Static Charged Black Holes in Massive Type IIA
Transcript of Static Charged Black Holes in Massive Type IIA
東京工業大学
セミナー (2012年5月16日)
Flux Compactifications, and
Static Charged Black Holes in Massive Type IIAbased on arXiv:1108.1113, arXiv:1203.1544
木村哲士 (立教大学)
はじめに
以下の流れでお話をします
動機
RN-AdSブラックホールとストリング理論のコンパクト化
設定
(non)-CYコンパクト化とゲージ化された超重力理論
AdSブラックホール
nearly-Kahler coset space G2/SU(3)
AdS真空
静的条件と解
Tetsuji KIMURA : Flux Compactifications and Gauged SUGRA - 2 -
動機
ストリング理論のコンパクト化において
Reissner-Nordstrom AdSブラックホール解を考えたい
動機
Reissner-Nordstrom AdSブラックホール解を考えたい
理由 • フラックスコンパクト化での重力解の調査
• ハイパー多重項がある N = 2 gauged SUGRAの探索
• 「AdS/CMT」の設定を小耳に挟む:'
&
$
%
荷電粒子が AdSブラックホールに落ちていく過程をみる
Einstein + Λc.c. + Maxwell + charged matters
この設定 (に近いもの)をストリング理論で与えるには?
Tetsuji KIMURA : Flux Compactifications and Gauged SUGRA - 4 -
障害
設定を超重力理論に埋め込むときの障害
• 宇宙項 vs物質場 vs超対称性 (4D)
物質場がある系で負の宇宙「定数」をそのまま超対称作用積分に導入することはできない
• 宇宙項 vsコンパクト化 (10D)
負の宇宙項を持つ真空解を与えるには Romans’ massが必要 (type IIA)
• Maxwell場 vsフラックス (4D)
field strengthは Romans’ massのために変形
AdS/CMTの起源を type IIAストリング理論に求めないならば、上記の障害は気にならない (?)
Tetsuji KIMURA : Flux Compactifications and Gauged SUGRA - 5 -
設定
ストリング理論のコンパクト化
Calabi-Yau
Calabi-Yau多様体 MCY
Ricci平坦な Kahler多様体
トーションなし
ホロノミー群は SU(3) ⊂ SU(4) ∼ SO(6)
Levi-Civita接続の共変微分について共変定数な 2形式 (J)と正則 3形式 (Ω):
dJ = ∇[mJnp] = 0 dΩ = ∇[mΩnpq] = 0
Tetsuji KIMURA : Flux Compactifications and Gauged SUGRA - 7 -
Calabi-Yau compactification in type IIA
NS-NS場の展開:ϕ(x, y) = φ(x)
gmn(x, y) = iva(x) (ωa)mn(y), gmn(x, y) = i zȷ(x)
((χȷ)mpqΩ
pqn
||Ω||2
)(y)
B2 (x, y) = B2 (x) + ba(x)ωa(y)
ta(x) ≡ ba(x) + iva(x)
R-R場の展開:C1 (x, y) = A0
1 (x)
C3 (x, y) = Aa1 (x) ∧ ωa(y) + ξI(x)αI(y)− ξI(x)β
I(y)
コホモロジー 基底 自由度
H(1,1) ωa a = 1, . . . , h(1,1)
H(0) ⊕H(1,1) ωΛ = (1, ωa)Λ = 0, 1, . . . , h(1,1)
H(2,2) ⊕H(6) ωΛ = (ωa, vol.|vol.|)
H(2,1) χi i = 1, . . . , h(2,1)
H(3) (αI, βI) I = 0, 1, . . . , h(2,1)
dωΛ = 0 = dωΛ
dαI = 0 = dβI
Tetsuji KIMURA : Flux Compactifications and Gauged SUGRA - 8 -
SU(3)-structure manifolds
non-CY manifold M6
Ricci 2-formがゼロのまま、トーションを許す
(SU(3)-structure manifold)
dJ = 0 and/or dΩ = 0
CYからのズレ:
dJ =3
2Im(W1Ω) +W4 ∧ J +W3 , dΩ = W1J ∧ J +W2 ∧ J +W5 ∧ Ω
