Statistika 11.1
-
Upload
ririnandriani -
Category
Documents
-
view
230 -
download
0
Transcript of Statistika 11.1
-
8/19/2019 Statistika 11.1
1/34
Penarik ankesimpu
lan
Populasi
SampelAcak
Sampel
yangrepresentat
if
Statistik
Parameter
menaksi
r
, s, Px
µ , σ, π
STATISTIKA INFERENSI
-
8/19/2019 Statistika 11.1
2/34
KSIRAN PARA
Penaksiran parameter digolongkanmenjadi dua bagian, yakni, penaksiran titik
dan penaksiran selang. Sedangkan caramelakukan penaksiran terdiri atas beberapamacam, yakni, dengan menggunakanmetode momen, metode kuadrat terkecil,
metode maksimum Likelihood ataupun sifatpenaksir tak bias linear yang terbaik (BestLinear Unbiased stimation or stimator,BLU!.
Secara umum, parameter populasidinotasikan dengan θ (dibaca" theta!,dimana θ dapat berupa rata#rata µ,
simpangan baku σ, proporsi π, koe$sien
&̂ &̂
-
8/19/2019 Statistika 11.1
3/34
Suatu penaksiran akan menghasilkan
bermacam#macam taksiran. 'iantara penaksir#
penaksir itu harus dipilih yang terbaik yang
dapat digunakan untuk menghampiri parameter
populasi. Untuk itu, harus diketahui ciri#ciri
penaksir yang baik dan yang tidak baik.Untuk mendapatkan penaksir yang baik,
maka kriteria berikut harus dipenuhi"
• ak bias
Penaksir dikatakan penaksir yang tak bias
jika rata#rata semua harga yang mungkin
akan sama dengan θ, atau dapat dinyatakan
sebagai
&!&( =ˆ&̂
&ˆ
-
8/19/2019 Statistika 11.1
4/34
!&(& ˆ
=
!&P(̂
&̂
Penaksir tak bias
!&(ˆ
!&P(̂
&̂
Penaksir bias
bias
-
8/19/2019 Statistika 11.1
5/34
Contoh:
Buktikan bah)a nilai rata#rata merupakan
suatu penaksir tak bias dari nilai rata#ratapopulasi µ*Bukti:
'engan demikian, statistik merupakan
penaksir tak bias parameter populasi µ
( ) ( )
(terbukti!+!x(
+xkarena +!(nn
-x
n
-
xn
-x
n
-!x(
i
n
i
n
i
n
i
-i
-i-i
=
=⋅⋅=⋅=
⋅=
=
∑
∑∑
=
==
x
x
-
8/19/2019 Statistika 11.1
6/34
riteria penaksir yang baik berikutnya adalah"
•/empunyai 0arians minimum
Penaksir ber0arians minimum ialah penaksirdengan 0arians terkecil di antara semua penaksirparameter yang sama, biasa juga disebutpenaksir yang e$sien.
&̂ -&ˆ
$sien
1&ˆ
&̂
!&P( -ˆ
!&P( 1ˆ
idak e$sien
-
8/19/2019 Statistika 11.1
7/34
Perhatikan gambar berikut,
Pada gambar tersebut, terdapat 1 penaksir tak bias
dan - penaksir bias. /enurut ketentuan, penaksiryang baik adalah penaksir yang e$sien dengan 0ariansyang minimum. Penaksir kurang memenuhi kriteriakarena biasnya sangat besar meskipun 0ariansnyapaling kecil, sebab 0arians kecil belumlah cukup
sebagai ciri penaksir yang diinginkan. Penaksirmerupakan suatu penaksir yang tidak bias, akan tetapipenaksir ini pun kurang cocok karena 0ariansnya cukupbesar. Pilihan berikutnya adalah penaksir θ .
Penaksir ini lebih e$sien karena mempunyai kombinasiterbaik, yakni, 0arians dan biasnya relaif kecil.
2&̂
1&̂
-&̂
Bias dalam -&̂
!&P( -ˆ
!&P( 1ˆ
!&P( 2ˆ
&̂Bias dalam 1&̂
-
8/19/2019 Statistika 11.1
8/34
'ari kesimpulan tersebut, diperoleh suatu
kriteria yang menyandingkan dua 0ariabel,yakni, 0arians dan bias. 'engan memilih0arians yang minimum atau mendekati nol,akan diperoleh penaksir yang sangat e$sien
tetapi tentu saja tidak berarti tidakmempunyai bias. etap saja ada kesalahan#kesalahan yang tidak bisa dihilangkan)alaupun seluruh populasi diamati.
