Susy 1

Ζ

ΤΠΔΡΤΜΜΔΣΡΗΚΖ

ΚΒΑΝΣΟΜΖΥΑΝΗΚΖ

ΣΖ

ΘΔΧΡΖΣΗΚΖ

ΦΤΗΚΖ

Φιορεντίνοσ Γιάννησ

3/3/2011 Γιάννησ Φιορεντίνοσ 2

Σα ηειεπηαία ρξόληα νη ηδέεο ηεο Υπερζσμμεηρίας (SuSy)

έρνπλ εθαξκνζζεί κε επηηπρία ζε πνιιά πξνβιήκαηα ηεο κε

ζρεηηθηζηηθήο θβαληηθήο κεραληθήο.

Δηδηθόηεξα βνήζεζαλ:

•ηελ θαηαλόεζε ηεο επηιπζηκόηεηαο νξηζκέλωλ εηδηθώλ

δπλακηθώλ

•ηελ αλάπηπμε λέωλ θαη ηζρπξώλ πξνζεγγηζηηθώλ κεζόδωλ γηα

ηελ κειέηε δπλακηθώλ πνπ δελ επηιύνληαη αλαιπηηθά.

3/3/2011


ηελ εξγαζία απηή ζα δνύκε

α) ηο μέρος Α

• Μεξηθέο από ηηο κεζόδνπο ηεο ΥΚΜ.

• Οξηζκέλεο εθαξκνγέο ηεο, όπωο:

ππεξζπκκεηξηθά δπλακηθά ζπλνδείαο,

δπλακηθά αλαιινίωηνπ ζρήκαηνο,

απηό-όκνηα δπλακηθά θιπ.

β) ηο μέρος Β

• Μηα ελδηαθέξνπζα ζρέζε ηεο ΥΚΜ κε κηα θαζαξή καζεκαηηθή ζεωξία, ηε

ζεωξία Morse.

πγθεθξηκέλα ζα παξάγνπκε ηεο αληζόηεηεο Morse, κε ηε βνήζεηα ηεο

ππεξζπκκεηξίαο.

Γιάννησ Φιορεντίνοσ 4

1. ΚΒΑΝΣΟΜΖΥΑΝΗΚΖ Δ ΜΗΑ ΓΗΑΣΑΖ

2 2

2( )

2

dH V x

m dx

(1) H E (2)

2 2

2( )

2.

dV x E

m dx

(3)

• Δ<Vmin , δελ ππάξρνπλ

θαλνληθνπνηήζηκεο ιύζεηο ηεο (3).

• Vmin<Δ<Vmax ,ππάξρνπλ

θαλνληθνπνηήζηκεο ιύζεηο

(ηδηνζπλαξηήζεηο) κε δηαθξηηέο

ηηκέο (ηδηνηηκέο) ηεο ελέξγεηαο Δ.

x

• Δ>Vmax , έρνπκε έλα ζπλερέο

ελεξγεηαθό θάζκα, κε

θπκαηνζπλαξηήζεηο ηεο κνξθήο :

.

ikxe , όηαλ


2. Ο ΑΠΛΟ ΑΡΜΟΝΗΚΟ ΣΑΛΑΝΣΧΣΖ

21( )

2V x kx (4)

2 22 2

2

1

2 2

dm x E

m dx

(5)

k

m,

Λύζεης:

2

( ) exp( ) ( )2

n n

xN n H x , m

x x

(6)

1( )

2nE n (7)

«Μεηαηνπηζκέλε» Υακηιηνληαλή:

2 22 2

2

1 1

2 2 2

dH m x

m dx

(8)Σειεζηέο «αλόδνπ» θαη «θαζόδνπ» :

( )2

m da x

m dx

θαη ( )

2

m da x

m dx

(9)

'cont d


H a a (10)

Ζ «κεηαηνπηζκέλε» (shifted) Υακηιηνληαλή γξάθεηαη:

( ) ( )Ha a H a E a (11)

( ) ( )Ha aH a E a (12)

Ηζρύνπλ νη ζρέζεηο:

• Γειαδή νη ηειεζηέο a θαη a «αλεβάδοσλ» θαη «θαηεβάδοσλ» ηηο

ηδηνηηκέο ηεο ελέξγεηαο

•ηε βαζηθή ζηάζκε Φ0(x): 0( ) 0a x (13)

