This article was downloaded by: [University of Cambridge]On: 08 October 2014, At: 09:58Publisher: Taylor & FrancisInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954 Registeredoffice: Mortimer House, 37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH, UK

Optica Acta: International Journal ofOpticsPublication details, including instructions for authors andsubscription information:http://www.tandfonline.com/loi/tmop19

Sur les Méthodes de Détermination desConstantes Optiques dans L'ultraviolet,Faisant Appel à des Mesures de PouvoirRéflecteur en Lumière PolariséeEdmond Uzan aa Laboratoire des Hautes Pressions, C.N.R.S., 1 Place AristideBriand, 92 Bellevue, FrancePublished online: 11 Nov 2010.

To cite this article: Edmond Uzan (1968) Sur les Méthodes de Détermination des Constantes Optiquesdans L'ultraviolet, Faisant Appel à des Mesures de Pouvoir Réflecteur en Lumière Polarisée, OpticaActa: International Journal of Optics, 15:3, 237-256, DOI: 10.1080/713818084

To link to this article: http://dx.doi.org/10.1080/713818084

PLEASE SCROLL DOWN FOR ARTICLE

Taylor & Francis makes every effort to ensure the accuracy of all the information (the“Content”) contained in the publications on our platform. However, Taylor & Francis,our agents, and our licensors make no representations or warranties whatsoever as tothe accuracy, completeness, or suitability for any purpose of the Content. Any opinionsand views expressed in this publication are the opinions and views of the authors,and are not the views of or endorsed by Taylor & Francis. The accuracy of the Contentshould not be relied upon and should be independently verified with primary sourcesof information. Taylor and Francis shall not be liable for any losses, actions, claims,proceedings, demands, costs, expenses, damages, and other liabilities whatsoever orhowsoever caused arising directly or indirectly in connection with, in relation to or arisingout of the use of the Content.

This article may be used for research, teaching, and private study purposes. Anysubstantial or systematic reproduction, redistribution, reselling, loan, sub-licensing,systematic supply, or distribution in any form to anyone is expressly forbidden. Terms &Conditions of access and use can be found at http://www.tandfonline.com/page/terms-and-conditions

OPTICA ACTA, 1968, VOL. 15, NO. 3, 237-256

Sur les m6thodes de determination des constantes optiquesdans ultraviolet, faisant appel a des mesures de pouvoirr6flecteur en lumiere polarise

EDMOND UZAN

Laboratoire des Hautes Pressions, C.N.R.S., 1 Place Aristide Briand,

92 Bellevue, France

(Manuscrit recu le 4 juillet 1967)

Resume. Dans une premiere partie on montre l'importance du choix dumat6riau utilis6 cornmme rflecteur pour dterminer le degr6 de polarisation Vd'une lumiere telle que celle issue d'un spectrometre rseau. On valueensuite la precision obtenue sur les pouvoirs rflecteurs Rs et Rp, lorsqu'onutilise cette lumiere partiellement polaris6e.

On utilise ces rsultats, dans une deuxieme partie, pour dterminer lesconstantes optiques d'un mat6riau isotrope et celles d'un cristal uniaxe, enindiquant differentes m6thodes possibles et la precision des mesures correspon-dantes.

II n'est pas possible de dterminer l'anisotropie optique d'un cristal uniaxesi V est trop faible, comrnme c'est le cas en UVE.

1. IntroductionDans l'ultraviolet extreme, la seule possibility pour mesurer les constantes

optiques d'un mat6riau, si l'on excepte le cas particulier de certains m6taux encouches tres minces pr6sentant des regions de transparence [1], est de faireappel a des mesures de pouvoir r6flecteur.

En lumiere non polaris6e, on utilisera par exemple la methode de Tousey [2],a deux angles d'incidence, qui s'appuie sur les formules de Fresnel g6n6raliseesou, en incidence normale, la m6thode dcrite par Robinson [3] s'appuyant surles relations de Kramers-Kronig. Mais si l'on envisage d'6tudier des mat6riauxanisotropes, il est indispensable d'employer une lumiere polarisee dont on con-naisse les caract6ristiques. Cet emploi conduit de nombreuses m6thodesdont les neuf cities par Humphrey-Owen [4] et celle sugg6r6e par Potter [5].

Par ailleurs, comme on consid6re plus particulierement le domaine spectralde l'ultraviolet extreme, on se trouve conduit h envisager l'emploi d'une lumierepartiellement polarisee lin6airement. En effet, en l'absence de polariseurpar transmission, c'est la seule possibility offerte dans ce domaine spectral.Cette polarisation rsulte d6jh du ph6nomene de diffiaction par les rseaux auxincidences 6lev6es. [6-8]. Une rflexion sur un miroir a la sortie du spectro-metre peut permettre-au prix d'une perte d'intensit6 notable-d'augmenter ledegr6 de polarisation, mais les propri6tes optiques des materiaux, dans cetteregion spectrale, semblent exclure l'obtention d'une polarisation totale.

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f C

ambr

idge

] at

09:

58 0

8 O

ctob

er 2

014

E. Uzan

N6anmoins pour ne pas restreindre le domaine d'application des m6thodesevoquees, nous inclurons ce dernier cas, qui semble pouvoir tre ralis6 dans laregion de Schumann.

Nous analyserons donc tout d'abord les proprietes de la lumiere partiellementpolarisee issue d'un spectromtre rseau, puis les m6thodes que l'on en d6duitpour la determination des constantes optiques des milieux isotropes par desmesures de pouvoir rflecteur, et nous tudierons enfin le cas des cristaux ani-sotropes uniaxes.

Une breve description des possibilities de mesure dans le cas des cristauxtailles paralldlement l'axe, a t6 donn6e par Engelsrath et Loewenstein [9].Nous rsumerons ces diverses possibilities auxquelles seront ajoutees cellescorrespondant h des cristaux tailles perpendiculairement h l'axe, et une discussiondes erreurs sera donnee.

