1

İSTATİSTİKSEL

HİPOTEZ TESTLERİ

(t – z testleri)

2

Hipotez Nedir?

HİPOTEZ, parametre

hakkındaki bir inanıştır.

Parametre hakkındaki

inanışımızı test etmek için

hipotez testi yaparız.

Bu sınıfın not

ortalamasının 75

olduğuna inanıyorum.

3

Bir hipotez testinde iki hipotez yer alır: H0 : Boş hipotez, sıfır hipotezi H1 yada Ha : Alternatif hipotez Bir çok araştırmada; İnandığımız durum H0 hipotezinde yer alır. Aksi ispat edilemedikçe H0 hipotezi doğru kabul edilir. İddia edilen durum H1 hipotezinde ele alınır. Kendini kanıtlama zorunluluğu H1 hipotezine aittir. H1 hipotezi daima H0 hipotezinin tersi olarak ifade edilir. Not: Geçmiş bilginin olmadığı durumlarda H0 hipotezi iddia olarak ifade edilebilir.

4

Problemlerdeki hipotezleri belirlemek:

Populasyon ortalamasının 75 olduğunu

test edelim.

Adımlar: Soruyu istatistiksel olarak belirtin (H0: = 75)

Zıddını istatistiksel olarak belirtin (H1: 75)

Hipotezler birbirinden tamamen ayrıktırlar.

5

Hipotezlerin belirlenmesi alıştırmaları:

1. Populasyonun günde TV seyrettiği sürenin

ortalaması 12 midir?

= 12 12 H0: = 12 H1: 12

2. Populasyonun günde TV seyrettiği sürenin

ortalaması 12 den farklı mıdır?

12 = 12 H0: = 12 H1: 12

Aşağıdaki durumlarda hipotezleri oluşturunuz:

6

3. Bir şapkanın ortalama maliyetinin

2.000.000 TL’den büyük olduğu iddia

edilmektedir, araştırınız.

H0: 2 000 000 H1: 2 000 000

4. Kitapçıda harcanan paranın 25.000.000

TL’den küçük olduğu iddia edilmektedir,

araştırınız.

H0: >25 000 000 H1: 25 000 000

7

Hipotez Testi Süreci

Populasyon

RET

Örnek

ortalaması 20’dir.

Örnek Hipotez reddedilir

!3

HAYIR5?20 == X

Populasyonun yaş

ortalamasının 35

olduğuna inanıyorum.

(H0 hipotezi )

8

Hipotez çiftleri:

01

00

:

:

=

H

HÇİFT TARAFLI TEST

01

00

:

:

H

HTEK TARAFLI TEST

0

Z

H0 RET

/2

Z 0

H0 RET H0 RET

/2

01

00

:

:

H

HTEK TARAFLI TEST

Z 0

H0 RET

9

Önem Seviyesi -

Örnekleme dağılımının RET bölgesinin

büyüklüğünü gösterir.

Tipik değerleri: 0.01, 0.05, 0.10

Araştırmanın başında araştırmacı

tarafından seçilir.

10

Karar Vermedeki HATALAR

H0: Masumdur

Bir Mahkeme Jürisi

Gerçek Durum Gerçek Durum

Karar Masum Suçlu Karar H 0 Doğru H 0 Yanlış

Masum Doğru HATA 1 - II. Tip

Hata ()

Suçlu HATA Doğru I. Tip

Hata ()

Testin

Gücü (1 - )

H0 ret

edilemez

H0 ret

Hipotez Testi

11

& Ters yönlü ilişki içindedir

Her iki hatayı da aynı

anda azaltamazsınız!

12

‘yı Etkileyen Faktörler:

Populasyon parametresinin gerçek değeri Hipotezdeki parametre değeri ile parametrenin gerçek

değeri arasındaki fark arttıkça da artar.

Önem derecesi -

azalırken artar.

Populasyon standart sapması -

arttıkça artar.

Örnek hacmi - n n azaldıkça artar

13

Hipotez testi adımları:

1. H0 ‘ı belirle.

2. H1 ’i belirle.

3. ‘yı seç.

4. n ‘i seç.

5. Test

istatistiğini seç

.

6. Kritik değerleri hesapla.

7. Veri topla.

8. Test istatistiğini hesapla.

9. İstatistiksel kararı ver.

10. Kararı açıkla ve yorumla.

14

Hipotez Testinde

Test İstatistiğinin Belirlenmesi

Ortalama yada iki

ortalama farkı için

2 biliniyor 2 bilinmiyor n30 n<30

Z İstatistiği t İstatistiği

Oranlar yada iki

oran farkı için

Z İstatistiği

Varyansların testi

Bir varyans için

İki varyans oranı için

2 İstatistiği F İstatistiği

15

Bilindiğinde Z Test İstatistiği

Z X X

n

x

x

=

=

/2

Z 0

H0 RED H0 RED

/2

Z/2 kritik değerler

tablodan bulunur.

45:

45:

1

0

=

H

H

Kabul ve Ret Alanları: örneğin çift taraflı test için

Bilinmediğinde fakat n30 olduğunda Z Test İstatistiği

Z X X

n

x

x

=

=

s

s

ORTALAMALARLA İLGİLİ HİPOTEZ TESTLERİ

16

Çift Taraflı Z Testine Örnek:

Bir fabrikada üretilmekte olan vidaların boylarının ortalaması 100 mm,

ve standart sapması 2 mm olan normal dağılım gösterdikleri

bilinmektedir. Makinalarda olan bir arıza giderildikten sonra üretilen

vidalardan alınan 9 vidalık bir örneğin bot ortalaması 102 mm olarak

bulunmuştur. Makinalardaki arıza giderilirken vidaların boyunun ayarı

bozulmuş mudur? =0.05 için test ediniz ve yorumlayınız.

mmH

mmH

100:

100:

1

0

=

1. Adım: Hipotezlerin belirlenmesi

2. Adım: Test istatistiğinin hesaplanması

392

100102=

=

=

n

XZhesap

17

3. Adım: Kritik değerlerin belirlenmesi:

Z .05 .07

1.6 .4505 .4515 .4525

1.7 .4599 .4608 .4616

1.8 .4678 .4686 .4693

.4744 .4756

Z 0 1.96

.500

- .025

.475 .06

1.9

Standart Normal

Dağılım Tablosu

/2 = .025

.4750

/2 = .025

-1.96

18

4. Adım: İstatistiksel karşılaştırmanın yapılması:

0

Ztablo= 1.96

/2 = .025 /2 = .025

-Ztablo= -1.96 Zhesap=3

H0 RED H0 RED

5. Adım: Karar verme ve yorumlama:

Zhesap değeri H0 RED bölgesine düştüğü için H0 hipotezi reddedilir, yani

vidaları boy ortalaması 100 mm’den farklıdır, makinanın ayarı

bozulmuştur.

19

Tek Taraflı Z Testi Örneği

Bir kutu mısır

gevreğinin ağırlığının

368 gr’dan fazla olduğu

iddia edilmektedir. n=

25 kutuluk bir örnek

alınmış veX = 372.5

gr. olarak bulunmuştur.

Firma

= 15 gram olduğunu

belirtmiştir. 0.05

seviyesinde test ediniz.

368 gr.

20

Çözüm

H0: 368

H1: > 368

= 0.05

n = 25

Kritik değer:

Test İstatistiği:

Karar:

Yorum:

= .05 için H0 hipotezi

reddedilemez.

Ortalamanın 368

gr.dan fazla olduğuna

dair yeterli kanıt yoktur.

Z X

n

=

=

=

372 5 368

15

25

1 50 .

.

Z 0

Ztablo=1.645

=.05

RET bölgesi

Zhesap=1.5

21

Çift Taraflı Z testi örneği:

Bu sene DEÜ.İİBF İktisat bölümünden mezun olacak öğrencilerin

mezuniyet not ortalamalarının 70 olduğu iddia edilmektedir. Bu amaçla

mezuniyet sonrası 36 öğrencilik bir örnek alınmış ve mezuniyet

ortalamalarının 66, standart sapmasının 12 olduğu bulunmuştur. Bu

veriler ışığında iddiayı =0.01 için test ediniz.

I. H0 : =70

H1 : 70 II. Z X X

n

x

x

=

=

s

s

III. =0.01 için z tablo değeri 2.58 IV. |zhes|<|ztab| H0 red edilemez.

22

ORANLARLA İLGİLİ HİPOTEZ TESTİ

Çift Kuyruk Testi 01

00

:

:

PPH

PPH

=

Sol Kuyruk

Testi

Sağ Kuyruk Testi

01

00

:

:

PPH

PPH

01

00

:

:

PPH

PPH

Örnekten hesaplanan oran p ile gösterilirse oranlarla ilgili test istatistiği;

n

PP

PpPpZ

p )1(

=

=

23

ÖRNEK Bir süpermarketler zinciri sahibi müşterilerinin %95’ten fazlasının

süpermarketlerindeki fiyatlardan memnun olduğunu söylemektedir.

Tesadüfi olarak seçilen 200 müşteriden 184’ü fiyatlardan memnun

olduğunu bildirmektedir.%1 önem düzeyinde , süpermarketteki fiyatlardan

memnun olanların oranının %95’e eşit olmadığını söyleyebilir miyiz?