W1 , W2 , W3 , W4 , W5 : intrinsic torsion classes
Tetsuji KIMURA : Flux Compactifications and Gauged SUGRA - 9 -
Intrinsic torsion classes of SU(3)-structure manifolds
dJ =3
2Im(W1Ω) +W4 ∧ J +W3 , dΩ = W1J ∧ J +W2 ∧ J +W5 ∧ Ω
complex
hermitian W1 = W2 = 0
balanced W1 = W2 = W4 = 0
special hermitian W1 = W2 = W4 = W5 = 0
Kahler W1 = W2 = W3 = W4 = 0
Calabi-Yau W1 = W2 = W3 = W4 = W5 = 0
conformally CY W1 = W2 = W3 = 3W4 + 2W5 = 0
almost complex
symplectic W1 = W3 = W4 = 0
nearly Kahler W2 = W3 = W4 = W5 = 0
almost Kahler W1 = W3 = W4 = W5 = 0
quasi Kahler W3 = W4 = W5 = 0
semi Kahler W4 = W5 = 0
half-flat ImW1 = ImW2 = W4 = W5 = 0
Tetsuji KIMURA : Flux Compactifications and Gauged SUGRA - 10 -
Flux charges in type IIA
閉形式でない (dJ,dΩ)を、基底形式の外微分の性質に翻訳する:
NS-NS
d
(βI
αI
)Σ−
∼
(eΛ
I mΛI
eΛI mΛI
)QT
(ωΛ
ωΛ
)Σ+
e0I, e0I : H-flux charges (Hfl = −e0IαI + e0Iβ
I)
eaI, eaI : geometric flux charges (トーション)
mΛI,mΛI : nongeometric flux charges (eΛI, eΛI の“磁気的”双対)
R-R
F ≡ F0 + F2 + . . .+ F10 ≡ eBG (自己双対条件 F = λ(∗F) , λ(F(k)) ≡ (−)[k+12 ]F(k))
1√2G = (GΛ
0 +GΛ2 +GΛ
4 )ωΛ − (G0Λ + G2Λ + G4Λ) ωΛ
+(GI1 +GI
3 )αI − (G1I + G3I)βI
GΛ0 ≡ pΛ , G0Λ ≡ qΛ − ξIeΛI + ξIeΛ
I
c ≡ (pΛ, qΛ)T: R-R flux charges (p0: Romans’ mass)
Tetsuji KIMURA : Flux Compactifications and Gauged SUGRA - 11 -
4D N = 2 gauged SUGRA
10次元 IIA型作用 (democratic formulation) S(10D)IIA = SNS + SR:
SNS + SR =1
2
∫e−2ϕ
R ∗ 1+ 4dϕ ∧ ∗dϕ− 1
2H3 ∧ ∗H3
− 1
8
∫ [F ∧ ∗F
]10
“自己双対 F = λ(∗F)” と “場の方程式 (d +H∧) ∗ F = 0 ⇔ (d−H∧)F = 0”
↓↓↓4次元 N = 2可換ゲージ群を持つ超重力理論 (非自明なポテンシャル項付き)
(非可換ゲージ群の実現は今のところ難しい )
3種類のゲージ化された超重力理論
ゲージ化:物質場の住む空間の isometry groupをゲージ化すること
Appendixベクトル多重項: special Kahler geometry (SKG)
ハイパー多重項: quaternionic geometry (QG)Appendix
Tetsuji KIMURA : Flux Compactifications and Gauged SUGRA - 12 -
4D N = 2 gauged SUGRA
3種類のゲージ化された超重力理論 0 = mΛI = mΛ
I = pΛ nV個のベクトル多重項
nH個のハイパー多重項
普遍ハイパー多重項
[hep-th/9605032]
0 = mΛI = mΛI
nV個のベクトル多重項
nH個のハイパー多重項
1個のテンソル多重項
[hep-th/0312210]
generic nV個のベクトル多重項
nH個のハイパー多重項
nT個のテンソル多重項
[hep-th/0409097]
スカラー場 a, ξI, ξIのいくつかが “磁荷” pΛ,mΛI,m
ΛIによってテンソル場に双対変換[hep-th/0701247], [arXiv:0804.0595]
Tetsuji KIMURA : Flux Compactifications and Gauged SUGRA - 13 -