2. Utilisation de la lumiire partiellement polarisee lineairement issue d'un mono-chromateur rseau, pour la determination des pouvoirs rfiecteurs Rs et Rp.

2.1. Gneralites

Une lumiere partiellement polaris6e lin6airement peut tre caract6ris6epar son degr6 de polarisation V d6fini par:

V (IV)i- (IH)i (1)

(IV) i+ O) iNous avons suppose, pour fixer les ides, que la composante favorise du

champ lectrique est parallle aux traits du rseau (verticaux par dfinition),et nous avons dsigne par (Iv)iet (IH)i les composantes verticale et horizontalede l'intensite totale I i.

Rappelons par ailleurs [10-12] la methode qui permet de determiner V partir des mesures du pouvoir rflecteur d'un mat6riau isotrope l'angle d'inci-dence de 45 °, effectu~es l'aide de ce faisceau incident dont on recherche ledegree de polarisation.

Si nous dsignons par IvetIH les intensites rflechies par le mat6riau pourles positions verticale et horizontale du plan d'incidence,

Rv= I V et RH= IHRIX 'Het R n --=i

representent les pouvoirs rflecteurs apparents du materiau pour ces positionsrespectives du plan d'incidence, et nous avons:

v-= RR v[ 3v 8R) -1 (4=450) (2)RH + Rv -/( + )

ou: R= l(RH +Rv) repr6sente le pouvoir r6flecteur apparent du materiau enlumiere naturelle.

Notons que le rapport:

RH - Rv

RH + Rv

est 6gal au produit de V par le pouvoir polariseur P du materiau defini par P = D/Ravec

D=½(R-Rp) et R=(R5+R,,).

238

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f C

ambr

idge

] at

09:

58 0

8 O

ctob

er 2

014

Determination des constantes optiques 239

Rs etR p dsignent, selon la terminologie usuelle, les pouvoirs rflecteurs dumateriau pour les composantes respectivement perpendiculaire et parallle auplan d'incidence.

On peut passer de RI et RV a Rs et Rp par des transformations lin6aires:

rRs]_ /1+1/V 1-1/V RH 1(3)LRP J 1-1/V 1+1/V) LRv J

II en decoule notamment que:

R s + Rp = R, + RV = 2R,

Rs-RP = (RH -Rv) = 2D.

N. B.-Pour V= 1 RVetRH se rduisent respectivement a Rp et Rs.Pour V= 0: RH = Rv = R.

Remarquons que l'incidence de 45 ° se traduit [13] par la relation:

RP = R 2. (4)

La figure 1 repr6sente les variations de RV et RH en fonction de V, pourdeux valeurs arbitraires de Rs et Rp et montre l'inter8t qu'il y a utiliser unelumiere presentant un degree de polarisation eleve.

R,

Rp

. . .. I . _

.. . _ ..~~~~~~~~~~~~~~~~~

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Figure 1.

2.2. Discussion de la precision de la determination de V par cette mthodeLa dtermination de V par des mesures de pouvoir rflecteur d'un materiau,

depend videmment de la precision des mesures d'intensit6 : stability de lasource, du rcepteur,... mais elle depend aussi du choix du mat6riau, pris commer6flecteur, qui ne doit pas etre susceptible de presenter une couche superficielle(oxyde p. ex.) qui rendrait non valable [12] la relation (4).

� R

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f C

ambr

idge

] at

09:

58 0

8 O

ctob

er 2

014

E. Uzan

Soit netk les constantes optiques de ce materiau i la longueur d'onde con-sid6re. Le calcul d'erreur effectu6 i partir de la relation (2) exprime sousla forme V= A. p avec

RH - Rv 4 -1A R + R v et P=3 _ V(1 + 8R)

aboutit l'expression:

AV= R+ (p + 1) R Air( R2 3P_ ) 2 IH

RH (P+)RV AIV AR(P+ 1) 3 AI(5)+ - p-- 2 Iv 3p-1 Ii ()

en prenant les grandeurs experimentales, I, IetII, comme variables inde-pendantes, et en tenant compte (pour les signes) de l'inegalite

RH (P+ 1)aP2 > A 3p- 1

Cette relation permet d'6tudier l'influence de la nature du materiau sur la precisionde la mesure de V et galement de voir comment varie AV en fonction de V.Pour cela, nous devons faire un certain nombre d'hypotheses sur AIv, AIH et AIi.

Considerons le cas d'un monochromateur en incidence tangentielle couvrantle domaine spectral 100-100A, o les pouvoirs rflecteurs 45° sont faibles.Les valeurs de RV et RH sont par exemple respectivement de l'ordre de 5 et20 pour cent. Avec un photomultiplicateur de gain 106, la rponse corres-pondant au faisceau incident est de l'ordre de 10- 7 10-9A. Les intensitesdes faisceaux rflechis tant plus faibles, leur mesure est entache d'une erreurrelative plus importante.

Si l'on prend en consideration le 'bruit de grenaille' de la photocathode,qui est proportionnel i '/I, et si l'on admet que a valeur de l'intensit6 I mesureest affectee d'une erreur correspondant ce bruit, on aura: AI= kVI ce qui setraduit par:

x = I (RH) /(RV) A v (6)fi H IV

I1 ne s'agit lI que d'une base de calcul qui traduit l'impr&cision plus grande dansla mesure des faibles intensites, mais qui ne tient pas compte des autres causesd'erreur que l'on peut invoquer (linearite de la rponse du detecteur, instabilityde la source, talonnage des appareils de mesure,.... ).

Avec cette hypothese de calcul, nous &crirons:

AV=aV.x,

avec

8V=p V(2RHRv) [V/(RH) + V/(RV)]2R2

+A (p+l) 3 [V(RH)-V(Rv)+2R]. (7)2 (3p - 1)

240

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f C

ambr

idge

] at

09:

58 0

8 O

ctob

er 2

014

Determination des constantes optiques

cette derniere expression tant dduite de la combinaison de (1) et (2). Lafigure 2 represente quelques courbes 8 V = constante dans le plan (V, Rs45 ).

