STATISTIK DAN PROBABILITASpertemuan 17 & 18

Oleh :L1153

Halim Agung,S.Kom

BAB XIII Distribusi BinomialEksperimen binomial dan percobaan Bernaulli

Definisi :

1. Eksperimen Binomial : Satu atau serangkaian eksperimen dinamakan Binomial jika

dan hanya jika eksperimen yang bersangkutan terdiri dari percobaan – percobaan Bernaulli atau percobaan – percobaan binomial.

Untuk mengetahui apakah hasil percobaan sukses atau gagal maka ruang sampel yang merumuskan harus memuat 2 unsur saja yaitu unsur B jika sukses dan unsur G jika gagal

2. Percobaan Bernaulli (Bernaulli trial): Suatu percobaan dinamakan Bernaulli jika dan hanya jika memiliki ciri-ciri :

a. Tiap percobaan dirumuskan dengan ruang sampel {B,G}. Tiap percobaan hanya memiliki 2 hasil sukses atau gagal.

b. Probabilitas sukses pada tiap percobaan harus sama dan dinyatakan dengan p.

c. Setiap percobaan harus bersifat independen.

d. Jumlah percobaan yang merupakan komponen eksperimen binomial harus tertentu

Distribusi Binomial

Teorema :

Jika sebuah eksperimen terdiri dari n percobaan Bernaulli dengan probabilita p bagi sukses dan q jika gagal pada tiap-tiap percobaan, maka fungsi frekuensi variabel random x dapat dinyatakan sebagai :

xnxnx qpCxXp )( Dimana :

x = 0, 1, 2, …, nq = 1 – p

Contoh :

Setelah diadakan penyelidikan bertahun-tahun lamanya, terhadap hasil cetakan suatu mesin, maka diketahui bahwa pada tiap-tiap kertas koran ukuran folio sebanyak 1450 helai akan terjadi kerusakan sebanyak 145 helai. Dalam mencetak 5 helai kertas koran ukuran folio diatas, berapakah probabilitas untuk menemukan 0,1,2,3,4,5 helai kerusakan?

n =5,

p=145/1450,

x =0, x=1, x=2, x=3, x=4, x=5

59049,010

9

10

1)0(

5050

Cxp

32805,010

9

10

1)1(

4151

Cxp

0729,010

9

10

1)2(

3252

Cxp

0081,010

9

10

1)3(

2353

Cxp

00045,010

9

10

1)4(

1454

Cxp

00001,010

9

10

1)5(

0555

Cxp

Rata – rata distribusi binomial

Definisi : Jika x merupakan variabel random dengan kemungkinan untuk menyatakan nilai-nilai seperti x1, x2, … ,xk. Dan fungsi frekuensinya adalah f(x1),f(x2),…,f(xk), maka rata-rata dari x yang dinyatakan dengan x dapat diberikan :

Contoh : Jika sebuah dadu dilempar sebanyak 4 kali berapa probabiltas muncul mata dadu 6 jika x=0,1,2,3,4 . Berapa rata-rata dari distribusi binomial diatas

k

iii

kk

xfxx

atau

xfxxfxxfxx

1

2211

)(

)(...)()(

x

0 0,482

1 0,386

2 0,116

3 0,015

4 0,001

xnxnx qpCxp )(

667,0

001,04015,03116,02386,01482,00

x

xxxxxx

Varians dan standard deviasi

Definisi : Jika x merupakan variabel random yang memiliki nilai-nilai x1, x2, … ,xk. Dan fungsi frekuensinya adalah f(x1),f(x2),…,f(xk), dan jika x adalah rata-rata maka varians dari x adalah :

k

ixx xfx

1

222 )(

Contoh : Jika sebuah dadu dilempar sebanyak 4 kali berapa probabiltas muncul mata dadu 6 jika x=0,1,2,3,4 .Hitung varians dan standard deviasi contoh diatas

