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SUITES NUMÉRIQUES
CHAPITRE 3
M. Delfour
Département de mathématiques et de statistiqueUniversité de Montréal
17 janvier 2012
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 1 / 90
PLAN
1 INTRODUCTION : LES PARADOXES
2 SUITE, CONVERGENCE, LIMITE ET POINT D’ ACCUMULATION
3 SUITE CONVERGENTE ET BORNITUDE
4 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES
5 SOUS-SUITES ET SUITES MONOTONES
6 SUITES DE CAUCHY
7 L IMITE SUPÉRIEURE ET LIMITE INFÉRIEURE
8 D’ AUTRES EXEMPLES
9 UN DERNIER THÉORÈME
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SUITES NUMÉRIQUESINTRODUCTION - PARADOXES
surface = 1/2 surface = 1/2 surface= 1
FIGURE: La grille
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SUITES NUMÉRIQUESINTRODUCTION - PARADOXES
surface = 1/2 surface = 1/2 surface= 1
FIGURE: La grille
périmètre = 4 périmètre = 4 périmètre = 2 +√
2
FIGURE: L’escalierM. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 4 / 90
PLAN
1 INTRODUCTION : LES PARADOXES
2 SUITE, CONVERGENCE, LIMITE ET POINT D’ ACCUMULATION
3 SUITE CONVERGENTE ET BORNITUDE
4 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES
5 SOUS-SUITES ET SUITES MONOTONES
6 SUITES DE CAUCHY
7 L IMITE SUPÉRIEURE ET LIMITE INFÉRIEURE
8 D’ AUTRES EXEMPLES
9 UN DERNIER THÉORÈME
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SUITES NUMÉRIQUESL IMITE D ’ UNE SUITE
DÉFINITION
Une suite de nombres réels est une fonction
x : N → R .
On a donc une liste ordonnée d’éléments de R
x(1), x(2), x(3), . . . , x(n), . . .
que l’on écrira simplementx1, x2, x3, . . . , xn, . . .
et que l’on désignera par {xn}.
DÉFINITION
(i) Étant donné une suite {xn} et un point x ∈ R, on dit que {xn} converge vers x si
∀ε > 0, ∃N ∈ N| {z }
tel que ∀n > N, |xn − x | < ε.| {z }
(ii) Une suite {xn} est dite convergente s’il existe un point x ∈ R tel que {xn}converge vers x . Sinon, la suite est dite divergente.
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SUITES NUMÉRIQUESL IMITE D ’ UNE SUITE
DÉFINITION
(i) Étant donné une suite {xn} et un point x ∈ R, on dit que {xn} converge vers x si
∀ε > 0, ∃N ∈ N| {z }
tel que ∀n > N, |xn − x | < ε.| {z }
(ii) Une suite {xn} est dite convergente s’il existe un point x ∈ R tel que {xn}converge vers x . Sinon, la suite est dite divergente.
Une suite {xn} converge si
∃x ∈ R, ∀ε > 0, ∃N ∈ N| {z }
, ∀n > N, |xn − x | < ε.| {z }
Une suite {xn} diverge si
∀x ∈ R, ∃ε > 0, ∀N ∈ N| {z }
, ∃n > N tel que |xn − x | ≥ ε.| {z }
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SUITES NUMÉRIQUESL IMITE D ’ UNE SUITE : UNICITÉ DE LA LIMITE
THÉORÈME
Si {xn} est une suite convergente, alors il existe un seul point x ∈ R tel que {xn}converge vers x.
On appelera x la limite de la suite {xn} et l’on écrira
limn→∞
xndéf= x .
DÉMONSTRATION.
Supposons qu’il existe deux points x et y , alors pour tout ε > 0,
∃N1 ∈ N tel que ∀n > N1, |xn − x | < ε
∃N2 ∈ N tel que ∀n > N2, |xn − y | < ε
On prend N = max{N1, N2}. Alors pour tous n > N
|y − x | ≤ |y − xn| + |xn − x | < 2ε ⇒ ∀ε > 0, |y − x | < 2ε
En faisant tendre ε vers 0, il vient y = x .
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SUITES NUMÉRIQUESL IMITE D ’ UNE SUITE : EXEMPLES DE SUITES
EXEMPLE
Soit la suite {xn} = {(−1)n/n}. On devine que x = 0 est un bon candidat pour la limite.On veut estimer la quantité
|xn − x | =
˛
˛
˛
˛
(−1)n
n− 0
˛
˛
˛
˛
=1n
.
Par la propriété de corps archimédien, pour tout ε > 0, il existe N(ε) ∈ N tel queN(ε) ε > 1. On a donc bien pour tout n > N(ε)
|xn − x | =
˛
˛
˛
˛
(−1)n
n− 0
˛
˛
˛
˛
=1n
<1
N(ε)< ε.
⇒ ∀ε > 0, ∃N(ε) tel que ∀n > N(ε), |xn − x | < ε.
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SUITES NUMÉRIQUESL IMITE D ’ UNE SUITE : EXEMPLES DE SUITES
EXEMPLE
Soit la suite {xn} = {(3n + 17)/n}. On devine que x = 3 est un bon candidat pour lalimite. On veut estimer la quantité
|xn − x | =
˛
˛
˛
˛
3n + 17n
− 3
˛
˛
˛
˛
=17n
.
Par la propriété de corps archimédien, pour tout ε > 0, il existe N(ε) ∈ N tel queN(ε) ε > 17. On a donc bien pour tout n > N(ε)
|xn − x | =
˛
˛
˛
˛
3n + 17n
− 3
˛
˛
˛
˛
=17n
<17
N(ε)< ε.
⇒ ∀ε > 0, ∃N(ε) tel que ∀n > N(ε), |xn − x | < ε.
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SUITES NUMÉRIQUESL IMITE D ’ UNE SUITE : EXEMPLE DE SUITE DIVERGENTE
Une suite {xn} converge si
∃x ∈ R, ∀ε > 0, ∃N ∈ N| {z }
, ∀n > N, |xn − x | < ε.| {z }
EXEMPLE
Soit la suite {xn} = {(−1)n}. Si elle convergeait, il existerait un point x ∈ R tel que (enprenant ε = 1)
∃N tel que ∀n > N, |(−1)n − x | < 1.
Pour n pair on a (−1)n = 1 et
|1 − x | < 1 ⇒ −1 < 1 − x < 1 ⇒ 0 < x < 2;
pour n impair on a on a (−1)n = −1 et
| − 1 − x | < 1 ⇒ −1 < 1 + x < 1 ⇒ −2 < x < 0.
Cette contradiction démontre que la suite n’est pas convergente.
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SUITES NUMÉRIQUESPOINT D’ ACCUMULATION ET SUITE
La notion de suite peut aussi servir à caractériser un point d’accumulation d’unepartie E de R.
THÉORÈME
x0 ∈ E ′ ⇐⇒ ∃{xn}, xn ∈ E , xn 6= x0| {z }
, tel que limn→∞
xn = x0.
DÉMONSTRATION.
(⇒) Si x0 ∈ E ′,
∀δ > 0, V ′(x0, δ) ∩ E 6= ∅.
Donc, en prenant δn = 1/n, pour tout n ∈ N il existe xn ∈ E , xn 6= x0, tel que|xn − x0| < 1/n. On a donc construit la suite {xn}. Pour montrer qu’elle converge, onprend ε > 0. Par la propriété de corps archimédien, il existe N ∈ N tel que N ε > 1,d’où
∀n > N, |xn − x0| <1n
<1N
< ε.
La suite est donc convergente vers x0. . . .suite . . .
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SUITES NUMÉRIQUESPOINT D’ ACCUMULATION ET SUITE
THÉORÈME
x0 ∈ E ′ ⇐⇒ ∃{xn}, xn ∈ E , xn 6= x0| {z }
, tel que limn→∞
xn = x0.
DÉMONSTRATION.
(⇐) On veut montrer que
∀δ > 0, V ′(x0, δ) ∩ E 6= ∅.
Comme la suite est convergente, pour chaque δ > 0, il existe N ∈ N tel que pour toutn > N, |xn − x0| < δ. Comme xn 6= x0, V ′(x0, δ) ∩ E 6= ∅ et x0 est donc bien un pointd’accumulation de E .
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PLAN
1 INTRODUCTION : LES PARADOXES
2 SUITE, CONVERGENCE, LIMITE ET POINT D’ ACCUMULATION
3 SUITE CONVERGENTE ET BORNITUDE
4 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES
5 SOUS-SUITES ET SUITES MONOTONES
6 SUITES DE CAUCHY
7 L IMITE SUPÉRIEURE ET LIMITE INFÉRIEURE
8 D’ AUTRES EXEMPLES
9 UN DERNIER THÉORÈME
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SUITES NUMÉRIQUESSUITES BORNÉES
DÉFINITION
(i) Une suite {xn} est bornée supérieurement si il existe M ∈ R tel que
∀n ∈ N, xn ≤ M.
(ii) Une suite {xn} est bornée inférieurement si il existe m ∈ R tel que
∀n ∈ N, m ≤ xn.
(iii) Une suite {xn} est bornée si elle est bornée inférieurement et bornéesupérieurement.
EXEMPLE
Les suites {1/n}, {sin n}, {(3n + 17)/n} sont bornées, mais les suites {n} et {n2} nesont pas bornées supérieurement.
THÉORÈME
{xn} convergente =⇒ {xn} bornée.
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SUITES NUMÉRIQUESSUITE CONVERGENTE ET BORNITUDE
THÉORÈME
{xn} convergente =⇒ {xn} bornée.
DÉMONSTRATION.