0,8

o,s

0/

Figure 2. Courbes V=Cte.

Les courbes isor6flectrices Rs45o, traces dans le plan (n, k), donnent le pouvoirreflecteur R 45o du mat6riau considered et les courbes V=Cte dans le plan(V, Rs45o) permettent d'evaluer la precision que l'on peut escompter obtenir surV avec ce materiau. On choisira evidemment un mat6riau susceptible de donnerle plus faible V.

D'une maniere gnerale, on voit d'apres la figure 2 qu'un materiau tel queRs(45° ) 0,25 conduit a une determination satisfaisante du degr6 de polarisationV. Cela se traduit par exemple pour x= 1 pour cent par AVe0,04. La pre-cision relative augmente avec V.

Remarque

Si, au lieu des conditions rsumees par la formule (6) on suppose que l'onmesure RH et Rv avec la meme precision absolue 8R, on peut ecrire:

2dV= 2 SR(1 -Rs)Rs

et il est facile de voir que dans ce cas la precision la meilleure est atteinte pourRs = o,50.

241

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f C

ambr

idge

] at

09:

58 0

8 O

ctob

er 2

014

E. Uzan

2.3. Precision obtenue sur Rs et Rp dtermines partir de mesures de pouvoirreflecteur d'un materiau, quand la lumiere incidente est partiellement polarisdelinairement

D'apres (3) nous avons:

ARs=1 (1+ -) RH H (+ -1 ) RV V

T~p~i(-V-1)R. I + 2 -Rv (8)+1~ ~ AI 1 R + 1) R /V

2[( -) 1i+ 2V2 AV. (8)ARP=~ ( 1RH + I ± +i )RV

V 2

I½(~ )t+l I)Rv Al i RH-RvAV

En supposant toujours AIV, AIR et AIi relies par la relation (6) et en posant:

ARS = (S 8Rs + v 8V) x, 1ARp = RP + av) x,

nous avons:

,S = 1 V+ -(RH) (1 + VRH)+ ( -I) VRv(1 + RV),

RP= ( -1) V(R.)(1i +/RH) + (1 v) /Rv(1 + VRV).

Nous supposerons que V a te prealablement dtermine par rflexion a 45°

sur un materiau convenable. I est donc facile d'obtenir le terme (D/V)SV.Pour illustrer cette etude nous prendrons l'exemple d'un materiau isotrope

qui aurait, la longueur d'onde consideree, pour constantes optiques n= 1,8 etk=0,3. Cet exemple correspond h peu pres [11] au cas du CaF2 a 1050,k.

Nous avons porter sur la figure 3:En abscisses, les valeurs du degree de polarisation.En ordonnees, une 6chelle lineaire qui permet de lire les valeurs des differents

termes: Rs, Rp et (D/I V)8SV, ainsi que RH et RV pour les valeurs 4=35° et= 75° de l'angle d'incidence (valeurs choisies a titre d'exemple).

Les expressions (9) des erreurs ARs et ARp montrent qu'elles se composentde la somme de deux termes dont l'un (D/V). 8 V. x fait intervenir l'incertitudesur V. Nous prendrons pour 8 V la valeur problable 4,4. Les autres termes deARs et ARp sont respectivement SRs . x et 8Rp.x et l'on constate d'apres lafigure 3 que d'une maniere gen6rale: 5R > 3R,

et R s ( 1) > $Rs(02)pour 01 > 02

p() > aRp(02),

Nous avons trace sur les figures 4 (a), 4 (b), 4 (c) et 4 (d) les courbes (1/x)ARs/Rs =cte et (1 /x)AR/Rp = cte dans le plan (n, k) pour I = 35 ° et, 0 = 75 °, en supposantV= 0,4. Quand n--0 et k #0, nous avons: AR/R qui diminue (R-1). Signalonsles particularit6s des points A et B:

242

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f C

ambr

idge

] at

09:

58 0

8 O

ctob

er 2

014

Determination des constantes optiques

-2

V '\\

II Rs 750

35° '

R, 75 =

RV75 -- _

R335 °

RV 35'a . ... .. . . . . . J

0 0,2 0,4 0,6 0,8 V 1

Figure 3.

A (1, O) correspond au cas oii le second milieu devient identique au premier.II n'y a plus de rflexion. C'est donc un point singulier aussi bien pour Rs quepour Rp.

B (tg, ) correspond au cas de l'incidence Brewsterienne. Ce n'est doncun point singulier que pour les courbes Rp.

Lorsque l'erreur relative sur R p croit, nous obtenons des courbes qui entourenth la fois A et B.

Ces particularites s'observent mieux sur les figures 4a et 4b qui correspondentau cas d'un angle d'incidence faible n = tg 0,7.

Remarque

Lorsque nous tudierons le cas d'un cristal uniaxe, nous nous limiteronsh des positions particulieres simples de l'axe optique par rapport au plan de lasurface et au plan d'incidence. La m6thode de mesure suppose encore la deter-mination de Rs et Rp partir de la mesure de RH et Rv, et les relations (3) restantvalables, la seule difference est que Rs et Rp peuvent tre des fonctions des 4constantes optiques du materiau. I1 est vident que les formules donnant leserreurs sur Rs et Rp, restent les memes que dans le cas d'un materiau isotrope.

2.4. Conclusion

Les courbes analogues celles de la figure 4 indiquent, pour un V determine,l'6volution de la precision relative sur Rs et Rp dans le plan (n, k). Par ailleurs,

243

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f C

ambr

idge

] at

09:

58 0

8 O

ctob

er 2

014

E. Uzan

l'utilisation des courbes telles que celles de la figure 3 permet de voir, pour un Vdifferent, quelle peut tre 'allure des courbes de la figure 4.

