Sveučilište J.J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike

Matea Pavlović

Kako učiti i podučavati geometriju

Diplomski rad

Osijek, 2014.

1

Sveučilište J.J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike

Matea Pavlović

Kako učiti i podučavati geometriju

Diplomski rad

MENTOR:

doc.dr.sc. Ivan Matić

KOMENTOR:

dr.sc. Ljerka Jukić Matić

Osijek, 2014.

2

Sadržaj

1 Uvod 3

2 Modeli kurikuluma nastave matematike 4

2.1 Koncepti kurikuluma nastave matematike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Demokratski pristup matematičkim idejama . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Tko donosi odluke o kurikulumu? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Modeli kurikuluma koji se temelje na ishodima učenja . . . . . . . . . . . . . 82.5 Integrirani kurikulum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.6 Nacionalni okvirni kurikulum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.6.1 Geometrija u nacionalnom okvirnom kurikulumu . . . . . . . . . . . 14

3 Učenje i podučavanje geometrije 17

3.1 Geometrijski koncepti u osnovnoj i srednjoj školi . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Geometrijsko mišljenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3 Vizualizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3.1 Presijecanje kocke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3.2 Kosi toranj u Pizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4 Konstruiranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.4.1 Presavijanje papira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.4.2 Konstrukcije pomoću programa dinamične geometrije . . . . . . . . . 27

3.5 Zaključivanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.6 Jezik i komunikacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.7 Prostorni zor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4 Zaključak 33

Sažetak 37

Životopis 38

3

1 Uvod

Prostorni zor važan je dio ljudske inteligencije, a njegovo je razvijanje i cilj matema-tičkog obrazovanja. Svako od nas u različitoj mjeri posjeduje sposobnost prostornog zora,zapažamo i opisujemo predmete oko sebe po njihovoj boji, veličini i njihovim međusobnimpoložajima. Geometrija je u nastavi matematike privlačna upravo zbog zornosti, jer učenjegeometrije pomaže učenicima u prikazivanju i davanju smisla svijeta koji ih okružuje. Iako jesastavni dio svakog kurikuluma i neizostavna zbog široke primjene u svim sferama društvenedjelatnosti, učenici je ne vole zbog apstraktnosti. Postoje mnoge veze između geometrije idrugih matematičkih koncepata pa tako postoje i mnoge mogućnosti za učitelje i učenike daintegriraju mišljenje i učenje kroz poučavanje geometrije. Pristup, u kojem učenici rješavajuprobleme, istražuju geometrijske likove i razmišljaju o promjenama koje su napravljene na li-kovima, omogućuje učenicima samostalno otkriti i doživjeti neočekivane odnose u geometriji.Geometrija pruža jezik za opisivanje i interpretiranje stvarnosti te strukturu za organizaciju,stoga se učitelji trebaju koristiti stvarnim kontekstom kako bi motivirali učenike i povezaliono što se uči u školi s primjerima iz svakodnevnog života. Učenike treba poticati da sekoriste nizom geometrijskih alata za crtanje, izradu, konstruiranje, rješavanje problema ikomuniciranje.

U ovom diplomskom radu govorit ću o kurikulumu nastave matematike, što treba sadr-žavati i tko donosi odluke o kurikulumu. Navest ću neke modele kurikuluma koji se temeljena ishodima učenja, te zašto je važna integracija kurikuluma. Vrlo važan dio kurikuluma je iučenje geometrije, stoga ću prikazati očekivana učenička postignuća vezana uz oblik i prostorkroz obrazovne cikluse. Objasnit ću zašto su važne sposobnosti vizualizacije, konstrukcijei zaključivanja za razvoj geometrijskog mišljenja. Govorit ću i o poteškoćama s kojima sesusreću učenici u ovom području matematike. Objašnjeni pojmovi i vještine nisu potpunipopis tema, ali ukazuju na širinu učenja geometrije u osnovnim i srednjim školama.

4

2 Modeli kurikuluma nastave matematike

2.1 Koncepti kurikuluma nastave matematike

Kurikulum se može definirati na više načina; neke definicije odnose se samo na obrazovnenamjere, dok neke definiraju stvarnost događanja u školama. Na primjer, može se reći daje kurikulum plan za učenje (namjera) dok drugi vide kurikulum kao skup svih obrazovnihiskustava učitelja i škola (stvarnost). Stenhouse (1975) spaja ova dva viđenja u jednu defi-niciju kurikuluma kao pokušaj spajanja bitnih načela i mogućnosti obrazovnog prijedloga uformi koja je otvorena za kritičko promatranje i može se uspješno provesti u praksi. Kuri-kulum također može biti zastupljen na različite načine s obzirom na perspektivu sudionikau nastavnim aktivnostima:

• Preporučeni kurikulum odnosi se na niz ciljeva postavljenih na početku bilo kojegnastavnog plana. Izrađuju ga stručnjaci i pojavljuje se u službenim dokumentima.

• Izvedeni kurikulum odnosi se na razne aktivnosti učenja ili na ono što učitelji izvodeu svom radu.

• Ostvareni kurikulum se temelji na prethodna dva tipa kurikuluma, oslanja se na is-kustva učenika i sve ono što učenici zapravo mogu naučiti.

Obrazovne se namjere rijetko podudaraju s obrazovnom stvarnošću i zbog toga su neiz-bježne razlike između preporučenog kurikuluma od strane stručnjaka, izvedenog kurikulumaod strane učitelja te ostvarenog kurikuluma od strane učenika.

Kurikulum sadrži nekoliko sastavnica koje se odnose na svrhu, sadržaj, organizaciju iprocjenu znanja učenika. Van den Akker (2003) daje popis bitnih elemenata kurikuluma ipitanja na koja se ti elementi odnose:

1. Obrazloženje: Koje obrazovne namjere i načela podupire kurikulum?

2. Ciljevi i svrha: Prema kojim određenim ciljevima učenja učenici teže?

3. Sadržaj: Što učenici uče i prema kojem slijedu?

4. Aktivnosti učenja: Kako učenici uče?

5. Uloga nastavnika: Kako učitelj pridonosi olakšavanju učenja?

6. Materijali i resursi: Pomoću čega učenici uče?

7. Grupiranje: Kako su učenici podijeljeni u odnosu na različite načine učenja i kako suorganizirani u učionici?

5

8. Mjesto: Koje su socijalne i fizičke karakteristike okruženja za učenje?

9. Vrijeme: Koliko vremena je potrebno za određene teme i zadatke?

10. Procjena: Kako znamo koliko je učenje napredovalo?

Relevantnost ovih individualnih komponenti varirat će ovisno o tome odvija li se plani-ranje i provedba kurikuluma na razini obrazovnog sustava, škole ili učionice. Na primjer,dokumenti kurikuluma na razini sustava daju najviše pozornosti obrazloženju, ciljevima isadržaju te često daju prijedloge za slijed sadržaja i potrebno vrijeme. Na razini razredaučitelj obično najviše brine o aktivnostima učenja, svojoj ulozi te materijalima i resursimaza učenje. Svih deset sastavnica trebaju koherentno i sustavno rješavati timovi učitelja kojisu uključeni u planiranje i provedbu kurikuluma na razini škole. Također, važno je održavatiravnotežu i povezanost između svih elemenata, a proces promjene kurikuluma može se od-nositi samo na neke komponente na određeno vrijeme, kao što je npr. uvođenje novih ciljeva,novih sadržaja ili novih strategija procjene znanja.

2.2 Demokratski pristup matematičkim idejama

Obrazovanje se bavi odabirom mogućih aspekata kulture; znanja, vještina, uvjerenja, vri-jednosti i običaja koje naše društvo smatra bitnim za sljedeće generacije. Međutim, mišljenjaljudi razlikuju se u tome što je važno za sadržaj kurikuluma.

Izbori kurikuluma moraju se temeljiti na razumijevanju zašto je matematika važna, po-gotovo u današnje vrijeme brzih socijalnih, ekonomskih i znanstvenih promjena. Nacionalnovijeće za matematiku u Australiji (Australian Education Council, 1991) daje četiri razlogazašto svatko mora biti u stanju razumjeti i koristiti se matematikom, a ne samo odabranipojedinci. Prvi razlog je taj što se matematika koristi u svakodnevnom životu: mjerenjesastojaka za kuhanje, vrtlarstvo, šivanje, vođenje financija, štednja, dizanje kredita, putova-nja, čitanje zemljopisnih karti, igranje igara i slično. Drugi razlog je taj što je matematikapotrebna za sudjelovanje u društvenom životu, zbog toga što se često zahtijeva tumače-nje podataka kako bi se odlučivalo o ekonomskim, društvenim, političkim, zdravstvenim iliekološkim problemima. Treći, matematika se koristi na poslu jer osnovna matematička zna-nja podupiru vrlo širok raspon karijera u industriji, obrtu, komunikacijama, dizajniranju,planiranju i poljoprivredi, a viša razina matematike potrebna je samo za određena zanima-nja (inženjering, znanost, informacijske tehnologije, ekonomija). Četvrti razlog je taj štoje matematika dio naše kulturne baštine, ona je jedan od najvećih ljudskih intelektualnih ikulturalnih dostignuća i zaslužuje biti dio našeg obrazovanja.

Još jedan odgovor na pitanje što se treba učiti u matematici i zašto, dolazi od onihkoji se zalažu za osnovno ljudsko pravo na demokratski pristup matematičkim idejama za

6

sve učenike (Malloy, 2002). U Sjedinjenim Američkim Državama ova ideja potvrđena jeod strane Nacionalnog vijeća nastavnika matematike za kurikulum i vrednovanje standardaškolske matematike (NCTM, 1989) te su ranih 1990-ih mnoge zemlje diljem svijeta razvilejake nacionalne programe, koji su naglašavali širinu i povezanost matematičkih sadržajai procesa matematičkih mišljenja. Sastavnice velikih matematičkih ideja odražavaju se udokumentu Principi i standardi za školsku matematiku (NCTM, 2000). Ovaj dokumentdonosi nastavne standarde – što sve učenici trebaju razumjeti i znati iz sadržaja matematikeu područjima: teorija brojeva, algebra, geometrija, mjerenje, analiza podataka i vjerojatnostte matematičke procese za rješavanje problema, zaključivanje i dokazivanje, povezivanje,komuniciranje i izlaganje.

