Sudoku vs. GraphenfärbungWenn alles verschieden sein muss

Timo BertholdZuse Institut Berlin

DFG-Forschungszentrum MATHEONMathematik für Schlüsseltechnologien

Berlin, 14.06.2008

Geschichtliches

Verschiedene Zahlenquadrate

. Magische Quadrate: Summe derZeilen-, Spalten-, Diagonal-einträge konstant

. Lateinische Quadrate: Jede Zahlnur einmal pro Spalte und Zeile

. Sudoku: Größe 9x9,Unterquadrate

Sudoku vs. Graphenfärbung 2 / 16

Geschichtliches

Verschiedene Zahlenquadrate

. Magische Quadrate: Summe derZeilen-, Spalten-, Diagonal-einträge konstant

. Lateinische Quadrate: Jede Zahlnur einmal pro Spalte und Zeile

. Sudoku: Größe 9x9,Unterquadrate

Sudoku vs. Graphenfärbung 2 / 16

Geschichtliches

Verschiedene Zahlenquadrate

. Magische Quadrate: Summe derZeilen-, Spalten-, Diagonal-einträge konstant

. Lateinische Quadrate: Jede Zahlnur einmal pro Spalte und Zeile

. Sudoku: Größe 9x9,Unterquadrate

Sudoku vs. Graphenfärbung 2 / 16

Geschichtliches

Verschiedene Zahlenquadrate

. Magische Quadrate: Summe derZeilen-, Spalten-, Diagonal-einträge konstant

. Lateinische Quadrate: Jede Zahlnur einmal pro Spalte und Zeile

. Sudoku: Größe 9x9,Unterquadrate

Sudoku vs. Graphenfärbung 2 / 16

Sudoku

Die Regeln

. pro Feld: Genau eine Zahl

. pro Zeile: Jede Zahl genau einmal

. pro Spalte: Jede Zahl genau einmal

. pro Block: Jede Zahl genau einmal

. am Anfang:Zahlen vorgegeben

3 87

42

9 8 2

9

73 6

53 8

4

2

71

5 8 3

8 6 316

2

Sudoku vs. Graphenfärbung 3 / 16

Sudoku

Die Regeln

. pro Feld: Genau eine Zahl

. pro Zeile: Jede Zahl genau einmal

. pro Spalte: Jede Zahl genau einmal

. pro Block: Jede Zahl genau einmal

. am Anfang:Zahlen vorgegeben

3 87

42

9 8 2

9

73 6

53 8

4

2

71

5 8 3

8 6 316

2

Sudoku vs. Graphenfärbung 3 / 16

Sudoku

Die Regeln

. pro Feld: Genau eine Zahl

. pro Zeile: Jede Zahl genau einmal

. pro Spalte: Jede Zahl genau einmal

. pro Block: Jede Zahl genau einmal

. am Anfang:Zahlen vorgegeben

3 87

42

9 8 2

9

73 6

53 8

4

2

71

5 8 3

8 6 316

2

Sudoku vs. Graphenfärbung 3 / 16

Sudoku

Die Regeln

. pro Feld: Genau eine Zahl

. pro Zeile: Jede Zahl genau einmal

. pro Spalte: Jede Zahl genau einmal

. pro Block: Jede Zahl genau einmal

. am Anfang:Zahlen vorgegeben

3 87

42

9 8 2

9

73 6

53 8

4

2

71

5 8 3

8 6 316

2

Sudoku vs. Graphenfärbung 3 / 16

Sudoku

Die Regeln

. pro Feld: Genau eine Zahl

. pro Zeile: Jede Zahl genau einmal

. pro Spalte: Jede Zahl genau einmal

. pro Block: Jede Zahl genau einmal

. am Anfang:Zahlen vorgegeben

3 87

42

9 8 2

9

73 6

53 8

4

2

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5 8 3

8 6 316

3

2

Sudoku vs. Graphenfärbung 3 / 16

Sudoku

Die Regeln

. pro Feld: Genau eine Zahl

. pro Zeile: Jede Zahl genau einmal

. pro Spalte: Jede Zahl genau einmal