4D N = 2 gauged SUGRA
N = 2ゲージ化されていない超重力理論では−→ポテンシャル項がない
漸近平坦な (極限)荷電ブラックホールの解析などではこの理論でも十分だった
N = 2ゲージ化された超重力理論では −→ポテンシャル項が登場する
ポテンシャル項の極致が超対称性を (部分的に)破り、宇宙項を与える
Tetsuji KIMURA : Flux Compactifications and Gauged SUGRA - 14 -
AdSブラックホール
in 4D N = 2 gauged SUGRA with B-field
from massive type IIA on a nearly-Kahler coset space G2/SU(3)TK, arXiv:1108.1113, arXiv:1203.1544
a nearly-Kahler coset space G2/SU(3)
D. Cassani and A.K. Kashani-Poor [arXiv:0901.4251]
NSNS-sector : torsion and H-flux
RR-sector : 2-, 4-form and Romans’ mass (0-form)
dJ =3
2Im(W1Ω) , dΩ = W1 J ∧ J
dωΛ = eΛα , dα = 0 , dβ = eΛ ωΛ , dωΛ = 0
eΛmΛR = 0
1 vector multiplet with cubic prepotential F =X1X1X1
X0
1 universal hypermultiplet (no other HMs) → hyper-tensor multiplet
Tetsuji KIMURA : Flux Compactifications and Gauged SUGRA - 16 -
4D N = 2超対称多重項
4D multiplets from NSNS from RR fermions
supergravity multiplet gµν A0µ ψi
µ
1 vector multiplet t A1µ λi
1 hyper-tensor multiplet φ, Bµν ξ0, ξ0 ζα
A0µ : from RR one-form C1
t : from complexified “Kahler” modulus t = X1/X0 = b+ iv
A1µ : from RR three-form C3
ξ0, ξ0 : from RR three-form C3
Expansion Lagrangian
FΛ2 = dAΛ
1 +mΛRB2:Stuckelberg-type deformation
Tetsuji KIMURA : Flux Compactifications and Gauged SUGRA - 17 -
真空
in arXiv:0901.4251
in arXiv:0901.4251
Appendix ひとつの N = 1 AdS真空 と ふたつのN = 0 AdS真空 Appendix
ΛN=0c.c. < ΛN=1
c.c. < ΛN=0c.c.
[NOTE]
type IIA弦理論から 4D N = 1 AdS vacuaを導出するには Romans’ massが必要
D. Lust and D. Tsimpis, hep-th/0412250
Tetsuji KIMURA : Flux Compactifications and Gauged SUGRA - 18 -
RN-AdSブラックホール計量での場の配位
Reissner-Nordstrom AdSブラックホールの下、物質場の配位を調べる:'
&
$
%
ds2 = −e2A(r)dt2 + e−2A(r)dr2 + r2dΩ2
e2A(r) = 1− 2η
r+
Z2
r2+r2
ℓ2, Z2 = Q2 + P 2 , Λc.c. = − 3
ℓ2
vector fields AΛµ の電荷・磁荷: pΛ =
∫FΛ2 , qΛ =
∫F2Λ
↓FΛθϕ ≡ fΛ(θ, ϕ) sin θ , FΛ
tr ≡ e−2C(r)
r2gΛ(θ, ϕ)
時間依存性がない解を探そうとすると、
AΛµ , Bµν, gµν の運動方程式から「すべての場の共変定数性」が示される:
Appendix 0 = ∂µt = ∂µφ = Dµξ0 = Dµξ0 = ∂[µBνρ] = FΛ
µν Appendix
Tetsuji KIMURA : Flux Compactifications and Gauged SUGRA - 19 -
ブラックホール電荷
ブラックホール電荷 Z2 = Q2 + P 2は
次の様に記述される:
Z2 = −1
2
[pΛµΛΣ p
Σ + (qΛ − νΛΓ pΓ)(µ−1)ΛΣ(qΣ − νΣ∆ p
∆)]
e−1L = 12R+ 1
2µΛΣFΛ ∧ ∗FΣ + 1
2νΛΣFΛ ∧ FΣ + . . .