No, što podrazumijeva "demokratski pristup" ovim idejama? Malloy (2002) predlaže če-tiri posebna obilježja koja se izdvajaju za demokratski pristup kurikulumu. Prvo, kurikulum"rješavanja problema" treba razvijati sposobnosti učenika da se koriste matematičkim zna-njima za rješavanje problema osobnog i društvenog značaja. Drugo, slobodu i prava učenikatreba promicati predstavljajući matematiku iz više perspektiva koje potvrđuju vrijednostipojedinaca i skupina iz različitih sredina. Treće, ravnopravno sudjelovanje u odlukama kojeutječu na život učenika tako da učenici koriste učionicu kao forum za javnu raspravu ovlastitim i tuđim idejama. Četvrto, sve učenike bi trebalo jednako ohrabrivati za uspjehkroz pristup materijalima koji razvijaju kritičke navike uma i uključiti ih u aktivno učenjematematike.

2.3 Tko donosi odluke o kurikulumu?

Van den Akker (2003) tvrdi da odluke o tome što treba sadržavati kurikulum matematikemogu biti pod utjecajem tri glavna usmjerenja ili njihovih zagovornika (Slika 2.1 ).

Slika 2.1: Izvori utjecaja na sadržaj kurikuluma matematike

7

Prvo od ovih usmjerenja predstavlja matematiku kao akademsku disciplinu i ima svojukulturnu vrijednost pa su izbori kurikuluma temeljeni na strukturi discipline i onome što seračuna kao bitno i osnovno matematičko znanje. Drugo usmjerenje uzima u obzir društvenetvrdnje o važnim problemima i pitanjima koje mogu utjecati na izbor kurikuluma, na pri-mjer prema potrebi poslodavaca za zapošljavanje u komercijalnim, tehničkim, financijskimi industrijskim sektorima radnika, koji mogu primijeniti matematiku na praktične zadatke iprobleme. Treće usmjerenje uzima perspektive učenika s naglaskom na sadržaj kurikulumai iskustva učenja, koja su od osobnog značenja tj. izazovna i intrinzično motivirajuća. Lo-gika kurikuluma matematike može se odnositi na sva ova usmjerenja. U praksi, međutim,odluke o kurikulumu često zahtijevaju kompromise kako bi se prilagodili interesi različitihpredlagatelja. Stupanj utjecaja i djelovanja potencijalnih predlagatelja kurikuluma mijenjase tijekom vremena i u različitim kontekstima. Harris i Marsh (2005) tvrde kako se njihovauloga može razumjeti uvidom u kontrolirani model odlučivanja o kurikulumu koji je, iakorazvijen prije nekoliko desetljeća (Rogers i Shoemaker, 1971,) još u skladu sa aktualnimnaglaskom na stupanj odgovornosti u obrazovnim sustavima. U tom su modelu sudionicipodijeljeni u nadređenu skupinu koja donosi glavne odluke u pokretanju i usmjeravanju ra-zvojnog procesa kurikuluma te podređenu skupinu koja provodi odluke koje donese nadređenaskupina. Funkcije ovih dviju skupina predstavljene su na Slici 2.2.

Slika 2.2: Nadređene i podređene funkcije u razvoju i provedbi kurikuluma

8

Ovaj je model koristan i upozorava nas na to da je odlučivanje o kurikulumu hijerarhij-ski strukturirano, ipak, podcjenjuje djelovanje učitelja koji imaju značajnu moć u provedbipromjena i sudjelovanju u procesu promjena kroz njihova članstva u stručnim udrugama,sindikatima nastavnika, školskim vijećima i predmetnim odjelima. Harris i Marsh (2005)ukazuju na to da je najvažniji aspekt djelovanja učitelja u prenošenju, tj. u tome da učiteljivrše značajno djelovanje prenošenja iz preporučenog u izvedeni kurikulum. Ovakav je modelograničen u smislu da prepoznaje samo kontekste sustava za koje se zalaže nadređena sku-pina, ali ne i šire društvene i kulturne promjene kurikuluma zastupljene od strane roditelja,učenika i poslodavaca glede sadržaja i standarda kurikuluma.

2.4 Modeli kurikuluma koji se temelje na ishodima učenja

Smatra se da je prvi zagovaratelj obrazovanja koja se temelje na ishodima učenja ame-rički prosvjetitelj William Spady. On je ujedno imao i najveći utjecaj te su različiti modelikurikuluma, koji se temelje na ishodima učenja prihvaćeni internacionalno: u SjedinjenimAmeričkim Državama, Kanadi, Južnoj Africi, Novom Zelandu, Ujedinjenom Kraljevstvu iu Australiji. Spady (1993) je definirao ishod kao „vrhunac demonstracije učenja“ kako bise opisalo ono što se očekuje od učenika da zna, razumije i može učiniti nakon uspješnogzavršetka učenja. Takav pristup zahtijeva od nas da prepoznamo koji su željeni ishodi učenjai uskladimo učenje i procjenu prema tim rezultatima.

Spady i Marshall (1991) opisuju tri forme obrazovanja koje se temelji na ishodima uče-nja: tradicionalna, prijelazna i transformacijska forma. U tradicionalnom obliku kurikulumostaje nepromijenjen i ishodi odražavaju znanja i vještine tradicionalnih školskih predmetanajčešće na razini teme ili nastavne jedinice. Suprotnost tradicionalnoj formi je transfor-macijska forma koja kulminira kada ishodi naglašavaju stvarne životne uloge i na taj načinbrine o učeničkim uspjesima nakon završetka škole. Opseg prijelaznog tipa obrazovanja ležiizmeđu toga da rezultati nisu odraz životnih uloga, ali da ipak opisuju široko znanje, kom-petencije i dispozicije koji učenik stekne do mature.

Spady izvodi četiri načela obrazovanja koje se temelji na ishodima učenja: jasnoća fokusa,proširene mogućnosti za učenje, visoka očekivanja i modeliranje duž kurikuluma. Jasnoća fo-kusa znači da učitelji stalno moraju biti svjesni koje ishode učenja očekuju od svojih učenikai odrediti ishode izričito za svoje učenike. U uskoj vezi s ovim je i modeliranje duž kuri-kuluma, pri čemu sva planiranja kurikuluma počinju jasnim definiranjem značajnih ishodaučenja koje učenici trebaju pokazati do kraja svog školovanja. Ove odluke trebale bi osigu-rati učenicima proširene mogućnosti za učenje, tj. načelo koje se temelji na vjerovanju dasvi učenici mogu učiti i uspjeti, ali ne na isti dan i na isti način (Spady i Marshall, 1991). To

9

znači da učitelji trebaju osigurati učenicima više mogućnosti za uspjeh i pokazivanje njihovihznanja. Konačno, imati velika očekivanja za sve učenike ne znači da su učenici jednako aka-demski sposobni, nego da su svi zaslužili pristup intelektualno izazovnom nastavnom planu iprogramu koji im pruža da pokažu svoju najbolju moguću izvedbu. To je razlog zašto primje-rice australski i naš kurikulum specificiraju iste ishode učenja za sve učenike, a ne različiteishode koji bi mogli obeshrabriti neke učenike i sniziti njihova očekivanja. Zbog kurikulumakoji se temelji na obrazovnim ishodima priznaje se da učenici uče na različite načine i imajurazličite ocjene te nastavnici moraju smisliti fleksibilne strategije za rad sa cijelim razredom,unutar grupa i samostalan rad učenika. Nije nužno ponuditi različite aktivnosti za učenikekoji su postigli različite razine razumijevanja, ali bitno je odabrati i modelirati zadatke ukojima mogu sudjelovati svi učenici.

U kurikulumu za matematiku koji se temelji na obrazovnim ishodima, ishodi učenja zasvaku nastavnu jedinicu ili cjelinu su raspoređeni u niz razina, koje prikazuju postupni rastrazumijevanja učenika. Budući da se pretpostavlja kontinuitet rasta, razine su uklopljenetako da svaka viša razina uključuje ishode sebi niže razine kao što je prikazano na Slici 2.3.Ishodi na svakoj razini trebaju biti kvalitativno drugačiji od onih na razini ispod i iznad, aslijed bi trebao opisati promjene razmišljanja učenika iz jedne razine u drugu.

Slika 2.3: Uklopljeni niz razina ishoda učenja

2.5 Integrirani kurikulum

Potezi niza reformi kurikuluma matematike i nastavnih pristupa bili su usmjereni takoda za učenike matematika ima više smisla povezujući matematičke teme, istražujući ma-tematičke primjene u stvarnom svijetu i vrednovanjem veza između matematike i drugihpodručja kurikuluma. Integracija kurikuluma je često predložena kao sredstvo, koje pomaže

10

učenicima da razvijaju i povezuju svoja znanja i prepoznaju kako ta znanja iskoristiti usvakodnevnom životu. Pod pojmom integracija podrazumijevamo spajanje ili integriranjedisciplina odvojenih područja te način kako se može ostvariti u praksi.