. pro Block: Jede Zahl genau einmal

. am Anfang:Zahlen vorgegeben

3 87

42

9 8 2

9

73 6

53 8

4

2

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5 8 3

8 6 316

2

Sudoku vs. Graphenfärbung 3 / 16

Sudoku

Die Regeln

. pro Feld: Genau eine Zahl

. pro Zeile: Jede Zahl genau einmal

. pro Spalte: Jede Zahl genau einmal

. pro Block: Jede Zahl genau einmal

. am Anfang:Zahlen vorgegeben

3 87

42

9 8 2

9

73 6

53 8

4

2

71

5 8 3

8 6 316

2

Sudoku vs. Graphenfärbung 3 / 16

Sudoku

Die Regeln

. pro Feld: Genau eine Zahl

. pro Zeile: Jede Zahl genau einmal

. pro Spalte: Jede Zahl genau einmal

. pro Block: Jede Zahl genau einmal

. am Anfang:Zahlen vorgegeben

3 87

42

9 8 2

9

73 6

53 8

4

2

71

5 8 3

8 6 316

2

Sudoku vs. Graphenfärbung 3 / 16

Sudoku

Die Regeln

. pro Feld: Genau eine Zahl

. pro Zeile: Jede Zahl genau einmal

. pro Spalte: Jede Zahl genau einmal

. pro Block: Jede Zahl genau einmal

. am Anfang:Zahlen vorgegeben

3 87

42

9 8 2

9

73 6

53 8

4

2

71

5 8 3

8 6 316

2

Sudoku vs. Graphenfärbung 3 / 16

Sudoku

Die Regeln

. pro Feld: Genau eine Zahl

. pro Zeile: Jede Zahl genau einmal

. pro Spalte: Jede Zahl genau einmal

. pro Block: Jede Zahl genau einmal

. am Anfang:Zahlen vorgegeben

3 87

42

9 8 2

9

73 6

53 8

4

2

71

5 8 3

8 6 316

2

Sudoku vs. Graphenfärbung 3 / 16

Sudoku

Die Regeln

. pro Feld: Genau eine Zahl

. pro Zeile: Jede Zahl genau einmal

. pro Spalte: Jede Zahl genau einmal

. pro Block: Jede Zahl genau einmal

. am Anfang:Zahlen vorgegeben

3 87

42

9 8 2

9

73 6

53 8

4

2

71

5 8 3

8 6 316

28

Sudoku vs. Graphenfärbung 3 / 16

Modellierungsansatz

Modell mit Gleichungen

. Neun 0-1-Variablen pro Feld:x1,1,1, x1,1,2, x1,1,3, x1,1,4, . . . ,x1,1,9

. pro Feld:

. pro Zeile:

. pro Spalte:

. pro Block:

. Fixieren:

729 Variablen, Gleichungen

3 87

42

9 8 2

9

73 6

53 8

4

2

71

5 8 3

8 6 316

1 2 34 5 67 8 9

Sudoku vs. Graphenfärbung 4 / 16

Modellierungsansatz

Modell mit Gleichungen

. Neun 0-1-Variablen pro Feld:x1,1,1,

x1,1,2, x1,1,3, x1,1,4, . . . ,x1,1,9

. pro Feld:

. pro Zeile:

. pro Spalte:

. pro Block:

. Fixieren:

729 Variablen, Gleichungen

3 87

42

9 8 2

9

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53 8

4

2

71

5 8 3

8 6 316

1

2 34 5 67 8 9

Sudoku vs. Graphenfärbung 4 / 16

Modellierungsansatz

Modell mit Gleichungen

. Neun 0-1-Variablen pro Feld:x1,1,1, x1,1,2,

x1,1,3, x1,1,4, . . . ,x1,1,9

. pro Feld:

. pro Zeile:

. pro Spalte:

. pro Block:

. Fixieren:

729 Variablen, Gleichungen

3 87

42

9 8 2

9

73 6

53 8

4

2

71

5 8 3

8 6 316

1 2

34 5 67 8 9

Sudoku vs. Graphenfärbung 4 / 16

Modellierungsansatz

Modell mit Gleichungen

. Neun 0-1-Variablen pro Feld:x1,1,1, x1,1,2, x1,1,3,

x1,1,4, . . . ,x1,1,9

. pro Feld:

. pro Zeile:

. pro Spalte:

. pro Block:

. Fixieren:

729 Variablen, Gleichungen

3 87

42

9 8 2

9

73 6

53 8

4

2

71

5 8 3

8 6 316

1 2 3

4 5 67 8 9

Sudoku vs. Graphenfärbung 4 / 16

Modellierungsansatz

Modell mit Gleichungen

. Neun 0-1-Variablen pro Feld:x1,1,1, x1,1,2, x1,1,3, x1,1,4,

. . . ,x1,1,9

. pro Feld:

. pro Zeile:

. pro Spalte:

. pro Block:

. Fixieren:

729 Variablen, Gleichungen

3 87

42

9 8 2

9

73 6

53 8

4

2

71

5 8 3

8 6 316

1 2 34

5 67 8 9

Sudoku vs. Graphenfärbung 4 / 16

Modellierungsansatz

Modell mit Gleichungen

. Neun 0-1-Variablen pro Feld:x1,1,1, x1,1,2, x1,1,3, x1,1,4, . . . ,x1,1,9

. pro Feld:

. pro Zeile:

. pro Spalte:

. pro Block:

. Fixieren:

729 Variablen,

Gleichungen

3 87

42

9 8 2

9

73 6

53 8

4

2

71

5 8 3

8 6 316

1 2 34 5 67 8 9

Sudoku vs. Graphenfärbung 4 / 16

Modellierungsansatz

Modell mit Gleichungen

. Neun 0-1-Variablen pro Feld:x1,1,1, x1,1,2, x1,1,3, x1,1,4, . . . ,x1,1,9

. pro Feld: Genau eine Zahl

. pro Zeile:

. pro Spalte:

. pro Block:

. Fixieren:

729 Variablen,

Gleichungen

3 87

42

9 8 2

9

73 6

53 8

4

2

71

5 8 3

8 6 316

1 2 34 5 67 8 9

Sudoku vs. Graphenfärbung 4 / 16

Modellierungsansatz

Modell mit Gleichungen

. Neun 0-1-Variablen pro Feld:x1,1,1, x1,1,2, x1,1,3, x1,1,4, . . . ,x1,1,9

. pro Feld: x1,1,1+. . .+x1,1,9 = 1

. pro Zeile:

. pro Spalte:

. pro Block:

. Fixieren:

729 Variablen,

Gleichungen

3 87

42

9 8 2

9

73 6

53 8

4

2

71

5 8 3

8 6 316

1 2 34 5 67 8 9

Sudoku vs. Graphenfärbung 4 / 16

Modellierungsansatz

Modell mit Gleichungen

. Neun 0-1-Variablen pro Feld:x1,1,1, x1,1,2, x1,1,3, x1,1,4, . . . ,x1,1,9

. pro Feld: x1,1,1+. . .+x1,1,9 = 1

. pro Zeile: Jede Zahl genau einmal

. pro Spalte:

. pro Block:

. Fixieren:

729 Variablen, Gleichungen

3 87

42

9 8 2

9

73 6

53 8

4

2

71

5 8 3

8 6 316

1 2 34 5 67 8 9

Sudoku vs. Graphenfärbung 4 / 16

Modellierungsansatz

Modell mit Gleichungen

. Neun 0-1-Variablen pro Feld:x1,1,1, x1,1,2, x1,1,3, x1,1,4, . . . ,x1,1,9

. pro Feld: x1,1,1+. . .+x1,1,9 = 1

. pro Zeile: x1,1,3+. . .+x1,9,3 = 1

. pro Spalte:

. pro Block:

. Fixieren:

729 Variablen, 81 Gleichungen

3 87

42

9 8 2

9

73 6

53 8

4

2

71

5 8 3

8 6 316

1 2 34 5 67 8 9

Sudoku vs. Graphenfärbung 4 / 16

Modellierungsansatz

Modell mit Gleichungen

. Neun 0-1-Variablen pro Feld:x1,1,1, x1,1,2, x1,1,3, x1,1,4, . . . ,x1,1,9

. pro Feld: x1,1,1+. . .+x1,1,9 = 1

. pro Zeile: x1,1,3+. . .+x1,9,3 = 1

. pro Spalte: Jede Zahl genau einmal

. pro Block:

. Fixieren:

729 Variablen, 81 Gleichungen

3 87

42

9 8 2

9

73 6

53 8

4

2

71

5 8 3

8 6 316

1 2 34 5 67 8 9

Sudoku vs. Graphenfärbung 4 / 16

Modellierungsansatz

Modell mit Gleichungen

. Neun 0-1-Variablen pro Feld:x1,1,1, x1,1,2, x1,1,3, x1,1,4, . . . ,x1,1,9

. pro Feld: x1,1,1+. . .+x1,1,9 = 1

. pro Zeile: x1,1,3+. . .+x1,9,3 = 1

. pro Spalte: x1,1,3+. . .+x9,1,3 = 1

. pro Block:

. Fixieren:

729 Variablen, 162 Gleichungen

3 87

42

9 8 2

9

73 6

53 8

4

2

71

5 8 3

8 6 316

1 2 34 5 67 8 9

Sudoku vs. Graphenfärbung 4 / 16

Modellierungsansatz

Modell mit Gleichungen

. Neun 0-1-Variablen pro Feld:x1,1,1, x1,1,2, x1,1,3, x1,1,4, . . . ,x1,1,9

. pro Feld: x1,1,1+. . .+x1,1,9 = 1

. pro Zeile: x1,1,3+. . .+x1,9,3 = 1

. pro Spalte: x1,1,3+. . .+x9,1,3 = 1

. pro Block: Jede Zahl genau einmal

. Fixieren:

729 Variablen, 162 Gleichungen

3 87

42

9 8 2

9

73 6

53 8

4

2

71

5 8 3

8 6 316

1 2 34 5 67 8 9

Sudoku vs. Graphenfärbung 4 / 16

Modellierungsansatz

Modell mit Gleichungen

. Neun 0-1-Variablen pro Feld:x1,1,1, x1,1,2, x1,1,3, x1,1,4, . . . ,x1,1,9

. pro Feld: x1,1,1+. . .+x1,1,9 = 1

. pro Zeile: x1,1,3+. . .+x1,9,3 = 1

. pro Spalte: x1,1,3+. . .+x9,1,3 = 1

. pro Block: x1,1,3+. . .+x3,3,3 = 1

. Fixieren:

729 Variablen, 243 Gleichungen

3 87

42

9 8 2

9

73 6

53 8

4

2

71

5 8 3

8 6 316

1 2 34 5 67 8 9

Sudoku vs. Graphenfärbung 4 / 16

Modellierungsansatz

Modell mit Gleichungen

. Neun 0-1-Variablen pro Feld:x1,1,1, x1,1,2, x1,1,3, x1,1,4, . . . ,x1,1,9

. pro Feld: x1,1,1+. . .+x1,1,9 = 1

. pro Zeile: x1,1,3+. . .+x1,9,3 = 1

. pro Spalte: x1,1,3+. . .+x9,1,3 = 1

. pro Block: x1,1,3+. . .+x3,3,3 = 1

. Fixieren: Vorgegebene Zahlen

729 Variablen, 243 Gleichungen

3 87

42

9 8 2

9

73 6

53 8

4

2

71

5 8 3

8 6 316

1 2 34 5 67 8 9

3

Sudoku vs. Graphenfärbung 4 / 16

Modellierungsansatz

Modell mit Gleichungen

. Neun 0-1-Variablen pro Feld:x1,1,1, x1,1,2, x1,1,3, x1,1,4, . . . ,x1,1,9

. pro Feld: x1,1,1+. . .+x1,1,9 = 1

. pro Zeile: x1,1,3+. . .+x1,9,3 = 1

. pro Spalte: x1,1,3+. . .+x9,1,3 = 1

. pro Block: x1,1,3+. . .+x3,3,3 = 1

. Fixieren: x2,2,3 = 1,. . .