Si {xn} est convergente, il existe x ∈ R tel que pour ε = 1, il existe N ∈ N tel que
∀n > N, |xn − x | < 1 ⇒ |xn| < 1 + |x |⇒ ∀n ∈ N, |xn| ≤ max{|x1|, . . . , |xN |, 1 + |x |}
et donc {xn} est bornée.
REMARQUE
La réciproque n’est pas vraie car la suite {(−1)n} est bornée et divergente.
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PLAN
1 INTRODUCTION : LES PARADOXES
2 SUITE, CONVERGENCE, LIMITE ET POINT D’ ACCUMULATION
3 SUITE CONVERGENTE ET BORNITUDE
4 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES
5 SOUS-SUITES ET SUITES MONOTONES
6 SUITES DE CAUCHY
7 L IMITE SUPÉRIEURE ET LIMITE INFÉRIEURE
8 D’ AUTRES EXEMPLES
9 UN DERNIER THÉORÈME
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 17 / 90
SUITES NUMÉRIQUESOPÉRATIONS SUR LES LIMITES
CONVENTION
On adopte la convention suivante : la notation
x = limn→∞
xn
signifiera que la suite {xn} est convergente et qu’elle a pour limite x .
THÉORÈME
Soient deux suitesx = lim
n→∞xn y = lim
n→∞yn
Alors les opérations suivantes préservent la convergence :(i) lim
n→∞(xn ± yn) = x ± y
(ii) ∀k ∈ R, limn→∞
(k xn) = k x
(iii) limn→∞
(xn yn) = x y
(iv) Si y 6= 0, limn→∞
(xn/yn) = x/y
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SUITES NUMÉRIQUESOPÉRATIONS SUR LES LIMITES
EXEMPLE
3n + 2n − 1
=3 + 2
n
1 − 1n
⇒ limn→∞
3 + 2n
1 − 1n
=31
= 3
DÉMONSTRATION.
(i) On part de l’estimé
|xn ± yn − (x ± y)| = |xn − x ± (yn − y)| ≤ |xn − x | + |yn − y |
Pour ε > 0, on choisit
N1 ∈ N tel que ∀n > N1, |xn − x | <ε
2
N2 ∈ N tel que ∀n > N2, |yn − y | <ε
2
On prend N = max{N1, N2} et
∀n > N, |xn ± yn − (x ± y)| ≤ |xn − x | + |yn − y | <ε
2+
ε
2= ε.
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SUITES NUMÉRIQUESOPÉRATIONS SUR LES LIMITES
THÉORÈME
Soient deux suitesx = lim
n→∞xn y = lim
n→∞yn
Alors les opérations suivantes préservent la convergence :
(ii) ∀k ∈ R, limn→∞
(k xn) = k x
DÉMONSTRATION.
(ii) On part de l’estimé
|kxn − kx | = |k(xn − x)| = |k | |xn − x | ≤ (|k | + 1) |xn − x |
Pour ε > 0, on choisit
N ∈ N tel que ∀n > N, |xn − x | <ε
|k | + 1
⇒ ∀n > N, |kxn − kx | ≤ (|k | + 1) |xn − x | < (|k | + 1)ε
|k | + 1= ε.
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SUITES NUMÉRIQUESOPÉRATIONS SUR LES LIMITES
THÉORÈME
Soient deux suites x = limn→∞ xn et y = limn→∞ yn
(iii) limn→∞(xn yn) = x y
DÉMONSTRATION.
(iii) On part de l’estimé
|xn yn − x y | = |xn yn − xn y + xn y − x y | ≤ |xn| |yn − y | + |xn − x | |y |
Mais on a montré qu’une suite convergente est bornée. Si M > 0 est telle que |xn| ≤ Mpour tout n ∈ N, alors
|xn yn − x y | ≤ M |yn − y | + |xn − x | |y | ≤ (M + |y |) (|yn − y | + |xn − x |)
Pour ε > 0, on choisit
N1 ∈ N tel que ∀n > N1, |xn − x | <ε
2(M + |y |)N2 ∈ N tel que ∀n > N2, |yn − y | <
ε
2(M + |y |)On prend N = max{N1, N2} et ∀n > N, |xn yn − x y | < ε.
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SUITES NUMÉRIQUESOPÉRATIONS SUR LES LIMITES
THÉORÈME
Soient deux suites x = limn→∞ xn et y = limn→∞ yn.
(iv) Si y 6= 0, limn→∞(xn/yn) = x/y
DÉMONSTRATION.
(iv) On part de l’estimé˛
˛
˛
˛
xn
yn− x
y
˛
˛
˛
˛
=|xn y − x yn|
|y | |yn|=
|xn y − x y + x y − x yn||y | |yn|
≤ |xn y − x y ||y | |yn|
+|x y − x yn|
|y | |yn|
≤ |y | |xn − x ||y | |yn|
+ |x | |y − yn||y | |yn|
≤ 1|yn|
„
|xn − x | + |x ||y | |yn − y |
«
≤ 1|yn|
„
1 +|x ||y |
«
(|xn − x | + |yn − y |)
Il nous manque donc une borne sur le premier terme pour conclure.M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 22 / 90
SUITES NUMÉRIQUESOPÉRATIONS SUR LES LIMITES
LEMME
Soit une suite y = limn→∞ yn telle que y 6= 0.Il existe β > 0 et N ∈ N tels que
∀n > N, |yn| ≥ β.
DÉMONSTRATION.
Pour ε = |y |/2 > 0, il existe N ∈ N tel que
∀n > N, |yn − y | <|y |2
⇒ |yn| ≥ |y | − |yn − y | ≥ |y | − |y |2
=|y |2
On prend β = |y |/2.
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SUITES NUMÉRIQUESOPÉRATIONS SUR LES LIMITES
THÉORÈME
Soient deux suites x = limn→∞ xn et y = limn→∞ yn.
(iv) Si y 6= 0, limn→∞(xn/yn) = x/y
DÉMONSTRATION.
(iv) En utilisant le lemme : il existe un N0 ∈ N tel que pour tout n > N0
˛
˛
˛
˛
xn
yn− x
y
˛
˛
˛
˛
≤ 1|yn|
„
1 +|x ||y |
«
(|xn − x | + |yn − y |)
≤ 1β
„
1 +|x ||y |
«
(|xn − x | + |yn − y |) .
On termine maintenant la démonstration comme dans les autres cas.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 24 / 90
SUITES NUMÉRIQUESLES SUITES QUI TENDENT VERS±∞
On peut ajouter aux suites convergentes deux autres types de suites qui par abus delangage et de notation “convergent" soit vers +∞ ou −∞.
DÉFINITION
1 Une suite {xn} tend vers +∞ si
∀M > 0, ∃N ∈ N| {z }
tel que ∀n > N, xn > M| {z }
.
On écriralim
n→∞xn = +∞.
2 Une suite {xn} tend vers −∞ si
∀M > 0, ∃N ∈ N tel que ∀n > N, xn < −M.
On écriralim
n→∞xn = −∞.
EXEMPLE
Pour a ∈ R, a > 0, limn→∞ na = +∞. Pour M > 0, il existe N ∈ N tel que N > M1/a etpour tout n > N, na > Na > M.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 25 / 90
SUITES NUMÉRIQUESLES SUITES QUI TENDENT VERS±∞
EXEMPLE
Soit a ∈ R. On veut montrer ce qui suit
limn→∞
an =
8
>
>
>
<
>
>
>
:
+ ∞ si 1 < a
1 si a = 1
0 si − 1 < a < 1
∄ si a ≤ −1.
(i) 1 < a. On pose h = a − 1 > 0 et on utilise l’inégalité de lli
an = (1 + h)n ≥ 1 + nh.
Pour tout M > 0, on cherche N ∈ N tel que 1 + Nh > M : par la propriétéarchimédienne, il existe N ∈ N tel que Nh > M − 1. Donc pour tout n > N,
an ≥ 1 + nh > 1 + N h > M
⇒ limn→∞
an = +∞.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 26 / 90
SUITES NUMÉRIQUESLES SUITES QUI TENDENT VERS±∞
EXEMPLE
Soit a ∈ R. On veut montrer ce qui suit
limn→∞
an =
8
>
>
>
<
>
>
>
:
+ ∞ si 1 < a
1 si a = 1
0 si − 1 < a < 1
∄ si a ≤ −1.
(ii) a = 1. Alors an = 1n = 1 et la suite est constante et converge vers 1.
(iii) |a| < 1. On pose h déf= 1/|a| − 1 > 0. On estime
|an − 0| = |a|n =
„
11 + h
«n
=1
(1 + h)n ≤ 11 + nh
≤ 1nh
.
Pour ε > 0, on prend N ∈ N tel que N · [ε · h] > 1. Pour n > N,
|an − 0| ≤ 1nh
≤ 1Nh
< ε.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 27 / 90
SUITES NUMÉRIQUESLES SUITES QUI TENDENT VERS±∞
EXEMPLE
Soit a ∈ R . limn→∞
an =
8
>
>
>
<
>
>
>
:
+ ∞ si 1 < a
1 si a = 1
0 si − 1 < a < 1
∄ si a ≤ −1.
