Carbonio: esempi di strutture lineari Carbonio: esempi di strutture lineari.
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Sussidi didattici per il corso di
STRUTTURE IN
Sussidi didattici per il corso di COSTRUZIONI EDILI
Prof. Ing. Francesco Zanghì
STRUTTURE IN LEGNO I
AGGIORNAMENTO 14/01/2013
II
Corso di COSTRUZIONI EDILI Prof. Ing. Francesco Zanghì
2
FLESSIONE SEMPLICE RETTA La verifica a flessione retta è soddisfatta quando:
m
dmSd
k
f
W
M ,≤=σ che può essere scritta nella forma
1,
≤dm
mf
kσ
h
M
km
dm kfk
fγ
,mod
,
⋅=
km è un coefficiente convenzionale che tiene conto del diverso comportamento del legno a trazione e
compressione e della disomogeneità del materiale. Vale km=0.7 per sezioni rettangolari e km=1 per le altre sezioni.
kh è un coefficiente che incrementa la resistenza quando la dimensione della sezione Lmax, parallela al piano di sollecitazione, è inferiore a 15 cm per legno massiccio o 60 cm per il lamellare.
= 3.1;
150min
2
hkh se Lmax < 15 cm per legno massiccio
= 1.1;
600min
2
hkh se Lmax < 60 cm per legno lamellare
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3
FLESSIONE SEMPLICE DEVIATA
Scomponiamo il momento flettente totale, agente sulla sezione, nelle due componenti parallela e perpendicolare al sistema di riferimento locale x-y della sezione:
αcos⋅= MM x αsin⋅= MM y
Calcoliamo i moduli di resistenza Wx e Wy della sezione rettangolare:
6
2hbWx =
6
2bhW y =
Calcoliamo le tensioni di progetto nelle due direzioni:
x
xx
W
M=σ
y
y
yW
M=σ
Calcoliamo le resistenze di progetto nelle due direzioni, valutando il coefficiente kh in funzione della dimensione della sezione :
xh
M
km
dxm kfk
f ,
,mod
,,γ
⋅= yh
M
km
dym kfk
f ,
,mod
,,γ
⋅=
Applicando il principio di sovrapposizione degli effetti, considerando il coefficiente km agente in modo alternato nelle due direzioni, la verifica a flessione deviata risulta positiva se sono soddisfatte le due diseguaglianze:
1,,,,
≤+dym
y
dxm
xm
ffk
σσ
1,,,,
≤+dym
y
m
dxm
x
fk
f
σσ
α
s
s
x
y
M
Mx
My
α
F
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4
ESEMPIO N°2
Progettare gli arcarecci di cui all’ESEMPIO 1 sapendo che il manto di copertura è realizzato mediante tegole marsigliesi (G2=0.45 kN/m2), e che il sovraccarico accidentale per neve vale Q=0.70 kN/m2. La luce degli arcarecci è pari all’interasse fra le capriate cioè 3.00 m. L’interasse fra gli arcarecci è di 80 cm.
Predimensioniamo gli arcarecci tramite, la tabella di prontuario, scegliendo l’interasse minimo di 1.20 m, luce pari a 3.00 m e carico compreso tra 1.40 e 1.60 (0.45+0.70=1.15 kN/m2):
Arcarecci 12x18 cm
Analisi dei carichi per metro di trave
• Peso proprio arcareccio: (0.12 x 0.18 x 1.00) x 4.20 kN/m3 G1 = 0.09 kN/m
• Peso proprio copertura: 0.45 kN/m3 x 0.8 G2 = 0.36 kN/m
• Sovraccarico accidentale (neve): 0.70 kN/m3 x 0.8 Q = 0.56 kN/m
Calcolo sollecitazioni allo SLU:
( ) ( ) ( ) mkNQGGq sd /50.156.05.136.05.109.03.15.15.13.1 21 =⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=
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5
⇒==⋅
== kNcmkNmql
M sd 16969.18
350.1
8
22
Verifica a flessione deviata:
Calcolo dei moduli di resistenza:
322
6486
1812
6cm
hbWx =
⋅== ;
322
4326
1218
6cm
bhW y =
⋅==
Calcolo delle resistenze di progetto nelle due direzioni:
- Il direzione x, kh,x = 1 perché 18>15 cm
2,
,mod
,, 120.115.1
4.27.0
cm
kNk
fkf xh
M
km
dxm =⋅⋅
=⋅
=⇒γ
- Il direzione y, poiché 14<15 cm:
[ ] 30.13.1;56.1min3.1;120
150min3.1;
150min
22
, ==
=
=
hk yh
Calcolo delle tensioni di progetto nelle due direzioni:
2248.0
648
161
cm
kN
W
M
x
xx ===σ 2
123.0432
53
cm
kN
W
M
y
y
y ===σ
Verifica:
124.0456.1
123.0
120.1
248.07.0 ≤=+ 128.0
456.1
123.07.0
120.1
248.0≤=+ VERIFICA POSITIVA
kNcmMM x 16118cos169cos ≈°⋅=⋅= α
kNcmMM y 5318cos169sin ≈°⋅=⋅= α
2
,mod
,, 456.130.15.1
4.27.0
cm
kNk
fkf h
M
km
dym =⋅⋅
=⋅
=⇒γ
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6
1,
,
2
,0,
,0, ≤+
dm
dm
m
dc
dc
fk
f
σσ
PRESSO-FLESSIONE SEMPLICE
Applicando, anche in questo caso, il principio di sovrapposizione degli effetti, procedendo con la stessa logica adottata per la verifica a compressione e a flessione, la verifica a presso-flessione semplice risulta positiva se è soddisfatta la diseguaglianza indicata a lato.
