statistika Uji Kecocokan Model Distribusi Chi Kuadrat Smirnov
-
Upload
putri-suci -
Category
Documents
-
view
224 -
download
10
description
Transcript of statistika Uji Kecocokan Model Distribusi Chi Kuadrat Smirnov
-
Uji Kecocokan Model Distribusi (Uji Chi-kuadrat & Uji Smirnov-Kolmogorov)
-
Uji Kecocokan
Untuk menentukan kecocokan distribusi
frekuensi dari sampel data terhadap fungsi
distribusi peluang, yang diperkirakan dapat
menggambarkan/mewakili distribusi
frekuensi tsb, maka diperlukan pengujian
parameter.
Pengujian parameter yang dapat dipakai:
1) Chi-kuadrat
2) Smirnov-kolmogorov
-
Distribusi dan Uji Chi-Kuadrat
Chi-kuadrat 2 Notasi 2, digunakan untuk menyatakan nilai kritis 2 (2 critical value). Nilai
kritis 2 merupakan nilai numerik pada sumbu 2 dimana luas daerah dibawah kurva
distrtibusi-2 dengan derajat kebebasan disebelah kanan 2, adalah . Gambar
1.1 mengilustrasikan notasi 2, dengan luas daerah di bawah kurva distribusi-2.
Gambar 1.1 Definisi dari notasi 2,
2
kurva 2 = kurva 2 n-1
0 2 ,
Luas daerah arsiran =
-
Tabel 1.1 Distribusi-2 : Luas ujung kurva (curve tail areas)
0.995 0.990 0.975 0.950 0.900 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005
1 0.000 0.000 0.001 0.004 0.016 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
2 0.010 0.020 0.051 0.103 0.211 4.605 5.991 7.378 9.210 10.597
3 0.072 0.115 0.216 0.352 0.584 6.251 7.815 9.348 11.345 12.838
4 0.207 0.297 0.484 0.711 1.064 7.779 9.488 11.143 13.277 14.860
5 0.412 0.554 0.831 1.145 1.610 9.236 11.070 12.832 15.086 16.750
6 0.676 0.872 1.237 1.635 2.204 10.645 12.592 14.449 16.812 18.548
7 0.989 1.239 1.690 2.167 2.833 12.017 14.067 16.013 18.475 20.278
8 1.344 1.647 2.180 2.733 3.490 13.362 15.507 17.535 20.090 21.955
9 1.735 2.088 2.700 3.325 4.168 14.684 16.919 19.023 21.666 23.589
10 2.156 2.558 3.247 3.940 4.865 15.987 18.307 20.483 23.209 25.188
11 2.603 3.053 3.816 4.575 5.578 17.275 19.675 21.920 24.725 26.757
12 3.074 3.571 4.404 5.226 6.304 18.549 21.026 23.337 26.217 28.300
13 3.565 4.107 5.009 5.892 7.041 19.812 22.362 24.736 27.688 29.819
14 4.075 4.660 5.629 6.571 7.790 21.064 23.685 26.119 29.141 31.319
15 4.601 5.229 6.262 7.261 8.547 22.307 24.996 27.488 30.578 32.801
kurva 2 = kurva 2n-1 Luas daerah arsiran =
2 ,
-
16 5.142 5.812 6.908 7.962 9.312 23.542 26.296 28.845 32.000 34.267
17 5.697 6.408 7.564 8.672 10.085 24.769 27.587 30.191 33.409 35.718
18 6.265 7.015 8.231 9.390 10.865 25.989 28.869 31.526 34.805 37.156
19 6.844 7.633 8.907 10.117 11.651 27.204 30.144 32.852 36.191 38.582
20 7.434 8.260 9.591 10.851 12.443 28.412 31.410 34.170 37.566 39.997
21 8.034 8.897 10.283 11.591 13.240 29.615 32.671 35.479 38.932 41.401
22 8.643 9.542 10.982 12.338 14.041 30.813 33.924 36.781 40.289 42.796
