Statistička analiza hidroloških...

1

Statistička analiza hidroloških nizova Uslovi koje hidrološki nizovi moraju da ispune:

nezavisni podaci (slučajnost)jednako raspoređeni, “istorodni” (homogenost)

Nizovi godišnjih ekstremagodišnji minimumi (male vode)godišnji maksimumi (velike vode, padavine)

Nizovi prekoračenja iznad praga (parcijalne serije)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

1.1.1998. 1.1.1999. 1.1.2000. 31.12.2000.

Q (m

3 /s)

Dunav, Bezdan

Postupak

I. PRILAGOĐAVANJE teorijskih raspodela osmotrenim podacima1) formiranje EMPIRIJSKE RASPODELE2) proračun parametara TEORIJSKIH RASPODELA3) testiranje SAGLASNOSTI empirijske i teorijskih raspodela4) IZBOR najbolje raspodele

F

x

F

x

osmotreni podaci –EMPIRIJSKA RASPODELA

prilagođavanje –TEORIJSKA RASPODELA

Fe(x) F (x)

2

Postupak

II. PRORAČUN teorijske raspodeleVEROVATNOĆE za zadatu vrednost, F(x)KVANTILA (vrednosti za zadatu verovatnoću), x(F)

F

x

proračun KVANTILA

F (x)

F

x

proračun VEROVATNOĆE

F (x)

x

Fx

xF

F

Način izražavanja veze X-P

vrednost slučajne promenljive

x

VEROVATNOĆA:

funkcija raspodele ili verovatnoća neprevazilaženja

F(x) = P{X ≤ x}

verovatnoća prevazilaženja P{X > x} = 1 – F(x)

3

Povratni period

način izražavanja verovatnoće kritičnog događaja

izražava se u godinama

velike vode (maksimumi)

primer: T(200 m3/s) = 50 god. znači da će se protok od 200 m3/s prevazići jednom u 50 godina (odnosno sa verovatnoćom 1/50 = 0.02 = 2%)

male vode (minimumi)primer: T(0.4 m3/s) = 20 god. znači da će se protok manji od 0.4 m3/s javiti jednom u 20 godina (odnosno sa verovatnoćom 1/20 = 0.05 = 5%)

)(11

}{1)(

xFxXPxT

−=

>=

)(1

}{1)(

xFxXPxT =

≤=

Teorijske raspodele verovatnoće u hidrologiji

Normalna i log-normalna raspodela

Gumbelova raspodela

Pirson III i log-Pirson III raspodela

4

Normalna raspodela

gustina raspodele:

funkcija raspodele:

∞<<∞−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

σμ−

−πσ

= xxxf ,2

)(exp2

1)( 2

2

x

f(x)

μ

F(x)

x

1

0

duuxFx

∫∞−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

σμ−

−πσ

= 2

2

2)(exp

21)(

0.5

μ

Normalna raspodela

parametri:μ – srednja vrednost (μ = μ’1)σ – standardna devijacija (σ2 = μ2)

x

f(x)

μ

F(x)

x

1

0

0.5

μμ – parametar

lokacije

σ – parametar razmere

σ1

σ2

σ1

σ2

5

Normalna raspodelaStandardna normalna raspodela

smena:

gustina i funkcija raspodele:

parametri:

σμ−

=xz

1,0 =σ=μ

z

φ(z)

0

Φ(z)

z

1

0

duuzz

∫∞−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

π=Φ

2exp

21)(

2

0.5

0

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

π=ϕ

2exp

21)(

2zz

Normalna raspodela

važna osobina: simetričnost → Cs = 0

z

φ(z)

0

Φ(z)

z

1

0

0.5

0z–z

φ(–z)= φ(z)

z–z

Φ(–z)Φ(z)

1 – Φ(–z) = Φ(z)

1 – Φ(z) = Φ(–z)

6

Normalna raspodela

Veza između normalne i standardne normalne raspodele:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

σμ−

Φ=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

σμ−

≤=

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

σμ−

≤σμ−

=

=μ−≤μ−=≤=

xxZP

xXP

xXPxXPxF }{}{)(⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

σμ−

Φ=xxF )(

σμ−

=Φ=xzzxF ),()(

Normalna raspodela

Određivanje parametara na osnovu uzorka

Postupak proračuna

F = NORMSDIST(z)z = NORMSINV(F)


)()(TAB xFzFS

xxzx XZx

=⎯⎯ →⎯−

=→

xZX SzxxzzFxF ⋅+=→⎯⎯ →⎯= TAB)()(

xSx

=σ=μ

7

Log-normalna raspodela

Primena normalne raspodele na logaritmovane podatkeako slučajna promenljiva Y = log X prati normalnu raspodelu, tada X prati log-normalnu raspodeluparametri: srednja vrednost i standardna devijacija logaritmovanog niza