一方で、ゲージ場と電荷 (pΛ, qΛ)の関係は
次の様に与えられる:
0 = FΛθϕ = pΛ sin θ , 0 = FΛ
tr = − 1
r2(µ−1)ΛΣ(qΣ − νΣΓp
Γ)
つまり、
pΛ = 0 = qΛ → Z2 = 0
Tetsuji KIMURA : Flux Compactifications and Gauged SUGRA - 20 -
結果
結果
Massive type IIA on G2/SU(3)から得られる
4D N = 2 gauged SUGRA with B-fieldは、
Reissner-Nordstrom AdSブラックホール解を持ち得ない (Z2 = 0に退化)。
ブラックホール質量・電荷・宇宙項などをコンパクト化の情報で記述するために、もう少し非自明なブラックホール解を考える必要がある?
(そろそろ違うテーマをやりたい...)
Tetsuji KIMURA : Flux Compactifications and Gauged SUGRA - 21 -
おわりに
おわりに
以下の流れでお話をしました
動機
RN-AdSブラックホールとストリング理論のコンパクト化
設定
(non)-CYコンパクト化とゲージ化された超重力理論
AdSブラックホール
nearly-Kahler coset space G2/SU(3)
AdS真空
静的条件と共変定数解
Tetsuji KIMURA : Flux Compactifications and Gauged SUGRA - 23 -
Appendix
4D N = 2 gauged SUGRA
Coset spaces
Gauged SUGRA from type IIA on G2/SU(3)
Analysis on static AdS black holes
Geometric flux compactification in type IIA
10D type IIA action S(10D)IIA = SNS + SR = SNS + SR + SCS: (democratic form)
SNS =1
2
∫e−2ϕ
R ∗ 1+ 4dϕ ∧ ∗dϕ− 1
2H3 ∧ ∗H3
, SR = −1
8
∫ [F ∧ ∗F
]10
with “constraint F = λ(∗F)” and “EoM (Bianchi) (d +H∧) ∗ F = 0 ⇔ (d−H∧)F = 0”
SU(3)-structure with mΛR = 0↓↓↓ SU(3)-structure with mΛ
R = 0
4D N = 2 abelian gauged SUGRA (with ξIII ≡ (ξI, ξI)T):
S(4D) =
∫d4x
√−g[1
2R+
1
4ImNΛΣF
ΛµνF
Σµν − ϵµνρσ
8√−g
ReNΛΣFΛµνF
Σρσ − gab ∂µt
a∂µtb − giȷ ∂µzi∂µzȷ
−∂µφ∂µφ+e2φ
2(MH)IIIJJJDµξ
IIIDµξJJJ − e2φ
4
(Dµa− ξIII(CH)IIIJJJDµξ
JJJ)2 − V (t, t, q)
]'
&
$
%
• (eΛI, eΛI) : geometric flux charges & eRΛ : RR-flux charges ←− non-CY data
(with constraints eΛIeΣI − eΛIeΣI = 0)
• ta ∈ SKGV and zi ∈ SKGH ⊂ HM are ungauged (in general)
• DµξI = ∂µξ
I − eΛIAΛ
µ & DµξI = ∂µξI − eΛIAΛµ
• Dµa = ∂µa− (2eRΛ − ξIeΛI + ξIeΛI)AΛ
µ
• V (t, t, q): scalar potential D. Cassani, arXiv:0804.0595
Tetsuji KIMURA : Flux Compactifications and Gauged SUGRA - 25 -
Generic form of 4D N = 2 gauged SUGRA with B-field
Non-vanishing mΛR dualizes the axion field a in standard SUGRA to B-field.
