Stijgen en dalen

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling31

Toenamendiagram

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in een toenamendiagram1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens (bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4 )

31

voorbeeld

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

y

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

Teken het toenamendiagram van onderstaand figuur met ∆x = 1

31

Richtingscoeumlfficieumlnt of helling van de lijn AB

yB

yA

0

y

x

∆x

∆y

∆yomhoog

∆xrechts

dus rc = ∆y ∆x

xA xB

A

B

yB ndash yA = ∆y

xB ndash xA = ∆x

32

xA a xB

b

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt is ∆y ∆x is de gemiddelde toename van y op [xAxB]

is rc of hellingsgetal van de lijn AB

= =

yA

yBf(b)

f(a)

32

Gemiddelde snelheid

In een tijd-afstand is de afgelegde afstand s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek is het differentiequotieumlnt van s op [ab] de gemiddelde

snelheid op [ab]De gemiddelde snelheid is ∆s ∆t

32

opgave 19

x

y

0

f

a voer in y1 = xsup3 - 3x + 5

b gemiddelde toename op [13]∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10

c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9

d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4B(13) en rc = 4 invullen geefty = 4x - 1

y = ax + bxB = 1 yB = 3 en a = 4 invullen3 = 4 middot 1 + b3 = 4 + bb = -1

Gemiddelde snelheid bij een tijd-afstand grafiek

Bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te

berekenen op een klein interval[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001 De gemiddelde snelheid = ∆s ∆t

33

Snelheid en richtingscoeumlfficieumlnt

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafieks = -tsup2 + 10ta de gemiddelde snelheid op [25]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2

b De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die

grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

33

s = 04tsup2s is de afgelegde weg in meters na t seconden

opgave 24

s = 04tsup2s is de afgelegde weg in meters na t secondent = 3op [3 301]∆s 04 301sup2 - 04 3sup2∆t 001de benadering van de snelheid op t = 3 is 240 ms

= = 2404

dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dxx=xA

y

Ox

k

A

xA

bull rc van de raaklijn van de grafiek in Abull helling van de grafiek in Abull snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

33

[ ]

a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8

= 2

dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0

= -2

l y = -2x + bB(0 8)

y = -2x + 8

[ ]dydx

x=-2

B

dydx

x=0

8 = -2 middot 0 + bb = 8

opgave 29

P Q

c f snijdt de x-as in P en Qlijn m raakt de grafiek in P

= 6

y = 6x + bP(-4 0)

y = 6x + 24lijn n raakt de grafiek in Q

= -6

y = -6x + bQ(2 0)

y = -6x + 12

6x + 24 = -6x + 126x + 6x = -24 + 1212x = -12 x = -1

[ ]dydx

x=-4

[ ]dydx

x=2

0 = 6 middot -4 + bb = 24

0 = 2 middot -6 + bb = 12

x = -1 invullen

y = 6 middot -1 + 24 = 18

snijpunt (-1 18)

Bij snijpunt berekenen de 2 lijnen aan elkaar gelijk stellen

opgave 29

d ∆x = 6∆y = -12rc = ∆y ∆xrc = -12 6rc = -2

R

T

∆x = 6

∆y = -12

opgave 29

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

34

Teken een globale grafiek van de oorspronkelijke functie

y

xO

top

top

top

top

0 0 0

voorbeeld

Hellinggrafiek plotten

mbv GRTI MATH ndash MATH - menuoptie nDerivCasio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddxvb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8

en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

34

De afgeleide functie

Bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruiktnotatie frsquo (f-accent)De afgeleide van een functie f geeft voor elke x - de richtingscoeumlfficieumlnt van de raaklijn van f in het bijbehorende punt- de helling van de grafiek van f in het bijbehorende punt

34

Om de formule van de afgeleide van een functie f te vinden kijken we naar het differentiecoeumlfficieumlnt van f(x) op het interval [ x x + h ] dus naar

∆y ∆x

=f(x + h) ndash f(x)

=x + h - x

f(x + h) ndash f(x) h

Neem je op het interval [ xx + h ] de waarde van h heel klein dan geeft

f(x + h) ndash f(x) h een goede benadering van de rc van de raaklijn van de grafiek van f

in het bijbehorende punt

O x x+h x

yf(x+h)

f(x)h

f(x+h) ndash f(x)

O x x+h x

y

f(x+h)f(x)

h

f(x+h) ndash f(x)h klein

f(x + h) ndash f(x) h

de grenswaarde van voor h naar 0 is de afgeleide frsquo(x)

de definitie van de afgeleide frsquo van een functie f is

frsquo(x) = lim f(x + h) ndash f(x) h h 0 34

1242)( 2 xxxf

h

xxhxhx

hx

y

h

xfhxf

hx

y

)1242()12)(4)(2(

0

lim

)()(

0

lim

22

h

xxhxhhxx

hx

y 12421244)2(2

0

lim 222

h

hhhx

hx

y

h

xxhxhhxx

hx

y

424

0

lim

12421244242

0

lim

2

222

4240

lim

hxhx

y

44

xx

y

Voorbeeld limietstelling Neem de functie

Differentieumlren

regels voor het differentieumlrenf(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axn geeft frsquo(x) = n middot axn-1 voor n = 23hellipf(x) = c middot g(x) geeft frsquo(x) = c middot grsquo(x)f(x) = g(x) + h(x) geeft frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x) somregel

34

De afgeleide van f(x) = axn

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4-1=3)

34

opgave 47c

h(x) = 5(x ndash 3)sup2 + 5(2x ndash 1) h(x) = 5(x ndash 3)(x ndash 3) + 10x ndash 5 h(x) = 5(xsup2 - 6x + 9) + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 30x + 45 + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 20x + 40hrsquo(x) = 2 middot 5x ndash 20hrsquo(x) = 10x - 20

opgave 47d

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56k(x) = 27xsup2 - 50x + 71krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50krsquo(x) = 54x - 50

opgave 48a

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)f(x) = 3x3 + 15x2 ndash 1x2 ndash 5xf(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5xfrsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 48d

f(x) = 5 - 3(x4 ndash x)(x + 1)f(x) = 5 ndash 3(x5 + x4 - x2 ndash x)f(x) = 5 - 3x5 - 3x4 + 3x2 + 3x frsquo(x) = 5 middot -3x4 - 4 middot 3x3 + 2 middot 3x + 3frsquo(x) = -15x4 - 12x3 + 6x + 3

Raaklijn en afgeleide

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a f(a))

x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

35

opgave 50

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4

a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 50

b stel m y = ax + bxB = -2

a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 6

-10 = 8 middot -2 + b-10 = -16 + bb = 6

Raaklijn met gegeven richtingscoeumlfficient

Teken f(x) = xsup2 - 3x + 1Teken enkele lijnen met rc = 2Eeacuten van de lijnen raakt de grafiekhet raakpunt is BBereken de cooumlrdinaten van Brc = 2 dus frsquo(xB) = 2

xB berekenen

frsquo(x) = 2 oplossenfrsquo(x) = 2x ndash 3frsquo(x) = 2

xB = 25

yB = f(25) = -025

B(25 -025)

2x ndash 3 = 22x = 5x = 25

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

B

x

35

opgave 54

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

x

f(x) = -xsup2 + 2x + 3a rcraaklijn = 4

dus frsquo(x) = 4frsquo(x) = -2x + 2

xA = -1

yA = f(-1) = 0

A(-1 0)b l y = -6x + 8

rcraaklijn = -6

dus frsquo(xB) = -6

frsquo(x) = -2x + 2

xB = 4

yB = f(4) = -5

B(4 -5)

-2x + 2 = 4-2x = 2x = -1

A

f

l

-2x + 2 = -6-2x = -8x = 4

Als 2 lijnen evenwijdig zijn dan hebben ze dezelfde rc

k

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

35

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32

Toenamendiagram

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in een toenamendiagram1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens (bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4 )

31

voorbeeld

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

y

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

Teken het toenamendiagram van onderstaand figuur met ∆x = 1

31

Richtingscoeumlfficieumlnt of helling van de lijn AB

yB

yA

0

y

x

∆x

∆y

∆yomhoog

∆xrechts

dus rc = ∆y ∆x

xA xB

A

B

yB ndash yA = ∆y

xB ndash xA = ∆x

32

xA a xB

b

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt is ∆y ∆x is de gemiddelde toename van y op [xAxB]

is rc of hellingsgetal van de lijn AB

= =

yA

yBf(b)

f(a)

32

Gemiddelde snelheid

In een tijd-afstand is de afgelegde afstand s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek is het differentiequotieumlnt van s op [ab] de gemiddelde

snelheid op [ab]De gemiddelde snelheid is ∆s ∆t

32

opgave 19

x

y

0

f

a voer in y1 = xsup3 - 3x + 5

b gemiddelde toename op [13]∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10

c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9

d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4B(13) en rc = 4 invullen geefty = 4x - 1

y = ax + bxB = 1 yB = 3 en a = 4 invullen3 = 4 middot 1 + b3 = 4 + bb = -1

Gemiddelde snelheid bij een tijd-afstand grafiek

Bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te

berekenen op een klein interval[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001 De gemiddelde snelheid = ∆s ∆t

33

Snelheid en richtingscoeumlfficieumlnt

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafieks = -tsup2 + 10ta de gemiddelde snelheid op [25]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2

b De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die

grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

33

s = 04tsup2s is de afgelegde weg in meters na t seconden

opgave 24

s = 04tsup2s is de afgelegde weg in meters na t secondent = 3op [3 301]∆s 04 301sup2 - 04 3sup2∆t 001de benadering van de snelheid op t = 3 is 240 ms

= = 2404

dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dxx=xA

y

Ox

k

A

xA

bull rc van de raaklijn van de grafiek in Abull helling van de grafiek in Abull snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

33

[ ]

a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8

= 2

dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0

= -2

l y = -2x + bB(0 8)

y = -2x + 8

[ ]dydx

x=-2

B

dydx

x=0

8 = -2 middot 0 + bb = 8

opgave 29

P Q

c f snijdt de x-as in P en Qlijn m raakt de grafiek in P

= 6

y = 6x + bP(-4 0)

y = 6x + 24lijn n raakt de grafiek in Q

= -6

y = -6x + bQ(2 0)

y = -6x + 12

6x + 24 = -6x + 126x + 6x = -24 + 1212x = -12 x = -1

[ ]dydx

x=-4

[ ]dydx

x=2

0 = 6 middot -4 + bb = 24

0 = 2 middot -6 + bb = 12

x = -1 invullen

y = 6 middot -1 + 24 = 18

snijpunt (-1 18)

Bij snijpunt berekenen de 2 lijnen aan elkaar gelijk stellen

opgave 29

d ∆x = 6∆y = -12rc = ∆y ∆xrc = -12 6rc = -2

R

T

∆x = 6

∆y = -12

opgave 29

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

34

Teken een globale grafiek van de oorspronkelijke functie

y

xO

top

top

top

top

0 0 0

voorbeeld

Hellinggrafiek plotten

mbv GRTI MATH ndash MATH - menuoptie nDerivCasio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddxvb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8

en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

34

De afgeleide functie

Bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruiktnotatie frsquo (f-accent)De afgeleide van een functie f geeft voor elke x - de richtingscoeumlfficieumlnt van de raaklijn van f in het bijbehorende punt- de helling van de grafiek van f in het bijbehorende punt

34

Om de formule van de afgeleide van een functie f te vinden kijken we naar het differentiecoeumlfficieumlnt van f(x) op het interval [ x x + h ] dus naar

∆y ∆x

=f(x + h) ndash f(x)

=x + h - x

f(x + h) ndash f(x) h

Neem je op het interval [ xx + h ] de waarde van h heel klein dan geeft

f(x + h) ndash f(x) h een goede benadering van de rc van de raaklijn van de grafiek van f

in het bijbehorende punt

O x x+h x

yf(x+h)

f(x)h

f(x+h) ndash f(x)

O x x+h x

y

f(x+h)f(x)

h

f(x+h) ndash f(x)h klein

f(x + h) ndash f(x) h

de grenswaarde van voor h naar 0 is de afgeleide frsquo(x)

de definitie van de afgeleide frsquo van een functie f is

frsquo(x) = lim f(x + h) ndash f(x) h h 0 34

1242)( 2 xxxf

h

xxhxhx

hx

y

h

xfhxf

hx

y

)1242()12)(4)(2(

0

lim

)()(

0

lim

22

h

xxhxhhxx

hx

y 12421244)2(2

0

lim 222

h

hhhx

hx

y

h

xxhxhhxx

hx

y

424

0

lim

12421244242

0

lim

2

222

4240

lim

hxhx

y

44

xx

y

Voorbeeld limietstelling Neem de functie

Differentieumlren

regels voor het differentieumlrenf(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axn geeft frsquo(x) = n middot axn-1 voor n = 23hellipf(x) = c middot g(x) geeft frsquo(x) = c middot grsquo(x)f(x) = g(x) + h(x) geeft frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x) somregel

34

De afgeleide van f(x) = axn

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4-1=3)

34

opgave 47c

h(x) = 5(x ndash 3)sup2 + 5(2x ndash 1) h(x) = 5(x ndash 3)(x ndash 3) + 10x ndash 5 h(x) = 5(xsup2 - 6x + 9) + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 30x + 45 + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 20x + 40hrsquo(x) = 2 middot 5x ndash 20hrsquo(x) = 10x - 20

opgave 47d

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56k(x) = 27xsup2 - 50x + 71krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50krsquo(x) = 54x - 50

opgave 48a

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)f(x) = 3x3 + 15x2 ndash 1x2 ndash 5xf(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5xfrsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 48d

f(x) = 5 - 3(x4 ndash x)(x + 1)f(x) = 5 ndash 3(x5 + x4 - x2 ndash x)f(x) = 5 - 3x5 - 3x4 + 3x2 + 3x frsquo(x) = 5 middot -3x4 - 4 middot 3x3 + 2 middot 3x + 3frsquo(x) = -15x4 - 12x3 + 6x + 3

Raaklijn en afgeleide

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a f(a))

x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

35

opgave 50

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4

a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 50

b stel m y = ax + bxB = -2

a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 6

-10 = 8 middot -2 + b-10 = -16 + bb = 6

Raaklijn met gegeven richtingscoeumlfficient

Teken f(x) = xsup2 - 3x + 1Teken enkele lijnen met rc = 2Eeacuten van de lijnen raakt de grafiekhet raakpunt is BBereken de cooumlrdinaten van Brc = 2 dus frsquo(xB) = 2

xB berekenen

frsquo(x) = 2 oplossenfrsquo(x) = 2x ndash 3frsquo(x) = 2

xB = 25

yB = f(25) = -025

B(25 -025)

2x ndash 3 = 22x = 5x = 25

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

B

x

35

opgave 54

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

x

f(x) = -xsup2 + 2x + 3a rcraaklijn = 4

dus frsquo(x) = 4frsquo(x) = -2x + 2

xA = -1

yA = f(-1) = 0

A(-1 0)b l y = -6x + 8

rcraaklijn = -6

dus frsquo(xB) = -6

frsquo(x) = -2x + 2

xB = 4

yB = f(4) = -5

B(4 -5)

-2x + 2 = 4-2x = 2x = -1

A

f

l

-2x + 2 = -6-2x = -8x = 4

Als 2 lijnen evenwijdig zijn dan hebben ze dezelfde rc

k

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

35

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32

voorbeeld

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

y

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

Teken het toenamendiagram van onderstaand figuur met ∆x = 1

31

Richtingscoeumlfficieumlnt of helling van de lijn AB

yB

yA

0

y

x

∆x

∆y

∆yomhoog

∆xrechts

dus rc = ∆y ∆x

xA xB

A

B

yB ndash yA = ∆y

xB ndash xA = ∆x

32

xA a xB

b

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt is ∆y ∆x is de gemiddelde toename van y op [xAxB]

is rc of hellingsgetal van de lijn AB

= =

yA

yBf(b)

f(a)

32

Gemiddelde snelheid

In een tijd-afstand is de afgelegde afstand s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek is het differentiequotieumlnt van s op [ab] de gemiddelde

snelheid op [ab]De gemiddelde snelheid is ∆s ∆t

32

opgave 19

x

y

0

f

a voer in y1 = xsup3 - 3x + 5

b gemiddelde toename op [13]∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10

c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9

d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4B(13) en rc = 4 invullen geefty = 4x - 1

y = ax + bxB = 1 yB = 3 en a = 4 invullen3 = 4 middot 1 + b3 = 4 + bb = -1

Gemiddelde snelheid bij een tijd-afstand grafiek

Bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te

berekenen op een klein interval[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001 De gemiddelde snelheid = ∆s ∆t

33

Snelheid en richtingscoeumlfficieumlnt

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafieks = -tsup2 + 10ta de gemiddelde snelheid op [25]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2

b De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die

grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

33

s = 04tsup2s is de afgelegde weg in meters na t seconden

opgave 24

s = 04tsup2s is de afgelegde weg in meters na t secondent = 3op [3 301]∆s 04 301sup2 - 04 3sup2∆t 001de benadering van de snelheid op t = 3 is 240 ms

