สถิ�ติ�เบื้��องติ�นในการวั�ดผลและประเมิ�นผลการศึ�กษา

อ.สมพงษ์� พนธุ�รัตน�

ในการัวัดผลการัศึ�กษ์า ผลที่��ได�จากการัวัดจะออกมาในลกษ์ณะของตวัเลข ซึ่��งใช้�เป็%นตวัแที่นของพฤต(กรัรัมต)างๆ หรั,อคุ�ณลกษ์ณะต)างๆ ที่��ต�องการัวัดในตวัผ.�เรั�ยนเพ,�อตรัวัจสอบวั)าผ.�เรั�ยนเก(ดพฤต(กรัรัมหรั,อการัเรั�ยนรั. �ตามวัตถุ�ป็รัะสงคุ�ที่��วัางไวั�หรั,อไม) จ2าเป็%นที่��จะต�องแป็ลคุวัามหมายหรั,ออธุ(บายตวัเลขหรั,อผลการัวัดน3นๆ ให�ม�คุวัามช้ดเจนย(�งข�3น ซึ่��งต�องอาศึยวั(ธุ�การัที่างสถุ(ต(มาช้)วัยในการัอธุ(บาย

มิาติราการวั�ด มิาติราการวั�ด

การัวัดเป็%นการัก2าหนดตวัเลขให�กบส(�งที่��ต�องการัศึ�กษ์าภายใต�กฎเกณฑ์�ที่��แน)นอน คุรั.จ2าเป็%นจะต�องที่รัาบคุ�ณลกษ์ณะของข�อม.ลที่��ถุ.กวัดเพ,�อใช้�ในการัพ(จารัณาวั)า จะเล,อกใช้�วั(ธุ�การัที่างสถุ(ต(ใดจ�งจะเหมาะสม ดงน3นจ�งคุวัรัที่รัาบวั)าข�อม.ลที่��ถุ.กวัด มาน3นอย.)ในมาตรัาการัวัดรัะดบใด ซึ่��งมาตรัาการัวัดแบ)งออกเป็%น 4 รัะดบ

ระด�บื้ที่� 1 มิาติราการวั�ดระด�บื้นามิบื้�ญญ�ติ� (Nominal Scale)

ระด�บื้ที่� 2 มิาติราการวั�ดระด�บื้เร�ยงอ�นด�บื้ (Ordinal Scales)

ระด�บื้ที่� 3 มิาติราการวั�ดระด�บื้ช่$วัง (Interval Scale)

ระด�บื้ที่� 4 มิาติราการวั�ดระด�บื้อ�ติราส$วัน (Ratio Scale)

ระด�บื้ที่� 1 มิาติราการวั�ดระด�บื้นามิบื้�ญญ�ติ� (Nominal Scale)

ระด�บื้ที่� 1 มิาติราการวั�ดระด�บื้นามิบื้�ญญ�ติ� (Nominal Scale)

เป%นระด�บื้ที่� ใช่�จำ'าแนกควัามิแติกติ$างของส� งที่� ติ�องการวั�ดออกเป%นกล*$มิ ๆ โดยใช่�ติ�วัเลข เช่$น ติ�วัแปรเพศึ แบื้$งออกเป%นกล*$มิเพศึช่ายและกล*$มิเพศึหญ�ง ในการก'าหนดติ�วัเลขอาจำจำะใช่�เลข 1 แที่นเพศึช่าย และเลข 2 แที่นเพศึหญ�ง ติ�วัแปรระด�บื้การศึ�กษา แบื้$งออกเป%นกล*$มิที่� มิ�การศึ�กษาติ' ากวั$าปร�ญญาติร� อาจำจำะแที่นด�วัยเลข 1 กล*$มิที่� มิ�การศึ�กษาระด�บื้ปร�ญญาติร� อาจำจำะแที่นด�วัยเลข 2 และกล*$มิที่� มิ�การศึ�กษาส/งกวั$าระด�บื้ปร�ญญาติร� อาจำจำะแที่นด�วัยเลข 3 เป%นติ�น ติ�วัเลข 1 หร�อ 2 หร�อ 3 ที่� ใช่�แที่นกล*$มิติ$าง ๆ น��น ถิ�อเป%นติ�วัเลขในระด�บื้นามิบื้�ญญ�ติ�ไมิ$สามิารถิน'ามิาบื้วัก ลบื้ ค/ณ หาร หร�อหาส�ดส$วัน