23 9.260 10.196 11.689 13.091 14.848 32.007 35.172 38.076 41.638 44.181
24 9.886 10.856 12.401 13.848 15.659 33.196 36.415 39.364 42.980 45.558
25 10.520 11.524 13.120 14.611 16.473 34.382 37.652 40.646 44.314 46.928
26 11.160 12.198 13.844 15.379 17.292 35.563 38.885 41.923 45.642 48.290
27 11.808 12.878 14.573 16.151 18.114 36.741 40.113 43.195 46.963 49.645
28 12.461 13.565 15.308 16.928 18.939 37.916 41.337 44.461 48.278 50.994
29 13.121 14.256 16.047 17.708 19.768 39.087 42.557 45.722 49.588 52.335
30 13.787 14.953 16.791 18.493 20.599 40.256 43.773 46.979 50.892 53.672
32 15.134 16.362 18.291 20.072 22.271 42.585 46.194 49.480 53.486 56.328
34 16.501 17.789 19.806 21.664 23.952 44.903 48.602 51.966 56.061 58.964
36 17.887 19.233 21.336 23.269 25.643 47.212 50.998 54.437 58.619 61.581
38 19.289 20.691 22.878 24.884 27.343 49.513 53.384 56.895 61.162 64.181
40 20.707 22.164 24.433 26.509 29.051 51.805 55.758 59.342 63.691 66.766
-
Distribusi dan Uji Chi-Kuadrat
Distribusi Chi-Kuadrat memiliki sifat sebagai berikut:
1. Seluruh nilainya positif
2. Tidak simetris
3. Bentuk distribusi tergantung pada derajat kebebasannya
4. Mean dari distribusi 2 adalah derajat kebebasannya ( )
5. Bentuk kurve (distribusi chi square) menjulur positif.
Semakin besar derajat kebebasannya, semakin mendekati
distribusi normal.
6. Derajat kebebasannya () = k 1atau k 3, di mana k
adalah jumlah kategori atau jumlah kelas bentuk kurve
atau distribusi chi square tidak ditentukan oleh banyaknya
sampel, melainkan oleh derajat kebebasan-nya.
Chi-kuadrat 2
-
Chi-kuadrat 2 beberapa ukuran statistik deskriptif untuk distribusi chi-kuadrat.
Mean (Nilai Harapan):
( )x E X (A)
Varians 2 2x (B)
Kemencengan (skewness)
21 3
8
(C)
Keruncingan (kurtosis)
2 4
43 1
(D)
-
Chi-kuadrat 2
Beberapa sifat yang terkait dengan distribusi Chi-Kuadrat adalah
a. Bila nXXXX ,,,, 321 merupakan variabel acak yang masing-masing berdistribusi
normal dengan mean dan variansi 2 dan seluruh variabel acak tersebut bebas
satu sama lain, maka variabel acak dengan
2
1
n
i
iXY
mempunyai distribusi
Chi-Kuadrat dengan derajat kebebasan .
b. Bila sampel acak sebanyak n dari suatu populasi berdistribusi normal dengan mean
dan variansi 2 diambil, dan pada setiap sampel tersebut dihitung variansi 2S , maka
variabel acak
2
22 1
Sn memiliki distribusi Chi-Kuadrat dengan derajat
kebebasan 1 n .
-
Uji Chi-Square
-
Contoh Soal 1 Contoh : Suatu perusahaan cat mobil ingin mengetahui warna cat apa
yang harus lebih banyak diproduksi. Untuk itu dilakukan
penelitian. Berdasarkan pengamatan selama satu minggu di jalan
protokol terhadap mobil-mobil pribadi, diperoleh data : 1000
warna biru, 900 warna merah, 600 warna putih, 500 warna hitam.
