Stati di Equilibrio Limite W A.A. 2016-2017 Vv0 Ip ... Stati di equilibrio limite.pdfrottura...
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Stati di Equilibrio Limite
Ip.: terreno omogeneo privo di coesione
Due condizioni: 1) Stato tensionale LONTANO DA ROTTURA: per un dato σ’v0 i cerchi di
Mohr sono infiniti [K0 = f(natura terreno, storia tensionale)] 2) Condizione a ROTTURA: esistono solo DUE cerchi di Mohr che soddisfano contemporaneamente le condizioni di equilibrio e di
rottura
A.A. 2016-2017
8.5.2017
'
'a'
v0' p'
Rottura
v0'
h' '
'
h'h'
Equilibrio
z
h'
v0'
P.C.
c’=0 φ’≠0
σ’v0=γ’.z
σ’h0=K0.σ’v0
Stati di Equilibrio Limite
Equilibrio Limite ATTIVO – teoria di Rankine La condizione di LIMITE ATTIVO viene raggiunta a seguito di una compressione per scarico espansione laterale del provino
tens. efficace orizzontale diminuisce
tens. efficace verticale geostatica cost
Durante la compressione per scarico si ha la riduzione di σ’h fino alla
rottura (scorrimento plastico) per stato di equilibrio limite attivo
A.A. 2016-2017
8.5.2017
0'h
00 'v
P.C.
z
v0'
'
'
v0'A'
Riduzione di h'
h1'h2'
diminuzione della tensione orizzontale
Elemento di terreno omogeneo
ROTTURA PER LIMITE ATTIVO
Stati di Equilibrio Limite
Equilibrio Limite ATTIVO KA= coefficiente di spinta attiva
A.A. 2016-2017
8.5.2017
'
'
A B
v0'
Polo
'
ROTTURA PER LIMITE ATTIVO
'
1'
1'
3'3'
Superfici di Rottura
Superfici di Rottura inclinata di sull’orizzontale (direzione di ’3)
AvvvA K
'
0
2'
0
'
0
'
2
'
4tan
'sin1
'sin1
Stati di Equilibrio Limite
Equilibrio Limite ATTIVO Dimostrazione: Dal cerchio di Mohr per il limite attivo si ha:
A.A. 2016-2017
8.5.2017
'sin'' 110 OAABOAv
Analogamente: 'sin'' 13 OAABOAA
'
'
A v0'A'O
B
(*)
(**)
Ricavando OA da (**): 'sin
'
1
3OA
E sostituendo in (*): 'sin
'sin''
1
131 'sin
'sin''
1
113
2
'45tan
'sin1
'sin1 2'
0
'
0
'
vvA
Si ottiene:
245
1
1 2 'tan
'sin
'sin
AK
AvA K''
0
0KKA
Stati di Equilibrio Limite
Equilibrio Limite PASSIVO – teoria di Rankine La condizione di LIMITE PASSIVO viene raggiunta a seguito di una estensione per carico compressione laterale del provino
tens. efficace orizzontale aumenta
tens. efficace verticale geostatica cost.
Durante la compressione per carico si ha l’aumento di σ’h fino alla
rottura (scorrimento plastico) per stato di equilibrio limite passivo.
A.A. 2016-2017
8.5.2017
0'h
00 'v
v0'
z
P.C.
'
'
Aumento di h'
v0' P'h1' h2'
aumento della tensione orizzontale
Elemento di terreno omogeneo
ROTTURA PER LIMITE PASSIVO
Stati di Equilibrio Limite
Equilibrio Limite PASSIVO KP= coefficiente di spinta passiva
A.A. 2016-2017
8.5.2017
PvvvP K
'''' 'tan
'sin
'sin0
200 241
1
'
Polo
v0'
BA
'
'
ROTTURA PER LIMITE PASSIVO
'
3'
3'
1'1'
Superfici di Rottura
Superfici di Rottura inclinata di β sull’orizzontale (ovvero di 45+’/2 rispetto alla direzione di ’3)
N.B.