ระด�บื้ที่� 2 มิาติราการวั�ดระด�บื้เร�ยงอ�นด�บื้ (Ordinal Scales)

ระด�บื้ที่� 2 มิาติราการวั�ดระด�บื้เร�ยงอ�นด�บื้ (Ordinal Scales)

เป%นระด�บื้ที่� ใช่�ส'าหร�บื้จำ�ดอ�นด�บื้ที่� หร�อติ'าแหน$งของส� งที่� ติ�องการวั�ด ติ�วัเลขในมิาติราการวั�ดระด�บื้น��เป%นติ�วัเลขที่� บื้อกหมิายควัามิหมิายในล�กษณะมิาก-น�อย ส/ง-ติ' า เก$ง-อ$อนกวั$าก�น เช่$น ด.ช่.ด'าสอบื้ได�ที่� 1 ด.ช่.แดงสอบื้ได�ที่� 2 ด.ญ.เข�ยวัสอบื้ได�ที่� 3 หร�อ การประกวัดร�องเพลง นางสาวัเข�ยวัได�รางวั�ลที่� 1 นางสาวัช่มิพ/ได�รางวั�ลที่� 2นางสาวัเหล�องได�รางวั�ลที่� 3 เป%นติ�น ติ�วัเลขอ�นด�บื้ที่� แติกติ$างก�นไมิ$สามิารถิบื้$งบื้อกถิ�งปร�มิาณควัามิแติกติ$างได� เช่$น ไมิ$สามิารถิบื้อกได�วั$าผ/�ที่� ประกวัดร�องเพลงได�รางวั�ลที่� 1 มิ�ควัามิเก$งมิากกวั$าผ/�ที่� ได�รางวั�ลที่� 2 ในปร�มิาณเที่$าใด ติ�วัเลขในระด�บื้น��สามิารถิน'ามิาบื้วักหร�อลบื้ ก�นได�

ระด�บื้ที่� 3 มิาติราการวั�ดระด�บื้ช่$วัง (Interval Scale)

ระด�บื้ที่� 3 มิาติราการวั�ดระด�บื้ช่$วัง (Interval Scale)

เป็%นรัะดบที่��สามารัถุก2าหนดคุ)าตวัเลขโดยม�ช้)วังห)างรัะหวั)างตวัเลขเที่)า ๆ กน สามารัถุน2าตวัเลขมาเป็รั�ยบเที่�ยบกนได�วั)าวั)าม�ป็รั(มาณมากน�อยเที่)าใด แต)ไม)สามารัถุบอกได�วั)าเป็%นก��เที่)าของกนและกน เพรัาะมาตรัาการัวัดรัะดบน�3ไม)ม� 0 (ศึ.นย� ) แที่� ม�แต) 0 (ศึ.นย� ) สมมต( เช้)น นายวั(ช้ยสอบได� 0 คุะแนน ม(ได�หมายคุวัามวั)าเขาไม)ม�คุวัามรั. � เพ�ยงแต)เขาไม)สามารัถุที่2าข�อสอบซึ่��งเป็%นตวัแที่นของคุวัามรั. �ที่ 3งหมดได� หรั,อ อ�ณหภ.ม( 0 องศึา ม(ได�หมายคุวัามวั)าจะไม)ม�คุวัามรั�อน เพ�ยงแต)ม�คุวัามรั�อนเป็%น 0 องศึาเที่)าน3น จ�ดที่��ไม)ม�คุวัามรั�อนอย.)เลยก8คุ,อที่�� - 273 องศึา ดงน3นอ�ณหภ.ม( 40 องศึาจ�งไม)สามารัถุบอกได�วั)าม�คุวัามรั�อนเป็%น 2 เที่)าของอ�ณหภ.ม( 20 องศึา เป็%นต�น ตวัเลขในรัะดบน�3สามารัถุน2ามาบวัก ลบ คุ.ณ หรั,อหารักนได�

ระด�บื้ที่� 4 มิาติราการวั�ดระด�บื้อ�ติราส$วัน (Ratio Scale)

ระด�บื้ที่� 4 มิาติราการวั�ดระด�บื้อ�ติราส$วัน (Ratio Scale)

เป็%นรัะดบที่��สามารัถุก2าหนดคุ)าตวัเลขให�กบส(�งที่��ต�องการัวัด ม� 0 (ศึ.นย� ) แที่� เช้)น น23าหนก คุวัามส.ง อาย� เป็%นต�น รัะดบน�3สามารัถุน2าตวัเลขมาบวัก ลบ คุ.ณ หารั หรั,อหาอตรัาส)วันกนได� คุ,อสามารัถุบอกได�วั)า ถุนนสายหน��งยาวั 50 ก(โลเมตรั ยาวัเป็%น

