \ przedstawione na rys. b.1.4. Jaka powinna bye rezystancja cewki (L= I00 mH), ab y po 0,1 s po jej zwarciu

wartosc natezenia pradu w cewce wynosila 0,01 wartosci poczatkowej ?Odp. R = 4,6 n.1.5. Dla obwodu z rys., gdzie R = lOon i L = 0,1 H, obliczyc, po uplywie jakiego

czasu od chwili zarnkniecia obwodu, natezenie pradu osiagnie 0,99 wartosci ustalonej.Odp. t = 4,6.10-3 s .

R

E LRys. do zad. l..5 (2)

1.6. Obw6d wedlug rys, zasilany jest z irOdta napiecia 0 SEM E =200 V. Obliczycrezystancje R i indukcyjnosc L, jesli po uplywie 0,025 s po zamknieciu styku Knatezenie pradu wynosi 6 A, a po uplywie 0,05 s wynosi 3 A oraz jesli wiadomo, zeRI=IOnOdp. R = 6,6 n, L = 0,238 H.

L

RK

R1Rys. do zad 1.6 (2)

1.7. W sieci pradu stalego (rys.) za pomoca wylacznika K] zostaje wlaczona cewkao rezystancji R i indukcyjnoSci L. Po uplywie czasu tl = 0,06 s od chwili zamknieeiastyku K1 zostaje zamkniety styk K2. Obliczyc ilosc energii zamienionej na cieplo wrezystancji R cewki od chwili zamkniecia styku K 1 do chwili zupelnego zaniku prl\duw cewce, jezeli R = 5 n, L = 0,4 H, RI =sn i E = 100 V.


13/88

1 .1Odp. Q = 12,071.

Rys. do zad. 1.7 [2]1.8. Dla obwodu wedlug rys. wyznaczyc wartosc natezenia pradu w oczku abcda

po uplywie 0,04 s od chwili zamkniecia styku K, jesli L = 0,3 H, RI = R2 = 5 nE=llOV.

Odp. i= 16,36 A.

CRys, do zad. 1.8 [2]

1.9. W obwodzie wedlug rys. w pewnej chwili cewka L2R2 zostaje zwartawylacznikiem K. Obliczyc natezenie pradu plynacego przez wylacznik po uplywie0,06 s po jego zamknieciu.jezeli Lj = 0,4 H, Rj = R2 = 5 n, L2 = 0,6 HiE = 100V.

Odp. i= 9,21 A.

d

Rys. do zad. 1.9 [2]1.10. Do cewki dolaczono sinusoidalne napiecie u =U m sin( rot + 1 jI) . Po uplywie

0,005s, natezenie pradu w cewce wynosi i= -1,066Im, gdzie 1m - amplitudaskladowej wymuszonej natezenia pradu w cewce. Stala czasowa cewki wynosit= 1,84.10-3 s, czestotliwosc pradu f= 50 Hz. Wyznaczye faze napiecia,

Odp. IjI=12001.11. Do cewki 0 rezystancji R = 1n oraz indukcyjnoSci wlasnej L = 184 mH

przylozono napiecie sinusoidalne 0 wartosci maksymalnej Em = 115 V iczestotliwosci f = SOHz. Narysowac krtywe ip(t), iu(t), i(t),


14/88

12a) gdy napiecie wlaczono w chwili przejScia skladowej ustalonej natezenia pradu

przez zero,b) gdy napiecie wlaczono w chwili osiagniecia przez skladowa ustalona natezenia

pradu najwiekszej wartosci dodatniej.Odp. i - Imsin(rot+ ljI-ql)-lmsin(ljI-ql)e-tit gdziet=LIR.1.12. Cewka (R = 50, L = IH) zostala dolaczona do napiecia sinusoidalnego 0

wartosci chwilowej u = 1000sin(rot+ 1jI) 0 czestotliwosci f = 50 Hz; w chwiliwlaczenia faza napiecia wynosila IjI= rei) . Obliczyc natezenie pradu po uplywie 5okresow od chwili wlaczenia.Odp. i= -0,6 A.1.13. W obwodzie wedlug rys. dziala sinusoidalna SEM e = .J2Esin(rot + 1jI), gdzie

E = 220 V, f= 50H, RI =R2 = 100, L = 64mH. W chwili przejscia natezenia praduprzez najwieksza wartosc zostaje zwarta wylacznikiem K cz~ obwodu R2L. Napisacrownania natezenia pradow ii, i2, i) w funkcji czasu i narysowac przebieg pradow.Odp.

roLqI = arctg ,R) +R2

Rys. do zad. 1.13 (2)1.14. Kondensator 0 pojemnosci C =40~F w obwodzie (rys.) roztadowuje sie

przez rezystancje R = 10000. Po uplywie ilu sekund od poczatku wyladowania,natezenie pradu w obwodzie zmaleje do 5% wartosci poczatkowej.Odp. t =0,12s.

K R

cRys. do zad. 1.14 (2)

1.15. Kondensator 0 pojemnoSci C = 50J,1F, poIllCzony szeregowo z opornikiem 0rezystancji R = 1000, dolaczony zosta. do sieci pf\du stalego 0 napi~u U = IOOV.Jakie napiecie panuje miedzy oktadzinarni kondensatora po 0,018 od chwih zala.czenJa?


15/88

13Odp. U =86,5V.1.16. Wymaczyc przebiegi czasowe prJl(i6wW obwodzie wedlug rys. po zahlczeniu

wylacznika K oraz wyznaczyc przebieg napi~ia mizy okladzinami kondensatora U c .Obliczyc czas t, po uplywie kt6rego i2 = i3 i nat~:ienia prlld6w oraz Uc w tej chwili,jezeh R1 = 15.1040, R2 = 51040, C = 222 pF ,E = 40kV.Odp.i)=:::---=-::--


16/88

14

Rys. do zad US (2(1.19. Obwod wedlug rys. zostaje wlaczony pod dzialanie stale] SEM E=5000V.

Podac przebieg natezenia pradow iI, i2, i3 w funkcji czasu dla danycha) L = 9 rnll , C = 999 pF , R = 10000 n;b) L = 9 mll: C = 999 pF ; R = 1500 n;c) L = 9 rnl-l; C = 999 pF ; R = 500 0;K LEG J 9 : 2Rys.do zad, 1.19 (2)

Odp. a) i2 = ~[I-(cosl3t + -1-sinl3t)e -al], i3 = ~e-al(RI3C + -I_) sin Bt.R 2R13C R 4RI3C)i1=i2+i3, a=2~C" I3=Olo2-a2, wo= ~.) . E ) -(XI1. E -al . .. 1b 12=R[I-(I-ate ,13=2Rae , 11=12+13, a=2RC'. E alea21 a2eall . E (ea21 eallc) 12 =::-{I+--------), 13 =- -------), il =i2 +i3,R a2 -al ~-al . R a2 -al a2 -al

I Q Ial,2 = - 2RC V (2RC)2 - LC .1.20. W obwodzie wedlug rys. obliczyc przebieg natezenia pradow iI, i2, i3 w

funkcji czasu, po zamknieciu wylacznika K, jesli E = 50 V przy zalozeniach:a) R = 550 0; C = 100 I lF , L = 1,33 H;b) R = 50 0; C = 100 Ilf; L = 1 H;c) R=50n;C= 100IlF;L=0,1 H;

K RE f " " 0f- -


17/88

151 1 1a'.2 =-2RC ----.(2RC)2 LC

1 11 3 = LC - (2RC)2 .


18/88

2. Metoda zmienoycb stanu2.1. Stosujac metode zmiennych stanu obliczyc przebiegi: pradu w cewce idt)

oraz napiecia na kondesatorze uc(t) po zamknieciu wyll\cznika w ukladzie jak narysunku. Dane Iiczbowe: R = 0.750, L=4H, C=4/JF, uC


19/88

17

g(A)= 1 . . 1 +_I_A +_1- =A?+A+2-= 0RC LC 16~=1-4.2-=_!'16 4

1),2 = --.4AtMacierz e policzymy stosujac wz6r Sylvestera:

2.2. Stosujac metode zmiennych stanu obliczyc przebiegi: pradu w cewce idt)oraz napiecia na kondesatorze uc


20/88

18

Rys. d o 7lId. 2.2

{U . C


21/88

19

[ ~ I P ( t ) l = [ - ~ : cX2p(t) LWartosci wlasne macierzy Aohliczamy z r6wnania charakterystycznego:

det[A1-A]= det{[~ ~]-[ -:0 ~I;]} = de{A::O AI: 2] = IA::O AI: 21==A2+I2'A+30

A2+I2'A+30=0!l. = 24;jt. .,.4.9Al = -8.45, A2= -3.55.

Macierz eAt policzymy stosujac wz6r Sylvestera:eAt =eAIt.'?:21-A +eA2t ..?:l:_I-A =A2-AI AI-A2=_1 e-S.45t .[6.45 10 ]_~I~e-3.55t .[1.55 10]4.9 -1 -1.55 4.9 -1 -6.45 =

[1.32e-S.45t _0.3I6e-3.55t 2.04(e-S.45t _e-3.55t) ]

= _ 0.204(e -S.45t _ e-3.55t) _ O.3I6e-S.45t + l.3Ie -3.55t

Skladowa przejceciowa xp(t) poIiczymy nastepujacoxp(t) = eAt. Xp(O) gdzie Xp(O)=J(O)-Xu(O)=[~][~] = [ = ~ JXp(t) = eAt 'Xp(O)=

[l.32e-S.45t _0.3I6e-3.55t 2.04(e-S.45t _e-3.55t) ] [-2]

= _0.204(e-S.45t _e-3.55t) _0.3I6e-S.45t +l.3Ie-3.55t . -I == [_ 4.68e -8.45t + 2.672e -3.55t]

0.724e -8.45t -1.7I8e -3.55tZaokraglajac wsp6lczynniki Iiczbowe do dw6ch miejsc po przecinku:


22/88

20

[_4.68e-8.4S1 +2.68e-3.SSI] [2]x(l) = xp(t)+xu(t) = -8451 -355 + =O.72e' - I.72e . I 1

[4 68e -84~1 + 2.68e -J.~51+ 2].O .7 2e - 11.4 51 - 1 . 7 2e -3.551+ I

[

8 8 -1.51 Jj ]---e COS(-t)uc(t) 3 3 2b)Odp. i t = 4 4 -1.51 Jj . J 3 '[ C ( ) ] , - , ' ( " , , , , , ( , ' ) + 0 0 ( , . ) )2 .3 . S to su ja c r ne to de zmiennych stanu obliczyc przebiegi: pradu w cewce idt)

oraz napiecia na kondesatorze uc(t) po zamkniec iu wylacznika w ukladzie jak narysunku. Dane liczbowe: J(t)=6A, R = 0.50, L=0.25H, C=0.5F, G=4S.