a. Hipotesis :
H0 : Jumlah masyarakat yang memilih 4 warna mobil
tidak berbeda (peluang 4 warna cat untuk dipilih
masyarakat adalah sama)
H1 : Jumlah masyarakat yang memilih 4 warna mobil
berbeda (peluang 4 warna cat untuk dipilih
masyarakat adalah tidak sama)
b. Data yang terkumpul disajikan dalam tabel berikut :
-
Chi Square (Frekuensi Yang Diobservasi dan Yang Diharapkan pemilih warna
Mobil)
Warna
Mobil
fo
fn
(fo-fn)
(fo-fn)
(fo-fn)
fn
Biru
Merah
Putih
Hitam
1000
900
600
500
750
750
750
750
250
150
- 150
- 250
62.500
22.500
22.500
62.500
83,33
30.000
30.000
83,33
Jumlah
3000
3000
0
170.000
226,67
-
Chi Square Catatan : Frekuensi yang diharapkan (fo) untuk setiap kategori =
3000 : 4 = 750.
c. Pengujian Hipotesis :
Berdasarkan perhitungan diatas diketahui X = 226,67
Dalam hal ini d.f = n-1 = 4-1 = 3. Berdasarkan d.f = 3 dan taraf
kesalahan 5 %, maka diperoleh nilai Chi Square tabel = 7,815 (lihat
tabel nilai Chi Square) ternyata nilai Chi Square hitung lebih besar
dari nilai Chi Square tabel (226,67 > 7,815). Dengan demikian Ho
ditolak dan Ha diterima.
d. Kesimpulan :
Jumlah masyarakat yang memilih 4 warna cat mobil berbeda, dan
berdasarkan data, warna cat biru yang paling banyak diminati
masyarakat.
e. Saran : Disarankan agar warna cat yang diproduksi paling banyak
adalah warna biru.
-
Rahmad Wijaya, 2003 13
Contoh Soal 2
Contoh :
Manajer Personalia ingin melihat apakah pola absensi terdistribusi secara
merata sepanjang enam hari kerja. Hipotesis nol yang akan diuji adalah
Absensi terdistribusi secara merata selama enam hari kerja. Taraf nyata
yang digunakan adalah 0,05. Hasil dari sampel ditujukan sebagai berikut :
Hari Jumlah Absen
Senin 12
Selasa 9
Rabu 11
Kamis 10
Jumat 9
Sabtu 9
Ujilah hipotesis tersebut !
-
Rahmad Wijaya, 2003 14
Langkah-langkah yang dilakukan sbb :
a. Buat formulasi hipotesis :
Ho : tidak ada perbedaan antara frekuensi yang teramati dengan
frekuensi yang diharapkan.
H1 : ada perbedaan antara frekuensi yang teramati dengan frekuensi
yang diharapkan.
b. Tentukan taraf nyata yang akan digunakan dalam pengujian.
Misalnya : 0,05
c. Pilih uji statistik yang sesuai dengan hipotesis. Dalam kasus diatas
dipergunakan rumus :
dimana :
fo = besarnya frekuensi yang teramati.
fn = besarnya frekuensi yang diharapkan.
n
no
f
ffX
22 )(
-
Rahmad Wijaya, 2003 15
d. Buat aturan pengambilan keputusan dengan jalan membandingkan nilai
X2 dengan nilai kritis (X2 tabel). Nilai kritis diperoleh dari tabel X2
dengan df = k-1 dan taraf nyata 0,05. Dari tabel X2(0,05;5) diperoleh
nilai 11,070. Aturan pengambilan keputusannya : hipotesis nol
diterima bila X2 < 11,070 dan jika X2 11,070, maka hipotesis nol
ditolak dan menerima hipotesis alternatif.
e. Lakukan pengambilan sampel dan hitung nilai chi square. Buat
keputusan untuk menolak atau menerima hipotesis nol.
Penghitungan Chi Square :
Hari fo fe fo- fe (fo-fe)2 (fo-fe)
2/fe
Senin 12 10 2 4 0,4
Selasa 9 10 -1 1 0,1
Rabu 11 10 1 1 0,1
Kamis 10 10 0 0 0
Jum'at 9 10 -1 1 0,1
Sabtu 9 10 -1 1 0,1
Jumlah 60 0 0,8
Jadi X2 = 0,8. Karena X2 < 11,070, maka hipotesis nol diterima yang
berarti absensi terdistribusi secara merata.
