1

MATEMATIKA

Linearna algebraSustavi linearnih jednadžbi

SUSTAV LINEARNIHALGEBARSKIH JEDNADŽBI

• Neka je zadan sustav od m linearnih algebarskihjednadžbi sa n nepoznanica:

• Brojeve aij R (i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n) nazivamokoeficijentima uz nepoznanicu, a brojeve bi R(i = 1,2,…,m) slobodnim koeficijentima.

2

• Linearni sustav (*) ima rješenje ako postoji uređena n-torkabrojeva (x1, x2, …, xn) takva da za te brojeve sve jednadžbe u(*) prelaze u identitete.

• Mogu nastupiti tri slučaja:– Sustav ima jedno jedino rješenje;– Sustav ima beskonačno mnogo rješenja. U tom slučaju

kažemo da sustav ima parametarsko rješenje jer ono zavisiod jednog ili više parametara (realnih brojeva);

– Sustav može ne imati rješenje.

• U prva dva slučaja kažemo da je sustav rješiv ilikonzistentan, a u trećem da je nerješiv ili nekonzistentan.

1. Sustav (*) može se na jednostavniji način prikazati pomoćumatrica. Ako uvedemo matrice :

sustav (*) se može napisati u obliku matrične jednadžbeA · X = B.

Naime, iz definicije množenja matrica i jednakosti matricaslijedi da je ova matrična jednadžba ekvivalentna sasustavom.

• Matrične jednadžbe su jednadžbe u kojima se kao nepoznanicanalazi matrica X.

• Primjer 1. Riješimo matričnu jednadžbu A · X = B ako je

(množimo slijeva s A-1, jer množenje nijekomutativno)

3

Trebamo odrediti matricu A-1, ako postoji.

matrica A je regularna

Sada možemo izračunati nepoznatu matricu X:

• Primjer. Riješimo sustav linearnih jednadžbi:

matričnim putem.

Sustav možemo napisati u matričnom obliku A · X = B, gdjeje

4

Rješavajući matričnu jednadžbu A · X = B, dobivamo: X = A-1 · B

Budući je

to je

Iz definicije jednakosti matrica slijedi: x1 = 3, x2 = -2, x3 = 2.

Rješenje linearnog sustava ovisi o tome da li je matrica sustava Aregularna ili singularna i je li matrica B slobodnih koeficijenatanulmatrica ili nenulmatrica. Dakle, imamo 4 slučaja:

i. Ako je A regularna matrica, a B nenulmatrica takav sustavse naziva regularni nehomogeni linearni sustav. Takavsustav ima točno jedno rješenje (x1, x2, …, xn).

ii. Ako je A regularna matrica, a B nulmatrica tada je riječ oregularnom homogenom linearnom sustavu. Taj sustav imasamo trivijalno rješenje, tj. nužno je x1 = 0, x2 = 0, …, xn = 0.

iii. Ako je A singularna matrica, a B nenulmatrica takavsustav se naziva singularni nehomogeni linearni sustav.Ovakav sustav može i ne mora biti rješiv. Ako je sustavrješiv tada on ima ili jedno ili beskonačno mnogo rješenja.

iv. Ako je A singularna matrica, a B nulmatrica takav sustavse naziva singularni homogeni linearni sustav. Sustav jerješiv te ima beskonačno mnogo rješenja.

5

2. Ako je zadan sustav od n jednadžbi s n nepoznanica:

i pri tom je determinanta sustava različita od nule

tada se takav sustav zove Cramerov sustav. RješenjeCramerovog sustava je uređena n-torka (x1, x2, …, xn) zadana sa

gdje je Di determinanta n-tog reda koja nastaje iz determinanteD tako da joj se i–ti stupac zamijeni stupcem slobodnihkoeficijenata.

• Primjer. Riješimo sustav:

Budući je

i broj jednadžbi je jednak broju nepoznanica (m = n = 3) radi se oCramerovom sustavu.

6

Zadani Cramerov sustav rješavamo po formuli:

gdje je

pa je