Pristupi integraciji kurikuluma razlikuju se prema načinu povezivanja između predmet-nih područja. U jednoj je krajnosti pristup u čijem je središtu predmet, a u drugoj potpunaintegracija kurikuluma u kojoj se znanje iz bitnih disciplina koristi za rješavanje problema(Woodbury, 1998). Između tih krajnosti postoji niz pristupa, koji povezuju predmetnapodručja na različite načine, na primjer, kroz planiranje zasebnih tema koji su vezani uzzajednički predmet ili problem, sjedinjavanjem nekih predmeta u jedan koji bi podučavalodva ili više nastavnika. Huntley (1998) razlaže ove varijacije u tri široke kategorije. Onaopisuje intradisciplinarni kurikulum kao onaj koji je usredotočen na jednu disciplinu. Inter-disciplinarni kurikulum i dalje ima fokus na jednoj disciplini, ali koristi i druge disciplinekako bi podržao sadržaj prvobitne domene. U integriranom kurikulumu disciplinarne sugranice potpuno stopljene tako što se ispitani koncepti i metode iz jedne discipline prenoseu druge.

S obzirom na integraciju matematike i znanosti, Huntley (1998) predlaže kontinuum kaostupanj preklapanja ili koordinacije između ovih dviju disciplina tijekom nastave (vidi Sliku2.4 ).

Slika 2.4: Kontinuum integracije matematika/znanost

Na primjer, ona definira "matematiku uz znanost" na način koji podučava matematičketeme (predstavljeno u krugu ispunjenom horizontalnim linijama) pod pokrićem znanstvenogkonteksta (krug ispunjen vertikalnim linijama). Dok "matematiku i znanost" definira kaodvije discipline koje međusobno djeluju i podržavaju jedna drugu što rezultira boljim uspje-hom učenika, više nauče nego kad su sadržaji tih disciplina odvojeni i nepovezani (krugovise preklapaju potpuno i stvaraju novi obrazac).

Prethodna istraživanja identificirala su brojne faktore koji mogu otežati ili olakšati izradu

11

i provedbu integriranog kurikuluma. Ti faktori imaju nekoliko razina utjecaja kao što jeprikazano na Slici 2.5.

Slika 2.5: Problemi integracije kurikuluma

Moramo uzeti u obzir utjecaj obrazovnih sustava na sadržaj kurikuluma i procjenu pos-tignuća učenika kao i stavove roditelja i zajednice društva. Kultura škole može spriječitiinterdisciplinarnu suradnju, osobito u srednjim školama gdje su odjeli obično organiziranipo predmetima. Škole trebaju osigurati administrativnu podršku nastavnicima dopuštajućiim dovoljno vremena za konceptualizaciju i planiranje integriranih programa te zajedničkirasporediti vrijeme kako bi nastavnici mogli raditi u timovima. Raspored sati nastave, kojije nefleksibilan te neučinkovita dodjela soba i drugih objekata, također može otežati inte-grirana iskustva učenja. Međutim, sami nastavnici su ključni jer njihova znanja i uvjerenja,pretpostavke o tome kako bi trebali biti organizirani nastavni planovi i programi te njihovopoznavanje alternativnih modela kurikuluma može ili olakšati ili otežati njihovu sposob-nost izvršavanja integriranog pristupa. Nastavnici, koji se zalažu za integraciju kurikulumamoraju istaknuti bitna pitanja za ciljeve integracije; koje discipline povezati zajedno, kakotrebaju biti koordinirani odnosi između disciplina, izbor sadržaja, dubinu obrade, nastavnepristupe i ocjenjivanje postignuća učenika.

12

Neke od ovih problema proučavali su australski istraživači i nastavnici koji su bili za-interesirani za integraciju kurikuluma u srednjim školama. Goos i Mills (2001) osmislili suprojekt koji je okupio studente, buduće nastavnike matematike i nastavnike povijesti, kakobi pripremili integrirane nastavne jedinice za srednjoškolce, koje će zadovoljiti zahtjeve nas-tavnog plana i programa matematike te studija za društvo i okoliš u Queenslandu. Popisnastavnih jedinica kurikuluma koji su napravili praktikanti na prvoj godini projekta je prika-zan u Tablici 2.1 zajedno s pregledom povijesnih/društvenih i matematičkih tema prikazanihzasebno. Vrhunac svake jedinice kurikuluma bio je zadatak procjene vrijednosti u stvarnomsvijetu, koje bi koristile srednjoškolcima da pokažu svoja matematička i povijesno/društvenaznanja i vještine, koje su razvili kroz integrirano poučavanje. Neki maštoviti zadaci procjeneprikazani su u Tablici 2.2.

TEMA POVIJESNI/DRUŠTVENI SADRŽAJ MATEMATIČKI SADRŽAJ

Piramide u

Egiptu

Starost piramida Omjer i proporcije

Politička/socijalna struktura Egipta Osnovni i 3D oblici

Geografija Egipta Mjerenje

Vjerska/pokopna praksa i uvjerenja Statistika

Metode konstrukcije piramida

Australska

poslijeratna

politika

imigracije

Poslijeratna imigracija i analiza populacije Postotak

Kraj politike ’Bijele Australije’ Omjer i proporcija

Kulturna raznolikost Statistika

Australski

savezni

izbori

Australski sustav vlasti i izbora Prikupljanje podataka

Medijska manipulacija statistikama Grafičko prezentiranje podataka

Usporedba izbora 1993. i 1998. g.

Pošasti

srednjeg

vijeka

Englesko društvo 1348. - 1500. g. Statistika

Proučavanje slučaja: Crna smrt - kuga Prikupljanje podataka

Društveni utjecaj i posljedice Analize i predviđanja

KinaGeografija, povijest, politika, Postotak, statistika,

kultura, populacija razlomci, decimale

Tablica 2.1: Jedinice integriranog kurikuluma: Teme i sadržaji predmeta

13

TEMA ZADATAK PROCJENE

Piramide u Egiptu Vi ste proglašeni faraonom Egipta! Kao spomenik nasvoju vladavinu odlučili ste sagraditi piramidu u svojučast. Odredite potrebne resurse, popis utjecaja na oko-liš, prognozirajte probleme koji se mogu pojaviti i kons-truirajte maketu svoje piramide. Vodite proučavanjeizvedivosti i izvješća o svojim zaključcima.

Australski savezni izbori Napiši članak za tjednik australske vlade. Analizirajteprobleme u određenim izborima uključujući statistike ijavna mišljenja.

Australska poslijeratna

politika imigracije

Novi ministar za imigraciju ima planove za ponovnu us-postavu politike ’Bijele Australije’. Vaš savjetodavni od-bor će mu pripremiti izvješće o toj odluci.

Pošasti srednjeg vijeka Kreirajte dvadesetominutnu tv raspravu ili dokumen-tarni program o utjecaju pošasti na englesko društvo iliraspravite o tome što nam je činiti ako se ponovo pojavepošasti.

Tablica 2.2: Jedinice integriranog kurikuluma: Zadaci procjene

Ovim su projektom studenti na praksi i budući nastavnici analizirali prednosti i ne-dostatke ovakvih vrsta zadataka, koji tematski povezuju više predmeta. Neki od njihovihzaključaka jesu: nesigurnost u opseg integracije, organizacijska ograničenja koja uključujuraspored sati i podjelu resursa te izazove rada s kolegama nastavnicima koji imaju različitapedagoška i epistemološka uvjerenja.

2.6 Nacionalni okvirni kurikulum

Nacionalni okvirni kurikulum dokument je za odgojno-obrazovni sustav u Hrvatskoj ipokazuje očekivani tijek odgoja i obrazovanja učenika. Nacionalni je zato što se donosi usu-glašeno na nacionalnoj razini, a okvirni je zato što pruža najširi okvir odgojno-obrazovnogadjelovanja. Ovim dokumentom definirane su temeljne odgojno-obrazovne vrijednosti, ciljeviodgoja i obrazovanja, načela i ciljevi odgojno-obrazovnih područja, vrednovanje učeničkihpostignuća te vrednovanje i samovrednovanje ostvarivanja nacionalnog kurikuluma. Odre-đena su očekivana učenička postignuća za odgojno-obrazovna područja po ciklusima. Naz-načena je predmetna struktura svakog odgojno-obrazovnog područja. Središnji dio usmjerenje na učenička postignuća (ishode učenja).

14

2.6.1 Geometrija u nacionalnom okvirnom kurikulumu

Nacionalni okvirni kurikulum uz brojeve, algebru i funkcije, podatke i infinitezimalniračun sadrži oblik i prostor, odnosno geometriju. Oblik i prostor je jedan od koncepata kojise obrađuje u sva četiri obrazovna ciklusa. Prvom obrazovnom ciklusu pripadaju učenici od1. do 4. razreda osnovne škole. Prema [18] učenici će po završetku prvog obrazovnog ciklusaznati:

• opisati položaj i smjer upotrebom svoje orijentacije i jednostavnih koordinata (npr.kvadratna mreža),

• prepoznati, imenovati, izgraditi, opisati, usporediti i razvrstati crte, plohe te jednos-tavne dvodimenzionalne i trodimenzionalne oblike i njihove dijelove,

• skicirati jednostavne ravninske oblike te ih nacrtati služeći se geometrijskim priborom,

• prepoznati i prikazati jednostavne ravninske i prostorne oblike u različitim položajima.

Drugi obrazovni ciklus, koji zahvaća učenike petog i šestog razreda osnovne škole, zahti-jeva ipak malo veća učenička postignuća. Prema [18] učenici će moći:

• služiti se geografskim kartama i jednostavnim koordinatama u ravnini (kvadratnamreža) te odrediti udaljenost dviju točaka na brojevnom pravcu,

• prepoznati, imenovati, izgraditi, usporediti i klasificirati ravninske i prostorne geome-trijske oblike te istražiti, uočiti, opisati i primijeniti njihova geometrijska svojstva,

• skicirati jednostavne ravninske oblike te ih nacrtati i konstruirati pomoću geometrij-skoga pribora i jednostavnoga računalnoga programa za crtanje,

• nacrtati i konstruirati osnosimetričnu i centralnosimetričnu sliku jednostavnih ravnin-skih likova te prepoznati sukladne trokute, centralnosimetrične i osnosimetrične likove,

• istražiti i predvidjeti ishode sastavljanja i rastavljanja složenijih ravninskih i prostornihoblika rabeći stvarne materijale,

• rabeći makete te kvadratne i trokutaste mreže točaka, skicirati prostorne oblike sas-tavljene od kocaka i njihove tlocrte, nacrte i bokocrte,

• prepoznati geometrijske oblike, sukladnost i simetriju u svijetu oko sebe te ih primje-njivati.