-
Rahmad Wijaya, 2003 16
Contoh Soal 3
Contoh : Tabel berikut adalah jumlah mahasiswa yang terdaftar
berdasarkan fakultas di Universitas Indonesia Raya.
Fakultas Jml mhs Jml mhs
terdaftar yg mengembalikan kuesioner.
Seni dan sain 4700 90
Administrasi bisnis 2450 45
Pendidikan 3250 60
Teknik 1300 30
Hukum 850 15
Farmasi 1250 15
Univ. College 3400 45 Editor majalah mahasiswa memilih nama-nama secara acak dari masing-masing fakultas dan mengirim kuesioner. Jumlah mahasiswa yang mengembalikan kuesioner menurut fakultas ditunjukkan pada kolom 2 dalam tabel diatas. Dengan taraf nyata 5 %, tentukan apakah jumlah mahasiswa yang mengembalikan kuesioner menurut fakultas dapat mencerminkan populasi mahasiswa di Universitas Indonesia
-
Rahmad Wijaya, 2003 17
Penyelesaian :
1. Formulasi hipotesis.
Ho : jumlah mahasiswa yang mengembalikan kuesioner mencerminkan
populasi mahasiswa di universitas Midwestern.
H1 : jumlah mahasiswa yang mengembalikan kuesioner tidak
mencerminkan populasi mahasiswa di universitas Midwestern.
2. Taraf nyata 5 %
3. Pilih uji statistik (sama seperti pembahasan diatas)
4. Aturan pengambilan keputusan :
= k 1 = 7 - 1 = 6
X2 tabel = 12,592
Ho diterima jika X2 < 12,592
Ho ditolak jika X2 12,592 (menerima H1)
5. Hitung X2
Untuk menghitung X2 perlu dilakukan transformasi data. Data jumlah mahasiswa terdaftar dihitung proporsinya dengan jumlah kuesioner
yang kembali. Haslnya seperti pada tabel berikut :
-
Rahmad Wijaya, 2003 18
Jml Mhs Jml mhs yg Proporsi mhs
Fakultas terdaftar mengembalikan terdaftar
kuesioner
Seni dan sain 4700 90 0,27
Administrasi bisnis 2450 45 0,14
Pendidikan 3250 60 0,19
Teknik 1300 30 0,08
Hukum 850 15 0,05
Farmasi 1250 15 0,07
Univ. College 3400 45 0,20
Total 17200 300 1
Kemudian hitung X2 dengan fo = jumlah mahasiswa
yang mengembalikan kuesioner, fn = jumlah mahasiswa
terdaftar yang dihitung dari proporsi dikalikan dengan
jumlah total mahasiswa yang mengembalikan
kuesioner. Hasilnya sebagai berikut :
4700 / 17200
-
Rahmad Wijaya, 2003 19
Fakultas fo Proporsi fe (fo-fe)^2/fe
Seni dan sain 90 0,27 81 1,00
Administrasi bisnis 45 0,14 42 0,21
Pendidikan 60 0,19 57 0,16
Teknik 30 0,08 24 1,50
Hukum 15 0,05 15 0
Farmasi 15 0,07 21 1,71
Univ. College 45 0,20 60 3,75
Total 300 1,00 300 8,33
Kesimpulan hipotesis nol diterima, karena X2 <
12,592 (8,33 < 12,592) berarti jumlah mahasiswa
yang mengembalikan kuesioner
mencerminkan populasi mahasiswa di
universitas Midwestern.
300*0,07
-
Uji Smirnov-Kolmogorov
Uji kecocokan Smirnov-Kolmogorov, sering
juga disebut Uji kecocokan non parametrik,
karena pengujiannya tidak menggunakan
fungsi distribusi tertentu.