00

( )( ) 0

d xx x

m dx

ή , κε ιύζε:

2 2

0 0( ) exp( )2

m xx

(14)

• Γηεγεξκέλεο ηδηνθαηαζηάζεηο: 0( ) ( )( ) ( )n

n x N n a x

Με ηδηνηηκέο ελέξγεηαο: nE n , n=0,1,2…


3. «ΤΠΔΡΓΤΝΑΜΗΚΟ» (SUPERPOTENTIAL). ΓΤΝΑΜΗΚΑ

ΤΝΟΓΔΗΑ.

EΞΗΧΖ ΣΟΤ SCHRÖDINGER(1-D):

1 ( ) ( )H x E x2 2

12

( )( ) ( ) ( )

2

d xV x x E x

m dx

(15)

Με ηελ ansatz ινηπόλ Δ0=0 ε (15) γξάθεηαη:

22

01 02

( )( ) ( ) 0

2

d xV x x

m dx

2

01

0

( )( )

2 ( )

xV x

m x

(16)

Παξαγνληνπνίεζε ηεο Υακηιηνληαλήο:1H A A (17)

Μέζω ηωλ ηειεζηώλ:

( )2

dA W x

dxm

θαη ( )

2

dA W x

dxm

(18)

'cont d


1 0( ) 0H x ή0( ) 0A A x

2220

0 02

( ) ( )( ) ( ) ( ) 0

2 2

d x dW xx W x x

m dx dxm

θαη22

01 02

( )( ) ( ) 0

2

d xV x x

m dx

2

1( ) ( ) ( )2

V x W x W xm

(19) (Riccati)

To νλνκάδεηαη: «ππεξδπλακηθό» (superpotential)( )W x

Αλ απαηηήζνπκε:0( ) 0A x 1 0 0( ) ( ) 0H x A A x

θαη ηειηθά: 0

0

( )( )

( )2

xW x

xm

(20)

'cont d

[SCHRÖDINGER(1-D):]


Υακηιηνληαλή ζπλνδείαο (partner Hamiltonian) ηεο Ζ1:

2H AA ή2 2

2 22( )

2

dH V x

m dx

,κε 2

2( ) ( ) ( )2

V x W x W xm

(21)

Σα νλνκάδνληαη: ππεξζπκκεηξηθά δπλακηθά ζπλνδείαο1 2,V V

Έζηω όηη ε είλαη ηδηνθαηάζηαζε ηνπ

(1) (1) (1) (1)

1 n n n nH A A E

(1)

n 1H Οπόηε:

Θα έρνπκε:

(1) (1) (1) (1) (1) (1)

2( ) ( )n n n n n nH A AA A AE E A

Ζ δξάζε ηνπ Α ζηελ (1)

n :

Μεηαηξέπεη κηα ηδηνζπλάξηεζε ηνπ ηειεζηή Ζ1 ζε

ηδηνζπλάξηεζε ηνπ ηειεζηή Ζ2 κε ηελ ίδηα ελέξγεηα

«Καηαζηξέθεη» έλα «θόκβν» ζηελ ηδηνζπλάξηεζε.'cont d

(22)

(23)


Με αλάινγν ηξόπν:(2) (2) (2) (2)

2 n n n nH AA E

Οπόηε: (2) (2) (2) (2) (2) (2)

1( ) ( )n n n n n nH A A AA A E E A

A (2)

nΖ δξάζε ινηπόλ ηνπ ζηελ

: Μεηαηξέπεη κηα ηδηνζπλάξηεζε ηνπ ηειεζηή Ζ2 ζε

ηδηνζπλάξηεζε ηνπ ηειεζηή Ζ1 κε ηελ ίδηα ελέξγεηα

«Γεκηνπξγεί» έλα «θόκβν» ζηελ ηδηνζπλάξηεζε.