15

Dok u prvom obrazovnom ciklusu učenici trebaju naučiti prepoznati i nacrtati osnovneoblike, u drugom ciklusu vidimo da proučavaju svojstva naučenih oblika i odnose izmeđunjih, konstrukcije oblika i primjene naučenog. Počinju se koristiti programima dinamičnegeometrije, samostalno istražuju i predviđaju ishode. Trećem obrazovnom ciklusu pripadajuučenici sedmog i osmog razreda škole; prema [18] učenici će na kraju ovog ciklusa moći:

• nacrtati u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini točku zadanu koordinatamai pravac zadan jednadžbom te očitati koordinate točke,

• prepoznati, imenovati, izgraditi i klasificirati ravninske i prostorne geometrijske oblikete istražiti, uočiti i precizno opisati njihova geometrijska svojstva,

• primijeniti osnovne odnose i zakonitosti u svezi s ravninskim i prostornim geometrijskimoblicima, uključujući sukladnost i sličnost trokuta,

• skicirati ravninske oblike te jednostavnije među njima nacrtati i konstruirati pomoćugeometrijskoga pribora i računalnoga programa dinamične geometrije,

• skicirati i nacrtati tlocrte, nacrte, bokocrte i mreže prostornih oblika te izgraditi pros-torne oblike na temelju njihovih ravninskih prikaza,

• osnosimetrično i centralnosimetrično preslikati, translatirati i rotirati jednostavne li-kove, povećati i smanjiti jednostavni lik u zadanu omjeru rabeći geometrijski pribor iračunalni program dinamične geometrije,

• prepoznati ravninske i prostorne oblike te sukladnost, sličnost i simetriju u svakodnev-nomu okružju i umjetnosti te ih upotrijebiti za opis i analizu svijeta oko sebe.

Prethodni ciklus od učenika zahtijeva puno više teorijskog znanja i primjenjivanja u sva-kodnevnom životu. U Nacionalnom okvirnom kurikulumu u sljedećem obrazovnom ciklusuodvojena su očekivana postignuća učenika za strukovne škole i za gimnazije. Tako će prema[18] nakon završenog četvrtog obrazovnog ciklusa u strukovnim školama učenici moći:

• nacrtati u pravokutnomu koordinatnomu sustavu u ravnini točku zadanu koordinatamai pravac zadan jednadžbom te očitati koordinate točke,

• prepoznati, opisati, usporediti i primijeniti svojstva i odnose ravninskih i prostornihgeometrijskih oblika radi crtanja, mjerenja, računanja i zaključivanja,

• skicirati, opisati i protumačiti ravninske prikaze prostornih oblika,

• opisati i rabiti pravilnosti i svojstva geometrijskih uzoraka,

16

• rabiti geometrijski pribor i jednostavni računalni program za crtanje, računanje, rje-šavanje praktičnih zadataka i zaključivanje,

• prepoznati ravninske i prostorne oblike u svakodnevnomu okružju i umjetnosti te rje-šavati praktične zadatke sa stvarnim objektima prikazujući ih pomoću geometrijskihlikova i tijela.

Vidimo da se od učenika u strukovnim školama očekuje podjednaka razina znanja kaonakon trećeg ciklusa. Učenici gimnazija će nakon završene srednje škole prema [18] moći:

• rabiti koordinatne zapise točke, pravca i kružnice te primijeniti koordinatnu geometrijuza prikazivanje i istraživanje svojstava geometrijskih oblika,

• prikazati vektore u ravnini, zbrajati ih, množiti skalarom te primijeniti vektore i ope-racije s njima za prikazivanje i istraživanje svojstava geometrijskih oblika,

• prepoznati, opisati i primijeniti sukladnost i sličnost geometrijskih oblika,

• skicirati, opisati i tumačiti ravninske prikaze prostornih oblika,

• rabiti geometrijske transformacije ravnine za opisivanje pravilnosti i svojstava geome-trijskih uzoraka,

• prepoznati ravninske i prostorne oblike i njihova svojstva u svakodnevnomu okružju iumjetnosti te ih upotrijebiti za opis i analizu svijeta oko sebe.

Posljednji obrazovni ciklus, koji se odnosi na gimnazije, očekuje od učenika dobro poz-navanje osnova zbog rješavanja složenijih matematičkih problema i primjenjivanja naučenogu daljnjem školovanju.

17

3 Učenje i podučavanje geometrije

Jedna od temeljnih teorija, koje su razvile drevne civilizacije za opisivanje svijeta okosebe, upravo je geometrija. Umijeće izračunavanja dimenzija postalo je jako bitno kad suljudi počeli podizati građevine te su veliki graditelji starog svijeta, Babilonci i Egipćani pisalirasprave o geometriji. Grci su joj dali ime koje izvorno znači "zemljomjerstvo". Geometrijaje dio matematike koji se bavi veličinama, oblicima i odnosima među njima. Geometrija unastavi najbolje je sredstvo za razvijanje matematičkog mišljenja, prikladna je za kreativani istraživački rad. Sastavni je i vrlo važan dio svakog nastavnog plana i programa.

"Geometrija je opipljivi prostor, to je onaj prostor u kojem dijete diše, živi ikreće se. To je prostor koji učenik mora naučiti poznavati, istraživati i osvajati,kako bi u njemu bolje živio, disao i kretao se." (nizozemski matematičar HansFreudenthal)

3.1 Geometrijski koncepti u osnovnoj i srednjoj školi

Geometrija od učenika zahtijeva ne samo prepoznavanje geometrijskih objekata u odre-đenim položajima, već i poznavanje definicija geometrijskih objekata i njihovih svojstava.Štoviše, nije dovoljno samo poznavati različita svojstva geometrijskih objekata, nego i moćiih primijeniti. Vrlo značajne su i vizualne vještine i dobro razvijeni prostorni zor. Vizuali-zacija i dodirivanje objekata korisni su načini za usvajanje apstraktnih pojmova u osnovnojškoli, a vizualno-prostorne vještine svakako su potrebne za mjerenje i procjenu. U nižimrazredima osnovne škole razvija se matematički jezik za oblik i određivanje položaja, pri-mjerice: u, između, ispod, pored, blizu, lijevo i desno. Učenje geometrije ovdje uključujevizualizaciju, crtanje, kreiranje, komunikaciju i rješavanje problema vezanih uz dvodimen-zionalne i trodimenzionalne objekte. U višim razredima osnovne škole i u srednjoj školi,učenici nastavljaju razvijati svoje vizualno mišljenje, zaključivanje i prostorni zor. Dalje is-tražuju svojstva i veze dvodimenzionalnih i trodimenzionalnih oblika uključujući mnogokute,poliedre, rotacijska tijela, krivulje drugog reda...

Kada govorimo o teorijama učenja geometrije, najpoznatija je van Hieleova teorija kojaopisuje pet razina geometrijskog mišljenja. Ta teorija utjecala je na izradu kurikuluma zageometriju za osnovnoškolsko i srednjoškolsko obrazovanje u raznim zemljama, a prvenstvenose odnosi na euklidsku geometriju:

1. Prepoznavanje – učenici su sposobni prepoznati i imenovati osnovne oblike kao što jetrokut, četverokut ili krug, ali ne znaju njihova svojstva.

18

2. Analiza – učenici su sposobni opisati atribute ili svojstva osnovnih oblika i vrsta,klasificirati ih i nacrtati. Ne mogu povezivati termine kojima opisuju svojstva likova.Pri opisivanju nekog lika nabrajaju sva svojstva, ne mogu odrediti što je dovoljno zaopis lika.

3. Neformalna dedukcija (redoslijed) – učenici počinju uspostavljati odnose između svoj-stava oblika, prepoznaju slične oblike, prave pretpostavke i intuitivno izvode jednos-tavne zaključke. Znaju prepoznati što je dovoljno za opis geometrijskog lika.

4. Formalna dedukcija (zaključivanje) –ovdje se razvija ideja o minimalnom broju svoj-stava potrebnih za definiciju. Učenici prepoznaju odnose između svojstava i izvodelogičke zaključke. Razumiju značenje definicija i aksioma, izvode zaključke iz pret-hodno poznatih tvrdnji.

5. Strogost – učenici formiraju povezane nizove zaključaka i time opravdavaju svoja raz-mišljanja. Razumiju principe dokaza, na primjer dokaz po kontrapoziciji.

Učenici bi po završetku osnovne škole trebali biti na trećoj razini van Hieleove teorije,međutim, često se događa da učenici nisu ni na drugoj razini koja uključuje analizu objekata.Primjerice, učenici teško prepoznaju sukladne oblike ako su oni zarotirani. Zatim, neki ćeučenici reći za kvadrat da je romb ako je postavljen tako da mu vrhovi pokazuju premagornjem i donjem rubu papira, umjesto najčešće orijentacije gdje su njegove stranice paralelnesa gornjim i donjim rubom papira. Paralelno s van Hieleovim razinama učenja postoji i petfaza s odgovarajućim postupcima za svladavanje prethodno spomenutih razina. To su:

1. Informiranje – upoznavanje s materijalom kroz razgovor s učiteljem.

2. Usmjereno vođenje – učenici samostalno crtaju, prave, mjere ili rade nešto slično kakobi otkrili svojstva i odnose među njima objektima.