t=O

C G

Rys. do zad. 2.3RozwillZanie

{u.c(t) = xI .Oznaczajac zmienne stanu Idt) = x2

Stan ustalony: [ u c u ] [ G ~ _ ! _ ]= = R =u ILu U_9!_RJG + _ ! _R1 J-.--R G + _ ! _R

Przyjmujemy J.(t)=Xu(t)+Xp(t).Dla skladowej przejsciowej mamy


23/88

21

xp(O) = x(O)-xu(O) =[~]-[~] = [ = aR6wnania stanu:I - ' diLpuCp - RiLp +L--dtduCp .C--+GuCp +ILp = 0dt czyliWartosci wlasne macierzy A obliczamy z r6wnania charakterycmego:det[I..I_A]=I1._:8 1.:21=0A_2+101.+24 = 0~ = 2,1.1 = - - 4 ,A ,2 = -6,

AtMacierz e policzymy stosujl\c wzOr Sylvestera:At A.II A2'1-A A.2t Al,l-Ae =e' +e='-A2 - Al Al- A21 -{;t [4 2] 1 -4t [2 2] [2e -sr - e-4t= 2"e '-4 -2 -2"e '-4 -- 4 = -2e-{;t +2e-4t

e-{;t _ e-4t ]-e -sr + 2e-4t

Skladowa przejsciowa xp(t) policzymy nastepujaco:At [ 2e-{;l_e-4t e-{;l_e-41 I - I ] [-(4e-{;t _3e-41>]x (t)=e X (0)= =p p -2e-{;t +2e-4t _e-{;t +2e-4t -2 4e-{;1 _6e-4t

Ostatecznie[ (4e-{;t 3e-4t)] [1] [(4e-{;1 3e-4t) + I ](t)=x (t)+x (t)= - - + = - -p u 4e -{;t _6e-41 2 4e-{;t _ 6e-41 + 2


24/88

222.4. Stosujac metode zmiennych stanu obliczyc przebiegi: pradu w cewce idt)

oraz napiecia na kondensatorze uc(t) po zamknieciu wylacznika w ukladzie jak narysunku. Dane liczbowe: E =IOV;R =2fl;C =IF;L =25H.

t = oE

CR

Rys.do zad. 2.4

Odp. A = [ 0-I I 1 r 5 -O.4t 20 -o.u 1. 5+-e --e25 'L _ 3 3I' [ue] - 50 -O.4t -0.11-- --(e -e )2 32.5. Napisz rownania stanu oraz znajdz macierz obwodu i macierz wymuszen dla

ukladu jak na rysunku. Przyjac: i(t) = XI;Uc(t) = X2.t = o

Rys.do zad. 2.5

Odp. [~I(t)l=[ 0 -I/L].[XI(t)]+[I/L I/C 0 x2(t) 0X2(t)

2.6. Stosujac metode zmiennych stanu obliczyc przebiegi: pradu w cewce idt)oraz napiecia na kondensatorze ue (t) po przelaczeniu przelacznika w ukladzie jak narysunku. Dane liczbowe: E =6V;RI = IOn;R2 = R3 =5n;C = 0.5F;L = 2H.


25/88

23

Rys. do zad. 2.6 [lJ

[ 5 1 ] [ . ] [ - 2 t -o.sr ]- -- IL -1.2e +1.8eOdp. A = 2 2, u = -21 -{).~t2 0 C 1.2e -7.2e +62.7. Stosu jac rne tode zmiennych stanu obliczyc przebiegi pradu w cewce idt)oraz napiecia na kondesatorze uc(t) po zarnknieciu wylacznika w ukladzie jak na

rysunku. Dane Iiczbowe: E = 100V;Rl = R3 = IOil;R2 = 40il;C = 10001lf;L = 3H.L c

E t=O

Rys. do zad. 2.7 !II

[10A = - " 3

Odp. 02.S. Stosujac metode zmiennych stanu obliczyc przebiegi: pradu w cewce idt)

oraz napiecia na kondesatorze uc(t) po zamknieciu wylacznika w ukladzie jak narysunku. Dane liczbowe: E = 200V;R = 10n;C = 10-3 F;L = O.IH;uc(O) = 100Y

L R

E

Rys. do zad. 2.8 (ll


26/88

24

[-100 10 JOd. A=P -1000 -100 ' [. ] [ -lOOt 1L _ 10+ 20e sin(lOOt)u - -lOOtC -100 + 200e cos(lOO. t)2.9. Stosujac metode zmiennych stanu obliczyc przebiegi: pradu w cewce idt) oraznapiecia na kondensatorze Uc(t) po przelaczeniu przelacznika w ukladzie jak narysunku. Dane liczbowe: E = 10V;R = 100;C = 200~F;L = O.l2SH.

R

Odp. A = [ 05000Rys. do zad. 2.9

l8 -lOOt -400t 18 . --(e -e )- IL _ 30

-500], [uc] - 10 -lOOt 40 -400t--e +-e3 32.10. Stosujac metode zmiennych stanu obliczyc przebiegi: pradu w cewce idt)

oraz napiecia na kondensatorze Uc(t) po zamknieciu wylacznika w ukladzie jak narysunku. Dane liczbowe: E = 30V; R I = ~ 0; R 2 = ~ 0; C = IF; L = 0.5H.3 3

E

Rys. do zad. 2.10

Odp. A=[~ ] [ . ] [-t -2t 12 IL = 40e -t -iOe -2t-3, Uc 20e -IOe


27/88

25

2.11. Stosujac metode zmiennych stanu obhczyc przebiegi: pradu w cewce idt)oraz napiecia na kondesatorze uc(t) po zamknieciu wyl~znika w ukladzie jak narysunku. Dane liczbowe: E = 6V; R 1 = 4n; R 2 = In; R 3 = In; c = O.25F; L = o . 5H.

E

t=O t=O

Rys . do zad. 2 .11

[ - S - 2 ] [iL] = [ - I 2 e _ : : 1 - : 1Odp. A= 4 -2, ue 24e -iSe .2.12. Stosujac metode zmiennych stanu obliczyc przebiegi: pradu w cewce idt)

oraz napiecia na kondesatorze uc( t) po otwarciu wylacznika w ukladzie jak narysunku. Dane Iiczbowe: E = 5V;RI = O.25n;R2 = In;C = IF;L =O.25H.

E c

Rys . do zad. 2 .12

[-t -I 1L 5(e cos2t -2e .sin 2t)= 1 -I -Irue] 5(2e sin2t+e -cosztj ].


28/88

3. Metoda operatorowa26

3.1. Oblicz transformaty impuls6w przedstawionych poniZej.a) b)

~" ilt)A ~ _

ad))

b t'BA

o a be)

IT 2TRys. do zad. 3.1

3TRozwi4Uniea) impuls prostokatny - opozniony przedstawiony na rys. a.

Postac czasowa impulsuf(t) = A[I(t - a) -I(t - b).Transformata Laplace'a impulsu prostokatnegoF(s) =~(e-as - e-bs).sb) impuls sinusoidalny przedstawiony na rys. b.Postac czasowa impulsuf(t) = A[sincot.l(t)+sinco(t- a).I(t-a)]lubf(t)= Asincotl(t)-Asincotl(t-a)gdyt: sin co(t - a) = -sin cotTransformata


29/88

27

F(5)=~(I+e-as).52 +ro2C) impuls trapezowy przedstawiony na rys, c.Wprowadzamy funkcje pomocnicza, ktora jest r6wnaniem prostej

f(t) = B- A l(t _ a)(t-a)+A(t- a)_[B- A (r- b + b -a)+A].I(t - b),b-a b-a

f'(t) = B-A l(t-a)(t-a)+A(t-a)- B-A(t_b)l(t_b)b-a b-a-(B- A)I(t- b) - Al(t- b)

TransformataF( )- B-A 1 ( - a s -bs) A - a s B -bs5 --_.- e -e +-e --e .b-a ; 5 Sd) impuls trojkatny przedstawiony na rys. d - specjalny przypadek impulsutrapezowego: a=O; A=O.Postac czasowa impulsuf(t) = ~t.l(t)- BI(t- b)-~(t- b)I(t - b).TransformataF(s) = !!. .l.- !!e-bs _!!. _!_e-bs = !!. _!_(1- e-bs) - !!e-bs.b 52 s b ; b 52 se) ciag impuls6w przedstawiony na rys. e.Dana jest funkcja ftt) stanowiaca ciag impuls6w powtarzejacych si~ okresowo.Jesli transformate za okres oznaczymy

T11'(5) = J f(t)e-stdtoto transformate F(s) mozemy przedstawic w postaci sumy nieskonczonej transformat


30/88

28

l' 21' 31'F(s) = J f(t)e-stdt + J f(t)e-stdt + J f(t)e-stdt +...o r 21''rF(s) = jf(t)e-Sldt[l+e-ST+e-2S1' +e-3S1'+ ..] lubo

F(s) = _1_1' Fr(s).I-e-sDla ciagu impulsow jak na r ys . e mamy

Um[l-e-S1' e-S1']U1'(S)=- ---T- .T s2 s

u(s)=Um[_!__T e-s1' ].T s2 s(1- e-s1')3.2. Do rownoleglego obwodu RC jak na rys. a dolaczone zostalo ir6dto pradowe

o stalym natezeniu j(t) = 10, Wyznaczyc przebieg napiecia na kondensatorze u(t).Dane Iiczbowe do zadania: 10= 5 A, R = 2 n, C = 0.1 F.

RozwillzanieR6wnanie obwoduiR +ic = j(t).Popodstawieniu ic=C.d~~t). iR=Gu(t) oraz u(O)=OmamyC~u(t) +Gu(t) = 1dt 0Dokonujemy przeksztalcenia Laplace'a napiecia u(t) ioznaczamy jego transformatejako U(s). Transfonnata zrodla pradowego 10 jest r6wna lois.Otrzymujemy r6wnanie operatorowe dla obwodu

1CsU(s)+ GU(s) =...!!...sPo przeksztalceniu otrzymujemy transformate napiecia na kondensatorze

U(s) = S(GI~SC) .Aby wyznaczyc postac czasowa napiecia nalezy rozlozyc transformate na ulamkiproste


31/88

29

gdzie: A = ( 1 0 G ) l = ~ = loR.e s+-e =0 B = _ I g j = loR.S C ] -1s=RCZatem U(s)=-~.

s+ReObliczamy transformate odwrotna i podstawiamy wartosci liczbowe. Poszukiwanachwilowa wartos c nap ie ci a na kondensatorze wynosi

u(t)= R1{I-e;~)= l~l_e-St) V.Przebieg napiecia na kondensatorze pokazany jest na rysunku b.

a)

j(t) e T U ( t )b)

tRys. do zad. 3.2 [3)3.3. W obwodzie ja k na rys. a panowat stan ustaIony. W chwili t=O rozwarto

tltCznik. Wymaczyc postaC czasowa prltdu i(t) w obwodzie po prz el ac zeniu me todaoperatorowa, Parametry obwodu wynosza R = 4 n, L = 0.1 H, e = 0.025 FNapi~ie zasilania wynosi e(t) = (20sin40t) V.

