Stateczność ramy obciążonej siłą skupioną - przykłady 6-1...
Transcript of Stateczność ramy obciążonej siłą skupioną - przykłady 6-1...
Stateczność ramy obciążonej siłą skupioną - przykłady 6-1 i 6-4 zksiążki: "Mechanika budowli - Ujęcie komputerowe" (MbUk)
ORIGIN 1:= - Ustawienie sposobu numeracji wierszy i kolumn macierzy
E 10GPa:= - Moduł Younga
Wymiary przekrojów i długościelementów
a1 12cm:= b1 10cm:= L1 10m:=
a2 12cm:= b2 10cm:= L2 10m:=
a3 12cm:= b3 10cm:= L3 10m:=
Dane zostały tak dobrane aby :
E J⋅
L21kN=
ułatwi to porównanie wyników zamieszczonych w książce MbUk
Parametry pomocnicze:
Lss 3:= - Liczba stopni swobody węzła
Le 3:= - Liczba elementów
Lw 4:= - Liczba węzłów
Lr Lss Lw⋅:= - Liczba równań
KoLr Lr, 0:= Deklaracja globalnej macierzy sztywności i wypełnienie jej zerami
l 1m:= - pomocnicza stała długość
Ponieważ MathCad nie pozwala przechowywać w jednej macierzy składowych wyrażonych wróżnych jednostkach to mamy do wyboru 2 mozliwości: - nie zapisywać jednostek w których wyrażone są te składowe- przekształcić tak te składowe, aby były jednolite (wyrażone w jednakowych jednostkach miary) Wybieram 2 sposób i przekształcam niewiadome występujące w macierzach następująco( l - oznacza tu dowolną stałą o wymiarze długości) :
uzi l φi⋅= uzj l φj⋅= Mi l Ti⋅= Mj l Tj⋅= λ2 L2 A⋅
J= η L
l=
Wszystkie poszukiwane przemieszczenia są więc przesunięciami, a węzłowe wielkości statyczne - siłami.Macierz sztywności zmieni sie więc do postaci, którą MathCad akceptuje:
Fxi
Fyi
Ti
Fxj
Fjy
Tj
E J⋅
L3
λ2
0
0
λ2−
0
0
0
12
6η
0
12−
6η
0
6η
4η2
0
6η−
2η2
λ2−
0
0
λ2
0
0
0
12−
6η−
0
12
6η−
0
6η
2η2
0
6η−
4η2
S
L
0
0
0
0
0
0
0
1.2
0.1η
0
1.2−
0.1η
0
0.1η2
15η2
0
0.1− η1−
30η2
0
0
0
0
0
0
0
1.2−
0.1− η
0
1.2
0.1− η
0
0.1η1−
30η2
0
0.1− η2
15η2
⋅+
uxi
uyi
uzi
uxj
uyj
uzj
⋅=
Funkcja LBM - Lokuj Blok Macierzy, używana przy agregacji macierzy sztywności i wektora obciążeń termicznych
LBM A B, w, k, ( )
Aw i+ k j+, B1 i+ 1 j+, ←
j 0 cols B( ) 1−..∈for
i 0 rows B( ) 1−..∈for
A
:=
Funkcje ścisłe występujące w macierzy sztywności pręta ściskanego siłą osiową (MbUk)
Alfa x( )x sin x( ) x cos x( )⋅−( )⋅
2 1 cos x( )−( ) x sin x( )⋅−:= Theta x( )
x2 1 cos x( )−( )⋅
2 1 cos x( )−( ) x sin x( )⋅−:=
Delta x( )x3 sin x( )⋅
2 1 cos x( )−( ) x sin x( )⋅−:=
Współrzędne węzłów kratownicy Numery węzłów początkowych (Wp) i końcowych (Wk) elementów Siły wewnętrzne w elementach
X
0
L1
0
L1
:= Y
L1
L1
0
0
:= Wp
3
1
4
:= Wk
1
2
2
:= S
0
0
1−
kN:=
e 1 Le..:= Pętla po wszystkich elementach ramy
Ae be ae⋅:= - Pole powierzchni przekroju elementów
Jeae be( )3⋅
12:= - Moment bezwładności przekroju elementów
Rysunek elementów pozwala kontrolować poprawność wprowadzonych danych
Exe
X Wpe( )X Wke( )
:= Eye
Y Wpe( )Y Wke( )
:= Ex, Ey - współrzędne węzłów elementów kratownicy
1− 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Ey1
Ey2
Ey3
Ex1 Ex2, Ex3,
Wielkości pomocnicze do wyliczania składowych macierzy sztywności elementów ramy
Lxe X Wke( ) X Wpe( )−:= Lye Y Wke( ) Y Wpe( )−:= Le Lxe( )2 Lye( )2+:=
Lx
1
12
3
0.00010.000
0.000
m= Ly
1
12
3
10.0000.000
10.000
m= L
1
12
3
10.00010.000
10.000
m=E J1⋅
L1( )21 kN⋅=
ηeLe
l:= λ2e
Le( )2 Ae⋅
Je:= μe
E Je⋅
Le( )3:= κe
Se
Le:=
η1
12
3
10.00010.000
10.000
= λ21
12
3
120000.000120000.000
120000.000
= μ1
12
3
