Standardowe zadanieprogramowania liniowego

Gliwice 1

Standardowe zadanie programowania liniowego

Rozważamy proces, w którym zmiennymi są x1, x2, …, xn.Proces poddany jest m ograniczeniom, zapisanymi w postaci

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

.........

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x b

+ + + =+ + + =

+ + + =

(1)

aij, bi – znane współczynniki

Gliwice 2

Standardowe zadanie programowania liniowego

Dopuszczamy jedynie nieujemne wartości xj, czyli:

0, 1,2, ...,jx j n≥ = (2)

Zakładamy również, że:

0, 1,2, ...,ib i m≥ = (3)

Z procesem jest związana funkcja celu Z:

1 1 2 2 ... n nZ c x c x c x= + + + (4)

cj, j = 1,2, …,n – znane współczynniki

Gliwice 3

Standardowe zadanie programowania liniowego

Zagadnienie polega na maksymalizacji (minimalizacji) funkcjicelu Z (4), spełniającej ograniczenia (1), (2), (3).

Model matematyczny:

1

1

FC : MAX

O : 0, 1,2, ...,0, 1,2, ...,

n

j jj

m

ij j ij

j

i

Z c x

a x b

x j nb i m

=

=

= →

⎧=⎪

⎪⎪ ≥ =⎨⎪ ≥ =⎪⎪⎩

∑

∑(5)

Gliwice 4

Standardowe zadanie programowania liniowego

Zapis w postaci macierzowejTFC : MAX

O : 00

Z = →

=⎧⎪ ≥⎨⎪ ≥⎩

c xAx bxb

(6)

11 12 1 1 1 1

21 22 2 2 2 2

1 2

...

...... ... ... ... ... ... ...

...

n

n

m m mn n n n

a a a c x ba a a c x b

a a a c x b

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A c x b

Gliwice 5

Standardowe zadanie programowania liniowego

Przykład 1

Zakład zamierza rozpocząć produkcję dwóch wyrobów: W1 i W2. Wśród środków produkcyjnych, które zostaną użyte w procesie produkcji dwa są limitowane. Limity te wynoszą: dla środka pierwszego S1 63 kilogramy, dla środka drugiego S2 64 kilogramy. Aby wyprodukować jeden wyrób W1 potrzeba 9 kg środka S1 oraz 8 kg środka S2. Aby wyprodukować jeden wyrób W2 potrzeba 7 kg środka S1 oraz 8 kg środka S2. Wyrób W1 będzie produkowany jednocześnie na 3 maszynach, a wyrób W2 na 2 maszynach. Koszty przestrojenia maszyn zwrócą się po wyprodukowaniu łącznie 6 sztuk wyrobów.Wiedząc, że cena za wyrób W1 będzie wynosić 6 zł, a cena za wyrób W2 5 zł określić wielkość produkcji, która zoptymalizuje zysk ze sprzedaży.

Gliwice 6

Standardowe zadanie programowania liniowego

W1 W2

S1

S2

ilośćmaszyn

cena

Gliwice 7

Standardowe zadanie programowania liniowego

Zmienne decyzyjne:

x1 –x2 –

Gliwice 8

Standardowe zadanie programowania liniowego

Funkcja celu (FC):

( )1 2,Z x x =

Ograniczenia (O):

1

2

3

Warunki brzegowe (WB):

1 2 ,x x

Gliwice 9

Standardowe zadanie programowania liniowego

Zadanie programowania liniowego

( )1 2,Z x x =FC:

O:1

2

3

1 2 ,x xWB:

Gliwice 10

Metoda geometryczna

Gliwice 11

Metoda geometryczna

1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 x1

x2

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

Gliwice 12

Metoda geometryczna

Z (2, 0) = 6·2 + 5·0 = 12

Z (7, 0) = 6·7 + 5·0 = 42

Z (3.5, 4.5) = 6·3.5 + 5·4.5 = 43.5

Z (0, 8) = 6·0 + 5·8 = 40

Z (0, 3) = 6·0 + 5·3 = 15

A (2, 0)

B (7, 0)

C (3.5, 4.5)

D (0, 8)

E (0, 3)

MAX

Odpowiedź:

Gliwice 13

Zadanie dualne

Gliwice 14

Zadanie dualne

Przykład 2

Zakład produkuje cztery wyroby (F1, F2, F3 i F4). Wśród środków produkcyjnych, używanych w procesie wytwarzania wyrobów dwa są limitowane. Limity te, oraz ilości środków potrzebne do wytworzenia poszczególnych wyrobów zostały przedstawione w tabeli.Znając jednostkowe ceny wyrobów, określić taki plan produkcji, aby zysk był maksymalny.