7454,05555,05555,0

667,0)001,04015,03116,02386,01482,00(2

2222222

xx

x xxxxx

k

ixx xfx

1

22 )(

x

0 0,482

1 0,386

2 0,116

3 0,015

4 0,001

xnxnx qpCxp )(

LatihanSebuah perusahaan industri memproduksi alat-alat plastik mengetahui secara teknis bahwa 20% dari alat-alat plastik yang diproduksi dengan mesin tertentu akan tidak memenuhi kualitas standar dan dianggap rusak. Jika 10 buah alat-alat plastik yang dihasilkan dengan mesin diatas dipilih secara random dari seluruh produksi, berapa probabilita :

a. Tidak ada dari 10 yang rusak

b. Dua dari 10 yang rusak

c. Paling banyak dua dari 10 yang rusak

d. Paling sedikit satu dari 10 yang rusak

Distribusi Hipergeometris Teorema : Bila sebuah populasi N memiliki sejumlah K unsur yang sama dan N – K unsur lain yang sama , dan bila sejumlah n unsur dipilih secara random tanpa pemilihan , maka probabilita unsur yang terpilih akan terdapat sejumlah k unsur K menjadi,

n

N

kn

KN

k

K

kfNpnkh )(),,|(

Contoh :

8 bola merah dan 12 bola putih dimasukkan kedalam sebuah peti. Bila 5 bola dipilih secara random dari dalam peti tersebut, berapakah probabilita 3 dari bola tersebut adalah bola merah?

Jawab :

Disini N = 20 , n = 5 , K = 8 dan k = 3

23,0

5

20

2

12

3

8

5

20

35

820

3

8

)3(

)(

f

n

N

kn

KN

k

K

kf

Latihan

Seorang nelayan telah menangkap 10 ekor ikan dan diantara kesepuluh ekor ikan tersebut , 3 ekor sebenarnya terlalu kecil untuk dapat diterima oleh koperasi perikanan laut. Meskipun demikian , nelayan tersebut ingin mengadu untung dengan jalan memasukkan saja ketiga ekor ikan tersebut bersama – sama dengan ketujuh ekor ikan lainnya . Bila pengawas ikan dari koperasi nelayan memilih secara random 2 ekor ikan dari kesepuluh ekor diatas. Berapakah probabilita pegawas tersebut tidak akan memilih ikan yang terlalu kecil tersebut ?

Distribusi Poisson

Teorema : jika

Dimana x = 0,1,2,…,n dan jika p adalah kecil relatif dibandingkan dengan n, maka

pnx

exp

x

.!

)(

e = 2,718281828

xnxnx qpCxp )(

6066,0!021

)0(

0

2

1

e

xp

Contoh :

Menurut pengalaman, rata-rata dari 100 orang sarjana komputer yang tinggal di kota-kota besar Indonesia akan mentransfer sejumlah uang untuk berlangganan majalah “ komputer “ jika penerbit melakukan promosi dengan jalan mengirim masing-masing 50 surat untuk berlangganan yang telah dibubuhi perangko kepada sarjana-sarjana yang berdiam di kota-kota yang bersangkutan ,

berapa probabilita penerbit akan menerima kembali surat permintaan untuk berlangganan sebanyak 0,1,2,3,4,5 dari masing-masing kota yang bersangkutan

n = 50 , p =1/100 , = n.p = 50.(1/100) =1/2

3033,0!121

)1(

1

2

1

e

xp 075825,0!221

)2(

2

2

1

e

xp

01264,0!321

)3(

3

2

1

e

xp 00158,0!421

)4(

4

2

1

exp 000184,0

!521

)5(

5

2

1

e

xp

Rata-rata, varians dan standard deviasi npnp xxx 2

Latihan

Pesawat terbang mendarat dilapangan terbang pada detik-detik waktu secara random. Meskipun demikian , frekuensi rata-rata pendaratan secara keseluruhan adalah 12 pesawat per jam. Fasilitas lapangan terbang diatas ternyata tidak dapat menampung pendaratan lebih dari 20 pesawat akan mendarat pada sebarang waktu dalam sejam.Berapakah probabilita lebih dari 20 pesawat akan mendarat pada sembarang detik waktu dalam sejam?