2,3

13

0,

qs

Q3 Q8 - 13 2,f n

Figure 4 (a)

courbes: ARS =cteX Rs V=0,4

k

6

o03 c

Figure 4 (c)

courbes: 1 ARS =cteVx Rs V=0,4

6 6,5 R n

Q3 Q8 ' lo ng

Figure 4 (b)

courbes: [ARp _ Ctex Lp v =0 ,4

0,3 0,8

n

Figure 4 (d)

1 [ARpi ~=tecourbes: _ Rp Ctx ILTp J V=0,4

1,6

03

2,3

0,3

244

~3 t

A , A

I

A

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f C

ambr

idge

] at

09:

58 0

8 O

ctob

er 2

014

Determination des constantes optiques

3. Determination des constantes optiques d'un milieu absorbant optiquement inactif3.1. Introduction

La relation (RH -Rv)= V. (Rs-Rp) 6tablie au premier chapitre, montreque, pour un mat6riau donn6, la difference, entre les pouvoirs r6flecteurs mesur6s,est d'autant plus faible que V diminue. La precision avec laquelle nous d6ter-minerons Rs et Rp, et ensuite n et k, d6croit donc aussi avec V.

Compte tenu de nos conditions exp6rimentales, nous avons envisage de nouscontenter d'une lumiere partiellement polaris6e et nous avons montr6 sur unexemple, au premier chapitre, l'impr6cision qui en rsulte.

Apres un rappel sur les mat6riaux isotropes, nous 6tudierons le cas des cristauxuniaxes et nous indiquerons les m6thodes possibles pour determiner les cons-tantes optiques partir de mesures de pouvoir rflecteur, le milieu incident6tant le vide.

3.2. Materiaux isotropesLes constantes optiques, dfinies partir de l'indice complexe N=n-jk,

peuvent etre obtenues au moyen de mesures de pouvoir r6flecteur pour une [3,14]ou plusieurs valeurs de l'angle d'incidence [2, 4, 5, 15-18].

II suffit de rsoudre, graphiquement ou par le calcul, les relations g6n6ralis6esde Fresnel.

a2+ b2 + cos2 - 2a cosRS = 2 2 2= s(o, n, k),a2+ b2 + cos2 + 2acos

R a2+b2+cos20-2acoso a+b 2 +sin2 tg2o-2asinotg (10)

P a 2 +b2+cos 2 0+2acos' a2 +b 2 +sin 2 tg2 4+2asin tg 4 1

=p(4, n, k), Jou:

2a2 = [(n2 - k2- sin2 )2 + 4n2k2]112 + (n2 - - sin2 ),

2b2= [(n2 -k 2-sin2 )2 + 4n2k2]'12 - (n2 -k 2 -sin 2 )' (11)

4 d6signant l'angle d'incidence.Dans un article recent, Hunter [15] discute les erreurs sur n et k d6termin6s

h partir d'une m6thode reposant sur la recherche dans le plan (n, k) de l'intersectiondes courbes isor6flectrices correspondant deux valeurs de l'angle d'incidence.II ressort notamment que pour un couple (n, k) donn6, la precision est plusgrande lorsqu'on utilise RP plut6t que Rs. Dans cette 6tude, Rs et Rp 6taientaffects d'un meme pourcentage d'erreur ce qui ne correspond pas, commenous l'avons montr6 au premier chapitre, au cas o l'on utilise une lumierepartiellement polaris6e lin6airement.

En effet, l'erreur relative commise sur Rs et Rp n'est pas du meme ordrepour ces deux mesures (cf. figure 4). Nous avons vu que d'une maniere g6n6rale:

R - > o~-

(ARp/\ /AR

On pourrait faire une 6tude analogue celle de Hunter en tenant compte desrelations (5) et (8), mais l'tablissement d'un rseau complet de courbes corres-pond un travail important et n6cessairement incomplet, et il nous suffit deraisonner sur un exemple particulier pour en d6duire des conclusions int6ressantes.

245

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f C

ambr

idge

] at

09:

58 0

8 O

ctob

er 2

014

246 E. Uzan

A titre d'illustration nous ne consid6rons donc que 'exemple particuliersuivant qui correspond peu pres [11] au cas du CaF 2 340 A:

materiau: n=0,8, k=0,8,degree de polarisation V= 0,4,precision des mesures: x = (AI/I) 1 pour cent.

Nous envisagerons trois methodes pour determiner n et k:Methode A. Intersection des isoreflectrices Rs(4,i) et Rs(o2).M6thode B. Intersection des isoreflectrices Rs(c) et Rp(q6).Methode C. Intersection des isoreflectrices Rp(c3) et Rp(0 2).

METHODE A

v=O4

1,2

0,8

0,4

K -- A _

Rs+ARs 75 ° '

/ N .A1

350

n0,4 0U.b 1,2 1,6 2

Figure 5 (a).

M1 L thndrla

i

O,E

0,

0

Figure 5 (b).

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f C

ambr

idge

] at

09:

58 0

8 O

ctob

er 2

014

Determination des constantes optiques

METHODE CV=0,4

Rp-ARp 75 °

6Rp 35°

Rp-ARp 35 °

n0,4 0,8 1,2 1,6 2

Figure 5 (c).

n0,7 0,8 0,9

Figure 5 (d).

Pour comparer les r6sultats que l'on pourrait obtenir par ces diff6rentes m6thodes,nous allons utiliser les relations (6) qui nous permettront de connaitre les limitesd'erreur commises sur les pouvoirs r6flecteurs et par suite sur n et k.

1,2

0,8

0,4

09

,8

o,7

vU

247

I

V-1

nD1q6

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f C

ambr

idge

] at

09:

58 0

8 O

ctob

er 2

014

E. Uzan

Sur la figure 5 (a) nous avons trac6 les isor6flectrices Rs + ARs pour = 35 et b=75° . Dans ce cas, la methode A entraine une grande imprecision surn et k. Nous avons represents en noir 'aire d'incertitude qui serait obtenuedans le cas d'une lumiere totalement polarisee lineairement (V_ 1).