-
Prosedur Smirnov-Kolmogorov
-
4. berdasarkan tabel nilai kritis (Smirnov
Kolmogorov test) tentukan harga Do
Apabila D < Do maka distribusi teoritis yg
dipakai untuk menentukan pers.
distribusi dapat digunakan.
Apabila D > Do maka distribusi teoritis yg
dipakai untuk menentukn pers.
Distribusi tidak dapat digunakan.
-
Tabel 5. Nilai Kritis Do utk Uji Smirnov-Kolmogorov
N
0,2 0,10 0,05 0,01
5 0,45 0,51 0,56 0,67
10 0,32 0,37 0,41 0,49
15 0,27 0,30 0,34 0,40
20 0,23 0,26 0,39 0,36
25 0,21 0,24 0,27 0,32
30 0,19 0,22 0,24 0,29
35 0,18 0,20 0,23 0,27
40 0,17 0,19 0,21 0,25
45 0,16 0,18 0,20 0,24
50 0,15 0,17 0,19 0,23
N>50 1,07/N0.5 1,22/N0.5 1,36/N0.5 1,63/N0.5
= Derajat Kepercayaan
-
n = 0,20 = 0,10 = 0,05 = 0,02 = 0,01
26 0,204 0,233 0,259 0,290 0,311
27 0,200 0,229 0,254 0,284 0,305
28 0,197 0,225 0,250 0,279 0,300
29 0,193 0,221 0,246 0,275 0,295
30 0,190 0,218 0,242 0,270 0,290
35 0,177 0,202 0,224 0,251 0,269
40 0,165 0,189 0,210 0,235 0,252
45 0,156 0,179 0,198 0,222 0,238
50 0,148 0,170 0,188 0,211 0,226
55 0,142 0,162 0,180 0,201 0,216
60 0,136 0,155 0,172 0,193 0,207
65 0,131 0,149 0,166 0,185 0,199
70 0,126 0,144 0,160 0,179 0,192
75 0,122 0,139 0,154 0,173 0,185
80 0,118 0,135 0,150 0,167 0,179
85 0,114 0,131 0,145 0,162 0,174
90 0,111 0,127 0,141 0,158 0,169
95 0,108 0,124 0,137 0,154 0,165
100 0,106 0,121 0,134 0,150 0,161
Pendekatan 1,07/n 1,22/n 1,36/n 1,52/n
1,63/n
Tabel Nilai Kritis Uji Kolmogorov-Smirnov
n = 0,20 = 0,10 = 0,05 = 0,02 = 0,01
1 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995
2 0,684 0,776 0,842 0,900 0,929
3 0,565 0,636 0,708 0,785 0,829
4 0,493 0,565 0,624 0,689 0,734
5 0,447 0,509 0,563 0,627 0,669
6 0,410 0,468 0,519 0,577 0,617
7 0,381 0,436 0,483 0,538 0,576
8 0,359 0,410 0,454 0,507 0,542
9 0,339 0,387 0,430 0,480 0,513
10 0,323 0,369 0,409 0,457 0,486
11 0,308 0,352 0,391 0,437 0,468
12 0,296 0,338 0,375 0,419 0,449
13 0,285 0,325 0,361 0,404 0,432
14 0,275 0,314 0,349 0,390 0,418
15 0,266 0,304 0,338 0,377 0,404
16 0,258 0,295 0,327 0,366 0,392
17 0,250 0,286 0,318 0,355 0,381
18 0,244 0,279 0,309 0,346 0,371
19 0,237 0,271 0,301 0,337 0,361
20 0,232 0,265 0,294 0,329 0,352
21 0,226 0,259 0,287 0,321 0,344
22 0,221 0,253 0,281 0,314 0,337
23 0,216 0,247 0,275 0,307 0,330
24 0,212 0,242 0,269 0,301 0,323
25 0,208 0,238 0,264 0,295 0,317
Tabel 5. Nilai Kritis D untuk Uji Smirnov-Kolmogorov
-
Contoh soal 1
Suatu penelitian tentang berat badan
peserta pelatihan kebugaran fisik/jasmani
dengan sampel sebanyak 27 orang diambil
secara random, didapatkan data sebagai
berikut ; 78, 78, 95, 90, 78, 80, 82, 77, 72,
84, 68, 67, 87, 78, 77, 88, 97, 89, 97, 98, 70,
72, 70, 69, 67, 90, 97 kg. Selidikilah dengan
= 5%, apakah data tersebut di atas diambil dari populasi yang berdistribusi
normal?
