Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora koli cine gibanja€¦ · 1 1 u l (r)u k(r)dV = Z 1 1...
Transcript of Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora koli cine gibanja€¦ · 1 1 u l (r)u k(r)dV = Z 1 1...
Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanjaQuantum mechanics 1 - Lecture 6
Igor Lukacevic
UJJS, Dept. of Physics, Osijek
11. travnja 2013.
Igor Lukacevic Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Contents
1 Svojstvene funkcije i vrijednosti
2 Normiranje u kutiji
3 Normiranje pomocu Diracove δ funkcije
4 Zatvorenost skupa svojstvenih funkcija
5 Potpunost skupa svojstvenih funkcija
6 Ocekivanje operatora p
7 Literature
Igor Lukacevic Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Svojstvene funkcije i vrijednosti
Contents
1 Svojstvene funkcije i vrijednosti
2 Normiranje u kutiji
3 Normiranje pomocu Diracove δ funkcije
4 Zatvorenost skupa svojstvenih funkcija
5 Potpunost skupa svojstvenih funkcija
6 Ocekivanje operatora p
7 Literature
Igor Lukacevic Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Svojstvene funkcije i vrijednosti
Klasicna mehanika
p = mv
Kvantna mehanika
Jednadzba svojstvenih vrijednosti:
pup(r) = pup(r) , p 7→ −i~∇
−i~∇up(r) = pup(r)
Igor Lukacevic Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Svojstvene funkcije i vrijednosti
−i~∇up(r) = pup(r) + separacija varijabliD.Z .=⇒
up(r) = Cei~ p·r , k
D.Z .=
p
~
Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
uk(r) = Ce ik·r
p = ~k (neprekidne)
Igor Lukacevic Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Normiranje u kutiji
Contents
1 Svojstvene funkcije i vrijednosti
2 Normiranje u kutiji
3 Normiranje pomocu Diracove δ funkcije
4 Zatvorenost skupa svojstvenih funkcija
5 Potpunost skupa svojstvenih funkcija
6 Ocekivanje operatora p
7 Literature
Igor Lukacevic Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Normiranje u kutiji
Pitanje
Sto mislite, mogu li se uk(r) normirati u kutiji s cvrstim zidovima, kao sto sumogle uE (r)?
Igor Lukacevic Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Normiranje u kutiji
Pitanje
Sto mislite, mogu li se uk(r) normirati u kutiji s cvrstim zidovima, kao sto sumogle uE (r)? Ne, jer ne trnu u rubovima kutije.
Igor Lukacevic Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Normiranje u kutiji
Pitanje
Sto mislite, mogu li se uk(r) normirati u kutiji s cvrstim zidovima, kao sto sumogle uE (r)? Ne, jer ne trnu u rubovima kutije. Treba normirati s periodicnimrubnim uvjetima.
Igor Lukacevic Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Normiranje u kutiji
Uvjet normiranja∫ L
0
u∗k ukdVDZ= |C |2L3 ⇒ C = ± 1
L3/2e±iϕ
⇒ uk(r) =1
L3/2e ik·r normirane svojstvene funkcije operatora p
Igor Lukacevic Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Normiranje u kutiji
Uvjet normiranja∫ L
0
u∗k ukdVDZ= |C |2L3 ⇒ C = ± 1
L3/2e±iϕ
⇒ uk(r) =1
L3/2e ik·r normirane svojstvene funkcije operatora p
Uvjet periodicnosti
uk(0) = uk(L)1D⇒ 1
L3/2e ikx ·0 =
1
L3/2e ikx ·L ⇒ e ikxL = 1
⇒ cos(kxL) = 1
⇒ kxL = 2nxπ
⇒ kx =2nxπ
L, n ∈ Z
Igor Lukacevic Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Normiranje u kutiji
Pitanje
Koliko iznosi razmak izmedu dvije susjedne vrijednosti vektora kx i energija
E =p2
2m?
Igor Lukacevic Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Normiranje u kutiji
Pitanje
Koliko iznosi razmak izmedu dvije susjedne vrijednosti vektora kx i energija
E =p2
2m?
∆kx =2π
L
∆E =2π2~2
mL2
(2∑i
ni + 3
), i = x , y , z
Igor Lukacevic Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Normiranje u kutiji
Uvjeti periodicnosti diskretiziraju neprekidne svojstvene vrijednosti p i pripadneenergije.
Igor Lukacevic Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Normiranje u kutiji
Uvjeti periodicnosti diskretiziraju neprekidne svojstvene vrijednosti p i pripadneenergije.
Igor Lukacevic Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Normiranje u kutiji
Zanimljivo!
∆kx =2π
L⇒ ∆px =
2π~L
=h
L
L ≈ ∆x ⇒ ∆x∆px ≈ h
Igor Lukacevic Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Normiranje u kutiji
Zanimljivo!