4D gauged action is different from the standard one:
S(4D) =
∫ [1
2R(∗1) + 1
2ImNΛΣF
Λ2 ∧ ∗FΣ
2 +1
2ReNΛΣF
Λ2 ∧ FΣ
2 − gab dta ∧ ∗dtb − giȷ dz
i ∧ ∗dzȷ
−dφ ∧ ∗dφ− e−4φ
4H3 ∧ ∗H3 −
e2φ
2(MH)IIIJJJDξ
III ∧ ∗DξJJJ − V (∗1)
+1
2dB ∧
[ξIII(CH)IIIJJJDξ
JJJ +(2eRΛ − ξIeΛI + ξIeΛ
I)AΛ
1
]− 1
2mΛ
ReRΛB2 ∧B2
]
Constraints among flux charges:
eΛIeΣI − eΛIeΣ
I = 0, mΛReΛ
I = 0 = mΛReΛI
Tetsuji KIMURA : Flux Compactifications and Gauged SUGRA - 26 -
Scalar potential
Scalar potential from (non)geometric flux compactifications:
V = g2[4huvk
ukv +3∑
x=1
(gabDaPxDbPx − 3|Px|2
)]= . . . ≡ VNS + VR (abelian: kaΛ = 0)
VNS = gabDaP+DbP+ + giȷDiP+DȷP+ − 2|P+|2
= −2 g2e2φ[ΠT
H QTMV QΠH +ΠT
V QMHQTΠV + 4ΠT
H CTHQ
T(ΠVΠ
TV +ΠVΠ
TV)QCH ΠH
]VR = gabDaP3DbP3 + |P3|2
= −1
2g2e4φ
(eRΛ − eΛIξ
I + eΛI ξI)(ImN )−1|ΛΣ
(eRΣ − eΣIξ
I + eΣI ξI)
'
&
$
%
ΠV = eKV/2(XΛ,FΛ)T
ta = Xa/X0
a = 1, . . . , nV
SKGV of vector-moduli
P+ ≡ P1 + iP2 = 2eφΠTV QCH ΠH
P− ≡ P1 − iP2 = 2eφΠTV QCH ΠH
P3 = e2φΠTV CV(cR + Qξ)
'
&
$
%
ΠH = eKH/2(ZI,GI)T
zi = Zi/Z0
i = 1, . . . , nH
SKGH of hyper-moduli
CV,H =
(0 1
−1 0
); Q =
(eΛ
I eΛI
mΛI mΛI
), Q = CT
HQCV cR =
(mΛ
R
eRΛ
)
Cassani et.al., arXiv:0804.0595, arXiv:0911.2708 App.top
Tetsuji KIMURA : Flux Compactifications and Gauged SUGRA - 27 -
Coset spaces with SU(3)-structure
D. Cassani and A.K. Kashani-Poor, arXiv:0901.4251 App.top
M6
G2
SU(3)= S6 Sp(2)
S(U(2)× U(1))= CP 3 SU(3)
U(1)× U(1)= F(1, 2; 3)
SM = SKGVSU(1, 1)
U(1): t3
(SU(1, 1)
U(1)
)2: st2
(SU(1, 1)
U(1)
)3: stu
HM = SQGSU(2, 1)
U(2): UHM
SU(2, 1)
U(2): UHM
SU(2, 1)
U(2): UHM
SKGH ⊂ HM — — —
matters 1 VM + 1 UHM 2 VM + 1 UHM 3 VM + 1 UHM
Each SKGV has a cubic prepotential: F =1
3!dabc
XaXbXc
X0