(iv) a ≤ −1. On peut déjà éliminer ±∞. En effet, pour tout n pair, an = |a|n ≥ 1, ce quiélimine −∞. Aussi, pour tout n impair, an = −|a|n ≤ −1, ce qui élimine +∞. On a vuque le cas a = −1 donnait une suite divergente.Il reste le cas a < −1 pour lequel |a| > 1 et |a|n > 1. Supposons quelimn→∞ an = A ∈ R. En particulier, pour ε = 1, il existe N ∈ N tel que pour tout n > N,|an − A| < 1. Si n est pair, an = |a|n
||a|n − A| = |an − A| < 1 ⇒ −1 < |a|n − A < 1| {z }
⇒ 1 < |a|n < 1 + A| {z }
et A > 0. Si n est impair, an = −|a|n
| − |a|n − A| = |an − A| < 1 ⇒ −1 < −|a|n − A| {z }
< 1 ⇒ 1 < |a|n < 1 − A| {z }
et A < 0. On a une contradiction. Donc, {an} ne converge pas.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 28 / 90
SUITES NUMÉRIQUESLES SUITES QUI SONT DES QUOTIENTS DE POLYNÔMES
EXEMPLE
On considère la suite {xn} suivante :
xndéf=
P(n)
Q(n)=
ar nr + ar−1nr−1 + · · · + a1n + a0
bsns + bs−1ns−1 + · · · + b1n + b0avec ar 6= 0 et bs 6= 0
On a les résultats suivants :
limn→∞
P(n)
Q(n)=
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
ar
bssi r = s
+ ∞ si r > s et ar bs > 0
−∞ si r > s et ar bs < 0
0 si r < s
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 29 / 90
SUITES NUMÉRIQUESLES SUITES QUI TENDENT VERS±∞
THÉORÈME
(i) limn→∞
xn = +∞ et
limn→∞
yn = +∞⇒ lim
n→∞xn + yn = +∞
(ii) limn→∞
xn = −∞ et
limn→∞
yn = −∞⇒ lim
n→∞xn + yn = −∞
(iii) limn→∞
xn = +∞ et
limn→∞
yn = +∞⇒ lim
n→∞xn yn = +∞
(iv) limn→∞
xn = −∞ et
limn→∞
yn = −∞⇒ lim
n→∞xn yn = +∞
(v) limn→∞
xn = −∞ et
limn→∞
yn = +∞⇒ lim
n→∞xn yn = −∞
(vi) limn→∞
|xn| = +∞ ⇐⇒ limn→∞
1xn
= 0
(vii) limn→∞
xn = x > 0 et
limn→∞
yn = +∞⇒ lim
n→∞xn yn = +∞
(viii) limn→∞
xn = x < 0 et
limn→∞
yn = +∞⇒ lim
n→∞xn yn = −∞
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 30 / 90
SUITES NUMÉRIQUESLES SUITES QUI TENDENT VERS±∞
REMARQUE
Le théorème ne renseigne pas sur les cas suivants :
(i)lim
n→∞xn = +∞
limn→∞
yn = −∞
)
⇒ limn→∞
xn + yn =?
(ii)lim
n→∞xn = 0
limn→∞
yn = ±∞
)
⇒ limn→∞
xn yn =?
(iii)lim
n→∞xn = ±∞
limn→∞
yn = ±∞
)
⇒ limn→∞
xn
yn=?
Ces cas exceptionnelssont appelés formesindéterminées.
EXEMPLE
(i) xn = n2 et yn = −n ⇒ limn→∞(xn + yn) = +∞.
(ii) xn =√
2n + 1 et yn = −√
2n⇒ lim
n→∞(xn + yn) = lim
n→∞
√2n+1−
√2n
1
√2n+1+
√2n√
2n+1+√
2n= lim
n→∞
1√2n+1+
√2n
= 0.
(iii) xn = n2 et yn = 1n ⇒ limn→∞(xn yn) = +∞ .
(iv) xn = 3n et yn = 1/(2n + 1) ⇒ limn→∞(xn yn) = limn→∞3
2+1/n = 32 .
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 31 / 90
SUITES NUMÉRIQUESQUELQUES OUTILS POUR DÉMONTRER LA CONVERGENCE
THÉORÈME(DES DEUX GENDARMES)
Soient les trois suites {xn}, {yn}, et {zn} suivantes :
1 limn→∞
xn = x
2 limn→∞
zn = x
3 ∀n ∈ N, xn ≤ yn ≤ zn.
9
>
>
=
>
>
;
⇒ limn→∞
yn = x .
DÉMONSTRATION.
Par hypothèse, pour tout ε > 0,
∃N1 ∈ N, tel que ∀n > N1, |xn − x | < ε
∃N2 ∈ N, tel que ∀n > N2, |zn − x | < ε
On pose N = max{N1, N2}. Il vient
∀n > N, x − ε <xn ≤ yn ≤ zn< x + ε
∀n > N, |yn − x | < ε
et yn converge vers x .M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 32 / 90
SUITES NUMÉRIQUESQUELQUES OUTILS POUR DÉMONTRER LA CONVERGENCE
THÉORÈME(DES DEUX GENDARMES)
Soient les trois suites {xn}, {yn}, et {zn} suivantes :
1 limn→∞
xn = x
2 limn→∞
zn = x
3 ∀n ∈ N, xn ≤ yn ≤ zn.
9
>
>
=
>
>
;
⇒ limn→∞
yn = x .
EXEMPLE
Montrer que limn→∞n√
n = 1. Puisque n1/n > 1 pour n > 1, on pose xndéf= n1/n − 1 > 0.
Par la formule du binôme de Newton,
n = (1 + xn)n = 1 + n xn +
n(n − 1)
2x2
n + · · · + xnn
≥ 1 +n(n − 1)
2x2
n ⇒ n − 1 ≥ n(n − 1)
2x2
n ⇒ 1 ≥ n2
x2n .
ce qui donne ∀n > 1, 0 < xn ≤p
2/n. Comme la limite du coté droit est 0 et que lecôté gauche est la suite constante égale à zéro, par le théorème des gendarmes, onobtient lim
n→∞xn = 0 et donc lim
n→∞1 + xn = 1.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 33 / 90
SUITES NUMÉRIQUESQUELQUES OUTILS POUR DÉMONTRER LA CONVERGENCE
THÉORÈME(DES DEUX GENDARMES)
Soient les trois suites {xn}, {yn}, et {zn} suivantes :
1 limn→∞
xn = x
2 limn→∞
zn = x
3 ∀n ∈ N, xn ≤ yn ≤ zn.
9
>
>
=
>
>
;
⇒ limn→∞
yn = x .
EXEMPLE
Montrer que la suite
xndéf=
1n2 + 2n + 1
+1
n2 + 2n + 2+ · · · + +
1n2 + 3n
converge vers x = 0. On procède par encadrement :
1n2 + 3n
≤ 1n2 + 2n + 1
+1
n2 + 2n + 2+ · · · + +
1n2 + 3n
≤ nn2 + 2n + 1
.
Comme le degré des polynômes aux numérateurs est strictement plus petit que celuiaux dénominateurs, les suites de chaque côté convergent vers 0. Par les gendarmes,lim
n→∞xn = 0.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 34 / 90
SUITES NUMÉRIQUESQUELQUES OUTILS POUR DÉMONTRER LA CONVERGENCE
THÉORÈME
Soient une suite {xn}, xn 6= 0 telle que
L déf= lim
n→∞
˛
˛
˛
˛
xn+1
xn
˛
˛
˛
˛
∈ R .
Alors
a) L < 1 =⇒ limn→∞
xn = 0.
b) L > 1 =⇒ limn→∞
|xn| = +∞.
DÉMONSTRATION.
a) 0 ≤ L < 1. Soit r , L < r < 1 et on choisit ε = r − L > 0. Il existe donc N ∈ N tel que
∀n > N,
˛
˛
˛
˛
xn+1
xn
˛
˛
˛
˛
− L ≤˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
xn+1
xn
˛
˛
˛
˛
− L
˛
˛
˛
˛
< ε = r − L
∀n > N,
˛
˛
˛
˛
xn+1
xn
˛
˛
˛
˛
≤ r ⇒ ∀n > N, |xn+1| < r |xn|
∀k ≥ 1, |xn+k | < r |xn+k−1| < r2|xn+k−2| < · · · < r k |xn|.
suite . . .
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 35 / 90
SUITES NUMÉRIQUESQUELQUES OUTILS POUR DÉMONTRER LA CONVERGENCE
THÉORÈME
Soit une suite {xn}, xn 6= 0 telle que
L déf= lim
n→∞
˛
˛
˛
˛
xn+1
xn
˛
˛
˛
˛
∈ R .
Alors
a) L < 1 =⇒ limn→∞ xn = 0.
DÉMONSTRATION.
a) 0 ≤ L < 1. Soit r , L < r < 1 et on choisit ε = r − L > 0. Il existe donc N ∈ N tel que
∀n > N,
˛
˛
˛
˛
xn+1
xn
˛
˛
˛
˛
− L ≤˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
xn+1
xn
˛
˛
˛
˛
− L
˛
˛
˛
˛
< ε = r − L
∀n > N,
˛
˛
˛
˛
xn+1
xn
˛
˛
˛
˛
≤ r ⇒ ∀n > N, |xn+1| < r |xn|
∀k ≥ 1, |xn+k | < r |xn+k−1| < r2|xn+k−2| < · · · < r k |xn|.
Comme 0 < r < 1, limk→∞ r k = 0. Et comme −r k |xn| < |xn+k | < r k |xn|, par lesgendarmes, lim
k→∞xn+k = 0 et donc lim
n→∞xn = 0.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 36 / 90
SUITES NUMÉRIQUESQUELQUES OUTILS POUR DÉMONTRER LA CONVERGENCE
THÉORÈME
Soit une suite {xn}, xn 6= 0 ∀n ∈ N telle que
L déf= lim
n→∞
˛
˛
˛
˛
xn+1
xn
˛
˛
˛
˛
∈ R .
Alors
b) L > 1 =⇒ limn→∞
|xn| = +∞.