∆kx =2π
L⇒ ∆px =
2π~L
=h
L
L ≈ ∆x ⇒ ∆x∆px ≈ h
L→∞ ⇒ ∆x →∞ ⇒ ∆px → 0 =⇒
Slobodna cestica imaneprekidne vrijednostip = ~k i E = ~2k2/2m, kojese mogu tocno izmjeriti.
Igor Lukacevic Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Normiranje u kutiji
Normirane svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
uk(r) =1
L3/2e ik·r
p = ~k
Igor Lukacevic Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Normiranje pomocu Diracove δ funkcije
Contents
1 Svojstvene funkcije i vrijednosti
2 Normiranje u kutiji
3 Normiranje pomocu Diracove δ funkcije
4 Zatvorenost skupa svojstvenih funkcija
5 Potpunost skupa svojstvenih funkcija
6 Ocekivanje operatora p
7 Literature
Igor Lukacevic Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Normiranje pomocu Diracove δ funkcije
Diracova δ funkcija (ref [4])
δ(x) = 0 , x 6= 0∫V
δ(x)dx = 1 , x = 0 ∈ V
Igor Lukacevic Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Normiranje pomocu Diracove δ funkcije
Diracova δ funkcija (ref [4])
δ(x) = 0 , x 6= 0∫V
δ(x)dx = 1 , x = 0 ∈ V
sin(gx)
πx
δ(x) = limg→∞
sin(gx)
πx
Igor Lukacevic Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Normiranje pomocu Diracove δ funkcije
Primjer 1.
Kako izgledaju svojstvene funkcije i vrijednosti operatora polozaja?
Igor Lukacevic Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Normiranje pomocu Diracove δ funkcije
Primjer 1.
Kako izgledaju svojstvene funkcije i vrijednosti operatora polozaja?
postulat 2: polozaju cestice odgovaraoperator polozaja x
postulat 3: mjerenje polozaja, koje dajevrijednost x ′, ostavlja cesticu u stanjusvojstvene funkcije od x kojoj odgovarasvojstvena vrijednost x ′
Igor Lukacevic Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Normiranje pomocu Diracove δ funkcije
Primjer 1.
Kako izgledaju svojstvene funkcije i vrijednosti operatora polozaja?
xδ(x − x ′) = x ′δ(x − x ′)
δ(x − x ′) svojstvene funkcije od x
x ′ svojstvene vrijednosti od x
Igor Lukacevic Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Normiranje pomocu Diracove δ funkcije
Zelimo pokazati ortonormiranost uk preko δ funkcije
∫ ∞−∞
u∗l (r)uk(r)dV =
∫ ∞−∞
C∗e−i l·r · Ce ik·rdV
= |C |2∫ ∞−∞
e i[(kx−lx )x+(ky−ly )y+(kz−lz )z]dxdydz
= |C |2[∫ ∞−∞
e i(kx−lx )xdx
∫ ∞−∞
e i(ky−ly )ydy
∫ ∞−∞
e i(kz−lz )zdz
]
Igor Lukacevic Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Normiranje pomocu Diracove δ funkcije
Zelimo pokazati ortonormiranost uk preko δ funkcije
∫ ∞−∞
e i(kx−lx )xdx = limg→∞
∫ g
−g
e i(kx−lx )xdx =
∣∣∣∣ i(kx − lx)x = udx = du
i(kx−lx )
∣∣∣∣= lim
g→∞
∫ gu
−gu
eudu · 1
i(kx − lx)
= limg→∞
1
i(kx − lx)
[e i(kx−lx )g − e−i(kx−lx )g
]︸ ︷︷ ︸
2i sin(kx−lx )g
= 2 limg→∞
sin g(kx − lx)
kx − lx= 2π lim
g→∞
sin g(kx − lx)
π(kx − lx)︸ ︷︷ ︸δ(kx−lx )
= 2πδ(kx − lx)
Igor Lukacevic Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Normiranje pomocu Diracove δ funkcije
Zelimo pokazati ortonormiranost uk preko δ funkcije
∫ ∞−∞
u∗l (r)uk(r)dV = |C |2 · 8π3δ(kx − lx)δ(ky − ly )δ(kz − lz)
= |C |2 · 8π3δ(k− l)
Igor Lukacevic Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Normiranje pomocu Diracove δ funkcije
Zelimo pokazati ortonormiranost uk preko δ funkcije
∫ ∞−∞
u∗l (r)uk(r)dV = |C |2 · 8π3δ(kx − lx)δ(ky − ly )δ(kz − lz)
= |C |2 · 8π3δ(k− l)
1 k = l ⇒ δ(k− l) = 1 ⇒ |C |2 · 8π3 = 1 ⇒ C = ± 1√8π3
e±iϕ
2 k 6= l ⇒ δ(k− l) = 0
Igor Lukacevic Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Normiranje pomocu Diracove δ funkcije
Ortonormiranost svojstvenih funkcija operatora p∫ ∞−∞
u∗l (r)uk(r)dV = δ(k− l) =
{1 , k = l
0 , k 6= l
uk(r) =1√8π3
e ik·r
Igor Lukacevic Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Zatvorenost skupa svojstvenih funkcija
Contents
1 Svojstvene funkcije i vrijednosti
2 Normiranje u kutiji
3 Normiranje pomocu Diracove δ funkcije
4 Zatvorenost skupa svojstvenih funkcija
5 Potpunost skupa svojstvenih funkcija
6 Ocekivanje operatora p
7 Literature
Igor Lukacevic Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Zatvorenost skupa svojstvenih funkcija
∑k
u∗k (r′)uk(r)
∫u∗k (r′)uk(r)d3k
δ(r − r′)Detalje izvodanaucite iz ref. [3].