2 เที่)าของถุนนอ�กสายหน��งที่��ยาวัเพ�ยง 25 ก(โลเมตรั

การแจำกแจำงควัามิถิ� เป็%นการัน2าข�อม.ลหรั,อคุะแนนที่��ได�จากการัวัดผล ซึ่��งเป็%น

ข�อม.ลที่��ม�ลกษ์ณะที่��ไม)เป็%นรัะบบรัะเบ�ยบคุ,อ ม�ที่3งคุะแนนส.ง ต2�า หรั,อคุะแนนที่��ซึ่23ากนป็ะป็นกนอย.) มาจดเรั�ยงล2าดบใหม)ให�เป็%นรัะบบรัะเบ�ยบตามคุวัามมากน�อย และนบจ2านวันข�อม.ลในแต)ละคุ)าหรั,อแต)ละกล�)มวั)า เก(ดข�3นซึ่23าๆ กนก��คุรั3ง ซึ่��งจ2านวันที่��ซึ่23าๆ กนของข�อม.ลแต)ละคุ)าน�3เรั�ยกวั)า “ควัามิถิ� ” การัแจกแจงคุวัามถุ�� จ�งเป็%นการัจดรัะบบของข�อม.ล เพ,�อให�เห8นภาพรัวัมของการัแจกแจงของคุะแนนที่3งหมด การัแป็ลคุวัามหมายของคุะแนนก8จะง)ายข�3น และเป็%นป็รัะโยช้น�ต)อการัน2าไป็ใช้�คุ2านวัณคุ)าสถุ(ต(อ,�นๆ ต)อไป็

การัแจกแจงคุวัามถุ��แบบไม)จดคุะแนนเป็%นกล�)ม(Ungrouped frequency distribution) จากการัสอบในวั(ช้า หลกการัวัดและป็รัะเม(นผลการั

ศึ�กษ์าของนกศึ�กษ์าวั(ช้าเอก การัวัดผลการัศึ�กษ์า จ2านวัน 34 คุน ผลของการัสอบได�คุะแนนเป็%นดงน�3 19 24 17 12 20 15

18 23 11 16 19 22 15

21 20 19 18 17 22

16 15 17 20 14 23

12 18 11 21 10 20

17 16 14 น2ามาสรั�างตารัางแจกแจงคุวัามถุ��ได�ดงน�3

คุะแนน (x) รัอยคุะแนน คุวัามถุ�� (f) คุวัามถุ��สะสม (cf)

24 / 1 34

23 // 2 33

22 // 2 31

21 // 2 29

20 //// 4 27

19 /// 3 23

18 /// 3 20

17 //// 4 17

16 /// 3 13

15 /// 3 10

14 // 2 7

13 - 0 5

12 // 2 5

11 // 2 3

10 / 1 1

การัแจกแจงคุวัามถุ��แบบจดคุะแนนเป็%นกล�)ม (grouped frequency distribution) จากการัสอบป็ลายภาคุเรั�ยนวั(ช้า หลกการัวัดและป็รัะเม(นผลการั

ศึ�กษ์าของนกศึ�กษ์า จ2านวัน 60 คุน จากคุะแนนเต8ม 50 คุะแนน ผลของการัสอบได�คุะแนนเป็%นดงน�3

22 48 30 35 32 26 25 47

42 30 28 44 37 29 26

39 31 42 35 32 37 24

39 29 30 46 27 36 27 41

34 31 37 33 40 49 36 2

8 34 35 33 45 38 43 26

46 25 38 43 31 33 44 4

0 39 41 38 36 35 32 38

ช้3นคุะแนน รัอยคุะแนน คุวัามถุ�� (f) คุวัามถุ��สะสมจากน�อยไป็มาก (cf)

คุวัามถุ��สะสมจากมากไป็น�อย (cf)

47 - 49 /// 3 60 3

44 - 46 //// 5 57 8

41 - 43 //// / 6 52 14

38 - 40 //// //// 9 46 23

35 - 37 //// //// 10 37 33

32 - 34 //// /// 8 27 41

29 - 31 //// /// 8 19 49

26 - 28 //// // 7 11 56

23 - 25 /// 3 4 59

20 - 22 / 1 1 60

การวั�ดแนวัโน�มิเข�าส/$ส$วันกลาง (Measures of Central Tendency)