DÉMONSTRATION.
b) L > 1. On pose yn = 1/xn. Il vient
limn→∞
˛
˛
˛
˛
yn+1
yn
˛
˛
˛
˛
= limn→∞
˛
˛
˛
˛
xn
xn+1
˛
˛
˛
˛
=1L
< 1.
D’après la partie a), yn = 1/xn → 0. Mais, d’après la partie (vi) d’un théorème antérieur,
limn→∞
|xn| = +∞ ⇐⇒ limn→∞
1xn
= 0.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 37 / 90
SUITES NUMÉRIQUESQUELQUES OUTILS POUR DÉMONTRER LA CONVERGENCE
THÉORÈME
Soit une suite {xn}, xn 6= 0.
L déf= lim
n→∞
˛
˛
˛
˛
xn+1
xn
˛
˛
˛
˛
∈ R .
a) L < 1 =⇒ limn→∞
xn = 0.
b) L > 1 =⇒ limn→∞
|xn| = +∞.
EXEMPLE
Soient a > 1 un réel et xn = an/n. On considère le quotient˛
˛
˛
˛
xn+1
xn
˛
˛
˛
˛
=xn+1
xn=
an+1/(n + 1)
an/n= a
nn + 1
⇒ limn→∞
˛
˛
˛
˛
xn+1
xn
˛
˛
˛
˛
= a > 1.
On a donc par b) limn→∞
xn = +∞.
Soient a un réel et xn = an/n!. On considère le quotient˛
˛
˛
˛
xn+1
xn
˛
˛
˛
˛
=|a|n+1/(n + 1)!
|a|n/n!= |a| 1
(n + 1)⇒ lim
n→∞
˛
˛
˛
˛
xn+1
xn
˛
˛
˛
˛
= 0 < 1.
On a donc par a) limn→∞
xn = 0.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 38 / 90
PLAN
1 INTRODUCTION : LES PARADOXES
2 SUITE, CONVERGENCE, LIMITE ET POINT D’ ACCUMULATION
3 SUITE CONVERGENTE ET BORNITUDE
4 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES
5 SOUS-SUITES ET SUITES MONOTONES
6 SUITES DE CAUCHY
7 L IMITE SUPÉRIEURE ET LIMITE INFÉRIEURE
8 D’ AUTRES EXEMPLES
9 UN DERNIER THÉORÈME
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 39 / 90
SUITES NUMÉRIQUESSOUS-SUITES ET EXEMPLES
DÉFINITION
Soient une suite {xn} et une suite d’entiers naturels {nk}
n1 < n2 < · · · < . . . .
La suite {xnk } est appelée sous-suite de la suite {xn}.
REMARQUE
Pour tout k ≥ 1, nk ≥ k et limk→∞
nk = +∞.
EXEMPLE
Les suites {1/k2}, {1/(2k)}, {1/3k} sont des sous-suites de {1/n} avec
{1/k2}, nk = k2, {1/(2k)}, nk = 2k , {1/3k}, nk = 3k .
Elles convergent toutes vers la même limite 0.La suite {1, 1/2, 1/8, 1/4, 1/16. . . .} n’est pas une sous-suite de {1/n}.La suite {(−1)n} diverge, mais les sous-suites
{(−1)2k}, nk = 2k , et {(−1)2k+1}, nk = 2k + 1, convergent.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 40 / 90
SUITES NUMÉRIQUESLES SOUS-SUITES D’ UNE SUITE CONVERGENTE
THÉORÈME
Soit {xn} une suite convergente de limite x = limn→∞
xn.
Alors toute sous-suite {xnk } de {xn}est convergente
et limk→∞
xnk = x.
DÉMONSTRATION.
Soit x = limn→∞
xn. Par définition, pour tout ε > 0, il existe N ∈ N tel que
∀n > N, |xn − x | < ε.
Pour tout k > N, on a nk ≥ k et donc nk > N, ce qui implique |xnk − x | < ε et lasous-suite {xnk } converge vers x .
On obtient un critère pour la divergence.
COROLLAIRE
Si une suite {xn} possède deux sous-suites qui convergent vers des limites différentes,la suite {xn} diverge.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 41 / 90
SUITES NUMÉRIQUESBORNITUDE ET SOUS-SUITES CONVERGENTES
THÉORÈME
{xn} suite bornée =⇒ ∃ sous-suite {xnk } convergente.
La suite {(−1)n} diverge, mais elle est bornée. Ses deux sous-suites
{(−1)2k}, nk = 2k , et {(−1)2k+1}, nk = 2k + 1, convergent.
DÉMONSTRATION.
a) Si l’image de la suite contient un nombre fini d’éléments, l’un d’eux se répéte uneinfinité de fois : en effet, soit {a1, . . . , an} l’ensemble fini des valeurs prises par la suite{xn}. On veut montrer
∃i0, 1 ≤ i0 ≤ n, tel que ∀N > 0, ∃n > N tel que xn = ai0 .
Sinon pour chaque i , il existe Ni tel que, pour tous n > Ni , xn 6= ai . On prend
N déf= max{N1, N2, . . . , Nn} et
∀n > N, ∀i , 1 ≤ i ≤ n, xn 6= ai ⇒ {xn} n’est pas une suite.
Donc la sous-suite constante de ai0 converge. suite . . .
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 42 / 90
SUITES NUMÉRIQUESBORNITUDE ET SOUS-SUITES CONVERGENTES
THÉORÈME
{xn} suite bornée =⇒ ∃ sous-suite {xnk } convergente.
DÉMONSTRATION.
b) Si l’image de la suite contient une infinité d’éléments, le fait qu’elle soit bornée nouspermet d’invoquer le théorème de Bolzano-Weierstrass qui dit que l’ensemble despoints de la suite
E déf= {xn : ∀n ∈ N}
possède un point d’accumulation x ∈ E ′. Par le théorème du Chapitre 2.
THÉORÈME(CHAPITRE 2)
Soit E ⊂ R.x ∈ R est un point d’accumulation de E⇐⇒∀δ > 0, V (x , δ) ∩ E possède une infinité de points.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 43 / 90
SUITES NUMÉRIQUESBORNITUDE ET SOUS-SUITES CONVERGENTES
THÉORÈME
{xn} suite bornée =⇒ ∃ sous-suite {xnk } convergente.
DÉMONSTRATION.
b) (suite) Donc ∀δ > 0, V (x , δ) ∩ E contient une infinité d’éléments.Pour δ = 1, il existe xn1 ∈ E tel que |xn1 − x | < 1.
◮ Comme E1déf= {xn : n > n1} est aussi borné et ne diffère de E que par un nombre fini
d’éléments, ∀δ > 0, V (x , δ) ∩ E1 contient une infinité d’éléments.Pour δ = 1/2 il existe xn2 ∈ E1, c-à-d., n2 > n1, tel que |xn2 − x | < 1/2.
◮ À l’étape k , Ekdéf= {xn : n > nk} est aussi borné et ne diffère de E que par un
nombre fini d’éléments, ∀δ > 0, V (x , δ) ∩ Ek contient une infinité d’éléments. Pourδ = 1/(k + 1) il existe xnk+1 ∈ Ek , c-à-d., nk+1 > nk , tel que |xnk+1 − x | < 1/(k + 1).◮ On a donc construit la sous-suite {xnk } de {xn} telle que pour tout k ∈ N,|xnk − x | < 1/k . Elle converge donc bien vers x : pour tout ε > 0, il existe K ∈ N tel queK ε > 1 et pour tout k > K , |xnk − x | < 1/k < 1/K < ε.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 44 / 90
SUITES NUMÉRIQUESCOMPACITÉ ET SOUS-SUITES CONVERGENTES
THÉORÈME
E ⊂ R compact ⇐⇒ ∀{xn} ⊂ E , ∃ x ∈ E et ∃{xnk } tel que limk→∞
xnk = x.
DÉMONSTRATION.
(⇒). Soit {xn} ⊂ E . Comme E est compact, il est borné par le théorème précedent, Ilexiste donc une sous-suite {xnk } convergente vers un point x ∈ R qui est un pointd’adhérence de E . Mais comme E est fermé, x ∈ E .(⇐). Par contradiction. Si E n’est pas compact, il est soit non borné ou soit non-fermé.Si E n’est pas borné, il existe une suite {xn} ⊂ E telle que pour tout n ∈ N, |xn| > n.Par hypothèse, il existe une sous-suite et x ∈ E tel que xnk → x ∈ E . Mais
|xnk − x | ≥ |xnk | − |x | ≥ nk − |x | ≥ k − |x |→ ∞ lorsque k → ∞
contredit la convergence de la sous-suite.Si E n’est pas fermé, il existe une suite {xn} ⊂ E qui converge vers un élémentx ∈ E ′\E . Comme toute sous-suite converge vers le même x /∈ E , il n’existe pas desous-suite qui converge vers un élément de E , d’où la contradiction.
L’intervalle (0, 1) n’est pas compact car la suite {1/2n} ⊂ (0, 1), et a fortiori toute sessous-suites, converge vers 0 /∈ (0, 1).
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 45 / 90
SUITES NUMÉRIQUESSUITES MONOTONES
On désignera par suites monotones les suites qui vérifient l’une des conditions de ladéfinition suivante.
DÉFINITION
(i) {xn} est croissante si ∀n ∈ N, xn ≤ xn+1. On utilisera la notation xn ր.
(ii) {xn} est strictement croissante si ∀n ∈ N, xn < xn+1.
(iii) {xn} est décroissante si ∀n ∈ N, xn ≥ xn+1. On utilisera la notation xn ց.
(iv) {xn} est strictement décroissante si ∀n ∈ N, xn > xn+1.
Pour déterminer ces propriétés, on comparera
xn+1 − xn à 0 ou xn+1/xn à 1
THÉORÈME
{xn} suite monotone bornée =⇒ {xn} converge.
