STATİK - selcuk.edu.tr Ders Notlari - 2 1 İki... · Kuvvet vektörü, kendi tesir çizgisi...
Transcript of STATİK - selcuk.edu.tr Ders Notlari - 2 1 İki... · Kuvvet vektörü, kendi tesir çizgisi...
Statik Ders Notları Sınav Soru ve Çözümleri Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ
Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
STATİK
Behcet DAĞHAN
İÇİNDEKİLER
1. GİRİŞ - Skalerler ve Vektörler - Newton Kanunları
2. KUVVET SİSTEMLERİ - İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri - Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri
3. DENGE - Düzlemde Denge - Üç Boyutta Denge
4. YAPILAR - Düzlem Kafes Sistemler - Çerçeveler ve Makinalar
5. SÜRTÜNME
6. KÜTLE MERKEZLERİ ve GEOMETRİK MERKEZLER
MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
STATİK
STATİK
KUVVET SİSTEMLERİ
Behcet DAĞHAN
2Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri
2.1STATİK
Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 1
Kuvvet, bir cismin diğer bir cisme yaptığı mekanik etkidir.
Kuvvet, vektörel bir büyüklüktür.
Statik dersindeki kuvvet vektörü kayan vektördür. Dolayısı ile belirli bir tesir çizgisi vardır.
Kuvvet vektörü, kendi tesir çizgisi üzerinde kaydırılırsa incelenen sisteme etki eden dış kuvvetler değişmez.
Fakat sistemin iç kuvvetleri değişir.
Statik dersinde sadece dış kuvvetler göz önüne alındığı için bunun bir önemi yoktur.
Dış kuvvet, incelenen sisteme onun dışındaki sistemler tarafından uygulanan kuvvettir.
İç kuvvet, incelenen sistemi oluşturan parçaların birbirine uyguladığı kuvvettir.
Tesirçizgisi
F
F
F
A B
A B
C D
A BC D
CD CD
D B
BD BD
D
BDCD
F kuvveti, tesir çizgisi üzerinde kaydırılırsakafes sisteme etki eden dış kuvvetler değişmez.Fakat kafes sistemi oluşturanparçalara gelen kuvvetler değişir.
Bir sistemin tamamı için iç kuvvet olan bir kuvvet,o sistemin bir parçası için dış kuvvet olabilir.Mesela, kafes sistemi parçalara ayırıp incelerken,sistemin tamamı için iç kuvvet olan kuvvetler,sistemin parçaları için dış kuvvet olurlar.
F, A ve B kuvvetleri,kafes sistemin tamamı içinsisteme dışarıdan uygulanankuvvet olduklarından dolayıdış kuvvetlerdir.
İncelenen bir sistemin parçalarının birbirlerine uyguladığı iç kuvvetler,birbirlerini dengelediği için göz önüne alınmazlar.
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 2
Bazen bir kuvvetin yerine geçecekiki veya daha fazla kuvvet yerleştirilir.
F2
F1 R
Bileşen
BileşenBileşke
F2
F1 R
m
W
N
Yayılı kuvvet
Tekil kuvvet
Uygulamadaki kuvvetler genellikle yayılı kuvvettir.
İşlem yaparken onların yerine geçen tekil kuvvetler kullanılır.
R
F2
F1
F2
F1
R
∟
∟
∟
R ≠ F1 + F2
→ → →
∟
Bazen de tesir çizgileri kesişen iki veya daha fazla kuvvetinyerine geçecek bir tek kuvvet yerleştirilir.
R = F1 + F2
→ → →F1
→
F2
→R→ →→
F2
F1 R
R
F2
F1 ∟
∟
F1 + F2 = R→ → →F1
→
F2
→R→
→
→
Etki kuvveti
Tepki kuvveti
!
→
→
→
→
Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 3
R = F1 + F2
→ → →
F2
F1
F2
F1 R R
A A A
≡ ≡
Bileşkenin tesir çizgisi, bileşenlerin tesir çizgilerinin kesişme noktasından geçer.
F2
F1
R
AAA
≡ ≡F2
F1 R
F1 + F2 = R→ → →F1
→
F2
→R→
→
→
F1
→
F2
→R→ →→
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 4
F2
R
≡ ≡
F1 + F2 = R→ → →
F1 + F2 = R
F2
≡ ≡
F1 + F2 = R→ → →
F2 < 0
R
R = 0
Aynı yönde olan paralel iki kuvvetin bileşkesi onlara paraleldir, tesir çizgisi bileşenlerin arasındadır ve büyük bileşene yakındır.
Zıt yönde olan paralel iki kuvvetin bileşkesi de onlara paraleldir, tesir çizgisi dışarıdadır ve yine büyük bileşene yakındır.
→Özel durum:
+
F1 + F2 = R
+
| F1 | > | F2 |→ →
| F1 | = | F2 |→ →
R
F2
F1
−F
F→
→F1
F2
F1
−F
F→
→ R
F1
→
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 5
Dik Bileşenler
F
Fx
Fy
F = Fx + Fy
→ → →
x
y
Fx
→
→
Fy
F→
→i→
→j→
O
θ > 0
F = Fx i + Fy j→ → →
Fx = F cosθ
Fy = F sinθ
F 2 = Fx2+ Fy
2
tanθ = –––Fy
Fx
Fx ve Fy pozitif veya negatif olabilir.
Ama F daima pozitiftir.
θ açısı yönlü bir açıdır.
Pozitif yönü şekilde gösterilmiştir.
Fy
x
y
Fx
→
→F→
O
θβ
Fx = F cosθ
Fy = F sinθ
Fx = −F cosβ
Fy = F sinβ
Fx < 0 olabilmesi için bu işareti biz yerleştirmeliyiz.
→ cosθ < 0 olduğundan dolayı kendiliğinden Fx < 0 olur.
Fx < 0
Fy > 0
θ < 0
veya!
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 6
F1
F2xx
y
F1y
→i→
→j→
O
F2
R
F1x
F2y
Rx
Ry
R = F1 + F2
→ → →
F1 = F1x + F1y
→ → →
F1 = F1x i + F1y j→ → →
F2 = F2x + F1y
→ → →
F2 = F2x i + F2y j→ → →
R = Rx + Ry
→ → →
R = Rx i + Ry j→ → →
Rx i + Ry j = (F1x i + F1y j ) + (F2x i + F2y j )→ → → → →
Rx i + Ry j = (F1x + F2x ) i + (F1y + F2y ) j→ → →} }
Rx = ΣFx
Ry = ΣFy
θ
R 2 = Rx2+ Ry
2
tanθ = –––Ry
Rx
İki kuvvetin bileşkesinin dik bileşenler kullanılarak bulunması
= ΣFx = ΣFy
Behcet DAĞHAN
Bileşkenin yönünü ve şiddetini bulmak için:
→
→
∟
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 7
Örnek Problem 2/1
Verilenler:
İstenenler:
Şekildeki mesnede A noktasından uygulanan 600 N luk kuvvetin yerine geçecek iki tanekuvvet yerleştirilecektir. Bu iki kuvvetten Fa nın tesir çizgisi a-a doğrultusu ve Fb nintesir çizgisi b-b doğrultusu olacaktır. Fa yı ve Fb yi bulunuz.
F = 600 N
Fa = ?
Fb = ?
Çözüm
F
b
b
a a60o 30o
A Fb
Fa
tan30o = –––Fa
FFa = 693 N
Fb = 346 N
60o
F = Fa + Fb
→ → →
30o∟
cos30o = –––F
Fb
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 8
Örnek Problem 2/2
Verilenler:
İstenenler:
Şekildeki iki kuvvetin bileşkesinin şiddetinin 2000 N olması için 800 N luk kuvvetin açısı θ ne olmalıdır?Bu şartlarda R ile düşey doğrultu arasındaki açı β yı bulunuz.
F1 = 1400 N
θ = ?
β = ?
Çözüm
N
N
F2 = 800 N
R = 2000 N
F1
F2
R
θ
β
düşey
R 2 = F12 + F2
2 + 2 F1 F2 cosθ θ = 51.3o
F22 = R2 + F1
2 − 2 R F1 cosβ β = 18.2o
R = F1 + F2
→ → →
θ
↕
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 9
Bu işaretleri biz yerleştirmeliyiz.
Örnek Problem 2/3
Verilenler:
İstenenler:
Şekildeki mekanizmanın AB koluna etki eden P kuvvetinin x ve y bileşenlerini bulunuz.
P = 260 N
Px = ?
Py = ?
x
y
C
Çözüm
P
30o
5
12
13
Px = − P –––1213
B
Px
Py
Py = − P –––513
Px = − 240 N
Py = − 100 N
Veya üçgenlerin benzerliğinden:
––– = ––– = –––12 13
|Px| |Py|
5
P
A
→→
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 10
Örnek Problem 2/4
Verilenler:
İstenenler:
Şekildeki mesnedin A noktasına uygulanmış olan iki kuvvetin bileşkesinin yönünü ve şiddetini bulunuz.
F1 = 800 N
R = ?
θ = ?
Çözüm
F2 = 900 N
F1
F2
y
x
A
25o
10o
R
β
R = F1 + F2
→ → →
R 2 = F12 + F2
2 + 2 F1 F2 cos105o
R = 1038 N
sin(25o+β)––––––––– = ––––––
F1
75o
sin75o
R
β = 23.1o
Rx = ΣFx
Ry = ΣFy
R 2 = Rx2+ Ry
2
tanθ = –––Ry
Rx
Rx = F1x + F2x = F1 cos10o − F2 sin25o
Rx = 407 N
Ry = F1y + F2y = − F1 sin10o − F2 cos25o
Ry = − 954 N
R = 1038 N
θ < 0
θ = − 66.9o
Behcet DAĞHAN
105o
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 11
Moment
F
Moment, bir kuvvetin herhangi bir eksene göre döndürme etkisidir.
Bir kuvvetin kendi tesir çizgisi ile kesişen bir eksene göre momenti yoktur,
tesir çizgisine paralel olan bir eksene göre de momenti yoktur.
Moment vektörel bir büyüklüktür.
Moment vektörünü M ile göstereceğiz.
Moment vektörünün yönü sağ el kuralı ile bulunur.
Sağ elimizin dört parmağını kuvvet yönünde tutup avucumuzun içini moment alınan eksenedöndürüp avucumuzu kapattığımız zaman baş parmağımız moment vektörünün yönünü gösterir.
→
∟
A ∟d
MA
MA = F d
Momentalınaneksen
Momentalınannokta
Bir noktaya göre moment
Bir kuvvetin bir noktaya göre momenti, kuvvet ile noktanın içinde bulunduğu düzleme dik olan ve moment alınan noktadan geçen bir eksene göre döndürme etkisidir.
Herhangi bir A noktasına göre alınan momentin şiddeti:
Behcet DAĞHAN
Momentkolu
Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 12
FA
d
İki boyutlu kuvvet sistemini oluşturan kuvvetlerin, içinde bulundukları düzlemde yer alan bir noktaya göre momentleri düzleme diktir.
Eğer kuvvetlerin içinde bulunduğu düzlem x-y düzlemi ile çakıştırılırsa, moment vektörleri de düzleme dik olan z-eksenine paralel olur.
Moment vektörlerinin tamamı birbirine paralel olduğu için sadece şiddetleri ile ilgilenmek yeterli olur.
Yönlerini belirtmek için de şiddetleri pozitif veya negatif alınır.
Saat ibrelerinin dönme yönünün tersi pozitif yön olarak alınacaktır.
∟
x
y
M > 0
M < 0
O
pozitif z-yönünde
negatif z-yönünde
→
→
M = − 12 N·m
Yön belirtir
MA
M = Mz
→ →
→F
Herhangi bir kuvvetin, kendi tesir çizgisi üzerindeki noktalar hariç,bütün noktalara göre döndürme etkisi vardır.
Bu momentlerin bir kısmı pozitif, bir kısmı da negatif yöndedir.
Bu momentler, kuvvet uygulandığı zaman ortaya çıkan döndürme etkileridir.Yani kuvvetin yanında ayrıca uygulanmış değillerdir.
M < 0
M > 0
!
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 13
Varignon Teoremi
Ar
MA R = r × R
→ → →F2
F1 R
MA F1 = r × F1
→ → →
MA F2 = r × F2
→ → →
MAR
MAF1
MAF2R = F1 + F2
→ → →
r × R = r × (F1 + F2) = r × F1 + r × F2→ → → → → → → → →
MA R = MA
F1 + MAF2
→ → →MA
R = MAF1 + MA
F2
Bileşkenin bir noktaya göre momenti, bileşenlerinin o noktaya göre momentleri toplamına eşittir.
Behcet DAĞHAN
B
İki boyutlu kuvvet sistemindemoment vektörlerinin hepsibirbirine paralel olduğu içinbu eşitlik skaler olarak da
geçerlidir.
↔
Bir noktaya göre momentin vektörel çarpımla bulunması
F
A
d
∟rMA = r × F
→ → → αMA = r F sinα
MA = F dMA = F r sinα
d = r sinα→
r vektörü, moment alınan noktadan başlar,kuvvetin tesir çizgisi üzerinde herhangi bir noktada biter.
αMA
MA ≠ F × r→ → →!
→
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 14
A
R
d
∟
A
RF1
F2
∟d1
d2
∟
A
RF1
F2
d1
∟
A
R F1
F2
d2
∟
≡ ≡ ≡
MAR = R d MA
R = F1 d1 + F2 d2 MAR = F1 d1 + 0 MA
R = 0 + F2 d2
∟
∟
∟
Behcet DAĞHANBir kuvvetin bir noktaya göre momenti alınırken takip edilebilecek yollar:
A
R
MAR = ?
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 15
Örnek Problem 2/5
Verilenler:
İstenenler:
30 N luk P kuvveti şekildeki çubuğun BC kısmına dik olarak uygulanmıştır. P nin B noktasına ve A noktasına göremomentini bulunuz.
P = 30 N
MA = ?
Çözüm
MB = ?
d
P
A
d
∟
MA = P d
P
B
∟
MB = P d
d = 1.6 m
MB = 48 N·m
d = 1.6 + 1.6 cos45o
45o
MB = 81.9 N·m
MB
MA
∟
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 16
Örnek Problem 2/6
Verilenler:
İstenenler:
(a) θ = 15o ise 90 N luk kuvvetin O noktasına göre momentini hesaplayınız. Ayrıca O ya göre momenti (b) sıfır ve(c) maksimum yapan θ değerlerini bulunuz.
F = 90 N
MO = ?
Çözüm
θ = ?
O
F
θF1
F2
d1 = 800 mm
d2 = 600 mm
MO = 0 ise:
θ = ?
MO = MOmax ise:
θ = 15o ise:
MO = − F1 d1 + F2 d2
MO = − F sinθ d1 + F cosθ d2
(a)
θ = 15o ise:
MO = 33.5 N·m
(b)
MO = 0 ise:
θ = 36.9o
0 = − F sinθ d1 + F cosθ d2
1 1
(c)
MO = MOmax ise:
θ = − 53.1o
dMO
dθ–––– = 0
dMO
dθ–––– = F (− cosθ d1 − sinθ d2) }
M > 0
M < 0
Varignon teoreminden:
veya θ + 180o
veya θ + 180o
O
F
θ
O
Fθ < 0
θ
d1
d2
F
F
∟
d1
d2
d1
d2
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 17
Örnek Problem 2/7
Verilenler:
İstenenler:
Bir direk ucu bağlantı parçası, iki tane kuvveti şekildeki gibi taşımaktadır. Bu iki kuvvetin O noktasına göre
momentleri toplamının sıfır olabilmesi için T nin şiddeti ne olmalıdır?
F = 5 kN
MO = 0 ise:
→
T = ?
Çözüm
F
Moment alırken,bir kuvveti bu şekilde bileşenlere ayırmak tavsiye edilmez.
Çünkü bileşenlerin tesir çizgilerininnereden geçtiği açıkça belli olmalıdır.
Kuvveti, tesir çizgisi üzerindeuygun bir yere kaydırdıktan sonra
bileşenlere ayırmak gerekir.
T
FT
MO = F cos30o (90) + F sin30o (60) − T –––– (120) − T –––– (60) = 0
Varignon teoreminden:
2
5√29
5
√29
2
√29
T = 4.04 kN
!
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 18
F1 + F2 = R→ → →
F1 + F2 = R
F2
F1 + F2 = R→ → →
F2 < 0
R = 0
Paralel iki kuvvetin bileşkesinin tesir çizgisinin yerinin varignon teoremi yardımıyla bulunması
→Özel durum:
+
F1 + F2 = R
+
| F1 | > | F2 |→ →
| F1 | = | F2 |→ →
R
F1
F2
F1
R
→
A
a
b
MAR = MA
F1 + MAF2
R (0) = − F1 (a) + F2 (b)
––– = –––a
b
F1
F2
MAR = MA
F1 + MAF2
R (0) = F1 (a) − F2 (b)
a
b
A
a = b
––– = –––a
b
F1
F2
→Özel durum: F1 = F2
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 19
Kuvvet çifti
Kuvvet çifti, birbirine paralel, eşit şiddette ve zıt yönde olan iki kuvvetten oluşan bir sistemdir (d ≠ 0).
F
d ∟MA
F
∟
Elde edilen sonuç göstermektedir ki, kuvvet çiftinin momenti, moment alınan noktadan bağımsızdır.
Kuvvet çiftinin bileşkesi sıfırdır.
Kuvvet çiftinin nereye uygulandığı önemli değildir.
a
A
R = F + (− F )→ → →
R = 0→ →
MA = F (a + d) − F a = F d
Kuvvet çiftinin sadece döndürme etkisi vardır.
→ →
Behcet DAĞHAN
Kuvvet çiftinin herhangi bir A noktasına göre momentini alalım.
M = F d
Bu kuvvetlerden birisine F dersek diğeri de − F olur.
Kuvvet çiftinin momenti serbest vektördür.
∟
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 20
F
d ∟
F
∟
Kuvvet çiftinin bütün noktalara göre döndürme etkisi aynıdır.
M = F d
M = F d
≡ F
d ∟M = F dA A
Bir tek kuvvet, kuvvet çiftinin yerine geçmez.
Behcet DAĞHAN
Kuvvet çifti
!
F1
d1 ∟
F1
∟
≡ ≡F2
d2
F2
∟
∟
Kuvvet çiftini sadece bu işaret ile de gösteririz.
M
veya
M = F1 d1 = F2 d2
Kuvvet çiftini oluşturan kuvvetler veya aralarındaki uzaklık tek başına önemli değildir. Önemli olan kuvvet çiftinin momentidir.
Kuvvet çifti
Momenti eşit olan bütün kuvvet çiftleri denktir.
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 21
F
F
F
d ∟
F
∟
=x x x
xd––2
M
+
x=+ xd––2
d––2
d––2 d––
2d––2
z M z M z
Bakış yönü
d ∟∟
d ∟∟
→
Bakış yönü
→
Bakış yönü
→
Behcet DAĞHANKuvvet çiftinin bütün noktalara göre momentinin aynı olduğunun bir açıklaması
F F
F F
d
∟∟
d
∟∟
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 22
≡ M = F d
Bir kuvvetin tesir çizgisinin değiştirilmesi
F
d ∟ ≡F ∟
F
F F
Bir kuvvet, tesir çizgisi üzerinde kaydırıldığı zaman etkisi değişmez. Ama tesir çizgisinin dışına çıkarılırsa etkisi değişir.Kuvvetin tesir çizgisini değiştirmek istediğimiz zaman, etkisinin değişmemesi için kuvvete ilaveten bir de kuvvet çifti uygulamamız gerekir.
Bu moment, kuvvetin momenti değildir.Kuvvete ilaveten dışarıdan uygulananbir kuvvet çiftidir.
≡M = F dF
d∟ ≡F ∟
F
FF
Bazen de bir kuvvet ile kuvvet çiftinden oluşan bir sistemin yerine geçecek bir tek kuvvet yerleştiririz.
Behcet DAĞHAN
Bir kuvveti, başka bir tesir çizgisine taşırken kuvvetin yönünü ve şiddetini bozmadan aynen taşırız.Ayrıca yanına bir de kuvvet çifti ilave etmemiz gerekir.Bu kuvvet çiftinin momenti, kuvvetin, yeni tesir çizgisi üzerindeki herhangi bir noktaya göre momentine eşittir.
!
↑
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 23
Örnek Problem 2/8
Verilenler:
İstenenler:
OA çubuğu, iki makara ve ince bir bandın bir bölümünden oluşan sisteme şekildeki gibi 180 N luk iki
kuvvet uygulanmıştır. Bu kuvvetlerin (a) A noktasına göre ve (b) O noktasına göre momentleri
toplamını bulunuz.
F = 180 N
MA = ?
Çözüm
M = 21 728 N·mm = 21.7 N·mMO = ?
Bu kuvvet sistemi, eşit şiddette, zıt yönde ve birbirine paralel iki kuvvetten oluşanbir sistem olduğu için kuvvet çiftidir.
MA = MO = M = F d
d = 100 sin45o + 2 r
r = 25 mm
} M = 180 (120.7)∟
d
∟
180 N
180 N
Kuvvet çiftinin bütün noktalara göre momenti aynıdır.
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 24
Örnek Problem 2/9
Verilenler:
İstenenler:
Bir sürücü sağa dönerken otomobilin direksiyonuna şekildeki gibi 8 N luk iki kuvvet uygulamaktadır.
Bu kuvvetlerin oluşturduğu momenti hesaplayınız.
F = 8 N
M = ?
Çözüm
Bu kuvvet sistemi, eşit şiddette, zıt yönde ve birbirine paralel iki kuvvetten oluşanbir sistem olduğu için kuvvet çiftidir.
M = MO = −2 F cos30o (375/2)
Kuvvet çiftinin bütün noktalara göre momenti aynıdır.
M = − 2598 N·mm
Yön belirtirSaat ibrelerinin dönme yönündedir.
↑
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 25
Örnek Problem 2/10
Verilenler:
İstenenler:
Şekildeki 1200 N luk kuvvetin, dirseğin A pimine göre momentini hesaplayınız.
Bunu yaparken, kuvveti önce C noktasından geçen bir tesir çizgisine taşıyınız.
Çözüm
F = 1200 N
r = 200 mm
MC
F
MC = F r
1
2
√5
MA = MC + F ––– 6001
√5
MA = 1200 (200 + ––– 600)1
√5
MA = 562 N·m
F –––1
√5
∟ r
F
MA = ?
Kuvveti önce C noktasına taşımakA noktasına göre moment almayı kolaylaştırır.
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 26
Örnek Problem 2/11
Verilenler:
İstenenler:
Birbirine tutturulmuş olan iki dişliye gelen iki kuvvet şekilde gösterilmiştir. Bu iki kuvveti O noktasına
taşıyıp bir R kuvvetine ve bir M kuvvet çiftine indirgeyiniz ve şiddetlerini bulunuz.
Çözüm
F1 = 1.5 kN
F2 = 2.4 kN
R = ?
MO = M = ?
F1
F2
Ox
y
Ox
y
20o
20o
MOF1
MOF2
Rx = F1x + F2x Ry = F1y + F2y
Rx = ΣFx Ry = ΣFy
Rx = F1 cos20o+ F2 sin20o Ry = F1 sin20o+ F2 cos20o
Rx = 2.23 kN Ry = 2.77 kN
R2 = Rx2 + Ry
2
R = 3.56 kN
R
MOF1 = F1 cos20o (200)
MOF1 = 282 N·m
MOF2 = − F2 cos20o (120)
MOF2 = − 271 N·m
MO = MOF1 + MO
F2
M = 11.3 N·m
M
≡
Yön belirten bu işareti biz yerleştirmeliyiz.
veya
R2 = F12 + F2
2 + 2 F1 F2 cos50o←
50o
F1
F2
←
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 27
İki boyutlu bir kuvvet sisteminin bileşkesi
M1
Fn
Bazen göz önüne alınan kuvvet sisteminin yerine geçecek bir tek kuvvet aranır.
Bu bileşke kuvvetin yönü, şiddeti ve tesir çizgisinin nereden geçtiği bulunmalıdır.
Kuvvetlerin içinde bulunduğu düzlemi x-y düzlemi ile çakıştıralım.
x
y
O
R = F1 + ··· + Fn
→ → →
Rx i + Ry j = (F1x i + F1y j ) + ∙∙∙ + (Fnx i + Fny j )→ → → → →
Rx i + Ry j = (F1x + ··· + Fnx) i + (F1y + ∙∙∙ + Fny) j→ → →} }
= ΣFx = ΣFy
x
y
O
R
F1
θ
≡
Rx = ΣFx
Ry = ΣFy
R 2 = Rx2+ Ry
2
tanθ = –––Ry
Rx
Bileşkenin tesir çizgisinin geçtiği yeri bulmak için:
Bileşkenin yönünü ve şiddetini bulmak için:
Bileşkenin herhangi bir noktaya göre momenti,kuvvet sistemini oluşturan kuvvetlerin
o noktaya göre momentleri toplamına eşittir.
MAR = ΣMA
Genelleştirilmiş Varignon Teoremi
Behcet DAĞHAN
Kuvvet çiftleri,bileşkenin yönünü ve şiddetini etkilemez.
Sadece tesir çizgisinin yerini etkiler.
→
→
Mm
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 28
Bir kuvvet sisteminin keyfi olarak seçilen bir noktaya indirgenmesi
≡
Behcet DAĞHAN
A
≡
Bir kuvvet sistemini herhangi bir noktaya indirgemek istediğimiz zaman bütün kuvvetleri o noktaya taşırız.
Kuvvetleri taşırken de sisteme ilave etmemiz gereken kuvvet çiftlerini ilave ederiz.
Bu kuvvet çiftlerinin momentleri, taşıdığımız kuvvetlerin o noktaya göre momentlerine eşittir.
A
Fn
F1
MAF1
M1
MAFn
M = ΣM
Kuvvet çiftlerininmomentlerinin toplamı
Kuvvetlerintoplamı
→→
R = ΣF→→
M1
FnF1
Mm
Mm
ΣM = M1 + ... + Mm + MAF1 + ... + MA
Fn
ΣF = F1 + ··· + Fn
→ → →
→ → → → →
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 29
Örnek Problem 2/12
Verilenler:
İstenenler:
İki kuvvetten ve bir kuvvet çiftinden oluşan şekildeki kuvvet sisteminin bileşkesi
O noktasından geçiyorsa kuvvet çiftinin şiddeti M nedir?
Çözüm
F1 = 320 N
F2 = 400 N
M = ?
M = 148 N·m
0
M − 400 (150 cos30o) − 320 (150 + 150) = 0M + MOF1 + MO
F2 = 0Kuvvet çiftinin
bütün noktalara göredöndürme etkisi aynıdır.