Nel calcolo della tensione di progetto a compressione, in direzione parallela alla fibratura, dc ,0,σ , occorrerà tenere conto dell’instabilità, come già visto in precedenza.
PRESSO-FLESSIONE DEVIATA
Stessa logica. Questa volta occorrerà soddisfare due diseguaglianze:
1,,
,,
,,
,,
2
,0,
,0, ≤++
dym
dym
dxm
dxm
m
dc
dc
ffk
f
σσσ
1,,
,,
,,
,,
2
,0,
,0, ≤++
dym
dym
m
dxm
dxm
dc
dc
fk
ff
σσσ
TENSO-FLESSIONE SEMPLICE
1,
,
,0,
,0, ≤+dm
dm
m
dt
dt
fk
f
σσ
TENSO-FLESSIONE DEVIATA
1,,
,,
,,
,,
,0,
,0, ≤++dym
dym
dxm
dxm
m
dt
dt
ffk
f
σσσ
1,,
,,
,,
,,
,0,
,0, ≤++dym
dym
m
dxm
dxm
dt
dt
fk
ff
σσσ
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ESEMPIO N°3
Verificare la catena di cui all’ESEMPIO 1 sapendo che lo sforzo di trazione su di essa agente è pari a +75 kN.
La catena, di dimensioni 14x21, è soggetta a TRAZIONE, quale componente del sistema reticolare della capriata e a FLESSIONE SEMPLICE RETTA, quale trave isostatica in semplice appoggio, di luce l=8.00 m , soggetta al proprio peso pari a:
( ) mkNq sd /16.02.400.121.014.03.1 =⋅⋅⋅⋅=
Verifica a tenso-flessione retta
Il momento flettente massimo allo SLU è: Il modulo di resistenza, per sezione rettangolare, è:
Poiché l’altezza è > di 15 cm il coefficiente kh vale 1. La resistenza di progetto per flessione, per legno di classe C24, è:
2
,mod
, 120.115.1
4.27.0
cm
kNk
fkf h
M
km
dm =⋅⋅
=⋅
=γ
La resistenza di progetto a trazione è:
2
,0,mod
,0, 653.05.1
4.17.0
cm
kNfkf
M
kt
dt =⋅
=⋅
=γ
Le tensione di progetto a trazione e a flessione valgono rispettivamente:
2,0, 255.0294
75
2114
75
cm
kN
A
NSddt ==
⋅==σ 2, 125.0
1029
128
cm
kN
W
M Sddm ≈==σ
Verifica:
1,
,
,0,
,0, ≤+dm
dm
m
dt
dt
fk
f
σσ 1468.0
120.1
125.07.0
653.0
255.0<=+ VERIFICA POSITIVA
kNcmkNmql
M sd 12828.18
816.0
8
22
==⋅
==
322
10296
2114
6cm
hbW =
⋅==
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8
ESEMPIO N°4
Verificare il puntone di cui all’ESEMPIO 1 sapendo che lo sforzo di compressione allo SLU, calcolato risolvendo lo schema di trave reticolare, vale -70 kN.