Ce théorème s’applique aussi lorsque la suite devient monotone à partir d’un certainindice N.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 46 / 90
SUITES NUMÉRIQUESSUITES MONOTONES
THÉORÈME
{xn} suite monotone bornée =⇒ {xn} converge.
En fait, on a mieux◮ {xn} suite croissante et bornée supérieurement =⇒ {xn} converge.◮ {xn} suite décroissante et bornée inférieurement =⇒ {xn} converge.
DÉMONSTRATION.
On considère le cas de la suite croissante et bornée supérieurement. Le casdécroissant et et bornée inférieurementest analogue. Si {xn} est bornéesupérieurement, par la propriété (P7)
x déf= sup{xn : ∀n ∈ N} ∈ R ⇒ ∀n ∈ N, xn ≤ x .
Il reste à démontrer que limn→∞
xn = x . Pour tout ε > 0, il existe N tel que
x − ε < xN ≤ x .
Comme la suite est croissante et que x est le sup E , pour tout n > N,
x − ε < xN ≤ xn ≤ x < x + ε ⇒ |xn − x | < ε ⇒ xn → x .
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 47 / 90
SUITES NUMÉRIQUESSUITES MONOTONES : EXEMPLE 1
EXEMPLE
Soit a ∈ R, 0 < a < 1. Alors limn→∞ an = 0.Déjà démontré à l’aide du binôme de Newton. On le refait à l’aide de la monotonicité.
an+1 − an = an|{z}
>0
(a − 1)| {z }
<0
< 0 ⇒ {an} décroissante
0 < a < 1 ⇒ ∀n ∈ N, 0 < an < 1 ⇒ {an} bornée.
Par le théorème, la suite an converge donc vers un point x .La sous-suite {an+1} converge vers x en prenant nk = k + 1. Elle est le produit d’uneconstante a et de la suite {an} :
an+1 = a an
⇒ x = limn→∞
an+1 = limn→∞
a limn→∞
an = a x
⇒ (1 − a) x = 0
⇒ x = 0 car 1 − a > 0.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 48 / 90
SUITES NUMÉRIQUESSUITES MONOTONES : EXEMPLE 2
EXEMPLE (SUITE RÉCURRENTE OU RÉCURSIVE)
Soit la suite {xn}
xndéf=
(
√3 n = 1
p
3xn−1 n ≥ 2.
On utilise l’induction mathématique pour montrer que {xn} est bornée et monotonecroissante. Pour n = 1, 1 ≤ x1 =
√3 ≤ 3. Pour n = 2
x2 − x1 =
q
3√
3 −√
3 =√
3(
q√3 − 1) > 0 ⇒ x2 ≥ x1
⇒ x2 ≥ x1 ≥ 1 et x2 =p
3 x1 ≤√
3 · 3 ≤ 3 ⇒ 1 ≤ x2 ≤ 3 .
Supposons le résultat vrai pour n ≥ 3 :
xn − xn−1 ≥ 0 et 1 ≤ xn ≤ 3
⇒ xn+1 − xn =p
3xn −p
3xn−1 =√
3(√
xn −√
xn−1) =√
3xn − xn−1√xn +
√xn−1
≥√
3xn − xn−1
2√
3=
12
(xn − xn−1) ≥ 0 ⇒ xn+1 ≥ xn
⇒ xn+1 ≥ xn ≥ 1, xn+1 =p
3xn ≤√
3 · 3 = 3 ⇒ 1 ≤ xn+1 ≤ 3
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 49 / 90
SUITES NUMÉRIQUESSUITES MONOTONES : EXEMPLE 2
EXEMPLE (SUITE ET FIN)
Soit la suite {xn}
xndéf=
(
√3 n = 1
p
3xn−1 n ≥ 2.
On a montré que {xn} est bornée et croissante : pour tout n,
xn+1 − xn ≥ 0 et 1 ≤ xn ≤ 3.
Par le théorème, il existe x ∈ R tel que
x = limn→∞
xn et aussi pour la sous-suite limn→∞
xn+1 = x et 1 ≤ x ≤ 3.
Ceci entraîne pour tout n ≥ 1 :
xn+1 =p
3xn ⇒
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
x = limn→∞
xn+1 =q
limn→∞
3 xn =q
3 limn→∞
xn =√
3x
x =√
3x et 1 ≤ x ≤ 3 ⇒ x2 = 3xx>0
⇒ x = 3.
détail technique . . .suite
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 50 / 90
SUITES NUMÉRIQUESSUITES MONOTONES : EXEMPLE 2
EXEMPLE (DÉTAIL TECHNIQUE)
On a utilisé le fait que
xn → x et xn ≥ 1 (et donc x ≥ 1) ⇒√
xn →√
x .
En effet
˛
˛
√xn −
√x˛
˛ =1√
xn +√
x|xn − x | ≤ 1
2|xn − x | .
Donc pour tout ε > 0, il existe N ∈ N tel que
∀n > N, |xn − x | < 2ε
⇒ ∀n > N,˛
˛
√xn −
√x˛
˛ ≤ 12|xn − x | < ε.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 51 / 90
SUITES NUMÉRIQUESSUITES MONOTONES : EXEMPLE 3
EXEMPLE (SUITE RÉCURRENTE OU RÉCURSIVE)
Soit la suite {xn}
xndéf=
„
1 +1n
«n
On a déjà montré que {xn} est bornée :
∀n ≥ 1, 2 ≤ xn ≤ 3.
On va maintenant montrer qu’elle est croissante :
∀n ≥ 1,xn+1
xn≥ 1.
On calcule le quotient
xn+1
xn=
`
1 + 1n+1
´n+1
`
1 + 1n
´n =
„
1 +1
n + 1
«
1 + 1n+1
1 + 1n
!n
=
„
n + 2n + 1
«„
(n + 2)n(n + 1)2
«n
=
„
n + 2n + 1
«„
1 +(n + 2)n − (n + 1)2
(n + 1)2
«n
=
„
n + 2n + 1
«„
1 − 1(n + 1)2
«n
.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 52 / 90
SUITES NUMÉRIQUESSUITES MONOTONES : EXEMPLE 3
EXEMPLE (SUITE)
Soit la suite {xn}
xndéf=
„
1 +1n
«n
On a montré que {xn} est bornée :
∀n ≥ 1, 2 ≤ xn ≤ 3.
Par l’inégalité de Bernoulli,
xn+1
xn=
„
n + 2n + 1
«„
1 − 1(n + 1)2
«n
≥„
n + 2n + 1
«„
1 − n(n + 1)2
«
≥„
n + 2n + 1
«„
n2 + n + 1n2 + 2n + 1
«
=n3 + 3n2 + 3n + 2n3 + 3n2 + 3n + 1
> 1.
Comme {xn} est bornée et croissante, elle possède une limite
e déf= lim
n→∞
„
1 +1n
«n
que l’on pourra estimer e ≅ 2, 718 28 . . .
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 53 / 90
SUITES NUMÉRIQUESSUITES MONOTONES : EXEMPLE 4
EXEMPLE (SUITE RÉCURRENTE OU RÉCURSIVE)
Soient a > 0 un réel et la suite {xn}
xndéf=
8
>
<
>
:
x1 > 0, si n = 1
12
„
xn−1 +a
xn−1
«
, si n ≥ 2
où x1 > 0 est un réel arbitraire. On veut montrer que
limn→∞
xn =√
a.
On a donc un algorithme pour calculer√
a. Par définition, pour tout n ≥ 1, xn > 0. Enplus, pour n ≥ 2, xn ≥
√a :
xn =12
„
xn−1 +a
xn−1
«
=12
x2n−1 + axn−1
=12
(xn−1 −√
a)2 + 2√
a xn−1
xn−1
=√
a +12
(xn−1 −√
a)2
xn−1≥
√a
La suite {xn} est bornée inférieurement par min{x1,√
a}.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 54 / 90
SUITES NUMÉRIQUESSUITES MONOTONES : EXEMPLE 4
EXEMPLE (SUITE)
Soient a > 0 un réel et la suite {xn}
xndéf=
8
>
<
>
:
x1 > 0, si n = 1
12
„
xn−1 +a
xn−1
«
, si n ≥ 2
où x1 > 0 est un réel arbitraire. On veut montrer que
limn→∞
xn =√
a.
◮ On a montré que pour n ≥ 2, xn ≥√
a, On montre maintenant que la suite estdécroissante à partir de n ≥ 3.
xn − xn−1 =12
„
xn−1 +a
xn−1
«
− xn−1
=12
„
axn−1
− xn−1
«
=12
a − x2n−1
xn−1≤ 1
2a − axn−1
= 0
Par le théorème, elle est convergente.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 55 / 90
SUITES NUMÉRIQUESSUITES MONOTONES : EXEMPLE 4
EXEMPLE (SUITE)
Soient a > 0 un réel et la suite {xn}
xndéf=
8
>
<
>
:
x1 > 0, si n = 1
12
„
xn−1 +a
xn−1
«
, si n ≥ 2
où x1 > 0 est un réel arbitraire. On veut montrer que
limn→∞
xn =√
a.
On a montré que pour n ≥ 2, xn ≥√
a et que la suite est décroissante à partir den ≥ 3, xn − xn−1 ≤ 0. Par le théorème, elle est convergente :
x = limn→∞
xn et x ≥√
a > 0 ⇒ limn→∞
1xn
=1x
.