-
Jawab
Jawab :
Ho : tidak beda dengan populasi normal.
H1 : ada beda dengan populasi nomal.
: 0,05
-
No Xi Z = (X-m)/s Fs Ft |Ft-Fs|
1 67 0,07407407 -1,39019 0,0823 0,008226
2 67 0,07407407 -1,39019 0,0823 0,008226
3 68 0,11111111 -1,29295 0,0985 0,012611
4 69 0,14814815 -1,1957 0,117 0,031148
5 70 0,22222222 -1,09846 0,1379 0,084322
6 70 0,22222222 -1,09846 0,1379 0,084322
7 72 0,2962963 -0,90398 0,185 0,111296
8 72 0,2962963 -0,90398 0,185 0,111296
9 77 0,37037037 -0,41778 0,3409 0,02947
10 77 0,37037037 -0,41778 0,3409 0,02947
11 78 0,48148148 -0,32054 0,3745 0,106981
12 78 0,48148148 -0,32054 0,3745 0,106981
13 78 0,48148148 -0,32054 0,3745 0,106981
14 78 0,51851852 -0,32054 0,3745 0,144019
15 80 0,55555556 -0,12605 0,4522 0,103356
16 82 0,59259259 0,068429 0,5239 0,068693
17 84 0,62962963 0,262911 0,6064 0,02323
18 87 0,66666667 0,554634 0,7088 0,042133
19 88 0,7037037 0,651875 0,7422 0,038496
20 89 0,74074074 0,749116 0,7734 0,032659
21 90 0,81481481 0,846357 0,8023 0,012515
22 90 0,81481481 0,846357 0,8023 0,012515
23 95 0,85185185 1,332562 0,9082 0,056348
24 97 0,96296296 1,527044 0,9357 0,027263
25 97 0,96296296 1,527044 0,9357 0,027263
26 97 0,96296296 1,527044 0,9357 0,027263
27 98 1 1,624285 0,9474 0,0526
rata-rata 81,2963 0,144019
st deviasi 10,28372
Statistik uji:
D = maks |Ft-Fs| = 0,1440
Kriteria uji:
Tolak Ho jika D maks D Tabel,
diterima dalam hal lainnya
dengan = 0,05 dan N = 27
Karena D maks = 0,1440 < D
tabel =0,2540, jadi Ho diterima,
berarti sampel yang diambil dari
populasi berdistribusi normal
-
Tugas ke-9 di Kelas
1. Jika diketahui data uji kuat tekan beton dalam satuan ton dengan bentuk benda
uji silinder dengan diameter 150 mm sebagai berikut dan hitung (1 kg = 10 N) :
Selidikilah dengan = 5%, apakah data tersebut di atas diambil dari populasi yang berdistribusi normal (dengan metode Smirnov-Kolmogorov)
2. Jika diketahui data nilai statistik kelas X sebagai berikut, apakah pola nilai angka
MK Statistik terdistribusi secara normal. Hipotesis nol yang akan diuji adalah
Nilai Statistik kelas X terdistribusi secara Normal (dengan metode Chi-kuadrat
2)
60,6 67,7 63,8 60,8 68,5 64,4 65,7 65,0
66,5 68,1 64,5 69,3 68,0 66,0 60,4 66,3
65,8 62,6 69,7 60,8 61,1 62,2 64,0 68,3
Nilai dalam
angka A AB B BC C D E
Frekuensi 12 1 3 1 5 6 21