Statistische Grundlagen - Maße für die zentrale Tendenz (Mittelwerte) (Mittelwerte) -...
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Statistische GrundlagenStatistische Grundlagen
- Maße für die zentrale Tendenz - Maße für die zentrale Tendenz (Mittelwerte)(Mittelwerte)- Streuungsmaße- Streuungsmaße- Zusammenhangsmaße- Zusammenhangsmaße
Beschreibende (deskriptive) StatistikArbeitsablauf der statistischen Bearbeitung von Testergebnissen
1. Ordnung und Darstellung verhältnisskalierter Daten• Tabellarische Ordnung
1. Urliste2. Primäre Tafel3. Häufigkeitstabelle (evtl. mit Klassenbildung)
• Graphische Darstellung1. Histogramm oder Polygonzug
2. Berechnung des 1. Modus2. Median3. arithmetischen Mittels
Skalenniveaus
• Intervallskala• Rangordnung• gleiche Abstände• Beispiel: Temperaturskala in °C
• Ordinalskala• Rangordnung• Beispiele: Plazierungen, trifft zu - trifft weniger zu - trifft nicht zu
• Nominalskala• keine Voraussetzungen• Beispiel: Ja/Nein
• Verhältnisskala• absoluter Nullpunkt• Rangordnung• gleiche Abstände• Beispiele: m, kg, s, Temperaturskala in °K
Median (Zentralwert)
- Wert, bei dem 50% der Messwerte erreicht (kummuliert) sind. - Ermittlung aus einer geordneten Reihe von Messwerten.
6
14,55
14,04
13,33
13,02
12,91
100m-Zeit [s]i
Median bei 5 Messwerten: 13,3 s
Median bei 6 Messwerten:13,65 s (13,3 + 14,0):214,9
Voraussetzung: mindestens Ordinalskala!
Modus (Gipfelwert)
- Wert, der am häufigsten vorkommt.
Modus bei 1,45 m
11,657
21,606
31,555
61,504
81,453
41,402
31,351
Anzahl nHochsprung-höhe [m]i
Voraussetzung: Nominalskala
41,6514,23
416,54142,30
38,2413,2110
35,6412,639
43,4015,128
35,4213,117
38,6413,396
41,8413,115
35,8213,774
46,6216,303
55,2415,662
45,6816,001
Speer (xS)Kugel (xK)i
65,4110
54,416 S
23,1410
3,142 K
xn
x ii
n
1
1
23,1410
3,142 K
65,4110
54,416 S
Mittelwert ()
Voraussetzung: mindestens Intervallskala!
Beschreibende (deskriptive) StatistikArbeitsablauf der statistischen Bearbeitung von Testergebnissen
1. Ordnung und Darstellung verhältnisskalierter Daten• Tabellarische Ordnung
1. Urliste2. Primäre Tafel3. Häufigkeitstabelle (evtl. mit Klassenbildung)
• Graphische Darstellung1. Histogramm oder Polygonzug
2. Berechnung des Maße für die zentrale Tendenz1. Modus2. Median3. arithmetisches Mittels
3. Berechnung der Streuungsmaße 1. Variationsbreite (Range), R = xmax - xmin
2. Standardabweichung s3. Variabiltätskoeffizient v
Warum Berechnung der Streuungsmaße?- Streuung verschiedener Verteilungen mit gleichem Mittelwert
6,311,39
358,3417,28
-3,41
-6,01
1,75
-6,23
-3,01
0,19
-5,83
4,97
13,59
4,03
(xi - )
1,04
2,56
0,79
1,25
0,71
1,25
0,21
4,28
2,04
3,13
(xi - )2
-1,02
-1,60
0,89
-1,12
-0,84
-1,12
-0,46
2,07
1,43
1,77
(xi - )
11,66
36,17
3,05
38,86
9,08
0,03
34,04
24,66
184,58
16,21
(xi - )2
±s
41,6514,23
416,54 142,30
38,2413,2110
35,6412,639
43,4015,128
35,4213,117
38,6413,396
41,8413,115
35,8213,774
46,6216,303
55,2415,662
45,6816,001
Speer (xS)Kugel (xK)i
sn
x xii
n
1
12
1
( )31,6
9
34,358 Ss
39,19
28,17 Ks
39,19
28,17Ks
31,69
34,358 Ss
Standardabweichung (±s)
sn
x xii
n
1
12
1
( )31,6
9
34,358 Ss
39,19
28,17 Ks
Standardabweichung (±s)
Variabilitätskoeffizient (v)
Z-Transformation
0,09723,14
39,1 Kv
15,065,41
31,6 Sv
-0,839,1
14,23-13,115
Kx
z
03,031,6
41,65-41,845
Sx
z
vs
x
zx x
sii
XK5=13,11
XS5=41,84
Komparative Statistik- Ermittlung der Zusammenhänge zwischen zwei Merkmalen (Korrelationsrechnung)
- Produkt-Moment Korrelation rxy
- X-Y-Punktdiagramm
Korrelation Kugel-Speer
0
10
20
30
40
50
60
12 13 14 15 16 17
Kugelstoßweite [m]
Sp
ee
rwu
rfw
eit
e [
m]
63,48
3,48
9,62
1,55
6,98
2,53
-0,21
2,68
10,28
19,43
7,13
(xiK - K)·(yiS - S)
6,311,39±s
41,6514,23
358,34 416,5417,28 142,30
11,66-3,4138,241,04-1,0213,2110
36,17-6,0135,642,56-1,6012,639