Rozw'_nieStan ustaIony przed przetltCZeDiem.(t


32/88

30

g = 10.J2 v, f: = R + jol, = 4 + j 4 = 4.J2ej4S',I ~ = 1O.J2 25e-j4S' A- f: 4.J2ej45"Otrzymujemy postac czasowa pradui(t) = 2.5.J2 sine40t - 45)AWyznaczamy warunki poczatkowei(O) = 2.s.J2 sine-45) = -2.5 A.Kondensator jest zwarty wiec lIc(O)= 0 V.Po przelaczeniu t > 0Przewidujemy rozwiazanie w postacii(t) = ip(t) + iu(t).S klad owa u sta lo na p rad u iu(t) oraz napiecia na kondensatorze ucu(t) obliczamymetoda klasycznaI := ---=g:;___--,--eu IR+j(roL---) mCu = -. I_I = e- j9O" 2.J2e - j37" = 2.J2e - j127' .=.01 JroC-ua postacie czasowe wynoszaiu(t) = 4sin(40t - 37')A, Ucu(t) = 4 sin (40t -127)V.Wartosci poczatkowe sktadowych ustalonychiu(O) = 4sin( -37) = -2.4A, Ucu(0) = 4sin( -127) = -3.2V.Korzystajac z praw komutacji pradu w cewce i napiecia na kondensatorzewyznaczamy warunki poczatkowe dla sktadowych przejsciowychip(O) = i(O) - iu(O) = -2.5+ 2.4 = -O.IA,ucp(O) = 1Ic(0)- Ucu(O)= 0+ 3.2 = 3.2V.Rysunkek b przedstawia schemat operatorowy obwodu dla sktadowych przejSciowych.Bilans napiec w obwodzie

I (s) u (0)RIp(s) + LsIp(s) + -P_= Lip(O) - __9'__.sC sWyliczamy postac operatorowa sktadowej przejSciowej pradu

ucp(O) ucp(O)Lip(O)---- sip(O)--L-Ip(s) = : 2 R IR+sL+- S +-s+-sC L LCPodstawiajac wartoSci otrzymujemy


33/88

31

1(5)= -0.15-32 -0.1(1+20)-30_ -0.1 30p s2+40s+400 (1+20)2 -1+20-(5+20)2'Ko rz ys ta j~ z ta blic tra ns fo rma t o blic zamy P05taC czasowll p r l\C luip(t) = (_O.le-201 - 30te-20I)A.Doda j l l C skl adowl l u st alon ll i p rz ejSc iowll u zy skuj emy poszukiwan ll postaC prl\Cluwobwodzie po p rzel~zen iui(t) = (45in(40t - 37)- 0.le-20t - 30te-20t)A .P rze bie g p ra du w o bwod zie o raz je go sk lad owe p rze jS ciowa i u sta Io na S It p ok aza ne n ar ys unku c .a) b)

IP(5)

sL

c)5r-----~----~----~--~

"'!f'\ I I; : : : : .- - , t ~ ' ; ; t ~ j l --50 0.05 0.1 0.15 02tRys. do 7 lI d. 3 .3

3.4. W obw odzie jak na rys. a w chw ili t = 0 zwarto t~znik. Wyznaczyc przebiegpradu idt) w cew ce po kom utacji. D ane Iiczbow e:r, =4A, R=1 n, R) = 1n, L=0.5 H, C= I F;R_~DieWarunkipoczatkowe

~(0)=2 V;

iL(O) = Iz R! R) ;R6wnan ia obwodu:

iL(O) = 2 A;


34/88

32

LidO)-sLIds)=ll CI+'~ (I),s sLidO)-sLIds)=12(S)R (2),'2(S) = Ids) - II(s) (3),Wstawiamy prad 12(S) do r6wnania (2)LidO) - sLIds) = (Ids) - II(s)R

I d I () -(LidO)-sLIds)-RIds)wy iczam y pr~ I S = RPrad II(s) wstawiamy do r6wnania (I)

L (0)- LI () _ (-LidO) +sLIds) + RIds) + uc(O)IL s L s - (sRC) sWyliczarny prad w cewce Ids)

-(LidO)+ LidO) _ uc(O)Ids) = sRC s

(-SL- ~C - s ~ )Po uporzadkowaniu

I ) (sLidO)RC+LidO)-uc(O)RC)L(s = (LRCs2 +sL+R) .Idalej

sidO)+ IdO) _ Uc(O)Ids) = RC L

(2 S I)s + RC+LCWyznaczarny pierwiastki mianownika

S i = -I+i,

-I I~L-4R2Cs2 = 2RC - 2 RCTL ;., 1m ..~IO' IPo obliczeniu: W-T = 2; RC =0.5; LC = 2;

Pierwiastki SI\ zespolone czyli transformata prl\du rna postaC

S z = -I-i.


35/88

33

I ()- 2s+2 I ()_ 2(s+1)L s - s2+25+2' L s - (s+I)2+1'Korzystajac z tablic transfonnat obliczamy postac czasowa pradu W cewceidt) = 2e-t cos(t) A.Przebieg pradu W cewce jest pokazany na rys. c.

a)

b)IL(S) II1sC

1Ic(0)S

c)

2 > ~lr-~~-r------t-"---""~",,,, """''''iill!) "-.- 1',o " " " " " " " ' ' ' " " , , ' ".""""_,*==,*,,,,"""---j- 1 ~ O - - - - - - ~ - - - - ~ - - - - - - ~ - - - - ~

tRys. do zad. 3.43.5. Obw6d jak na rys. a przed przelaczeniem by l W sranie ustalonym.

W chwili t = 0 zwarto ll\cznik. Obliczyc metoda operatorowa przebieg napiecia nakondensatorze uc(t) jeSli warunek poczatkowy na kondensatorze jest niezerowyuc(O-) = 1V. Danedozadania: E=12 V, R=6, L=5H, C=I/30F.Rozwi~DieWarunek poczatkowy dla pradu w cewce

Dla t


36/88

34a)

R L 1 uc(t)Eb)

R Uc(O)s.. 1s S Cc)

.,1') ~ ~ - - - + - - - - - I - -I \ " , i io ~ . . . _ - :! !-O.5~o--t:O.5:----':----:-:L5:----';;--~2.5t

Rys. do zad. 3 .5

l_dO l +Uc(O)sU(s)=RC Cc 2 s 1s +RC +LC

Po podstawieniu wartosci transformata napi~ia wynosiUc(s)=60-60+s 5 .52+5s+6,2+58+6Obliczamy pierwiastki mianownika s2 +Ss+6= O.Po obliczeniu s1 = -2, '2 =-3Rozkladamy trnasformat.; napi~ia na u lamki prost e

s A B-o-----::-::-c;--=_ =-+-(8+2)(s+3) s+2 s+3


37/88

35Stale A i B obliczamy ze wzor6w

A=_S I =-25+3 5=-2

B=_S I =3s+21=_3 .Otrzymujemy Uc(s) = --22+ _1__3.s+ s+Obliczamy transformate odwrotna Laplace'a przechodzimy do postaci czasowejnapiecia na kondensatorzeUc(t) = (-2e-2t + 3e-3t)l(t)V.Przebieg napiecia na kondensatorze jest pokazany na rys. c.3.6. Obw6d jak na rys. a zasilono napieciem e(t) 0 ksztaIcie przedstawionym

na rys. b. zwierajac Il\Cmik w chwili t = 0 Obliczy c m eto da o perato rowa postacc zasowa pradu w galezi z kondensatorem ic( t} jeSli R = 2 n. C =4 F .RozwiJlZllDiePostac czasowa napiecia zasilania wynosi

e(t} = 21 I(I} - 2(t-l0)I(t}.Postac operatorowa napiecia zasilaniaE(s) = ~_~e-105.s2 82Stosujemy rnetode Thevenina dla gal~zi z kondensatorem.Rezystancja Thevenina widziana z zacisk6w na kondensatorze

RR 1RT=R+R =2"R.Napiecie Thevenina zasilajl\Cegall\i z kondensatorem-~ -!ET(S)- R+R R- 2E(s}.Wykorzystujac te przeksztalcenia uzyskujemy obwod jednooczkowy pokazany narys. c. R6wnanie operatorowe opisujl\Ceobwod ma postac

1ET(S} = l(s)RT + I(s} sC .Obliczamy prad plynacy przez kondensator

!E(s}I(s} = -:;-,2"'---0-!R+_!_2 sCPo podstawieniu wartoSci..!._ _..!._ -lO s II_ lO s, 2 e ---e 1 e-IOs1(8) = s = s = . . . .__.._s~,.- =I+..!._ s+0.25 s(s+0.25) s(5+0.25)"

4sROzkladamy transformato pflldu na ulamki proste


38/88

36

5(s+0.25)A B-+--9 9+0.25'

gdzie: A = _-O!I 2-5-' = 4, B = ! I =-4.S+"o.25]I=O 91=~.2$Otrzymujemy4 4 4e-10s 4e-10sI(s) =;- s+0.25 +-s-- s+0.25 .

Dokonujac transforrnacji odwrotnej otrzymujemy czasowlt postal: pradu w gal~kondensatorai(t) = (4 - 4e-O2St) .I(t) - (4 - 4e~2S(t-10) 1(t - 10) A.Przebieg pradu plynllCCSoprzez kondensator przedstawia rys. d .

a) b)i(t)

C10 t [s]

c) d)

1(9)19C i(l)

00 1 0 3 0 41II. IRys. do lJId. 3. 6

3.7. W szeregowyrn obwodzie RLC jak na rysunku przed przelllCzeniem panowalstan ustalony. W chwili t = 0 PrzelllCzono przelllCZJlik z pozycji 1 na pozycj~ 2. Obliczprzebieg pradu i(t) w obwodzie po przelllCZeDiumet~ operatorowa jeSli napi~ezasilania wynosi e(t) =1000n(St+0.64)V. a parametry obwodu: R =40 n, L= 10 H,C = 251O-4F.

Odp. i(t)=ie-2tsin6t A.


39/88

37

Rys. do zad. 3.73.1. W obwodzie pokazanyrn na rysunku w chwili t = 0 zamknieto wyt~mik.