729 Variablen, 324 Gleichungen

3 87

42

9 8 2

9

73 6

53 8

4

2

71

5 8 3

8 6 316

1 2 34 5 67 8 9

3

Sudoku vs. Graphenfärbung 4 / 16

Varianten

Andere Zahlenrätsel

. X-Sudoku

. 16x16-Sudoku

. 3D-Sudoku

. Kakuro

. Killer-Sudoku

. Ensaimada

. Vergleichs-Sudoku

Sudoku vs. Graphenfärbung 5 / 16

Varianten

Andere Zahlenrätsel

. X-Sudoku

. 16x16-Sudoku

. 3D-Sudoku

. Kakuro

. Killer-Sudoku

. Ensaimada

. Vergleichs-Sudoku

Sudoku vs. Graphenfärbung 5 / 16

Varianten

Andere Zahlenrätsel

. X-Sudoku

. 16x16-Sudoku

. 3D-Sudoku

. Kakuro

. Killer-Sudoku

. Ensaimada

. Vergleichs-Sudoku

Sudoku vs. Graphenfärbung 5 / 16

Varianten

Andere Zahlenrätsel

. X-Sudoku

. 16x16-Sudoku

. 3D-Sudoku

. Kakuro

. Killer-Sudoku

. Ensaimada

. Vergleichs-Sudoku

Sudoku vs. Graphenfärbung 5 / 16

Varianten

Andere Zahlenrätsel

. X-Sudoku

. 16x16-Sudoku

. 3D-Sudoku

. Kakuro

. Killer-Sudoku

. Ensaimada

. Vergleichs-Sudoku

Sudoku vs. Graphenfärbung 5 / 16

Varianten

Andere Zahlenrätsel

. X-Sudoku

. 16x16-Sudoku

. 3D-Sudoku

. Kakuro

. Killer-Sudoku

. Ensaimada

. Vergleichs-Sudoku

Sudoku vs. Graphenfärbung 5 / 16

Varianten

Andere Zahlenrätsel

. X-Sudoku

. 16x16-Sudoku

. 3D-Sudoku

. Kakuro

. Killer-Sudoku

. Ensaimada

. Vergleichs-Sudoku

Sudoku vs. Graphenfärbung 5 / 16

Graphenfärbung

Graphen und Färbung

. Graph:

Knoten, Kanten. Färbung:

I Jeder Knoten eine FarbeI Kante ⇒ verschiedene Farben

I Färbungszahl

Sudoku vs. Graphenfärbung 6 / 16

Graphenfärbung

Graphen und Färbung

. Graph: Knoten,

Kanten. Färbung:

I Jeder Knoten eine FarbeI Kante ⇒ verschiedene Farben

I Färbungszahl

Sudoku vs. Graphenfärbung 6 / 16

Graphenfärbung

Graphen und Färbung

. Graph: Knoten, Kanten

. Färbung:I Jeder Knoten eine FarbeI Kante ⇒ verschiedene Farben

I Färbungszahl

Sudoku vs. Graphenfärbung 6 / 16

Graphenfärbung

Graphen und Färbung

. Graph: Knoten, Kanten

. Färbung:I Jeder Knoten eine FarbeI Kante ⇒ verschiedene Farben

I Färbungszahl

Sudoku vs. Graphenfärbung 6 / 16

Graphenfärbung

Graphen und Färbung

. Graph: Knoten, Kanten

. Färbung:I Jeder Knoten eine FarbeI Kante ⇒ verschiedene FarbenI Färbungszahl

Sudoku vs. Graphenfärbung 6 / 16

Ein typisches Färbungsproblem

Kartenfärbung

. Ziel: Länder mit gemeinsamerGrenze verschieden einfärben

. Idee: Nachbarschaftsgraph

. Resultat: 4-Farben-Satz

Sudoku vs. Graphenfärbung 7 / 16

Ein typisches Färbungsproblem

Kartenfärbung

. Ziel: Länder mit gemeinsamerGrenze verschieden einfärben

. Idee: Nachbarschaftsgraph

. Resultat: 4-Farben-Satz

Sudoku vs. Graphenfärbung 8 / 16

Ein typisches Färbungsproblem

Kartenfärbung

. Ziel: Länder mit gemeinsamerGrenze verschieden einfärben

. Idee: Nachbarschaftsgraph

. Resultat: 4-Farben-Satz

Sudoku vs. Graphenfärbung 8 / 16

Ein typisches Färbungsproblem

Kartenfärbung

. Ziel: Länder mit gemeinsamerGrenze verschieden einfärben

. Idee: Nachbarschaftsgraph

. Resultat: 4-Farben-Satz

Sudoku vs. Graphenfärbung 8 / 16

Ein typisches Färbungsproblem

Kartenfärbung

. Ziel: Länder mit gemeinsamerGrenze verschieden einfärben

. Idee: Nachbarschaftsgraph

. Resultat: 4-Farben-Satz

Sudoku vs. Graphenfärbung 9 / 16

Optimierung in der Telekommunikation

Frequenzzuweisung

. GSM-Funknetze:Farben =̂ Frequenzen

. MATHEON B-4: Planning theUMTS radio interface

. Ziel: Funknetz optimalkonfigurieren

Sudoku vs. Graphenfärbung 10 / 16

Optimierung in der Telekommunikation

Frequenzzuweisung

. GSM-Funknetze:Farben =̂ Frequenzen

. MATHEON B-4: Planning theUMTS radio interface

. Ziel: Funknetz optimalkonfigurieren

Sudoku vs. Graphenfärbung 10 / 16

Optimierung in der Telekommunikation

Frequenzzuweisung

. GSM-Funknetze:Farben =̂ Frequenzen

. MATHEON B-4: Planning theUMTS radio interface

. Ziel: Funknetz optimalkonfigurieren

Sudoku vs. Graphenfärbung 10 / 16

Optimierung in der Telekommunikation

Frequenzzuweisung

. GSM-Funknetze:Farben =̂ Frequenzen

. MATHEON B-4: Planning theUMTS radio interface

. Ziel: Funknetz optimalkonfigurieren

Sudoku vs. Graphenfärbung 10 / 16

Sudoku ⇔ Graphenfärbung

Der Sudokugraph

. Zahlen ⇔ Farben

. Felder ⇔ Knoten

. Konflikte ⇔ Kanten

. Lösung ⇔ 9-Färbung

3 87

42

9 8 2

9

73 6

53 8

4

2

71

5 8 3

8 6 316

465873192 4

35621879

786549321

824916735

617435298

359782146

178264953

962153487

543897612

Sudoku vs. Graphenfärbung 11 / 16

Sudoku ⇔ Graphenfärbung

Der Sudokugraph

. Zahlen ⇔ Farben

. Felder ⇔ Knoten

. Konflikte ⇔ Kanten

. Lösung ⇔ 9-Färbung

3 87

42

9 8 2

9

73 6

53 8

4

2

71

5 8 3

8 6 316

465873192 4

35621879

786549321

824916735

617435298

359782146

178264953

962153487

543897612

Sudoku vs. Graphenfärbung 11 / 16

Sudoku ⇔ Graphenfärbung

Der Sudokugraph

. Zahlen ⇔ Farben

. Felder ⇔ Knoten

. Konflikte ⇔ Kanten

. Lösung ⇔ 9-Färbung

465873192 4

35621879

786549321

824916735

617435298

359782146

178264953

962153487

543897612

Sudoku vs. Graphenfärbung 11 / 16

Sudoku ⇔ Graphenfärbung

Der Sudokugraph

. Zahlen ⇔ Farben

. Felder ⇔ Knoten

. Konflikte ⇔ Kanten

. Lösung ⇔ 9-Färbung

465873192 4

35621879

786549321

824916735

617435298

359782146

178264953

962153487

543897612

Sudoku vs. Graphenfärbung 11 / 16

Sudoku ⇔ Graphenfärbung

Der Sudokugraph

. Zahlen ⇔ Farben

. Felder ⇔ Knoten

. Konflikte ⇔ Kanten

. Lösung ⇔ 9-Färbung

465873192 4

35621879

786549321

824916735

617435298

359782146

178264953

962153487

543897612

Sudoku vs. Graphenfärbung 11 / 16

Sudoku ⇔ Graphenfärbung

Der Sudokugraph

. Zahlen ⇔ Farben

. Felder ⇔ Knoten

. Konflikte ⇔ Kanten

. Lösung ⇔ 9-Färbung

465873192 4

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Sudoku vs. Graphenfärbung 11 / 16