BAB XIV Distribusi Normal

Definisi :

Jika Z merupakan variabel random yang kemungkinan harga-harganya menyatakan bilangan-bilangan riil antara -∞ dan +∞, maka Z dinamakan variabel normal standard jika dan hanya jika probabilita interval dari a ke b menyatakan luas dari a ke b antara sumbu z dan kurva normalnya dan persamaannya diberikan

x

xxZ

x = variabel random = rata-rata = standard deviasi

Kurva normal standard

ba

f(z) Pencarian luas kurva normal disamping dapat dilakukan dengan bantuan tabel luas kurva normal

3413,03413,0

00,110

605000,1

10

6070

21

21

tabeltabel zz

ZZ

-1,00 1,000

Peluangnya = 0,3413 + 0,3413 = 0,6826

Contoh 1: Berat badan mahasiswa suatu perguruan tinggi mempunyai distribusi normal dengan rata-rata 60 kg dan deviasi standard 10 kg tentukan nilai variabel normal standard bagi mahasiswa yang memiliki berat badan antara 50 dan 70.

Contoh 2 : berat badan bayi yang baru lahir rata-rata 3.750 gram dengan simpanganbaku 325 gram, jika berat badan bayi berdistribusi normal maka tentukan :a. Berapa persen bayi yang beratnya lebih dari 4.500 gram

b. Berapa bayi yang beratnya antara 3.500 gram dan 4.500 gram jika semuanya ada 10.000 bayi

4896,031,2325

750.3500.4

tabelzZ

=0,5-0,4896= 0,0104

4896,031,2325

750.3500.4

2794,077,0325

750.3500.3

2

1

tabel

tabel

zZ

zZ

=0,2794+0,4896=0,769

c. Berapa bayi yang beratnya lebih kecil atau sama dengan 4.000 gram

d. Berapa bayi yang beratnya 4.250 gram jika semuanya ada 5.000

2794,077,0325

750.35,000.4

tabelzZ

=0,5-0,2794= 0,2206

4370,054,1325

750.35,250.4

4382,053,1325

750.35,249.4

2

1

tabel

tabel

zZ

zZ

=0,4382-0,4370=0,0012

Hubungan antara distribusi normal dengan binomial

Jika n besar sekali, distribusi binomial dapat disesuaikan sedemikian rupa sehingga dapat didekati dengan distribusi normal standar.

)(

)1(

ApN

N

NxZ

Contoh : 10% dari penduduk suatu daerah tergolong kaya, sebuah sampel acak terdiri atas 400 penduduk telah diambil tentukan peluang akan terdapata. Paling banyak 30 penduduk tergolong kaya.

4429,01589,01,0400

1,04005,30

5000,075,69,01,0400

1,04005,0

5,305,030,...,2,1,0

22

11

tabel

tabel

Zxx

xZ

Zxx

xZ

xx

Prob = 0,5 – 0,4429 = 0,0571

x = penduduk kaya = 0,1 x 400 = √(400x0,1x0,9)

4325,067,19,01,0400

1,040050

4325,067,19,01,0400

1,040030

5030

22

11

tabel

tabel

Zxx

xZ

Zxx

xZ

x

Prob= 0,4325 + 0,4325 = 0,8650

b. Antara 30 dan 50 penduduk tergolong kayax = penduduk kaya = 0,1 x 400 = √(400x0,1x0,9)

Latihan

1. 10% dari penduduk suatu daerah tergolong kaya, sebuah sampel acak terdiri atas 400 penduduk telah diambil , tentukan peluang akan terdapat 55 penduduk atau lebih tergolong kaya

2. Dari pengiriman sebanyak 1000 rim kertas koran berat 60 gram diketahui bahwa rata – rata tiap rim nya terisi dengan 450 lembar dengan deviasi standar sebesar 10 lembar. Jika distribusi jumlah kertas per rim tersebut dapat didekati dengan kurva normal, berapa persen dari rim kertas diatas yang terisi dengan 455 lembar atau lebih?