Statisztikus fizika és pénzügyek
description
Transcript of Statisztikus fizika és pénzügyek
![Page 1: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/1.jpg)
Statisztikus fizika és pénzügyek
Bolyai Kollégium2007 április 25
![Page 2: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/2.jpg)
Munkatársak• Pafka Szilárd (ELTE; CIB Bank; Paycom,
Santa Monica)• Nagy Gábor (Debreceni Egyetem; CIB Bank)• Karádi Richárd (BMGE Fizikai Intézet;
Procter&Gamble)• Gulyás Nándor (ELTE; Budapest Bank;
Lombard Leasing; ELTE; Collegium Budapest)• Varga-Haszonits István (ELTE; Morgan-
Stanley)• Papp Gábor (ELTE)• Andrea Ciliberti (Roma és Science&Finance,
Paris)• Marc Mézard (Orsay)
![Page 3: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/3.jpg)
Tartalom
• Kapcsolatok a közgazdaságtan és a fizika között
• Mit adhat a fizika a pénzügyeknek, amit a matematika nem tudna?
• Három példa: véletlen mátrixok, fázisátalakulások és replikák
![Page 4: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/4.jpg)
Korai kapcsolatok
• Klasszikus közgazdaságtan fizika-komplexusa
• Maxwell• Bachelier
![Page 5: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/5.jpg)
Fizikusok a pénzügyekben
• A 90-es évek elejétől kezdődően egyre több fizikust vesznek fel a pénzügyi intézmények.
• A nagy kereskedelmi bankok kockázatkezelési vezetőinek kb. 30-35 %-a fizikus.
• Mára a pénzügyi terület a végzett fizikus hallgatók számára az egyik standard elhelyezkedési lehetőséggé vált (EU dokumentum a bolognai tipusú felsőoktatási programok összehangolásáról: Tuning Educational Structures in Europe: http://tuning.unideusto.org/tuningeu/ ).
![Page 6: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/6.jpg)
Econophysics – van ilyen?
• A kifejezést H. E. Stanley vezette be, nem aratott osztatlan népszerűséget, mégis elterjedt.
• Van reális köze a két tudománynak egymáshoz?
• Triviális válasz: a pénzügyekben is sztochasztikus folyamatokkal van dolgunk, amelyek alkalmazása a statisztikus fizikában jutott legmesszebbre.
• Ámde: a sztochasztikus folyamatok elméletét a matematikusok is művelik.
![Page 7: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/7.jpg)
Miért vesznek fel a bankok fizikusokat (is)?
• Miért nem csak matematikusokat, számítógép-tudósokat, statisztikusokat, stb.?
• Mi az a speciális tudás, amit a fizikusok be tudnak hozni a pénzügyekbe? Mit adhat a fizika a pénzügyeknek? (Stanley a Nikkei konferencián)
• Válasz-kísérlet: a modellekben való gondolkodás, a matematika kreatív használata, a numerikus és közelítő módszerekben való jártasság adja talán a fizikusok piaci vonzerejét.
![Page 8: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/8.jpg)
Kicsit mélyebben:
• A kölcsönható rendszerek, kollektív effektusok megértésében a fizika jutott legmesszebb.
• A tankönyv-közgazdaságtan még mindig csak legfeljebb az átlagtér-elmélet színvonalát éri el (reprezentatív ágens).
• Struktúrák, új minőség felépülése akár egyszerű kölcsönhatásokból, emergens vonások, kollektív koordináták, mikroszkopikus szabadsági fokokra való átlagolás, stb. – ezek a fogalmi eszközök ismeretlenek a pénzügyekben (lsd. Bázel II).
![Page 9: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/9.jpg)
Ezért azt gondolom, hogy
• a kvantummechanika, a soktestprobléma, a térelmélet, a renormálás, a fázisátalakulások, a nemlineáris és komplex rendszerek tanulmányozása ugyan se nem szükséges, se nem elegendő, de mindenféleképpen hasznos a bonyolult piaci folyamatok megragadásában, és ezeket a gondolati eszközöket sehol máshol nem lehet megszerezni, csak a fizikában.
• (Továbbá azt is gondolom, hogy ezeket az eszközöket meg kell őriznünk a fizika tananyag átszabása során.)
![Page 10: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/10.jpg)
Ebben az előadásban három példán fogom illusztrálni a
fizikából importált (és máshonnan nem importálható)
fogalmi eszközök hasznát:
• a véletlen mátrixok• a fázisátalakulások és kritikus
jelenségek és• a replika-módszerpéldáján.
![Page 11: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/11.jpg)
A konkrét alkalmazási terület a portfólió-választás
problémája.• Az alapkérdés: hogyan osszuk szét a
vagyonunkat a lehetséges befektetési eszközök (pl. értékpapírok) között úgy, hogy a lehető legkisebb kockázat mellett a lehető legmagasabb hozamot érjük el?
• Itt speciálisan arra az esetre szorítkozom, amikor a hozamra tekintet nélkül minimalizálni akarjuk a kockázatunkat.
![Page 12: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/12.jpg)
A feladat eredeti megfogalmazása:
A portfólió-választás Markowitz-féle elmélete:Az , i=1,2,…,N, hozamok feltevés szerint ismert (mondjuk N-változós Gauss) eloszlásból húzott valószínűségi változók, kovariancia-mátrixuk ( a korrelációs mátrix, az szórása).
Keresendők azok a , , súlyok, amelyek mellett
az portfólió szórása minimális.
ir
P i iir w r
iw
2P i ij j
i j
w w
1iiw
ijjiij C
ijC i
ir
![Page 13: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/13.jpg)
Korlátlan „short selling”
Nem kötöttük ki, hogy a súlyok pozitívak legyenek, bármekkora abszolút értékű számok lehetnek. Ez jogszabályi és likviditási okokból nyilván nem realisztikus, de a feladatot ebben az idealizált formában célszerű először tárgyalnunk (a pénzügy tankönyvek is ezt teszik). Ekkor ugyanis az optimális súlyok analitikusan meghatározhatók:
Ha a short sellinget megtiltjuk, akkor a feladat kvadratikus programozási feladattá válik.
1
*1
ijji
jkj k
w
![Page 14: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/14.jpg)
A végtelen térfogat határesete
• A korlátlan short selling megengedése az optimalizációs feladat értelmezési tartományát végtelenné teszi. Látni fogjuk, hogy a megoldás-vektor hatalmas fluktuációkat mutathat. A térfogat korlátozása ezeket a fluktuációkat csökkentené.
• Amiként a fázisátalakulások elméletében, itt is célszerű azonban először a végtelen térfogat limeszében megérteni a jelenség lényegét, és a véges-térfogat effektusokat csak utóbb venni figyelembe.
![Page 15: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/15.jpg)
A feladat változatai
• A szórás használata kockázati mértékként feltételezi, hogy a mögöttes folyamat Gauss vagy ahhoz hasonlóan koncentrált eloszlású. A pénzügyi folyamatok általában nem ilyenek.
• Alternatív kockázati mértékek: abszolút eltérés (MAD), egy magas küszöb fölötti feltételes átlagos veszteség (ES), a maximális veszteség (ML), ill. bármely a hozamok eloszlásán értelmezett pozitív, homogén elsőfokú, konvex funkcionál.
![Page 16: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/16.jpg)
Empirikus kovariancia mátrixok
• A kovariancia-mátrixot a piacon végzett mérésekből kell meghatároznunk. A t időben megfigyelt hozamokból a következő becslést kapjuk:
• N eszközből álló portfolió kovariancia-mátrixának O(N²) számú eleme van. N eszköz T hosszúságú idősorában összesen NT adat van. Ahhoz, hogy mérésünk pontos legyen, a N <<T egyenlőtlenségnek kellene fennállnia. A banki portfoliók több száz eszközt tartalmazhatnak, miközben aligha értelmes dolog 4 évnél (T~1000) hosszabb idősorokat használni. Ezért N/T << 1 szinte soha nem teljesül a valóságban. Így a becslésben jelentős lesz a zaj hatása, a hiba pedig az N/T hányadostól fog függeni (skála-változó!).
(1) 1
1
T
ij it jtTt
y y
![Page 17: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/17.jpg)
Küzdelem a „dimenziók átkával”
• A közgazdászok a kezdetektől fogva küzdenek ezzel a nehézséggel. Minthogy a probléma gyökere a megfelelő mennyiségű információ hiánya, a segítséget valamilyen külső forrásból származó információ bevitelétől várhatjuk, azaz valamilyen struktúrát kell σ-ra rákényszerítenünk. Ez torzítást visz a becslésbe, de csökkentheti a zajt.
• Példák:- egy-faktor modellek (β-k) Ezek mind
segítenek- több-faktor modellek valamilyen
mértékben. - szektorok szerinti csoportosítás A legtöbb
vizsgálat- főkomponens analízis empirikus
adatokkal - Bayesi shrinkage estimators, stb. dolgozik
![Page 18: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/18.jpg)
Véletlen mátrixok a pénzügyekben
• L.Laloux, P. Cizeau, J.-P. Bouchaud, M. Potters, PRL 83 1467 (1999) és Risk 12 No.3, 69 (1999)valamint V. Plerou, P. Gopikrishnan, B. Rosenow, L.A.N. Amaral, H.E. Stanley, PRL 83 1471 (1999)azt a megfigyelést tették, hogy a valódi piacokon megfigyelhető kovarianciamátrixok spektrumában óriási mennyiségű zaj van, ami kérdésessé teheti a befektetési döntésekben való alkalmazásukat.
• Paradoxon: Ezeket a kovariancia-mátrixokat széles körben alkalmazzák, hogyan lehetséges, hogy a bankok nem buknak ebbe bele ?!
![Page 19: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/19.jpg)
Laloux et al. 1999
Az S&P 500
idősoraiból nyert kovarianciamátrix spektruma N=406, T=1308, azaz N/T= 0.31 mellett, összehasonlítva egy véletlen mátrix spektrumával (folytonos görbe). A sajátértékeknek csak kb. 6%-a esik kívül a véletlen sávon.
![Page 20: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/20.jpg)
Megjegyzések a paradoxonhoz• A véletlen sávba eső sajátértékek száma
nem okvetlenül méri megfelelően a zaj hatását a portfolióra: A kis sajátértékek erősen fluktuálnak, de viszonylag kevéssé befolyásolják az optimális portfoliót, miközben a nagy sajátértékek és a hozzájuk tartozó sajátvektorok eléggé stabilak.
• A vizsgált esetben N/T nem volt elég kicsi (bár ritkán fordul elő a gyakorlatban, hogy ennél kisebb legyen).
• A valóságos empirikus adatokkal dolgozva nem lehet elkülöníteni az elégtelen információ hatását egyéb zavaró tényezőktől, mint amilyen pl. a stacionaritás hiánya, ezért mi szimulált adatokkal dolgoztunk.
![Page 21: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/21.jpg)
A véletlen mátrixok elmélete által sugallt szűrési eljárás
• A véletlen mátrixok megjelenése a portfolió-választás összefüggésében nagy aktivitást váltott ki, különösen fizikusok körében. Laloux et al. and Plerou et al. egy, a véletlen mátrixok elméletén (RMT) alapuló szűrési eljárást javasoltak. Ezt számos további kutató fejlesztette tovább.
• A javasolt szűrés abban áll, hogy a véletlen mátrix spektrum felső éle alá eső sajátértékeket mint tiszta zajt eldobják. Információt csak azok a sajátértékek és sajátvektorok hordoznak, amelyek ezen él fölé esnek. Az optimalizációt úgy kell végrehajtani, hogy a nagy sajátértékek alterére vetítünk, a kicsiket pedig egy alkalmasan választott konstanssal helyettesítjük, hogy megőrizzük a mátrix spurját. Ez drasztikusan redukálja a probléma effektív dimenzióját.
![Page 22: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/22.jpg)
• A nagy sajátértékek interpretációja: A legnagyobb a „piacnak” felel meg, a többi nagy a fő ipari szektoroknak.
• A módszer a főkomponens-analízis egy szisztematikus változatának tekinthető, ahol objektív feltételt szabunk a tekintetbe vett komponensek számára.
• Kiterjedt összehasonlító vizsgálataink szerint a módszer következetesen jól teljesít más, hagyományos eljárásokkal összehasonlítva.
• További előny, hogy a szűrő a piac feltételezett szerkezetének megfelelően hangolható.
• Kísérlet a véletlen sávél alá eső információ kinyerésére (krakkói csoport, Papp Gábor)
![Page 23: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/23.jpg)
Miben mérjük a zaj hatását?Tegyük fel, hogy ismerjük a igazi
kovariancia-mátrixot és meg tudjuk mérni a „zajos” mátrixot. Ekkor a zaj hatásának (nem okvetlen egyedüli) mértékéül a következő mennyiség választható:
ahol w* a ill. mátrixoknak megfelelő optimális súlyokat jelöli.
)0(σ)1(σ
ijjiji
ijjiji
ww
ww
q)*0()0()*0(
)*1()0()*1(
20
)0(σ )1(σ
![Page 24: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/24.jpg)
A modell-szimulációs stratégia
Különböző modell kovariancia-mátrixokat választunk és ezekkel hosszú idősorokat generálunk. Ezután T hosszúságú szegmenseket vágunk ki belőlük, mintha a piacon végeznénk megfigyeléseket, majd megpróbáljuk rekonstruálni a kovariancia-mátrixokat ezekből a mintákból. Ezután optimalizáljuk a portfoliót mind a „megfigyelt”, mind pedig az igazi kovariancia-mátrix-szal és meghatározzuk a hiba mértékét.
0q
)0(σ
![Page 25: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/25.jpg)
1. modell: iid normális változók
Spektrum
λ = 1, N-szeresen degenerált
A zaj felbontja a degenerációt és az
egyetlen sajátértékből egy sávot csinál
1
0
C =
![Page 26: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/26.jpg)
Az 1. modellnek megfelelő „empirikus” kovariancia-mátrix a Wishart mátrix
Ha N és T →∞ úgy, hogy a hányadosuk N/T <1 fix (termodinamikai limesz), akkor ennek az empirikus kovariancia-mátrixnak a spektruma a Wishart vagy Marchenko-Pastur spektrum (sajátérték-eloszlás):
ahol
( )( )( )
2min maxT
N
2
1 Nmax min T
![Page 27: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/27.jpg)
2. modell: egy-faktor vagy piac modell
Spektrum:Egyszeres sajátérték:
λ1=1+ρ(N-1) ~ O(N)sajátvektor: (1,1,1,…)
λ2 = 1- ρ ~ O(1)(N-1) – szeresen
degenerált
ρ
1
![Page 28: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/28.jpg)
A 2. modellnek megfelelő empirikus kovariancia-mátrix spektruma még mindig a Marchenko – Pastur spektrum, plusz egy izolált, nagy, Frobenius – Perron sajátérték (a piac).
![Page 29: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/29.jpg)
3. modell: piac + szektorok
Ezt a modellt közgazdászok is tanulmányozták
1
1
0)(~)()1(1 10111 NONNN
)(~)1(1 110112 NONN egyszeres
1
1N
N- szeresen degenerált
)1(~1 13 O
1N
NN - szeresen degenerált
![Page 30: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/30.jpg)
A 3. modellnek megfelelő empirikus kovariancia-mátrix spektruma a Marchenko – Pastur spektrumból, a piacnak megfelelő nagy sajátértékből és egy, a kettő közé eső sávból áll. Ha elejtjük a szektorok ekvivalenciáját, akkor a paraméterek megfelelő beállításával elérhetjük, hogy a valóságos piacon megfigyelt empirikus kovariancia-mátrixokéhoz hasonló spektrumot kapjunk (Noh model)
![Page 31: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/31.jpg)
Mérések ezeken a játék-modelleken
• Az optimális portfolió relatív hibáját jellemző mérték valószínűségi változó, amely mintáról mintára fluktuál.
• Ugyancsak ingadoznak az optimális portfolió súlyai is.
0q
![Page 32: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/32.jpg)
qo eloszlása a minták fölött
![Page 33: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/33.jpg)
qo várhatóértékének változása N/T-vel
![Page 34: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/34.jpg)
A hiba divergenciája egy algoritmikus fázisátmenetet jelez
(I.K., Sz. Pafka, G. Nagy)• A kovariancia-mátrix rangja min{N,T}• Az N/T = 1 limeszben a sajátértékek sávjának
alsó éle zérushoz tart, az alsó él körül sok kis sajátérték található – sok lágy módus.
• Az N/T = 1 a rendszer kritikus pontja• A kritikus ponthoz közeledve skálatörvényeket
találunk, pl.a portfolió hibájának várhatóértéke: ,
szórása módon divergál.
• T<N-re zéró-módusok lépnek fel, az optimalizáció értelmetlen
TN
q
1
10
)1()( 0
rN
constq
![Page 35: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/35.jpg)
A rendparaméter vektor fluktuációi: N=100 iid normális változóból álló portfolió súlyainak eloszlása adott mintában, T=500
![Page 36: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/36.jpg)
Egy adott eszköz súlyának ingadozása mintáról mintára, nem-átfedő ablakok,
N=100, T=500
![Page 37: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/37.jpg)
Egy adott eszköz súlyának ingadozása mintáról mintára, egyesével léptetett
ablak, N=100, T=500
![Page 38: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/38.jpg)
RMT szűrés után a portfolió hibája elfogadható mértékre csökken és be tudunk hatolni a T<N tartományba is
![Page 39: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/39.jpg)
Véges térfogatA short selling kizárása, vagy bármely olyan mellékfeltétel bevezetése, amely az optimalizáció értelmezési tartományát végessé teszi, a szűréshez hasonlóan elnyomja a végtelen fluktuációkat. Azonban a rendparaméter vektor komponensei (vagyis a súlyok) N/T=1-hez közeledve még mindig vadul ingadoznak és nagy részük kitapad a tartomány falára, miközben mintáról mintára mindig más súlyok válnak zérussá. A kritikus pont körül a Markowitz-feladat megoldása nem szolgálhat racionális döntéshozatal alapjául.
![Page 40: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/40.jpg)
Univerzalitás
Numerikusan számos különböző piacmodellt, különböző kockázati mértéket és különböző háttér-folyamatot vizsgáltunk meg. A kritikus pont értéke és az együtthatók változnak, de eddig nem találtunk meggyőző evidenciát a kritikus exponensek változására – nem látjuk az univerzalitási osztály határait.
![Page 41: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/41.jpg)
Hogy nem vették korábban észre?
• A skálázás gondolata nem merült fel• Az ökonométerek soha nem az N/T=fix,
N,T →∞ , hanem az N=fix, T→∞ limeszt vizsgálták, noha a banki portfóliók mindig is nagyok voltak, a hedge-fundok megjelenésével pedig óriásivá nőttek.
• A súlyok instabilitása mindennapi tapasztalat, de az, hogy a becslési hiba ténylegesen divergálna, soha nem merült fel. Minthogy ragaszkodtak az empirikus adatokhoz (azokból pedig kevés van), nem vizsgálták a minták fölötti ingadozásokat.
• A véletlen mátrixok, kritikus jelenségek, zéró módusok, stb. fogalma teljesen idegen a közgazdászok számára.
• A probléma különböző aspektusai nem álltak össze olyan egységes képpé, amilyet csak a fázisátalakulás koncepció tud nyújtani.
![Page 42: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/42.jpg)
Replikák• Bármely konvex optimalizációs feladathoz
hozzárendelhetünk egy statisztikus fizikai problémát, ha a célfüggvényt előléptetjük Hamilton-függvénnyé, bevezetünk egy fiktív hőmérsékletet, a végén pedig a nulla hőmérsékleti limeszt tekintjük.
• Az idősor-szegmensek (minták) fölötti átlagolás olyan, mint a quenched averaging a rendezetlen rendszerek elméletében: az állapotösszeg logaritmusát kell átlagolni.
• Az átlagolást ekkor a replika-trükk segítségével végezhetjük el. (NB: mióta Guerra és Talagrand szigorúan megalapozták az SK modell Parisi-féle megoldását, akár replika-módszernek is hívhatnánk.)
![Page 43: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/43.jpg)
A replikák első alkalmazása egy pénzügyi problémára: az ES fázishatár (A. Ciliberti,
I.K., M. Mézard)Az ES egy magas β küszöb fölötti veszteségek átlaga
(feltételes várhatóérték). Népszerű az elméleti kutatók körében és terjed a gyakorlatban is. Ráadásul, Uryasev és Rockafellar megmutatták, hogy az ES optimalizációja visszavezethető lineáris programozásra, melyre rendkívül gyors algoritmusok léteznek.
Az ES alatt optimalizált portfoliók sokkal zajosabbak, mint akár a szórás, akár az abszolút eltérés esetén. Az ES kritikus pontja mindig N/T =1/2 alatt van és függ a küszöbtől, tehát az N/T- β síkon egy fázishatárt rajzol ki.