ติ�วักลางเลขคณ�ติ (Arithmetric Mean)

มิ�ธยฐาน (Median) ฐานน�ยมิ (Mode)

x2Mdn3Mo X

x

n

ii

n

1

ควัามิส�มิพ�นธ5ระหวั$างค$าเฉล� ย มิ�ธยฐานและฐานน�ยมิในร/ปของโค�งควัามิถิ�

MoMdnX

ควัามิส�มิพ�นธ5ระหวั$างค$าเฉล� ย มิ�ธยฐานและฐานน�ยมิในร/ปของโค�งควัามิถิ�

XMdnMo

ควัามิส�มิพ�นธ5ระหวั$างค$าเฉล� ย มิ�ธยฐานและฐานน�ยมิในร/ปของโค�งควัามิถิ�

MoMdnX

การน'าค$าเฉล� ย ค$ามิ�ธยฐาน และฐานน�ยมิไปประย*กติ5ใช่�

ถุ�าข�อม.ลอย.)ในรัะดบนามบญญต( ให�ใช้� ฐานน(ยมเที่)าน3น ถุ�าข�อม.ลอย.)ในรัะดบเรั�ยงอนดบ ใช้�ฐานน(ยมหรั,อ

มธุยฐานก8ได� แต)คุวัรัใช้�มธุยฐานมากกวั)า ถุ�าข�อม.ลอย.)ในรัะดบอนตรัภาคุหรั,ออตรัาส)วัน การัวัด

แนวัโน�มเข�าส.)ส)วันกลางหรั,อการัหาคุ)าที่��เป็%นตวัแที่น สามารัถุใช้�ได�ที่3งคุ)าเฉล��ย คุ)ามธุยฐาน และฐานน(ยม และถุ�าข�อม.ลม�การัแจกแจงเป็%นโคุ�งป็กต(หรั,อใกล�เคุ�ยงโคุ�งป็กต( คุวัรัใช้�คุ)าเฉล��ย แต)ถุ�าข�อม.ลม�การัแจกแจงแบบเบ�มากๆ จะที่างซึ่�ายหรั,อที่างขวัา คุวัรัใช้�คุ)ามธุยฐานเป็%นตวัแที่น

การวั�ดการกระจำาย (Measurement of Variation)

เป็%นการับอกให�ที่รัาบวั)าข�อม.ลเหล)าน3นหรั,อคุะแนนที่��ได�จากการั

วัดเหล)าน3น ม�คุ)าใกล�เคุ�ยงกนหรั,อแตกต)างกน หรั,อกรัะจายจากกนมากเพ�ยงใด ซึ่��งคุ)าใกล�เคุ�ยงหรั,อแตกต)างหรั,อกรัะจายจากกน เป็%นคุ)าใกล�เคุ�ยงหรั,อแตกต)างหรั,อกรัะจายจากคุ)าเฉล��ย หรั,อกล)าวัได�วั)า เป็%นการับอกให�ที่รัาบวั)า ผ.�เรั�ยนคุนอ,�นๆ ได�คุะแนนต)างจากคุะแนนซึ่��งเป็%นตวัแที่นของกล�)ม เที่)าไรั ซึ่��งการัใช้�การัวัดแนวัโน�มเข�าส.)ส)วันกลางเพ�ยงอย)างเด�ยวั เพ�ยงแต)ได�คุ)าที่��เป็%นตวัแที่นของข�อม.ลในการัอธุ(บายลกษ์ณะของข�อม.ลแต)ละช้�ด หรั,ออธุ(บายคุวัามสามารัถุของผ.�เรั�ยนแต)ละกล�)มเที่)าน3น แต)ไม)ที่รัาบวั)าข�อม.ลเหล)าน3น ม�คุ)าใกล�เคุ�ยงหรั,อกรัะจายจากกนมากน�อยเพ�ยงใด หรั,อบอกไม)ได�วั)า ผ.�เรั�ยนในแต)ละกล�)มน3นม�คุวัามสามารัถุแตกต)างกนมากน�อยเพ�ยงใด

โป็รัแกรัมคุณ(ตศึาสตรั�

โป็รัแกรัมการัวัดผลการัศึ�กษ์า

โป็รัแกรัมการัป็รัะถุมศึ�กษ์า

80 60 60

80 70 65

80 80 70

80 80 75

80 80 85

80 80 90

80 90 95

80 100 100

ผลรัวัม 640 640 640

คุ)าเฉล��ย 80 80 80

ช้น(ดของคุ)าการักรัะจายของข�อม.ล พ�ส�ย (Range) ค$าเบื้� ยงเบื้นมิาติรฐาน

(Standard Deviation หร�อ S.D. )