100.000100.000
100.000
N
m⋅= κ
1
12
3
0.0000.000
-100.000
N
m⋅=
Bloki macierzy sztywności elementu ramowego w lokalnym układzie współrzednych
K11e μe
λ2e0
0
0
12
6ηe
0
6ηe4 ηe( )2
⋅:= K12e μe
λ2e−
0
0
0
12−
6− ηe
0
6ηe2 ηe( )2
⋅:= K22e μe
λ2e0
0
0
12
6− ηe
0
6− ηe4 ηe( )2
⋅:=
Macierz sztywności elementu zapisana z użyciem bloków
KK11
K21
K12
K22
= K21 K12T=
Bloki macierzy geometrycznych elementu ramowego w lokalnym układzie współrzednych
G11e κe
0
0
0
0
1.2
0.1ηe
0
0.1ηe2
15ηe( )2
⋅:= G12e κe
0
0
0
0
1.2−
0.1− ηe
0
0.1ηe1−
30ηe( )2
⋅:= G22e κe
0
0
0
0
1.2
0.1− ηe
0
0.1− ηe2
15ηe( )2
⋅:=
Macierz geometryczna elementu zapisana z użyciem bloków
GG11
G21
G12
G22
= G21 G12T=
Macierze obrotu do globalnego układu współrzednych
ceLxe
Le:= se
Lye
Le:=
Re
ce
se
0
se−
ce
0
0
0
1
:= R1
0
1
0
1−
0
0
0
0
1
= R2
1
0
0
0
1
0
0
0
1
=
Transformacja macierzy sztywności i macierzy geometrycznych elementu 1 do globalnego układu współrzędnych.Uwaga! macierzy elementu 2 można nie transformować bo kąt obrotu jest równy 0
K11e Re K11e⋅ ReT
⋅:= K12e Re K12e⋅ ReT
⋅:= K22e Re K22e⋅ ReT
⋅:=
G11e Re G11e⋅ ReT
⋅:= G12e Re G12e⋅ ReT
⋅:= G22e Re G22e⋅ ReT
⋅:=
Mimo, że nie jest to potrzebne w dalszych obliczeniach, można pokazać bloki macierzy wszystkich elementów
K111
1.2
0
6−
0
12000
0
6−
0
40
kN
m⋅= K112
12000
0
0
0
1.2
6
0
6
40
kN
m⋅=
K121
1.2−
0
6
0
12000−
0
6−
0
20
kN
m⋅= K122
12000−
0
0
0
1.2−
6−
0
6
20
kN
m⋅=
K221
1.2
0
6
0
12000
0
6
0
40
kN
m⋅= K222
12000
0
0
0
1.2
6−
0
6−
40
kN
m⋅=
G111
0
0
0
0
0
0
0
0
0
kN
m⋅= G121
0
0
0
0
0
0
0
0
0
kN
m⋅= G221
0
0
0
0
0
0
0
0
0
kN
m⋅=
G113
0.12−
0
0.1
0
0
0
0.1
0
1.333−
kN
m⋅= G123
0.12
0
0.1−
0
0
0
0.1
0
0.333
kN
m⋅= G223
0.12−
0
0.1−
0
0
0
0.1−
0
1.333−
kN
m⋅=
Agregacja, czyli dodawanie bloków macierzy sztywności elementów do macierzy globalnej
ne Lss Wpe⋅ 2−:= ke Lss Wke⋅ 2−:= <--- numery stopni swobody węzłów początkowych (ne) i końcowych (ke)
n
7
1
10
= k
1
4
4
=
K
e
LBM Ko K11e, ne, ne, ( ) LBM Ko K22e, ke, ke, ( )+( ) LBM Ko K12e, ne, ke, ( )+ LBM Ko K12eT
, ke, ne, ( )+
∑:=
G
e
LBM Ko G11e, ne, ne, ( ) LBM Ko G22e, ke, ke, ( )+( ) LBM Ko G12e, ne, ke, ( )+ LBM Ko G12eT
, ke, ne, ( )+
∑:=
K
1 2 3 4 5 6
12
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12001.2 0.0 6.0 -12000.0 0.0 0.00.0 12001.2 6.0 0.0 -1.2 6.0
6.0 6.0 80.0 0.0 -6.0 20.0
-12000.0 0.0 0.0 12001.2 0.0 6.0
0.0 -1.2 -6.0 0.0 12001.2 -6.0
0.0 6.0 20.0 6.0 -6.0 80.0
-1.2 0.0 -6.0 0.0 0.0 0.0
0.0 -12000.0 0.0 0.0 0.0 0.0
6.0 0.0 20.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 -1.2 0.0 -6.0
0.0 0.0 0.0 0.0 -12000.0 0.0
0.0 0.0 0.0 6.0 0.0 ...
kN
m⋅=
G
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 -0.1 0.0 -0.1 0.0 0.0 0.0 0.1
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 -0.1 0.0 -1.3 0.0 0.0 0.0 0.1
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 0.1 0.0 0.1 0.0 0.0 0.0 -0.1
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 -0.1 0.0 0.3 0.0 0.0 0.0 ...
kN
m⋅=
Globalna macierz sztywności K i macierz geometryczna G bez uwzględnienia warunków brzegowych jest osobliwatzn. |K|=0 , |G|=0
Aby obliczyć wyznacznik macierzy, której elementy nie są liczbami bezwymiarowymimusimy macierz pomnożyć przez odwrotność jednostek aby doprowadzić elementy dopostaci bezwymiarowej - to jest wymóg MatCada.