Besarnya kesalahan dapat diukurberdasarkan /ean S3uared rror (esalahanuadrat 4ata#4ata! sebagai berikut"
1
111
bias!&0ar(/S
&5!&6(!5&(&6&!&(/S
+=
−+−=−=ˆ
ˆˆˆˆ
-
8/19/2019 Statistika 11.1
9/34
riteria penaksir yang baik berikutnya adalah"
• Penaksir ak Bias Linear erbaik (BLU!
Penaksir bersifat BLU apabila penaksir θ merupakan fungsi linear, penaksir tak bias danmempunyai 0arians yang paling kecil.
Syarat linearitas berarti bah)a penarikan
sampel 7-, 71, …, 7n penaksir harus berbentuklinear atau a-7- 8 a171 8 … 8 an7n dengan a-,a1,…, an suatu konstanta. Sebagai contoh, nilai rata#rata hitung 7 merupakan penaksir linear karena
Selain itu juga, sebagai penaksir yang e$sien bagi
µ.
&ˆ
&ˆ
7
∑=
=n
i-i
7n
-7
-
8/19/2019 Statistika 11.1
10/34
riteria penaksir yang baik berikutnya
adalah"•onsisten
/isalkan penaksir untuk θ yang dihitungberdasarkan sampel acak berukuran n.
%ika ukuran sampel n makin besar
mendekati ukuran populasi menyebabkan
mendekati θ, maka disebut penaksir
konsisten.
&̂
&̂
&̂
-
8/19/2019 Statistika 11.1
11/34&ˆ
9n=-:n=
9:n=
1::n=!&P(̂
&̂
: bias
Perhatikan gambar di ba)ah ini, bila ukuransampel n semakin besar, penaksir akanmendekati titik tertentu (target θ!. 'engandemikian, penaksir θ adalah penaksir konsistenbagi parameter populasi.
&̂
&
ˆ
-
8/19/2019 Statistika 11.1
12/34
Selanjutnya, jika parameter θ harganyaditaksir oleh sebuah θ tertentu, makadinamakan penaksir, tepatnya penaksir titik.
;ilai statistik merupakan salah satu
penaksir titik bagi rata#rata populasi µ.'istribusi peluang untuk rata#rata taksiran
akan terkonsentrasi di sekitar µ dengan0arians paling kecil dibanding penaksir#
penaksir lainnya.
-
8/19/2019 Statistika 11.1
13/34
ernyata penaksir titik merupakan sebuah
nilai penaksir yang tidak terlalu meyakinkan.
eraguan ini terletak pada kenyataan bah)a
dalam distribusi sampling, yang diperoleh
adalah , bukanlah nilai x itu sendiri.
?al ini disebabkan adanya kesalahan#kesalahan(0arians! yang tidak bisa dihindari dalam setiap
pengamatan.
Selanjutnya, dengan mengambil sampel
yang besar (n ≥ 2:!, diharapkan penaksiryang dihasilkan akan mendekati parameter
populasi karena makin besar ukuran sampel
yang diambil maka makin kecil 0ariansnya.
x
x
++x =
-
8/19/2019 Statistika 11.1
14/34
-
8/19/2019 Statistika 11.1
15/34
Pada prakteknya, harus dicari inter0al
taksiran yang sempit dengan derajat
kepercayaan yang memuaskan. 'erajat
kepercayaan menaksir disebut koe$sien
kepercayaan, merupakan pernyataan dalam
bentuk peluang.
%ika koe$sien kepercayaan dinotasikan
dengan γ (dibaca" gamma!, maka : A γ A -.
?arga γ yang digunakan bergantung padapersoalan yang dihadapi dan berapa besar si
peneliti ingin yakin dalam membuat
pernyataannya. oe$sien kepercayaan yang
-
8/19/2019 Statistika 11.1
16/34
Untuk menentukan inter0al taksiran
parameter θ dengan koe$sien kepercayaan
γ , maka sebuah sampel acak diambil, laludihitung nilai#nilai statistik yang diperlukan.
Perumusan dalam bentuk peluang untuk
parameter θ antara < dan B adalah"P(< A θ A B! γ (-!
dimana < dan B fungsi#fungsi statistik dan
tidak bergantung pada θ.Persamaan (-! diartikan sebagai -::γ Dpercaya bah)a parameter θ akan ada pada
selang (
-
8/19/2019 Statistika 11.1
17/34
Biasanya, untuk menaksir batas#batas selang
dengan derajat kepercayaan yang diambil dari normal
baku E, akan dihitung P(#FGα A E A FGα! - H α γ
I-−
:1
E# α 1
Eα
-
8/19/2019 Statistika 11.1
18/34
Menaksir Nilai Rata-Rata
Statistik merupakan penaksir yang baik
bagi parameter populasi µ dengan ragamyang relatif kecil dibanding penaksir#penaksir yang lain.