Wyznaczyc metod, operatorowa przebieg pradu idt) w cewce wiedzac, :te wuktadzie panowat stan ustalony przy zerowych warunkach poczatkowych. Daneliczbowe do zadania: Rl = 3 n, R2 = 6 n, L = 1H, C = 2 F, e(t) = 9.J2 sin* V .

Rys. do zad. 3.83.9. W ukladzie pokazanyrn na rysunku w chwili t = 0 rozwarto I,cmik. Obliczyc

metod, operatorowa prl\d i(t) pIyn~ przez cewke, Przed przel,czeniem ukladmajdowal si~ w stanie ustaIonyrn. Dane liczbowe:

e(t)=10sin2t V, R=40n, L=10H, C=71S F.

Odp. i(t) = -( O.067e-llt +O.033e...{i9t)A.R R

C JUdt)

Rys. do zad. 3.93.10. Obliczyc metoda operatorowa w a r t o s c chwilowa napiocia udt) na cewce

w obwodzie przedstawionyrn na rys. a zakladaj~. ze napiocia w y r n u a z a . i \ c e


40/88

38e(t) rna przebieg pokazany na rys.b. Parametry obwodu wynOSZllRI = 6 n, R2 = 4 n, L= 1 . 2 H. Wskaz6wka: - ZastosowaC twierdzenie Thevenina.Odp.

U L . (I) {2 1(1) - 2 e 211(1) .. [2.1(1 - I) - 2e 2(1-1)1 (1- 1)]- 4 e2(12) I(I_ 2)}V.a) b)

2t[s]Rys. do zad. 3.10

3.11. Obw6d pokazany na rys. a zasilany napieciem sinusoidalnyrn e,(t) przedprzelaczeniem znajdowal si~ w stanie ustalonym. W chwili t = 0 przetaczonoprzelacznik z pozycji I w pozyeje 2 zasilajl\C obw6d napieciem e2(t) jak na rys. b.Oblicz metoda operatorowa przebieg napiecia uc(t) na kondensatorze poprzelaczeniu Dane Iiczbowe: el(t) = 30sin(IOt - 0.31)V, R =5 n, C=0.02 F.Odp. Uc(t) = {[ & ( 1- e-20I)_ 2e-201ll(t)- & ( 1 - e-20(I-2) ).I(t - 2)}V.

a)

l~b)

o 2 t [s] "Rys. do lJ Id . 3 .1 1

3.12. W ukladzie jak na rysunku w chwili t = 0 rozwarto lllCZllik. Przedprzelaczeniem uklad znajdowal sil; w stanie usta1onyrn. Obliczyc pos t a t operatorowa


41/88

39pr~u I(s) plynllCCSoprzez cewk~.(Metoda napi~ mi~~lowych). Dane liczbowe:R=RI=R2=lo, L=IH, C=IF, ~(t)=EI=2V, e2(t)=(e-t-2)V.

Odp. I(s) = 4s2 +65+ I.2(s+ 1)3

Rys. do lad. 3.123.ll. Obliczyc metoda operatorowa przebieg napieeia udt) na cewce w obwodzie

przedstawionym na rysunku jeSli w chwili t = 0 rozwarto wy1ltCZllik.Obw6d przedprzeiaczeniem byi w stanie ustalonym. Dane liczbowe:RI = 2 n, R2 =3 0, L= I H, C=O.OI F, iz(t)= 10siniOt A.Odp. udt) = (SOsin lOt -300t e-10t ).I(t) V.

lZ t CRys. do zad. 3 . 1 3

3.14. W chwili t = 0 dokonano przciltCzeit w obwodzie jak na rysunku. Oblicztransformate Laplace'a pr~u il(t) jeSli przed chwillt t = 0 panowal stan ustalony.Narysuj schemat operatorowy obwodu. Dane liczbowe:R=4O, L=IH, C=O.5F, E=lV.

Odp.


42/88

40

R

Rys. do zad. 3.143.15. W obwodzie jak na rysunku panowal stan ustalony. W chwili t ==0 hlcmik

zmienia polozenie z pozycji Ina pozycj~ 2. Oblicz metoda operatorowa przebiegp r adu i( t) po prze laczen iu,Dane Iiczbowe: e(t) ==20sin lOt, R = 5 n, LI = M = I H, L2 = 2 H,

Rys. do 00. 3.1S3.16. W obwodzie jak na rysunku do chwili t = 0 panowal stan ustalony. W chwili

t ==0 lacznik zostaje rozwarty. Oblicz metoda operatorowa przebieg pradu idt)plynacego przez cewke. Dane liczbowe:E==IOV, Iz=5A, R=ICl, L=SH. C=IF.Wskaz6wka: Do wymaczenia warunk6w poczatkowych zastosowac zasadesuperpozycji.Odp. idt)==-IOe-O41sinO.2tA.

RLC

Rys. do 00.3.16


43/88

414. Przeksztalcenie Fouriera

4.1. Znajdz wspolczynniki szeregu Fouriera dla przebiegujak na rys. a.RozwiazanieKazda funkcje okresowa mozemy zapisac jako sume pewnego szeregu 0 wyrazachzespolonych ~n :

n = C X l .f'(t) = L ~n eJnwt, gdzie ~n rna nastepujaca postacn=-oo

T1 2 .Cn = T ff(t). e- Jnwtdt.

T2

a)f(t)

b) c)

Rys. do zad. 4.1


44/88

42

IeStll.dwynika, ze jeSli n=2k*0, to cn=0, natomiut jeSli n=2k+ 1, to cn = (-1) . Zatemnl 'C(_ J)k

ca -.------,l 'C(2k + I)1

c3 = = - 3 l 'C '

. 1t)sm(no~Oraz Co = 2 = . ! . (na podstawie two de'Hospitala), c2n = = O.nlt 2Ostatecznie: f(t) = = ! + ~(cos(rot) - .!.cos(Jrot) + .!.cos(Srot)- ...).2 It 3 5Wykres funkcji z uwzglednieniem pierwszych pi~iu harmonicznych przedstawiono narys. b. Wykres widmowy amplitud skladowych zawiera rys c.4.2. [3] Znajdi wsp6lczynniki szeregu Fouriera dla przebieg6w jak na rysunku:a) b)

t{t)A

t{t)A

C) d)t{t)

t I_ T 0 I2 2

e) f(t) = Icos(toro 12)1

_ T 0 I2 2

Rys . do zad. 4 .2

Odp. a) f(t) = 4A (sin (rot) +.!.sin(Jrot) +.!.sin(Srot)+ ...),l 'C 3 5


45/88

43

b) f(t) = ~~(Sin(wt)- .!Sin(2wt)+.!.Sin(3wt)- ...),1t 2 3A 4A( 1 1 )c) f(t)=--2 cos(wt}+-cos(3wt} +-cos(5c.ot)+ ... ,2 1t 9 25

d) f(t) = .!+ 3 . . (cos(wt)+cos(2wt)+ cos(3wt)+...),T T2 4( 1 1 )e) f(t) = - +- cos(wt) - -cos(2wt) +-cos(3wt)- ....1t 1t 15 35

4.3. [3] Wyznacz transform ate F ouriera dla nastepujacych funkcji f(t)a) impulsu prostokatnego jak na rys. a,b) f(t)=e-at.l(t).

Rozwi4Zanie

-jw

2( ejroa - e - jroa) 2 sin(wa)-2jw wTransform ate funkcji z rys. a przedstaw iono na. r ys. ba) b)

F(j rof{t)

-a o aRys. do zad . 4 .3

b)


46/88

444.4. [3] Wymacz transformat~ Fouriera dla nastwujllC}'ch funkcji ftt):

a) f(t) = e - a l I I ,b) przebiegujak na r y s . a, c) przebiegujak na r ys . b,

a) b)ftt)

Rys . do 7 lI d. 4 .4

d) f(t)=t~~7 ::: ::~, e) f(t)=5(t).

Odp. a) F(joo) = 22a 2'a +004sin2(~)

b) F(joo)= 2a r o 2

d) F(joo) = ;jOO 2'a +00e) F(joo) = 1 .

4.5. [3] Znajdi przeksztalcenie odwrotne funkcji czestotliwosci przedstawionej narys. a.

a) b)F(jOO)

Rys . do 7 l Id . 4.S


47/88

45RozwilJZllnie

. tO le1 00 1 O le . t ejO lf(t) = - JF (jO l)' eJOO tdOl= - J 1e J O l de = ~: ..21 t ~OO 21 t ~Ole 2 7 t jt -roc= __!_(ejOlct ~ e jOlct ) = 2 . sin(Olet) = O le sin (O lC t).

21t jt 1t t 1t wetNa rys.b przedstaw iono transform ate odwrotna funkcji z rys. a.

4 .6 . [3 ] Z najd z p rzek sztalcen ie o dw ro tn e fu nk cji czesto tliw osci p rzed staw io nej:a) na rysunku,

~) Ol

Ry s. d o za d . 4 .6

b) F(jro) = e~ a I O l I , c ) F (jO l) = 1.

2sin2(Ole t)Odp. a) f(t) = 2 2

7t t1 (lb) f(t) = --2--2 '1t(l +t

1c) f(t)= -o(t).21t4.7. D la obw odujak. na rysunku:

a) wyznaczyc charakterystyke am plitudowo-fazow a transm itancji I(jO l) ,U (jO l )b) narysowac jl\ zakladejac, ze O:s Ol


48/88

46

Odp. a) l(jro) = Y(jro) = 1 .V(Jro) R+j(roL-_!-)roC

4.8. Dla obwodu jak na rysunku:) , itancie wid .. K (. ) V2(jo )a wyznaczyc transmuancje WI mows, napieciowa U jro = --.- ,VI(Jro)b) wykresl ic charak te rystyke ampli tudowa i fazowl\ tej transmitancji.

C

R ys . d o zad. 4 .8

Odp. a) K(jro)= jro .A(ro)=r==ro==,'I'(ro)=~-arctg(roCR).. 1 ( ) 2 2Jro+R C ro2+ R~4.9. Dla funkcji f(t) = 6e-3t .I(t):

a) wyznaczyc jej charakterystyke amplitudowa iazowa oraz,b) sporzadzic wykresy tych charakterystyk.Odp.a) F(jro) =_6-.IF(jro)1 =Q''I'(ro) = arctg( - ~)3+ Jro 9+ro2 34.10. Dla obwodujak na rysunku:

) , itancie wid .. T(') V2(jro)a wyznaczyc transnutancje WI mows, napieciowa jto = --.- oraz,VI (Jro)b) wykreslic jej charakterystyke amplitudowa


49/88

4 7R

Rys . do 7 l II l. 4 . 1 0

Odp. a) T(jo ) = . jm R 'Jm +-L

4.11. Dla funkcji okreSlonej wzorem: dla t


50/88

S. Sygnaly analogowe icyfrowe oraz podstawowe uklady cyfrowe5.1. Wykreslic funkcje:

a) 31(1 - 2). b) 2(t - 1)I(t -I), c) e-3t l(t - 2), d) e~t-l)l(t-1)RozwillZ8l1ie.

a)

432

o 234 5 6Rys. do 7 AId . 5 .1a

5.2. WykreSlic funkcje:a) l(t2 -4), b) l(t2 +4), c) It-111(t2 -1), d) l(t2 -3t+2)RozwillZanie.

a)Wykres funkcji l(t2 - 4) przedstawiony jest na rysunku.

