التقدير اإلحصائي بابكرمصطفى . د

التقدير االحصائي واختبار الفرضيات

التقدير االحصائي لة هنالك �وعان من التقدير اإلحصائي مها التقدير باستخدام القيم املمث •

والتقدير باستخدام حدود أو فرتات ) Point Estimation( للعينة ولقد تناولنا ). Confidence Interval Estimation( الثقة

بق بعض خصائص النوع األول يف استعراضنا لتوزيع املعاينة يف اجلزء السا . وعليه سيختص هذا اجلزء بالنوع الثا�ي من التقدير اإلحصائي

إذا علم ألي مقدر ملعلمة اتمع هنالك طريقة للتعبري عن دقة املقدر •توزيع املعاينة للمقدر وذلك ببناء ما يعرف بفرتات الثقة

(Confidence Interval) حيث �ستخدم قيمة . حول املقدر قيمة املقدر لتحديد قيمتني و حبيث حتتوي الفرتة

ويسمى االحتمال معرباً عنه بالنسبة املئوية . املعلمة باحتمال معني . معامل الثقة أو مستوى الثقة للقيمة التقديرية للمقدر

θ̂θ

θ̂1̂θ2θ̂)ˆ,ˆ( 21 θθ

θ

أن للمقدر توزيع طبيعي ميكن استخدام خصائص التوزيع افرتضنا إذا • :ي الطبيعي املعياري حلساب احتمال وقوع يف الفرتة كاآلت

.حيث هو اخلطأ املعياري للمقدر

θ̂θ)ˆ,ˆ( 21 θθ

( ) ( )2121

21 )ˆ(

ˆ

)ˆ(

ˆˆˆ Ζ<Ζ<Ζ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −<Ζ<

−=<< P

θSeθθ

θSeθθPθθθP

)ˆ(θSeθ̂

α :(0,1( ألي عدد ينتمي للفرتة •

( ) αP αα −=Ζ<Ζ<Ζ− 122

. حيث و يف )Level of Significance( املغزوية وتسمى مبستوى

حالة التـعبري بالنسب املئويـــة وتسمى مبستوى الثقــة )Confidence Level( يف حالة التعبري املئوي وتعرف

يف حالة التعبري )Confidence Coefficient(مبعامل الثقة التطبيقيون يف بناء فرتات الثقة اإلحصائيون ويستخدم . الكسري

وبالرجوع %. 1و % 5 املغزوية واختبار الفرضيات مستوى % 5جلداول التوزيع الطبيعي املعياري جند أن قيمة املقابلة لــ

: عليه. 2.58هي % 1 وقيمة املقابلة لــ 1.96هي ( )( ) 99.058.258.2

95.096.196.1

=<Ζ<−

=<Ζ<−

P

P

22

ααP =Ζ>Ζ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛22

ααP =Ζ−<Ζ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

α)1( α−

2αΖ

2αΖ

ة بتعميم ما سبق فإن القا�ون العام حلساب فرتات الثقة يتم بتعويض قيم •:مقدرات العينة كاآلتي

αθSeαθθθSeαθP

αθSeαθθθSeαP

ααθSeθθ

αP

αααP

−=Ζ+<<Ζ−

−=Ζ<−<Ζ−

−=Ζ<−<Ζ−

−=Ζ<Ζ<Ζ−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

1ˆ(2

ˆ)ˆ(2

ˆ

1ˆ(2

ˆ)ˆ(2

12)ˆ(

ˆ

2

122

: أي أن فرتة الثقة للمعلمة واملقدر ذو التوزيع الطبيعي هي •

: للمعلمة واملقدر هي % 95مثال فرتة الثقة ( ))ˆ(ˆ , )ˆ(ˆ

22θSeθθSeθ αα Ζ+Ζ−

θθ̂

( ))ˆ(96.1ˆ , )ˆ(96.1ˆ θSeθθSeθ +−

θθ̂

مع بالتطبيق على الوسط احلسابي للعينة يف حالة معرفة تباين ات • : كون فرتة الثقة ت

: للوسط احلسابي للمجتمع هي % 95مثال فرتة الثقة

)(x

)( 2σ)1( α−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡Ζ+Ζ−

nσ

αxnσ

αx2

,2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−nσx

nσx 96.1,96.1

إن فرتة مثال لذلك إذا كان ، ، ف أما يف حالة عدم معرفة وصغر )400.98 ,399.02(هي % 95الثقة

واالحنراف املعياري للعينة وتكون فرتة تي حجم العينة يستعاض بالتوزيع : الثقة هي

حيث تي حيث هي درجات احلرية وحتسب من جداول توزيع .