nilmanifolds and solvmanifolds: M. Grana, R. Minasian, M. Petrini and A. Tomasiello, hep-th/0609124coset spaces with SU(3)- or SU(2)-structure: P. Koerber, D. Lust and D. Tsimpis, arXiv:0804.0614
a pair of SU(3)-structures with (mΛI,mΛI): D. Gaiotto and A. Tomasiello, arXiv:0904.3959
Tetsuji KIMURA : Flux Compactifications and Gauged SUGRA - 28 -
4D N = 2 gauged SUGRA from type IIA on G2/SU(3)
10D type IIA onG2
SU(3)with fluxes
↓↓↓4D N = 2 abelian gauged SUGRA with B-field (Λ = 0, 1 and ξ000 ≡ (ξ0, ξ0)
T)
S =
∫ [1
2R (∗1) +
1
2µΛΣF
Λ ∧ ∗FΣ +1
2νΛΣF
Λ ∧ FΣ − gtt dt ∧ ∗dt
− dφ ∧ ∗dφ − e−4φ
4dB ∧ ∗dB − e2φ
2
(Dξ0 ∧ ∗Dξ0 + Dξ0 ∧ ∗Dξ0
)+ dB ∧ ξ0 dξ0
+ dB ∧(eRΛ − eΛ0 ξ
0)AΛ − 1
2mΛ
R eRΛB ∧B − V (∗1)]
'
&
$
%
• gµν, t, Bµν, φ; (eΛ0, eΛ0) : NS-NS sector Precise data onG2
SU(3):
e10 = 0, m0R = 0, eR0 = 0
eΛ0 = 0 = e00
m1R = 0 = eR1
• AΛµ , ξ0, ξ0; (mΛ
R , eRΛ) : R-R sector
• GM : (gµν, A0µ), VM : (Aa
µ, t), UHM → TM : (φ,Bµν, ξ0, ξ0)
• Dξ0 = dξ0 − eΛ0AΛ
1 , Dξ0 = dξ0 − eΛ0AΛ1
• FΣ2 = dAΣ
1 +mΣRB2
• V (t, φ, ξ0) = VNS(t, φ) + VR(t, φ, ξ0)
µΛΣ ≡ ImNΛΣ, νΛΣ ≡ ReNΛΣ D. Cassani, arXiv:0804.0595 Main
Tetsuji KIMURA : Flux Compactifications and Gauged SUGRA - 29 -
Equations of motion
Rµν − 1
2Rgµν =
1
4gµν µΛΣF
ΛρσF
Σρσ − µΛΣFΛµρF
Σνσ g
ρσ − gµν gtt∂ρt∂ρt+ 2gtt ∂µt∂νt
(δgµν)−gµν ∂ρφ∂ρφ+ 2∂µφ∂νφ− e−4φ
24gµνHρσλH
ρσλ +e−4φ
4HµρσHν
ρσ
−e2φ
2gµν
(Dρξ
0Dρξ0 +Dρξ0Dρξ0
)+ e2φ
(Dµξ
0Dνξ0 +Dµξ0Dν ξ0
)− gµνV ,
0 =1√−g
∂µ
(√−g µΛΣF
Σµσ)− ϵµνρσ
2√−g
∂µ
(νΛΣF
Σνρ
)+ϵµνρσ
2√−g
∂µBνρ(eRΛ − ξ0eΛ0)− e2φQΛ000Dσξ000 , (δAΛ
µ)
0 =1√−g
∂µ
(√−g gtt gµν∂νt
)+
1
4∂t(µΛΣ)F
ΛµνF
Σµν − ϵµνρσ
8√−g
∂t(νΛΣ)FΛµνF
Σρσ − ∂tgtt ∂µt∂
µt− ∂tV , (δt)
0 =2√−g
∂µ
(√−g gµν∂νφ
)+
e4φ
6HµνρH
µνρ − e2φ(Dµξ
0Dµξ0 +Dµξ0Dµξ0
)− ∂φV , (δφ)
0 =1√−g
∂µ
(e−4φ√−gHµρσ
)+ϵµνρσ√−g
[Dµξ
000(CH)000000Dνξ000 + (eRΛ − ξ0eΛ0)F
Λµν
](δBµν)
+2mΛRµΛΣF
Σρσ − ϵµνρσ√−g
mΛRνΛΣF
Σµν ,
0 = − 2√−g
∂µ
(√−g e2φgµνDνξ