3. Objašnjavanje – učenici se trude svojim riječima objasniti ono do čega su samostalnodošli, a učitelj ih upoznaje s terminima pomoću kojih mogu opisati to što su primijetili.

4. Slobodno usmjeravanje – primjena svega naučenog za rješavanje problema.

5. Integriranje – faza spajanja svih prethodnih znanja i pamćenje obrađenih informacija.

Ključni aspekt za razvoj geometrijskog mišljenja je invarijatnost, tj. nepromjenjivostodnosa ili svojstva prilikom dopuštenih transformacija. Kada učenici razmatraju transfor-macije objekata, produbljuju svoje razumijevanje o sukladnosti, simetriji i svojstvima likova.

19

Mnoga istraživanja pokazuju da je malo pedagoškog truda uloženo u razvoj vizualnog za-ključivanja, iako bi trebalo biti suprotno, pogotovo zbog mogućnosti korištenja tehnologije.Istraživanja, nadalje, pokazuju i da neki učitelji pretpostavljaju da su ljudi rođeni s vješti-nama vizualnog mišljenja te zbog toga neće obratiti dovoljno pozornosti na razvijanje tihvještina. S druge strane, neki učitelji pretpostavljaju da svi učenici ne mogu doći do odre-đenih vizualnih vještina. Međutim, van Hieleove razine nisu vezane uz dob učenika, nego uznjihova iskustva u učenju geometrije. Da bi učenici mogli prijeći s jedne razine na drugu,moraju imati mnogo iskustva u kojima su aktivno bili uključeni u istraživanje geometrijskihobjekata te iznošenje vlastitih opažanja o obliku, svojstvima i vezama koje su uočili. Uče-nici u osnovnoj školi često će prepoznati likove i tijela prema njihovom izgledu prije negopo provjeravanju njihovih svojstava. Korištenje tehnologije, naročito programa dinamičnegeometrije, ukazalo je na potrebu da se napravi razlika između skice i konstrukcije jer suneki učenici skloni skicirati i provjeravati svojstva s ovim alatima "od oka", a ne konstruiratii provjeravati koristeći svojstva. Nadalje, učenička iskustva često su ograničena na pravilnemnogokute tako da oni ne prepoznaju nepravilne ili nekonveksne mnogokute, nepravilne ilikose prizme, piramide i valjke. Na primjer, učenici ne prepoznaju da je lik prikazan na Slici3.6 šesterokut.

Slika 3.6: Šesterokut

3.2 Geometrijsko mišljenje

Prema Duvalu (1989) geometrijsko mišljenje uključuje tri vrste kognitivnih procesa: vizu-alizaciju, konstrukciju i zaključivanje. Johnstone-Wilder i Mason (2005) još pridaju važnostjeziku i komunikaciji koja je bitna za utvrđivanje značenja i razvijanje zaključivanja.

3.3 Vizualizacija

Vizualizacija je dvosmjeran proces između uma osobe i vanjskog medija. Uključuje spo-sobnost tumačenja i razumijevanja prikazanih informacija kao što je gledanje i prepoznavanjelika ili karakteristika lika ili tijela, tumačenje zemljopisnih karata ili izvođenje zaključaka osvojstvima neke funkcije iz skice njezina grafa. Ona također uključuje stvaranje slika izapstraktnih ideja kao što je zamišljanje elipse ili zamišljanje kako se objekti pojavljuju izrazličitih perspektiva, kako su objekti postavljeni međusobno, kako je dvodimenzionalni pri-

20

kaz povezan s trodimenzionalnim objektima te predviđanje izgleda objekata nakon određenihtransformacija. Te slike mogu biti mentalne ili skicirane uz pomoć papira i olovke ili tehno-logije.

U svakodnevnom životu možemo vizualizirati trodimenzionalne objekte i prostorne od-nose, npr. možemo tumačiti dijagrame za montažu namještaja i strojeva, možemo tumačitiplanove i projekte za izgradnju zgrada, možemo interpretirati šablone za šivanje odjevnihpredmeta. Također, koristimo vizualnu projekciju i kad tumačimo karte za putovanje doželjenog mjesta. To su izvrsni konteksti za učeničke aktivnosti.

Teškoće u vizualnoj interpretaciji kod učenika se javljaju kada ne raspoznaju iste detaljelikova i tijela kao učitelj ili neki drugi učenici. Johnston-Wilder i Mason (2005) preporučujutri nastavne strategije za poboljšanje učeničke vizualizacije i geometrijskog zaključivanja:"reci što vidiš", "što je isto, a što različito" te "koliko je različitih". Kod prve strategije nas-tavnik s obzirom na zadanu sliku proziva učenika da kaže što vidi. Dok učenik govori što vidi,ili učenik ili učitelj pokazuje na tu pojedinost. U ovoj strategiji sudjeluju svi učenici i takose dobiju višestruki pogledi na zadanu sliku, a pozornost se usmjerava na detalje koje inačeučitelj može predvidjeti. Na taj način može se razviti rasprava, fokusirajući se na pojedinostikoje su najvažnije za promatrani problem. Postoje mnoge situacije u kojima je strategija"što je isto, a što različito" korisna za razvijanje vizualizacije i geometrijskog zaključivanja,poput uspostavljanja odnosa između oblika kao što su četverokuti ili utvrđivanje pojmovasličnosti i sukladnosti. Primjerice, na Slici 3.7 prikazana je kocka u različitim položajima.Ovdje se lako može upotrijebiti strategija "što je isto, a što različito". Neki prikazi pokazuju

Slika 3.7: Prikazi kocke

očuvanje bridova, a neki prikazuju očuvanje paralelnosti pravaca. Strategija "koliko je razli-čitih" također je korisna za utvrđivanje svojstava geometrijskih oblika i pojmova sukladnosti.Učenicima je izazov pronaći različite oblike unutar oblika ili napraviti nove oblike sa zada-nim oblicima. Raznolikost materijala korisna je za ovakve vrste aktivnosti, npr. različitekockice koje se mogu slagati, igre poput tangrama, geometrijske ploče (vidi Sliku 3.8 ), papirza presavijanje, ali i razni predmeti iz svakodnevnog života. Pravo rukovanje predmetima imaterijalima vrlo je korisno za razvoj geometrijskih ideja i vizualizacije.

21

Slika 3.8: Geometrijska ploča

Učenici imaju velikih problema kod zamišljanja izometrijskih transformacija, tj. transfor-macija koje čuvaju oblike nepromijenjenima, kao što su simetrije, translacije i rotacije. Nekiučenici imaju krive predodžbe o ovim transformacijama. Digitalna tehnologija omogućava ra-zvoj razumijevanja o transformacijama i pomaže kod uklanjanja postojećih zabluda. Učenicimogu iskoristiti tehnologiju za transformiranje jednog oblika u drugi. Tu se možemo poslu-žiti i nestandardnim zadacima poput popločavanja ravnine i prostora. Stavljanjem pločica uodređeni uzorak ili kreiranjem mozaika, učenici razvijaju dublje razumijevanje sukladnosti.Primjerice, zadatak može biti pronaći koje su dvodimenzionalne ili trodimenzionalne pločicekorištene u popločavanju ili naći različite uzorke popločavanja koje se mogu napraviti po-moću jednog ili dva oblika pločica (Slika 3.9 ). U ovakvim zadacima učenike treba poticatida opisuju transformacije koje su korištene za kreiranje mozaika te da stvaraju pretpostavkeo svojstvima tih oblika uključujući i nepravilne oblike u popločavanjima. Sam rad s fizičkimpredmetima možda ne postigne željene ishode učenja, jer učenici moraju zamisliti što sedogađa kako bi to zaista i razumjeli. Upravo je ukazivanje na određene dijelove i odnosevažno za razumijevanje učeničkog mišljenja.

Slika 3.9: Popločavanje

Zamišljanje, odnosno kreiranje mentalnih slika i predviđanje promjena veoma je važna sas-tavnica vizualizacije i potrebna je za razvoj geometrijskog mišljenja. Zamišljanje konstrukcija

22

zahtijeva uporabu odnosa i svojstava. Zamišljanje presjeka trodimenzionalnih oblika i tran-sformacija trodimenzionalnih oblika posebno je zahtjevan zadatak, a učenici trebaju testiratisvoje pretpostavke pomoću stvarnih materijala. U problemu, koji je prikazan u nastavku,bilo bi dobro koristiti plastelin ili sir.

3.3.1 Presijecanje kocke

Zamislimo presijecanje kocke jednom ravninom. Postoji više mogućnosti, ali dva presjekaprikazana su na Slici 3.10 i to kada presjekom kocke i ravnine dobijemo trokut i pravokutnik.Kako bi izgledali dijelovi kocke koji nedostaju, koliko različitih mnogokuta možemo dobitipresjekom kocke i ravnine, pitanja su koja mogu pomoći pri ovakvom radu s učenicima.Učenici mogu istražiti tijela stvorena kada se pravilni poliedri presijeku koristeći se fizičkimaterijalima ili dinamičnom geometrijom (3D-XplorMath ili Cabri 3D).

Slika 3.10: Presijecanje kocke (Johnston – Wilder i Mason, 2005)

3.3.2 Kosi toranj u Pizi

Mnogi učenici imaju poteškoća s poznavanjem kutova, jer se pojmovi kutova u udžbe-nicima uvode korištenjem definicija i vježbi, iako bi učenici lakše naučili to gradivo krozistraživanje. Sljedeći primjer donosi neke poteškoće učenika u razumijevanju kutova pri is-traživanju geometrije kosog tornja u Pizi. Učenici su učili različite vrste kutova te bi imovakvo istraživanje pokazalo kako bi se kutovi i odnosi među njima mogli primijeniti na pro-bleme u stvarnom svijetu. Nastavnik je pripremio niz pitanja i rubriku procjene koja vodiučenike kroz istraživanje. Objasnio im je i pokazao da bi tim eksperimentom trebali pronaćikut pri kojem bi se valjak prevrnuo, ali na radnom listiću ovog zadatka nije bila naznačenaskica pokusa. Morali su postaviti valjak na kosinu s hrapavom površinom i izmjeriti kut podkojim će se valjak prevrnuti.