Il puntone, di dimensioni 14x18, è soggetto a COMPRESSIONE, quale componente del sistema reticolare della capriata e a FLESSIONE SEMPLICE RETTA, quale trave isostatica in semplice appoggio, di luce l=2.80 m , soggetta al proprio peso e alle azioni concentrate trasmesse dai due arcarecci che gravano sull’asta.
Analisi dei carichi SLU
Il valore allo SLU del carico concentrato trasmesso dall’arcareccio si ricava facilmente da calcoli eseguiti nell’ESEMPIO 2. Il carico ripartito calcolato vale 1.50 kN/m e la luce dell’arcareccio è 3.00 m.
- peso proprio puntone allo SLU: 1.3 x (0.14 x 0.18 x 1.00) x 4.20 kN/m3 = 0.14 kN/m
- carico concentrato arcareccio: (1.50 x 3.00)/2 = 2.25 kN
- sforzo di compressione puntone: 70 kN
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Calcolo delle tensioni e delle resistenze
FLESSIONE
Il momento flettente massimo allo SLU è:
kNcmkNmFlql
M sd 22424.23
80.225.2
8
80.214.0
38
22
==⋅
+⋅
=+=
Il modulo di resistenza, per sezione rettangolare, è:
Poiché l’altezza è > di 15 cm il coefficiente kh vale 1. La resistenza di progetto a flessione, per legno di classe C24, è:
2
,mod
, 120.115.1
4.27.0
cm
kNk
fkf h
M
km
dm =⋅⋅
=⋅
=γ
Le tensione di progetto a flessione vale:
2, 296.0756
224
cm
kN
W
M Sddm ===σ
COMPRESSIONE + INSTABILITÁ Il puntone si considera incernierato agli estremi pertanto la lunghezza libera di inflessione l0=l=2.80 m.
43
min 411612
1418cmJ =
⋅= ⇒ cm
A
Ji 04.4
252
4116minmin === ⇒ 31.69
04.4
280==λ
3.0175.17400
2131.69
05,0
,0,
, >===ππ
λλ
E
f kc
crel ⇒ ( ) ( )
28.12
175.13.0175.12.01
2
3.01 2,
2
, =+−+
=+−+
=crelcrelc
kλλβ
322
7566
1814
6cm
hbW =
⋅==
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10
33.0175.128.128.1
11
22,
22, =
−+=
−+=
crel
ccrit
kkk
λ
La resistenza a compressione parallela alla fibratura vale, pertanto:
2
,0,mod,
,0, 323.05.1
1.270.033.0
cm
kNfkkf
M
kcccrit
dc =⋅⋅
=⋅⋅
=γ
Le tensione di progetto a compressione vale:
2,0, 278.0252
70
cm
kN
A
N Sd
dc ===σ
Verifica a presso-flessione retta
1,
,
2
,0,
,0, ≤+
dm
dm
m
dc
dc
fk
f
σσ 193.0
120.1
296.07.0
323.0
278.02
<=+
VERIFICA POSITIVA
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TAGLIO
Ipotizzando per semplicità che la sezione sia di materiale omogeneo, calcoleremo la massima tensione tangenziale agente sulla sezione applicando la nota formula di Jourawski (vedi dispensa “Sollecitazioni semplici”). La verifica a taglio retta è soddisfatta quando:
M
kvSdfk
Jb
SV
γτ ,mod ⋅
≤⋅
⋅=
Per sezioni rettangolari, la massima tensione tangenziale può essere facilmente espressa in funzione del taglio e delle dimensioni della sezione. La formula di verifica diventa:
M
kvSdfk
hb
V
γτ ,mod
2
3 ⋅≤
⋅=
ESEMPIO N°5
Verificare a taglio gli arcarecci di cui all’ESEMPIO 2. Il taglio massimo di progetto massimo allo SLU è:
Verifica:
2
,mod
2max 12.05.1
25.07.0016.0
1812
25.2
2
3
2
3
cm
kNfk
cm
kN
hb
V
M
kvSd =⋅
=⋅
<=⋅
⋅=⋅
=γ
τ VERIFICA POSITIVA
kNql
Vsd 25.22
350.1
2=
⋅==
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VERIFICHE DI DEFORMABILITÁ ALLO SLE
Generalmente la verifica consiste nel calcolare la freccia per elementi inflessi e controllare che questa rientri entro valori accettabili in relazione alla funzionalità dell’opera. Le deformazioni dovute a sforzo normale possono essere ritenute trascurabili. Quelle dovute a flessione sono determinanti in relazione al valore relativamente basso del modulo elastico del legno e alla notevole influenza dell’umidità e degli effetti viscosi (fluage), cioè quei fenomeni che implicano il progredire lento, nel tempo, delle deformazioni per i carichi permanenti.