Veza sa standardnom normalnom raspodelomYY σμ ,

)(log}log{}10{}{)(

xFxYPxPxXPxF

Y

Y

=≤==≤=≤=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

σμ−

Φ==xxFxF Y

log)(log)(

σμ−

==Φ==yzxyzyFxF Y ,log),()()(

Log-normalna raspodela


Postupak proračuna



yY

Y

Sy

=σ=μ

)()()(log TAB xFyFzFS

yyzxyx XYZy

==⎯⎯ →⎯−

=→=→

yyZX xSzyyzzFxF 10)()( TAB =→⋅+=→⎯⎯ →⎯=

8

Gumbelova raspodela

gustina raspodele:

funkcija raspodele:

inverzna funkcija raspodele:

drugi nazivi:dvostruko eksponencijalna raspodelaraspodela ekstremnih vrednosti I tipa

∞<<∞−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

α−

−−α−

−α

= xuxuxxf ,expexp1)(

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

α−

−−=uxxF expexp)(

)]lnln([)( FuFx −−α+=

Gumbelova raspodela

parametri:α – parametar razmereu – parametar lokacije

osobine:srednja vrednost μ(u,α)standardna devijacija σ(u,α)

koef. asimetrije Cs = 1.14

x

f(x)

u

α1

α2 > α1

u – parametar lokacije

α – parametar razmere

απ

=σ

α+=μ

6

5772.0u

9

Gumbelova raspodela

Standardna Gumbelova raspodela

smena:

parametri:

gustina raspodele:

funkcija raspodele:

inverzna funkcija raspodele:

∞<<∞−=−−− yeeyg

yey ,)(

yeeyG−−=)(

)lnln()( GGy −−=

α = 1u = 0

α−

=uxy

Cs = 1.14

y

g(y)

0

Gumbelova raspodela

Veza između obične i standardne Gumbelove raspodele:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

α−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

α−

≤=

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

α−

≤α−

=

=−≤−=≤=

uxGuxYP

uxuXP

uxuXPxXPxF }{}{)(⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

α−

=uxGxF )(

α−

==uxyyGxF ),()(

10

Gumbelova raspodela


Postupak proračuna

F = EXP(–EXP(–y))y = –LN(–LN(F))

F = EXP(–EXP(–y))y = –LN(–LN(F))

x

x

SSxu

78.045.0

=α−=

)()( xFeyFuxyx Xe

Yy==→

α−

=→−−

α⋅+=→−−=→= yuxFyyFxF YX )lnln()()(

Familija gama raspodelaDvoparametarska gama raspodela

gustina raspodele:

parametri:α – parametar oblikaβ – parametar razmere

0,)(

1)( /1

≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛βαΓβ

= β−−α

xexxf x

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x

f(x)

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x

f(x)

β = 1 α = 2

α = 1

α = 2

α = 4

β = 1

β = 2β = 4

11

Pirsonova raspodela III tipa

Troparametarska gama raspodela

gustina raspodele:

parametri:α – parametar oblikaβ – parametar razmereγ – parametar lokacije

osobine:asimetrična; za Cs = 0 postaje normalna raspodelamomenti:

0,)(

1)( /)(1

≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛βγ−

αΓβ= βγ−−

−α

xexxf x

α=

αβ=σ

γ+αβ=μ

2sC

Pirsonova raspodela III tipa


Postupak proračuna

Csx > 0: F = GAMMADIST((x – c)/b,a,1,TRUE)x = c + b * GAMMAINV(F,a,1)

Csx < 0: F = 1 – GAMMADIST((x – c)/b,a,1,TRUE)x = c + b * GAMMAINV(1 – F,a,1)

Csx > 0: F = GAMMADIST((x – c)/b,a,1,TRUE)x = c + b * GAMMAINV(F,a,1)

Csx < 0: F = 1 – GAMMADIST((x – c)/b,a,1,TRUE)x = c + b * GAMMAINV(1 – F,a,1)

αβ−=γ⋅

=β=α xcS

csxx

sx

,2

,42

)( za TAB xFcS

xxKx Xsx

xP ⎯⎯⎯⎯ →⎯

−=→

xPPsx

X SKxxKcxF ⋅+=→⎯⎯⎯⎯ →⎯ za TAB)(

KP – faktorfrekvencije

12

Log-Pirson III raspodela

Log-Pirson III raspodelaako slučajna promenljiva Y = log X prati Pirson III raspodelu, tada X prati log-Pirson III raspodeluprimena Pirson III raspodele na logaritmovane podatke