= = 2404

dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dxx=xA

y

Ox

k

A

xA

bull rc van de raaklijn van de grafiek in Abull helling van de grafiek in Abull snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

33

[ ]

a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8

= 2

dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0

= -2

l y = -2x + bB(0 8)

y = -2x + 8

[ ]dydx

x=-2

B

dydx

x=0

8 = -2 middot 0 + bb = 8

opgave 29

P Q

c f snijdt de x-as in P en Qlijn m raakt de grafiek in P

= 6

y = 6x + bP(-4 0)

y = 6x + 24lijn n raakt de grafiek in Q

= -6

y = -6x + bQ(2 0)

y = -6x + 12

6x + 24 = -6x + 126x + 6x = -24 + 1212x = -12 x = -1

[ ]dydx

x=-4

[ ]dydx

x=2

0 = 6 middot -4 + bb = 24

0 = 2 middot -6 + bb = 12

x = -1 invullen

y = 6 middot -1 + 24 = 18

snijpunt (-1 18)

Bij snijpunt berekenen de 2 lijnen aan elkaar gelijk stellen

opgave 29

d ∆x = 6∆y = -12rc = ∆y ∆xrc = -12 6rc = -2

R

T

∆x = 6

∆y = -12

opgave 29

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

34

Teken een globale grafiek van de oorspronkelijke functie

y

xO

top

top

top

top

0 0 0

voorbeeld

Hellinggrafiek plotten

mbv GRTI MATH ndash MATH - menuoptie nDerivCasio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddxvb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8

en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

34

De afgeleide functie

Bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruiktnotatie frsquo (f-accent)De afgeleide van een functie f geeft voor elke x - de richtingscoeumlfficieumlnt van de raaklijn van f in het bijbehorende punt- de helling van de grafiek van f in het bijbehorende punt

34

Om de formule van de afgeleide van een functie f te vinden kijken we naar het differentiecoeumlfficieumlnt van f(x) op het interval [ x x + h ] dus naar

∆y ∆x

=f(x + h) ndash f(x)

=x + h - x

f(x + h) ndash f(x) h

Neem je op het interval [ xx + h ] de waarde van h heel klein dan geeft

f(x + h) ndash f(x) h een goede benadering van de rc van de raaklijn van de grafiek van f

in het bijbehorende punt

O x x+h x

yf(x+h)

f(x)h

f(x+h) ndash f(x)

O x x+h x

y

f(x+h)f(x)

h

f(x+h) ndash f(x)h klein

f(x + h) ndash f(x) h

de grenswaarde van voor h naar 0 is de afgeleide frsquo(x)

de definitie van de afgeleide frsquo van een functie f is

frsquo(x) = lim f(x + h) ndash f(x) h h 0 34

1242)( 2 xxxf

h

xxhxhx

hx

y

h

xfhxf

hx

y

)1242()12)(4)(2(

0

lim

)()(

0

lim

22

h

xxhxhhxx

hx

y 12421244)2(2

0

lim 222

h

hhhx

hx

y

h

xxhxhhxx

hx

y

424

0

lim

12421244242

0

lim

2

222

4240

lim

hxhx

y

44

xx

y

Voorbeeld limietstelling Neem de functie

Differentieumlren

regels voor het differentieumlrenf(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axn geeft frsquo(x) = n middot axn-1 voor n = 23hellipf(x) = c middot g(x) geeft frsquo(x) = c middot grsquo(x)f(x) = g(x) + h(x) geeft frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x) somregel

34

De afgeleide van f(x) = axn

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4-1=3)

34

opgave 47c

h(x) = 5(x ndash 3)sup2 + 5(2x ndash 1) h(x) = 5(x ndash 3)(x ndash 3) + 10x ndash 5 h(x) = 5(xsup2 - 6x + 9) + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 30x + 45 + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 20x + 40hrsquo(x) = 2 middot 5x ndash 20hrsquo(x) = 10x - 20

opgave 47d

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56k(x) = 27xsup2 - 50x + 71krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50krsquo(x) = 54x - 50

opgave 48a

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)f(x) = 3x3 + 15x2 ndash 1x2 ndash 5xf(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5xfrsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 48d

f(x) = 5 - 3(x4 ndash x)(x + 1)f(x) = 5 ndash 3(x5 + x4 - x2 ndash x)f(x) = 5 - 3x5 - 3x4 + 3x2 + 3x frsquo(x) = 5 middot -3x4 - 4 middot 3x3 + 2 middot 3x + 3frsquo(x) = -15x4 - 12x3 + 6x + 3

Raaklijn en afgeleide

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a f(a))

x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

35

opgave 50

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4

a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 50

b stel m y = ax + bxB = -2

a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 6

-10 = 8 middot -2 + b-10 = -16 + bb = 6

Raaklijn met gegeven richtingscoeumlfficient

Teken f(x) = xsup2 - 3x + 1Teken enkele lijnen met rc = 2Eeacuten van de lijnen raakt de grafiekhet raakpunt is BBereken de cooumlrdinaten van Brc = 2 dus frsquo(xB) = 2

xB berekenen

frsquo(x) = 2 oplossenfrsquo(x) = 2x ndash 3frsquo(x) = 2

xB = 25

yB = f(25) = -025

B(25 -025)

2x ndash 3 = 22x = 5x = 25

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

B

x

35

opgave 54

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

x

f(x) = -xsup2 + 2x + 3a rcraaklijn = 4

dus frsquo(x) = 4frsquo(x) = -2x + 2

xA = -1

yA = f(-1) = 0

A(-1 0)b l y = -6x + 8

rcraaklijn = -6

dus frsquo(xB) = -6

frsquo(x) = -2x + 2

xB = 4

yB = f(4) = -5

B(4 -5)

-2x + 2 = 4-2x = 2x = -1

A

f

l

-2x + 2 = -6-2x = -8x = 4

Als 2 lijnen evenwijdig zijn dan hebben ze dezelfde rc

k

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

35

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32

Richtingscoeumlfficieumlnt of helling van de lijn AB

yB

yA

0

y

x

∆x

∆y

∆yomhoog

∆xrechts

dus rc = ∆y ∆x

xA xB

A

B

yB ndash yA = ∆y

xB ndash xA = ∆x

32

xA a xB

b

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt is ∆y ∆x is de gemiddelde toename van y op [xAxB]

is rc of hellingsgetal van de lijn AB

= =

yA

yBf(b)

f(a)

32

Gemiddelde snelheid

In een tijd-afstand is de afgelegde afstand s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek is het differentiequotieumlnt van s op [ab] de gemiddelde

snelheid op [ab]De gemiddelde snelheid is ∆s ∆t

32

opgave 19

x

y

0

f

a voer in y1 = xsup3 - 3x + 5

b gemiddelde toename op [13]∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10

c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9

d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4B(13) en rc = 4 invullen geefty = 4x - 1

y = ax + bxB = 1 yB = 3 en a = 4 invullen3 = 4 middot 1 + b3 = 4 + bb = -1

Gemiddelde snelheid bij een tijd-afstand grafiek

Bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te

berekenen op een klein interval[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001 De gemiddelde snelheid = ∆s ∆t

33

Snelheid en richtingscoeumlfficieumlnt

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafieks = -tsup2 + 10ta de gemiddelde snelheid op [25]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2

b De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die

grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

33

s = 04tsup2s is de afgelegde weg in meters na t seconden

opgave 24

s = 04tsup2s is de afgelegde weg in meters na t secondent = 3op [3 301]∆s 04 301sup2 - 04 3sup2∆t 001de benadering van de snelheid op t = 3 is 240 ms

= = 2404

dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dxx=xA

y

Ox

k

A

xA

bull rc van de raaklijn van de grafiek in Abull helling van de grafiek in Abull snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

33

[ ]

a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8

= 2

dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0

= -2

l y = -2x + bB(0 8)

y = -2x + 8

[ ]dydx

x=-2

B

dydx

x=0

8 = -2 middot 0 + bb = 8

opgave 29

P Q

c f snijdt de x-as in P en Qlijn m raakt de grafiek in P

= 6

y = 6x + bP(-4 0)

y = 6x + 24lijn n raakt de grafiek in Q

= -6

y = -6x + bQ(2 0)

y = -6x + 12

6x + 24 = -6x + 126x + 6x = -24 + 1212x = -12 x = -1

[ ]dydx

x=-4

[ ]dydx

x=2

0 = 6 middot -4 + bb = 24

0 = 2 middot -6 + bb = 12

x = -1 invullen

y = 6 middot -1 + 24 = 18

snijpunt (-1 18)

Bij snijpunt berekenen de 2 lijnen aan elkaar gelijk stellen

opgave 29

d ∆x = 6∆y = -12rc = ∆y ∆xrc = -12 6rc = -2

R

T

∆x = 6

∆y = -12

opgave 29

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

34

Teken een globale grafiek van de oorspronkelijke functie

y

xO

top

top

top

top

0 0 0

voorbeeld

Hellinggrafiek plotten

mbv GRTI MATH ndash MATH - menuoptie nDerivCasio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddxvb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8

en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

34

De afgeleide functie

Bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruiktnotatie frsquo (f-accent)De afgeleide van een functie f geeft voor elke x - de richtingscoeumlfficieumlnt van de raaklijn van f in het bijbehorende punt- de helling van de grafiek van f in het bijbehorende punt

34

Om de formule van de afgeleide van een functie f te vinden kijken we naar het differentiecoeumlfficieumlnt van f(x) op het interval [ x x + h ] dus naar

∆y ∆x

=f(x + h) ndash f(x)

=x + h - x

f(x + h) ndash f(x) h

Neem je op het interval [ xx + h ] de waarde van h heel klein dan geeft

f(x + h) ndash f(x) h een goede benadering van de rc van de raaklijn van de grafiek van f

in het bijbehorende punt

O x x+h x

yf(x+h)

f(x)h

f(x+h) ndash f(x)

O x x+h x

y

f(x+h)f(x)

h

f(x+h) ndash f(x)h klein

f(x + h) ndash f(x) h

de grenswaarde van voor h naar 0 is de afgeleide frsquo(x)

de definitie van de afgeleide frsquo van een functie f is

frsquo(x) = lim f(x + h) ndash f(x) h h 0 34

1242)( 2 xxxf

h

xxhxhx

hx

y

h

xfhxf

hx

y

)1242()12)(4)(2(

0

lim

)()(

0

lim

22

h

xxhxhhxx

hx

y 12421244)2(2

0

lim 222

h

hhhx

hx

y

h

xxhxhhxx

hx

y

424

0

lim

12421244242

0

lim

2

222

4240

lim

hxhx

y

44

xx

y

Voorbeeld limietstelling Neem de functie

Differentieumlren

regels voor het differentieumlrenf(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axn geeft frsquo(x) = n middot axn-1 voor n = 23hellipf(x) = c middot g(x) geeft frsquo(x) = c middot grsquo(x)f(x) = g(x) + h(x) geeft frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x) somregel

34

De afgeleide van f(x) = axn

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4-1=3)

34

opgave 47c

h(x) = 5(x ndash 3)sup2 + 5(2x ndash 1) h(x) = 5(x ndash 3)(x ndash 3) + 10x ndash 5 h(x) = 5(xsup2 - 6x + 9) + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 30x + 45 + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 20x + 40hrsquo(x) = 2 middot 5x ndash 20hrsquo(x) = 10x - 20

opgave 47d

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56k(x) = 27xsup2 - 50x + 71krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50krsquo(x) = 54x - 50

opgave 48a

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)f(x) = 3x3 + 15x2 ndash 1x2 ndash 5xf(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5xfrsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 48d

f(x) = 5 - 3(x4 ndash x)(x + 1)f(x) = 5 ndash 3(x5 + x4 - x2 ndash x)f(x) = 5 - 3x5 - 3x4 + 3x2 + 3x frsquo(x) = 5 middot -3x4 - 4 middot 3x3 + 2 middot 3x + 3frsquo(x) = -15x4 - 12x3 + 6x + 3

Raaklijn en afgeleide

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a f(a))

x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

35

opgave 50

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4

a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 50

b stel m y = ax + bxB = -2

a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 6

-10 = 8 middot -2 + b-10 = -16 + bb = 6

Raaklijn met gegeven richtingscoeumlfficient

Teken f(x) = xsup2 - 3x + 1Teken enkele lijnen met rc = 2Eeacuten van de lijnen raakt de grafiekhet raakpunt is BBereken de cooumlrdinaten van Brc = 2 dus frsquo(xB) = 2

xB berekenen

frsquo(x) = 2 oplossenfrsquo(x) = 2x ndash 3frsquo(x) = 2

xB = 25

yB = f(25) = -025

B(25 -025)

2x ndash 3 = 22x = 5x = 25

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

B

x

35

opgave 54

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

x

f(x) = -xsup2 + 2x + 3a rcraaklijn = 4

dus frsquo(x) = 4frsquo(x) = -2x + 2

xA = -1

yA = f(-1) = 0

A(-1 0)b l y = -6x + 8

rcraaklijn = -6

dus frsquo(xB) = -6

frsquo(x) = -2x + 2

xB = 4

yB = f(4) = -5

B(4 -5)

-2x + 2 = 4-2x = 2x = -1

A

f

l

-2x + 2 = -6-2x = -8x = 4

Als 2 lijnen evenwijdig zijn dan hebben ze dezelfde rc

k

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

35

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32

xA a xB

b

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt is ∆y ∆x is de gemiddelde toename van y op [xAxB]

is rc of hellingsgetal van de lijn AB

= =

yA

yBf(b)

f(a)

32

Gemiddelde snelheid

In een tijd-afstand is de afgelegde afstand s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek is het differentiequotieumlnt van s op [ab] de gemiddelde

snelheid op [ab]De gemiddelde snelheid is ∆s ∆t

32

opgave 19

x

y

0

f

a voer in y1 = xsup3 - 3x + 5

b gemiddelde toename op [13]∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10

c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9

d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4B(13) en rc = 4 invullen geefty = 4x - 1

y = ax + bxB = 1 yB = 3 en a = 4 invullen3 = 4 middot 1 + b3 = 4 + bb = -1

Gemiddelde snelheid bij een tijd-afstand grafiek

Bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te

berekenen op een klein interval[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001 De gemiddelde snelheid = ∆s ∆t

33

Snelheid en richtingscoeumlfficieumlnt

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafieks = -tsup2 + 10ta de gemiddelde snelheid op [25]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2

b De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die

grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

33

s = 04tsup2s is de afgelegde weg in meters na t seconden

opgave 24

s = 04tsup2s is de afgelegde weg in meters na t secondent = 3op [3 301]∆s 04 301sup2 - 04 3sup2∆t 001de benadering van de snelheid op t = 3 is 240 ms

= = 2404

dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dxx=xA

y

Ox

k

A

xA

bull rc van de raaklijn van de grafiek in Abull helling van de grafiek in Abull snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

33

[ ]

a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8

= 2

dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0

= -2

l y = -2x + bB(0 8)

y = -2x + 8

[ ]dydx

x=-2

B

dydx

x=0

8 = -2 middot 0 + bb = 8

opgave 29

P Q

c f snijdt de x-as in P en Qlijn m raakt de grafiek in P

= 6

y = 6x + bP(-4 0)

y = 6x + 24lijn n raakt de grafiek in Q

= -6

y = -6x + bQ(2 0)

y = -6x + 12

6x + 24 = -6x + 126x + 6x = -24 + 1212x = -12 x = -1

[ ]dydx

x=-4

[ ]dydx

x=2

0 = 6 middot -4 + bb = 24

0 = 2 middot -6 + bb = 12

x = -1 invullen

y = 6 middot -1 + 24 = 18

snijpunt (-1 18)

Bij snijpunt berekenen de 2 lijnen aan elkaar gelijk stellen

opgave 29

d ∆x = 6∆y = -12rc = ∆y ∆xrc = -12 6rc = -2

R

T

∆x = 6

∆y = -12

opgave 29

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

34

Teken een globale grafiek van de oorspronkelijke functie

y

xO

top

top

top

top

0 0 0

voorbeeld

Hellinggrafiek plotten

mbv GRTI MATH ndash MATH - menuoptie nDerivCasio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddxvb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8

en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

34

De afgeleide functie

Bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruiktnotatie frsquo (f-accent)De afgeleide van een functie f geeft voor elke x - de richtingscoeumlfficieumlnt van de raaklijn van f in het bijbehorende punt- de helling van de grafiek van f in het bijbehorende punt

34

Om de formule van de afgeleide van een functie f te vinden kijken we naar het differentiecoeumlfficieumlnt van f(x) op het interval [ x x + h ] dus naar

∆y ∆x

=f(x + h) ndash f(x)

=x + h - x

f(x + h) ndash f(x) h

Neem je op het interval [ xx + h ] de waarde van h heel klein dan geeft

f(x + h) ndash f(x) h een goede benadering van de rc van de raaklijn van de grafiek van f

in het bijbehorende punt

O x x+h x

yf(x+h)

f(x)h

f(x+h) ndash f(x)