Sudoku ⇔ Graphenfärbung

Der Sudokugraph

. Zahlen ⇔ Farben

. Felder ⇔ Knoten

. Konflikte ⇔ Kanten

. Lösung ⇔ 9-Färbung

465873192 4

35621879

786549321

824916735

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178264953

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Sudoku vs. Graphenfärbung 11 / 16

Sudoku ⇔ Graphenfärbung

Der Sudokugraph

. Zahlen ⇔ Farben

. Felder ⇔ Knoten

. Konflikte ⇔ Kanten

. Lösung ⇔ 9-Färbung

465873192 4

35621879

786549321

824916735

617435298

359782146

178264953

962153487

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Sudoku vs. Graphenfärbung 11 / 16

Sudoku ⇔ Graphenfärbung

Der Sudokugraph

. Zahlen ⇔ Farben

. Felder ⇔ Knoten

. Konflikte ⇔ Kanten

. Lösung ⇔ 9-Färbung

465873192 4

35621879

786549321

824916735

617435298

359782146

178264953

962153487

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Sudoku vs. Graphenfärbung 11 / 16

Software

Sudoku-Löser

. Verfügbar unter:http://www.matheon.de/specialities/sudoku.asp

. Löst ein GanzzahligesProgramm

. Benutzt die Software SCIP

Sudoku vs. Graphenfärbung 12 / 16

Symmetrie

3 87

42

9 8 2

9

73 6

53 8

4

2

71

5 8 3

8 6 316

7→ 9, 9→ 2, . . .

Anzahl möglicher Sudokus:≈ 6,67 · 1021 = 6,67 Trilliarden

3 87

429 8 2

9

73 6

5384

2

71

5 8 3

86 316

7→ 9, 9→ 2, . . .

Anzahl nichtsymm. Sudokus:≈ 5,47 · 1010 = 54,7 Milliarden

Sudoku vs. Graphenfärbung 13 / 16

Symmetrie

3 87

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8 6 316

7→ 9, 9→ 2, . . .

Anzahl möglicher Sudokus:≈ 6,67 · 1021 = 6,67 Trilliarden

5 19

64

2 1 4

2

95 8

75 1

6

4

93

7 1 5

1 8 538

7→ 9, 9→ 2, . . .

Anzahl nichtsymm. Sudokus:≈ 5,47 · 1010 = 54,7 Milliarden

Sudoku vs. Graphenfärbung 13 / 16

Symmetrie

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4

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7→ 9, 9→ 2, . . .

Anzahl möglicher Sudokus:≈ 6,67 · 1021 = 6,67 Trilliarden

5 19

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7→ 9, 9→ 2, . . .

Anzahl nichtsymm. Sudokus:≈ 5,47 · 1010 = 54,7 Milliarden

Sudoku vs. Graphenfärbung 13 / 16

Symmetrie

3 87

42

9 8 2

9

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4

2

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5 8 3

8 6 316

7→ 9, 9→ 2, . . .

Anzahl möglicher Sudokus:≈ 6,67 · 1021 = 6,67 Trilliarden

5 19

64

2 1 4

2

95 8

75 1

6

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93

7 1 5

1 8 538

7→ 9, 9→ 2, . . .

Anzahl nichtsymm. Sudokus:≈ 5,47 · 1010 = 54,7 Milliarden

Sudoku vs. Graphenfärbung 13 / 16

Aktuelle Forschung

Umgang mit Symmetrien

. Ursache: Äquivalente Lösungen

. Problem: Langsamer,schlechtere Abschätzungen

. Idee: Sortierung

Ganzzahlige Programmierung

. Lösen “riesiger” Gleichungssysteme

. Anwendungen:I FrequenzzuweisungI FahrplanerstellungI Chip-Design, . . .