Log-Pirson III raspodela


Postupak proračuna

Csy > 0: F = GAMMADIST((y – c)/b,a,1,TRUE)y = c + b * GAMMAINV(F,a,1)

Csy < 0: F = 1 – GAMMADIST((y – c)/b,a,1,TRUE)y = c + b * GAMMAINV(1 – F,a,1)

Csy > 0: F = GAMMADIST((y – c)/b,a,1,TRUE)y = c + b * GAMMAINV(F,a,1)

Csy < 0: F = 1 – GAMMADIST((y – c)/b,a,1,TRUE)y = c + b * GAMMAINV(1 – F,a,1)

αβ−=γ⋅

=β=α ycS

csyy

sy

,2

,42

)()(log za TAB

xFyFc

SyyKxyx XY

sy

yP =⎯⎯⎯⎯ →⎯

−=→=→

yyPP

syX xSKyyK

cxF 10)(

za TAB=→⋅+=→⎯⎯⎯⎯ →⎯

13

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

1950 1960 1970 1980 1990 2000

Q (m

3 /s)

PrimerSava – Sremska Mitrovica

originalni niz X

logaritmovani niz Y = log X

broj podataka 51 51

srednja vrednost 4187 3.6147

standardna devijacija 781.3 0.07936

koeficijent varijacije 0.187 0.022

koeficijent asimetrije 0.623 0.196

Primer

Proračun parametara raspodela

Normalna raspodela:

Log-normalna raspodela:

Gumbelova raspodela:

X Y = log X

broj podataka 51 51



koeficijent asimetrije 0.623 0.196/sm3.781

/sm41873

3

==σ

==μ

xS

x

07936.06147.3

==σ==μ

yY

Y

Sy

/sm4.6093.78178.078.0

/sm38353.78145.0418745.03

3

=⋅=⋅=α

=⋅−=⋅−=

x

x

S

Sxu

14

Primer

Proračun parametara raspodela

Pirson III raspodela:

Log-Pirson III raspodela:

X Y = log X

broj podataka 51 51




/sm1678623.0

3.781241872

3.2432

623.03.7812

31.10623.044

3

22

=⋅

−=−=γ

=⋅

=⋅

=β

===α

sx

x

sxx

sx

cS

x

cSc

804.2196.007936.026147.3

2

007771.02

196.007936.02

31.104196.044

22

=⋅

−=−=γ

=⋅

=⋅

=β

===α

sy

y

syy

sy

cS

y

cS

c

Primer

Proračun teorijskih raspodelaprotok za F(x) = 0.95

Normalna raspodela:

Log-normalna raspodela:

/sm54723.781645.14187

645.1)95.0(95.0)(3

XL TAB,

=⋅+=⋅+=

=⎯⎯⎯ →⎯=

x

X

Szxx

zxF

/sm556210

74524.307936.0645.16147.3645.1)95.0(95.0)(

3

XL TAB,

==

=⋅+=⋅+==⎯⎯⎯ →⎯=

y

y

X

x

SzyyzxF

15

Primer


Gumbelova raspodela:

Pirson III raspodela:

/sm56454.609970.23835

970.2)95.0lnln()95.0(95.0)(3=⋅+=α⋅+=

=−−=→=

yux

yxFX

/sm55953.781802.14187

802.1)623.0,95.0(819.1)7.0,95.0(,797.1)6.0,95.0(95.0)(

3

TAB

=⋅+=⋅+=

=========⎯⎯ →⎯=

xP

sxP

sxPsxPX

Skxx

cFkcFkcFkxF

/sm55953.243098.161678

098.1695.0)(

3

XL

=⋅+=β⋅+γ=

===βγ−

⎯→⎯=

ux

uxxFX 1)10.311,.95,GAMMAINV(0

Primer


Log-Pirson III raspodela:

/sm561710

74953.307936.0699.16147.3

699.1)196.0,95.0(

700.1)2.0,95.0(,673.1)1.0,95.0(95.0)(

3

TAB

==

=⋅+=⋅+=

===

======⎯⎯ →⎯=

y

yP

syP

syPsyPX

x

Skyy

cFk

cFkcFkxF

/sm561700777.066.1218041.2

66.12195.0)(

3

XL

=⋅+=β⋅+γ=

===βγ−

⎯→⎯=

uy

uyxFX 1)104.31,.95,GAMMAINV(0

16

Primer

Sava – Sremska MitrovicaRezultati proračuna kvantila od 95%

Raspodela Protok sa F(x) = 0.95

(m3/s)