O x x+h x

y

f(x+h)f(x)

h

f(x+h) ndash f(x)h klein

f(x + h) ndash f(x) h

de grenswaarde van voor h naar 0 is de afgeleide frsquo(x)

de definitie van de afgeleide frsquo van een functie f is

frsquo(x) = lim f(x + h) ndash f(x) h h 0 34

1242)( 2 xxxf

h

xxhxhx

hx

y

h

xfhxf

hx

y

)1242()12)(4)(2(

0

lim

)()(

0

lim

22

h

xxhxhhxx

hx

y 12421244)2(2

0

lim 222

h

hhhx

hx

y

h

xxhxhhxx

hx

y

424

0

lim

12421244242

0

lim

2

222

4240

lim

hxhx

y

44

xx

y

Voorbeeld limietstelling Neem de functie

Differentieumlren

regels voor het differentieumlrenf(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axn geeft frsquo(x) = n middot axn-1 voor n = 23hellipf(x) = c middot g(x) geeft frsquo(x) = c middot grsquo(x)f(x) = g(x) + h(x) geeft frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x) somregel

34

De afgeleide van f(x) = axn

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4-1=3)

34

opgave 47c

h(x) = 5(x ndash 3)sup2 + 5(2x ndash 1) h(x) = 5(x ndash 3)(x ndash 3) + 10x ndash 5 h(x) = 5(xsup2 - 6x + 9) + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 30x + 45 + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 20x + 40hrsquo(x) = 2 middot 5x ndash 20hrsquo(x) = 10x - 20

opgave 47d

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56k(x) = 27xsup2 - 50x + 71krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50krsquo(x) = 54x - 50

opgave 48a

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)f(x) = 3x3 + 15x2 ndash 1x2 ndash 5xf(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5xfrsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 48d

f(x) = 5 - 3(x4 ndash x)(x + 1)f(x) = 5 ndash 3(x5 + x4 - x2 ndash x)f(x) = 5 - 3x5 - 3x4 + 3x2 + 3x frsquo(x) = 5 middot -3x4 - 4 middot 3x3 + 2 middot 3x + 3frsquo(x) = -15x4 - 12x3 + 6x + 3

Raaklijn en afgeleide

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a f(a))

x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

35

opgave 50

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4

a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 50

b stel m y = ax + bxB = -2

a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 6

-10 = 8 middot -2 + b-10 = -16 + bb = 6

Raaklijn met gegeven richtingscoeumlfficient

Teken f(x) = xsup2 - 3x + 1Teken enkele lijnen met rc = 2Eeacuten van de lijnen raakt de grafiekhet raakpunt is BBereken de cooumlrdinaten van Brc = 2 dus frsquo(xB) = 2

xB berekenen

frsquo(x) = 2 oplossenfrsquo(x) = 2x ndash 3frsquo(x) = 2

xB = 25

yB = f(25) = -025

B(25 -025)

2x ndash 3 = 22x = 5x = 25

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

B

x

35

opgave 54

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

x

f(x) = -xsup2 + 2x + 3a rcraaklijn = 4

dus frsquo(x) = 4frsquo(x) = -2x + 2

xA = -1

yA = f(-1) = 0

A(-1 0)b l y = -6x + 8

rcraaklijn = -6

dus frsquo(xB) = -6

frsquo(x) = -2x + 2

xB = 4

yB = f(4) = -5

B(4 -5)

-2x + 2 = 4-2x = 2x = -1

A

f

l

-2x + 2 = -6-2x = -8x = 4

Als 2 lijnen evenwijdig zijn dan hebben ze dezelfde rc

k

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

35

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32

Gemiddelde snelheid

In een tijd-afstand is de afgelegde afstand s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek is het differentiequotieumlnt van s op [ab] de gemiddelde

snelheid op [ab]De gemiddelde snelheid is ∆s ∆t

32

opgave 19

x

y

0

f

a voer in y1 = xsup3 - 3x + 5

b gemiddelde toename op [13]∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10

c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9

d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4B(13) en rc = 4 invullen geefty = 4x - 1

y = ax + bxB = 1 yB = 3 en a = 4 invullen3 = 4 middot 1 + b3 = 4 + bb = -1

Gemiddelde snelheid bij een tijd-afstand grafiek

Bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te

berekenen op een klein interval[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001 De gemiddelde snelheid = ∆s ∆t

33

Snelheid en richtingscoeumlfficieumlnt

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafieks = -tsup2 + 10ta de gemiddelde snelheid op [25]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2

b De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die

grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

33

s = 04tsup2s is de afgelegde weg in meters na t seconden

opgave 24

s = 04tsup2s is de afgelegde weg in meters na t secondent = 3op [3 301]∆s 04 301sup2 - 04 3sup2∆t 001de benadering van de snelheid op t = 3 is 240 ms

= = 2404

dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dxx=xA

y

Ox

k

A

xA

bull rc van de raaklijn van de grafiek in Abull helling van de grafiek in Abull snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

33

[ ]

a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8

= 2

dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0

= -2

l y = -2x + bB(0 8)

y = -2x + 8

[ ]dydx

x=-2

B

dydx

x=0

8 = -2 middot 0 + bb = 8

opgave 29

P Q

c f snijdt de x-as in P en Qlijn m raakt de grafiek in P

= 6

y = 6x + bP(-4 0)

y = 6x + 24lijn n raakt de grafiek in Q

= -6

y = -6x + bQ(2 0)

y = -6x + 12

6x + 24 = -6x + 126x + 6x = -24 + 1212x = -12 x = -1

[ ]dydx

x=-4

[ ]dydx

x=2

0 = 6 middot -4 + bb = 24

0 = 2 middot -6 + bb = 12

x = -1 invullen

y = 6 middot -1 + 24 = 18

snijpunt (-1 18)

Bij snijpunt berekenen de 2 lijnen aan elkaar gelijk stellen

opgave 29

d ∆x = 6∆y = -12rc = ∆y ∆xrc = -12 6rc = -2

R

T

∆x = 6

∆y = -12

opgave 29

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

34

Teken een globale grafiek van de oorspronkelijke functie

y

xO

top

top

top

top

0 0 0

voorbeeld

Hellinggrafiek plotten

mbv GRTI MATH ndash MATH - menuoptie nDerivCasio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddxvb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8

en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

34

De afgeleide functie

Bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruiktnotatie frsquo (f-accent)De afgeleide van een functie f geeft voor elke x - de richtingscoeumlfficieumlnt van de raaklijn van f in het bijbehorende punt- de helling van de grafiek van f in het bijbehorende punt

34

Om de formule van de afgeleide van een functie f te vinden kijken we naar het differentiecoeumlfficieumlnt van f(x) op het interval [ x x + h ] dus naar

∆y ∆x

=f(x + h) ndash f(x)

=x + h - x

f(x + h) ndash f(x) h

Neem je op het interval [ xx + h ] de waarde van h heel klein dan geeft

f(x + h) ndash f(x) h een goede benadering van de rc van de raaklijn van de grafiek van f

in het bijbehorende punt

O x x+h x

yf(x+h)

f(x)h

f(x+h) ndash f(x)

O x x+h x

y

f(x+h)f(x)

h

f(x+h) ndash f(x)h klein

f(x + h) ndash f(x) h

de grenswaarde van voor h naar 0 is de afgeleide frsquo(x)

de definitie van de afgeleide frsquo van een functie f is

frsquo(x) = lim f(x + h) ndash f(x) h h 0 34

1242)( 2 xxxf

h

xxhxhx

hx

y

h

xfhxf

hx

y

)1242()12)(4)(2(

0

lim

)()(

0

lim

22

h

xxhxhhxx

hx

y 12421244)2(2

0

lim 222

h

hhhx

hx

y

h

xxhxhhxx

hx

y

424

0

lim

12421244242

0

lim

2

222

4240

lim

hxhx

y

44

xx

y

Voorbeeld limietstelling Neem de functie

Differentieumlren

regels voor het differentieumlrenf(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axn geeft frsquo(x) = n middot axn-1 voor n = 23hellipf(x) = c middot g(x) geeft frsquo(x) = c middot grsquo(x)f(x) = g(x) + h(x) geeft frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x) somregel

34

De afgeleide van f(x) = axn

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4-1=3)

34

opgave 47c

h(x) = 5(x ndash 3)sup2 + 5(2x ndash 1) h(x) = 5(x ndash 3)(x ndash 3) + 10x ndash 5 h(x) = 5(xsup2 - 6x + 9) + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 30x + 45 + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 20x + 40hrsquo(x) = 2 middot 5x ndash 20hrsquo(x) = 10x - 20

opgave 47d

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56k(x) = 27xsup2 - 50x + 71krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50krsquo(x) = 54x - 50

opgave 48a

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)f(x) = 3x3 + 15x2 ndash 1x2 ndash 5xf(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5xfrsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 48d

f(x) = 5 - 3(x4 ndash x)(x + 1)f(x) = 5 ndash 3(x5 + x4 - x2 ndash x)f(x) = 5 - 3x5 - 3x4 + 3x2 + 3x frsquo(x) = 5 middot -3x4 - 4 middot 3x3 + 2 middot 3x + 3frsquo(x) = -15x4 - 12x3 + 6x + 3

Raaklijn en afgeleide

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a f(a))

x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

35

opgave 50

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4

a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 50

b stel m y = ax + bxB = -2

a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 6

-10 = 8 middot -2 + b-10 = -16 + bb = 6

Raaklijn met gegeven richtingscoeumlfficient

Teken f(x) = xsup2 - 3x + 1Teken enkele lijnen met rc = 2Eeacuten van de lijnen raakt de grafiekhet raakpunt is BBereken de cooumlrdinaten van Brc = 2 dus frsquo(xB) = 2

xB berekenen

frsquo(x) = 2 oplossenfrsquo(x) = 2x ndash 3frsquo(x) = 2

xB = 25

yB = f(25) = -025

B(25 -025)

2x ndash 3 = 22x = 5x = 25

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

B

x

35

opgave 54

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

x

f(x) = -xsup2 + 2x + 3a rcraaklijn = 4

dus frsquo(x) = 4frsquo(x) = -2x + 2

xA = -1

yA = f(-1) = 0

A(-1 0)b l y = -6x + 8

rcraaklijn = -6

dus frsquo(xB) = -6

frsquo(x) = -2x + 2

xB = 4

yB = f(4) = -5

B(4 -5)

-2x + 2 = 4-2x = 2x = -1

A

f

l

-2x + 2 = -6-2x = -8x = 4

Als 2 lijnen evenwijdig zijn dan hebben ze dezelfde rc

k

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

35

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32

opgave 19

x

y

0

f

a voer in y1 = xsup3 - 3x + 5

b gemiddelde toename op [13]∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10

c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9

d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4B(13) en rc = 4 invullen geefty = 4x - 1

y = ax + bxB = 1 yB = 3 en a = 4 invullen3 = 4 middot 1 + b3 = 4 + bb = -1

Gemiddelde snelheid bij een tijd-afstand grafiek

Bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te

berekenen op een klein interval[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001 De gemiddelde snelheid = ∆s ∆t

33

Snelheid en richtingscoeumlfficieumlnt

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafieks = -tsup2 + 10ta de gemiddelde snelheid op [25]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2

b De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die

grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

33

s = 04tsup2s is de afgelegde weg in meters na t seconden

opgave 24

s = 04tsup2s is de afgelegde weg in meters na t secondent = 3op [3 301]∆s 04 301sup2 - 04 3sup2∆t 001de benadering van de snelheid op t = 3 is 240 ms

= = 2404

dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dxx=xA

y

Ox

k

A

xA

bull rc van de raaklijn van de grafiek in Abull helling van de grafiek in Abull snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

33

[ ]

a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8

= 2

dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0

= -2

l y = -2x + bB(0 8)

y = -2x + 8

[ ]dydx

x=-2

B

dydx

x=0

8 = -2 middot 0 + bb = 8

opgave 29

P Q

c f snijdt de x-as in P en Qlijn m raakt de grafiek in P

= 6

y = 6x + bP(-4 0)

y = 6x + 24lijn n raakt de grafiek in Q

= -6

y = -6x + bQ(2 0)

y = -6x + 12

6x + 24 = -6x + 126x + 6x = -24 + 1212x = -12 x = -1

[ ]dydx

x=-4

[ ]dydx

x=2

0 = 6 middot -4 + bb = 24

0 = 2 middot -6 + bb = 12

x = -1 invullen

y = 6 middot -1 + 24 = 18

snijpunt (-1 18)

Bij snijpunt berekenen de 2 lijnen aan elkaar gelijk stellen

opgave 29

d ∆x = 6∆y = -12rc = ∆y ∆xrc = -12 6rc = -2

R

T

∆x = 6

∆y = -12

opgave 29

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

34

Teken een globale grafiek van de oorspronkelijke functie

y

xO

top

top

top

top

0 0 0

voorbeeld

Hellinggrafiek plotten

mbv GRTI MATH ndash MATH - menuoptie nDerivCasio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddxvb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8

en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

34

De afgeleide functie

Bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruiktnotatie frsquo (f-accent)De afgeleide van een functie f geeft voor elke x - de richtingscoeumlfficieumlnt van de raaklijn van f in het bijbehorende punt- de helling van de grafiek van f in het bijbehorende punt

34

Om de formule van de afgeleide van een functie f te vinden kijken we naar het differentiecoeumlfficieumlnt van f(x) op het interval [ x x + h ] dus naar

∆y ∆x

=f(x + h) ndash f(x)

=x + h - x

f(x + h) ndash f(x) h

Neem je op het interval [ xx + h ] de waarde van h heel klein dan geeft

f(x + h) ndash f(x) h een goede benadering van de rc van de raaklijn van de grafiek van f

in het bijbehorende punt

O x x+h x

yf(x+h)

f(x)h

f(x+h) ndash f(x)

O x x+h x

y

f(x+h)f(x)

h

f(x+h) ndash f(x)h klein

f(x + h) ndash f(x) h

de grenswaarde van voor h naar 0 is de afgeleide frsquo(x)

de definitie van de afgeleide frsquo van een functie f is

frsquo(x) = lim f(x + h) ndash f(x) h h 0 34

1242)( 2 xxxf

h

xxhxhx

hx

y

h

xfhxf

hx

y

)1242()12)(4)(2(

0

lim

)()(

0

lim

22

h

xxhxhhxx

hx

y 12421244)2(2

0

lim 222

h

hhhx

hx

y

h

xxhxhhxx

hx

y

424

0

lim

12421244242

0

lim

2

222

4240

lim

hxhx

y

44

xx

y

Voorbeeld limietstelling Neem de functie

Differentieumlren

regels voor het differentieumlrenf(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axn geeft frsquo(x) = n middot axn-1 voor n = 23hellipf(x) = c middot g(x) geeft frsquo(x) = c middot grsquo(x)f(x) = g(x) + h(x) geeft frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x) somregel

34

De afgeleide van f(x) = axn

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4-1=3)

34

opgave 47c

h(x) = 5(x ndash 3)sup2 + 5(2x ndash 1) h(x) = 5(x ndash 3)(x ndash 3) + 10x ndash 5 h(x) = 5(xsup2 - 6x + 9) + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 30x + 45 + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 20x + 40hrsquo(x) = 2 middot 5x ndash 20hrsquo(x) = 10x - 20

opgave 47d

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56k(x) = 27xsup2 - 50x + 71krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50krsquo(x) = 54x - 50

opgave 48a

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)f(x) = 3x3 + 15x2 ndash 1x2 ndash 5xf(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5xfrsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 48d

f(x) = 5 - 3(x4 ndash x)(x + 1)f(x) = 5 ndash 3(x5 + x4 - x2 ndash x)f(x) = 5 - 3x5 - 3x4 + 3x2 + 3x frsquo(x) = 5 middot -3x4 - 4 middot 3x3 + 2 middot 3x + 3frsquo(x) = -15x4 - 12x3 + 6x + 3

Raaklijn en afgeleide

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a f(a))

x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

35

opgave 50

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4

a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 50

b stel m y = ax + bxB = -2

a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 6

-10 = 8 middot -2 + b-10 = -16 + bb = 6

Raaklijn met gegeven richtingscoeumlfficient

Teken f(x) = xsup2 - 3x + 1Teken enkele lijnen met rc = 2Eeacuten van de lijnen raakt de grafiekhet raakpunt is BBereken de cooumlrdinaten van Brc = 2 dus frsquo(xB) = 2

xB berekenen

frsquo(x) = 2 oplossenfrsquo(x) = 2x ndash 3frsquo(x) = 2

xB = 25

yB = f(25) = -025

B(25 -025)

2x ndash 3 = 22x = 5x = 25

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

B

x

35

opgave 54

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

x

f(x) = -xsup2 + 2x + 3a rcraaklijn = 4

dus frsquo(x) = 4frsquo(x) = -2x + 2

xA = -1

yA = f(-1) = 0

A(-1 0)b l y = -6x + 8

rcraaklijn = -6

dus frsquo(xB) = -6

frsquo(x) = -2x + 2

xB = 4

yB = f(4) = -5

B(4 -5)

-2x + 2 = 4-2x = 2x = -1

A

f

l

-2x + 2 = -6-2x = -8x = 4

Als 2 lijnen evenwijdig zijn dan hebben ze dezelfde rc

k

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

35

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32

Gemiddelde snelheid bij een tijd-afstand grafiek

Bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te

berekenen op een klein interval[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001 De gemiddelde snelheid = ∆s ∆t

33

Snelheid en richtingscoeumlfficieumlnt

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafieks = -tsup2 + 10ta de gemiddelde snelheid op [25]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2

b De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die

grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

33

s = 04tsup2s is de afgelegde weg in meters na t seconden

opgave 24

s = 04tsup2s is de afgelegde weg in meters na t secondent = 3op [3 301]∆s 04 301sup2 - 04 3sup2∆t 001de benadering van de snelheid op t = 3 is 240 ms

= = 2404

dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dxx=xA

y

Ox

k

A

xA

bull rc van de raaklijn van de grafiek in Abull helling van de grafiek in Abull snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

33

[ ]

a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8

= 2

dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0

= -2

l y = -2x + bB(0 8)

y = -2x + 8

[ ]dydx

x=-2

B

dydx

x=0

8 = -2 middot 0 + bb = 8

opgave 29

P Q

c f snijdt de x-as in P en Qlijn m raakt de grafiek in P

= 6

y = 6x + bP(-4 0)

y = 6x + 24lijn n raakt de grafiek in Q

= -6

y = -6x + bQ(2 0)

y = -6x + 12

6x + 24 = -6x + 126x + 6x = -24 + 1212x = -12 x = -1

[ ]dydx

x=-4

[ ]dydx

x=2

0 = 6 middot -4 + bb = 24

0 = 2 middot -6 + bb = 12

x = -1 invullen

y = 6 middot -1 + 24 = 18

snijpunt (-1 18)

Bij snijpunt berekenen de 2 lijnen aan elkaar gelijk stellen

opgave 29

d ∆x = 6∆y = -12rc = ∆y ∆xrc = -12 6rc = -2

R

T

∆x = 6

∆y = -12

opgave 29

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

34

Teken een globale grafiek van de oorspronkelijke functie

y

xO

top

top

top

top

0 0 0

voorbeeld

Hellinggrafiek plotten

mbv GRTI MATH ndash MATH - menuoptie nDerivCasio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddxvb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8

en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

34

De afgeleide functie

Bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruiktnotatie frsquo (f-accent)De afgeleide van een functie f geeft voor elke x - de richtingscoeumlfficieumlnt van de raaklijn van f in het bijbehorende punt- de helling van de grafiek van f in het bijbehorende punt

34

Om de formule van de afgeleide van een functie f te vinden kijken we naar het differentiecoeumlfficieumlnt van f(x) op het interval [ x x + h ] dus naar

∆y ∆x

=f(x + h) ndash f(x)

=x + h - x

f(x + h) ndash f(x) h

Neem je op het interval [ xx + h ] de waarde van h heel klein dan geeft

f(x + h) ndash f(x) h een goede benadering van de rc van de raaklijn van de grafiek van f

in het bijbehorende punt

O x x+h x

yf(x+h)

f(x)h

f(x+h) ndash f(x)

O x x+h x

y

f(x+h)f(x)

h

f(x+h) ndash f(x)h klein

f(x + h) ndash f(x) h

de grenswaarde van voor h naar 0 is de afgeleide frsquo(x)

de definitie van de afgeleide frsquo van een functie f is

frsquo(x) = lim f(x + h) ndash f(x) h h 0 34

1242)( 2 xxxf

h

xxhxhx

hx

y

h

xfhxf

hx

y

)1242()12)(4)(2(

0

lim

)()(

0

lim

22

h

xxhxhhxx

hx

y 12421244)2(2

0

lim 222

h

hhhx

hx

y

h

xxhxhhxx

hx

y

424

0

lim

12421244242

0

lim

2

222

4240

lim

hxhx

y

44

xx

y

Voorbeeld limietstelling Neem de functie

Differentieumlren

regels voor het differentieumlrenf(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axn geeft frsquo(x) = n middot axn-1 voor n = 23hellipf(x) = c middot g(x) geeft frsquo(x) = c middot grsquo(x)f(x) = g(x) + h(x) geeft frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x) somregel

34

De afgeleide van f(x) = axn

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4-1=3)

34

opgave 47c

h(x) = 5(x ndash 3)sup2 + 5(2x ndash 1) h(x) = 5(x ndash 3)(x ndash 3) + 10x ndash 5 h(x) = 5(xsup2 - 6x + 9) + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 30x + 45 + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 20x + 40hrsquo(x) = 2 middot 5x ndash 20hrsquo(x) = 10x - 20

opgave 47d

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56k(x) = 27xsup2 - 50x + 71krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50krsquo(x) = 54x - 50

opgave 48a

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)f(x) = 3x3 + 15x2 ndash 1x2 ndash 5xf(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5xfrsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 48d

f(x) = 5 - 3(x4 ndash x)(x + 1)f(x) = 5 ndash 3(x5 + x4 - x2 ndash x)f(x) = 5 - 3x5 - 3x4 + 3x2 + 3x frsquo(x) = 5 middot -3x4 - 4 middot 3x3 + 2 middot 3x + 3frsquo(x) = -15x4 - 12x3 + 6x + 3

Raaklijn en afgeleide

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a f(a))

x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

35

opgave 50

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4

a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 50

b stel m y = ax + bxB = -2

a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 6

-10 = 8 middot -2 + b-10 = -16 + bb = 6

Raaklijn met gegeven richtingscoeumlfficient

Teken f(x) = xsup2 - 3x + 1Teken enkele lijnen met rc = 2Eeacuten van de lijnen raakt de grafiekhet raakpunt is BBereken de cooumlrdinaten van Brc = 2 dus frsquo(xB) = 2

xB berekenen

frsquo(x) = 2 oplossenfrsquo(x) = 2x ndash 3frsquo(x) = 2

xB = 25

yB = f(25) = -025

B(25 -025)

2x ndash 3 = 22x = 5x = 25

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

B

x

35

opgave 54

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

x

f(x) = -xsup2 + 2x + 3a rcraaklijn = 4

dus frsquo(x) = 4frsquo(x) = -2x + 2

xA = -1

yA = f(-1) = 0

A(-1 0)b l y = -6x + 8

rcraaklijn = -6

dus frsquo(xB) = -6

frsquo(x) = -2x + 2

xB = 4

yB = f(4) = -5

B(4 -5)

-2x + 2 = 4-2x = 2x = -1

A

f

l

-2x + 2 = -6-2x = -8x = 4

Als 2 lijnen evenwijdig zijn dan hebben ze dezelfde rc

k

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

35

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32

Snelheid en richtingscoeumlfficieumlnt

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafieks = -tsup2 + 10ta de gemiddelde snelheid op [25]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2

b De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die

grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

33

s = 04tsup2s is de afgelegde weg in meters na t seconden

opgave 24

s = 04tsup2s is de afgelegde weg in meters na t secondent = 3op [3 301]∆s 04 301sup2 - 04 3sup2∆t 001de benadering van de snelheid op t = 3 is 240 ms

= = 2404

dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dxx=xA

y

Ox

k

A

xA

bull rc van de raaklijn van de grafiek in Abull helling van de grafiek in Abull snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

33

[ ]

a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8

= 2

dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0

= -2

l y = -2x + bB(0 8)

y = -2x + 8

[ ]dydx

x=-2

B

dydx

x=0

8 = -2 middot 0 + bb = 8

opgave 29

P Q

c f snijdt de x-as in P en Qlijn m raakt de grafiek in P

= 6

y = 6x + bP(-4 0)

y = 6x + 24lijn n raakt de grafiek in Q

= -6

y = -6x + bQ(2 0)

y = -6x + 12

6x + 24 = -6x + 126x + 6x = -24 + 1212x = -12 x = -1

[ ]dydx

x=-4

[ ]dydx

x=2

0 = 6 middot -4 + bb = 24

0 = 2 middot -6 + bb = 12

x = -1 invullen

y = 6 middot -1 + 24 = 18

snijpunt (-1 18)

Bij snijpunt berekenen de 2 lijnen aan elkaar gelijk stellen

opgave 29

d ∆x = 6∆y = -12rc = ∆y ∆xrc = -12 6rc = -2

R

T

∆x = 6

∆y = -12

opgave 29

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

34

Teken een globale grafiek van de oorspronkelijke functie

y

xO

top

top

top

top

0 0 0

voorbeeld

Hellinggrafiek plotten

mbv GRTI MATH ndash MATH - menuoptie nDerivCasio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddxvb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8

en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

34

De afgeleide functie

Bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruiktnotatie frsquo (f-accent)De afgeleide van een functie f geeft voor elke x - de richtingscoeumlfficieumlnt van de raaklijn van f in het bijbehorende punt- de helling van de grafiek van f in het bijbehorende punt

34

Om de formule van de afgeleide van een functie f te vinden kijken we naar het differentiecoeumlfficieumlnt van f(x) op het interval [ x x + h ] dus naar

∆y ∆x

=f(x + h) ndash f(x)

=x + h - x

f(x + h) ndash f(x) h

Neem je op het interval [ xx + h ] de waarde van h heel klein dan geeft

f(x + h) ndash f(x) h een goede benadering van de rc van de raaklijn van de grafiek van f

in het bijbehorende punt

O x x+h x

yf(x+h)

f(x)h

f(x+h) ndash f(x)

O x x+h x

y

f(x+h)f(x)

h

f(x+h) ndash f(x)h klein

f(x + h) ndash f(x) h

de grenswaarde van voor h naar 0 is de afgeleide frsquo(x)

de definitie van de afgeleide frsquo van een functie f is

frsquo(x) = lim f(x + h) ndash f(x) h h 0 34

1242)( 2 xxxf

h

xxhxhx

hx

y

h

xfhxf

hx

y

)1242()12)(4)(2(

0

lim

)()(

0

lim

22

h

xxhxhhxx

hx

y 12421244)2(2

0

lim 222

h

hhhx

hx

y

h

xxhxhhxx

hx

y

424

0

lim

12421244242

0

lim

2

222

4240

lim

hxhx

y

44

xx

y

Voorbeeld limietstelling Neem de functie

Differentieumlren

regels voor het differentieumlrenf(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axn geeft frsquo(x) = n middot axn-1 voor n = 23hellipf(x) = c middot g(x) geeft frsquo(x) = c middot grsquo(x)f(x) = g(x) + h(x) geeft frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x) somregel

34

De afgeleide van f(x) = axn

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4-1=3)

34

opgave 47c

h(x) = 5(x ndash 3)sup2 + 5(2x ndash 1) h(x) = 5(x ndash 3)(x ndash 3) + 10x ndash 5 h(x) = 5(xsup2 - 6x + 9) + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 30x + 45 + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 20x + 40hrsquo(x) = 2 middot 5x ndash 20hrsquo(x) = 10x - 20

opgave 47d

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56k(x) = 27xsup2 - 50x + 71krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50krsquo(x) = 54x - 50

opgave 48a

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)f(x) = 3x3 + 15x2 ndash 1x2 ndash 5xf(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5xfrsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 48d

f(x) = 5 - 3(x4 ndash x)(x + 1)f(x) = 5 ndash 3(x5 + x4 - x2 ndash x)f(x) = 5 - 3x5 - 3x4 + 3x2 + 3x frsquo(x) = 5 middot -3x4 - 4 middot 3x3 + 2 middot 3x + 3frsquo(x) = -15x4 - 12x3 + 6x + 3

Raaklijn en afgeleide

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a f(a))

x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

35

opgave 50

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4

a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 50

b stel m y = ax + bxB = -2

a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 6

-10 = 8 middot -2 + b-10 = -16 + bb = 6

Raaklijn met gegeven richtingscoeumlfficient

Teken f(x) = xsup2 - 3x + 1Teken enkele lijnen met rc = 2Eeacuten van de lijnen raakt de grafiekhet raakpunt is BBereken de cooumlrdinaten van Brc = 2 dus frsquo(xB) = 2

xB berekenen

frsquo(x) = 2 oplossenfrsquo(x) = 2x ndash 3frsquo(x) = 2

xB = 25

yB = f(25) = -025

B(25 -025)

2x ndash 3 = 22x = 5x = 25

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

B

x

35

opgave 54

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

x

f(x) = -xsup2 + 2x + 3a rcraaklijn = 4

dus frsquo(x) = 4frsquo(x) = -2x + 2

xA = -1

yA = f(-1) = 0

A(-1 0)b l y = -6x + 8

rcraaklijn = -6

dus frsquo(xB) = -6

frsquo(x) = -2x + 2

xB = 4

yB = f(4) = -5

B(4 -5)

-2x + 2 = 4-2x = 2x = -1

A

f

l

-2x + 2 = -6-2x = -8x = 4

Als 2 lijnen evenwijdig zijn dan hebben ze dezelfde rc

k

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

35

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32

s = 04tsup2s is de afgelegde weg in meters na t seconden

opgave 24

s = 04tsup2s is de afgelegde weg in meters na t secondent = 3op [3 301]∆s 04 301sup2 - 04 3sup2∆t 001de benadering van de snelheid op t = 3 is 240 ms

= = 2404

dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dxx=xA

y

Ox

k

A

xA

bull rc van de raaklijn van de grafiek in Abull helling van de grafiek in Abull snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

33

[ ]

a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8

= 2

dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0

= -2

l y = -2x + bB(0 8)

y = -2x + 8

[ ]dydx

x=-2

B

dydx

x=0

8 = -2 middot 0 + bb = 8

opgave 29

P Q

c f snijdt de x-as in P en Qlijn m raakt de grafiek in P

= 6

y = 6x + bP(-4 0)

y = 6x + 24lijn n raakt de grafiek in Q

= -6

y = -6x + bQ(2 0)

y = -6x + 12

6x + 24 = -6x + 126x + 6x = -24 + 1212x = -12 x = -1

[ ]dydx

x=-4

[ ]dydx

x=2

0 = 6 middot -4 + bb = 24

0 = 2 middot -6 + bb = 12

x = -1 invullen

y = 6 middot -1 + 24 = 18

snijpunt (-1 18)

Bij snijpunt berekenen de 2 lijnen aan elkaar gelijk stellen

opgave 29

d ∆x = 6∆y = -12rc = ∆y ∆xrc = -12 6rc = -2

R

T

∆x = 6

∆y = -12

opgave 29

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

34

Teken een globale grafiek van de oorspronkelijke functie

y

xO

top

top

top

top

0 0 0

voorbeeld

Hellinggrafiek plotten

mbv GRTI MATH ndash MATH - menuoptie nDerivCasio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddxvb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8

en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

34

De afgeleide functie

Bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruiktnotatie frsquo (f-accent)De afgeleide van een functie f geeft voor elke x - de richtingscoeumlfficieumlnt van de raaklijn van f in het bijbehorende punt- de helling van de grafiek van f in het bijbehorende punt

34

Om de formule van de afgeleide van een functie f te vinden kijken we naar het differentiecoeumlfficieumlnt van f(x) op het interval [ x x + h ] dus naar

∆y ∆x

=f(x + h) ndash f(x)

=x + h - x

f(x + h) ndash f(x) h

Neem je op het interval [ xx + h ] de waarde van h heel klein dan geeft

f(x + h) ndash f(x) h een goede benadering van de rc van de raaklijn van de grafiek van f

in het bijbehorende punt

O x x+h x

yf(x+h)

f(x)h

f(x+h) ndash f(x)

O x x+h x

y

f(x+h)f(x)

h

f(x+h) ndash f(x)h klein

f(x + h) ndash f(x) h

de grenswaarde van voor h naar 0 is de afgeleide frsquo(x)

de definitie van de afgeleide frsquo van een functie f is

frsquo(x) = lim f(x + h) ndash f(x) h h 0 34

1242)( 2 xxxf

h

xxhxhx

hx

y

h

xfhxf

hx

y

)1242()12)(4)(2(

0

lim

)()(

0

lim

22

h

xxhxhhxx

hx

y 12421244)2(2

0

lim 222

h

hhhx

hx

y

h

xxhxhhxx

hx

y

424

0

lim

12421244242

0

lim

2

222

4240

lim

hxhx

y

44

xx

y

Voorbeeld limietstelling Neem de functie

Differentieumlren

regels voor het differentieumlrenf(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axn geeft frsquo(x) = n middot axn-1 voor n = 23hellipf(x) = c middot g(x) geeft frsquo(x) = c middot grsquo(x)f(x) = g(x) + h(x) geeft frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x) somregel

34

De afgeleide van f(x) = axn

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4-1=3)

34

opgave 47c

h(x) = 5(x ndash 3)sup2 + 5(2x ndash 1) h(x) = 5(x ndash 3)(x ndash 3) + 10x ndash 5 h(x) = 5(xsup2 - 6x + 9) + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 30x + 45 + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 20x + 40hrsquo(x) = 2 middot 5x ndash 20hrsquo(x) = 10x - 20

opgave 47d

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56k(x) = 27xsup2 - 50x + 71krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50krsquo(x) = 54x - 50

opgave 48a

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)f(x) = 3x3 + 15x2 ndash 1x2 ndash 5xf(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5xfrsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 48d

f(x) = 5 - 3(x4 ndash x)(x + 1)f(x) = 5 ndash 3(x5 + x4 - x2 ndash x)f(x) = 5 - 3x5 - 3x4 + 3x2 + 3x frsquo(x) = 5 middot -3x4 - 4 middot 3x3 + 2 middot 3x + 3frsquo(x) = -15x4 - 12x3 + 6x + 3

Raaklijn en afgeleide

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a f(a))

x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

35

opgave 50

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4

a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 50

b stel m y = ax + bxB = -2

a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 6

-10 = 8 middot -2 + b-10 = -16 + bb = 6

Raaklijn met gegeven richtingscoeumlfficient

Teken f(x) = xsup2 - 3x + 1Teken enkele lijnen met rc = 2Eeacuten van de lijnen raakt de grafiekhet raakpunt is BBereken de cooumlrdinaten van Brc = 2 dus frsquo(xB) = 2

xB berekenen

frsquo(x) = 2 oplossenfrsquo(x) = 2x ndash 3frsquo(x) = 2

xB = 25

yB = f(25) = -025

B(25 -025)

2x ndash 3 = 22x = 5x = 25

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

B

x

35

opgave 54

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

x

f(x) = -xsup2 + 2x + 3a rcraaklijn = 4

dus frsquo(x) = 4frsquo(x) = -2x + 2

xA = -1

yA = f(-1) = 0

A(-1 0)b l y = -6x + 8

rcraaklijn = -6

dus frsquo(xB) = -6

frsquo(x) = -2x + 2

xB = 4

yB = f(4) = -5

B(4 -5)

-2x + 2 = 4-2x = 2x = -1

A

f

l

-2x + 2 = -6-2x = -8x = 4

Als 2 lijnen evenwijdig zijn dan hebben ze dezelfde rc

k

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

35

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32

dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dxx=xA

y

Ox

k

A

xA

bull rc van de raaklijn van de grafiek in Abull helling van de grafiek in Abull snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

33

[ ]

a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8

= 2

dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0

= -2

l y = -2x + bB(0 8)

y = -2x + 8

[ ]dydx

x=-2

B

dydx

x=0

8 = -2 middot 0 + bb = 8

opgave 29

P Q

c f snijdt de x-as in P en Qlijn m raakt de grafiek in P

= 6

y = 6x + bP(-4 0)

y = 6x + 24lijn n raakt de grafiek in Q

= -6

y = -6x + bQ(2 0)

y = -6x + 12

6x + 24 = -6x + 126x + 6x = -24 + 1212x = -12 x = -1

[ ]dydx

x=-4

[ ]dydx

x=2

0 = 6 middot -4 + bb = 24

0 = 2 middot -6 + bb = 12

x = -1 invullen

y = 6 middot -1 + 24 = 18

snijpunt (-1 18)

Bij snijpunt berekenen de 2 lijnen aan elkaar gelijk stellen

opgave 29

d ∆x = 6∆y = -12rc = ∆y ∆xrc = -12 6rc = -2

R

T

∆x = 6

∆y = -12

opgave 29

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

34

Teken een globale grafiek van de oorspronkelijke functie

y

xO

top

top

top

top

0 0 0

voorbeeld

Hellinggrafiek plotten

mbv GRTI MATH ndash MATH - menuoptie nDerivCasio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddxvb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8

en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

34

De afgeleide functie

Bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruiktnotatie frsquo (f-accent)De afgeleide van een functie f geeft voor elke x - de richtingscoeumlfficieumlnt van de raaklijn van f in het bijbehorende punt- de helling van de grafiek van f in het bijbehorende punt

34

Om de formule van de afgeleide van een functie f te vinden kijken we naar het differentiecoeumlfficieumlnt van f(x) op het interval [ x x + h ] dus naar

∆y ∆x

=f(x + h) ndash f(x)

=x + h - x

f(x + h) ndash f(x) h

Neem je op het interval [ xx + h ] de waarde van h heel klein dan geeft

f(x + h) ndash f(x) h een goede benadering van de rc van de raaklijn van de grafiek van f

in het bijbehorende punt

O x x+h x

yf(x+h)

f(x)h

f(x+h) ndash f(x)

O x x+h x

y

f(x+h)f(x)

h

f(x+h) ndash f(x)h klein

f(x + h) ndash f(x) h

de grenswaarde van voor h naar 0 is de afgeleide frsquo(x)

de definitie van de afgeleide frsquo van een functie f is

frsquo(x) = lim f(x + h) ndash f(x) h h 0 34

1242)( 2 xxxf

h

xxhxhx

hx

y

h

xfhxf

hx

y

)1242()12)(4)(2(

0

lim

)()(

0

lim

22

h

xxhxhhxx

hx

y 12421244)2(2

0

lim 222

h

hhhx

hx

y

h

xxhxhhxx

hx

y

424

0

lim

12421244242

0

lim

2

222

4240

lim

hxhx

y

44

xx

y

Voorbeeld limietstelling Neem de functie

Differentieumlren

regels voor het differentieumlrenf(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axn geeft frsquo(x) = n middot axn-1 voor n = 23hellipf(x) = c middot g(x) geeft frsquo(x) = c middot grsquo(x)f(x) = g(x) + h(x) geeft frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x) somregel

34

De afgeleide van f(x) = axn

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4-1=3)

34

opgave 47c

h(x) = 5(x ndash 3)sup2 + 5(2x ndash 1) h(x) = 5(x ndash 3)(x ndash 3) + 10x ndash 5 h(x) = 5(xsup2 - 6x + 9) + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 30x + 45 + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 20x + 40hrsquo(x) = 2 middot 5x ndash 20hrsquo(x) = 10x - 20

opgave 47d

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56k(x) = 27xsup2 - 50x + 71krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50krsquo(x) = 54x - 50

opgave 48a

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)f(x) = 3x3 + 15x2 ndash 1x2 ndash 5xf(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5xfrsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 48d

f(x) = 5 - 3(x4 ndash x)(x + 1)f(x) = 5 ndash 3(x5 + x4 - x2 ndash x)f(x) = 5 - 3x5 - 3x4 + 3x2 + 3x frsquo(x) = 5 middot -3x4 - 4 middot 3x3 + 2 middot 3x + 3frsquo(x) = -15x4 - 12x3 + 6x + 3

Raaklijn en afgeleide

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a f(a))

x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

35

opgave 50

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4

a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 50

b stel m y = ax + bxB = -2

a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 6

-10 = 8 middot -2 + b-10 = -16 + bb = 6

Raaklijn met gegeven richtingscoeumlfficient

Teken f(x) = xsup2 - 3x + 1Teken enkele lijnen met rc = 2Eeacuten van de lijnen raakt de grafiekhet raakpunt is BBereken de cooumlrdinaten van Brc = 2 dus frsquo(xB) = 2

xB berekenen

frsquo(x) = 2 oplossenfrsquo(x) = 2x ndash 3frsquo(x) = 2

xB = 25

yB = f(25) = -025

B(25 -025)

2x ndash 3 = 22x = 5x = 25

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

B

x

35

opgave 54

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

x

f(x) = -xsup2 + 2x + 3a rcraaklijn = 4

dus frsquo(x) = 4frsquo(x) = -2x + 2

xA = -1

yA = f(-1) = 0

A(-1 0)b l y = -6x + 8

rcraaklijn = -6

dus frsquo(xB) = -6

frsquo(x) = -2x + 2

xB = 4

yB = f(4) = -5

B(4 -5)

-2x + 2 = 4-2x = 2x = -1

A

f

l

-2x + 2 = -6-2x = -8x = 4

Als 2 lijnen evenwijdig zijn dan hebben ze dezelfde rc

k

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

35

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32

[ ]

a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8

= 2

dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0

= -2

l y = -2x + bB(0 8)

y = -2x + 8

[ ]dydx

x=-2

B

dydx

x=0

8 = -2 middot 0 + bb = 8

opgave 29

P Q

c f snijdt de x-as in P en Qlijn m raakt de grafiek in P

= 6

y = 6x + bP(-4 0)

y = 6x + 24lijn n raakt de grafiek in Q

= -6

y = -6x + bQ(2 0)

y = -6x + 12

6x + 24 = -6x + 126x + 6x = -24 + 1212x = -12 x = -1

[ ]dydx

x=-4

[ ]dydx

x=2

0 = 6 middot -4 + bb = 24

0 = 2 middot -6 + bb = 12

x = -1 invullen

y = 6 middot -1 + 24 = 18

snijpunt (-1 18)

Bij snijpunt berekenen de 2 lijnen aan elkaar gelijk stellen

opgave 29

d ∆x = 6∆y = -12rc = ∆y ∆xrc = -12 6rc = -2

R

T

∆x = 6

∆y = -12

opgave 29

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

34

Teken een globale grafiek van de oorspronkelijke functie

y

xO

top

top

top

top

0 0 0

voorbeeld

Hellinggrafiek plotten

mbv GRTI MATH ndash MATH - menuoptie nDerivCasio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddxvb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8

en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

34

De afgeleide functie

Bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruiktnotatie frsquo (f-accent)De afgeleide van een functie f geeft voor elke x - de richtingscoeumlfficieumlnt van de raaklijn van f in het bijbehorende punt- de helling van de grafiek van f in het bijbehorende punt

34

Om de formule van de afgeleide van een functie f te vinden kijken we naar het differentiecoeumlfficieumlnt van f(x) op het interval [ x x + h ] dus naar

∆y ∆x

=f(x + h) ndash f(x)

=x + h - x

f(x + h) ndash f(x) h

Neem je op het interval [ xx + h ] de waarde van h heel klein dan geeft

f(x + h) ndash f(x) h een goede benadering van de rc van de raaklijn van de grafiek van f

in het bijbehorende punt

O x x+h x

yf(x+h)

f(x)h

f(x+h) ndash f(x)

O x x+h x

y

f(x+h)f(x)

h

f(x+h) ndash f(x)h klein

f(x + h) ndash f(x) h

de grenswaarde van voor h naar 0 is de afgeleide frsquo(x)

de definitie van de afgeleide frsquo van een functie f is

frsquo(x) = lim f(x + h) ndash f(x) h h 0 34

1242)( 2 xxxf

h

xxhxhx

hx

y

h

xfhxf

hx

y

)1242()12)(4)(2(

0

lim

)()(

0

lim

22

h

xxhxhhxx

hx

y 12421244)2(2

0

lim 222

h

hhhx

hx

y

h

xxhxhhxx

hx

y

424

0

lim

12421244242

0

lim

2

222

4240

lim

hxhx

y

44

xx

y

Voorbeeld limietstelling Neem de functie

Differentieumlren

regels voor het differentieumlrenf(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axn geeft frsquo(x) = n middot axn-1 voor n = 23hellipf(x) = c middot g(x) geeft frsquo(x) = c middot grsquo(x)f(x) = g(x) + h(x) geeft frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x) somregel

34

De afgeleide van f(x) = axn

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4-1=3)

34

opgave 47c

h(x) = 5(x ndash 3)sup2 + 5(2x ndash 1) h(x) = 5(x ndash 3)(x ndash 3) + 10x ndash 5 h(x) = 5(xsup2 - 6x + 9) + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 30x + 45 + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 20x + 40hrsquo(x) = 2 middot 5x ndash 20hrsquo(x) = 10x - 20

opgave 47d

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56k(x) = 27xsup2 - 50x + 71krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50krsquo(x) = 54x - 50

opgave 48a

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)f(x) = 3x3 + 15x2 ndash 1x2 ndash 5xf(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5xfrsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 48d

f(x) = 5 - 3(x4 ndash x)(x + 1)f(x) = 5 ndash 3(x5 + x4 - x2 ndash x)f(x) = 5 - 3x5 - 3x4 + 3x2 + 3x frsquo(x) = 5 middot -3x4 - 4 middot 3x3 + 2 middot 3x + 3frsquo(x) = -15x4 - 12x3 + 6x + 3

Raaklijn en afgeleide

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a f(a))

x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

35

opgave 50

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4

a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 50

b stel m y = ax + bxB = -2

a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 6

-10 = 8 middot -2 + b-10 = -16 + bb = 6

Raaklijn met gegeven richtingscoeumlfficient

Teken f(x) = xsup2 - 3x + 1Teken enkele lijnen met rc = 2Eeacuten van de lijnen raakt de grafiekhet raakpunt is BBereken de cooumlrdinaten van Brc = 2 dus frsquo(xB) = 2

xB berekenen

frsquo(x) = 2 oplossenfrsquo(x) = 2x ndash 3frsquo(x) = 2

xB = 25

yB = f(25) = -025

B(25 -025)

2x ndash 3 = 22x = 5x = 25

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

B

x

35

opgave 54

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

x

f(x) = -xsup2 + 2x + 3a rcraaklijn = 4

dus frsquo(x) = 4frsquo(x) = -2x + 2

xA = -1

yA = f(-1) = 0

A(-1 0)b l y = -6x + 8

rcraaklijn = -6

dus frsquo(xB) = -6

frsquo(x) = -2x + 2

xB = 4

yB = f(4) = -5

B(4 -5)

-2x + 2 = 4-2x = 2x = -1

A

f

l

-2x + 2 = -6-2x = -8x = 4

Als 2 lijnen evenwijdig zijn dan hebben ze dezelfde rc

k

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

35

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32

P Q

c f snijdt de x-as in P en Qlijn m raakt de grafiek in P

= 6

y = 6x + bP(-4 0)

y = 6x + 24lijn n raakt de grafiek in Q

= -6

y = -6x + bQ(2 0)

y = -6x + 12

6x + 24 = -6x + 126x + 6x = -24 + 1212x = -12 x = -1

[ ]dydx

x=-4

[ ]dydx

x=2

0 = 6 middot -4 + bb = 24

0 = 2 middot -6 + bb = 12

x = -1 invullen

y = 6 middot -1 + 24 = 18

snijpunt (-1 18)

Bij snijpunt berekenen de 2 lijnen aan elkaar gelijk stellen

opgave 29

d ∆x = 6∆y = -12rc = ∆y ∆xrc = -12 6rc = -2

R

T

∆x = 6

∆y = -12

opgave 29

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

34

Teken een globale grafiek van de oorspronkelijke functie

y

xO

top

top

top

top

0 0 0

voorbeeld

Hellinggrafiek plotten

mbv GRTI MATH ndash MATH - menuoptie nDerivCasio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddxvb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8

en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

34

De afgeleide functie

Bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruiktnotatie frsquo (f-accent)De afgeleide van een functie f geeft voor elke x - de richtingscoeumlfficieumlnt van de raaklijn van f in het bijbehorende punt- de helling van de grafiek van f in het bijbehorende punt

34

Om de formule van de afgeleide van een functie f te vinden kijken we naar het differentiecoeumlfficieumlnt van f(x) op het interval [ x x + h ] dus naar

∆y ∆x

=f(x + h) ndash f(x)

=x + h - x

f(x + h) ndash f(x) h

Neem je op het interval [ xx + h ] de waarde van h heel klein dan geeft

f(x + h) ndash f(x) h een goede benadering van de rc van de raaklijn van de grafiek van f

in het bijbehorende punt

O x x+h x

yf(x+h)

f(x)h

f(x+h) ndash f(x)

O x x+h x

y

f(x+h)f(x)

h

f(x+h) ndash f(x)h klein

f(x + h) ndash f(x) h

de grenswaarde van voor h naar 0 is de afgeleide frsquo(x)

de definitie van de afgeleide frsquo van een functie f is

frsquo(x) = lim f(x + h) ndash f(x) h h 0 34

1242)( 2 xxxf

h

xxhxhx

hx

y

h

xfhxf

hx

y

)1242()12)(4)(2(

0

lim

)()(

0

lim

22

h

xxhxhhxx

hx

y 12421244)2(2

0

lim 222

h

hhhx

hx

y

h

xxhxhhxx

hx

y

424

0

lim

12421244242

0

lim

2

222

4240

lim

hxhx

y

44

xx

y

Voorbeeld limietstelling Neem de functie

Differentieumlren

regels voor het differentieumlrenf(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axn geeft frsquo(x) = n middot axn-1 voor n = 23hellipf(x) = c middot g(x) geeft frsquo(x) = c middot grsquo(x)f(x) = g(x) + h(x) geeft frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x) somregel

34

De afgeleide van f(x) = axn

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4-1=3)

34

opgave 47c

h(x) = 5(x ndash 3)sup2 + 5(2x ndash 1) h(x) = 5(x ndash 3)(x ndash 3) + 10x ndash 5 h(x) = 5(xsup2 - 6x + 9) + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 30x + 45 + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 20x + 40hrsquo(x) = 2 middot 5x ndash 20hrsquo(x) = 10x - 20

opgave 47d

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56k(x) = 27xsup2 - 50x + 71krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50krsquo(x) = 54x - 50

opgave 48a

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)f(x) = 3x3 + 15x2 ndash 1x2 ndash 5xf(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5xfrsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 48d

f(x) = 5 - 3(x4 ndash x)(x + 1)f(x) = 5 ndash 3(x5 + x4 - x2 ndash x)f(x) = 5 - 3x5 - 3x4 + 3x2 + 3x frsquo(x) = 5 middot -3x4 - 4 middot 3x3 + 2 middot 3x + 3frsquo(x) = -15x4 - 12x3 + 6x + 3

Raaklijn en afgeleide

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a f(a))

x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

35

opgave 50

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4

a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 50

b stel m y = ax + bxB = -2

a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 6

-10 = 8 middot -2 + b-10 = -16 + bb = 6

Raaklijn met gegeven richtingscoeumlfficient

Teken f(x) = xsup2 - 3x + 1Teken enkele lijnen met rc = 2Eeacuten van de lijnen raakt de grafiekhet raakpunt is BBereken de cooumlrdinaten van Brc = 2 dus frsquo(xB) = 2

xB berekenen

frsquo(x) = 2 oplossenfrsquo(x) = 2x ndash 3frsquo(x) = 2

xB = 25

yB = f(25) = -025

B(25 -025)

2x ndash 3 = 22x = 5x = 25

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

B

x

35

opgave 54

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

x

f(x) = -xsup2 + 2x + 3a rcraaklijn = 4

dus frsquo(x) = 4frsquo(x) = -2x + 2

xA = -1

yA = f(-1) = 0

A(-1 0)b l y = -6x + 8

rcraaklijn = -6

dus frsquo(xB) = -6

frsquo(x) = -2x + 2

xB = 4

yB = f(4) = -5

B(4 -5)

-2x + 2 = 4-2x = 2x = -1

A

f

l

-2x + 2 = -6-2x = -8x = 4

Als 2 lijnen evenwijdig zijn dan hebben ze dezelfde rc

k

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

35

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32

d ∆x = 6∆y = -12rc = ∆y ∆xrc = -12 6rc = -2

R

T

∆x = 6

∆y = -12

opgave 29

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

34

Teken een globale grafiek van de oorspronkelijke functie

y

xO

top

top

top

top

0 0 0

voorbeeld

Hellinggrafiek plotten

mbv GRTI MATH ndash MATH - menuoptie nDerivCasio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddxvb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8

en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

34

De afgeleide functie

Bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruiktnotatie frsquo (f-accent)De afgeleide van een functie f geeft voor elke x - de richtingscoeumlfficieumlnt van de raaklijn van f in het bijbehorende punt- de helling van de grafiek van f in het bijbehorende punt

34

Om de formule van de afgeleide van een functie f te vinden kijken we naar het differentiecoeumlfficieumlnt van f(x) op het interval [ x x + h ] dus naar

∆y ∆x

=f(x + h) ndash f(x)

=x + h - x

f(x + h) ndash f(x) h

Neem je op het interval [ xx + h ] de waarde van h heel klein dan geeft

f(x + h) ndash f(x) h een goede benadering van de rc van de raaklijn van de grafiek van f

in het bijbehorende punt

O x x+h x

yf(x+h)

f(x)h

f(x+h) ndash f(x)

O x x+h x

y

f(x+h)f(x)

h

f(x+h) ndash f(x)h klein

f(x + h) ndash f(x) h

de grenswaarde van voor h naar 0 is de afgeleide frsquo(x)

de definitie van de afgeleide frsquo van een functie f is

frsquo(x) = lim f(x + h) ndash f(x) h h 0 34

1242)( 2 xxxf

h

xxhxhx

hx

y

h

xfhxf

hx

y

)1242()12)(4)(2(

0

lim

)()(

0

lim

22

h

xxhxhhxx

hx

y 12421244)2(2

0

lim 222

h

hhhx

hx

y

h

xxhxhhxx

hx

y

424

0

lim

12421244242

0

lim

2

222

4240

lim

hxhx

y

44

xx

y

Voorbeeld limietstelling Neem de functie

Differentieumlren

regels voor het differentieumlrenf(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axn geeft frsquo(x) = n middot axn-1 voor n = 23hellipf(x) = c middot g(x) geeft frsquo(x) = c middot grsquo(x)f(x) = g(x) + h(x) geeft frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x) somregel

34

De afgeleide van f(x) = axn

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4-1=3)

34

opgave 47c

h(x) = 5(x ndash 3)sup2 + 5(2x ndash 1) h(x) = 5(x ndash 3)(x ndash 3) + 10x ndash 5 h(x) = 5(xsup2 - 6x + 9) + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 30x + 45 + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 20x + 40hrsquo(x) = 2 middot 5x ndash 20hrsquo(x) = 10x - 20

opgave 47d

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56k(x) = 27xsup2 - 50x + 71krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50krsquo(x) = 54x - 50

opgave 48a

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)f(x) = 3x3 + 15x2 ndash 1x2 ndash 5xf(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5xfrsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 48d

f(x) = 5 - 3(x4 ndash x)(x + 1)f(x) = 5 ndash 3(x5 + x4 - x2 ndash x)f(x) = 5 - 3x5 - 3x4 + 3x2 + 3x frsquo(x) = 5 middot -3x4 - 4 middot 3x3 + 2 middot 3x + 3frsquo(x) = -15x4 - 12x3 + 6x + 3

Raaklijn en afgeleide

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a f(a))

x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

35

opgave 50

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4

a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 50

b stel m y = ax + bxB = -2

a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 6

-10 = 8 middot -2 + b-10 = -16 + bb = 6

Raaklijn met gegeven richtingscoeumlfficient

Teken f(x) = xsup2 - 3x + 1Teken enkele lijnen met rc = 2Eeacuten van de lijnen raakt de grafiekhet raakpunt is BBereken de cooumlrdinaten van Brc = 2 dus frsquo(xB) = 2

xB berekenen

frsquo(x) = 2 oplossenfrsquo(x) = 2x ndash 3frsquo(x) = 2

xB = 25

yB = f(25) = -025

B(25 -025)

2x ndash 3 = 22x = 5x = 25

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

B

x

35

opgave 54

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

x

f(x) = -xsup2 + 2x + 3a rcraaklijn = 4

dus frsquo(x) = 4frsquo(x) = -2x + 2

xA = -1

yA = f(-1) = 0

A(-1 0)b l y = -6x + 8

rcraaklijn = -6

dus frsquo(xB) = -6

frsquo(x) = -2x + 2

xB = 4

yB = f(4) = -5

B(4 -5)

-2x + 2 = 4-2x = 2x = -1

A

f

l

-2x + 2 = -6-2x = -8x = 4

Als 2 lijnen evenwijdig zijn dan hebben ze dezelfde rc

k

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

35

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

34

Teken een globale grafiek van de oorspronkelijke functie

y

xO

top

top

top

top

0 0 0

voorbeeld

Hellinggrafiek plotten

mbv GRTI MATH ndash MATH - menuoptie nDerivCasio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddxvb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8

en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

34

De afgeleide functie

Bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruiktnotatie frsquo (f-accent)De afgeleide van een functie f geeft voor elke x - de richtingscoeumlfficieumlnt van de raaklijn van f in het bijbehorende punt- de helling van de grafiek van f in het bijbehorende punt

34

Om de formule van de afgeleide van een functie f te vinden kijken we naar het differentiecoeumlfficieumlnt van f(x) op het interval [ x x + h ] dus naar

∆y ∆x

=f(x + h) ndash f(x)

=x + h - x

f(x + h) ndash f(x) h

Neem je op het interval [ xx + h ] de waarde van h heel klein dan geeft

f(x + h) ndash f(x) h een goede benadering van de rc van de raaklijn van de grafiek van f

in het bijbehorende punt

O x x+h x

yf(x+h)

f(x)h

f(x+h) ndash f(x)

O x x+h x

y

f(x+h)f(x)

h

f(x+h) ndash f(x)h klein

f(x + h) ndash f(x) h

de grenswaarde van voor h naar 0 is de afgeleide frsquo(x)

de definitie van de afgeleide frsquo van een functie f is

frsquo(x) = lim f(x + h) ndash f(x) h h 0 34

1242)( 2 xxxf

h

xxhxhx

hx

y

h

xfhxf

hx

y

)1242()12)(4)(2(

0

lim

)()(

0

lim

22

h

xxhxhhxx

hx

y 12421244)2(2

0

lim 222

h

hhhx

hx

y

h

xxhxhhxx

hx

y

424

0

lim

12421244242

0

lim

2

222

4240

lim

hxhx

y

44

xx

y

Voorbeeld limietstelling Neem de functie

Differentieumlren

regels voor het differentieumlrenf(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axn geeft frsquo(x) = n middot axn-1 voor n = 23hellipf(x) = c middot g(x) geeft frsquo(x) = c middot grsquo(x)f(x) = g(x) + h(x) geeft frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x) somregel

34

De afgeleide van f(x) = axn

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4-1=3)

34

opgave 47c

h(x) = 5(x ndash 3)sup2 + 5(2x ndash 1) h(x) = 5(x ndash 3)(x ndash 3) + 10x ndash 5 h(x) = 5(xsup2 - 6x + 9) + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 30x + 45 + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 20x + 40hrsquo(x) = 2 middot 5x ndash 20hrsquo(x) = 10x - 20

opgave 47d

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56k(x) = 27xsup2 - 50x + 71krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50krsquo(x) = 54x - 50

opgave 48a

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)f(x) = 3x3 + 15x2 ndash 1x2 ndash 5xf(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5xfrsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 48d

f(x) = 5 - 3(x4 ndash x)(x + 1)f(x) = 5 ndash 3(x5 + x4 - x2 ndash x)f(x) = 5 - 3x5 - 3x4 + 3x2 + 3x frsquo(x) = 5 middot -3x4 - 4 middot 3x3 + 2 middot 3x + 3frsquo(x) = -15x4 - 12x3 + 6x + 3

Raaklijn en afgeleide

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a f(a))

x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

35

opgave 50

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4

a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 50

b stel m y = ax + bxB = -2

a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 6

-10 = 8 middot -2 + b-10 = -16 + bb = 6

Raaklijn met gegeven richtingscoeumlfficient

Teken f(x) = xsup2 - 3x + 1Teken enkele lijnen met rc = 2Eeacuten van de lijnen raakt de grafiekhet raakpunt is BBereken de cooumlrdinaten van Brc = 2 dus frsquo(xB) = 2

xB berekenen

frsquo(x) = 2 oplossenfrsquo(x) = 2x ndash 3frsquo(x) = 2

xB = 25

yB = f(25) = -025

B(25 -025)

2x ndash 3 = 22x = 5x = 25

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

B

x

35

opgave 54

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

x

f(x) = -xsup2 + 2x + 3a rcraaklijn = 4

dus frsquo(x) = 4frsquo(x) = -2x + 2

xA = -1

yA = f(-1) = 0

A(-1 0)b l y = -6x + 8

rcraaklijn = -6

dus frsquo(xB) = -6

frsquo(x) = -2x + 2

xB = 4

yB = f(4) = -5

B(4 -5)

-2x + 2 = 4-2x = 2x = -1

A

f

l

-2x + 2 = -6-2x = -8x = 4

Als 2 lijnen evenwijdig zijn dan hebben ze dezelfde rc

k

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

35

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32

Teken een globale grafiek van de oorspronkelijke functie

y

xO

top

top

top

top

0 0 0

voorbeeld

Hellinggrafiek plotten

mbv GRTI MATH ndash MATH - menuoptie nDerivCasio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddxvb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8

en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

34

De afgeleide functie

Bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruiktnotatie frsquo (f-accent)De afgeleide van een functie f geeft voor elke x - de richtingscoeumlfficieumlnt van de raaklijn van f in het bijbehorende punt- de helling van de grafiek van f in het bijbehorende punt

34

Om de formule van de afgeleide van een functie f te vinden kijken we naar het differentiecoeumlfficieumlnt van f(x) op het interval [ x x + h ] dus naar

∆y ∆x

=f(x + h) ndash f(x)

=x + h - x

f(x + h) ndash f(x) h

Neem je op het interval [ xx + h ] de waarde van h heel klein dan geeft

f(x + h) ndash f(x) h een goede benadering van de rc van de raaklijn van de grafiek van f

in het bijbehorende punt

O x x+h x

yf(x+h)

f(x)h

f(x+h) ndash f(x)

O x x+h x

y

f(x+h)f(x)

h

f(x+h) ndash f(x)h klein

f(x + h) ndash f(x) h

de grenswaarde van voor h naar 0 is de afgeleide frsquo(x)

de definitie van de afgeleide frsquo van een functie f is

frsquo(x) = lim f(x + h) ndash f(x) h h 0 34

1242)( 2 xxxf

h

xxhxhx

hx

y

h

xfhxf

hx

y

)1242()12)(4)(2(

0

lim

)()(

0

lim

22

h

xxhxhhxx

hx

y 12421244)2(2

0

lim 222

h

hhhx

hx

y

h

xxhxhhxx

hx

y

424

0

lim

12421244242

0

lim

2

222

4240

lim

hxhx

y

44

xx

y

Voorbeeld limietstelling Neem de functie

Differentieumlren

regels voor het differentieumlrenf(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axn geeft frsquo(x) = n middot axn-1 voor n = 23hellipf(x) = c middot g(x) geeft frsquo(x) = c middot grsquo(x)f(x) = g(x) + h(x) geeft frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x) somregel

34

De afgeleide van f(x) = axn

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4-1=3)

34

opgave 47c

h(x) = 5(x ndash 3)sup2 + 5(2x ndash 1) h(x) = 5(x ndash 3)(x ndash 3) + 10x ndash 5 h(x) = 5(xsup2 - 6x + 9) + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 30x + 45 + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 20x + 40hrsquo(x) = 2 middot 5x ndash 20hrsquo(x) = 10x - 20

opgave 47d

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56k(x) = 27xsup2 - 50x + 71krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50krsquo(x) = 54x - 50

opgave 48a

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)f(x) = 3x3 + 15x2 ndash 1x2 ndash 5xf(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5xfrsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 48d

f(x) = 5 - 3(x4 ndash x)(x + 1)f(x) = 5 ndash 3(x5 + x4 - x2 ndash x)f(x) = 5 - 3x5 - 3x4 + 3x2 + 3x frsquo(x) = 5 middot -3x4 - 4 middot 3x3 + 2 middot 3x + 3frsquo(x) = -15x4 - 12x3 + 6x + 3

Raaklijn en afgeleide

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a f(a))

x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

35

opgave 50

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4

a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 50

b stel m y = ax + bxB = -2

a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 6

-10 = 8 middot -2 + b-10 = -16 + bb = 6

Raaklijn met gegeven richtingscoeumlfficient

Teken f(x) = xsup2 - 3x + 1Teken enkele lijnen met rc = 2Eeacuten van de lijnen raakt de grafiekhet raakpunt is BBereken de cooumlrdinaten van Brc = 2 dus frsquo(xB) = 2

xB berekenen

frsquo(x) = 2 oplossenfrsquo(x) = 2x ndash 3frsquo(x) = 2

xB = 25

yB = f(25) = -025

B(25 -025)

2x ndash 3 = 22x = 5x = 25

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

B

x

35

opgave 54

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

x

f(x) = -xsup2 + 2x + 3a rcraaklijn = 4

dus frsquo(x) = 4frsquo(x) = -2x + 2

xA = -1

yA = f(-1) = 0

A(-1 0)b l y = -6x + 8

rcraaklijn = -6

dus frsquo(xB) = -6

frsquo(x) = -2x + 2

xB = 4

yB = f(4) = -5

B(4 -5)

-2x + 2 = 4-2x = 2x = -1

A

f

l

-2x + 2 = -6-2x = -8x = 4

Als 2 lijnen evenwijdig zijn dan hebben ze dezelfde rc

k

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

35

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32

Hellinggrafiek plotten

mbv GRTI MATH ndash MATH - menuoptie nDerivCasio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddxvb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8

en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

34

De afgeleide functie

Bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruiktnotatie frsquo (f-accent)De afgeleide van een functie f geeft voor elke x - de richtingscoeumlfficieumlnt van de raaklijn van f in het bijbehorende punt- de helling van de grafiek van f in het bijbehorende punt

34

Om de formule van de afgeleide van een functie f te vinden kijken we naar het differentiecoeumlfficieumlnt van f(x) op het interval [ x x + h ] dus naar

∆y ∆x

=f(x + h) ndash f(x)

=x + h - x

f(x + h) ndash f(x) h

Neem je op het interval [ xx + h ] de waarde van h heel klein dan geeft

f(x + h) ndash f(x) h een goede benadering van de rc van de raaklijn van de grafiek van f

in het bijbehorende punt

O x x+h x

yf(x+h)

f(x)h

f(x+h) ndash f(x)