/isal dipunyai populasi berdistribusi
normal berukuran ; dengan rata#rata µ dansimpangan baku σ diketahui. 'aripopulasi tersebut, akan ditaksir harga rata#rataµ. Untuk keperluan itu, diambil sampel
acak berukuran n lalu dihitung statistik .'engan demikian, selang kepercayaanγ⋅-::D (- H α!⋅-::D populasi µ
dinyatakan dalam peluang berikut,
I-EJ+x
EP1-
1-
n
−==
-
8/19/2019 Statistika 11.1
19/34
(1.-!
Catatan"
%ika σ1 tidak diketahui, tetapi sampelberukuran besar (n K 2:!, σ1 dapat diganti
dengan s1.sehingga persamaan (1.-! menjadi"
(1.1!
Untuk populasi terbatas dan pengambilansampel tanpa pengembalian, sebaiknyadigunakan faktor koreksi, sehingga"
I-JEx+JExP nn 1
-1- −==
⋅+
-
8/19/2019 Statistika 11.1
20/34
an!utan" #MenaksirRata-Rata $
Pada penaksiran parameter populasi µ oleh
statistik sampel , umumnya %arianspopulasi tidak diketahui.
-
8/19/2019 Statistika 11.1
21/34
an!utan" #MenaksirRata-Rata $
%ika ukuran sampel n relatif besar
dibandingkan dengan ukuran populasi,yakni, (n;! M 9D, atau sampel diambil padapopulasi yang terbatas atau pengambilansampel dengan tanpa pengembalian, maka
persamaan (2! menjadi"
(N!
γ=
−−⋅+
-
8/19/2019 Statistika 11.1
22/34
an!utan" #MenaksirRata-Rata $
iii.Simpangan baku σ tidak diketahui dan
populasinya tidak berdistribusi normal'alam hal ini, jika ukuran sampel n tidakterlalu kecil dibandingan dengan ukuranpopulasinya ;, yakni (n;! ≤ 9D maka
teorema limit pusat dapat digunakan.Selanjutnya, persamaan (2! atau persamaan(N! dapat digunakan dengan kekeliruan yangsangat kecil.
%ika distribusi populasi sangat menyimpangdari distribusi normal dan ukuran sampelsangat kecil, maka harus mengikuti bentukdistribusi dari populasi tersebut.
-
8/19/2019 Statistika 11.1
23/34
Menaksir Nilai Proporsi
'iketahui bah)a adalah proporsi
untuk peristi)a < yang ada di dalam
populasi. Bilai p merupakan penaksir bagi
parameter π, maka penghampiran distribusiproporsi akan mengambilan nilai rata#rata
µp π dan simpangan baku .
'engan demikian, peluang proporsipopulasi dapat dinyatakan sebagai"
(1!
γ γ γ
=−=
<
−
-
8/19/2019 Statistika 11.1
24/34
(9!
Persamaan (9! agak membingungkan,
karena distribusi proporsi π telah digunakanuntuk menaksir parameter =dirinya sendiri
yang belum diketahui.
'engan menggunakan teorema limit pusat,
untuk ukuran populasi yang sangat besar
dimana (n;! ≤ 9D, nilai π dalam tanda akar
dapat disubstitusikan oleh nilai .
γ γ γ
=−=
+
-
8/19/2019 Statistika 11.1
25/34
@leh karena itu, persamaan (9! diganti
menjadi"
(Q!
I-FpOFpPnp!p(-
Inp!p(-
I1-
1- −=
+
-
8/19/2019 Statistika 11.1
26/34
&ontoh '(
-. Sebuah sampel acak QR murid diambil dari
populasi murid S/P yang hendak diukur beratbadannya. ?asil pengukuran menunjukkanberat badan rata#rata N9kg dengan simpanganbaku 9kg. Buatlah selang kepercayaan C:D
dan CCD bagi rata#rata seluruh murid S/P(bagaimana kesimpulan
-
8/19/2019 Statistika 11.1
27/34
Selanjutnya, jika dikehendaki inter0al taksiranrata#rata dengan koe$sien kepercayaan C:D,
maka diperoleh"
%adi, untuk selang kepercayaan C:D, diperoleh"
[ ] :,C:NQ+NNP
:,C:QR
9-,QN9N9+QR
9-,QN9N9P
C:DQR
9(:,C:!FN9+QR
9(:,C:!FN9P
I-n
sFx+n
sFxP
1-1-
1-
1-
=
-
8/19/2019 Statistika 11.1
28/34
Selanjutnya, jika dikehendaki inter0al taksiranrata#rata dengan koe$sien kepercayaan CCD,maka diperoleh"
%adi, untuk selang kepercayaan CCD, diperoleh"
'ari kedua hasil tersebut, nampak bah)a untukmenaksir µ dengan tingkat ketelitian yangtinggi, dibutuhkan selang kepercayaan yang
lebih panjang.