Αλ: (1)

0 0A ε θαηάζηαζε δελ έρεη

ππεξζπκκεηξηθό ζπλνδό

'cont d

(1)

0

unbroken SUSY


Οη ιδιοηιμές ενέργειας , ινηπόλ θαη νη κσμαηοζσναρηήζεις γηα ηα δύν

απηά δπλακηθά ζρεηίδνληαη άκεζα κεηαμύ ηνπο θαη είλαη :

(1)

0 0E (2) (1)

1n nE E,

1

(2) (1) (1)21 1( )n n nE A

1

(1) (2) (2)21 ( )n n nE A

Σα παξαπάλω θαίλνληαη ζρεκαηηθά ζην δηάγξακκα πνπ αθνινπζεί:

Περίπτωση μη-σπασμένης συμμετρίας (unbroken SUSY).ΣΧΗΜΑ 1


Δύξεζε ηεο θπκαηνζπλάξηεζεο (ή ηεο ) κε γλωζηό ηνW(x).

5. ΠΑΜΔΝΖ ΤΠΔΡΤΜΜΔΣΡΗΑ (BROKEN SUPERSYMMETRY)

(1)

0 ( )x(2)

0 ( )x

(1)

0 ( ) 0A x

(1)

0

2( ) exp( ( ) )

xm

x N W y dy

(2)

0 ( ) 0A x

(2)

0

2( ) exp( ( ) )

xm

x N W y dy

Γηαθξίλνπκε δύν

πεξηπηώζεηο

( )a ( )b

ιύζεηο ηεο κνξθήο (α) ή (b)

«ζπαζκέλε» ππεξζπκκεηξία

Τπάξρνπλ ιύζεηο, νπόηε επηιέγνπκε ζπλήζωο ην

W(x) έηζη ώζηε ε θαλνληθνπνηεκέλε ηδηνθαηάζηαζε κε

κεδεληθή ηδηνηηκή ελέξγεηαο λα αληηζηνηρεί ζηελ Ζ1.

3/3/2011Γιάννησ Φιορεντίνοσ 13

Γείθηεο Witten ( 1)Ftr

3

1(1 )

2FF n

Μαο δείρλεη αλ ε ππεξζπκκε-

ηξία είλαη (ή όρη) ζπαζκέλε.

Γ=1 Unbroken Susy (κε ζπαζκέλε)

Γ=0 Broken Susy (ζπαζκέλε)

νξηζκόο

( 1) ( ) ( )F

B F

E

tr n E n E (0) (0)B Fn n

( ) ( )B Fn E n E 0E,

Δίλαη:

( ) ( ) (0) (0)B F B F

E

n E n E n n


H ΤΠΕΡΤΜΜΕΣΡΙΚΗ ΥΑΜΙΛΣΟΝΙΑΝΗ. ΤΠΕΡΑΛΓΕΒΡΑ

Με ηε κνξθή πίλαθα, ε Υακηιηνληαλή γξάθεηαη:

1

2

0

0

HH

H

Δηζάγνπκε ηνπο ηειεζηέο:

0 0

1Q

A

0

0 0

AQθαη

Ηζρύνπλ νη ζρέζεηο:

[ , ] [ , ] 0H Q H Q

{ , }Q Q H

{ , } { , } 0Q Q Q Q

Οη ζρέζεηο απηέο ιέκε όηη πε-

ξηγξάθνπλ ηελ θιεηζηή ππεξ-

άιγεβξα sl(1/1) ή ππεξάιγε-

βξα Witten


ΣΔΛΔΣΔ ΤΠΔΡΦΟΡΣΗΟΤ. ΤΠΔΡΦΟΡΣΗΑ

Αο ζεωξήζνπκε πάιη ηνλ α.α.η. θαη ηνπο ηειεζηέο θαηαζηξνθήο θαη

δεκηνπξγίαο:

2

xa ip ,

2

xa ip θαη ηνλ ηειεζηή: N a a

[ , ] 1a a [ , ]N a a [ , ]N a a

Θα ηζρύνπλ:

Θεωξνύκε επίζεο ηνπο (θεξκηνληθνύο) ηειεζηέο:

0 1

0 0

0 0

1 0θαη

Θα ηζρύνπλ:

{ , } 1 { , } 0 { , } 3

1 0[ , ]

0 1

Q a Q aΓξάθνπκε: ,

3/3/2011Γιάννησ Φιορεντίνοσ 16

2 2

2

1( ) [ , ]

4 2

d xH QQ Q Q I

dxΖ Υακηιηνληαλή γξάθεηαη:

,b fn nΘεωξνύκε ηελ θαηάζηαζε: ζην ρώξν Fock

31 1 [ , ]

2 2Fn ηειεζηήs θεξκηνληθνύ αξηζκνύ

Σόηε:

1, ,b f b fa n n n n

1, ,b f b fa n n n n

1, ,b f b fn n n n

1, ,b f b fn n n n

1 1 1, , , ,b f b f b f b fQ n n a n n a n n n n

0bn1fn

1 1 1, , , ,b f b f b f b fQ n n a n n a n n n n

0fn

fermion boson

( , )

( )

Q

boson fermionQ


«ΗΔΡΑΡΥΗΑ» ΥΑΜΗΛΣΟΝΗΑΝΧΝ

1HΖ Υακηιηνληαλήβαςική

ςτάθμη

Δλέξγεηα: (1)

0E

Κπκαηνζπλάξηεζε:(1)

0 ( )x

2(1)

1 1 1 0 12( )

dH A A E V x

dx

1 1( )d

A W xdx

Όπου:1 1( )

dA W x

dx,

(1)

01

ln ( )( )

d xW x

dxΣυνοδόσ

2(1)

2 1 1 0 22( )

dH A A E V x

dx

2 (1)

02 1 2

(ln ( ))( ) ( ) 2

d xV x V x

dx

με

Γράφεται:

2(1) (1)

2 2 1 1 0 2 2 12( )

dH V x A A E A A E

dx

(2)

02 2

ln ( )( )

d xd dA W x

dx dx dx

(2)

02 2

ln ( )( )

d xd dA W x

dx dx dx


Με ππεξζπκκεηξηθή ζπλνδό:2

(1)

3 2 2 1 32( )

dH A A E V x

dx

2 (1) (2)

0 03 1 2

[ln( ( ) ( ))( ) ( ) 2

d x xV x V x

dx,

πλερίδνληαο βξίζθνπκε δηαδνρηθά ηηο Υακηιηνληαλέο:4H

5H,pH,...

Γεληθεύνληαο:

2(1)

1 2( )m m m m m

dH A A E V x

dx

( )m m

dA W x

dx

( )m m

dA W x

dx( )

0ln ( )( )

m

m

d xW x

dxΚαη ηζρύνπλ:

( ) ( 1) ( 2) (1)

1 2 1...m m m

n n n m nE E E E2

(1) (2) ( 1)

1 0 0 02( ) ( ) 2 ln( ... )m

m

dV x V x

dx1 1 1

( ) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)2 2 21 2 1 3 1 0 1 2... 2 1 1[ ] [ ] ...[ ]m

n n m m n m m n m m m n mE E E E E E A A A A


Ζ ΚΔΓΑΖ ΣΖΝ ΤΚΜ

Δπίπεδν θύκα , κε ελέξγεηα Δ πξνζπίπηεη από αξηζηεξά θαη

ζθεδάδεηαη από ηα (ζπλνδά) δπλακηθά θαη

ikxe

1V 2V

Πξνζπίπηνλ: ikxe

Αλαθιώκελν: 1,2 ( ) ikxR k e

Γηεξρόκελν: 1,2 ( ) ik xT k e

(1,2)

1,2( , ) ( )ikx ikxk x e R k e x,

(1,2)

1,2( , ) ( ) ik xk x T k e x,

1 2( ) ( ) ( )W ik

R k R kW ik

θαη1 2( ) ( ) ( )

W ikT k T k

W ik

(1) ( 1)

1(1) ( 1)( ) ( )...( ) ( )

m

m m

W ik W ikR k R k

W ik W ik

(1) ( 1)

1(1) ( 1)( ) ( )...( ) ( )

m

m m

W ik W ikT k T k

W ik W ik

(1) 2( )k E W

(1) 2( )k E W lim ( )x

W x W

lim ( )x

W x W,

,

,

,

Γεληθεύνληαο (γηα ηελ «ηεξαξρία»):

20

ΓΤΝΑΜΗΚΑ ΑΝΑΛΛΟΗΧΣΟΤ ΥΖΜΑΣΟ

(SHAPE INVARIANT POTENTIALS, SIPs)