Svojstvene funkcije operatora p su ortonormirane s obzirom na sumaciju iliintegraciju po svojstvenim vrijednostima k, kao i s obzirom na integraciju povektoru polozaja r.
u ∼ e ik·r
↓k i r ulaze simetricno u u
Igor Lukacevic Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Potpunost skupa svojstvenih funkcija
Contents
1 Svojstvene funkcije i vrijednosti
2 Normiranje u kutiji
3 Normiranje pomocu Diracove δ funkcije
4 Zatvorenost skupa svojstvenih funkcija
5 Potpunost skupa svojstvenih funkcija
6 Ocekivanje operatora p
7 Literature
Igor Lukacevic Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Potpunost skupa svojstvenih funkcija
ψ(r) =
∑k
Akuk(r) ! normiranje u kutiji
∫Akuk(r)d3k ! normiranje pomocu
delta funkcije
Ak =
∫u∗k (r′)ψ(r′)dV ′
Detalje izvodanaucite iz ref. [3].
Igor Lukacevic Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Ocekivanje operatora p
Contents
1 Svojstvene funkcije i vrijednosti
2 Normiranje u kutiji
3 Normiranje pomocu Diracove δ funkcije
4 Zatvorenost skupa svojstvenih funkcija
5 Potpunost skupa svojstvenih funkcija
6 Ocekivanje operatora p
7 Literature
Igor Lukacevic Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Ocekivanje operatora p
Postulat 4 ⇒ P(k) = |Ak |2 = A∗kAk
〈p〉 = ~∑k
kP(k) = ~∑k
∫ku∗k (r)ψ(r)dV
∫uk(r′)ψ∗(r′)dV ′
=∣∣∣− i~∇uk(r) = ~kuk(r)
/∗⇒ i∇u∗k (r) = ku∗k (r)
∣∣∣= i~
∑k
∫∇u∗k (r)ψ(r)dV
∫uk(r′)ψ∗(r′)dV ′
=∣∣∣∇u∗kψ = ∇ (u∗kψ)− u∗k∇ψ
∣∣∣= i~
∑k
[∫∇ (u∗kψ) dV︸ ︷︷ ︸∫
Sv(u∗k ψ)
ndS→ 0
−∫
u∗k∇ψdV
] ∫uk(r′)ψ∗(r′)dV ′
= −i~∑k
∫u∗k (r)∇ψ(r)dV
∫uk(r′)ψ∗(r′)dV ′
Igor Lukacevic Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Ocekivanje operatora p
〈p〉 = −i~∫∫ [∑
k
u∗k (r)uk(r′)
]︸ ︷︷ ︸
δ(r−r′)
∇ψ(r)ψ∗(r′)dVdV ′
= −i~∫
∇ψ(r)
[∫ψ∗(r′)δ(r − r′)dV ′
]︸ ︷︷ ︸
ψ∗(r)
dV
= −i~∫ψ∗(r)∇ψ(r)dV =
∫ψ∗(r) [−i~∇]ψ(r)dV
〈p〉 =
∫ψ∗(r) p ψ(r)dV
Igor Lukacevic Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Literature
Contents
1 Svojstvene funkcije i vrijednosti
2 Normiranje u kutiji
3 Normiranje pomocu Diracove δ funkcije
4 Zatvorenost skupa svojstvenih funkcija
5 Potpunost skupa svojstvenih funkcija
6 Ocekivanje operatora p
7 Literature
Igor Lukacevic Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja
Literature
Literature
1 R. L. Liboff, Introductory Quantum Mechanics, Addison Wesley, SanFrancisco, 2003.
2 D. J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 2nd ed., PearsonEducation, Inc., Upper Saddle River, NJ, 2005.
3 L. I. Schiff, Quantum Mechanics, McGraw-Hill Book Company, New York,1949.
4 Diracova delta funkcija
Igor Lukacevic Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja