STATISZTIKAI ALAPISMERETEK

STATISZTIKA Tmegesen elfordul jelensgek szmbavtelvel, az gy nyert adatok elemzsvel foglalkoz tudomny

Diszciplnk: biometria, kemometria, demogrfia, gazdasgi statisztika, politikai statisztika stb.

Ler statisztika:

Adathalmazok rendszerezse, sszefoglalsa, az adatok tmrebb formban trtn lersa

Kvetkeztet (matematikai) statisztika:

Minta alapjn a teljes statisztikai sokasgot jellemz becslsek, felttelezsek hipotzisek fellltsa s ellenrzse

ALAPFOGALMAK

Statisztikai sokasg:

Ismrv:

Adat:

Azon egyedek sszessge, amelyek valamely tulajdonsgrl tjkozdni akarunk

Az egyedek vizsglt tulajdonsga

Az egyedeket az ismrv szerint mennyisgileg vagy minsgileg jellemz informci

Nv Nem Magassg Tmeg Szletsi hely Szletsi v Hajszn

T. Jzsi Ffi 171 77 Mak 1987 Barna

N. Bla N 158 46 Budapest 1988 Szke

B. Krisztina N 167 58 Szeged 1988 Szke

K. Ferenc Ffi 176 81 Budapest 1985 Fekete

Nv Nem Szorgalom Tmeg BMI Testvrek

T. Jzsi Ffi Kzepes 77 26,33 1

N. Bla N J 46 18,42 3

B. Krisztina N Rossz 58 20,79 2

K. Ferenc Ffi Rossz 81 26,15 0

F adattpusok

Nominlis adat: nem llthatk sorrendbe

Ordinlis adat: sorrendbe llthat, de az egyes adatok kzt nem lehet tvolsgot meghatrozni

Mrhet adat: sorrendbe llthat, a lehetges adatok kzti klnbsgek egyenlk

Arnymr adat: alapadatokbl jellemzen osztssal keletkez szrmaztatott adat

KVALITATV

KVANTITATV

50 tizennyolc ves lny testmagassga (cm)

154, 156, 157, 157, 161, 162, 162, 166, 166, 167, 168, 168, 168, 169, 171, 172, 174, 174, 175, 176, 179, 157, 158, 158, 159, 161, 163, 163, 163, 166, 170, 173, 174, 177, 159, 160, 162, 164, 164, 165, 169, 170, 155, 158, 164, 165, 168, 169, 171, 180

Adatok gyakorisga

Gyakorisg: az adatok szma az adatsorban

154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

1 1 1 3 3 2 1 2 4 3 3 2 3 1 4 3 2 2 1 1 2 1 1 1 0 1 1

01

2

3

4

5

154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

1. lps: az RTKTARTOMNY meghatrozsa

2. lps: az rtktartomnyt (ltalban) egyenl INTERVALLUMOKRA osztjuk

3. lps: megszmoljuk az egyes csoportokba es adatokat (GYAKORISG)

Gyakorisgi tblzat (kontingenciatblzat) elksztse

154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

1 1 1 3 3 2 1 2 4 3 3 2 3 1 4 3 2 2 1 1 2 1 1 1 0 1 1

150-155 156-160 161-165 166-170 171-175 176-180

2 10 14 13 7 4

150-160 161-170 171-180

12 27 11

01

2

3

4

5

154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

0

2

4

6

8

10

12

14

16

150-155 156-160 161-165 166-170 171-175 176-180 0

5

10

15

20

25

30

150-160 161-170 171-180

Relatv gyakorisg: az adatok hnyadrsze esik az adott csoportba(a gyakorisg s az adatok szmnak hnyadosa)

Csoport 150-155 156-160 161-165 166-170 171-175 176-180

Gyakorisg 2 10 14 13 7 4

Relatv gyakorisg0,04 0,2 0,28 0,26 0,14 0,08

4% 20% 28% 26% 14% 8%

0

2

4

6

8

10

12

14

16

150-155 156-160 161-165 166-170 171-175 176-180

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

150-155 156-160 161-165 166-170 171-175 176-180

A gyakorisgok brzolsnak lehetsgei

1. Oszlopdiagram

2. Szalagdiagram

3. Hisztogram

0

5

10

15

150-155 156-160 161-165 166-170 171-175 176-180

0 2 4 6 8 10 12 14 16

150-155

156-160

161-165

166-170

171-175

176-180

0

2

4

6

8

10

12

14

16

150-155 156-160 161-165 166-170 171-175 176-180

4. Poligon (vonaldiagram)

0

2

4

6

8

10

12

14

16

150-155 156-160 161-165 166-170 171-175 176-180

150-155; 4%

156-160; 20%

161-165; 28%

166-170; 26%

171-175; 14%

176-180; 8%

5. Krdiagram

150-160; 12

161-170; 27

171-180; 11

Kumulatv gyakorisg

ltalunk meghatrozott kszbrtkeknl kisebb elemek szma

154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

1 1 1 3 3 2 1 2 4 3 3 2 3 1 4 3 2 2 1 1 2 1 1 1 0 1 1

1 2 3 6 9 11 12 14 18 21 24 26 29 30 34 37 39 41 42 43 45 46 47 48 48 49 50

0

10

20

30

40

50

60

155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

Statisztikai mutatk

Clunk, hogy az adatsorokat kevs szmadattal jellemezzk

1. Kzprtkek A minta tendencijt jellemzik(tlag, medin kvantilisek, mdusz)

2. Szrds A minta tlagtl val eltrst jellemzik(terjedelem, interkvartilis flterjedelem, tlagos eltrs, variancia, szrs, relatv szrs)

3. Trend A sokasg egyedeire adott, rtkbecsls(regresszi-analzis)

4. Adatok kzti sszefggsek (korrelci, faktoranalzis)

5. Reprezentativits vizsglata A mintavtel mennyire jellemzi a sokasgot(t-prba, F-prba)

Kzprtkek

Szmtani kzp Az adott mintba tartoz elemek sszegt osztjuk a minta elemszmval

= =1

=1 + 2 ++

1. Csoportostatlan adatok esetn

2. Csoportostott adadok esetn

= =1

m a csoportok szmau a csoportkzprtkekf a gyakorisgokn a minta elemszma

Csoport Gyak.Csoport-

kzpCsoport Gyak.

Csoport-

kzp

154 165 154 1 154 150 - 155 2 152,5 305 151 - 160 12 155,5 1866

155 166 155 1 155 156 - 160 10 158 1580 161 - 170 27 165,5 4468,5

156 166 156 1 156 161 - 165 14 162,5 2275 171 - 180 11 175,5 1930,5

157 166 157 3 471 166 - 170 13 168 2184 50 8265

157 167 158 3 474 171 - 175 7 172,5 1207,5 tlag 165,3

157 168 159 2 318 176 - 180 4 178 712

158 168 160 1 160 50 8263,5

158 168 161 2 322 tlag 165,27

158 168 162 4 648

159 169 163 3 489

159 169 164 3 492

160 169 165 2 330

161 170 166 3 498

161 170 167 1 167

162 171 168 4 672

162 171 169 3 507

162 172 170 2 340

162 173 171 2 342

163 174 172 1 172

163 174 173 1 173

163 175 174 2 348

164 176 175 1 175

164 177 176 1 176

164 179 177 1 177

165 180 178 0 0

tlag 165,5 179 1 179

180 1 180

50 8275

tlag 165,5

Eredeti

adatokGyakorisgok 1. csoportosts 2. csoportosts

Medin Az az rtk, aminl a minta fele nagyobb (a msik fele pedig kisebb).

1. Csoportostatlan adatok esetn

A mintt nagysg szerint sorbarendezzk!!Pratlan szm adat esetn a kzps adat a medin

( +12

)

Pros szm adat esetn a kzps kt adat tlaga a medin

(2+

2+1

2)

1 2

23 24

1 2 3 4

18 23 24 27

1 2 3 4 5 6

12 18 23 24 27 32

1 2 3 4 5 6 7 8

10 12 18 23 24 27 32 51

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6 10 12 18 23 24 27 32 51 55

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 6 10 12 18 23 24 27 32 51 55 60

