Studio della evoluzione temporale del numero di individui di una popolazione mediante il programma...
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Studio della evoluzione temporale del numero di individui di una popolazione mediante il programma Excell
Con i simboli
0 1 2, , ,...A A ASi indica il numero di individui all’inizio, dopo un periodo di tempo (es. 1 mese, o 1 anno) , dopo un periodo doppio,ecc.
Modello geometrico o modello malthusiano
)1(1 rAA nn
E’ quello secondo il quale l’aumento della popolazione in un periodo unitario di tempo è proporzionale alla popolazione presente al momento in cui si calcola la variazione
1n n nA A r A cioè
Critica al modello di crescita malthusiano
Sono stati raccolti i dati della popolazione degli USA negli anni dal 1790 al 1950.
Data la tabella di crescita effettiva della popolazione degli USA si può verificare se il modello malthusiano descrive correttamente la variazione di popolazione nel corso degli anni.
La formula del modello malthusiano
dipende dalla costante di crescita r :
t anno popolazione effettiva
0 1790 3.929.000
1 1800 5.308.000
2 1810 7.240.000
3 1820 9.638.000
4 1830 12.866.000
5 1840 17.069.000
6 1850 23.192.000
7 1860 31.443.000
8 1870 38.558.000
9 1880 50.156.000
10 1890 62.948.000
11 1900 75.995.000
12 1910 91.972.000
13 1920 105.711.000
14 1930 122.775.000
15 1940 131.669.000
16 1950 150.697.000
n
nn
A
AAr
1
)1(1 rAA nn
Calcolando la popolazione utilizzando la formula di crescita del modello malthusiano
si constata che i valori della popolazione fino al 7° periodo sono simili mentre dall’8° periodo iniziano a differire con notevoli errori.
)1(1 rAA nn
t anno popolazione effettiva r r medio popolazione con legge errore assolutoerrore percentuale
0 1790 3.929.000 0,35098 0,346038 3.929.000 0 0,00%
1 1800 5.308.000 0,363979 5.288.582 -19.418 -0,37%
2 1810 7.240.000 0,331215 7.118.630 -121.370 -1,68%
3 1820 9.638.000 0,334924 9.581.943 -56.057 -0,58%
4 1830 12.866.000 0,326675 12.897.656 31.656 0,25%
5 1840 17.069.000 0,35872 17.360.730 291.730 1,71%
6 1850 23.192.000 0,355769 23.368.195 176.195 0,76%
7 1860 31.443.000 0,226282 31.454.470 11.470 0,04%
8 1870 38.558.000 0,300794 42.338.899 3.780.899 9,81%
9 1880 50.156.000 0,255044 56.989.750 6.833.750 13,62%
10 1890 62.948.000 0,207266 76.710.346 13.762.346 21,86%
11 1900 75.995.000 0,210238 103.255.010 27.260.010 35,87%
12 1910 91.972.000 0,149382 138.985.126 47.013.126 51,12%
13 1920 105.711.000 0,161421 187.079.206 81.368.206 76,97%
14 1930 122.775.000 0,072441 251.815.645 129.040.645 105,10%
15 1940 131.669.000 0,144514 338.953.326 207.284.326 157,43%
16 1950 150.697.000 456.243.921 305.546.921 202,76%
Grafico popolazione effettiva e popolazione calcolata con modello malthusiano
0
50.000.000
100.000.000
150.000.000
200.000.000
250.000.000
300.000.000
350.000.000
400.000.000
450.000.000
500.000.000
1780 1800 1820 1840 1860 1880 1900 1920 1940 1960
anno
po
po
lazi
on
e
popolazione effettiva
popolazione con legge
Il modello logistico
Si deve sostituire alla costante r una funzione che rappresenti il rapporto di crescita
Bisogna fare alcune ipotesi.