3,051,7543,400,790,8915,128
38,86-6,2335,421,25-1,1213,117
9,08-3,0138,640,71-0,8413,396
0,030,1941,841,25-1,1213,115
34,04-5,8335,820,21-0,4613,774
24,664,9746,624,282,0716,303
184,5813,5955,242,041,4315,662
16,214,0345,683,131,7716,001
(yi - )2(yi - )Speer (yS)(xi - )2(xi - )Kugel (xK)i
r
x x y y
x x y y
xy
ii
n
i
ii
n
ii
n
( ) ( )
( ) ( )
1
2
1
2
1
Korrelation (rxy)
63,48
3,48
9,62
1,55
6,98
2,53
-0,21
2,68
10,28
19,43
7,13
(xiK - K)·(yiS - S)
6,311,39±s
41,6514,23
358,34 416,5417,28 142,30
11,66-3,4138,241,04-1,0213,2110
36,17-6,0135,642,56-1,6012,639
3,051,7543,400,790,8915,128
38,86-6,2335,421,25-1,1213,117
9,08-3,0138,640,71-0,8413,396
0,030,1941,841,25-1,1213,115
34,04-5,8335,820,21-0,4613,774
24,664,9746,624,282,0716,303
184,5813,5955,242,041,4315,662
16,214,0345,683,131,7716,001
(yi - )2(yi - )Speer (yS)(xi - )2(xi - )Kugel (xK)i
r
x x y y
x x y y
xy
ii
n
i
ii
n
ii
n
( ) ( )
( ) ( )
1
2
1
2
1
81,0358,3417,28
63,48
xyr
Korrelation (rxy)
Interpretation des Korrelationskoeffizienten
• Korrelationskoeffizienten bewegen sich im Bereich von -1 bis +1.
• Positive Korrelationen ergeben sich bei Zusammenhängen der Art „je größer die eine Variable, desto größer die andere Variable“
• Negative Korrelationen ergeben sich bei Zusammenhängen der Art „je größer die eine Variable, desto kleiner die andere Variable“
• Werte zwischen 0,7 und 1,0 werden als hohe, Werte zwischen 0,3 und 0,7 als mittlere und Werte zwischen 0 und 0,3 als niedrige Korrelationen bezeichnet. Ein Wert von -1 oder +1 beschreibt einen vollständigen Zusammenhang.
• Die Korrelationsberechnung kann z.B. zur Identifikation von wichtigen biomechanischen Parametern (Kennwerten) und zur Abgrenzung von eher unwichtigen dienen.
Einschränkungen zum Korrelationskoeffizienten
• Nur sinnvoll anwendbar bei linearen Zusammenhängen! Für nichtlineare Zusammenhänge existieren andere Verfahren
• Ein hoher Korrelationskoeffizient sagt noch nichts über einen tatsächlich inhaltlich vorhandenen Zusammenhang aus (Scheinkorrelationen)!
• Durch die falsche Auswahl von Populationen (Selektionsfehler) können Verzerrungen entstehen.
Nichtlineare Zusammenhänge
Parabolischer Zusammenhang
Kein Zusammenhang
Aus: BORTZ, J. (1989). Statistik für Sozialwissenschaftler. Berlin, Heidelberg, New York. Springer
Scheinkorrelation
Scheinkorrelation?Sind gute Golfspieler gegenüber schlechteren die besseren oder die schlechteren Unternehmensführer? Wer erreicht die besseren Renditen?Was meinen Sie? Argumente? Begründungen?
Scheinbar korreliert ein kleines Handicap im Golf mit hohen Renditen durch den Vorstandsvorsitzenden (negative Korrelation)! Ob dies allerdings inhaltlich begründbar ist, bleibt fraglich.Wäre Tiger Woods also der ideale Unternehmensführer?
Was braucht man zum Golferfolg? Disziplin? Konzentration?
Selektionsfehler (Stichprobe mit zu kleiner Streubreite)
Aus: BORTZ, J. (1989). Statistik für Sozialwissenschaftler. Berlin, Heidelberg, New York. Springer
Selektionsfehler (Stichprobe mit zu kleiner Streubreite)
Aus: BORTZ, J. (1989). Statistik für Sozialwissenschaftler. Berlin, Heidelberg, New York. Springer
Regression 100m-Zeit zu Weitsprungleistung
Y = mx + bm = -1,0453504b = 18,87Beispiel: 12,5 * -1,0453504 + 18,87 = 5,87 mr = -0,92
Testverfahren für Gruppenvergleiche (Mittelwertsvergleiche)
Aus:WILLIMCZIK, K. (1997): Statistik im Sport. Hamburg: Czwalina
Stichproben und Grundgesamtheit
Unterschiede zwischen Gruppen?
Mittelwertsvergleiche z.B. mit einem t-Test ermöglichen die Entscheidung, ob sich Gruppen signifikant unterscheiden. Sie überprüfen Hypothesen!
Unterschiede zwischen Gruppen?
Mittelwertsvergleiche z.B. mit einem t-Test ermöglichen die Entscheidung, ob sich Gruppen signifikant unterscheiden. Sie überprüfen Hypothesen!