O x x+h x

y

f(x+h)f(x)

h

f(x+h) ndash f(x)h klein

f(x + h) ndash f(x) h

de grenswaarde van voor h naar 0 is de afgeleide frsquo(x)

de definitie van de afgeleide frsquo van een functie f is

frsquo(x) = lim f(x + h) ndash f(x) h h 0 34

1242)( 2 xxxf

h

xxhxhx

hx

y

h

xfhxf

hx

y

)1242()12)(4)(2(

0

lim

)()(

0

lim

22

h

xxhxhhxx

hx

y 12421244)2(2

0

lim 222

h

hhhx

hx

y

h

xxhxhhxx

hx

y

424

0

lim

12421244242

0

lim

2

222

4240

lim

hxhx

y

44

xx

y

Voorbeeld limietstelling Neem de functie

Differentieumlren

regels voor het differentieumlrenf(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axn geeft frsquo(x) = n middot axn-1 voor n = 23hellipf(x) = c middot g(x) geeft frsquo(x) = c middot grsquo(x)f(x) = g(x) + h(x) geeft frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x) somregel

34

De afgeleide van f(x) = axn

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4-1=3)

34

opgave 47c

h(x) = 5(x ndash 3)sup2 + 5(2x ndash 1) h(x) = 5(x ndash 3)(x ndash 3) + 10x ndash 5 h(x) = 5(xsup2 - 6x + 9) + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 30x + 45 + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 20x + 40hrsquo(x) = 2 middot 5x ndash 20hrsquo(x) = 10x - 20

opgave 47d

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56k(x) = 27xsup2 - 50x + 71krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50krsquo(x) = 54x - 50

opgave 48a

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)f(x) = 3x3 + 15x2 ndash 1x2 ndash 5xf(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5xfrsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 48d

f(x) = 5 - 3(x4 ndash x)(x + 1)f(x) = 5 ndash 3(x5 + x4 - x2 ndash x)f(x) = 5 - 3x5 - 3x4 + 3x2 + 3x frsquo(x) = 5 middot -3x4 - 4 middot 3x3 + 2 middot 3x + 3frsquo(x) = -15x4 - 12x3 + 6x + 3

Raaklijn en afgeleide

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a f(a))

x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

35

opgave 50

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4

a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 50

b stel m y = ax + bxB = -2

a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 6

-10 = 8 middot -2 + b-10 = -16 + bb = 6

Raaklijn met gegeven richtingscoeumlfficient

Teken f(x) = xsup2 - 3x + 1Teken enkele lijnen met rc = 2Eeacuten van de lijnen raakt de grafiekhet raakpunt is BBereken de cooumlrdinaten van Brc = 2 dus frsquo(xB) = 2

xB berekenen

frsquo(x) = 2 oplossenfrsquo(x) = 2x ndash 3frsquo(x) = 2

xB = 25

yB = f(25) = -025

B(25 -025)

2x ndash 3 = 22x = 5x = 25

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

B

x

35

opgave 54

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

x

f(x) = -xsup2 + 2x + 3a rcraaklijn = 4

dus frsquo(x) = 4frsquo(x) = -2x + 2

xA = -1

yA = f(-1) = 0

A(-1 0)b l y = -6x + 8

rcraaklijn = -6

dus frsquo(xB) = -6

frsquo(x) = -2x + 2

xB = 4

yB = f(4) = -5

B(4 -5)

-2x + 2 = 4-2x = 2x = -1

A

f

l

-2x + 2 = -6-2x = -8x = 4

Als 2 lijnen evenwijdig zijn dan hebben ze dezelfde rc

k

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

35

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32

De afgeleide functie

Bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruiktnotatie frsquo (f-accent)De afgeleide van een functie f geeft voor elke x - de richtingscoeumlfficieumlnt van de raaklijn van f in het bijbehorende punt- de helling van de grafiek van f in het bijbehorende punt

34

Om de formule van de afgeleide van een functie f te vinden kijken we naar het differentiecoeumlfficieumlnt van f(x) op het interval [ x x + h ] dus naar

∆y ∆x

=f(x + h) ndash f(x)

=x + h - x

f(x + h) ndash f(x) h

Neem je op het interval [ xx + h ] de waarde van h heel klein dan geeft

f(x + h) ndash f(x) h een goede benadering van de rc van de raaklijn van de grafiek van f

in het bijbehorende punt

O x x+h x

yf(x+h)

f(x)h

f(x+h) ndash f(x)

O x x+h x

y

f(x+h)f(x)

h

f(x+h) ndash f(x)h klein

f(x + h) ndash f(x) h

de grenswaarde van voor h naar 0 is de afgeleide frsquo(x)

de definitie van de afgeleide frsquo van een functie f is

frsquo(x) = lim f(x + h) ndash f(x) h h 0 34

1242)( 2 xxxf

h

xxhxhx

hx

y

h

xfhxf

hx

y

)1242()12)(4)(2(

0

lim

)()(

0

lim

22

h

xxhxhhxx

hx

y 12421244)2(2

0

lim 222

h

hhhx

hx

y

h

xxhxhhxx

hx

y

424

0

lim

12421244242

0

lim

2

222

4240

lim

hxhx

y

44

xx

y

Voorbeeld limietstelling Neem de functie

Differentieumlren

regels voor het differentieumlrenf(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axn geeft frsquo(x) = n middot axn-1 voor n = 23hellipf(x) = c middot g(x) geeft frsquo(x) = c middot grsquo(x)f(x) = g(x) + h(x) geeft frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x) somregel

34

De afgeleide van f(x) = axn

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4-1=3)

34

opgave 47c

h(x) = 5(x ndash 3)sup2 + 5(2x ndash 1) h(x) = 5(x ndash 3)(x ndash 3) + 10x ndash 5 h(x) = 5(xsup2 - 6x + 9) + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 30x + 45 + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 20x + 40hrsquo(x) = 2 middot 5x ndash 20hrsquo(x) = 10x - 20

opgave 47d

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56k(x) = 27xsup2 - 50x + 71krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50krsquo(x) = 54x - 50

opgave 48a

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)f(x) = 3x3 + 15x2 ndash 1x2 ndash 5xf(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5xfrsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 48d

f(x) = 5 - 3(x4 ndash x)(x + 1)f(x) = 5 ndash 3(x5 + x4 - x2 ndash x)f(x) = 5 - 3x5 - 3x4 + 3x2 + 3x frsquo(x) = 5 middot -3x4 - 4 middot 3x3 + 2 middot 3x + 3frsquo(x) = -15x4 - 12x3 + 6x + 3

Raaklijn en afgeleide

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a f(a))

x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

35

opgave 50

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4

a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 50

b stel m y = ax + bxB = -2

a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 6

-10 = 8 middot -2 + b-10 = -16 + bb = 6

Raaklijn met gegeven richtingscoeumlfficient

Teken f(x) = xsup2 - 3x + 1Teken enkele lijnen met rc = 2Eeacuten van de lijnen raakt de grafiekhet raakpunt is BBereken de cooumlrdinaten van Brc = 2 dus frsquo(xB) = 2

xB berekenen

frsquo(x) = 2 oplossenfrsquo(x) = 2x ndash 3frsquo(x) = 2

xB = 25

yB = f(25) = -025

B(25 -025)

2x ndash 3 = 22x = 5x = 25

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

B

x

35

opgave 54

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

x

f(x) = -xsup2 + 2x + 3a rcraaklijn = 4

dus frsquo(x) = 4frsquo(x) = -2x + 2

xA = -1

yA = f(-1) = 0

A(-1 0)b l y = -6x + 8

rcraaklijn = -6

dus frsquo(xB) = -6

frsquo(x) = -2x + 2

xB = 4

yB = f(4) = -5

B(4 -5)

-2x + 2 = 4-2x = 2x = -1

A

f

l

-2x + 2 = -6-2x = -8x = 4

Als 2 lijnen evenwijdig zijn dan hebben ze dezelfde rc

k

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

35

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32

Om de formule van de afgeleide van een functie f te vinden kijken we naar het differentiecoeumlfficieumlnt van f(x) op het interval [ x x + h ] dus naar

∆y ∆x

=f(x + h) ndash f(x)

=x + h - x

f(x + h) ndash f(x) h

Neem je op het interval [ xx + h ] de waarde van h heel klein dan geeft

f(x + h) ndash f(x) h een goede benadering van de rc van de raaklijn van de grafiek van f

in het bijbehorende punt

O x x+h x

yf(x+h)

f(x)h

f(x+h) ndash f(x)

O x x+h x

y

f(x+h)f(x)

h

f(x+h) ndash f(x)h klein

f(x + h) ndash f(x) h

de grenswaarde van voor h naar 0 is de afgeleide frsquo(x)

de definitie van de afgeleide frsquo van een functie f is

frsquo(x) = lim f(x + h) ndash f(x) h h 0 34

1242)( 2 xxxf

h

xxhxhx

hx

y

h

xfhxf

hx

y

)1242()12)(4)(2(

0

lim

)()(

0

lim

22

h

xxhxhhxx

hx

y 12421244)2(2

0

lim 222

h

hhhx

hx

y

h

xxhxhhxx

hx

y

424

0

lim

12421244242

0

lim

2

222

4240

lim

hxhx

y

44

xx

y

Voorbeeld limietstelling Neem de functie

Differentieumlren

regels voor het differentieumlrenf(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axn geeft frsquo(x) = n middot axn-1 voor n = 23hellipf(x) = c middot g(x) geeft frsquo(x) = c middot grsquo(x)f(x) = g(x) + h(x) geeft frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x) somregel

34

De afgeleide van f(x) = axn

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4-1=3)

34

opgave 47c

h(x) = 5(x ndash 3)sup2 + 5(2x ndash 1) h(x) = 5(x ndash 3)(x ndash 3) + 10x ndash 5 h(x) = 5(xsup2 - 6x + 9) + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 30x + 45 + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 20x + 40hrsquo(x) = 2 middot 5x ndash 20hrsquo(x) = 10x - 20

opgave 47d

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56k(x) = 27xsup2 - 50x + 71krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50krsquo(x) = 54x - 50

opgave 48a

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)f(x) = 3x3 + 15x2 ndash 1x2 ndash 5xf(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5xfrsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 48d

f(x) = 5 - 3(x4 ndash x)(x + 1)f(x) = 5 ndash 3(x5 + x4 - x2 ndash x)f(x) = 5 - 3x5 - 3x4 + 3x2 + 3x frsquo(x) = 5 middot -3x4 - 4 middot 3x3 + 2 middot 3x + 3frsquo(x) = -15x4 - 12x3 + 6x + 3

Raaklijn en afgeleide

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a f(a))

x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

35

opgave 50

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4

a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 50

b stel m y = ax + bxB = -2

a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 6

-10 = 8 middot -2 + b-10 = -16 + bb = 6

Raaklijn met gegeven richtingscoeumlfficient

Teken f(x) = xsup2 - 3x + 1Teken enkele lijnen met rc = 2Eeacuten van de lijnen raakt de grafiekhet raakpunt is BBereken de cooumlrdinaten van Brc = 2 dus frsquo(xB) = 2

xB berekenen

frsquo(x) = 2 oplossenfrsquo(x) = 2x ndash 3frsquo(x) = 2

xB = 25

yB = f(25) = -025

B(25 -025)

2x ndash 3 = 22x = 5x = 25

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

B

x

35

opgave 54

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

x

f(x) = -xsup2 + 2x + 3a rcraaklijn = 4

dus frsquo(x) = 4frsquo(x) = -2x + 2

xA = -1

yA = f(-1) = 0

A(-1 0)b l y = -6x + 8

rcraaklijn = -6

dus frsquo(xB) = -6

frsquo(x) = -2x + 2

xB = 4

yB = f(4) = -5

B(4 -5)

-2x + 2 = 4-2x = 2x = -1

A

f

l

-2x + 2 = -6-2x = -8x = 4

Als 2 lijnen evenwijdig zijn dan hebben ze dezelfde rc

k

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

35

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32

1242)( 2 xxxf

h

xxhxhx

hx

y

h

xfhxf

hx

y

)1242()12)(4)(2(

0

lim

)()(

0

lim

22

h

xxhxhhxx

hx

y 12421244)2(2

0

lim 222

h

hhhx

hx

y

h

xxhxhhxx

hx

y

424

0

lim

12421244242

0

lim

2

222

4240

lim

hxhx

y

44

xx

y

Voorbeeld limietstelling Neem de functie

Differentieumlren

regels voor het differentieumlrenf(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axn geeft frsquo(x) = n middot axn-1 voor n = 23hellipf(x) = c middot g(x) geeft frsquo(x) = c middot grsquo(x)f(x) = g(x) + h(x) geeft frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x) somregel

34

De afgeleide van f(x) = axn

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4-1=3)

34

opgave 47c

h(x) = 5(x ndash 3)sup2 + 5(2x ndash 1) h(x) = 5(x ndash 3)(x ndash 3) + 10x ndash 5 h(x) = 5(xsup2 - 6x + 9) + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 30x + 45 + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 20x + 40hrsquo(x) = 2 middot 5x ndash 20hrsquo(x) = 10x - 20

opgave 47d

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56k(x) = 27xsup2 - 50x + 71krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50krsquo(x) = 54x - 50

opgave 48a

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)f(x) = 3x3 + 15x2 ndash 1x2 ndash 5xf(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5xfrsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 48d

f(x) = 5 - 3(x4 ndash x)(x + 1)f(x) = 5 ndash 3(x5 + x4 - x2 ndash x)f(x) = 5 - 3x5 - 3x4 + 3x2 + 3x frsquo(x) = 5 middot -3x4 - 4 middot 3x3 + 2 middot 3x + 3frsquo(x) = -15x4 - 12x3 + 6x + 3

Raaklijn en afgeleide

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a f(a))

x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

35

opgave 50

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4

a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 50

b stel m y = ax + bxB = -2

a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 6

-10 = 8 middot -2 + b-10 = -16 + bb = 6

Raaklijn met gegeven richtingscoeumlfficient

Teken f(x) = xsup2 - 3x + 1Teken enkele lijnen met rc = 2Eeacuten van de lijnen raakt de grafiekhet raakpunt is BBereken de cooumlrdinaten van Brc = 2 dus frsquo(xB) = 2

xB berekenen

frsquo(x) = 2 oplossenfrsquo(x) = 2x ndash 3frsquo(x) = 2

xB = 25

yB = f(25) = -025

B(25 -025)

2x ndash 3 = 22x = 5x = 25

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

B

x

35

opgave 54

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

x

f(x) = -xsup2 + 2x + 3a rcraaklijn = 4

dus frsquo(x) = 4frsquo(x) = -2x + 2

xA = -1

yA = f(-1) = 0

A(-1 0)b l y = -6x + 8

rcraaklijn = -6

dus frsquo(xB) = -6

frsquo(x) = -2x + 2

xB = 4

yB = f(4) = -5

B(4 -5)

-2x + 2 = 4-2x = 2x = -1

A

f

l

-2x + 2 = -6-2x = -8x = 4

Als 2 lijnen evenwijdig zijn dan hebben ze dezelfde rc

k

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

35

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32

Differentieumlren

regels voor het differentieumlrenf(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axn geeft frsquo(x) = n middot axn-1 voor n = 23hellipf(x) = c middot g(x) geeft frsquo(x) = c middot grsquo(x)f(x) = g(x) + h(x) geeft frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x) somregel

34

De afgeleide van f(x) = axn

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4-1=3)

34

opgave 47c

h(x) = 5(x ndash 3)sup2 + 5(2x ndash 1) h(x) = 5(x ndash 3)(x ndash 3) + 10x ndash 5 h(x) = 5(xsup2 - 6x + 9) + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 30x + 45 + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 20x + 40hrsquo(x) = 2 middot 5x ndash 20hrsquo(x) = 10x - 20

opgave 47d

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56k(x) = 27xsup2 - 50x + 71krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50krsquo(x) = 54x - 50

opgave 48a

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)f(x) = 3x3 + 15x2 ndash 1x2 ndash 5xf(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5xfrsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 48d

f(x) = 5 - 3(x4 ndash x)(x + 1)f(x) = 5 ndash 3(x5 + x4 - x2 ndash x)f(x) = 5 - 3x5 - 3x4 + 3x2 + 3x frsquo(x) = 5 middot -3x4 - 4 middot 3x3 + 2 middot 3x + 3frsquo(x) = -15x4 - 12x3 + 6x + 3

Raaklijn en afgeleide

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a f(a))

x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

35

opgave 50

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4

a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 50

b stel m y = ax + bxB = -2

a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 6

-10 = 8 middot -2 + b-10 = -16 + bb = 6

Raaklijn met gegeven richtingscoeumlfficient

Teken f(x) = xsup2 - 3x + 1Teken enkele lijnen met rc = 2Eeacuten van de lijnen raakt de grafiekhet raakpunt is BBereken de cooumlrdinaten van Brc = 2 dus frsquo(xB) = 2

xB berekenen

frsquo(x) = 2 oplossenfrsquo(x) = 2x ndash 3frsquo(x) = 2

xB = 25

yB = f(25) = -025

B(25 -025)