23

Slika 3.11: Kosi toranj u Pisi i skica pokusa

Neki učenici imali su poteškoća pri određivanju kuta na fotografiji kojeg trebaju izmjeriti.Učenici nisu znali trebaju li mjeriti odstupanje vertikalno ili horizontalno. Također, nijejasno jesu li razumjeli zašto je kut, koji su oni mjerili, povezan s kutom pod kojim se toranjnagnuo. Vizualizacija kutova među ravninama u trodimenzionalnom prostoru učenicimaje jako teška. Učenicima su potrebni fizički modeli tih objekata kako bi shvatili gradivo,ali također, korisni su i virtualni modeli (na primjer 3D-XplorMath, Autograph, Cabri3D,Working Mathematically: Space).

3.4 Konstruiranje

U stvarnom svijetu, graditelji se ne pouzdaju u metodu mjerenja "od oka". Kako bi seuvjerili da je njihova građevina pravokutnog oblika, graditelji ne mjere samo duljine stranicate građevine, nego mjere i duljinu dijagonala. Ovo je nužno kako bi bili sigurni da će izgrađenizidovi zatvarati pravi kut. Mjerenjem dijagonala graditelji dobivaju potrebne podatke bezmjerenja kutova. Dijagonale moraju biti jednake duljine. To je nužan kriterij kako bi seuvjerili da je izgrađeni paralelogram zapravo pravokutnik. Upravo je takvo oslanjanje nasvojstva karakteristično za geometriju. Prije svega, u geometriji je važno razlikovati skicuod konstrukcije. Konstrukcija je teoretski objekt koji je izgrađen pomoću geometrijskihsvojstava. Tradicionalni pribor za konstruiranje u geometriji su šestar i ravnalo. Razniprogrami dinamične geometrije, poput Sketchpada i Geogebre, korisni su za konstrukcijei razvijanje geometrijskog mišljenja. Presavijanje papira je također korisno, a poželjno jekoristiti se njime u kombinaciji s programom dinamične geometrije.

3.4.1 Presavijanje papira

Tehnika presavijanja papira, poznata pod nazivom origami, tradicionalna je japanskavještina savijanja papira u različite oblike i to bez korištenja ljepila i škara. Postoje dvije

24

vrste origamija:

• Tradicionalni u kojem se pomoću jednog papira u obliku kvadrata ili pravokutnikaizvode konstrukcije.

• Modularni u kojem se različiti individualni dijelovi spajaju u cjelinu. Složeniji mate-matički modeli izrađuju se modularnom tehnikom.

Postoji još jedna posebna grana origamija koja koristi novčanice za izradu modela (najčešćeamerički dolar). Nema točnih podataka o tome kada je origami nastao, ali najčešće sepovezuje s izumom papira u Kini oko 2. stoljeća pr. Kr. te je pravi procvat doživio u Japanugdje se tretira kao nacionalna umjetnost. Osim što je mnogima izvor zabave, origami imaprimjenu u matematici i u drugim područjima (optika, elektrotehnika).

Učenici se prvi put susreću s jednostavnijim konstrukcijama pomoću ravnala i šestara veću nižim razredima osnovne škole. Svaku geometrijsku konstrukciju možemo promatrati kaoniz koraka gdje je svaki korak određen geometrijskim pravilima tj. aksiomima. Tako postojepravila i za origami konstrukcije, ima ih 7 i nazivaju se Huzita-Hatori aksiomi. Prvih šestpostavio je 1992. godine Humiaki Huzita, a sedmi aksiom postavio je 2002. godine KoshiroHatori. To su sljedeći aksiomi origamija:

1. Za dane dvije točke P1 i P2, postoji linija presavijanja koja prolazi kroz obje točke.

Slika 3.12: Aksiom 1

2. Za dane dvije točke P1 i P2, postoji linija presavijanja koja postavlja P1 na P2.

Slika 3.13: Aksiom 2

25

3. Za dana dva pravca l1 i l2, postoji linija presavijanja koja smješta l1 na l2.

Slika 3.14: Aksiom 3

4. Za danu točku P1 i pravac l1 , postoji linija presavijanja okomita na pravac l1, a prolazitočkom P1.

Slika 3.15: Aksiom 4

5. Za dane dvije točke P1 i P2 i pravac l1, postoji linija presavijanja koja postavlja točkuP2 na pravac l1 i prolazi točkom P1.

Slika 3.16: Aksiom 5

6. Za dane dvije točke P1 i P2 i dva dana pravca l1 i l2, postoji linija presavijanja kojapostavlja točku P1 na pravac l1 i točku P2 na pravac l2.

26

Slika 3.17: Aksiom 6

7. Za danu točku P i dva pravca l1 i l2, postoji linija presavijanja koja postavlja točkuP na pravac l1, a okomita je na pravac l2.

Slika 3.18: Aksiom 7

Robert Lang pokazao je da između danih točaka i pravaca nema drugih linija presavija-nja, kojima možemo dobiti ravan pregib i time je dokazao potpunost ovih aksioma.

Učenici vole tehniku presavijanja papira te će dobro osmišljene aktivnosti presavijanjapapira izazvati kod učenika bolje razumijevanje geometrijskih pojmova. Pomoću ove tehnikemogu se konstruirati pravilni mnogokuti, na primjer jednakostranični trokut. Za konstrukcijujednakostraničnog trokuta potreban nam jr papir formata A4. Papir presavijemo po dužinina pola te ga razmotamo. Gornji lijevi kut presavijemo na liniju pregiba tako da nova linijapresavijanja prolazi donjim lijevim kutom. Zatim presavijemo prema dolje gornji desni kuttako da rub papira leži duž pregiba i dio koji viri na dnu presavijemo unutar trokuta (vidiSliku 3.19 ).

Slika 3.19: Konstrukcija jednakostraničnog trokuta

27

Pogledajmo sljedeći primjer, u kojem presavijanjem papira oblikujemo tangente na pa-rabolu. Označimo točku na sredini papira na oko 4 cm od dna papira. Preklopimo kutpapira tako da presavijeni rub dodiruje točku. Dobiveni pregib može se iscrtati olovkom.Napravimo još jedan preklop na dnu papira, ali tako da počinjemo iz različite točke. Pono-viti nekoliko puta dok pregibi ne ocrtaju oblik parabole. Parabola je skup točaka koje sujednako udaljene od zadane točke i pravca (ruba papira).

Slika 3.20: Presavijanjem papira oblikujemo tangente na parabolu

U jednoj od ovakvih aktivnosti učenici predviđaju kako će izrezati komad papira, koji jedvaput presavijen pod pravim kutom kako bi napravili romb, deltoid, kvadrat, pravokutnikkao što je prikazano na Slici 3.21.

Slika 3.21: Rezanje presavijenog papira za konstruiranje četverokuta

3.4.2 Konstrukcije pomoću programa dinamične geometrije

Programi dinamične geometrije omogućuju lako mijenjanje položaja ucrtanih objekatatako da odnosi među njima ostanu sačuvani. Programi dinamične geometrije koji su preve-deni na hrvatski jezik i koriste se u našim školama su GeoGebra i The Geometer’s Sketchpad.

28

Nastavnici moraju biti svjesni da učenici ponekad koriste te programe radije za crtanjeoblika "od oka“ ili "prostom rukom", nego pomoću geometrijskog alata, koji je uključenu izbornik programa za konstruiranje oblika. Oblici koje oni kreiraju "od oka“ ne ostanukvadrati ili pravokutnici kada im, primjerice, povučemo vrhove ili stranice. Učenje možebiti ograničeno i zbog toga što učenici ne znaju koristiti dinamične aspekte programa zaistraživanje oblika. Pogledajmo na primjer konstruiranje jednakokračnog trokuta učenikapomoću Sketchpada.

Slika 3.22: Konstrukcije jednakokračnog trokuta pomoću Sketchpada

Slika 3.22 prikazuje konstrukcije jednakokračnog trokuta pomoću Sketchpada. Prva idruga su "od oka" i "prostom rukom", a treća je konstrukcija pomoću simetrale osnovice.Na prvom primjeru konstrukcije "od oka" učenik je bio zadovoljan kad je njegova slika iz-gledala kao jednakokračan trokut. Na drugom primjeru učenik se koristio alatom mreža itako iskoristio liniju kao simetralu u svojoj konstrukciji jednakostraničnog trokuta. No, pripomicanju bilo kojeg vrha ili stranice trokut nije ostao jednakokračan u oba ta primjera.U trećem primjeru korišten je alat za simetralu dužine. Za konstrukciju jednakokračnogtrokuta, prvo smo nacrtali jednu stranicu trokuta odnosno dužinu AB te smo konstruiralinjezinu simetralu (CE). Zatim se konstruira treći vrh trokuta D tako da iz vrhova A i Bnanesemo duljinu jednakih stranica AD i BD koja siječe simetralu te dužine.

29

Ovi primjeri pokazuju da učitelji trebaju pomoći učenicima da razlikuju crtanje "odoka" ili "prostom rukom" od konstruiranja likova pomoću programskih alata. Poznavanjeprograma unaprijedit će znanja i vještine učenika i s vremenom se one trebaju nadograđivati.