[ ] :,CCNQ,Q+N2,NP
:,CCQR91,99N9+
QR91,99N9P
CCDQR
9(:,CC!FN9+QR
9(:,CC!FN9P
I-n
sFx+n
sFxP
1-
1-
1-
1-
=
-
8/19/2019 Statistika 11.1
29/34
1. elah dilakukan penelitian kadar nikotinrokok $lter yang beredar di pasaran.
Selanjutnya dilakukan uji terhadap 9bungkus rokok dengan kadar nikotinmasing#masing -,9 1,- -, 1,1 dan1,9mg. entukan selang kepercayaanC9D rata#rata kadar nikotin sebenarnya*
Jawab"mg1
9
1,91,1-,1,--,9x =
++++=
mg:,N
-n
xnx
s
11n
-ii
=
−
⋅−=∑=
-
8/19/2019 Statistika 11.1
30/34
Selanjutnya, jika dikehendaki inter0altaksiran rata#rata dengan koe$sien
kepercayaan C9D (α :,:9! dengan n 9,maka diperoleh"
%adi, untuk selang kepercayaan sebenarnyakadar nikotin adalah"
[ ]
[ ][ ] :,C91,9+-,9P
:,C91,R1+1,R1P
C9t1+t1P
I-tx+txP
9
:,N
9
:,N
9
:,N
(:,:9!-9
:,N
(:,:9!-
n
sp
n
sp
1-1-
=
-
8/19/2019 Statistika 11.1
31/34
2. Seorang ahli giFi tertarik pada proporsi
penduduk yang menderita penyakit gondok.
'ari sampel acak 1:: orang yang diperiksaternyata diperoleh 2: orang yang
menderita gondok. entukan selang
kepercayaan CD bagi proporsi
sesungguhnya orang yang menderita
penyakit gondok*
Jawab"
;ilai taksiran titik bagi proporsi π adalah
dengan simpangan baku
:,-91::
2:p ==
:,:1
1::
:,-9!(-:,-9Jp =
−⋅=
-
8/19/2019 Statistika 11.1
32/34
Selanjutnya, jika dikehendaki inter0al taksiranproporsi dengan koe$sien kepercayaan CD (α
:,:2!, maka diperoleh"
%adi, untuk selang kepercayaan sebenarnyakadar nikotin adalah"
:,:11,-1O ⋅±=
[ ]
[ ] :,C:,1:9O:,:C9P
:,C:,:191,-:,-9O:,:191,-:,-9P
C:,:19F:,-9O:,:19F:,-9P
I-FpOFpP
(:,C!(:,C!
np!p(-
Tnp!p(-
T
1-
1-
1-
1-
=
-
8/19/2019 Statistika 11.1
33/34
N. ?asil suatu penelitian menyimpulkan bah)a
-ND mahasis)i di kota < gemar merokok.
Beberapa minggu kemudian ada tim lainmelakukan studi yang sama yang
menyimpulkan hanya -9 dari -9: mahasis)i
yang gemar merokok. 'engan tingkat
kepercayaan C1D, apakah publikasipenelitian pertama dapat dipercaya>
Jawab"
Pada penelitian pertama, p- :,-NPada penelitian kedua, p1 -9-9: :,-: (n
-9:!, maka:,:1
-9:
:,-:!(-:,-:J1 =
−⋅=
-
8/19/2019 Statistika 11.1
34/34
selanjutnya, untuk γ C1D ⇒ F G(:,C1! -,9-
'engan demikian, selang taksiran untuk
proporsi pada penelitian kedua adalah
dengan kata lain,
Proporsi penelitian kedua antara :,:9 A π1 A:,-N1, sedangkan hasil penelitian sebelumnya
sebesar -ND. ;ilai penaksir titik untuk proporsi
pada penelitian kedua tercakup dalam selang
kepercayaan proporsi pada penelitian kedua.
%adi, penelitian pertama dapat dipercaya.
:,:N:,-::,:1N-,9-:,-:O1 ±=⋅±=
:,-NO:,:9 1