Bileşkenin tesir çizgisiO noktasından geçmektedir.
M > 0
M < 0
M
MOR = ΣMO MO
R = ΣMO
ΣMO = 0
R
O
Varignon teoreminden:
F1 = 320 N
F2 = 400 N
→
→
→
→
→ →
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 30
Örnek Problem 2/13
Verilenler:
İstenenler:
Şekildeki üç kuvvetten oluşan sistemin yerine geçecek R kuvvetinin x ve y-bileşenlerini
ve tesir çizgisinin x-eksenini kestiği yerin O noktasına uzaklığını bulunuz.
Çözüm
M > 0
M < 0
Rx = ΣFx Ry = ΣFy
F1 = 160 N
F2 = 240 N
F3 = 200 N
Rx = ?
Ry = ?
x = ?
Rx = F1x + F2x + F3x Ry = F1y + F2y + F3y
Rx = 0 + 0 − F3 Ry = − F1 + F2 + 0
Rx = − 200 N Ry = 80 N
R = Rx + Ry = F1 + F2 + F3→ → → → → →
R d = Rx (0) + 80 (x)x = 1625 mm
R Ry
Rx
x
R d = − 160 (250) + 240 (250+250) + 200 (250) }MO
R = ΣMO
Varignon teoreminden:
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 31
Örnek Problem 2/14
Verilenler:
İstenenler:
Şekildeki üç kuvvetin oluşturduğu sistemin bileşkesini i ve j birim vektörleri cinsinden ifade ediniz.
Bileşkeyi A noktasına taşıyıp, A noktasına taşırken sisteme ilave edilmesi gereken kuvvet çiftini bulunuz.
Ayrıca bileşkeyi A noktasına taşıdıktan sonra tesir çizgisinin denklemini yazınız.
Çözüm
M > 0
M < 0
Rx = ΣFx Ry = ΣFy
F1 = 80 N
F2 = 60 N
F3 = 100 N
y = f(x) = ?
Rx = F1x + F2x + F3x Ry = F1y + F2y + F3y
Rx = F1 + 0 + F3 Ry = 0 − F2 + 0
Rx = 180 N Ry = − 60 N
R = Rx + Ry = F1 + F2 + F3→ → → → → →
MAR = ΣMA
RRy
R = ?→
M = ?
R = 180 i − 60 j N→ →→
Ax
y
Rx
→ →
− R d = ΣMA = F1 (0) − F2 (1.5) − F3 (0.75)
MAR= M = − 165 N·m
y = m x
tanθ = –––Ry
Rx
θ > 0
θ < 0
m = tanθ} y = − –– x
13
Rx = 80 + 0 + 100 Ry = 0 − 60 + 0
ΣMA = 80 (0) − 60 (1.5) − 100 (0.75)
R
M
∟
d
Varignon teoreminden:
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 32
Örnek Problem 2/15
Verilenler:
İstenenler:
Şekildeki kuvvet sisteminin bileşkesinin tesir çizgisinin x-eksenini kestiği yerin x-koordinatını
bulunuz.
Çözüm
M > 0
M < 0
Rx = ΣFx Ry = ΣFy
F1 = 250 N
F2 = 400 N
F3 = 500 N
x = ?
Rx = 346 N Ry = − 2200 N
R = Rx + Ry = F1 + F2 + F3 + F4 + F5 + F6
→ → → → → →
MAR = ΣMA
− R d = |Rx| (0) − |Ry| x = − 400 sin30o (5) − 500 (2.5) − 500 (5) − 500 (7.5) − 250 (10)
x = 5 m
Rx = 400 cos30o Ry = − 250 − 400 sin30o − 500 − 500 − 500 − 250
→ → →
F4 = 500 N
F5 = 500 N
F6 = 250 N
RRy
Rx
x
∟d Momentin işaretini bozmaması için
Rx ve Ry nin işaretini atmalıyız.
Bileşkenin tesir çizgisi x-eksenini G noktasında keser.
Varignon teoreminden:
→