Enfin, pour n ≥ 3,
xn =12
„
xn−1 +a
xn−1
«
⇒ x =12
“
x +ax
”
⇒ x2 = a ⇒ x =√
a.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 56 / 90
SUITES NUMÉRIQUESSUITES MONOTONES : EXEMPLE 4
EXEMPLE (SUITE)
Soient a > 0 un réel et la suite {xn}
xndéf=
8
>
<
>
:
x1 > 0, si n = 1
12
„
xn−1 +a
xn−1
«
, si n ≥ 2
où x1 > 0 est arbitraire. Cette suite possède la propriété remarquable de convergerquadratiquement vers
√a à partir d’un point initial arbitraire x1 > 0 : pour n ≥ 2,
xn+1 −√
a =12
„
xn +axn
«
−√
a =12
(xn −√
a)2
xn≤ (xn −
√a)2
2√
a
⇒˛
˛xn+1 −√
a˛
˛ ≤ 12√
a
˛
˛xn −√
a˛
˛
2.
Lorsque que l’on s’approche de la limite√
a, l’erreur diminue de façon quadratique. Eneffet, pour a = 3,
x1 = 2, x2 =12
„
2 +32
«
= 1.75, x3 =12
„
1.75 +3
1.75
«
= 1, 732 . . .
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 57 / 90
PLAN
1 INTRODUCTION : LES PARADOXES
2 SUITE, CONVERGENCE, LIMITE ET POINT D’ ACCUMULATION
3 SUITE CONVERGENTE ET BORNITUDE
4 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES
5 SOUS-SUITES ET SUITES MONOTONES
6 SUITES DE CAUCHY
7 L IMITE SUPÉRIEURE ET LIMITE INFÉRIEURE
8 D’ AUTRES EXEMPLES
9 UN DERNIER THÉORÈME
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 58 / 90
SUITES NUMÉRIQUESSUITES DE CAUCHY
La notion de convergence d’une suite a été introduite en identifiant a priori la limitede la suite. Il est donc naturel de se demander si l’on ne pourrait pas trrouver unecaractérisation d’une suite convergente sans connaître sa limite.
DÉFINITION
{xn} est une suite de Cauchy si
∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que ∀n > N et ∀m > N, |xm − xn| < ε.
Il est facile de voir que cette définition est équivalente à la condition suivante :
∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que ∀n > N et ∀k > 0, |xn+k − xn| < ε.
Une première propriété et le théorème principal.
THÉORÈME
{xn} Cauchy =⇒ {xn} bornée.
THÉORÈME(CRITÈRE DECAUCHY)
{xn} Cauchy ⇐⇒ {xn} convergente.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 59 / 90
SUITES NUMÉRIQUESSUITES DE CAUCHY : PORTRAIT DEAUGUSTIN LOUIS CAUCHY
FIGURE: Augustin Louis Cauchy (1789–1857)
Augustin Louis, baron Cauchy, est un mathématicien français, membre de l’Académiedes sciences et professeur à l’École polytechnique.
Il fut l’un des mathématiciens les plus prolifiques, derrière Leonhard Euler, avec prèsde 800 parutions et sept ouvrages ; sa recherche couvre l’ensemble des domainesmathématiques de l’époque. On lui doit notamment en analyse l’introduction desfonctions holomorphes et des critères de convergence des séries et des sériesentières. Ses travaux sur les permutations furent précurseurs de la théorie desgroupes. En optique, on lui doit des travaux sur la propagation des ondesélectromagnétiques.
Son œuvre a fortement influencé le développement des mathématiques au XIXesiècle.M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 60 / 90
SUITES NUMÉRIQUESSUITES DE CAUCHY : EXEMPLE 1
DÉFINITION
{xn} est une suite de Cauchy si
(1) ∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que ∀n > N et ∀m > N, |xm − xn| < ε.
(2) ∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que ∀n > N et ∀k > 0, |xn+k − xn| < ε.
EXEMPLE
{1/n} est Cauchy. On fixe un N ∈ N et on prend m > N et n > N. On établit d’abordl’estimé suivant
˛
˛
˛
˛
1m
− 1n
˛
˛
˛
˛
≤ 1m
+1n
<2N
.
Maintenant pour tout ε > 0, il existe N ∈ N tel que N ε > 2, d’où
∀n > N et ∀m > N,
˛
˛
˛
˛
1m
− 1n
˛
˛
˛
˛
≤ 1m
+1n
<2N
< ε.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 61 / 90
SUITES NUMÉRIQUESSUITES DE CAUCHY : EXEMPLE 2
(2) ∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que ∀n > N et ∀k > 0, |xn+k − xn| < ε.
EXEMPLE
On considère la suite
xndéf= 1 +
11!
+12!
+ · · · + 1n!
=nX
i=0
1i!
.
Pour k > 0, on a l’estimé
|xn+k − xn| =
˛
˛
˛
˛
˛
n+kX
i=0
1i!−
nX
i=0
1i!
˛
˛
˛
˛
˛
=n+kX
i=n+1
1i!
=kX
i=1
1(n + i)!
=1
(n + 1)!
kX
i=1
(n + 1)!
(n + i)!.
Mais pour i = 1, (n + 1)!/(n + 1)! = 1 = 1/20 et pour i ≥ 2,
(n + 1)!
(n + i)!=
1(n + i) . . . (n + 2)
≤ 12i−1
⇒ |xn+k − xn| ≤1
(n + 1)!
kX
i=1
12i−1
.
suite . . .M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 62 / 90
SUITES NUMÉRIQUESSUITES DE CAUCHY : EXEMPLE 2
(2) ∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que ∀n > N et ∀k > 0, |xn+k − xn| < ε.
EXEMPLE (SUITE)
On considère la suite
xndéf= 1 +
11!
+12!
+ · · · + 1n!
=
nX
i=0
1i!
.
◮ Pour k > 0, on a l’estimé
|xn+k − xn| ≤ 1(n + 1)!
"
kX
i=1
„
12
«i−1#
=1
(n + 1)!
»
1 − (1/2)k
1 − 1/2
–
=1
(n + 1)!
»
2 − 12k−1
–
≤ 2(n + 1)!
⇒ |xn+k − xn| ≤ 2n + 1
≤ 2n
.
Il existe N ∈ N tel que N ε > 2 et pour n > N, etc.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 63 / 90
SUITES NUMÉRIQUESSUITES DE CAUCHY : EXEMPLE 3
(2) ∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que ∀n > N et ∀k > 0, |xn+k − xn| < ε.
EXEMPLE
On considère la suitexn
déf=
√n.
Il est important de bien comprendre que l’on doit obtenir un estimé indépendant dek > 0.
|xn+k − xn| =√
n + k −√
n =k√
n + k +√
n<
k√n
Si on fait le raisonnement habituel : pour ε > 0, il existe N ∈ N tel que N · ε2 > k2. Onobtient donc un N qui dépend de ε et de k . Dans la définition d’une suite de Cauchy, ceN doit être indépendant de tout k > 0.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 64 / 90
SUITES NUMÉRIQUESSUITES DE CAUCHY : EXEMPLE 3.34
(1) ∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que ∀n > N et ∀m > N, |xm − xn| < ε.
EXEMPLE
On considère la suite
xndéf= 1 +
12
+13
+ · · · + 1n
=
nX
i=1
1i
Ce n’est pas une suite de Cauchy. En fait,
limn→∞
xn = +∞.
Pour le montrer on établit l’estimé pour n et m = 2n
|x2n − xn| =
2nX
i=1
1i−
nX
i=1
1i
=
2nX
i=n+1
1i
=
nX
i=1
1n + i
≥nX
i=1
12n
=12
.
On peut prendre n aussi grand que l’on veut et la différence |x2n − xn| sera toujoursd’au moins 1/2.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 65 / 90
SUITES NUMÉRIQUESSUITES DE CAUCHY ET SUITES CONVERGENTES
Après cette série d’exemples, on revient aux démonstrations des deux théorèmes.
DÉFINITION
{xn} est une suite de Cauchy si
(1) ∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que ∀n > N et ∀m > N, |xm − xn| < ε.
(2) ∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que ∀n > N et ∀k > 0, |xn+k − xn| < ε.
THÉORÈME
{xn} Cauchy =⇒ {xn} bornée.
THÉORÈME(CRITÈRE DECAUCHY)
{xn} Cauchy ⇐⇒ {xn} convergente.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 66 / 90
SUITES NUMÉRIQUESSUITES DE CAUCHY ET SUITES CONVERGENTES
(2) ∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que ∀n > N et ∀k > 0, |xn+k − xn| < ε.
THÉORÈME
{xn} Cauchy =⇒ {xn} bornée.
DÉMONSTRATION.
Par définition,
∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que ∀n > N et ∀k > 0, |xn+k − xn| < ε.
On prend ε = 1 et n = N + 1 :
∃N ∈ N tel que ∀k > 0, |xN+1+k − xN+1| < 1
∃N ∈ N tel que ∀k > 0, ⇒ |xN+1+k | < 1 + |xN+1|⇒ ∀n ≥ N + 2, |xn| ≤ 1 + |xN+1|
⇒ ∀n ≥ 1, |xn| ≤ max{|x1|, |x2|, . . . , |xN+1|, 1 + |xN+1|}.
La suite est donc bornée.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 67 / 90
SUITES NUMÉRIQUESSUITES DE CAUCHY ET SUITES CONVERGENTES
∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que ∀n > N et ∀k > 0, |xn+k − xn| < ε.
THÉORÈME(CRITÈRE DECAUCHY)
{xn} Cauchy ⇐⇒ {xn} convergente.
DÉMONSTRATION.
(⇐) Il existe x ∈ R tel que pour tout ε > 0 il existe N ∈ N tel que
∀n > N, |xn − x | < ε/2.