400=x252 =σ100=nσs

)1( α−

νναt ,2

( )2,2

αttP να =>

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−nstx

nstx νν αα ,, 22

,

:مثال بإجراء كازاكا ضمن خطتها إلصالح حركة املرور يف املدينة قامت بلدية

مسح ميدا�ي لتحديد حجم احلركة عرب تقاطع رئيسي يف املدينة خالل باختيار يوم السبت لثما�ية أسابيع متوالية مت عد املركبات . فرتات الصباح

صباحاً ووجد أن 9:00 والساعة 7:00اليت متر عرب التقاطع بني الساعة واالحنراف املعياري للعينة 1500متوسط عدد املركبات للعينة يساوي

ملتوسط عدد املركبات يف % 99املطلوب حساب فرتة الثقة . 300يساوي .جمتمع احلركة عرب التقاطع باعتبار أن توزيع اتمع طبيعي

:احلل�سبة لصغر حجم العينة وعدم معرفة االحنراف املعياري للمجتمع

3.499 جند أن تي من جداول . لبناء فرتة الثقة تي �ستخدم التوزيع ملتوسط احلركة يف % 99وعلي فإن فرتة الثقة = =

: اتمع هي

أو

7,005.0tναt ,2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ×+×−7

300499.31500 ,7

300499.31500

[ ]75.1896,25.1103

بالتطبيق على النسبة يف العينة ميكن حساب فرتة •الثقة باستخدام التوزيع الطبيعي لتقريب توزيع

: النسب كاآلتي P̂

)1( α−

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡Ζ+Ζ− nqPαPnqPαP ˆˆ

2ˆ,ˆˆ

2ˆ

:مثال 200 أسرة هو 500إذا كان عدد األسر ذات الدخل احملدود لعينة من

لنسبة األسر ذات الدخل احملدود يف اتمع % 95ميكن حساب فرتة الثقة :كاآلتي

أو⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ×+×− 5006.04.096.14.0,5006.04.096.14.0

[ ].4430 ,357.0

ميكن حتديد حجم العينة املطلوب للحصول على دقة معينة يف تقدير •مثال إذا حدد�ا مسبقاً مقدار . معلمة اتمع باستخدام فرتات الثقة

زيع خطأ العينة باالّ يتجاوز حنصل من قا�ون فرتة الثقة للتو :الطبيعي على التعبري

:وبالتطبيق على الوسط احلسابي للعينة

θθ −ˆD

)ˆ(2

θSeD αΖ=

أو

أو

nσ

αD2

Ζ=

D

σαn 2

Ζ=

2

222D

σαn

Ζ=

ون مثال لـــــ ، و يك : حجم العينة املطلوب للحصول على هذه الدقة

. مشاهدة 246أي أ�نا حنتاج لعينة حتتوي على

05.0=α4000=σ500=D

86.2452)500(

2)4000(2)96.1( ==n

أيضاً ميكن بناء فرتات الثقة للفرق يف الوسط احلسابي أو النسبة بني •: عينتني لتقدير الفرق بني اتمعني يف حالة التوزيع الطبيعي كاآلتي

: بالنسبة للفرق لتقدير

: وللفرق يف النسبة لتقدير

)( 21 xx −)( 21 µµ −

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+Ζ+−+Ζ−−2

22

1

21

2)21(,

2

22

1

21

2)21( n

σnσ

αxxnσ

nσ

αxx

)ˆˆ( 21 PP −)( 21 PP −

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+Ζ+−+Ζ−−222

111

2)ˆ1

ˆ(,222

111

2)2

ˆ1ˆ( n

qPnqP

αPPnqP

nqP

αPP

:مثال ذكر و 80لتقدير التفرقة يف األجور بني اإل�اث والذكور وجد لعينتني من

3000 باحنراف معياري 20,600 أ�ثى أن متوسطي الدخول يساويان 60املطلوب حساب فرتة . لإل�اث 2500 باحنراف معياري 19,700للذكور و

.للفرق يف الدخول بافرتاض التوزيع الطبيعي % 95الثقة

:احللم �سبة لكرب حجم العينتني ميكن استخدام التوزيع الطبيعي بالرغم من عد

وبتطبيق التوزيع الطبيعي فإن فرتة . معرفتنا لالحنراف املعياري للمجتمع :تساوي % 95الثقة

⎥أو⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+++− 60

2250080

2300096.1900,6022500

802300096.1900

[ ]4.1665 ,6.134

أن وإذا استبدلنا يف املثال األوساط احلسابية بالنسب يف العينة مثالولإل�اث تساوي % 40 تساوي �10,000سبة الذكور ذوي الدخول أكثر من

:للفرق يف النسب % 95ميكن حساب فرتة الثقة % 30

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ×+×+×+×− 607.03.0

806.04.096.11.0,60

7.03.080

6.04.096.11.0