Sudoku vs. Graphenfärbung 14 / 16

Aktuelle Forschung

Umgang mit Symmetrien

. Ursache: Äquivalente Lösungen

. Problem: Langsamer,schlechtere Abschätzungen

. Idee: Sortierung

Ganzzahlige Programmierung

. Lösen “riesiger” Gleichungssysteme

. Anwendungen:I FrequenzzuweisungI FahrplanerstellungI Chip-Design, . . .

Sudoku vs. Graphenfärbung 14 / 16

Aktuelle Forschung

Umgang mit Symmetrien

. Ursache: Äquivalente Lösungen

. Problem: Langsamer,schlechtere Abschätzungen

. Idee: Sortierung

Ganzzahlige Programmierung

. Lösen “riesiger” Gleichungssysteme

. Anwendungen:I FrequenzzuweisungI FahrplanerstellungI Chip-Design, . . .

Sudoku vs. Graphenfärbung 14 / 16

Aktuelle Forschung

Umgang mit Symmetrien

. Ursache: Äquivalente Lösungen

. Problem: Langsamer,schlechtere Abschätzungen

. Idee: Sortierung

Ganzzahlige Programmierung

. Lösen “riesiger” Gleichungssysteme

. Anwendungen:I FrequenzzuweisungI FahrplanerstellungI Chip-Design, . . .

Sudoku vs. Graphenfärbung 14 / 16

P = NP? P 6= NP?

Ausgangslage

. Seien ein beliebiger Graph und eine beliebige Zahl k ∈ N gegeben

. Suchverfahren: Findet Färbung mit k Farben oder stellt fest, dass derGraph nicht k-färbbar ist

. Prüfverfahren: Überprüft für vorgegebene k-Färbung, ob sie korrekt ist

Ein Millennium-Problem

. Frage: Gibt es ein Suchverfahren, das “vergleichbar” schnell ist wie eineffizientes Prüfverfahren?

. Antwort: Ungeklärt . . .

. Belohnung: 1 Million Dollar

Sudoku vs. Graphenfärbung 15 / 16

P = NP? P 6= NP?

Ausgangslage

. Seien ein beliebiger Graph und eine beliebige Zahl k ∈ N gegeben

. Suchverfahren: Findet Färbung mit k Farben oder stellt fest, dass derGraph nicht k-färbbar ist

. Prüfverfahren: Überprüft für vorgegebene k-Färbung, ob sie korrekt ist

Ein Millennium-Problem

. Frage: Gibt es ein Suchverfahren, das “vergleichbar” schnell ist wie eineffizientes Prüfverfahren?

. Antwort: Ungeklärt . . .

. Belohnung: 1 Million Dollar

Sudoku vs. Graphenfärbung 15 / 16

P = NP? P 6= NP?

Ausgangslage

. Seien ein beliebiger Graph und eine beliebige Zahl k ∈ N gegeben

. Suchverfahren: Findet Färbung mit k Farben oder stellt fest, dass derGraph nicht k-färbbar ist

. Prüfverfahren: Überprüft für vorgegebene k-Färbung, ob sie korrekt ist

Ein Millennium-Problem

. Frage: Gibt es ein Suchverfahren, das “vergleichbar” schnell ist wie eineffizientes Prüfverfahren?

. Antwort: Ungeklärt . . .

. Belohnung: 1 Million Dollar

Sudoku vs. Graphenfärbung 15 / 16

P = NP? P 6= NP?

Ausgangslage

. Seien ein beliebiger Graph und eine beliebige Zahl k ∈ N gegeben

. Suchverfahren: Findet Färbung mit k Farben oder stellt fest, dass derGraph nicht k-färbbar ist

. Prüfverfahren: Überprüft für vorgegebene k-Färbung, ob sie korrekt ist

Ein Millennium-Problem

. Frage: Gibt es ein Suchverfahren, das “vergleichbar” schnell ist wie eineffizientes Prüfverfahren?

. Antwort: Ungeklärt . . .

. Belohnung: 1 Million Dollar

Sudoku vs. Graphenfärbung 15 / 16

Sudoku vs. GraphenfärbungWenn alles verschieden sein muss

Timo BertholdZuse Institut Berlin

DFG-Forschungszentrum MATHEONMathematik für Schlüsseltechnologien

Berlin, 14.06.2008