ควัามิแปรปรวัน (Variance หร�อ S.D2

. หร�อ S2) สมป็รัะส(ที่ธุ(=การั

แป็รัผน(Coefficient of Variation :CV)

1n

)Xx(S

n

1i

2i

พ(สย = คุ)าส.งส�ด – คุ)าต2�าส�ด

( )x X

N

ii

N2

1

100xs

CV

ค$าส�มิประส�ที่ธ�7สหส�มิพ�นธ5 (correlation coefficient)

เป็%นคุ)าสถุ(ต(ที่��บ)งบอกให�ที่รัาบวั)าตวัแป็รัต3งแต) 2 ตวัข�3นไป็ ม�คุวัามผนแป็รัเก��ยวัพนกนหรั,อไม) และม�ขนาดคุวัามสมพนธุ�กนมากน�อยเพ�ยงใด ลกษ์ณะของตวัแป็รั 2ตวัที่��ม�คุวัามแป็รัผนตามกน ตวัอย)างเช้)น ผลการัเรั�ยนวั(ช้าคุณ(ตศึาสตรั� กบ ผลการัเรั�ยนวั(ช้าวั(ที่ยาศึาสตรั� ของนกเรั�ยน เรัาจะพบวั)าส)วันมากแล�วั นกเรั�ยนที่��เรั�ยนได�ด�ในวั(ช้าคุณ(ตศึาสตรั� ก8มกจะเรั�ยนได�ด�ในวั(ช้าวั(ที่ยาศึาสตรั�ด�วัย และนกเรั�ยนไม)ด�ในวั(ช้าคุณ(ตศึาสตรั� ก8จะเรั�ยนไม)ด�ในวั(ช้าวั(ที่ยาศึาสตรั�ด�วัยเช้)นกน

แสดงคุวัามสมพนธุ�รัะหวั)าตวัแป็รั X และ Y ซึ่��งม�คุวัามแป็รัผนตามกน ม�การัแป็รัเป็ล��ยนของคุะแนนไป็ในที่(ศึที่างเด�ยวักน XY คุ,อ เม,�อ

X ม�คุ)าเพ(�มข�3น Y ก8ม�คุ)าเพ(�มข�3นเม,�อ X ม�คุ)าลดลง Y ก8ม�คุ)าลดลงด�วัยเช้)นกน เรั�ยกวั)าม�คุวัามสมพนธุ�กนที่างบวัก X

Y

แสดงคุวัามสมพนธุ�รัะหวั)างตวัแป็รั X และ Y ซึ่��งม�คุวัามแป็รัผนแบบผกผน ม�การัแป็รัเป็ล��ยนของคุะแนนไป็ในที่(ศึที่างตรังกนข�าม คุ,อ เม,�อ X ม�คุ)าเพ(�มข�3น แต) Yจะม�คุ)าลดลง และเม,�อ X ม�คุ)าลดลง แต) Y กลบม�คุ)าเพ(�มข�3น เรั�ยกวั)าม�คุวัามสมพนธุ�กนที่างลบX

Y

แสดงคุวัามสมพนธุ�รัะหวั)างตวัแป็รั X และ Yซึ่��งไม)สามารัถุบอกได�วั)า ม�ที่(ศึที่างการัแป็รัผนเก��ยวัพนกนอย)างไรั การัเพ(�มข�3น หรั,อลดลงของคุ)า Xไม)ได�ม�ผลที่2าให�คุ)าของ Yเพ(�มข�3นหรั,อลดลงตามไป็ด�วัย แสดงวั)าตวัแป็รัที่3งสอง ไม)ม�คุวัามสมพนธุ�กน

Y

Pearson’s product-moment coefficient

r

N xy x y

N x x N y yxy

2 2 2 2( ) ( )

คุนที่�� X Y X2 Y2 XY

1 13 11 169 121 143

2 12 14 144 196 168

3 10 11 100 121 110

4 10 7 100 49 70

5 8 9 64 81 72

6 6 11 36 121 66

7 6 3 36 9 18

8 5 7 25 47 35

9 3 6 9 36 18

10 2 1 4 1 2

75 80 687 784 702

rxy

10(702 75 80)

10(687 75 10(784 80)2 2

) ( )(

) ( ) ) ( rxy 0 76.