Nous avons porter sur la figure 5 (b) les isoreflectrices 'limites' correspondanta = 75 ° ainsi que les points represents par le signe + resultant de la rsolution

par le calcul et non par le trace complet des courbes pour 0=60° , qui rvelentque l'aire diminue mais s'etire. Precisons que pour cette methode, doitetre choisi de telle sorte que P et R soient eleves. Dans certains cas on peut etreamend choisir pour obtenir un pouvoir rflecteur acceptable un angle d'in-cidence 16gerement superieur celui donnant le maximum de pouvoir polariseur[19].

Enfin sur la figure 5 (c), nous avons trac6 les isoreflectrices Rp ±+ ARp pour= 35° et 0 = 75 ° . La methode C conduit, dans ce cas, des rsultats qualita-

tivement satisfaisants. L'ensemble de ces conclusions reste qualitativementen accord avec celles qui correspondent aux conditions envisages par Hunter.

L'influence du degr6 de polarisation de la lumiere sur la precision des mesuresde pouvoir rflecteur, donc sur la determination des constantes optiques, estconsiderable.

Nous avons represented sur la figure 5 (d) les 'aires d'incertitudes' obtenuesen utilisant la methode C pour V egal 0,2-0, 4-0, 6-0, 8 et 1, compte tenu del'imprecision AV commise lors de la determination de V. L'aire en noir corres-pond au cas d'une lumiere totalement polarisee (V- 1, soit AV= 0).

En conclusion, il apparalt par l'exemple que nous avons considered, que ladetermination des constantes optiques d'un materiau isotrope est plus preciseen utilisant Rp plut6t que Rs meme lorsque la lumiere n'est que partiellementpolarise, et que la precision est d'autant meilleure que le degr6 de polarisationV est eleve, rsultat previsible a priori.

3.3. Cristal uniaxe

Etant donn6 la complexity des expressions des pouvoirs rflecteurs dans

le cas d'un mat6riau anisotrope quelconque, nous nous limiterons l'6tuded'un cristal uniaxe. II est d6fini par ses indices complexes principaux:No = no-jko et Ne = n-jke et ce sont les quatre constantes optiques no, ko, noet ke que nous voulons determiner au moyen de mesures de pouvoir reflecteur.Quel que soit le materiau considered, nous n'avons qu'un seul rayon reflechi [20].

Nous examinerons seulement les cas de figures qui aboutissent des ex-pressions relativement simples du pouvoir reflecteur.

A. Cristal taillk paralklement a l'axe optique

La figure 6, oii E represente la direction du champ electrique et z, celle del'axe optique, rsume les quatre cas envisager:

(a) L'axe optique est perpendiculaire au plan d'incidence, Cas (a1 ) et (a2).(b) L'axe optique est paralkle au plan d'incidence. Cas (b,) et (b2 ).

Le plan d'incidence (P), est le plan de la figure. Nous avons mentionn6 lesconstantes optiques dont depend le pouvoir reflecteur correspondant aux diff6rentscas de figure.

248

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f C

ambr

idge

] at

09:

58 0

8 O

ctob

er 2

014

Determination des constantes optiques

EE E E

Z cristal Z cristal

CAS(a,) CAS(a 2 )Rs=S(', ne,Ke) Rp=p(y',p no, Ko )

E E E E

Z cristal Z cristal

CAS(b 1 ) CAS(b2)Rs=s( no, Ko ) Rp = h(Pfo, Kol n K )

Figure 6.

(a) Ddtermination des constantes optiques ordinairesMethode Ao En utilisant le cas (bl) par s1(41, n, ko)ns2(0 2 , n, ko) La

fonction s represente le pouvoir r6flecteur Rs donned par la relation (10).En prenant deux valeurs de 4 nous arrivons a determiner n oet ko en r6solvant

le systeme de deux equations a deux inconnues:

Rsl =s (1, no, ko),

Rs2 = s (02, no, ko).

Mithode Bo En utilisant h la fois le cas (a2) et le cas (bl) par:

s(4, no, kjnp(, no, ko).

La fonctionp (, n, k) repr6sente le pouvoir reflecteur Rp donned par la relation (10).En prenant une seule valeur de 4 nous determinons n et k en rsolvant le

systeme de deux quations deux inconnues:

Rs = s(4, no, ko),

Rp =p(4, no, ko).

Ce systeme peut etre rsolu par le calcul [14].Methode Co En utilisant le cas (a2) par:

P(,nk)nP 2( 2, no, ko)np, no, ko).En prenant deux valeurs de 4, nous arrivons a determiner n oet ko en r6solvant

le systeme de deux equations deux inconnues:

Rp1 =P(1, no, ko),

RP2 =P(02, no, ko).

249

O. A. S

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f C

ambr

idge

] at

09:

58 0

8 O

ctob

er 2

014

(f) Ddtermination des constantes optiques extraordinaires

Cette determination peut se faire sans qu'il soit ncessaire de connaitreno et ko par:Methode Ae En utilisant le cas (a1) par:

S(1, ne, k)ns2(02 ne, ke).

On peut egalement determiner n. et ke par les methodes suivantes, qui supposentla connaissance prealable de no et ko.

Methode Be En utilisant h la fois le cas (a,) et le cas (b2) par:

s(, ne, ke)n h(4, ne, k,)no, ko.

L'expression h(o, no, ko, ne, ke) represente le pouvoir rflecteur du materiaupour une composante paralle au plan d'incidence, mais elle ne correspondpas h p(~, n, k).

C'est une fonction qui fait intervenir la fois les quatre constantes optiques;le mode de calcul ainsi que certaines proprites seront donn~es dans un articleulterieur.

ao2 + bo2 + (2 + 2 )cos20 - 2(aa° + Pbo)cosh(4, no, k, n% e = R,:ao2 + bo2 + (2 + fl2 )cos 2 + 2(aa + bo)coso

avec= nn e - koke,

/ = nke + eko,et

2a 02 = [(no0

2 - ko2- sin2 )2 + 4n02 ko 2]112 + (no2 - 2 - sin2),

2bo2 = [(no - k 02

- sin2%) 2 + 4no2k2 1 2- (no2 - ko2- sin2 ).