----r- ---4-32

-4 -3 -2 -1 0

5.3. Wykreslic funkcje:a) l(sin t), b) 1(cost), c) 21(sin t)-1RozwilfZanie.

Rys. do 7A Id_ 5 .2a

234

a)Wykres funkcji l(sin t) przedstawiony jest na rysunku.


51/88

49

2

r-- r-- 1-- I'"- 4 7 1 : - 3 J t - 2 7 1 : - It It 2 1 t 3 lt 4J t

Rys. do za d. S .3 a5.4. WykreSlic cilUP:

a) 20[n+2]+40[n-l]+21)[n-3], b) nl[n-l].5.5. Przedstawic analitycznie funlccje przedstawione graficznie na rysunku.

a) b)0 1 1 3 4 n 1 2 3 4

4 4 ------3 --- - ~- - - 3 -----2 21

c) d)0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5

Rys. do zad. 5.S5.6. UloZyc r6wnanie rekurencyjne pierwszego rzedu na podstawie schematu

dyskretnego pokazanego na rysunku.

n

.Rys. do zad. 5.6


52/88

50ROZW~Die .

Schemat ukladu dyskretnego przedstawia r6wnanie rekurencyjne:yln]=3yln-IJ+x[nl"by znalezc wartosci nieznanego sygnatu wyjkiowego y[n] nalety znac sygnat wejsciowyl(!n) oraz wartosc sygnatu wyjkiowego dla n =-I (y[-I]).Na przyklad:x[n]=30[n] i y[--I]=3Wtedy otrzymuje sie:y[O]= 33+3 = 12y[I]= 312+0= 36y[2]= 336+0= 108

Sygnal wyjSciowy mozna wyrazic za pomoca wzoru rekurencyjnego: y[n]= 12 3n

Wz6r ten mozna otrzymac rowniez korzystajac z przeksztalcenia Z.5.7. Ulozyc r6wnanie rekurencyjne drugiego rzedu na podstawie schematu

dyskretnego pokazanego na rys., jesli stan poczatkowy ukladu okreslaja Iiczby:y[-2]=y[-I]=0, a sygnal wejSciowy opisuje funkcja dyskretna x[n]=I[n].

x ( n l

YIn )

Rys. do zad. 5.7RozwilfZllnie.

y[ n]= 4 y[n - 1]+8 y[n - 2]+x[n]Czyliy{O]=40 + 80 + 1 = 1y[I]=41+80+1=5y[2]= 45+81 + I = 29

Uwaga!Czasami trudno jest znaleic bezposrednio wzor rekurencyjny y[n]=f(n) bez uzyciaprzeksztacenia Z.5.8. Wyznaczyc rekurencyjnie y[O], y[I], y[2],jcili y[-I]=O i y[n]=3y[n-I]+2 dla n ~ 0

Wykazac, ze y[n]= 3)n -1.


53/88

515.9. Wymaczyc rekurencyjnie y[O], y[I], y[2], jcSli y[-I]=2 i y[n]-3y[n -1]= 6[n],

dla n ~O. Wykazae, ze y[n]= 73n.5.10. Dla ukJadu cyfrowego wedlug rys. wyrazic sygnaJ wyjSciowy w zaleznoSci od

sygnaru wejSciowego x[n]. Znajdt rekurencyjnie odpowiedz wymuszona y[O]. y[l], y[2] .jcSlix [n]=5. Pokaz, ze y[n]= -2 + 12 6n dla kazdego n ~ O.

Rys. do 7JId. S.105.11. ZaprojektowaC uklad cyfrowy, dla ktorego obowiazuje nast;puj~e r6wnanie:y[n]=3y[n-l]+x[n], gdzie x[n] jest sygnaJem wejSciowym, a y[n] jest sygnaJem

wyjkiowym. Znajdi stan poczatkowy y[-I] ukJadu, jcSli x[n]=41[n] i y[2]=10.5.12. Zaprojektowac uklad cyfrowy speJniajl\CYr6wnanie:

a) y[n]-6y[n-l]+Sy[n-2]=3x[n]b) y[n]-4y[n-2]=3x[n]c) y[n]=Sx[n]+7x[n-2],gdzie x[n] i y[n] S I\ odpowiednio sygnaJami wejSciowymi i wySciowymi tyeh uklad6w.Rozwi4Zllnie.

a)Rozwiazanie w postaci schematu blokowego przedstawione jest na rysunku.

Rys. do zad. S.12a


54/88

526. Przeksztalcenie Z6.1. Wyzna cz t ra ns fo rma te Z ciagu f[ n] = 1.Rozwillz.nieKorzystajac z d efin ic ji tra ns fo rm aty

0()F(z) = f[ 3] + f[t]z -I + f[2]z -2 + .. . = L f [ n ]z -nn=O

dla Iz-II < 1 otrzymujemy transformate F(z)

F() I -I -n 1 zz =z + ... z +...=--1=--l= z" z+]Wyn ik z ap is uj emy w przyjetej notacji

6.2. W yznaczyc transformate ciagu geometrycznego f[ n] = an, gdzie a jestdowolna stala,

RozwilfZnieZ definicji dla tego przypadku w ynika, zeF(z) = 1+ az-I + a2z -2 +.. +a nz -n+ ...K orzy stam y z to zsam osci~Axn=~.n=O I= xPrzyjrnujemy d la naszeg o p rzy pad ku A = 1 oraz x = az -I.S tad, dla laz - II < 1 transform ata ciagu jest rownan I za ~---=--I-az-I z- aa zapisana w in ne j nota cjiF(z)=_z_.z- a

6.3. W yznaczyc transform ate Z ciaguf[ n] = 40[ n]- 3o[n - 2]-O [ n -6].Rozwi~nieKo rz ys tamy z tw ie rd ze nia 0 przesunieciu


55/88

5 3

f[ n -1] ~ z-JF(z)+ f( -1], z kt6rego wynika, zeO[n-k]~z-k.Korzystamy takze z twierdzenia 0 liniowosciaJfJ[n] + a2f2[ n] ~ aJFJ(z) +a2F2(Z).Z tych zaleznosci wynika, ze transformata ciagu ma postacF(z)=4-3z-2-z-{).

6.4. Wyznacz transformate Z sygnalu flo] przedstawiooego na rysunkuf[o] = 1[0]-1[0-6]

flo] =1[0]-I [n-6]

I I 1 I 1 I02345Rys. do zad. 6.4

nRozwilfZ8oie

zTransformata skoku jednostkowego In] jest rowna z-lZ twierdzenia 0 przesunieciu w postacif[ 0 - m ] . l [ 0 - m ] ~ z-mF(z)dochodzimy do transformaty F(z)

-5F(z)=_z __ z-{)_z_=~.z+] z-l z-l

6.5. Wyznaczyc transformate Z ciaguf[n]=5.30-4.5nRozwilfZ8oie

Korzystajac zaleznosci a0 ~ _z_ oraz z twierdzenia 0 liniowosci wyznaczamyz-atransformate ciagu

2F(z)=~-~= z -13z .z- 3 z-5 z2 -8z+ 156.6. Korzystajac z rys. 6.6a i 6.6b wyznacz transformate Z ukladu orazjego

transformate odwrotna,Rozwi~oieNa rys. 6.6a przedstawiooy jest uklad, kt6ry sklada si z jednego elementu

op6iniajltcego iednego e1ernentu mnozacego. Sygnalem wejSciowyrn elementu


56/88

54

op6Zniaj~o jest y[n]. Stan poc7.4tkowy uldadu jest r o w n y y [ -I] = S.Z rys. 6.6a wynika, ze

Y [ n] 0= ~ y [ n -I)KorzystajllCz twierdzenia 0 przesuni~iu wymaczamy transfonnat~ ukladuY(z) = . ! . { Z-ly(Z ) + y[-I]} = . ! . { z-ly(Z ) +S} .2 2Po uporzadkowamuY(Z){1+O.Sz-I} = 4.Transfonnata ukladuY(z)=~.

z-O.STransfonnata odwrotna Y(z) wynosiy[n]=4.0.Sn.

a) b) y 8I 4 y[n]I II1 0.5I I )n-1 o 1 2 3[n]Rys. do zad. 6.6

6.7. W ym acz transform ate Z ciQU r[n ] = n 2.Rozwi~DieCi~ ten mo:iemy zapisae w postaci

n2 = n(n-I)+n.Cillg n mozna zapisac jako n = n- an. gdzie a = I.Korzystamy z zaletnoSci

oraz

n(n-I) .... (n-m+I)an-m= m!z I(z_a)m+Wykorzystu jllC powy isz e oblic zenia o trz ymu jemy


57/88

5 5

znB--2 (z-I)Wyniki te wykorzystujemy do znalezienia transformaty Z cilUPl f[ n] = n2

2F()=~ _z_=~Z 3+ 2 3'(z-I) (z-I) (z-I)6.1. Wyznacz transforma~ odwrotns, funkcji

2F(z) = 30z -12z.6z2-5z+1

Rozwi~DieFunkcje F(z) przeksztalcarny do postaci

F(z) 30z-12 5z-2z 6z2 - Sz + 1 - z2 _ ~ z+!.

6 6A nastepnie rozkladarny na ularnki proste

F{z) 3 2-z-=--I +--1'z-- z--2 3MnoZymy transformate obustronnie przezz i otrzymujemy

() 3z 2zF z =--1 +--1'z-- z--2 3Z lej postaci funkcji F(z) wyznaczarny ci~ f[n]

r [ n 1 = 3 G f + 2 G r6.9. Wymacz t ransformate odwro tna funkcji12F(z)=-. z-3

Rozw~DieFunkcje F(z) przekaztalcamy do postaci

F(z) 12 -4 4-z-= z(z-3)=-;-+ z-3


58/88

56Mnozacobiestror.yprzez z otrzyrnujernyF(z)= -4+~z-2Przeksztalcenieodwrotne funkcjiF(z) rnapostacf[nJ= -4.0[nJ+4.2"6.10. Wyznacztransformate odwrotna funkcji

2F{z)= 2z - 2z 2'(z-3)(z-S)

RozwiJlZ8nieFunkcje F(z) przeksztalcamy do postaci

F(z) 2z-2 ABC-= =--+-+--z (z-3)(z-S)2 z-3 z-s (z_S)2'Wyznaczarnystale

A=F(Z)(Z_Zi)! = 2Z-221 =2.3-;=1.z Z=Zj (z- S ) z=J ( 3 - S )2Z-2! 2S-2C=-- =--=4z 3 z=5 S- 3 .