000)+∂V
∂ξ000− ϵµνρσ
2√−g
∂µBνρDσξ000(CH)000000 . (δξ000)
Tetsuji KIMURA : Flux Compactifications and Gauged SUGRA - 30 -
(Non)-SUSY AdS vacua
Vacuum I : N = 1 t∗ = −±1 + i
√15
2
[3
5 (e10)2
∣∣∣∣ eR0
m0R
∣∣∣∣]1/3 , ξ0∗ = −2
5
[2√3m0
R(eR0)2
5 e10
]1/3, exp(φ∗) =
4
3
[ √5 e10√
3m0R(eR0)2
]1/3V∗ = −5
√5
2
[5 (e10)
4
2√3 |m0
R(eR0)5|
]1/3≡ ΛI
c.c. < 0
Vacuum II : N = 0
t∗ =(± 1− i
√3) [ 3
5 (e10)2
∣∣∣∣eR0
m0R
∣∣∣∣]1/3 , ξ0∗ =
[9m0
R(eR0)2
25 e10
]1/3, exp(φ∗) =
2
3
[25 e10√
3m0R(eR0)2
]1/3V∗ = −80
27
[25 (e10)
4
√3 |m0
R(eR0)5|
]1/3≡ ΛII
c.c. < 0
Vacuum III : N = 0
t∗ = −i
[12√
5 (e10)2
∣∣∣∣ eR0
m0R
∣∣∣∣]1/3 , ξ0∗ = 0 , exp(φ∗) =√5
[5 e10
18m0R(eR0)2
]1/3V∗ = −25
√5
6
[5 (e10)
4
18 |m0R(eR0)5|
]1/3≡ ΛIII
c.c. < 0
Note: m0
R > 0 ; ξ0 is not fixed ; ΛIIc.c. < ΛI
c.c. < ΛIIIc.c. arXiv:0901.4251 jump App.top
Tetsuji KIMURA : Flux Compactifications and Gauged SUGRA - 31 -
Analysis on static AdS black holes
静的:
0 = ∂t(任意の場)
計量:
ds2 = −e2A(r)dt2 + e−2A(r)dr2 + e2C(r)r2(dθ2 + sin2 θdϕ2
)電荷・磁荷:
pΛ =1
4π
∫FΛ2 , qΛ =
1
4π
∫FΛ2 with FµνΛ =
√−g2
ϵµνρσ∂L
∂FΛµν
FΛθϕ ≡ fΛ(θ, ϕ) sin θ , FΛ
tr ≡ e−2C
r2gΛ(θ, ϕ)
Tetsuji KIMURA : Flux Compactifications and Gauged SUGRA - 32 -
Analysis on static AdS black holes
Equation of motion for AΛµ (FΛ
µν = 2∂[µAΛν] +mΛ
RBµν):
0 =ϵσµνρ
2√−g
∂µFΛνρ −ϵσµνρ
2√−g
∂µBνρ(eRΛ − eΛ0ξ0)− e2φeΛ0D
σξ0
Hrθϕ = 0 , Hθϕt = 0 ,
Hϕtr =(∂ϕBtr + ∂rBϕt
)=
1
mΣReRΣ
e−2C
r2∂ϕ
[eRΛg
Λ(θ, ϕ)],
0 = ∂r
[νΛΣf
Σ(θ, ϕ)− µΛΣ gΣ(θ, ϕ)
],
0 = ∂ϕ,θ
[(mΛ
RµΛΣ)fΣ(θ, ϕ) +
(mΛ
RνΛΣ − eRΣ)gΣ(θ, ϕ)
].
→
0 = Dtξ0 = −eΛ0AΛt → eΛ0F
Λtr = 0 → eΛ0g
Λ(θ, ϕ) = 0 ,
0 = Drξ0 = ∂rξ0 − eΛ0AΛr ,
0 =e−2C
r2∂ϕ
[µΛΣf
Σ(θ, ϕ) +(νΛΣ − eRΛ − eΛ0ξ
0
mΓReRΓ
eRΣ
)gΣ(θ, ϕ)
]+ eΛ0 e
2φ sin θDθξ0 ,
0 =e−2C
r2∂θ
[µΛΣf
Σ(θ, ϕ) +(νΛΣ − eRΛ − eΛ0ξ
0
mΓReRΓ
eRΣ
)gΣ(θ, ϕ)
]− eΛ0
e2φ
sin θDϕξ0 .