U početku se učenicima mogu ponuditi već napravljeni oblici koje će koristiti za istraži-vanje. Primjerice, u nekom od programa dinamične geometrije učenicima se mogu dati dvijedužine različitih duljina koje se sijeku (Slika 3.23 ). Učenici mogu konstruirati i četverokutkoristeći zadane dužine kao dijagonale. Pomicanjem jedne od tih zadanih dužina, učenicitrebaju zaključiti što se mijenja, a što ostaje nepromijenjeno. Bolji pristup ovom zadatkubio bi postavljanje niza pitanja tipa "Što ako...?". Na primjer, "Što ako se zadane dužinekoje se sijeku raspolavljaju?" ili "Što ako se zadane dužine sijeku pod pravim kutom?".Takva su pitanja izuzetno važna, a dobro osmišljene aktivnosti usmjerit će pažnju učenikana svojstva lika koja se ne mijenjaju. Pitanje "Što se događa s likom?" je pitanje koje možestvoriti dugačke opise o liku, pa zbog toga učitelji trebaju koristiti preciznija pitanja poput"Što ostaje isto, a što se mijenja?", koja daju sažet i nedvosmislen odgovor. Takvo pitanjenavodi učenike da pronađu elemente lika koji se ne mijenjaju, tj. bitna i osnovna svojstvaobjekta kojeg proučavaju i korisna su za razrednu raspravu.

Slika 3.23: Konstrukcija četverokuta pomoću zadanih dijagonala

Mackrell i Johnston-Wilder (2005) preporučuju korištenje već napravljenih oblika ili da-toteka u ranim fazama učenja korištenja programa:

• kada su učenici u fazi prepoznavanja oblika i svojstava, ali ne razumiju njihove među-sobne odnose (van Hiele, razina 2),

• kada za nastavne ciljeve koje učenici moraju postići nije potrebno konstruiranje poje-dinih oblika,

• kada je konstrukcija presložena da bi učenici svladali gradivno nastavne cjeline.

30

Učitelji bi trebali poticati i ohrabrivati učenike da konstruiraju:

• kada steknu povjerenje i vještine upravljanja programom,

• kada razumiju sva svojstva zadanih oblika i imaju ideje kako međusobno povezati tasvojstva,

• kada proces konstrukcije dovodi do planiranih ishoda nastavne jedinice,

• kada konstrukcija pruža izazov vrijedan truda učenika,

• za zadatke otvorenog tipa.

3.5 Zaključivanje

Glavne funkcije zaključivanja smatraju se razumjeti, objasniti i dokazati (Hershkowitz,1998). Ovo nam govori da učitelji trebaju stvoriti sigurno i poticajno okruženje za razgova-ranje, slušanje, ispitivanje, objašnjavanje i dokazivanje. Zapravo, učenici bi trebali samos-talno stvarati smislene pretpostavke, primjerice da određena svojstva nekog objekta vrijedeu danim uvjetima. Također, važno ih je pohvaliti kada preoblikuju svoje pretpostavke kaoposljedicu eksperimentiranja ili rasprave sa svojim vršnjacima. Takvo okruženje poticajno jeza razvoj matematičkog mišljenja. Ponekad se objašnjavanje odnosa čini očito ili intuitivno.Jones (1998) tvrdi da intuitivno zaključivanje prethodi formalnom zaključivanju. Primjeći-vanje elemenata i odnosa među njima razvija tijek zaključivanja. Možemo reći da je intuicijazapravo teorija koja potiče donošenje zaključka.Promotrimo sljedeći primjer:

Dana su dva pravca koji se sijeku i točka P koja leži na jednom od njih (vidi Sliku 3.24 ).Konstruirajte kružnicu (pomoću ravnala i šestara) kojoj su ovi pravci tangente i koja sadržitočku P. Objasnite svoje rješenje.

Slika 3.24: Pravci koji se sijeku

31

Kakav tijek zaključivanja bismo željeli razviti kod učenika? Najprije, učenici bi se trebalidosjetiti da je tangenta okomita na radijus kružnice. Zatim slijedi konstrukcija okomice kojaprolazi točkom P. Sada bi učenici trebali zaključiti da će središte kružnice ležati na toj oko-mici. Nadalje, učenici bi trebali zaključiti da će središte kružnice ležati i na simetrali kutakojeg zatvaraju pravci pa slijedi konstrukcija simetrale kuta. Sjecište okomice i simetraleodređuje središte kružnice. Ako koristimo programe dinamične geometrije, učenici mogu ieksperimentirati. Mogu konstruirati pravac okomit na donji pravac i pomicanjem dovesti gado središta, a kao završetak zadatka trebali bi razmotriti leži li središte kružnice na simetralikuta između dva zadana pravca. Time je ujedno zadatak riješen. Ovaj zadatak bi bilo dobroprovesti kao aktivnost u paru gdje će učenici, kroz zajedničko zaključivanje, doći do rješenja.

Hershkowitz tvrdi da su procesi zaključivanja danas raznovrsne aktivnosti koje učenicičine poput međusobnog komuniciranja, objašnjavanja drugima i sebi onoga što vide, štosu otkrili i što oni misle. Problemi koji se mogu razmatrati pomoću programa dinamičnegeometrije pružaju učenicima priliku za komunikaciju, objašnjavanje, uvjeravanje i pomažurazvijati vještinu dokazivanja.

3.6 Jezik i komunikacija

Postoje mnogi novi izrazi koje učenici uče i koriste u geometriji, a to su, osim imenaoblika, također i nazivi za svojstva u geometriji. Učenike može zbuniti značenje matema-tičkih pojmova, posebno kada isti termin u drugom kontekstu poprima drugačije značenje.Nepoznavanje matematičke terminologije u geometriji može ometati učenje kao što sljedećiprimjer pokazuje. Učenici u sedmom razredu dobili su radni listić (Rasmussen i suradnici,1995) koji zahtijeva korištenje dinamične geometrije za istraživanje vanjskih kutova mno-gokuta. Niz uputa na radnom listiću navodio je učenike da nacrtaju peterokut s vanjskimkutovima, a zatim da izmjere veličinu kutova prije razvlačenja figure. Nakon toga učenici sutrebali razvlačiti peterokut da vide što se događa sa zbrojem vanjskih kutova tog peterokuta.Na listiću je također ostavljeno mjesto gdje su učenici trebali napisati svoju pretpostavku.Jedna od uputa je glasila: "Pomiči dijelove peterokuta i provjeri vidi mijenja li se zbroj.Pritom pazite da peterokut ostane konveksan."

Učenici nisu znali što moraju napraviti jer nisu razumjeli značenja riječi konveksan ipretpostavka. Ovo pokazuje da je važno objasniti učenicima značenje pojmova i izraza uzadatku. Ovdje je učitelj prije početka aktivnosti trebao s učenicima raspraviti o zahtjevimazadatka. Rasprava o pojmovima važna je za razvoj smislenog geometrijskog mišljenja, jernakon sata gdje se koristilo podučavanje po modelu prenošenja znanja, neki učenici pogađajušto je učitelj htio reći.

32

Slika 3.25: Pimjer peterokuta s vanjskim kutovima

Uspješniji pristup uključuje suradnju i međusobnu komunikaciju učenika o matematičkimidejama i pojmovima koji se koriste za opis, objašnjavanje ili pretpostavljanje tih ideja.Učenici trebaju razmatrati i druge točke gledišta kako bi sami sebi razjasnili značenje ideja,a također i kako bi postigli zajedničko mišljenje o tim idejama.

3.7 Prostorni zor

Prostorni zor intuitivni je osjećaj za oblike u prostoru i njihove međusobne odnose. Kaovažan dio ljudske inteligencije, osjećaj je za geometrijske aspekte svijeta koji nas okužuje.Svaki čovjek posjeduje sposobnost prostornog zora u većoj ili manjoj mjeri. Prostorni zorrazvija se zajedno s razvojem djeteta. Kod manje talentiranih učenika prostorni zor može seizoštriti vježbom, kao i većina drugih sposobnosti. Spomenuti procesi vizualizacije, konstru-iranja i zaključivanja doprinose razvoju prostornog zora. Učenicima su dostupni interaktivnimaterijali za učenje, alati za crtanje ili već konstruirani predlošci oblika pomoću programadinamične geometrije. Možemo primijetiti razlike u učenju pomoću različitih sredstava međuučenicima. Važno je uključiti raznolika sredstva za učenje i proučavanje jer će učenici oda-brati sredstvo koje im je jednostavnije za korištenje i pomoću kojeg lakše uče. Dobro razra-đeni problemski zadaci pogodni su za razvijanje prostornog zora. Takvi zadaci predstavljajunačine na koje možemo svoja znanja i vještine iskoristiti u stvarnom svijetu, potaknuti uče-nike da otkriju vlastito razumijevanje o onome o čemu istražuju te dobiti više zaključakaiz zadatka koji je otvorenog tipa. Različita mjesta u svijetu mogu poslužiti za takva pro-učavanja, na primjer, parabolu mogu vidjeti na primjeru Zlatnog mosta u San Franciscu.Učenici moraju steći iskustva u nepoznatim situacijama, proučavati mjesta i građevine zbogstvaranja mentalnih slika pa su školski izleti idealno okruženje za razvoj prostornog zora. Uzpotreban pravilan nadzor, učenicima bi se trebale pružiti prilike za tumačenje raznih zemljo-pisnih karata kao što su karte cesta, javne karte prijevoza i topografske karte koje prikazujugeografske značajke. Takvi zadaci potiču razvoj prostornog zora i vještina komunikacije.

33

4 Zaključak

Kurikulum nije samo "proizvod" koji su stvorili stručnjaci i predali ga nastavnicima da gaprovedu po razredima. Donošenje odluka o kurikulumu dinamičan je proces prema kojemunastavnici mogu imati značajnu ulogu unutar i izvan učionice.