L’ambiente in cui vive la popolazione può sostenere un numero massimo di individui L. Se An>L non ci sono abbastanza risorse e il numero di morti supera quello dei nati
Se An<L la popolazione aumenta
Se An è molto piccolo in rapporto a L, allora la funzione di crescita è simile al fattore r
0)( nAf
n
nnn A
AAAf
1)(
LAn
LAn 0)( nAf
LAn rAf n )(
Individuare una funzione che abbia le caratteristiche descritte
Sapendo che il modello di crescita dipende dalla funzione si deve individuare la funzione che si comporti secondo le caratteristiche precedentemente descritte.
)( nAf
nnnn AAfAA )(1
)( nAf
Individuiamo la funzione:
L
ALrAf
ArLrAfL
ArrAfLL
A
r
rAf
xx
xx
yy
yy
nn
nn
nn
nn
)()(
)(
))((0
0
0
)(
)()(
)()(
)()(
)()(
12
1
12
1
)1()( )()( L
ArAf n
n
Con questa funzione si ottiene che e quindi , possiamo ora calcolare con la nuova formula la
popolazione secondo il modello logistico.
)1( )()()()1( L
AArAA nnnn
2)()()1( )1( nnn A
L
rArA
anno popolazione effettiva r medio con modello logistico L errore errore percentuale
1790 3.929.000 0,346038 3.929.000 195.000.000 0 0,00%
1800 5.308.000 5.261.188 -46.812 -0,88%
1810 7.240.000 7.032.637 -207.363 -2,86%
1820 9.638.000 9.378.428 -259.572 -2,69%
1830 12.866.000 12.467.636 -398.364 -3,10%
1840 17.069.000 16.506.067 -562.933 -3,30%
1850 23.192.000 21.734.310 -1.457.690 -6,29%
1860 31.443.000 28.416.935 -3.026.065 -9,62%
1870 38.558.000 36.817.274 -1.740.726 -4,51%
1880 50.156.000 47.152.009 -3.003.991 -5,99%
1890 62.948.000 59.522.995 -3.425.005 -5,44%
1900 75.995.000 73.832.975 -2.162.025 -2,84%
1910 91.972.000 89.708.332 -2.263.668 -2,46%
1920 105.711.000 106.469.932 758.932 0,72%
1930 122.775.000 123.196.485 421.485 0,34%
1940 131.669.000 138.894.065 7.225.065 5,49%
1950 150.697.000 152.722.759 2.025.759 1,34%
Confrontando la popolazione effettiva con quella calcolata con il modello logistico possiamo vedere dal grafico che coincidono.
0
20.000.000
40.000.000
60.000.000
80.000.000
100.000.000
120.000.000
140.000.000
160.000.000
180.000.000
1750 1800 1850 1900 1950 2000
anno
po
po
lazio
ne
popolazione effettiva
con modello logistico
Prendendo un qualsiasi valore della popolazione iniziale e calcolando la crescita con il modello logistico si nota che tutte le curve si stabilizzano quando raggiungono il numero massimo di individui L.
0
50.000.000
100.000.000
150.000.000
200.000.000
250.000.000
300.000.000
350.000.000
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Rapidità di crescitaovvero come e quando la curva cresce e decresce
)()1()( nnn AAA
rapidità di crescita crescente
rapidità di crescita decrescente
1.332.188 16.726.553
1.771.449 15.697.580
2.345.791 13.828.694
3.089.208 11.457.743
4.038.431 8.979.162
5.228.243 6.711.116
6.682.625 4.829.096
8.400.338 3.375.963
10.334.735 2.310.941
12.370.986 1.558.582
14.309.980 1.040.462
15.875.357 689.782
16.761.600 455.178
299.441
196.588
128.890
84.430
55.275
36.174
23.667
rapidità di crescita
0
2.000.000
4.000.000
6.000.000
8.000.000
10.000.000
12.000.000
14.000.000
16.000.000
18.000.000
1750 1800 1850 1900 1950 2000 2050 2100 2150
anno
dA
(n)
Guardando il grafico si nota che la curva raggiunge il massimo della rapidità e inizia a decrescere circa a metà tra il punto di partenza della popolazione e il numero massimo di individui.