Tetsuji KIMURA : Flux Compactifications and Gauged SUGRA - 33 -
Analysis on static AdS black holes
Equation of motion for Bµν:
0 =1√−g
∂µ
(e−4φ√−gHµρσ
)+ϵµνρσ√−g
[Dµξ
0Dν ξ0 −Dµξ0Dνξ0 + (eRΛ − eΛ0ξ
0)FΛµν
]+2mΛ
RµΛΣFΣρσ − ϵµνρσ√
−gmΛ
RνΛΣFΣµν
→
0 = − 1
mΣReRΣ
e−2C
r2∂θ
[e−4φ sin θ ∂θ
(eRΛg
Λ(θ, ϕ))]
− 1
mΣReRΣ
e−2C
r2 sin θ∂ϕ
[e−4φ∂ϕ
(eRΛg
Λ(θ, ϕ))]
+2[(mΛ
RνΛΣ − (eRΣ − eΣ0 ξ0))fΣ(θ, ϕ)− (mΛ
RµΛΣ)gΣ(θ, ϕ)
]sin θ
−2(Dθξ
0Dϕξ0 −Dθξ0Dϕξ0),
0 =sin θ
mΣReRΣ
∂θ
(eRΛg
Λ(θ, ϕ))∂r
(e−4φ−2C
r2
)+ 2Drξ
0Dϕξ0 ,
0 =1
mΣReRΣ
1
sin θ∂ϕ
(eRΛg
Λ(θ, ϕ))∂r
(e−4φ−2C
r2
)− 2Drξ
0Dθξ0 ,
0 =2e−4C
r4 sin θ
[(mΛ
RµΛΣ)fΣ(θ, ϕ) + (mΛ
RνΛΣ − eRΣ)gΣ(θ, ϕ)
]
Tetsuji KIMURA : Flux Compactifications and Gauged SUGRA - 34 -
Analysis on static AdS black holes
Equation of motion for gµν:
Rµν −1
2Rgµν =
1
4gµν µΛΣF
ΛρσF
Σρσ − µΛΣFΛµρF
Σνσ g
ρσ − gµν gtt∂ρt∂ρt+ 2gtt ∂µt∂νt
− gµν ∂ρφ∂ρφ+ 2∂µφ∂νφ− e−4φ
24gµνHρσλH
ρσλ +e−4φ
4HµρσHν
ρσ
− e2φ
2gµν
(Dρξ
0Dρξ0 +Dρξ0Dρξ0
)+ e2φ
(Dµξ
0Dνξ0 +Dµξ0Dν ξ0
)− gµνV
From now on we focus on
e2A(r) = 1− 2η
r+
Z2
r2+r2
ℓ2, e2C(r) = 1
Tetsuji KIMURA : Flux Compactifications and Gauged SUGRA - 35 -
Analysis on static AdS black holes
gttEtt − grrErr = 0 = −2e2A(r)[gtt|∂rt|2 + (∂rφ)
2 +e2φ
2(Drξ
0)2]
grrErr + gθθEθθ =6
ℓ2= − 2
r2 sin2 θ
[gtt|∂ϕt|2 + (∂ϕφ)
2 +e2φ
2(Dϕξ
0)2 +e2φ
2(Dϕξ0)
2]− 2V
grrErr − gθθEθθ = −2Z2
r4=
1
r4µΛΣ
[fΛ(θ, ϕ)fΣ(θ, ϕ) + gΛgΣ
]− 2
r2
[gtt|∂θt|2 + (∂θφ)
2 +e2φ
2(Dθξ
0)2 +e2φ
2(Dθξ0)
2]
gθθEθθ − gϕϕEϕϕ = 0 =1
r2
[gtt|∂θt|2 + (∂θφ)
2 +e2φ
2(Dθξ
0)2 +e2φ
2(Dθξ0)
2]
− 1
r2 sin2 θ
[gtt|∂ϕt|2 + (∂ϕφ)
2 +e2φ
2(Dϕξ
0)2 +e2φ
2(Dϕξ0)
2]
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0 = ∂rt = ∂θt = ∂ϕt , 0 = ∂rφ = ∂θφ = ∂ϕφ
0 = Drξ0 = Dθξ
0 = Dϕξ0 , 0 = Dθξ0 = Dϕξ0
0 = Htrθ = Htrϕ
and fΛ = pΛ , gΛ = −(µ−1)ΛΣ(qΣ − νΣΓ p
Γ)
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Tetsuji KIMURA : Flux Compactifications and Gauged SUGRA - 36 -