De là, pour tout n > N et tout k > 0, n + k > N et |xn+k − x | < ε/2. Par l’inégalité dutriangle
∀n > N, k > 0, |xn+k − xn| ≤ |xn+k − x | + |xn − x | < ε/2 + ε/2 = ε.
suite . . .
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 68 / 90
SUITES NUMÉRIQUESSUITES DE CAUCHY ET SUITES CONVERGENTES
THÉORÈME(CRITÈRE DECAUCHY)
{xn} Cauchy ⇐⇒ {xn} convergente.
DÉMONSTRATION.
(⇒) Par définition d’une suite de Cauchy {xn} : pour tout ε > 0,
∃N1 ∈ N tel que ∀n > N1 et ∀m > N1, |xm − xn| < ε/2.
Pour montrer que la suite de Cauchy converge, il faut trouver le candidat x à sa limite.◮ Comme une suite de Cauchy est bornée, elle possède une sous-suite {xnk }convergente vers un point x ∈ R : pour tout ε > 0,
∃K ∈ N tel que ∀k > K , |xnk − x | < ε/2.
◮ Comme toute sous-suite d’une suite convergente converge vers la même limite quela suite, x est donc le bon candidat. On utilise l’estimé suivant :
∀m > N déf= max{N1, K}, |xm − x | ≤ |xm − xnm | + |xnm − x |
en utilisant
(
a) m > N ≥ N1 ⇒ nm ≥ m > N ≥ N1 ⇒ |xm − xnm | < ε/2
b) m > N ≥ K ⇒ |xnm − x | < ε/2.
⇒ ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀m > N, |xm − x | ≤ |xm − xnm | + |xnm − x | , < ε/2 + ε/2 = ε.M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 69 / 90
SUITES NUMÉRIQUESSUITES DE CAUCHY : EXEMPLE 3.37
EXEMPLE
Soit la suite
xndéf=
8
>
>
<
>
>
:
1, si n = 1
3/2, si n = 2xn−1 + xn−2
2si n ≥ 3
On voit que pour n ≥ 2 on a la propriété suivante
xn+1 − xn =xn + xn−1
2− xn =
„
−12
«
(xn − xn−1)
Comme x2 − x1 = 1/2, il vient pour n ≥ 2 (et aussi n = 1)
xn+1 − xn =
„
−12
«n−1
(x2 − x1) =
„
−12
«n−1 12
=(−1)n−1
2n.
À partir de cette identité, on peut montrer que la suite est de Cauchy :
∀k > 0, xn+k − xn =
kX
j=1
xn+j − xn+j−1 =
kX
j=1
(−1)n+j−2
2n+j−1=
(−1)n−1
2n
kX
j=1
„
−12
«j−1
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 70 / 90
SUITES NUMÉRIQUESSUITES DE CAUCHY : EXEMPLE 3.37
EXEMPLE (SUITE)
Soit la suite
xndéf=
8
>
>
<
>
>
:
1, si n = 1
3/2, si n = 2xn−1 + xn−2
2si n ≥ 3
À partir de cette identité, on peut montrer que la suite est de Cauchy : pour tout k > 0
xn+k − xn =(−1)n−1
2n
kX
j=1
„
−12
«j−1
=(−1)n−1
2n
1 − (−1/2)k
1 − (−1/2)
⇒ ∀k > 0, |xn+k − xn| ≤12n
1 + 1/21 + 1/2
=12n
<1n
.
Pour tout ε > 0, il existe N ∈ N tel que N · ε > 1, etc. . . .
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 71 / 90
SUITES NUMÉRIQUESSUITES DE CAUCHY : EXEMPLE 3.37
EXEMPLE (SUITE)
La suite
xndéf=
8
>
>
<
>
>
:
1, si n = 1
3/2, si n = 2xn−1 + xn−2
2si n ≥ 3
est donc bien de Cauchy et convergente. Pour n ≥ 1 et k > 0,
xn+k − xn =(−1)n−1
2n
1 − (−1/2)k
1 − (−1/2).
◮ En particulier, pour n = 1 et tout k > 0
x1+k − 1 = x1+k − x1 =12
1 − (−1/2)k
1 − (−1/2)→ 1
223
=13
⇒ limk→∞
xk+1 =43
.
Comme {xn} est convergente, toute sous-suite converge vers la même limite.
limn→∞
xn =43
.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 72 / 90
PLAN
1 INTRODUCTION : LES PARADOXES
2 SUITE, CONVERGENCE, LIMITE ET POINT D’ ACCUMULATION
3 SUITE CONVERGENTE ET BORNITUDE
4 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES
5 SOUS-SUITES ET SUITES MONOTONES
6 SUITES DE CAUCHY
7 L IMITE SUPÉRIEURE ET LIMITE INFÉRIEURE
8 D’ AUTRES EXEMPLES
9 UN DERNIER THÉORÈME
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 73 / 90
SUITES NUMÉRIQUESL IMITE SUPÉRIEURE ET LIMITE INFÉRIEURE: VALEURS D’ ADHÉRENCE
DÉFINITION
(i) Le point x ∈ R est une valeur d’adhérence de la suite {xn} s’il existe unesous-suite {xnk } de {xn} qui converge vers x .
(ii) On introduit la notation
A déf= {x ∈ R : ∃{xnk } de {xn} tel que xnk → x}
pour l’ensemble de toutes les valeurs d’adhérence de la suite {xn}.
Il ne faut pas confondre valeurs d’adhérence de la suite {xn} et points d’adhérencede l’ensemble E = {xn : n ∈ N} associé à la suite {xn}.
Les valeurs d’adhérence de la suite {xn} sont des points d’adhérence de l’ensembleE , mais l’inverse n’est pas vrai.
REMARQUE
◮ Une suite convergente ne possède qu’une seule valeur d’adhérence.◮ Les points −1 et 1 sont des valeurs d’adhérence de la suite {xn} = {(−1)n}correspondant aux sous-suites (constantes) convergentes {x2k} = {1} et{x2k+1} = {−1}.◮ La suite {xn} = {n} n’a pas de valeur d’adhérence.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 74 / 90
SUITES NUMÉRIQUESL IMITE SUPÉRIEURE ET LIMITE INFÉRIEURE
A déf= {x ∈ R : ∃{xnk } de {xn} tel que xnk → x}
THÉORÈME
{xn} une suite bornée =⇒ A est non-vide, borné et fermé
En particulier, A est compact, inf A ∈ A et sup A ∈ A.
DÉFINITION
(i) On appelle inf A la limite inférieure de {xn} et on la notera
lim infn→∞
xn ou limn→∞
xn
(ii) On appelle sup A la limite supérieure de {xn} et on la notera
lim supn→∞
xn ou limn→∞
xn
Par définition, limn→∞
xn = inf A ≤ sup A = limn→∞
xn.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 75 / 90
SUITES NUMÉRIQUESL IMITE SUPÉRIEURE ET LIMITE INFÉRIEURE
THÉORÈME
{xn} une suite bornée =⇒ A est non-vide, borné et fermé
COROLLAIRE
Comme A est fermé, on en conclut que◮ il existe une sous-suite {xnk } de {xn} telle que
limk→∞
xnk = inf A = limn→∞
xn
◮ et une sous-suite {xnk } de {xn} telle que
limk→∞
xnk = sup A = limn→∞
xn.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 76 / 90
SUITES NUMÉRIQUESL IMITE SUPÉRIEURE ET LIMITE INFÉRIEURE
THÉORÈME
{xn} une suite bornée =⇒ A est non-vide, borné et fermé
DÉMONSTRATION.
Comme {xn} est une suite bornée, on sait par un théorème précédent qu’il existe unesous-suite {xnk } qui converge vers un point x ∈ R. Donc A 6= ∅. De plus, il existeK ∈ N tel que
∀k > K , |xnk − x | < 1 ⇒ |x | ≤ |xnk − x | + |xnk | ≤ 1 + supn∈N
|xn|.
Toutes les valeurs d’adhérence sont bornées par 1 + supn∈N|xn|.
◮ Enfin, on veut démontrer que x0 ∈ A′ ⇒ x0 ∈ A. Il faut donc construire unesous-suite de {xn} qui converge vers x0. On sait que pour tout k ∈ N,
V (x0, 1/k) ∩ A contient une infinité de points
⇒ ∃ak ∈ A tel que |ak − x0| < 1/k .
Comme à chaque ak correspond une sous-suite convergente, on va pouvoir, à partir dechacune d’elles, construire une sous-suite qui converge vers x0.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 77 / 90
SUITES NUMÉRIQUESL IMITE SUPÉRIEURE ET LIMITE INFÉRIEURE
THÉORÈME
{xn} une suite bornée =⇒ A est non-vide, borné et fermé
DÉMONSTRATION.
On sait que
∀k ∈ N ∃ak ∈ A tel que |ak − x0| < 1/k .
Comme à chaque ak correspond une sous-suite convergente, on va pouvoir à partir dechacune d’elles une sous-suite qui converge vers x0 :
a1 ∈ A
˛
˛
˛
˛
˛
⇒ ∃xn1 tel que |xn1 − a1| < 1
⇒ |xn1 − x0| ≤ |xn1 − a1| + |a1 − x0|< 2
a2 ∈ A
˛
˛
˛
˛
˛
⇒ ∃xn2 , n2 > n1, tel que |xn2 − a2| < 1/2
⇒ |xn2 − x0| ≤ |xn2 − a2| + |a2 − x0|< 1
. . .
ak ∈ A
˛
˛
˛
˛
˛
⇒ ∃xnk , nk > nk−1, tel que |xnk − ak | < 1/k
⇒ |xnk − x0| ≤ |xnk − ak | + |ak − x0|< 2/k
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 78 / 90
SUITES NUMÉRIQUESL IMITE SUPÉRIEURE ET LIMITE INFÉRIEURE
THÉORÈME
{xn} une suite bornée =⇒ A est non-vide, borné et fermé
DÉMONSTRATION.