Normalna 5472

Log-normalna 5562

Gumbelova 5645

Pirson III 5595

Log-Pirson 3 5617

Testiranje saglasnosti

Saglasnost empirijske i teorijske raspodeleempirijska raspodela Fe(x)teorijska raspodela Ft(x)

Test Kolmogorova-Smirnovakontrolna statistika Dmax = max |Ft(x) – Fe(x)|kriterijum:

Dmax < Dkr → raspodele su saglasneDmax > Dkr → raspodele nisu saglasne

Dkr zavisi od dužine uzorka N i praga značajnosti α, dato u tablicama

N α = 10% α = 5% α = 2% α = 1%

20 0.265 0.294 0.329 0.352

40 0.189 0.210 0.235 0.252

17

Primer

Sava – Sremska MitrovicaSaglasnost empirijske i teorijske raspodele –test Kolmogorova-Smirnova

Dmax

N LN G P3 LP3

0.088 0.072 0.072 0.065 0.067

0.2280.2130.1900.17151

α = 1%α = 2%α = 5%α = 10%N

Dkr

Izbor teorijske raspodele

Izbor najbolje teorijske raspodelena osnovu primenljivosti teorijske raspodele

da li osobine teorijske raspodele odgovaraju osobinama uzorka (npr. asimetrija)

na osnovu testova saglasnosti emirijske i teorijske raspodelevizuelna provera na dijagramu verovatnoće

18

Primer

Sava – Sremska Mitrovicaizbor najbolje raspodele: kontrola osobina raspodela

originalni niz X

logaritmovani niz Y = log X

broj podataka 51 51



koeficijent varijacije 0.187 0.022


P3 LP3, možda LN

Primer

Sava – Sremska Mitrovicaizbor najbolje raspodele: saglasnost empirijske i teorijske raspodele

Dmax

N LN G P3 LP3

0.088 0.072 0.072 0.065 0.067

najbolje slaganje

19

Primer

Sava – Sremska Mitrovicaizbor najbolje raspodele: vizuelna provera na papiru verovatnoće

0.9990.990.950.90.80.50.20.001 0.01 0.05 0.10

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

F(x)

x =

Q (m

3/s)

N LN

G P3

LP3 emp

Dijagrami verovatnoće

Verovatnoća u aritmetičkoj razmeri?

Kako “linearizovati” zavisnost F(x)?

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0 200 400 600 800 1000

x

F(x

)

oblasti teškog očitavanja verovatnoće

20

Dijagrami verovatnoće

Standardizovane promenljive – jednoznačna veza između promenljive i verovatnoće

normalna raspodela: z – F(z)Gumbelova raspodela: y = –ln(–ln F)

Linearna veza između standardizovane i “originalne”promenljive

normalna raspodela: X = μ + σ ZGumbelova raspodela: X = u + α Y

Dijagram normalne verovatnoće

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

-3 -2 -1 0

0.5

0.5

2

0.3

0.7

0.1

0.9

0.01

0.99

0.001

0.999

0.7

0.3

0.9

0.1

10

0.99

0.01

100

0.999

0.001

1000

1 2 3

Standardizovana normalna promenljiva z

Sluč

ajna

pro

men

ljiva

x

Funkcija raspodele ( )F x

Verovatnoća prevazilaženja { > } = 1 ( ) = 1/P X x F x T-

Povratni period (godina)T

21

Dijagram Gumbelove verovatnoće

Standardizovana Gumbelova promenljiva y

Sluč

ajna

pro

men

ljiva

x

Funkcija raspodele ( )F x

Verovatnoća prevazilaženja { > } = 1 ( ) = 1/P X x F x T-

Povratni period (godina)T

0

200

400

600

800

1000

1200

-2

0.001

-1

0.01

0.99

0

0.1

0.9

0.3

0.7

0.5

0.5

2

1

0.7

0.3

2

0.9

0.1

10

3 4 5

0.99

0.01

100

0.95

0.05

20

0.98

0.02

50

6 7

0.999

0.001

1000

0.998

0.002

500

0.995

0.005

200

Dijagram log-normalne verovatnoće

10

100

1000

10000

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Standardna normalna promenljiva z

Prot

ok (m

3 /s)

osmotreni niz

LN raspodela

0.005 0.01 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 0.99 0.99

Funkcija raspodele F (x )

22

Papir normalne verovatnoće

“Komercijalni” papir

0.990.980.950.90.80.50.10.01 0.9950.001 0.998 0.9990.05 0.2 0.3 0.4 0.6 0.70.005

Statistička analiza hidroloških...

Documents

Transcript of Statistička analiza hidroloških...