En prenant deux valeurs de 4, nous pouvons determiner ne et ke en rsolvantle systeme de deux equations deux inconnues:

Rs= s(f, ne, ke),

R = h(o, ne, ke), o-.

Methode Ce En utilisant le cas (b2) par:

h1( 1, ne, ke).o,konh 2(0 2, n, ke)no,k.

En prenant deux valeurs de , nous pouvons determiner ne et ke en rsolvantle systeme de deux equations a deux inconnues:

Rpl = h(4l, ne, ke)%O, ,

RP2 = h(02, ne, ke).O,k.

Cette rsolution peut se ramener h l'intersection de deux cercles dans le plan(oe, 9).

3.4. Discussion illustrie par un exempleSelon le degr6 de polarisation du faisceau incident, nous evaluons la precision

avec laquelle s'effectue la mesure des pouvoirs rflecteurs en utilisant des courbesanalogues celles traces sur la figure 4.

250 E. Uzan

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f C

ambr

idge

] at

09:

58 0

8 O

ctob

er 2

014

Determination des constantes optiques

La comparaison des diff6rentes m6thodes 6voqu6es ci-dessus permet dechoisir celles qui conduisent la dtermination la plus precise des constantesoptiques. Or, en mesurant Rj et R v on determine a la fois Rs et Rp qui inter-viennent dans les diff6rentes m6thodes; notons qu'il convient de les consid6rersimultan6ment tout en tenant compte de leur precision respective. En d'autrestermes, les aires d'incertitudes correspondant aux diff6rentes m6thodes se re-coupent gn6ralement- elles se chevauchent-ce qui nous invite tracer toutesles isor6flectrices.

Examinons pour fixer les id6es, le cas particulier fictif d'un cristal uniaxetel que:

no = 0,8; ko = 0,8; ne = 1; ke = 0,6,

degr6 de polarisation: V=0,4,

precision des mesures: x = (AI/I) 1 pour cent.

Tableau 1.

Nous avons rassembl6 dans le tableau 1, les pouvoirs rflecteurs et les erreursabsolues correspondantes:

(1°) d'un mat6riau isotrope de constantes optiques:

n(=-no) = 0,8,

k(=- ko) = 0,8;

S2

Materiau Isotropen=0,8 k=0,8

Rs(n, k) 5 = 0,266+0,024 R,(n, k)35 = 0,119+ 0,023Rs(n, k)75 = 0,697 + 0,050 R,(n, k)75o = 0,390 + 0,048

Materiau Isotropen = 1 k = 0,6

R8(n, k)3 5 = 0,140+ 0,016 R,(n, k) 35 o = 0,046+0,015Rs(n, k)750= 0,571 ± 0,044 Rp(n, k)75 o = 0,276 + 0,042

Cristal Uniaxe (11 axe)no=0,8 k=0,8 ne-1l ke=0,6

cas bl cas b2Rs(no, ko)350= 0,266 ± 0,028 RI,(ne, ke)a350= 0,045 + 0,025

R,,(ne, ke, 35°)no, ko

Rs(no, ko)75o = 0,697 0,052 R,,(ne, ke)75o = 0,340 + 0,049R,(ne, ke, 35°) no, ko

cas a1 cas a2Rs(n, ke)35 o=0, 140+0,011 R,(no, ko)35 0 =0,119+ 0,007Rs(ne, ke) 75 o =0,571 ± 0,040 R,,(nO, ko)75 =0,390 + 0,039

251

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f C

ambr

idge

] at

09:

58 0

8 O

ctob

er 2

014

E. Uzan

(2°) d'un materiau isotrope de constantes optiques:

n(=_e)= 1,k(- ke) = 0,6;

(3°) d'un cristal uniaxe de constantes optiques:

no = 0,8; ko = 0,8; n = 1; k= 0,6

dans les diff6rents cas de figures envisages precedemment.

Tableau 2.

Methodes Rs nlR RR, R R Rp, n R,precision par ordre 3 2 1

decroissant

Materiau Isotrope

Determination de n et k Methode A Methode B Methode Cs flS 2 s l n p Pin P2

Cristal Uniaxe (11, axe)

Determination de no etko Methode Ao Methode Bo Methode Cosl nS2 s1 l n P P1 n P2

Cas de figure b a2 et b a2

Particularites As depend de h(no, k n, ke) Ap dpend de s(ne, ke)

Determination de ne et ke Methode Ae Methode Be Methode Cesl nS 2 sl nh h h 2

Cas de figure a, b2 et al b2

Particularites s: independant de no et ko i no, ko: parametres dans hAs dpend de p(no, k) Ah dpend de s(nO, ko)

Nous avons porter sur le tableau 2 les caracteristiques des differentes m6thodesevoqu~es. En tenant compte de la dtermination des domaines d'erreur parintersection des courbes isoreflectrices, on peut en tirer les conclusions suivantes:

La dtermination de n et ko doit s'effectuer de preference par la methode C o(cas (a2)) plut6t que par la methode A (cas (bl)) pour les raisons dja vuesant6rieurement, savoir que les rseaux de courbes R se coupent sous unangle plus favorable que les rseaux de courbes R s. Notons en outre quedans le cas particulier envisag , le cas (a2) conduit une dtermination de n etko plus precise que celle des constantes optiques d'un materiau isotrope tel quen = no et k = k o .

La determination de ne et k par la methode Ce (cas (b2 ))-figure 7-est plusprecise que par la m6thode Ae (cas (a,)); cette derniere conduit dans ce cas desresultats comparables ceux obtenus avec un mat6riau isotrope tel que n=n,et k = keO-figure 8.