B=_!{~Z)(Z_S)2}1 =_!2Z-2! =2.(z-3)-(2z-2) =-1.dz z dz z-3 z-5 (z_3)2z=5 - z=5PodstawiarnyF{z) 1 1 4-=-----+--z z-3 z-S (z_S)2zaterntransformatarna postacF(z) =_z z_+~.z-3 z-S (z_S)2MajacfunkcjeF(z) rozlozona na ulamkiprostewyznaczamytransformateodwrotnaf[ n] = 3" - S" +4n S"-I = 32 - S" + 4nS-IS".Po uporzadkowaniuposzukiwanatransformataodwrotna rnapostac


59/88

57

f[n]= 3D +( -1+~n } s n6.11. Wyznaczyc transformate odwrotna funkcji

F(z) = 3+Sz-5 _9z-8 0z2+7z+12

RozwiltZlloieFunkcje F(z) mozna zap is ac w postaci sumyF(z) =W(z)(3z-1 +Sz-{i +9z-9).gdzie

W(z) = z 0z2 +7z+ 12Rozkladamy W(z) na ulamki prosteW(z) = _z z_oz+3 z+4Transformata odwrotna funkcji W(z) wynosiw[n] = [( _3)0 -( -4)0 1Na podstawie twierdzenia 0 przesunieciu w postaciF(z) = W(z)(Co +CIZ-1+ooo+cmz-m)f[ n] = Cow [n ]+CIW[ n -l]I[ n -1 ]+o.o+cmw[n - m]I[n - m]otrzymujemy transformate odwrotna naszej funkcjif[ n] = 3w[n -1].I[n -1]+ 3w[ n -6].I[n - 6]+.o.+6w[ n - 9] ol[n - 9]Po przeksztalceniu odpowiedz wynosi

f[ n J = 3[( -3t-l- (-4rl]ol[ n-I]+ s [ ( _3)0-6 -( _4)0-6]ol[ n - 6]+- 9 U - 3 t-9 -( -4)n-9}1[ n-9]6.12. Dla ukladu przedstawionego na rysunku zapisz r6wnania rekurencyjne,

wyznacz transmitancje oraz odpowiedz na wymuszenie impulsowe x[n J = o [ n J przyzerowych warunkach poczatkowych q[-I J = 0 0


60/88

58

Rys. do zad, 6.12Rozwi~DieZe schematu blokowego przedstawionego na rys. 6.12 wynika, ze zmienna stanu

q[n] jest rownaq[nJ = x[n]+!q[ n -1]3ispetnia rownanie rekurencyjneq[nJ-!q[n-I]= x[n).JSygnal wyjSciowy y[n] mote bye wyrazony nierekurencyjnie w zaIeznoSci od q[n]y[n 1 = Jq( n] + 2q( n - 1].Rownania na y[n] i q[n] w dziedzinie transformat przyjmujll postacQ(Z)_!(Z-IQ(Z)+q[-I])= X(z),3Y(z) = 3Q(z)+ 2(z-lQ(z) +q[ -1]),

Q(Z{I-~z-I)= X(z).Po przeksztalceniu

Q(z)=~ 1-!z-13i podstawieniu transformata ukladu ma postacY(z) = Q(z)(3+2z-l)

Y(z\ 1-~z-I)= (3+2z-l)x(z)W dziedzinie czasu rownanie opisuj~ ten schemat ma pos ta t


61/88

59

y[ n] - '!"y[ n -1] = 3x[n] + 2x[ n -1].3W celu w yznaczenia odpow iedzi przeksztalcam y transform ate

(3+2z-1 ) (3z+2)Y{z ) = -- I --1 X{z) = --l-X(z).l--z z--3 3

Przy w yrnuszeniu im pulsow yrn X (z) = 1

Y{z ) = 3z+2 = -6+~1 1.z- z--3 3Poszukiwana odpowiedz u klad u w yn osi

6.1l. D la podanego r6w nania rekurencyjnego narysuj schemat blokowyy[ n]- 6y[ n -IJ+ Sy[n - 2] = 3x[n] 'RozwilfZ&oieWiemy,ze

y[n -I] = z-ly[n]orazy[ n - 2] = z -ly[ n - 1].P od staw iaiac o trzymu jem y r6wn an ie

na podstawie, ktorego wyznaczam y schemat blokow y przedstaw iony na rysunku.

y[n]Rys. do zad. 6.13

6.14. D Ia podanego r6w nania rekurencyjnego narysuj schem at blokow yy[ n ]- 6y[ n -1]+4y[ n - 2] = 2 x[ n -1].


62/88

60

RozwiazaniePrzeksztalcamy r6wnanie

y[n] = 2x[ n- I ] +6y[ n-l]-4y[ n-2],Y[z]= 2z- 1y[z]+ 6z-1y [z]- 4 z-2y[z].Po przeksztalceniu otrzymujemyY[z]= 2~-IX[z ]+ 3z-1y[z]- 2z-IZ-1y[z]}.Z tej postaci rownania wyznaczmy schemat blokowy, kt6ry przedstawiony jestnarys.6.14.

Rys. do zad. 6.14

6.15. Rozwiaz r6wnanie y[ n]-3y[ n-l] = 6przy warunku poczatkowym y[ -1] = 4.

Rys. do zad. 6.15

y[n]'-----4

y[n]

RozwiazaaieCiag y[n] mozemy wyznaczyc rekurencyjnie. Przyjmujac kolejno n = 0,1,2, ... ,

otrzymujemy y[o] = 18, Y[I] = 60, Y[2] = 186.Zastosujemy przeksztalcenie Z do rozwiazania tego rownania dla kazdego n.Po transformacji r6wnania mamyy{ z} - 3k 1y(z}+ y[-I]}= ~.z-1Porzadkujac


63/88

61

Y(z){ 1- 3z-l} = ~+3y[-I]z-lotrzymujemy transformate rownania2 2 2Y(z) = 6z + 12z = 18z -I z(z-I)(z-3) z-3 (z-I)(z-3)"

Rozkladamy transformate na ulamki prosteY(z) 18z-12 21 3-z-=(Z-I)(z-3)= z-3- z--lWtedyY(z) = 2lz _~.z-3 z-lPo przeksztalceniu odwrotnym funkcji Y(z) otrzymujemy rozwiazaniey[n]=21.3D-3.

6.16. Znajdi rozwiazanie rownaniay[n]-2y[n-I]=n jesli y[-I]=O.

RozwillzanieWyznaczamy transformaty Z obu stron-2y[ n - I] ~ - z { z -ly(z) +y[-l]} = -2z-1y(z),

zn~--2'(z--I)Stad otrzymujemy

Y(Z){I-ZZ-1}=_Z-2 .(z-I)Po przeksztalceniu transformata r6wnania ma postac

Z2y(z) = 2'(z-2)(z-1)Rozkladamy transformate na ulamki prostey(z) z--= ABC--+-+--z-2 z+] (z_I)2(z-2)(Z-I)2Wyznaczamy state


64/88

62

A = ~ I =2. C=_z I =-1(z-I) 7.=2 z-2 z=1 B=_ !_Z_ j =z-2+z =-2dzz-2z=1 (z_2)2 .7.=1Otrzyrnujerny transformate w postaciY(z)=~_~ I_

z--2 z-I (z_I)2Wykorzystujac przeksztalceme odwrotne Z majdujemy rozwiazaniey [ n1 = 22 n - 2 - n.6.17. Znajdi odpowiedi ukladu przedstawionego na rysunku opisanego r6wnaniemY [ n ] - ~ y [ n - 1 ] +![ n - 2 ] = x [ nl4 8na delte Kroneckera i na dyskretny skok jednostkowy,

y[n]Rys. do zad. 6.17

Rozwi~niea) odpowiedi impulsowa.

Wymaczamy transformaty obu stron,Transformata wymuszeniaJeSli x [ n ] = o [ n J to X(z)= 1.Transformata r6wnaniay [ n J ~ Y(z).~y[ n -1 ] ~ ~{z-IY(z)+Y[-I]}.4 4!y( n - 2] ~!{ Z-2y(Z)+ z-Iy[ -1 ] + Y[-2]}.8 8Po podstawieniu y [ -1] = 0, y(-2] =0


65/88

63otrzymujemy

Y(z){ 1-~Z-l + i-Z-2 } = X(z).Po przeksztalceniu i rozlozeniu na ulamki proste transformata odpowiedzi ma postac

Z2 2z zY(z) = H(z) = 2 3 1 = -I --Iz --z+ z-- z--4 8 2 4Stl\d odpowiedi ukladu na wymuszenie delta Kroneckera ma postac

b) odpowiedz skokowaTransformata wymuszeniaJ e S l i x [ n ] = l [ n ] to X(z)=_z_.z-1Wykorzystujac obliczenia z punktu (a) mamy transformate r6wnaniaY(Z){I-'~Z-1 + i z - Z } = X(z).Po przeksztalceniu transformata odpowiedzi ma postac

Z2 z z3Y(z) = .--=---,-----...,....(z2-~z+~) (z-I) (Z-I)(z2-~z+~)

Po rozlozeniu na ulamki proste transformata ma postac

8 z-z -Y(z)=_3 __ ~+_3_z-I 1 1 .z-- z--2 4Stad odpowiedz ukladu na wymuszenie skokowe wynosi

y[n] = [ ~ - 2 ' G r+ ~ ' G rI[nl6.18. Wyznaczyc ci~ y[n] spelniajacy r6wnanie

6y[ n]- 5y[n -I] + y[n- 2 ] = 10metoda bezposredn ia jeSli y [ 0] = 15, y [ 1]= 9.


66/88

64Rozwhp:anieR ozw iazanie bedzie si~ skladac z dw 6ch skladow ych: swobodnej i w ym uszonej.

Rozwiazemy n ajp ie rw r6wn an ie je dn oro dn e(IY[ n 1 S y [ n I] t y[ n - 2] -e 0Rozwiazanie r6w nan ia je st zalezne od m iejsc zerow ych zi w ielom ianucharakterystycznegoO(z) = 6- 5z-' + z-2.