2x ndash 3 = 22x = 5x = 25

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

B

x

35

opgave 54

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

x

f(x) = -xsup2 + 2x + 3a rcraaklijn = 4

dus frsquo(x) = 4frsquo(x) = -2x + 2

xA = -1

yA = f(-1) = 0

A(-1 0)b l y = -6x + 8

rcraaklijn = -6

dus frsquo(xB) = -6

frsquo(x) = -2x + 2

xB = 4

yB = f(4) = -5

B(4 -5)

-2x + 2 = 4-2x = 2x = -1

A

f

l

-2x + 2 = -6-2x = -8x = 4

Als 2 lijnen evenwijdig zijn dan hebben ze dezelfde rc

k

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

35

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32

De afgeleide van f(x) = axn

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4-1=3)

34

opgave 47c

h(x) = 5(x ndash 3)sup2 + 5(2x ndash 1) h(x) = 5(x ndash 3)(x ndash 3) + 10x ndash 5 h(x) = 5(xsup2 - 6x + 9) + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 30x + 45 + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 20x + 40hrsquo(x) = 2 middot 5x ndash 20hrsquo(x) = 10x - 20

opgave 47d

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56k(x) = 27xsup2 - 50x + 71krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50krsquo(x) = 54x - 50

opgave 48a

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)f(x) = 3x3 + 15x2 ndash 1x2 ndash 5xf(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5xfrsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 48d

f(x) = 5 - 3(x4 ndash x)(x + 1)f(x) = 5 ndash 3(x5 + x4 - x2 ndash x)f(x) = 5 - 3x5 - 3x4 + 3x2 + 3x frsquo(x) = 5 middot -3x4 - 4 middot 3x3 + 2 middot 3x + 3frsquo(x) = -15x4 - 12x3 + 6x + 3

Raaklijn en afgeleide

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a f(a))

x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

35

opgave 50

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4

a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 50

b stel m y = ax + bxB = -2

a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 6

-10 = 8 middot -2 + b-10 = -16 + bb = 6

Raaklijn met gegeven richtingscoeumlfficient

Teken f(x) = xsup2 - 3x + 1Teken enkele lijnen met rc = 2Eeacuten van de lijnen raakt de grafiekhet raakpunt is BBereken de cooumlrdinaten van Brc = 2 dus frsquo(xB) = 2

xB berekenen

frsquo(x) = 2 oplossenfrsquo(x) = 2x ndash 3frsquo(x) = 2

xB = 25

yB = f(25) = -025

B(25 -025)

2x ndash 3 = 22x = 5x = 25

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

B

x

35

opgave 54

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

x

f(x) = -xsup2 + 2x + 3a rcraaklijn = 4

dus frsquo(x) = 4frsquo(x) = -2x + 2

xA = -1

yA = f(-1) = 0

A(-1 0)b l y = -6x + 8

rcraaklijn = -6

dus frsquo(xB) = -6

frsquo(x) = -2x + 2

xB = 4

yB = f(4) = -5

B(4 -5)

-2x + 2 = 4-2x = 2x = -1

A

f

l

-2x + 2 = -6-2x = -8x = 4

Als 2 lijnen evenwijdig zijn dan hebben ze dezelfde rc

k

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

35

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32

opgave 47c

h(x) = 5(x ndash 3)sup2 + 5(2x ndash 1) h(x) = 5(x ndash 3)(x ndash 3) + 10x ndash 5 h(x) = 5(xsup2 - 6x + 9) + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 30x + 45 + 10x - 5h(x) = 5xsup2 - 20x + 40hrsquo(x) = 2 middot 5x ndash 20hrsquo(x) = 10x - 20

opgave 47d

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56k(x) = 27xsup2 - 50x + 71krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50krsquo(x) = 54x - 50

opgave 48a

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)f(x) = 3x3 + 15x2 ndash 1x2 ndash 5xf(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5xfrsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 48d

f(x) = 5 - 3(x4 ndash x)(x + 1)f(x) = 5 ndash 3(x5 + x4 - x2 ndash x)f(x) = 5 - 3x5 - 3x4 + 3x2 + 3x frsquo(x) = 5 middot -3x4 - 4 middot 3x3 + 2 middot 3x + 3frsquo(x) = -15x4 - 12x3 + 6x + 3

Raaklijn en afgeleide

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a f(a))

x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

35

opgave 50

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4

a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 50

b stel m y = ax + bxB = -2

a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 6

-10 = 8 middot -2 + b-10 = -16 + bb = 6

Raaklijn met gegeven richtingscoeumlfficient

Teken f(x) = xsup2 - 3x + 1Teken enkele lijnen met rc = 2Eeacuten van de lijnen raakt de grafiekhet raakpunt is BBereken de cooumlrdinaten van Brc = 2 dus frsquo(xB) = 2

xB berekenen

frsquo(x) = 2 oplossenfrsquo(x) = 2x ndash 3frsquo(x) = 2

xB = 25

yB = f(25) = -025

B(25 -025)

2x ndash 3 = 22x = 5x = 25

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

B

x

35

opgave 54

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

x

f(x) = -xsup2 + 2x + 3a rcraaklijn = 4

dus frsquo(x) = 4frsquo(x) = -2x + 2

xA = -1

yA = f(-1) = 0

A(-1 0)b l y = -6x + 8

rcraaklijn = -6

dus frsquo(xB) = -6

frsquo(x) = -2x + 2

xB = 4

yB = f(4) = -5

B(4 -5)

-2x + 2 = 4-2x = 2x = -1

A

f

l

-2x + 2 = -6-2x = -8x = 4

Als 2 lijnen evenwijdig zijn dan hebben ze dezelfde rc

k

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

35

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32

opgave 47d

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56k(x) = 27xsup2 - 50x + 71krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50krsquo(x) = 54x - 50

opgave 48a

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)f(x) = 3x3 + 15x2 ndash 1x2 ndash 5xf(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5xfrsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 48d

f(x) = 5 - 3(x4 ndash x)(x + 1)f(x) = 5 ndash 3(x5 + x4 - x2 ndash x)f(x) = 5 - 3x5 - 3x4 + 3x2 + 3x frsquo(x) = 5 middot -3x4 - 4 middot 3x3 + 2 middot 3x + 3frsquo(x) = -15x4 - 12x3 + 6x + 3

Raaklijn en afgeleide

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a f(a))

x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

35

opgave 50

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4

a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 50

b stel m y = ax + bxB = -2

a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 6

-10 = 8 middot -2 + b-10 = -16 + bb = 6

Raaklijn met gegeven richtingscoeumlfficient

Teken f(x) = xsup2 - 3x + 1Teken enkele lijnen met rc = 2Eeacuten van de lijnen raakt de grafiekhet raakpunt is BBereken de cooumlrdinaten van Brc = 2 dus frsquo(xB) = 2

xB berekenen

frsquo(x) = 2 oplossenfrsquo(x) = 2x ndash 3frsquo(x) = 2

xB = 25

yB = f(25) = -025

B(25 -025)

2x ndash 3 = 22x = 5x = 25

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

B

x

35

opgave 54

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

x

f(x) = -xsup2 + 2x + 3a rcraaklijn = 4

dus frsquo(x) = 4frsquo(x) = -2x + 2

xA = -1

yA = f(-1) = 0

A(-1 0)b l y = -6x + 8

rcraaklijn = -6

dus frsquo(xB) = -6

frsquo(x) = -2x + 2

xB = 4

yB = f(4) = -5

B(4 -5)

-2x + 2 = 4-2x = 2x = -1

A

f

l

-2x + 2 = -6-2x = -8x = 4

Als 2 lijnen evenwijdig zijn dan hebben ze dezelfde rc

k

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

35

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32

opgave 48a

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)f(x) = 3x3 + 15x2 ndash 1x2 ndash 5xf(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5xfrsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 48d

f(x) = 5 - 3(x4 ndash x)(x + 1)f(x) = 5 ndash 3(x5 + x4 - x2 ndash x)f(x) = 5 - 3x5 - 3x4 + 3x2 + 3x frsquo(x) = 5 middot -3x4 - 4 middot 3x3 + 2 middot 3x + 3frsquo(x) = -15x4 - 12x3 + 6x + 3

Raaklijn en afgeleide

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a f(a))

x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

35

opgave 50

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4

a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 50

b stel m y = ax + bxB = -2

a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 6

-10 = 8 middot -2 + b-10 = -16 + bb = 6

Raaklijn met gegeven richtingscoeumlfficient

Teken f(x) = xsup2 - 3x + 1Teken enkele lijnen met rc = 2Eeacuten van de lijnen raakt de grafiekhet raakpunt is BBereken de cooumlrdinaten van Brc = 2 dus frsquo(xB) = 2

xB berekenen

frsquo(x) = 2 oplossenfrsquo(x) = 2x ndash 3frsquo(x) = 2

xB = 25

yB = f(25) = -025

B(25 -025)

2x ndash 3 = 22x = 5x = 25

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

B

x

35

opgave 54

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

x

f(x) = -xsup2 + 2x + 3a rcraaklijn = 4

dus frsquo(x) = 4frsquo(x) = -2x + 2

xA = -1

yA = f(-1) = 0

A(-1 0)b l y = -6x + 8

rcraaklijn = -6

dus frsquo(xB) = -6

frsquo(x) = -2x + 2

xB = 4

yB = f(4) = -5

B(4 -5)

-2x + 2 = 4-2x = 2x = -1

A

f

l

-2x + 2 = -6-2x = -8x = 4

Als 2 lijnen evenwijdig zijn dan hebben ze dezelfde rc

k

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

35

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32

opgave 48d

f(x) = 5 - 3(x4 ndash x)(x + 1)f(x) = 5 ndash 3(x5 + x4 - x2 ndash x)f(x) = 5 - 3x5 - 3x4 + 3x2 + 3x frsquo(x) = 5 middot -3x4 - 4 middot 3x3 + 2 middot 3x + 3frsquo(x) = -15x4 - 12x3 + 6x + 3

Raaklijn en afgeleide

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a f(a))

x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

35

opgave 50

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4

a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 50

b stel m y = ax + bxB = -2

a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 6

-10 = 8 middot -2 + b-10 = -16 + bb = 6

Raaklijn met gegeven richtingscoeumlfficient

Teken f(x) = xsup2 - 3x + 1Teken enkele lijnen met rc = 2Eeacuten van de lijnen raakt de grafiekhet raakpunt is BBereken de cooumlrdinaten van Brc = 2 dus frsquo(xB) = 2

xB berekenen

frsquo(x) = 2 oplossenfrsquo(x) = 2x ndash 3frsquo(x) = 2

xB = 25

yB = f(25) = -025

B(25 -025)

2x ndash 3 = 22x = 5x = 25

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

B

x

35

opgave 54

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

x

f(x) = -xsup2 + 2x + 3a rcraaklijn = 4

dus frsquo(x) = 4frsquo(x) = -2x + 2

xA = -1

yA = f(-1) = 0

A(-1 0)b l y = -6x + 8

rcraaklijn = -6

dus frsquo(xB) = -6

frsquo(x) = -2x + 2

xB = 4

yB = f(4) = -5

B(4 -5)

-2x + 2 = 4-2x = 2x = -1

A

f

l

-2x + 2 = -6-2x = -8x = 4

Als 2 lijnen evenwijdig zijn dan hebben ze dezelfde rc

k

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

35

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32

Raaklijn en afgeleide

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a f(a))

x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

35

opgave 50

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4

a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 50

b stel m y = ax + bxB = -2

a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 6

-10 = 8 middot -2 + b-10 = -16 + bb = 6

Raaklijn met gegeven richtingscoeumlfficient

Teken f(x) = xsup2 - 3x + 1Teken enkele lijnen met rc = 2Eeacuten van de lijnen raakt de grafiekhet raakpunt is BBereken de cooumlrdinaten van Brc = 2 dus frsquo(xB) = 2

xB berekenen

frsquo(x) = 2 oplossenfrsquo(x) = 2x ndash 3frsquo(x) = 2

xB = 25

yB = f(25) = -025

B(25 -025)

2x ndash 3 = 22x = 5x = 25

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

B

x

35

opgave 54

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

x

f(x) = -xsup2 + 2x + 3a rcraaklijn = 4

dus frsquo(x) = 4frsquo(x) = -2x + 2

xA = -1

yA = f(-1) = 0

A(-1 0)b l y = -6x + 8

rcraaklijn = -6

dus frsquo(xB) = -6

frsquo(x) = -2x + 2

xB = 4

yB = f(4) = -5

B(4 -5)

-2x + 2 = 4-2x = 2x = -1

A

f

l

-2x + 2 = -6-2x = -8x = 4

Als 2 lijnen evenwijdig zijn dan hebben ze dezelfde rc

k

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

35

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32

opgave 50

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4

a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 50

b stel m y = ax + bxB = -2

a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 6

-10 = 8 middot -2 + b-10 = -16 + bb = 6

Raaklijn met gegeven richtingscoeumlfficient

Teken f(x) = xsup2 - 3x + 1Teken enkele lijnen met rc = 2Eeacuten van de lijnen raakt de grafiekhet raakpunt is BBereken de cooumlrdinaten van Brc = 2 dus frsquo(xB) = 2

xB berekenen

frsquo(x) = 2 oplossenfrsquo(x) = 2x ndash 3frsquo(x) = 2

xB = 25

yB = f(25) = -025

B(25 -025)

2x ndash 3 = 22x = 5x = 25

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

B

x

35

opgave 54

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

x

f(x) = -xsup2 + 2x + 3a rcraaklijn = 4

dus frsquo(x) = 4frsquo(x) = -2x + 2

xA = -1

yA = f(-1) = 0

A(-1 0)b l y = -6x + 8

rcraaklijn = -6

dus frsquo(xB) = -6

frsquo(x) = -2x + 2

xB = 4

yB = f(4) = -5

B(4 -5)

-2x + 2 = 4-2x = 2x = -1

A

f

l

-2x + 2 = -6-2x = -8x = 4

Als 2 lijnen evenwijdig zijn dan hebben ze dezelfde rc

k

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

35

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32

opgave 50

b stel m y = ax + bxB = -2

a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 6

-10 = 8 middot -2 + b-10 = -16 + bb = 6

Raaklijn met gegeven richtingscoeumlfficient

Teken f(x) = xsup2 - 3x + 1Teken enkele lijnen met rc = 2Eeacuten van de lijnen raakt de grafiekhet raakpunt is BBereken de cooumlrdinaten van Brc = 2 dus frsquo(xB) = 2

xB berekenen

frsquo(x) = 2 oplossenfrsquo(x) = 2x ndash 3frsquo(x) = 2

xB = 25

yB = f(25) = -025

B(25 -025)

2x ndash 3 = 22x = 5x = 25

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

B

x

35

opgave 54

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

x

f(x) = -xsup2 + 2x + 3a rcraaklijn = 4

dus frsquo(x) = 4frsquo(x) = -2x + 2

xA = -1

yA = f(-1) = 0

A(-1 0)b l y = -6x + 8

rcraaklijn = -6

dus frsquo(xB) = -6

frsquo(x) = -2x + 2

xB = 4

yB = f(4) = -5

B(4 -5)

-2x + 2 = 4-2x = 2x = -1

A

f

l

-2x + 2 = -6-2x = -8x = 4

Als 2 lijnen evenwijdig zijn dan hebben ze dezelfde rc

k

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

35

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32

Raaklijn met gegeven richtingscoeumlfficient

Teken f(x) = xsup2 - 3x + 1Teken enkele lijnen met rc = 2Eeacuten van de lijnen raakt de grafiekhet raakpunt is BBereken de cooumlrdinaten van Brc = 2 dus frsquo(xB) = 2

xB berekenen

frsquo(x) = 2 oplossenfrsquo(x) = 2x ndash 3frsquo(x) = 2

xB = 25

yB = f(25) = -025

B(25 -025)

2x ndash 3 = 22x = 5x = 25

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

B

x

35

opgave 54

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

x

f(x) = -xsup2 + 2x + 3a rcraaklijn = 4

dus frsquo(x) = 4frsquo(x) = -2x + 2

xA = -1

yA = f(-1) = 0

A(-1 0)b l y = -6x + 8

rcraaklijn = -6

dus frsquo(xB) = -6

frsquo(x) = -2x + 2

xB = 4

yB = f(4) = -5

B(4 -5)

-2x + 2 = 4-2x = 2x = -1

A

f

l

-2x + 2 = -6-2x = -8x = 4

Als 2 lijnen evenwijdig zijn dan hebben ze dezelfde rc

k

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

35

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32

opgave 54

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

x

f(x) = -xsup2 + 2x + 3a rcraaklijn = 4

dus frsquo(x) = 4frsquo(x) = -2x + 2

xA = -1

yA = f(-1) = 0

A(-1 0)b l y = -6x + 8

rcraaklijn = -6

dus frsquo(xB) = -6

frsquo(x) = -2x + 2

xB = 4

yB = f(4) = -5

B(4 -5)

-2x + 2 = 4-2x = 2x = -1

A

f

l

-2x + 2 = -6-2x = -8x = 4

Als 2 lijnen evenwijdig zijn dan hebben ze dezelfde rc

k

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

35

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

35

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32