KA.KP=1
Stati di Equilibrio Limite
Ip: mezzo dotato di coesione e attrito Dal cerchio di Mohr, che rappresenta lo stato tensionale dell’elemento di terreno, si ha:
A.A. 2016-2017
8.5.2017
'sin' 11 OAABOAd
'sin' 13 OAABOAd
'
'
A
B
c'
c''ta
n'
d 3' 1'
O
(I)
(II)
Ricavando OA da (II): 'sin
'
13 d
OA
E sostituendo in (I):
'sin
'sin
'sin
'sin'sin
'sin'
''
1
1
1
11
1 33
1 dd
d
'sin
'sin'
'sin
'cos''cot'
21
cccd
1
1
1
1
131 'sin
'sin
'sin
'sin''
dSi ottiene:
Stati di Equilibrio Limite A.A. 2016-2017
8.5.2017
Si ottiene:
1
1
1
1
131 'sin
'sin
'sin
'sin''
d
L’equazione trovata per d: 'sin
'sin'
'sin
'cos''cot'
21
cccd
1
1
11
1
1 2
31 'sin
'sin
'sin
'sin'
'sin
'sin''
c
Da cui:
'sin
'sin'sin
'sin
'sin'
'sin
'sin''
1
111
1
1 2
31 c
'sin
'sin
'sin
'sin'
'sin
'sin''
1
21
1
1 2
31 c
2
2
31
1
12
1
1
'sin
'sin'
'sin
'sin''
c
231
1
112
1
1
'sin
'sin'sin'
'sin
'sin''
c
'sin
'sin'
'sin
'sin''
1
12
1
131 c
(*)
Sostituendo in:
Stati di Equilibrio Limite A.A. 2016-2017
8.5.2017
'sin
'sin'
'sin
'sin''
1
12
1
131 c
'sin
'sin
'sin
'sin'''
1
1
1
1213 c
'sin
'sin'
'sin
'sin''
1
12
1
113 c
In caso di spinta Attiva si ha: σA’<σv0’ σ1’=σv0’ σ3’=σA’
In caso di spinta Passiva si ha: σv0’<σP’ σ1’=σP’ σ3’=σv0’
Stati di Equilibrio Limite
Equilibrio limite ATTIVO
A.A. 2016-2017
8.5.2017
AAvA kck ''' 20Tensione orizzontale nel caso di equilibrio limite ATTIVO per un terreno dotato di COESIONE ed ATTRITO
AvA k''
0Tensione orizzontale nel caso di equilibrio limite ATTIVO per un terreno NON dotato di COESIONE
Nel caso si debba procedere ad una verifica in condizioni NON DRENATE
(ossia a breve termine) la determinazione della spinta attiva scaturisce
direttamente dall’applicazione del criterio di rottura espresso in termini di tensioni
totali. Ponendo c’=cu e φ’=0, si ottiene:
u0vA c2
Tensione orizzontale nel caso di equilibrio limite ATTIVO in condizioni NON DRENATE
Nel caso di TERRENO NON DOTATO DI COESIONE (c’=0), si ha:
Stati di Equilibrio Limite
Equilibrio Limite PASSIVO
A.A. 2016-2017
8.5.2017
PPvP kck ''' 20Tensione orizzontale nel caso di equilibrio limite PASSIVO per un terreno dotato di COESIONE ed ATTRITO
Nel caso di TERRENO NON DOTATO DI COESIONE (c’=0), si ha:
PvP k''
0Tensione orizzontale nel caso di equilibrio limite PASSIVO per un terreno NON dotato di COESIONE
Nel caso si debba procedere ad una verifica in condizioni NON DRENATE
(ossia a breve termine) la determinazione della spinta passiva scaturisce
direttamente dall’applicazione del criterio di rottura espresso in termini di tensioni
totali. Ponendo c’=cu e φ’=0, si ottiene:
u0vp c2
Tensione orizzontale nel caso di equilibrio limite PASSIVO in condizioni NON DRENATE.
Stati di Equilibrio Limite
OSSERVAZIONE: Se, a monte di un’opera di sostegno viene raggiunto uno condizione di stato limite, la presenza di tensioni tangenziali al contatto muro-terreno dovute ad attrito e ad aderenza) altera lo stato tensionale, che non corrisponde più a quello ottenuto secondo le ipotesi di Rankine
Le espressioni da usare in questo caso sono:
A.A. 2016-2017
8.5.2017
PCPvP kck '''0
ACAvA kck '''0
Con KA, KP, KPC e KAC ricavati da procedimenti che tengono conto di
δ≠0 (angolo di attrito muro-terreno)
ca≠0 (aderenza muro-terreno).
Se δ≠0 le risultanti delle spinte Attiva e Passiva sono inclinate: in presenza di attrito muro-terreno lo spostamento del muro rispetto al terreno non è libero ma vincolato dall’attrito Si generano delle tensioni tangenziali τ che inclinano la risultante della spinta attiva e passiva: in questo modo si ha una componente normale e una tangenziale al muro
Stati di Equilibrio Limite
Altezza Critica di una parete verticale
Rappresenta un limite superiore: l’altezza massima superata la quale la
parete verticale di uno scavo non è più in grado di autosostenersi
Il concetto di altezza critica è applicabile ai soli terreni dotati di coesione e dipende dall’equilibrio della spinta attiva
A.A. 2016-2017
8.5.2017
P.C.h'
z0
Avanzamento del fondo scavo
h'v1'
1
h'v2'
2
h'v3'
3
trazione '
'h'
v1' v2' v3'
c'
Aumento lo scavo
v1'
c'
Raggiungimento dell’ altezza critica Hc
Stati di Equilibrio Limite
Altezza Critica di una parete verticale Il profilo di σA’ al variare della profondità z è un diagramma
lineare a farfalla, prima negativo e poi positivo
L’altezza z0 corrisponde alla posizione in cui si annulla la spinta attiva
(inversione di segno)
Quindi, per ricavare z0:
A.A. 2016-2017
8.5.2017
P.C.h'
z0
Fondo Scavo
Hc=2z0
A'=0020 AAvA kck '''
020 AAA kckz ''
'
'tan'
'
'
2
4522
0
c
k
cz
A
02zHc Altezza critica Hc: per un’altezza pari a 2z0 il diagramma di spinta è equilibrato Valida solo se non si considerano le fessure