01

00

:

:

PPH

PPH

=01.0= 58.2=tabZ

95.1

200

)95.01(95.0

95.092.0

)1(=

=

=

=

n

PP

PpPpZ

p

0H Kabul

24

ORTALAMALAR ARASI FARKLARLA

İLGİLİ HİPOTEZ TESTLERİ

Çift Kuyruk Testi 211

210

:

:

=

H

H

Sol Kuyruk Testi

211

210

:

:

H

H

Sağ Kuyruk

Testi

211

210

:

:

H

H

25

İki Ortalama Farkı İçin Test İstatistiği

2

2

2

1

2

1

212121 )()()(

21

nn

XXXXZ

XX

=

=

2

2

2

1

2

1

212121 )()()(

21

n

s

n

s

XX

s

XXZ

XX

=

=

)11

(

)(

21

2

21

nns

XXZh

=

biliniyor ise:

bilinmiyor fakat

örnek hacimleri 30 ise:

21

2

22

2

112

nn

snsns

=

1s 2s homojen olduğu

ve

varsayımıyla

26

ÖRNEK

Aynı faaliyet kolunda üretim yapan fabrikaların birincisinden tesadüfi olarak seçilen 80 mamulün ortalama dayanma süresi 135 gün ve standart sapması 15 gün; ikincisinden alınan 95 mamulün ise ortalama dayanma süresi 130 gün ve standart sapması 18 gündür. %1 önem seviyesinde , birinci fabrikada üretilen mamullerin ortalama dayanma süresinin daha fazla olduğunu söyleyebilir miyiz?

211

210

:

:

H

H01.0= 0.5-0.01=0.4900 33.2=tabZ

94.2869080

)18(95)15(80 22

21

2

22

2

112 =

=

=

nn

snsns

27

94.2869080

)18(95)15(80 22

21

2

22

2

112 =

=

=

nn

snsns

95.1

95

1

80

194.286

)130135(

)11

(

)(

21

2

21 =

=

=

nns

XXZh

%1 önem seviyesinde sıfır hipotezi kabul edilerek birinci fabrikada

üretilen mamullerin ortalama dayanma süresinin diğerlerinden daha

fazla olmadığına karar verilir.

0512.04744.05.0)95.1( ==ZP

28

ORANLAR ARASI FARKLARLA İLGİLİ

HİPOTEZ TESTLERİ

Çift Kuyruk Testi

211

210

:

:

PPH

PPH

=

Sol Kuyruk

Testi 211

210

:

:

PPH

PPH

Sağ Kuyruk Testi 211

210

:

:

PPH

PPH

29

Test İstatistiği

Anakütle için Örnek için

2

22

1

11

2121

)1()1(

)()(

n

PP

n

PP

PPppZh

=

2

22

1

11

21

)1()1(

)(

n

pp

n

pp

ppZh

=

21

2211

nn

pnpnp

=

)11

)(1(

)(

21

21

nnpp

ppZh

=

ve ‘nin homojen olduğu varsayımıyla 1p 2p

30

Örnek Bir video kaset kiralayıcısı macera filmi kiralamanın yöredeki erkek ve

kadınlar itibariyle farklılık gösterip göstermediğini merak etmektedir.Sözkonusu şahıs belli bir zaman periyodu içersinde dükkanına gelen 60 erkekten 51’nin ve 40 kadından 20’sinin macera filmi kiraladığını müşahede etmiştir. Bu verilere göre yöredeki erkeklerin kadınlardan daha fazla macera filmi kiraladığını % 5 önem seviyesinde söyleyebilir misiniz?

211

210

:

:

PPH

PPH

645.1=tabZ 85.01 =p 50.02 =p

71.04060

)50.0(40)85.0(60=

=p

78.3

)40

1

60

1)(71.01(71.0

05085.0=

=hZ

0H RED

31

ALIŞTIRMALAR

1. Bir toplumda erkekler arasında akciğer hastalığı oranının %30

olduğu bilinmektedir. Sigara içenlerde akciğer hastalıklarına daha sık

rastlanıp rastlanmadığı araştırılmak isteniyor. Bu amaçla sigara içen

erkekler arasından rasgele seçilen 200 erkekten 80’inin bir akciğer

hastalığı geçirdiği/geçirmekte olduğu saptanıyor. Sigara içenlerde

akciğer hastalığına yakalanma oranının daha fazla olduğu

söylenebilir mi?

2. Büyük bir alışveriş merkezinin kayıtlarına göre merkeze gelen 1000

erkekten 100’ü ,1000 bayandan ise 250’si oyuncak reyonundan

alışveriş yapmıştır. Bayanların çocuklarına daha çok oyuncak alıp

almadıklarını test ediniz.

32

3. Bir çimento fabrikası ürettiği çimentodan yapılan beton blokların

sağlamlığının standart sapmasının 10 kg/m2 ‘den fazla olduğunu iddia

etmektedir. İddiayı test etmek amacıyla 10 beton blok alınmış ve

sağlamlık test yapılmıştır. Test sonucunda alınan örneğin sağlamlık

ortalaması 312 kg/m2, varyansı 195 kg2/m4 olarak bulunmuştur.

a) İddiayı %95 güvenle test ediniz.

b) Aynı veriler için populasyon varyansının 200’ün altında olduğu

iddiasını test ediniz.

c) Aynı veriler için populasyon varyansının 100 olup olmadığını test

ediniz.