252

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f C

ambr

idge

] at

09:

58 0

8 O

ctob

er 2

014

Determination des constantes optiques

Le domaine d'erreur sur ne et ke, en supposant parfaitement connues lesvaleurs de n et ko, est representee en trait plein. Lorsqu'on tient compte del'imprecision sur ces dernieres grandeurs, il en rsulte pour les courbes h(q)une dispersion supplementaire (Ah),, k0 et le domaine d'erreur sur ne et keprend la forme indiqu6e en pointille-figure 7-qui se rduit F'aire en noirlorsque V- 1.

METHODE CeV=0,4 et Vl

0,5

A

ke

b3535

35

0,5n.

cas (b2 )1,5

Figure 7.

0,5

n

k _n fh I

0,5

n

1 1,5 2

Figure 8.

B. Cristal taill perpendiculairement l 'axe optique

Deux cas de figure, simples, sont h envisager:Cas (C1). Le champ electrique E est perpendiculaire au plan d'incidence. Lepouvoir reflecteur est donn6 par la relation:R s = s(, n, ko). On arrive commedans le cas (bl), determiner no et ko par la m6thode Ao mais les resultats sontg6neralement peu satisfaisants.

253

I

v

1

.

IRst35I

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f C

ambr

idge

] at

09:

58 0

8 O

ctob

er 2

014

E. Uzan

Cas (C2 ). Le champ 6lectrique E est parallele au plan d'incidence. Le pouvoirreflecteur est donn6 par la relation:

R, = (, n, k , ne, ke).

La connaissance de la fonction I et d'un couple (n, k) permet de determinerla valeur de l'autre couple (n, k). La fonction I est du meme type que la fonctionh. Son expression se deduit de celle de h en permutant les constantes optiquesordinaires et les constantes optiques extraordinaires. La discussion est analogueh celle du cas Ce, cependant il est bon de preciser qu'avec un cristal ainsi taill,la determination de n et ko ne peut se faire que par la methode Ao qui estimprecise.

C. L'axe optique fait un angle 0 avec la normale a la surface du cristal et est situedans le plan d'incidence

Ce cas ne conduit pas une dtermination facile des constantes optiques.En partant des formules g6nerales etablies par Berek [21] on trouve par exemplepour le cas: zjl(P), comme rapport des amplitudes rflechie et incidente:

NoNe cos - V/(Ne 2 cos2 0 + No s2 sin2 0 - sin2 4)Pi NoNe cos 0 + /(Ne 2 cos 2 0 + N0

2 sin 2 0 - sin20)'

Meme en prenant 0 45 (cas de la calcite) cette expression reste assez com-plexe.

4. ConclusionDifferentes methodes ont ete envisages, qui peuvent conduire thaoriquement

a la determination des constantes optiques partir de mesures de pouvoir r-flecteur. La discussion laisse apparaitre que certaines methodes ( partir deRs) ne peuvent donner qu'une precision tres mediocre.

Par ailleurs, on notera (cf. figures 5 (a-d) et 7) l'importance considerabledu degree de polarisation sur la precision de la determination des constantesoptiques. On voit notamment que les differentes 'aires d'incertitudes' cor-respondant des mesures de Rv et RH faites l'aide d'une lumiere dont le degreede polarisation n'est que de 0,4 (cas pris comme exemple moyen de la lumieredonnee pour un rseau en incidence tangentielle dans l'ultraviolet extreme) sonttres tendues. Par contre un calcul analogue fait en considerant une lumieretotalement polarisee (V 1) aboutit un domaine d'erreur considerablementplus rduit comme cela peut apparaitre, toujours sur les figures 5 (a, d) et 7.(Aires en noir.)

On en conclut qu'il est illusoire de chercher dterminer les constantesoptiques d'un materiau uniaxe avec une lumiere insuffisamment polaris6e,comme c'est le cas dans l'ultraviolet'extreme. Rappelons que dans ce domaine,l'augmentation du degr6 de polarisation par une r6flexion sur un materiau conduith utiliser des angles d'incidence relativement peu lev6s, correspondant unpouvoir rflecteur en g6n6ral faible (quelques pour cent).

Par contre, dans la rgion de Schumann [22] on peut obtenir, avec certainsmateriaux transparents ou peu absorbants, un degree de polarisation voisin de avec un pouvoir rflecteur Rs de l'ordre de 20 30 pour cent permettant d'en-visager la determination des constantes optiques de materiaux uniaxes, dans cedomaine spectral.

254

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f C

ambr

idge

] at

09:

58 0

8 O

ctob

er 2

014

Determination des constantes optiques

La discussion met en vidence l'int6ret:(a) des determinations des constantes optiques faites partir de Rp et (b)

particulierement celle de ne et ke a partir de la fonction h dont nous avons donnedl'expression, et qui par sa complexity a amen6 Engelsrath et Loewenstein [8] 6liminer le cas (b2).

I1 ne semble pas que cette fonction ait ete explicitee jusqu'h present, et nousen donnerons le mode de calcul ainsi que certaines propri6tes dans un article paraitre prochainement.

REMERCIEMENTS

Nous tenons remercier tout particulierement Mr. V. Chandrasekharan etH. Damany pour les nombreuses discussions et les precieux conseils qu'ils ontbien voulu nous accorder.

APPENDICE

Programme de calcul pour tracer des courbes isoreflectrices dans le plan (n, k)tNous proposons une methode simple, pour tracer des courbes isoreflectrices

dans le plan (n, k) qui nous a donn6 entire satisfaction. Les calculs sont effectuespar une calculatrice Pallas, puis une table tracante nous donne les courbes. Cettem6thode est valable pour toute fonction, f, g, h ou ou tout autre du meme type,que nous noterons F.

PrincipePour tracer les courbes isoreflectrices correspondant aux valeurs F mesur6es

(pour l'angle d'incidence choisi) on explore un domaine que l'on se fixe duplan (n, k) en le balayant, suivant un pas donned, par des points rgulierementespaces sur une horizontale puis sur une verticale, et on relive les couples (n, k)tels que:

IFmesure - Fcalcule < E.