(suite) On a donc construit une sous-suite {xnk } de {xn} tel que
∀k ∈ N, |xnk − x0| ≤ 2/k .
On termine en montrant que cette sous-suite est convergeante. Pour tout ε > 0, ilexiste K ∈ N tel que K ε > 2 et
∀k > K , |xnk − x0| < 2/k < 2/K< ε
et xnk converge vers x0. Donc x0 ∈ A et A est fermé.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 79 / 90
PLAN
1 INTRODUCTION : LES PARADOXES
2 SUITE, CONVERGENCE, LIMITE ET POINT D’ ACCUMULATION
3 SUITE CONVERGENTE ET BORNITUDE
4 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES
5 SOUS-SUITES ET SUITES MONOTONES
6 SUITES DE CAUCHY
7 L IMITE SUPÉRIEURE ET LIMITE INFÉRIEURE
8 D’ AUTRES EXEMPLES
9 UN DERNIER THÉORÈME
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 80 / 90
SUITES NUMÉRIQUESD’ AUTRES EXEMPLES
EXEMPLE
Soit a > 0 un nombre réel et la suite
xndéf= n
√a, n ∈ N .
Cas a ≥ 1. Il existe N ∈ N tel que a ≤ N. Donc
∀n > N, 1 ≤ a ≤ N < n ⇒ 1 =n√
1 ≤ n√
a < n√
n.
Mais la suite { n√
n} converge vers 1. Par le théorème des deux gendarmes
limn→∞
n√
a = 1.
Cas 0 < a < 1. Comme 1/a > 1, on applique le résultat précédent
1n√
a=
n
r
1a
⇒ limn→∞
1n√
a= lim
n→∞
n
r
1a
= 1
n√
a =11n√a
⇒ limn→∞
n√
a =lim
n→∞1
limn→∞
1n√a
=11
= 1
car la limite de la suite au démominateur est 1 6= 0.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 81 / 90
SUITES NUMÉRIQUESD’ AUTRES EXEMPLES
EXEMPLE
Le produit de deux suites convergentes converge vers le produit des limites. Parinduction mathématique, on suppose le résultat vrai pour le produit de m suitesconvergentes {x i
n}, x in → x i , 1 ≤ i ≤ m, c’est-à-dire
limn→∞
x1n . . . xm
n = limn→∞
x1n . . . lim
n→∞xm
n = x1 . . . xm.
Pour m + 1 suites convergentes
x1n . . . xm+1
n =“
x1n . . . xm
n
”
· xm+1n
et on se ramène au produit de deux suites convergentes
limn→∞
x1n . . . xm+1
n = limn→∞
“
x1n . . . xm
n
”
· limn→∞
xm+1n =
“
x1 . . . xm”
· xm+1.
Soit m ∈ N et un réel a > 0. On applique le résultat à la suite xndéf= n
√a nm. On a
immédiatement
n√
a nm = n√
a`
n√
n´m ⇒ lim
n→∞
n√
a nm = limn→∞
n√
a“
limn→∞
n√
n”m
= 1 · 1m = 1.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 82 / 90
SUITES NUMÉRIQUESD’ AUTRES EXEMPLES
EXEMPLE
On a vu que plusieurs opérations algébriques, comme l’addition et la multiplication dedeux suites convergentes, commutent avec l’opération lim
n→∞. On a vu dans l’exemple
précédent que le produit d’un nombre fini de suites convergentes commute aussi.◮ En particulier pour m ∈ N
limn→∞
(xn)m =
“
limn→∞
xn
”m.
◮ La même chose est vraie pour la somme d’un nombre fini de suites convergentes
limn→∞
mX
i=1
x in =
mX
i=1
limn→∞
x in.
◮ Est-ce que la racine carrée commute ? Soit {xn}, xn ≥ 0, une suite convergente versx . Est-ce que la suite
√xn converge vers
√x ? Sinon
∃ε > 0 tel que ∀N, ∃nN > N tel que |p
xnN −√
x | ≥ ε
xn + x − 2√
xp
xnN = |p
xnN −√
x |2 ≥ ε2 ⇒ 0 ≤ 2√
xp
xnN ≤ xnN + x − ε2
⇒ 4 x xnN ≤“
xnN + x − ε2”2
⇒ 2 x ≤ 2x − ε2 une contradiction.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 83 / 90
PLAN
1 INTRODUCTION : LES PARADOXES
2 SUITE, CONVERGENCE, LIMITE ET POINT D’ ACCUMULATION
3 SUITE CONVERGENTE ET BORNITUDE
4 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES
5 SOUS-SUITES ET SUITES MONOTONES
6 SUITES DE CAUCHY
7 L IMITE SUPÉRIEURE ET LIMITE INFÉRIEURE
8 D’ AUTRES EXEMPLES
9 UN DERNIER THÉORÈME
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 84 / 90
SUITES NUMÉRIQUESUN DERNIER THÉORÈME ET SES CONSÉQUENCES
THÉORÈME
Soit {xn} une suite. Alors
{xn}convergente
⇐⇒(
a) {xn} est bornée
b)∃x ∈ R tel que ∀{xnk } convergente, on a limk→∞
xnk = x .
REMARQUE
La condition a) que {xn} est bornée est nécessaire. En effet la suite
xndéf=
8
<
:
n, si n est pair1n
, si n est impair
est non bornée et satisfait à la condition b) pour x = 0, mais elle n’est pas convergente.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 85 / 90
SUITES NUMÉRIQUESUN DERNIER THÉORÈME ET SES CONSÉQUENCES
THÉORÈME
Soit {xn} une suite. Alors
{xn}convergente
⇐⇒(
a) {xn} est bornée
b)∃x ∈ R tel que ∀{xnk } convergente, on a limk→∞
xnk = x .
DÉMONSTRATION.
(⇒) Toute suite convergente est bornée avec une seule valeur d’adhérence x et toutesses sous-suites convergent vers x .(⇐) Supposons que {xn} ne converge pas vers le x de b). Alors
∃ε > 0 tel que ∀N ∈ N,∃n > N tel que |xn − x | ≥ ε.
On construit la sous-suite suivante :
N = 1, ∃n1 > 1 tel que |xn1 − x | ≥ ε
N = n1, ∃n2 > n1 tel que |xn2 − x | ≥ ε
. . .
N = nk , ∃nk+1 > nk tel que˛
˛xnk+1 − x˛
˛ ≥ ε.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 86 / 90
SUITES NUMÉRIQUESUN THÉORÈME
THÉORÈME
Soit {xn} une suite. Alors
{xn}convergente
⇐⇒(
a) {xn} est bornée
b)∃x ∈ R tel que ∀{xnk } convergente, on a limk→∞
xnk = x .
DÉMONSTRATION.
(suite) Comme la sous-suite {xnk } est bornée, il existe une sous-suite convergente{xnk
ℓ}.
THÉORÈME(CHAPITRE 3)
{xn} suite bornée =⇒ ∃ sous-suite {xnk } convergente.
Mais la sous-suite convergente {xnkℓ} est aussi une sous-suite de {xn} qui converge
vers x par l’hypothèse b). Mais ceci est impossible, car par construction,
∃ε > 0 tel que ∀k ∈ N, |xnk − x | ≥ ε > 0 ⇒ ∀ℓ ∈ N,˛
˛
˛
xnkℓ− x˛
˛
˛
≥ ε > 0.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 87 / 90
SUITES NUMÉRIQUESAPPLICATION DU THÉORÈME
EXEMPLE
On a montré que pour {xn}, xn ≥ 0, une suite convergente vers x
limn→∞
xn = x ⇒ limn→∞
√xn =
√x .
On veut montrer que pour tout m ∈ N
limn→∞
xn = x ⇒ limn→∞
m√
xn = m√
x .
Comme {xn} est convergente, elle est bornée et { m√
xn} est bornée. Il existe donc unesous-suite { m
√xnk } convergeant vers une limite y . Il vient
xnk =`
mp
xnk
´m ⇒ x = limk→∞
xnk =
„
limk→∞
mp
xnk
«m
= ym ⇒ y = m√
x .
Comme toutes les sous-suites convergentes {xnk } convergent vers la même limite,toute la suite { m
√xn} converge vers m
√x .
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 88 / 90
SUITES NUMÉRIQUESUN COROLLAIRE
L’ensemble de toutes les valeurs d’adhérence de la suite {xn} a été défini comme
A déf= {x ∈ R : ∃{xnk } de {xn} telle que xnk → x} .
Lorsque la suite est bornée on a montré que A était borné et fermé. Ceci entraînelim
n→∞xn = inf A ∈ A et lim
n→∞xn = sup A ∈ A et il existe des sous-suites convergentes
vers inf A et sup A.
THÉORÈME(CHAPITRE 2)
Soit ∅ 6= E ⊂ R un fermé.
(i) E borné supérieurement =⇒ sup E ∈ E.
(ii) E borné inférieurement =⇒ inf E ∈ E.
COROLLAIRE
Soit {xn} une suite. Alors
limn→∞
xn existe ⇐⇒ {xn} est bornée et limn→∞
xn = limn→∞
xn.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 89 / 90
RÉFÉRENCES
[1], J. Labelle et A. Mercier, Introduction à l’analyse réelle, Modulo Éditeur,Mont-Royal, Canada, 1993.
[2], Notes sur Cauchy : http : //fr .wikipedia.org/wiki/AugustinLouisCauchy ,http : //www .gap − system.org/ history/Biographies/Cauchy .html
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 90 / 90