La freccia finale, δfin, sarà ottenuta sommando alla freccia iniziale, istantanea, δin, il valore dell’incremento
δdif dovuto all’umidità e alla viscosità.
δfin = δin + δdif
• δin verrà calcolato con riferimento alla combinazione di carico RARA: QGGFd ++= 21
• δdif verrà calcolato con riferimento alla combinazione di carico QUASI PERMANENTE: QGGFd ⋅++= 2121 ψ
Inoltre il modulo elastico del legno dovrà essere corretto secondo la seguente espressione:
Tabella per il calcolo del coefficiente kdef
def
mean
difk
EE
+=
1
,0
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Tabella per il calcolo del coefficiente ψ21
La freccia calcolata dovrà essere confrontata con i limiti riportati nella seguente tabella:
Elementi strutturali δfin Strutture a sbalzo senza carichi mobili L/150 Elementi di copertura (esclusi solai) L/200 Solai, travi che non sostengono tamponature, sbalzi con carichi mobili L/300
Travi che sostengono tamponature o carichi mobili L/400
N.B. Allo SLE, il calcolo delle frecce elastiche verrà effettuato con riferimento al modulo elastico medio parallelo alle fibre (E0.mean) e non quello caratteristico (E0,05), utilizzato per le verifiche allo SLU.
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14
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15
ESEMPIO N°6
Verificare a deformazione gli arcarecci di cui all’ESEMPIO 2.
Si riporta per maggior chiarezza l’analisi dei carichi per metro di trave già effettuata in precedenza:
Analisi dei carichi per metro di trave
• Peso proprio arcareccio: (0.12 x 0.18 x 1.00) x 4.20 kN/m3 G1 = 0.09 kN/m • Peso proprio copertura: 0.45 kN/m3 x 0.8 G2 = 0.36 kN/m • Sovraccarico accidentale (neve): 0.70 kN/m3 x 0.8 Q = 0.56 kN/m
Combinazione di carico SLE RARA:
cm
kN
m
kNQGGq Rsd 0101.001.156.036.009.021, ==++=++=
Combinazione di carico SLE QUASI PERMANENTE:
Dalla tabella di normativa, per strutture di copertura ψ21=0:
cm
kN
m
kNGGq QPsd 0045.045.036.009.021, ==+=+=
Calcolo delle frecce:
FRECCIA INIZIALE
333
583212
1812
12cm
hbJ x =
⋅== ; 2,0 110011000
cm
kNMPaE mean ==
cmE
lq
mean
Rsd
in 17.0 83251100
3000101.0
384
5
J384
54
,0
4
, =⋅
⋅=
⋅
⋅=δ
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FRECCIA DIFFERITA
Per legno massiccio, in classe di servizio 2, kdef=0.8, pertanto il modulo elastico corretto per effetto dei fenomeni lenti sarà:
cmE
lq
cm
kN
k
EE
dif
QPsd
dif
def
mean
dif 14.0 832511.611
3000045.0
384
5
J384
511.611
8.01
1100
1
44
,
2
,0 =⋅
⋅=
⋅
⋅=⇒=
+=
+= δ
Verifica:
cmL
cmdifinfin 5.1200
300
20031.014.017.0 ==<=+=+= δδδ VERIFICA POSITIVA
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TABELLA PER IL PREDIMENSIONAMENTO DELLE CAPRIATE SEMPLICI (per luci fino a 7.00 m)
TABELLA PER IL PREDIMENSIONAMENTO DEGLI ARCARECCI
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18
TABELLA PER IL PREDIMENSIONAMENTO DELLE CAPRIATE COMPOSTE (per luci da 7.00 a 14.00 m)
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Fonti
• D. M. Infrastrutture Trasporti 14 gennaio 2008 (G.U. 4 febbraio 2008 n. 29 - Suppl. Ord.) Norme tecniche per le Costruzioni”
• Circolare 2 febbraio 2009 n. 617 del Ministero delle Infrastrutture e dei Trasporti (G.U. 26 febbraio 2009 n. 27 – Suppl. Ord.) “Istruzioni per l'applicazione delle 'Norme Tecniche delle Costruzioni' di cui al D.M. 14 gennaio 2008”.
• U.Alasia – M.Pugno – Corso di Costruzioni 4 – SEI 2010