Po obliczeniu z, = . z2 =~.Poniew az O (zi)= O, ciag ZO spelnia r6wnanie jednorodne. S~ wynika, ze sumaI[ ] 0 n 0Y s n = c'z, + ... +C jzj + .... + cm zm

spelnia r6wnanie jednorodne, gdzie y 5[ n ] jest skladow a swobodnaD la naszego zadania

ys[n] = c{)" +C2urSkladowa wymuszona y w [ n] jest rozwiazaniem s zc zeg61nym r6wnanianiejednorodnego.Jesli y . [ n ] jest ciagiem geometrycznymx [ nJ =Ar"iO (r) '" 0 to ciag

A r "yw[n]= O{r)Jest rozwia za niem sz cz eg 61 nym r6w nan ia .Dla naszego zadania r = I, A = 10, wtedyx[n]= IO oraz 0(1)= 6-51+1= 2.N asze rozw iazanie szczeg61ne rna postac

A 10Y w[n)= 0(1) =2=5.R ozw iazanie og61ne jest sum s. skladow ej sw obodnej i w ym uszonejy[ n 1 = y s[ n] + y w [ n].P o podstaw ieniu rozw iazanie rna postac

y[nJ= s+c{r +c2G rD o w yznaczenia stalych korzystam y z w arunk6w poczatkow ych


67/88

65

y[I]=S+ c; + C ; =9,Zatem cl = 6, c2 = 4.Po podstawieniu otrzymujemy rozwiazanie r6wnania

4 6y[n]=S+-+-.2D 3D

6.19. (3] Wyznacz transformate Z cil\8Uf[n] = {n- 3).I[n-3]'

() -3z+4Odp. F z = 2'z2(z-l}6.20. [3] Znajdz transformate Z ciagu

3 2Odp. F(z}=Z +4z 4+Z.(z-l)

6.21. [3] ZnajdZ transformate Z cil\8Uf[ n ] = l[ n] - l[ n - S].

Z z-7Odp. F(z} = ---.z-I6.22. z [3] ZnajdZ transformate Z ciagu

f[n] = n{l[n]-l[n-S]}.

Z-Z-7Odp. F(z} = --2 .(z-l)6.23. [3] ZnajdZ transformate odwrotna funkcji

2F(z} = 4z +SZ .4Z2-Sz+1


68/88

66

Odp. f[n] = -18{~r +22{~r6.24. [3] Znajdi transformate odwrotna funkcji

IF(z)= 2 .z -5z+6Odp. f[n]=_!_.o[n]-_!_.(2)"+!.(3)"-6 2 36.25. (3] Znajdi transformate odwrotna funkcji

F(z) = :(z-I) (z-2)Odp. f[n]=-I+n+2".6.26. (3] Znajdi transformate odwrotna funkcji

Odp. f[n]=I[n]-I[n-2]'6.27. (3] Znajdi transformate odwrotna funkcji

F{z) = 2Z+J3.(z-2)

Odp. f[ n J = n(n -I)2 " .I[ n ]+ ~n (n -I)2 "-1 '1[ n -I].26.28. Rozwiaz r6wnanie rekurencyjne

y[n]-Sy[n-I]+6y[n-2]=2 jesli Y [-I]= 6, y[-2]=4.Odp. y[ n] = 1+ 162" - 9J"-6.29. Rozwiaz r6wnanie rekurencyjne

y[n]-7y[n-I]+ lOy[n-2]=O jesli Y [-I]= 16, Y [-2] = 5.Odp. y[n]=122"+50.S".6.30. Rozwiaz r6wnanie

y[n]-6y[n-I]+9y[n-2]=O jesli y[-I]= 2, y[O ]= 5.


69/88

67

OcIp. y [ n] = (5- n)3R.6.31. Rozwi~ r6wnanie

y[n] -1.5y[n -I] + 0.5y[n - 2] = 0 jeSli y[-I]= -30, y[O] = -62.OcIp. 64y[n]=2-- .2R6.32. Znajdi uklad dyskretny, kt6rego odpowiedi impulsowa jest r6wna

h[n] = (0.5R -0.4R ) . 1 [ n).Odp. y[n) - O. 9y[ n -1]+0.2y[ n- 2] = O.lx[ n -I]x[n]

Rys.do zad. 6.326.33. [3] Narysuj schemat opisany r6wnaniem rekurencyjnym

2y[n]- y[n -I] = 4x[n]+2x[n-l]'Odp.

q[n-I] IE---i

Rys. do zad. 6.33

y[n]


70/88

7. Splot7.1. Dla obwodu z rys. a iwymuszenia z rys.b wyznaczyc prltd metocUt ctikisplotowej:

a) b)t=O R x(t)--to Vo

,(I) 1 Ly (t) =it) 0 TRys. do za d. 7 .1Rozwi4zanie

Funkcj~ czasowa x(t) mozemy zapisac nastwujltCo x(t) = Vol(t) - Vo l(t - T).Ad' . . H(s)-- Y(s) __ I(s) __--1--_-1---1-,rmtancja operatorowa wynosi : X(s) V(5) R+sL L s+R/Lco odpowiadaCzyli:

Rt 1 --(I-t)y(t)=i(t)= HVol(t)-Vol(t-T)]--e L =:o L

[R R 11-_(t-t) t --(t-t)=__jl_ Je L l(t)-dt-Je L l(t-T)-dt =L 0 0

R1--Ih(t) =: -eLL

-!(I-'t)[ -!(I-'t)leL VeL=: __jl_ _ .:::ll_-=-_ -L R L R ---- --L LR RV --I V --(I-T=__jl_(I-e L )l(t)-~(I-e L )l(t-T)

R R


71/88

6 9

7.2. [3] Wyznaczyc splot fln] ci~6w f,[n] = 0.6" ,f2[n] = 0.4".Rozwi~nie

Transformata Z ciagu f,[n] wynosi F,(z) = _z_ , za S ciagu f2[n] odpowiednioz-0.6zF2(z)=--.z-0.4

Z2Zatem: fj(z) ~(z) = -----(z- 0.6)(z- 0.4)3z 2z

z-0.6 - z-0.4 'czyli ostatecznie 0.6" *0.4" = 3 O . 6" - 2.0.4 n

7.3. [3] Wyznaczyc splot funkcji: f, (t) = t3 if2 (t) = t5.Rozwi~nie

31Transformata Laplace'a funkcji f,(t) wynosi fj(s) ="i, zaS funkcji f2(t)sodpowiednio ~(s) = 5~.sII ... "-() I


72/88

70a) b)

R u1(t)

u1(1)1 1 ',(1)Ac0

Rys. do zad, 7.St

Odp. I) dla O~t~T u2(t)=A(I-e RC),t T__

2) dla t z T u2(t)=Ae RC(eRC -1).

7 .6 . Wy zn acz yc sp lo t fl[n]*f2[n] cill86w: f.[n] = l[n]-I[n -4],f2[n] = ~[n-I].Odp. fl[n]*f2[n] = ~[n-I]+~[n- 2]+~[n-4].

7 .7 . Wy zn acz yc sp lo t fl[n]*f2[n] cill86w: fl[n] = 2,f2[n]= 20.Odp. fl[n]*f2[n] = -2+42D.


73/88

8. Repetytorium-zadania ro:inea) metoda klasyczna

71

S.l. Obw6d szeregowy RC wlaczono w chwili t=O do napiecia jak na rys. Znalezc rownaniepradu i(t) w obwodzie dla tzo oraz ene rg ie wydz ie lona p rzez ten prad na rezy stan cji R .-2U o=10V , R=10n, C=10 F, uc(O)=O

u(t)Uor------

Odp . i(t)= e -1 01 1t), W=1/2 JS.2. K ondensator jest naladowany do napiecia UI=20V . W chwili t=O zwarto wylacznik k.O bliczy c przeb ieg prad u lad ow ania ko nd en sato ra dla t> O m eto da, T heven ina.

Uo

-50t 50tOdp. llc(t) = (80-60e )V , i(t)= 7,5e" AS.3. W chw ili t= O zw arto w ylacznik k. O bliczyc przebieg pradu it{t) po zw arciu stosujacmetode Thevenina.

u(t)

u{t} = 160.J2 sin ~OOt + IS)v,R1=R 2=16n,L=0,08H,iL(O)=OOdp.i (t )=[ l Osin( 100t-300)+5e-100 t]A


74/88

728.4. W obwodzie jak na rysunku zwarty jest styk k" plynie prad sinusoidalny i panuje stanustalony. W chwili t= O zwarto styk hbliczyc llc(t) po zwarciu styku k2.

-2OtOdp. i(O )=O , IJc(O)= -IOV , lJc(t)= -IOe V

L=2HC=10-2FR,=R2=Sn

8.5. W chwili t=O przerzucono przelacznik z poz. I na 2. Obliczyc przebieg prado i(t) pozwarciu.

R i(t)

n-ionC C= lO-4F

u {t} = IOO.J2 sin{ IOOO t + IS o)V

tOdp . i{ t)= Z ~ 2 R cos{Ql+4>)e- RC, i(t)=Se-1OOOt8.6. Po naladow aniu kondensatora do napiecia Uo przelacznik przerzucono w pozycje 2.a)D obrac tak R aby wyladowanie kondensatora m ialo przebieg aperiodyczny graniczny,b )inaleic r6w nie p r a du d la teg o przyp adku .

C

Uo=lOOVL=IOHC=2,S '1O-3F

Odp. a)R = 2Jf =40n -2 tb) i(t)= -IO te A


75/88

7 3b) metoda zmiennych stanu8 .7 . K o nd en sa to r n alad ow an y d o n ap ie cia Uo= lOOV (sc hemat z z ad an ia 8 .6 ) zwa rto p rz ezgal~ RL p rzerzu cajac przelaczn ik w po z. 2 w chw ili t=O .a-ion, L=0,2H , C=12,SmFStosujac metode zrniennych s tanu znalezc wartosci wlasne macierzy o bw od u A o raz zm ienn es tanu x l= iL( t) , X2=UC( t) .