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

2 4 6 10 12 18 23 24 27 32 51 55 60 65

1 2 3

15 17 20

1 2 3 4 5

12 15 17 20 22

1 2 3 4 5 6 7

10 12 15 17 20 22 25

1 2 3 4 5 6 7 8 9

7 10 12 15 17 20 22 25 30

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

6 7 10 12 15 17 20 22 25 30 31

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

3 6 7 10 12 15 17 20 22 25 30 31 45

2. Csoportostott adadok esetn

CsoporthatrokAbszolt

gyakorisgKumulatv gyakorisg

25-29 2 2

30-34 6 8

35-39 7 15

40-44 7 22

45-49 10 32

50-54 10 42

55-59 4 46

60-64 3 49

65-69 1 50

1. Az 50-es mintban a 25. elem csoportjnak kivlasztsa

2. A 25. elem a csoport 3. tagja

3. A csoport 10 tag s 5 hosszsg

4. A medin: 45 + 3 5

10= 45,5

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

80,00%

90,00%

100,00%

25 30 35 40 45 50 55 60 65

Mdusz A minta leggyakoribb eleme (vagy elemei)

0

1

2

3

4

5

154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

0

2

4

6

8

10

12

14

16

150-155 156-160 161-165 166-170 171-175 176-180

Csoportostott adatok esetn a legnagyobb gyakorisg csoport csoportkzepe a mdusz. (Itt 163)

Tipikus gyakorisgi eloszlsok s a kzprtkmutatk

Szimmetrikus(mdusz medin tlag)

FerdeBalra ferdlt: tlag < medin < mduszJobbra ferdlt: mdusz < medin < tlag

Tbbcscs (pl.: bimodlis)

Szrds A minta azon tulajdonsga, hogy az adatok eltrnek a kzprtkektl.

tlag Medin Mdusz

A csoport 4 8 8 10 10 10 13 17 18 20 11,8 10 10

B csoport 5 8 10 10 10 14 14 15 16 16 11,8 12 10

C csoport 9 10 10 10 12 12 13 13 14 15 11,8 12 10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0-4 5-9 10-14 15-19 20-24

A csoport

B csoport

C csoport

Terjedelem A legnagyobb s legkisebb adat klnbsge

Kvartilisek Els kvartilis: az az adat, amelynl az adatok negyede kisebbMsodik kvartilis: medinHarmadik kvartilis: az az adat, amelynl az adatok negyede nagyobb

Kiszmtsuk a medinhoz hasonl, a sorbarendezett adatokat 4 egyenl csoportra osztjuk

0

10

20

30

40

50

60

155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

Interkvartilis flterjedelem A nagysg szerint sorballtott minta elemeinek kzps 50%-t tartalmaz rtktartomny fele

5 12 14 17 20 35 36 37 45 51 72 75 84 87 89 90 92 95 97 99

Medin: 61,5

Els kvartilis: 27,5 Harmadik kvartilis: 89,5

Interkvartilis flterjedelem: (89,5-27,5)/2 = 31

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tlagos eltrs A minta elemeinek tlagtl val eltrseinek tlaga

Kiszmtsa csoportostatlan adatokbl: =1

5 12 14 17 20 35 36 37 45 51 72 75 84 87 89 90 92 95 97 99

52,6 45,6 43,6 40,6 37,6 22,6 21,6 20,6 12,6 6,6 -14,4 -17,4 -26,4 -29,4 -31,4 -32,4 -34,4 -37,4 -39,4 -41,4

Az adatok tlaga: 57,6 Az eltrsek tlaga: 30,4

Kiszmtsa csoportostott adatokbl: =1

m a csoportok szmau a csoportkzprtkekf a gyakorisgokn a minta elemszma

CsoportGyakorisg

(f)

Csoportkzp

(u)

Csoportkzp

eltrse

az tlagtl

f*u

150 - 155 2 152,5 12,77 25,54 305

156 - 160 10 158 7,27 72,7 1580

161 - 165 14 162,5 2,77 38,78 2275

166 - 170 13 168 2,73 35,49 2184

171 - 175 7 172,5 7,23 50,61 1207,5

176 - 180 4 178 12,73 50,92 712

50 8263,5

tlag 45,67 165,27

Variancia (szrsngyzet) Kiszmtsa az tlagos eltrshez hasonlan trtnik, csak az tlagtl val eltrsek helyett, azok ngyzeteit hasznljuk

Csopotostatlan adatok esetn: =1

2

Csoportostott adatok esetn: =1

2

Szrs (s): a variancia ngyzetgyke

Varicis egytthat:

100