Sui limiti per n = ∞ delle derivate n me delle funzioni analitiche
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SUI LIMITI PER n - - ~ DELLE DERIVATE n =~
DELLE FUNZIONI ANALITICHE.
Nota di Giuseppe Vitali, in Pisa.
Adunauza del 2 7 m a g g i o xgoo.
1. Io mi propongo di vedere se esistono deUe funzioni analitiche
che ammettano in un punto regolare a distanza finita un limite finito
della derivata n m* per n tendente all'infinito.
Per questo suppongo che f ( ~ ) sia una tale funzione. Senza mancare alia generalitk posso supporre che il punto nel quale
essa ammette il limite della derivata n =* per n tendente all'infinito sia
l'origine. Indico poi con a questo Limite.
La f ( z ) esister~t certo in un piccolo intorno C di Z - - o e in questo
intorno si avrS. :
Ora poich~
oo m
d Z " - -
d<" /~=o = a ,
e quindi a, tende al limite determinato e finito a. Segue che esister~t un numero reale e positivo A abbastanza grande
per cui
I~.l Z .4, qualunque sia n.
.Rend. Circ. Matem. Po~lermo, t . XIV (xgoo) . ~ S t a m p a t o il a8 g iugno xgoo. 2 7
2 1 0 G. V I T A L I .
Dunque la serie m ZaL
m / , / . !
convergente in tutto il piano, ossia l a . f ( z ) ~ una trascendente intera.
2. E poi
Ma poich6
d" f ( z ) d~ ~
m
lim a = a , n ~o
si pu6 trovare un n tale che per ogni n' maggiore o uguale ad" n si abbia
l a . , - a I < *,
essendo , una quantiffl piccola a piacere. Per quell'n si ha
d~ f--~(Z~Z) ae~l < ~e,~,.
Dunque per ogni Z, col crescere abbastanza di n, la differenza
d ' f ( z ) a e~
si pu6 rendere piccola a piacere e quindi per ogni Z
d~)a "" ae v --- o, lim n ~ c a o
o s s i a
Fun d~ f (z) - - a d - - *
Riassumendo :
Esistono infinite funzioni anaIitiche cbe ammettono un limite finito pel vaIore della derivata n m a in un punto regoIare col ten&re di n alI'infinito. O, Queste funKioni sono trascendenti intere particolari ed ammettono un limite per la derivata n m a quando n ten& all'infinito per ogni punto finilo. Questo limite costituisce una funzione della forma ad , con a costante finita.
3. Da quanto precede risulta:
Se pia funzioni analitiche in numero finito
SUI LIMITI PER n - - ' o o DELLE DERIVATE n me DELLE FUNZIONI ANALITICHE. 2 I I
ammettono i limiti delIe loro derivate n ~ per n eguale all'infinito e questi
limiti sono
a z e : ~ , a 2 e : ( ~ . . . a p e ~
la fun#one
u (~) + ,,2 (~) + . . . + up(~) ammette pure il Iimite della derivata um" per n tendente all'infinito, e questo
limite k
(a + a2 + . . . + a,) e'.
4. L~.MMA. - - Siano
ao~ az~ �9 . . an~ �9 . .
bo, b , , . . . b , , . . .
due successioni semp licemente infinite di numeri complessi tendenti rispetti-
vamente ai limiti finiti a e b. Se ts e k sono due humeri reali positivi, la
espressione
n = (k + b)"
tende per n uguale all'infinito aI Iimite a b.
DtMosTRAzlOXE. Siano
Po, P , , " " P , , " ' "
qo, q, , . . . q , , . "
le successioni dei rispettivi moduli e
~o, ~ , , . . . [ z , . . .
' Vo~ , ' V I ~ . , , V ~ . . .
quelle degli argomenfi dei termini delle date successioni e infine siano
P , q, ~-,
i moduli e gli argomenti di a e b.
Supponiamo che tz + ~ sia compreso ira o e ~ o e - - esclusi . 2 2
Poniamo quindi
a = P , , + i Q ,
con P, e Q , reali.
212 G. V I T A L I .
Si ha
(h + k)-P. = Z ~ $ 0
_
,.o ' $
n--mV~I t +~_ $
nP+i
= -Jr- n o n - - m t l $
(2, + + n
o n - - m ' / S
p,q._,b'k"-' cos(p. 21-- v _ , )
p, ,~._, h' k"-" cos (t-'-, + "._3
p, q._, h' k"-' ~o~ (~, + ~._,)
b' k"-' [_t,, ~._, ~os (~, + ',._3 - - p q co~(p. + ,,)]
b' k"-' p q cos (p~ -3 l- v)
~--rttt--I ) s p, q._,o cos (~, + ~_,)
Ora osserviamo che pel fatto che p . , q. , ~ . , ~. tendono ai limiti
determinati p , q, ~., v e poich6 o < ~. + v < --~-, + possibile determi-
nare n' ed m' in guisa che per n > n' ed m > m' sia sempre q~
o < t ~ . + ~ m < - T
e
Ip. q. cos (~. + ~.) - - p q cos (~ + ~)1 < , ,
essendo ~ una quantit~ prefissata piccola a piacere. Indichiamo brevemente con P l'espressione
p q cos (t~ + ~), che per l'ipotesi fatta ~ essenzialmente positiva.
1~ manifestamente per tali n' ed m'
s p'q" ,b 'k"- 'cos(g.+v. . , )
(b + k)" n
(-,' + X (" o $
< (k 27 k)"
e, indicando con P" il primo membro di questa disuguaglianza :
L ' < P + ~ .
s o i LIMITI PER n - - - c o DELLE DERIVATE n me DELLE FUNZIONI ANALITICHE. 2 I 3
Si ha pure analogamente
P ' > P - - ~ , dunque
I P ' - - Pl < ~ .