Zamiast zera wyznacznik może być "bardzo małą" liczbą ze względu na niedostatecznądokładność wyrazów macierzy sztywności.
K1m
kN⋅ 0.000 100×=
G1m
kN⋅ 0.000 100×=
Kopiowanie Macierzy K przed modyfikacją uwzględniającą warunki brzegowe
Ko K:= Go G:=
Uwzględnienie warunków brzegowych
Lwb 6:= - liczba warunków brzegowych
s
7
8
9
10
11
12
:= - globalne numery przemieszczeń węzłów blokowanych na podporach
i 1 Lr..:= j 1 Lwb..:=
Kosj i, 0:= Gosj i, 0:= zerowanie wierszy
Koi sj, 0:= Goi sj, 0:= zerowanie kolumn
wstawianie jedności na przekątnąmacierzy sztywności
Kosj sj, 1kN
m:=
Ko
1 2 3 4 5 6 7
12
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12001.2 0 6 -12000 0 0 00 12001.2 6 0 -1.2 6 0
6 6 80 0 -6 20 0
-12000 0 0 12001.2 0 6 0
0 -1.2 -6 0 12001.2 -6 0
0 6 20 6 -6 80 0
0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 ...
kN
m⋅= Go
1 2 3 4 5
12
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 -0.12 0
0 0 0 0 0
0 0 0 -0.1 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 ...
kN
m⋅=
Ko 1⋅m
kN1.742 1016×= - wyznacznik macierzy Ko jest zawsze większy od zera, |Ko|> 0
Go 1⋅m
kN0.000 100×= - wyznacznik macierzy Go może być równy zeru
Ko σ Go⋅+ 0= - warunek niejednoznaczności przemieszczeń, czyli mozliwość utraty stateczności
KG x( ) Ko x Go⋅+( )m
kN⋅:=
Oszacowanie "z dołu" i "z góry" wartościsiły krytycznej za pomocą wzoru EuleraN 200:=
i 1 N..:= σi i 0.1⋅:=P1
π2 E⋅ J1⋅
1 L1⋅( )2:= P1 9.870 kN⋅=
Wi KG σi( ):=
Wykres zmienności wyznacznika macierzyP2
π2 E⋅ J1⋅
0.699 L1⋅( )2:= P2 20.200 kN⋅=
0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20
1− 1016
×
5− 1015
×
5 1015
×
1 1016
×
1.5 1016
×
2 1016
×
Wi
σi
E J1⋅
L1( )21.000 kN⋅=
Siła krytyczna ma przybliżoną wartość Pkr=14,878 kN - jest niecomniejsza niż wartość podana w książce MbUk, przykład 6-4b (14,8794),gdyż w tym przykładzie uwzględniono ściśliwość podłużną prętów
N1 1487:= N2 1488:=
i N1 N2..:= σi i 0.01⋅:=
Wi KG σi( ):=
14.87 14.872 14.874 14.876 14.878 14.88
2− 1012
×
2 1012
×
4 1012
×
6 1012
×
8 1012
×
Wi
σi
Siła krytyczna wyliczona za pomocą Algora bez podziału prętów nawiększą liczbę elementów Pkr=14,8741 kN
Obliczenie siły krytycznej za pomocą ścisłych funkcji (MbUk)
KG x( )
4 Alfa x( )+
2
Theta x( )−
2
8
6−
Theta x( )−
6−
12 Delta x( )+
:=
N 400:= i 1 N..:= σi i 0.01⋅:= Wi KG σi( ):=
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0.25−
0.25
0.5
0.75
1
1.25
Wi
1000
σi
Siła krytyczna wyliczona za pomocą ścisłych funkcji Alfa, Theta, Deltaoraz założeniu nieściśliwości prętów ma wartość Pkr=14,586 kN - jestnieco mniejsza niż wartość obliczona MES bez podziału prętów aletrochę większa niż obliczone MES z podziałem pręta sciskanego na 10elementów i uwzględnieniu ściśliwości podłużnej preta
N1 3819:= N2 3820:=
i N1 N2..:= σi i 0.001⋅:=
Wi KG σi( ):=
3.819 3.8192 3.8193 3.8195 3.8197 3.8198 3.82
0.4−
0.3−
0.2−
0.1−
0.1
Wi
σi
σ 3.8192:=
Pkr σ2E J1⋅
L1( )2⋅:=
Pkr 14.586 kN⋅=