¢ tant un nombre aussi petit que l'on veut, fix6 a l'avance (ex: E = 0,0005.)N. B.-Pour cela on prend: pas+ 1= -pas,/(2) quand (Fmesure -Faicule) change

de signe. Par une exploration rapide nous localisons la rgion o setrouvent les points d'intersection des differentes courbes F (), puisnous explorons en detail la rgion en question (on resserre les pas et ondiminue E).

PrecisionL'une ou l'autre des explorations par balayage horizontal ou vertical nous

donne des points ainsi rapproches que l'on veut en tout endroit des courbes.Rappelons que la precision sur R (n, k), est donnee par: A[R(n, k] < E

a n = cte (dn = 0) on a Ak < (/(aR/k))et

a k = cte (dk = 0) on a An < (/(aR/On)).

t Nous sommes heureux de remercier Monsieur de Felice (Laboratoire de la BasseAtmrnosphere, CNRS, Bellevue) pour l'aide apportee la rdaction des programmes decalcul.

255

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f C

ambr

idge

] at

09:

58 0

8 O

ctob

er 2

014

Dtermination des constantes optiques

The first part of the paper discusses the importance of the reflecting material employedon the accuracy of determining V, the degree of polarisation of light emerging from agrating monochromator. The precision in the measurement of the reflectances Rs and Rpis also evaluated when such partially polarised light is used.

In the second part we enumerate several different methods of determining the opticalconstants of (1) isotropic and (2) anisotropic uniaxial crystals and compare their precisionof the corresponding measurements taking into account the results of the first part.

It is not feasible to determine the anisotropy of the optical constants of uniaxial crystalsif V is too small as is the case in the extreme ultraviolet.

Im ersten Teil der Ver6ffentlichung wird die Wahl des Reflektormaterials diskutiert,welches benutzt wird, u den Polarisationsgrad (V) des von einem Gitterspektralapparatausgehenden Lichtes zu bestimmen. Anschliessend wird die erreichte Genauigkeit fiurdie Reflexionsverm6gen Rs und Rp ermittelt.

Im zweiten Teil werden diese Ergebnisse benutzt, u die optischen Konstanteneines isotropen Materials und eines einachsigen Kristalles zu bestimmen. Es werdendaffir mehrere Methoden und deren Genauigkeit angegeben.

Als Ergebnis wird gefunden, dass es unm6glich ist, die optische Anisotropie eineseinachsigen Kristalles zu bestimmen, wenn, wie das im ussersten Ultraviolett derFall ist, der Polarisationsgrad (V) zu klein ist.

BIBLIOGRAPHIE

[1] HUNTER, W. R., 1966, Optical Properties and Electronic Structure of Metals andAlloys (Amsterdam: North-Holland Publishing Company), p. 136. HUNTER, W. R.,et RUSTGI, O. P., 1965, J. opt. Soc. Am., 55, 630. RUSTGI, O. P., WALKER, W. C., etWEISSLER, G. L., 1961, J. opt. Soc. Am., 51, 1357.

[2] TOUSEY, R., 1939, J. opt. Soc. Am., 29, 235.[3] ROBINSON, T. S., 1952, Proc. phys. Soc. B, 65, 910. ROBINSON, T. S. et PRICE, W. C.,

1953, Proc. phys. Soc. B, 65, 963.[4] HUMPHREY-OWEN, S. P. F., 1961, Proc. phys. Soc., 77, 949.[5] POTTER, R. F., 1964, J. opt. Soc. Am., 54, 904.[6] ROHBAUGH, J. H., PINE, C., ZOELLNER, W. G., et HATCHER, R. D., 1958, J. opt. Soc.

Am., 48, 710.[7] STROKE, G. W., 1960, Revue Opt. thdor. instrum., 39, 291.[8] YAKOVLEV, E. A., et GERASIMOV, E. M., 1961, Optics Spectrosc., N.Y., 10, 50.[9] ENGELSRATH, A., et LOWENSTEIN, E. V., 1966, Appl. Optics, 5, 565.

[10] UzAN, E., 1965, Dipl6me d'Etudes Superieures, Faculte des Sciences de Paris; UzAN,E., DAMANY, H., et ROMAND, J., 1965, C. r. hebd. Sdanc. Acad. Sci., Paris, 260, 5735.

[11] STEPHAN, G., 1966, These de 3eme Cycle, Facult6 des Sciences de Rennes.[12] RABINOVITCH, K., CANFIELD, L. R., et MADDEN, R. P., 1965, Appl. Optics, 4, 1005.[13] ABELES, F., 1950, C. r. hebd. Seanc. Acad. Sci., Paris, 230, 1942.[14] STEPHAN, G., 1965, C. r. hebd. Sedanc. Aacd. Sci., Paris, 260, 6819.[15] HUNTER, R. W., 1965,J. opt. Soc. Am., 55, 1197.[16] LINDQUIST, R. E., et EWALD, A. W., 1963, J. opt. Soc. Am., 53, 247.[17] PRISHIVALKO, A. P. 1960, Optics Spectrosc., N.Y., 9, 256.[18] AVERY, D. C., 1952, Proc. phys. Soc. B, 65, 425.[19] DAMANY, H., 1965, Opt. Acta, 12, 95.[20] BORN, M., and WOLF, E., 1965, Principles of Optics (Pergamon Press).[21] BEREK, M., 1931, Z. Kristallogr., 76, 396; Ibid., 77, 1; 1934, Ibid., 89,125, 144; 1936,

Ibid., 93,116; 1937, Ibid., 96, 357; 1931, Neuesyb. Miner. Geol. Paldont. Ref. A, 64,132.

[22] STEPHAN, G., LEMONNIER, J. C., LE CALVEZ, Y., et ROBIN, MME S., 1966, C. r. hebd.Sdanc. Acad. Sci., Paris, 262, 1272.

256

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f C

ambr

idge

] at

09:

58 0

8 O

ctob

er 2

014