1~ poi, indicando con M un valore pifl grande di tutti i p. e di
mrd i q. :
+ ~ b' k"-' O', q.-, co~ (v-, + ',._3 - - P q ~os (v. + ",)] n--re' (h + k) n
< (h + k)" ;
ma per n abbastanza grande supposto m' > n' e k > b, essendo n' + m' + 2
i termini della sommatoria -1- n h' k"-', e per n abbastanza n_mt / S
grande ed s L m ' essend~ ( n ) L ( s - - m' < n "', si ha
x o n--rot/ $ l n t
(h + k) ~ < (b + k)" < 2U*(n'.-.I - m' "JI- 2 ) n "
e poich~
pure
b + k > k I ,
,~m P
lira . - - o.
Dunque si pu6 fissare un n ranto grande che da esso in poi sia
=)() + .$7 n h'k"-' [p, q._, ~o~ (V-, + ",,_3 - - P q ~o~ (~.,. + ,,)] ; $
(k + k)" < ~
2 1 4 G. V I T A L I .
Segue che da un n in poi
I L - - e l < 2 ~ l
e quindi che ~ ha col crescere di n un limite che ~ P.
In modo del tutto analogo si prova che Q. ha per n = oo un li-
mite Q dato da p q sen (b~. -1- v). Dunque anche ~. ha un limite per n tendente all'infinito ed 6
lira D. : P -t- i Q : p q [cos (b~ n t- v) -~- i sen (p. n t- v)] : a b.
Se poi ~.-J7 ~ non 8 compreso Ira o e - - ci possiamo sempre ri- 2
durre a questo caso moltiplicando per esempio le
bo, b , . . , b , . . . 7r
per un conveniente e i~ tale che essendo v' = v + 0, sia o ~ ~. -[- v' ~ 2 "
Indicando con a ' la a costruita per le due successioni
a :, ( t2~ . . . a ,n: , . . .
b e ~0, bzgi0, . . . bnelO, . . .
si ha lira ~.~' : a b d ~
Ma ~ ' - - - ~ e iO
n n
dunque lim a , - - a b .
Cosl ~ dimostrato completamente il lemma.
5. Siano
v z : E an O
- n ! 0
due funzioni che ammettono il limite della derivata n m~ per n - -
spettivamente /'ispetto ad b ~ e a k~.
Allora le successioni
a o~ a x ~ . . . a . ~ . . .
bo, bx , . . . bn, . . .
ammetteranno dei limiti a e b che supponiamo tutti e due finiti.
Indicando con
ri-
SUI LIMITI PER n - ~ o o DELLE DERIVATE n me DELLE FUNZIONI ANALtTICHE. 2 I 5
la derivata r t ma del prodotto v v= rispetto a Z nel punto z = o, si ha n
(v,v=)~= o = a s - o
donde =o [(b + k)
n! o
Ora supponiamo che h e k siano reali e posifivi.
Si ha lim 9 ~--- a b .
Segue che Ia funzione v, v 2 ha il Iimite della derivata n ma rispetto ad
(h -~ k )Z per n = ~ tutte Ie volte che h e k sono reali e positivi e questo
limite ~ il prod, otto dei limiti deIle derivate n ~ di v e v: rispetto ad
hz~ e k~.
l~ .poi evidente che la cosa sta anche se b e k sono numeri com-
plessi collo stesso argomento.
6. Si potrebbe domandare se il teorema precedente vale anche quando h e k sono numeri complessi con argomenti differenti.
Ora dimostriamo chese b e k non hanno lo stesso argomento, esi- stono sempre dei casi in cui il teorema non vale.
Perci6 indichiamo con h e k stesse i moduli di h e k e con ~? e c? -[- 0
i loro argomenti rispettivi.
Si ha
(b + k e~~ ~ e'"~ Ora poniamo
Abbiamo
a n ~ I
b - - b + e - ~ ~ ~~ ~ b + k "
P . . - - b
( n - - " O ~ I~ . . , CO)
( n ' - ' O ~ I~ . . . CO)
E n h 'k . - ' e "~-')~ n b'k ~ - ' [ " ~ L o s s "" ] h + k
(h + k e'~ + o (h + k e'~ n
= b + o (b -t- k e~~ ~
216 G. V l T A L I .
e quindi :
onde
ossia
n
0
[b + k d~ [a . - - bl =
) h + k ? ~ s b 'k" - ' la. - bl > ~ ~-_f_ k,,Ol.
b + k ~,o. (h + k)" l a . - - b l > h-t-k Ib--k--kd~
e infine
e quindi non certo
Concludendo : &
Ira. - - b[ ~ I ,
l i m t 2 - - - b.
'v x~ "8 2~ . . . 'Up
sono p funr._ioni anaIitiche che ammettono per n - - oo il Iimite delle loro
derivate n m~ rispetto ad
h ,~ , h ,~ , . . . h~z~,
iI prodotto ~ V 2 . . . V p
ha per n - - o o iI limite della derivata n r~. rispetto ad
(h, + h~ + . . . + he)
tutte Ie volte che bx, h2, . . . b e banno gli stessi'argomenti, e questo limite
il prodotto delle derivate n m~ per n - - o0 delle
V x ~ V 2 ~ �9 . . V e
rispetto ad b ,Z , h , z , . . . h~K.
Se h:, b:, . . . h e non banno Io stesso argomento, puO non sussistere
Ia cosa.
Pisa, m a g g i o 19oo.
G. V I T A L L