Μέζνδνη ηεο ΤΚΜ

πλζήθε νινθιεξωζηκόηεηαο

πλζήθε αλαιινηώηνπ ζρήκαηνο

Δπεθηείλνπλ ηε κέζνδν ηωλ

ηειεζηώλ ηνπ α.η. ζε κηα νιό-

θιεξε θαηεγνξία απ’ ηα ιεγό-

κελα «δπλακηθά αλαιινίωηνπ

ζρήκαηνο (SIPs)

Όια ηα «δηάζεκα» πιήξωο

επηιύζηκα δπλακηθά

Περιγραυικά: Έλα δεπγάξη ππεξζπκκεηξηθώλ ζπλνδώλ δπλακηθώλ θαη είλαη «αλαιινηώηνπ ζρήκαηνο» αλ «κνηάδνπλ» ζην ζρήκα θαη δηαθέξνπλ (πηζαλώο)

ζε θάπνηεο παξακέηξνπο

1( )V x 2( )V x

Αυστηρά: 2 1 1 2 1( ; ) ( ; ) ( )V x a V x a R a Gendenstein

Ηθαλή θαη όρη αλαγθαία 1971Natanzon: Δπηιύζηκα δπλακηθά. Σα

πεξηζζόηεξα δελ αλήθνπλ ζηα SIPs.


Υξεζηκνπνηώληαο ηε ζρέζε ηνπ Gendenstein θαη ηελ ηεξαξρία Υακηιην-

ληαλώλ, κπνξνύκε λα βξνύκε ηηο ηδηνηηκέο ελέξγεηαο θαη ηηο ηδηνζπλαξηή-

ζεηο νηνπδήπνηε SIP ζηελ πεξίπηωζε κε ζπαζκέλεο ππεξζπκκεηξίαο.

Αο ζεωξήζνπκε ινπόλ ηηο Υακηιηνληαλέο θαη πνπ είλαη

ππεξζπκκεηξηθά δεπγάξηα. Αλ έρνπκε κε ζπαζκέλε SUSY:1H 2H

(1)

0 0E (1)

0 1 1 1( ; ) exp[ ( ; ) ]

x

x a N W y a dy,

Έζηω όηη ε έρεη p δέζκηεο θαηαζηάζεηο.

Μπνξνύκε λα θαηαζθεπάζνπκε ηελ ηεξαξρία ηωλ Υακηιηνληαλώλ:

1 2, ,.... ,...n pH H H HsH 1,2,...,s p,

Δπαλαιακβαλόκελε εθαξκνγή ηεο ζρέζεο Gendenstein, νδεγεί:

2 1

121

( ; ) ( )s

s s k

k

dH V x a R a

dx,

1

1 1( (... ( )) ( )s

sa f f f a f a

Σν επόκελν κέινο ηεο ηεξαξρίαο ζα είλαη:

(1)

22

2

1 1 121

( ; ) ( )s

s s k

k

dH V x a R a

dx

2 1

1 221

( ; ) ( )s

s s k

k

dH V x a R a

dxή

Από (1) θαη (2) όηη νη θαη ζπληζηνπλ ππεξζπκκεηξηθό δεπγάξη.1H 2H

1( )

0

1

( )s

s

k

k

E R aΖ βαζηθή ζηάζκε ηεο είλαη: sH

(2)

ρέζε (1), θαη(1)

0 0E

1 2 1...s sH H H HΠεγαίλνληαο: 1H

(1)

0 1( ) 0E a (1)

1

1

( ) ( )n

n k

k

E a R aθαη

Δπίζεο , κπνξνύκε λα βξνύκε ηηο δέζκηεο θπκαηνζπλαξηήζεηο (1)

1( ; )n x a

μεθηλώληαο από ηελ θπκαηνζπλάξηεζε (1)

0 1( ; )x a(1)

0 ( ; )sx aΑλ είλαη ε βαζηθή ζηάζκε ηεο sH

2 1

121

( ; ) ( )s

s s k

k

dH V x a R a

dx,

(1) (1)

1 1 2 0 1( ; ) ( ; ) ( ; )... ( ; ) ( ; )n n nx a A x a A x a A x a x a

ε δηαδνρηθή ρξήζε ηεο 1

(1) (2) (2)21 [ ]n n nE A νδεγεί ζηελ:


«ΔΗΓΖ» ΓΤΝΑΜΗΚΧΝ ΑΝΑΛΛΟΗΧΣΟΤ ΥΖΜΑΣΟ

Έρνπλ βξεζεί δύν κεγάιεο θαηεγνξίεο ιύζεωλ:

a) Οη παξάκεηξνη θαη ζπλδένληαη κε κεηαηόπηζε:

b) Οη παξάκεηξνη θαη ζπλδένληαη κε θάπνηα ζρέζε «θιίκαθαο»

1a

1a

2a

2a

2 1

2 1q 0 1q,

α) ην δπλακηθό Coulomb

β) ην δπλακηθό ηνπ αξκνληθνύ ηαιαληωηή

γ) ηα δπλακηθά: Eckart, Morse, Rosen-Morse, Poschl-Teller.

1

( )( ; ) ( ) ( ) ( )

h xW x k c g x f x

k c

( ) ( ) 0g x h x α.α.η.

( ) 0h x 3-D ηαιαληωηήο, Morse

( ) 0f x ( )h x cCoulomb

EckartRosen-Morse

,

ΥΠΕΡΔΥΝΑΜΙΚΟ


ΠΗΝΑΚΑ ΓΤΝΑΜΗΚΧΝ ΑΝΑΛΛΟΗΧΣΟΤ ΥΖΜΑΣΟ ( )2 1

27

Γηα ηελ θαηαζθεπή ηνπ Π.1, μεθηλάκε κε ην ππεξδπλακηθό:

1

1

( )( ; ) [( ) ( ) ( )]

ni

i i i i

i i i

h xW x k c g x f x

k c

1 1 2( , ,...)k k 2 1 2( , ,....)k a k , ,ic a ζηαζεξέο, ,

( ), ( )i ig x h x ( )if xΜέζω ηεο ζρέζεο ηνπ Gendenstein ,

n=1 1

( )( ; ) ( ) ( ) ( )

h xW x k c g x f x

k c

Morse, Rosen-Morse, Coulomb, θαη Eckart

n=2 1 1 1 1 2 2 2 1( ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )W x a k c g x k c g x f x0ih 2( ) 0f x,

0 0( ; , ) tan( ) cot( ),W x A B A ax x B ax x ( ; , ) tanh coth ,W r A B A ar B ar, 0A B 0A B

28

2 1a qa 0 1q

ΛΤΔΗ ΜΔ ΠΑΡΑΜΔΣΡΟΤ ΠΟΤ ΥΔΣΗΕΟΝΣΑΗ ΜΔ ΚΛΗΜΑΚΑ.

,

Σν 1993 αλαθαιύθζεθαλ δπλακηθά αλαιινίωηνπ ζρήκαηνο, γηα ηα

νπνία νη παξάκεηξνη θαη ζρεηίδνληαη κέζω «θιίκαθαο».

Σα πεξηζζόηεξα απ’απηά:

Έτοσλ κεδεληθό ζσληειεζηή αλάθιαζες

Δηαζέηοσλ άπεηρο αρηζκό δέζκηωλ θαηαζηάζεωλ.

Είλαη γλωζηά (κέτρη ηώρα) κόλο κε ηε κορθή ζεηρώλ.

1a2a

2 1a qa 0 1q,

1 1

0

( ; ) ( ) j

j

j

W x a g x aΤπεξδπλακηθό: 2 1a qa 0 1q, ,

Δηζάγνπκε ην ζηε ζρέζε:1( ; )W x a 2 1 1 2 1( ; ) ( ; ) ( )V x a V x a R a

Θέηνπκε: , εμηζώλνπκε ηηο δπλάκεηο ηνπ θαη έρνπκε:1 1

0

( ) j

j

j

R a R a1a

0 02 ( )g x R

1 1 0 1 1 1( ) 2 ( ) ( )g x d g x g x rd1

0

1

( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )n

n n n n n n j n j

j

g x d g x g x r d d g x g x

1

1

n

n n

qd

q 1

nn n

Rr

q,

1,2,3,...n

29

Δπηιέγνληαο:

0( ) 0g x 0 0R

1

1

( ) [ ( ) ( )]n

n n n j n j

j

g x d dx r g x g x

Αλ 1 1 1( )g x rd x

2,3,...n

nr

( )ng x1( ; )W x a

1 0r 0nr 2n, ,

2 1( ) n

n ng x x1

1(2 1)

nn

n j n j

j

d

n1 1 1rd ,

2 1

1 1

1

( ; ) j j

j

j

W x a x a

2 1a qa

2( ; )W x a 1( ; )qW qx a

Self-Similarity (Aπηννκνηόηεηα)

( ) ( )i i

iW x p W p x πλζήθε απηννκνηόηεηαο

Shabat , Spiridonov


Ζ αλαιινηώηεηα ζρήκαηνο είλαη κηα πνιύ πην γεληθή έλλνηα από ηελ

απηό-νκνηόηεηα. Γηα παξάδεηγκα αλ επηιέμνπκε πεξηζζόηεξα από έλα

nr λα είλαη κε-κεδεληθά ηόηε παίξλνπκε δπλακηθά πνπ ελώ είλαη «αλαι-

ινίωηνπ-ζρήκαηνο» δελ είλαη πιένλ «απηό-όκνηα».

0nr1 2, 0r r , SIPs πνπ όκωο δελ είλαη απηνόκνηα.

2 2(1)

1 1 2 2

(1 )(1 ) (1 )(1 )( )

(1 ) (1 )

n n

n

q q q qE a

q q

0,1,2,...n

0 1q

1 1 1 1d ra2

2 2 2 1d r a

Γηα απζαίξεην αξηζκό κε κεδεληθώλ jr

(1)

1

(1 )(1 )( )

(1 )

j nj

n j jj

q qE a

q

0,1,2,...n1

j

j j jd r a

0 1q

31

ΑΛΛΔ ΠΔΡΗΠΣΧΔΗ ΓΤΝΑΜΗΚΧΝ ΑΝΑΛΛΟΗΧΣΟΤ ΥΖΜΑΣΟ

i) 2 1

pa qa 2,3,...p,

ii) 12

11

qaa

pa0 1q 1 1pa, ,

iii)1 1( )pf a a 2,3,...p (κσκλικά SIPs)

1 1

0

( ; ) ( ) j

j

j

W x a g x a

ΥΠΔΡΓΥΝΑΜΙΚΟ

Γηα 2p 2

2 1a qa

1(1) 2 21 21 1 12

1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )k k

n n n

n k

k k k

R RE a R a qa qa

q q

,

1,2,3,...n,

1 1paΓηα ii)2 1 1(1 )a qa pa

1 21(1) 1

1 21 121 1

1 1

( )

1 1[1 ( )] [1 ( )]

1 1

jjn n

n j jj j

q aqE R R

q qpa pa

q q

(1)

0 0E

(1)

0 0E,

i)


ΒΗΒΛΗΟΓΡΑΦΗΑ

1. Εηζαγωγή ζηελ Κβαληοκεταληθή, Κπξηάθνπ Σακβάθε, β΄ έθδνζε εθδόζεηο Leader Books, Αζήλα 2003

2. Quantum Mechanics, Eugen Merzbacher, Third edition, John Wiley &Sons

3. Κβαληοκεταληθή II , ηέθαλνπ Σξαραλά , Παλεπηζηεκηαθέο Δθδόζεηο Κξήηεο , 2008

4. Supersymmetry in Quantum Mechanics, F. Cooper, A. Khare, U. Sukhatme, World Scientific, 2004.

5. Supersymmetry in Quantum and Classical Mechanics, Bijan Kumar Bagchi, Chapman & Hall/Crc, 2001.

6. Supersymmetry in Particle Physics, Ian Aitchison, Cambridge University Press 2007.

7. Handbook of Mathematical Functions, with Formulas, Graphs and Mathematical Tables,

M. Abramowitz and I. Stegun, tenth edition, Dover Publications, Inc, New York 1972.

8. Special functions for Scientists and Engineers, W. W. Bell, Dover Publications, Inc, New York 2004.

9. Μαζεκαηηθό ησποιόγηο, Murray Spiegel, κεηάθξαζε ωηήξεο Πεξζίδεο, ΔΠΗ, Αζήλα, 1976

10. Tables of Integrals, Series and Products, Gradsthteyn I. S., Ryzhik I. M., Academic

Press, New York and London 1965.

Susy 1

Documents

Transcript of Susy 1