Gliwice 15

Zadanie dualne

F1 F2

1 3

1

9

4

8

F3 F4

S1 1 1 600

S2 1 5 1200

cena 6 10

Zmienne decyzyjne:

xi – wielkość produkcji wyrobu Fi, i = 1…4

Gliwice 16

Zadanie dualne

MODEL MATEMATYCZNY:

Funkcja celu (FC):

( )1 2 3 4 1 2 3 4, , , 8 9 6 10 MAXZ x x x x x x x x= + + + →

Ograniczenia (O):

1 2 3 4

1 2 3 4

3 6004 5 1200

x x x xx x x x+ + + ≤+ + + ≤

Warunki brzegowe (WB):

1 2 3 40, 0, 0, 0x x x x≥ ≥ ≥ ≥

Gliwice 17

Zadanie dualne

Zadanie pierwotne (ZP):

TFC: MAXO:WB: 0

Z = →≤

≥

c xAx bx

Zadanie dualne (ZD):

T

T

ˆFC: MINO:WB: 0

Z = →≥

≥

b yA y cy

Gliwice 18

Zadanie dualne

MODEL MATEMATYCZNY ZADANIA DUALNEGO:

Funkcja celu (FC):

( )1 2ˆ ,Z y y =

Ograniczenia (O):

1

2

3

4

Warunki brzegowe (WB):

1 2 ,y y

Gliwice 19

Zadanie dualne

Interpretacja zadania dualnego

Zmienne decyzyjne w zadaniu dualnym:

y1 –y2 –

( )1 2ˆ ,Z y y =

Gliwice 20

Zadanie dualne

Interpretacja zadania dualnego c.d.

Wyprodukowanie wyrobów wiąże się z kosztem środków S1 i S2. Konkurent, aby zachęcić producenta do sprzedaży materiałów musi mu zapłacić co najmniej tyle, ile producent uzyskałby ze sprzedaży wyrobów, które produkuje

Gliwice 21

Zadanie dualne

Twierdzenie o dualności

Zadanie pierwotne ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy zadanie dualne ma rozwiązanie, oraz:

( ) ( )ˆMAX MINZ Z=

Gliwice 22

Zadanie dualne

Na podstawie metody geometrycznej:

( )A 0,9 ( )ˆ A 10800Z =

( )ˆ B 6300Z =

( )ˆ C 4200Z =

( )ˆ D 6000Z =

( )B 3/ 2,9 / 2

( )C 5,1 MIN→

( )D 10,0

Aby koszt materiałów był najmniejszy i wynosił 4200 zł, konkurent musi zapłacić za jednostkę S1 5 zł, a za jednostkę S2 1 zł.

Gliwice 23

Zadanie dualne

Na podstawie twierdzenia o dualności:

Maksimum FC zadania pierwotnego jest równe minimum FC zadania dualnego.

Zysk producenta wyniesie również 4200 zł.

Jakie jest rozwiązanie zadania pierwotnego?

TWIERDZENIE O RÓWNOWADZE.

Gliwice 24

Zadanie dualne

Twierdzenie o równowadze

Jeżeli i-ty warunek zadania pierwotnego (ZP) jest (chociażw jednym) w optymalnym rozwiązaniu spełniony z nierównością(w sposób ostry), to odpowiadająca mu i-ta zmienna yiw (dowolnym) optymalnym rozwiązaniu zadania dualnego (ZD) przyjmuje wartość zero.

Dla zmiennej xi>0 w rozwiązaniu optymalnym ZP odpowiadające jej i-te ograniczenie w ZD jest ograniczeniem równościowym.

Twierdzenie o równowadze jest również słuszne w przeciwną stronę

Gliwice 25

Zadanie dualne

Rozwiązanie przykładu:

1 25, 1y y= =

Sprawdzenie ograniczeń ZD:

1:j =

2 :j =

3:j =

4 :j =

Nierówności ostre dla

W rozwiązaniu optymalnym ZP

Gliwice 26

Zadanie dualne

1 25 0, 1 0y y= > = >Ponieważ:

Ograniczenia 1 i 2 w ZP są ograniczeniami równościowymi(przy czym x1 = 0, x2 = 0):

3 4

3 4

6005 1200

x xx x

+ =+ =

3 4450, 150x x= =

( )1 2 3 4, , , 8 0 9 0 6 450 10 150 4200Z x x x x = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =FC:

Gliwice 27

Zadanie dualne

Odpowiedź do zadania pierwotnego:

Aby zysk był maksymalny, producent musi wyprodukować450 jednostek F3 oraz 150 jednostek F4. Zysk wyniesie 4200.

Gliwice 28

Szczegółowe zasadyformułowania zadania dualnego

Gliwice 29

Szczegółowe zasady formułowania zadania dualnego

Zadanie pierwotne Zadanie dualne

maksymalizacja minimalizacja

Gliwice 30

Szczegółowe zasady formułowania zadania dualnego

Zadanie pierwotne Zadanie dualne

Ograniczenia:

i – te: ≥

i – te: ≤

i – te: =

Zmienne:

yi ≤ 0

yi ≥ 0

yi dowolne

Gliwice 31

Szczegółowe zasady formułowania zadania dualnego

Zadanie pierwotne Zadanie dualne

Zmienne:

xj ≥ 0

xj ≤ 0

xj dowolne

Ograniczenia:

j – te: ≥

j – te: ≤

j – te: =

Gliwice 32

Szczegółowe zasady formułowania zadania dualnego

Przykład 3

Dla podanego zadania pierwotnego zapisać zadanie dualne.

( ) 1 2 3 42 3 MAXZ x x x x= + + + →xFC:

O:1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 202 3 503 2 40

x x x xx x x xx x x x

+ − + =+ + − ≤− + + ≥

1 2 3 40, 0, 0, dowolnex x x x≥ ≥ ≤WB:

Gliwice 33

Szczegółowe zasady formułowania zadania dualnego

Zadanie dualne:

( )Z =yFC:

O:

WB:

Gliwice 34