Poznato je da mnogi učenici ne vole geometriju, jer im je apstraktna. Geometrija jeneizostavna zbog razvoja prostornog zora i široke primjene u svim sferama društvene djelat-nosti. Ona, također, pruža važan kontekst u kojem se razvijaju vizualna mišljenja i obraz-loženja, koja se koriste u svim područjima matematike. Pristupi učenju u kojima učenicirješavaju probleme, istražuju geometrijske objekte i razmišljaju o promjenama koje su na-pravljene na njima, omogućuju učenicima samostalno otkriti i doživjeti neočekivane odnoseu geometriji. Kurikulum nastave matematike u školama provodi niz nepovezanih tema iliaktivnosti bez pažljivog razmatranja što je potrebno učenicima za razvijanje geometrijskogmišljenja, povezivanje i primjenjivanje naučenog na stvarne probleme. Zadaća je nastavnikada podučavanje geometrije obogate zanimljivim primjerima, omoguće rad s raznolikim sred-stvima, daju jasne upute i potiču učenike na međusobnu komunikaciju. Nastavne jedinicegeometrije treba povezivati s prethodnim znanjima te poticati učenike na kreativno razmiš-ljanje i rješavanje problema. Zamišljanje i predviđanje su bitan dio tih procesa. Učeniketreba ohrabrivati da zamisle lik prije skiciranja, da skiciraju prije konstrukcije i da stvorepretpostavke o tome što će se dogoditi dok istražuju i rješavaju problem. Podučavanje uče-nika na ovakav način zasigurno će pridonijeti razvoju prostornog zora i doprinijeti realizacijipostavljenih obrazovnih ishoda u kurikulumu.

34

Literatura

[1] A. Čižmešija, R. Svedrec, N. Radović, T. Soucie. Geometrijsko mišljenje i prostornizor u nastavi matematike u nižim razredima osnovne škole, Zbornik radova 4. Kongresanastavnika matematike, Zagreb, HMD i Školska knjiga, 2010., 143 – 162.

[2] Australian Education Council (1991). A national statement on mathematics for Aus-tralian schools. Melbourne: Curriculum Corporation.

[3] Australian Education Council (1994). Mathematics: A curriculum profile for Australianschools. Melbourne: Curriculum Corporation.

[4] Coad, L. (2006). Paper folding in the middle school classroom and beyond, The Aus-tralian Mathematics Teacher, 62(1), 6–13.

[5] Duval, R. (1998). Geometry from a cognitive point of view. In C. Mammana and V.Villani (eds), Perspectives on the teaching of geometry for the 21st century (pp. 37–52).Dordrecht: Kluwer.

[6] D. A. Romano, Van Hiele-ova teorija o učenju geometrije, Metodički obzori 4(2009)1.2

[7] Geometrija, http://www.skole.hr/ucenici/os_visi?news_id=800 (pristupljeno15.3.2014.)

[8] Goos, M. and Mills, M. (2001). Curriculum integration in the middle school: Mathema-tics meets history. In B. Lee (ed.), Mathematics shaping Australia (Proceedings of the18th Biennial conference of the Australian Association of Mathematics Teachers, pp.65–76). Adelaide: Australian Association of Mathematics Teachers.

[9] Harris, C. and Marsh, C. (2005). Analysing curriculum change: Some reconceptualisedapproaches. In C. Harris and C. Marsh (eds), Curriculum developments in Australia:Promising initiatives, impasses and dead-ends (pp. 15–37). Canberra: Australian Cur-riculum Studies Association.

[10] Harris, P. (1991). Mathematics in a cultural context: Aboriginal perspectives on time,space and money. Geelong: Deakin University.

[11] Hershkowitz, R. (1998). About reasoning in geometry. In C. Mammana and V. Vil-lani (eds), Perspectives on the teaching of geometry for the 21st century (pp. 29–37).Dordrecht: Kluwer.

[12] Huntley, M. (1998). Design and implementation of a framework for defining integratedmathematics and science education. School Science and Mathematics, 98(6), 320–7.

35

[13] Johnston-Wilder, S. and Mason, J. (2005). Developing thinking in geometry. London:Open University.

[14] Jones, K. (1998). Deductive and intuitive approaches to solving geometrical problems.In C. Mammana and V. Villani (eds), Perspectives on the teaching of geometry for the21st century (pp. 78–83). Dordrecht: Kluwer.

[15] Leigh-Lancaster, A. (2004). What shape will be unfolded? Vinculum, 41(3), 19–20.

[16] Leigh-Lancaster, D. (2004). Constructing quadrilaterals, Vinculum, 41(3), 15–17.

[17] Lj. Jukić, Matematika i origami, Osječki Matematički List, 7 (2007), br.1

[18] Mackrell, K. and Johnston-Wilder, P. (2005). Thinking geometrically: Dynamic geome-try. In S. Johnston-Wilder and D. Pimm (eds), Teaching secondary mathematics withICT (pp. 81–100). Maidenhead: Open University Press.

[19] Malloy, C. (2002). Democratic access to mathematics through democratic education: Anintroduction. In L.D. English (ed.), Handbook of international research in mathematicseducation (pp. 17–25). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum.

[20] Nacionalni okvirni kurikulum (NOK), www.mzos.hr (pristupljeno 9.4.2014.)

[21] National Council of Teachers of Mathematics (1980). An agenda for action: Recommen-dations for school mathematics of the 1980s. Reston, VA: NCTM.

[22] National Council of Teachers of Mathematics (1989). Curriculum and evaluation stan-dards for school mathematics. Reston, VA: NCTM.

[23] National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principles and standards for schoolmathematics. Reston, VA: NCTM.

[24] National Council of Teachers of Mathematics (2007). Curriculum Focal Points.<www.nctm.org/focalpoints> (12 April 2007).

[25] Pugalee, D., Frykholm, J., Johnson, A., Slovin, H., Malloy, C. and Preston, R. (2002).Navigating through geometry in Grades 6–8. Reston, VA: National Council of Teachersof Mathematics.

[26] Rasmussen, D., Rasmussen, S. and Bennett, D. (eds) (1995). Teaching geometry withThe Geometer’s Sketchpad: Teaching notes and sample activities. Berkeley, CA: KeyCurriculum Press.

36

[27] Reid, A. (2005). The politics of national curriculum collaboration: How can Australiamove beyond the railway gauge metaphor? In C. Harris and C. Marsh (eds), Curriculumdevelopments in Australia: Promising initiatives, impasses and dead-ends (pp. 39–51).Canberra: Australian Curriculum Studies Association.

[28] Rogers, E.M. and Shoemaker, F.F. (1971). Communication of innovations: A cross-cultural approach. New York: Free Press

[29] Spady, W. (1993). Outcome-based education. Canberra: Australian Curriculum StudiesAssociation.

[30] Spady, W. and Marshall, K. (1991). Beyond traditional outcome-based education. Edu-cational Leadership, 45(5), 52–6.

[31] Stenhouse, L. (1975). An introduction to curriculum research and development. London:Heinemann.

[32] Van den Akker, J. (2003). Curriculum perspectives: An introduction. In J. van denAkker, W. Kuiper and U. Hameyer (eds), Curriculum landscapes and trends (pp. 1–10).Dordrecht: Kluwer.

[33] Van Hiele, P. (1986). Structure and insight: A theory of mathematics education. NewYork: Academic Press.

[34] Woodbury, S. (1998). Rhetoric, reality, and possibilities: Interdisciplinary teaching andsecondary mathematics. School Science and Mathematics, 98(6), 303–7.

37

Sažetak

Sažetak. Kurikulum se može definirati na više načina; neke se definicije odnose samona obrazovne namjere dok neke definiraju stvarnost događanja u školama. Modeli kurikulumakoji se temelje na ishodima učenja definiraju ishod kao kao „vrhunac demonstracije učenja“kako bi se opisalo ono što se očekuje od učenika da zna, razumije i može učiniti nakon uspješ-nog završetka učenja. Integracija kurikuluma često je predložena kao sredstvo koje pomažeučenicima da razvijaju i povezuju svoja znanja iz različitih područja i prepoznaju kako taznanja iskoristiti u svakodnevnom životu. Mjesto geometrije u kurikulumu postaje važnijejer je geometrija jedan od originalnih i bitnih aspekata matematike. Geometrijsko mišljenjeuključuje tri kognitivna procesa koja su važna za razvoj prostornog zora; vizualizaciju, kons-truiranje i zaključivanje. Učenicima treba osigurati razna sredstva za rješavanje problema,crtanje, konstruiranje poput tehnike presavijanja papira ili programa dinamične geometrije.

Ključne riječi: kurikulum, ishodi učenja, integracija kurikuluma, geometry, geometrij-sko mišljenje, vizualizacija, konstruiranje, zaključivanje, presavijanje papira, programi dina-mične geometrije

Summary. Curriculum can be defined in many ways, with some definitions referringonly to educational intentions and others to the reality of what actually happens in schools.Outcome-based curriculum models define an outcome as ‘a culminating demonstration of le-arning’ — that is, the result of learning that we would like students to demonstrate at the endof significant learning experiences. Integration between mathematics and other curriculumareas is often proposed as a means of helping students to develop richly connected knowledgeand to recognise how this knowledge is used in real-world contexts. The place of geometryin the school curriculum is more profound, geometry is regarded as one of the original andessential aspects of mathematics. Geometric thinking involves three kinds of cognitive pro-cesses: visualisation, construction and reasoning. These three processes are important forthe development of spatial sense. Students should be encouraged to use a range of geome-tric tools for drawing, making, constructing, problem-solving and communicating, such aspaper-folding or dynamic geometry software.

Key words: curriculum, learning outcomes, integrated curriculum, geometry, geometricthinking, visualization, construction, reasoning, paper-folding, dynamic geometry software

38

Životopis

Rođena sam 9. siječnja 1990. godine u Požegi. Sa svojom obitelji živim u Požegi, gdjesam u razdoblju od 1996. do 2004. pohađala osnovnu školu Dobriše Cesarića. Opću gimna-ziju završila sam u Požegi 2008. godine i nakon toga upisala Sveučilišni nastavnički studijmatematike i informatike na Odjelu za matematiku Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera uOsijeku.