Az ES mérték véges N és T mellett bizonyos valószínűséggel alulról nem korlátossá válik és ilyenkor az optimalizáció nem hajtható végre!
Az átmenet véges N,T-re sima, N,T →∞ esetén ugrásszerű. A fázishatár azt a tartományt választja el, ahol az optimalizáció végrehajtható, attól, ahol nem.
![Page 44: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/44.jpg)
A feladat megfogalmazása• A hozamok idősora:
• A célfüggvény:
• A feladat változói:• A lineáris programozási feladat:
• Normálás:
![Page 45: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/45.jpg)
Asszociált statisztikus mechanikai probléma
• Az állapotösszeg:
• A szabadenergia:
• A célfüggvény optimális értéke:
![Page 46: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/46.jpg)
Az állapotösszeg
• Lagrange-multiplikátorok:
![Page 47: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/47.jpg)
Replikák
• Triviális azonosság:
• A rendszert n példányban képzeljük el:
• Az n-szeres rendszer eloszlásfüggvénye:
![Page 48: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/48.jpg)
Átlagolás a véletlen mintákra
ahol
• Rendparaméter mátrix:
![Page 49: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/49.jpg)
Replika-szimmetrikus Ansatz
• Szimmetria-meggondolások alapján:
• Nyeregpont-feltétel:
ahol
![Page 50: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/50.jpg)
A lineáris programozási feladat megoldhatóságának
feltételeA paraméter jelentése:
A fázishatár egyenlete:
![Page 51: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/51.jpg)
![Page 52: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/52.jpg)
A limeszben
• A probléma átmegy a maximális veszteség minimax feladatába:
Ebben a limeszben a fázishatár közvetlen geometriai meggondolással meghatározható (I.K., Sz. Pafka, G. Nagy)
![Page 53: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/53.jpg)
A minimax probléma megoldhatóságának
valószínűsége• T>N –re a megoldás valószínűsége (bármely
elliptikus mögöttes eloszlásra):
(Ez a probléma izomorf bizonyos operációkutatási ill. véletlen geometriai feladatokkal: Todd, M.J. (1991), Probabilistic models for linear programming, Math. Oper. Res. 16, 671-693. )
• Nagy N és T -re, p átmegy a hiba-függvénybe.• Ha N,T→ ∞, az átmenet élessé válik N/T=1/2-nél.
1
11
11
2
T
NkT k
Tp
![Page 54: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/54.jpg)
![Page 55: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/55.jpg)
![Page 56: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/56.jpg)
Konklúziók
P.W. Anderson: The fact is that the techniques which were developed for this apparently very specialized problem of a rather restricted class of special phase transitions and their behavior in a restricted region are turning out to be something which is likely to spread over not just the whole of physics but the whole of science.
![Page 57: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/57.jpg)
Hasonló szellemben...• Azt gondolom, hogy az itt tárgyalt jelenség, az
információhiányból adódó becslési-hiba-katasztrófa lényegesen szélesebb körben fellép, mint a befektetési döntések szűk problémája. (Pl. sokváltozós lineáris regresszió, technológiai, gazdasági jellegű lineáris programozási feladatok, microarrays, stb.)
• Minden olyan esetben, amikor valamely jelenséget sok tényező befolyásol, de korlátos mennyiségű információ áll róla rendelkezésünkre, számolnunk kell az elkövetett hiba kritikus divergenciájával és a minták fölötti óriási fluktuációkkal.
![Page 58: Statisztikus fizika és pénzügyek](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062305/56815168550346895dbf9a4b/html5/thumbnails/58.jpg)
Kicsit tágabb horizonton…Azt gondolom, hogy az emberiség előtt áll legfontosabb problémák jó részét a társadalomtudományok oldhatnák meg, de ehhez ki kellene nőniük jelenlegi, mágikus gondolkodástól és vágyfantáziáktól áthatott állapotukból. Amikor azonban a társadalomról kvantitatív modelleket alkotunk, szembekerülünk azzal a nehézséggel, hogy kísérletek nem végezhetők, a történelem nem ismételhető meg, az idősorok nevetségesen rövidek a szükséges magyarázó változók számához képest, és meg kell küzdenünk egy pontosan olyan természetű problémával, mint amit itt egy speciális esetben illusztráltam.