8 .8 . W obwod zie ja k n a ry su nk u p ly nie p ra d sin uso id aln y. W chw ili t=O zwa rto wyla cz nik .Napisac:a jrownanie nap iecia zas ilania ,b )macie rz owe rownanie sta nu , x l= iL ,X2=UC ,c rwyz nac zy c w arto sc i w ia sn e mac ierz y o bwodu A

i(t) = 30..fi s in (1OOt+lso)AR=8nL=0,12HC=2,5l0-3 F

R

u(t) C

o ~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~

Odp .a) u(t) = 480 sin (rot + 600)Vb [~l(t)]= [ 0 -8,33][X1(t)] + [ 4000 s in (lOOt+ 600)]) () 400 0 x 2 (t) 0X2 t, ,100c) 1 1 . 1 =-J . /3 '


76/88

74

8.9. W obwodzie z zadania 8.4 otwarte sa obydwa styki k, ih chwili t=O zwarto styk k.,uc(O)=O. Napisac macierzowe rownanie stanu dla tego obwodu po zwarciu styku k.. xi=u,X2=UC,

Odp. [:I(t)J1= [- 5 - 0,5][Xl(t)] J 5Ji sin(lOt +~ ) lX2(t) 100 0 X2(t) l 0

8.10. W obwodzie jak na rysunku w chwili t=O zwarto wylacznik k.Napisac macierzowerownanie stanu dla tego obwodu, oraz obliczyc wartosci wlasne macierzy obwodu Aprzyjrnujac xj=i], X2=UC

C

E=lOOVR1=R3=IOnR2=40nC=IOOOIlFL=2H

[ 1

Odp. XI(t)J=[-5 o IXl(t)] +[50], ( ) 0 - 25 x 2 (t) 0x2 t

8.11. Obliczyc przebieg pradu i2oraz napiecia uc po zwarciu wylacznika stosujac metod,"zmiennych stanu. Przyjac zerowe warunki poczatkowe.

E=4VR1=lnR2=2nC=lFL=lH

Odp A.I= -~ + J'.fj. 2 2' A.2= - ~ - J'.fj2 2' [3 t ( ) l4 -_ .fj .fj

['] ---e 2 .fjsin-t+cos-t .12 = 3 3 2 2ue 38 8 --I .fj---e 2 cos-t J3 3 2


77/88

75c) metoda operatorowa8.12. Znalezc transfonnaty Laplace'a sygnalow jak na rysunkach:~ ~

U(I) o 51----- .....

2 +- -,

o 2 6 o 6

Odp. a) F{s) = ~e -2S(I_ e -35) b) U(s) = .! _ ~ - 3e-35 - 2e -65 )s s8.13. Dla obwodu jak na rysunku 8.10 obliczyc prad i1(t) po zwarciu stosujac metodeoperatorowa,

8.14. W obwodzie jak na rysunku plynie prad i(t). W chwili t=O przerzucono przelacznik zpozycji 1 na pozycje 2. Znalezc:a) warunki poczatkoweb) postac operatorowa pradu I(s) po zwarciuc) przebieg pradu i(t)

t=O R L i{t) = 20 sin (rot+0o)AR=8nL=0,12HC=2,510-3F

-1ro=100sC

Odp.a) i(0)=10A, udo) = -40.J3V

si(O)- udo)b) I ( s ) = 2 R L 1

S +-s+-L LCc) i(t) = e-33,31 (10cos47,14t + 5,16sin 47,14t)


78/88

768.15. Znalezc przebieg natezenia pradu w obwodzie i(t) stosujac metode operatorowa,

u(t)=100e-O,4t 1(t)a-rooL=5H

L

Odp. r(s) = ( 2X )' i(t)=12,5(e-O,4t_e-2t)l(t)s+0,4 s+ 28.16. W obwodzie jak na rys.8.8. plynie prad i(t)=20sin(rot+900)A, R=8n, roL=12n,_1_ = 40. W chwili t=0 zwarto wylacznik,roCZnalezc:

a) warunki poczatkoweb) r6wnanie oraz transformate napiecia zasilaniac) postac operatorowa pradu r(s) po zwarci u

Odp.:a) iL(O)=20A, Uc(O)=Ob) u(t)=160.J2sin(rot+1351c) r(s) = U(s)+20L

1sL+ sC8.17. Odpowiedz impulsowa analogowego ukladu liniowego jest r6wna h(t)=e-2tObliczyc odpowiedz tego ukladu na wymuszenie 0 przebiegu x(t)=I(t-3) t>0.

() s-roUs = 160-2--2s +ro

e - o .-3s

Odp. Y(s)=_(e )'s s+2


79/88

7 7

8.18. Uklad szeregowy RLC w stanie nieustalonym opisany jest rownaniem:y"(t)+7y'(t)+10y(t)=x(t) gdzie y(t)=i(t), y(O)=y'(O)=O, R=7Q.Znalezc:

a) parametry L iC ukladub) transmitancje tego ukladuc) narysowac schemat blokowy.

Odp.a) L=1H, C=O,lF

1b) T(s)=H(s)=-'2---s +7s+10c) rys

s sy[t]


80/88

7 8

d) Przeksztalcenie Fouriera8.19. Dany jest sygnal jak na rysunku Znalezc transformate Fouriera tego sygnahi.

21-__ ~

----------_ ....--------~ u(t)

4

o 2 5

8.20. Dana jest funkcja czasu f(t)=te-atl(t). Wyznaczyc transformate Fouriera FGro) tejfunkcji oraz jej charakterystyke amplitudowa F(oi). Sporzadzic wykres charakterystykiamplitudowej.

f(t)

te-at 1(t)

Odp. FUro) = 1 . )2 '(a + jro


81/88

798.21. Wyznaczyc transformate Fouriera funkcji f(t)=5e-ex1tloraz sporzadzic jej wykres.

Od F{:)= lOa.p. uro 2 2a. +ro

o ro8.22. Znalezc:

a) transmitancje widmowa T U r o ) = ~~~) ukladu jak na rysunku,b) charakterystyke arnplitudowa tej transmitancji oraz sporzadzic jej wykres,c) sporzadzic wykres transmitancji przy R=O

R L

iU G m )I ]-oOdp,a) T U r o ) = --,---_____..

R+ { r o L - r o l e )

1(j0))

e

A(ro)

o IHe r oo

IHee


82/88

808.23. Znalezc przeksztalcenie odwrotne funkcji czestotliwosci przedstawionej na rysunkuoraz sporzadzic jej wykres.

10 0 to

" F ( j m )2

-100

Odp. r{t) = 200. sin lOOtn lOOt

200 f(t)

o


83/88

81

e) przeksztalcenie z i rownania rekurencyjne8.24. Sygnaly przedstawione na rys. a) i b) w zad 8.12 przeksztalcic w dyskretne oraz znalezcich transformaty z:

3 +t )Odp. a)F(z)=-z-\1--Z-3z-J b)U(z)=_z-(5-3z-3 -2z-6)z -18.25. Znalezc odpowiedz wymuszona ukladu cyfrowego 0 schemacie blokowym jak narys. a) i wymuszeniujak na rys. b).a) b)

ny[n] 32

8.26. Znalezc odpowiedi wymuszona ukladu cyfrowego 0 schemacie blokowym jak na rys. a)i wymuszeniu jak na rys b).a)

Z-1

b)

I I I I I I ._ _ _ _ _2 3 4 5I 0 ny[n]


84/88

828.27. Dane jest rownanie rozniczkowe opisujace uklad analogowy: y'(t)+2y(t)=1 y(O)=OZamienic to rownanie na rekurencyjne przyjmujac rownomierny krok probkowania T oraznarysowac schemat blokowy.Odp.:

y[n]= {Tx[n]+ y[n -In_I_1+2T

y[n-I] y[n] y[n]

8.28. Znalezc transformate odwrotna funkcji:2

F(z} = 2z -2z(z-3Xz-S}2o 0Odp.: f[n]=3 +(O,Sn-I)S

8.29. Rozwiazac rownanie rekurencyjney[n]-3y[n-I]=6

z warunkiem poczatkowym y[-1]=4 stosujac przeksztalcenie z.nOdp.: y[n]=213 -3

8.30. Odpowiedz ukladu dyskretnego wymuszona sygnalem wejsciowym x[n]=1 [n] jestrowna yIn]=2( 1-0,S"). Znalezc odpowiedz Y2[n] jesli x[n]=o,So.

Odp.: Y2(Z}= z 2'(z-O,S)0-1Y2[n]=n(O,S)


85/88

838.31. Funkcji f(t) odpowiada transformata F{s}= 2 1 . Wyznaczyc transformate F(z)s +5s+6ciagu probek ttn]=f(nT) funkcji f(t) gdzie T=0,05.

1 1Odp.: F{z}= -01 _I -015 _Il-e . z I-e' z8.32. Znalezc rownanie uldadu dyskretnego ktorego odpowiedz impulsowa

n nh[n]=(0,5 -0,4 }1[n].Odp.: y[n]-0,9y[n-I]+0,2y[n-2] = O,lx[n-l]8.33. Znalezc odpowiedi wymuszona ukladu cyfrowego opisanego rownaniemy[n]-6y[n-l ]+5y[ n-2]=x[ n]

oraz narysowac schemat blokowy ukladu, -1 o 1n+1Odp.: y[n]= (5 -1)I[n]

y[n]

n


86/88

84

8.34. Dany jest schemat blokowy ukladu cyfrowego oraz sygnal wejsciowy x]n]. Znalezcr6wnanie ukladu oraz jego transmitancje.

y[n]

-I o 1 n

8.35. Rozwiazac r6wnanie rekurencyjne stosujac przeksztalcenie z:

Odp.y[n]-3y[n-I]+2y[n-2] =8[n]

z2H(z)=--"-2--z -3z+2

y[n]-6y[n-l ]+9y[n-2]=O,Odp.:

y( )_ 6z 9zz ---+---z-3 (z-3f'

y[-l]=l, y[-2]=O

y[n]=(6+3n)"3n


87/88

85t) splot dwoch funkcji8.36. Wyznaczyc splot dwoch funkcji czasowych fl(t)*f2(t), korzystajac z twierdzenia Borela,jesli

8.37. Do obwodu jak na rysunku doprowadzono w chwili t=O wymuszenie okresloneanalitycznie jako

-21u(t)=10e 1 (t)Znalezc odpowiedz obwodu uc(t) metoda calki splotowej. Przyjac uc(O)=O

t=OR

R=100n-2C=IO F

-I -21Odp. uc(t)=IO(e -e )1(t)8.38. Znalezc splot dwoch funkcji dyskretnych fl[n1*f2[ n] jesli:

IIfl[n]=I[n-l], f2[n]=(0,5)


88/88

86

8.39. Obliczyc splot dwoch funkcji dyskretnych f,[n]*f2[n] jesli dane sit one wykreslnie:

.) 0 ) 2 3 4 n o 2 345 n

Odp.: ur *I[n]=2'I[n]-(~r

8.40. Obliczyc splot dwoch funkcji dyskretnych f,[n]*f2[n] gdzienf,[n]=o[n-l], f2[n]=O,2.Wynik zilustrowac rysunkiem dla 0 :-::; :-::;.

nOdp.: f[n]=-50[n]+50,2

0,2Io 2 n

Sygnały i układy Zbiór zadań

Documents

Transcript of Sygnały i układy Zbiór zadań