staff.agu.edu.vn · 2012-09-23 · 2 1 1 y arctan2x 3x 2 arctan2x 1 9x ... 3 2 2cosx 1 y + 3 sinx 1...

1

TOÁN B1 CHƯƠNG I GIỚI HẠN HÀM MỘT BIẾN

Câu 1: ( 2điểm )

Ta có:

1 12 323 4 4

2 2 2x 0 x 0 x 0

1 x 1 1 2x 11 x 1 1 1 2xlim lim limx x x x x x

(0,5 điểm)

Khi x 0 thì 1

2 23 11 x 1 x3

, 14

1 x1 2x 1 ( 2x)4 2

(0,5 điểm)

Nên

2 223 4

2 2 2x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0

1 1x xx x1 x 1 1 1 2x 1 1 13 32 2lim lim lim lim lim lim xx x x x x x x x 3 2 2

(1,0 điểm)


Ta có: x 0 x 0

cosx -1 t anx1 1 1 cosx -1 1 t anx lim lim. x xx x cosx-1 x t anx xx 0 x 0lim cosx 1+ tanx lim 1 cosx - 1 1+ tanx e e

(1,0 điểm)

Khi x 0 thì 21cosx - 1 x , t anx x2

(0,5điểm)

nên 1x

x 0lim cosx +sinx

2

x 0 x 0

xx2lim lim

x xe e e

(0,5 điểm)


2

Ta có: 2

2 2x 0 x 0

1 cosx cos2x 1 cosx + cosx cosx 1 2sin xlim lim x x

(0,5 điểm)

=

12 2

2 2x 0 x 0

cosx 1 2sin x 11 cosx lim lim

x x

(0,5 điểm)

Khi x 0 thì 12

2 22x1 cosx , 1 2sin x 1 sin x2

(0,5 điểm)

Vậy 2x 0

1 cosx cos2xlim x

=

2

2

2 2x 0 x 0

x cosx sin x 1 32lim lim 12 2 x x

(0,5 điểm)


Ta có:

112 22

x 0 x 02 2

1 xsinx 1 1 2sin x 11 xsinx cos2xlim lim

x x tan tan2 2

(0,5 điểm)

Khi x 0 :

1 21

2 2 2 2 2221 1 x x1 xsinx 1 xsinx x , 1 2sin x 1 sin x x , tan2 2 2 4

Do đó 21

2210 02 4

1 sin 1lim lim 2tan

2x x

xx xx x

và

2

210 02 4

1 cos 2lim lim 4tan

2x x

x xx x

(1,0 điểm)

Vậy x 0 x 0 x 02 2 2

1 xsinx cos2x 1 xsinx 1 1 cos2xlim lim lim 6x x x tan tan tan2 2 2

(5,0 điểm)

3


Ta có: 3 3 3x 0 x 0 x 0

s inx - sinxt anx - sinx sinx(1-cosx)cosxlim lim lim arctanx arctanx cosx. arctanx

(0,5 điểm)

Khi x 0 thì 2

3 3xsinx x,1-cosx ,arctanx x2

(0,5 điểm)

3

3 3x 0 x 0

xt anx - sinx 12lim lim

2 arctanx cosx. x (1,0 điểm)


Khi x 0 : 2012 2012 2 2 6 6sin x x , t an x x ,ln(1 + x ) x

Do đó 2012 2 6sin tan , ln(1 ) 2 2x x x x x x x (0,5 điểm)

Nên 2012 2

6x 0 x 0

s in x + t an x + x x 1lim limln(1 + x ) 2x 2x 2

(1,5 điểm)


Ta có:

14

44

13x 0 x 0 x 0 x 033

3x3x 3x1 11 116 3x 2 91616 64lim lim lim limx 168+2x 2 x x1+ 1 1+ 1 124 4

(2,0 điểm)


Đặt t x2

. Khi x2

thì t 0 (0,5 điểm)

Vậy t 0 t 0 t 0x

2

cos t lim x t anx = lim t t an t lim t.co t t = lim t. 12 2 sin t

(1,5 điểm)


4

Ta có: 3 3

2 2 2x 0 x 0 x 0

cosx cosx cosx 1 cosx 1lim lim limsin x sin x sin x

(0,5 điểm)

2x 0 x 0 2 3 2 3

cosx-1 cosx-1lim limsin x cosx 1 sin x cos x cosx 1

Khi x 0 thì 2

2 2 xsin x x , cosx-12

(0,5 điểm)

2 2

3

2 2x 0 x 0 x 0 2 3 2 3

x xcosx cosx 1 1 12 2lim lim lim

4 6 12sin x x cosx 1 x cos x cosx 1

(1,0 điểm)


Ta có: 4 3 2

2x 0 x 0 x 0

x 4x 12xlim lim lim 0 2x 2sinx 2 2cosx x 2cos x 2

(2,0 điểm)


Ta có: 1

ln x x 0

1lim ln cot x1ln xln cot xln x

x 0 x 0lim cot x lim e e

(0,5điểm)

2 2

x 0 x 0 x 0

1 1ln cot x sin x sin xlim lim lim 11 cos x 1ln x cot x. .

x s inx x

(1,0 điểm)

Vậy 1

1ln xx 0

1lim cot x ee

(0,5 điểm)


Ta có: x 0 x 0 x 0

1 2 sinx-2x cosx-2lim lim limx sinx x sinx sinx + x.cosx

(2,0 điểm)


5

Ta có:s inx x s inx-x s inx. .

x - sinx s inx-x x x - sinx 1

x 0 x 0

s inx sinx 1lim lim 1 1 e x x e

(2,0 điểm)


Khi x 0 thì 2

3 3 3 3 2 2xarcsin x x,1 cosx ,sin x x , tan x x ,sin x x2

Nên 3 2 3 2 41 2arcsin cos sin 2 , tan 6sin 10x x x x x x x x x x (1,0 điểm)

Vậy 3 2

3 2 4x 0 x 0

1 2arcsin x cos x sin x x 2xlim lim 2 tan x 6sin x x 10x x

(1,0 điểm)


Ta có: x 02

11 sin 2x limxsin 2x 2x

x 0A lim 1 sin 2x e

(0,5 điểm)

Khi x 0 thì x 0

1limx nên A = (0,5 điểm)

Khi x 0 thì x 0

1limx nên A = 0 (0,5 điểm)

Vậy không tồn tại 21

2xx 0lim 1 sin 2x

(0,5 điểm)


Ta có: x x

2ln arctanx2lim x.ln arctanx lim 1

x

(0,5 điểm)

=

2

2 2

x x

2

2 1 -x. . 1 21+x 1+xlim lim1 2 arctanx. arctanxx 2

(1,5 điểm)

6


Do 1 1arctan xarctan xx 2 x 2

(1,0 điểm)

Mà x 0lim x 0

2

nên

x 0

1lim x.arctan 0x

(1,0 điểm)


Ta có: x 0

11 1 1 lim x.arctanarctan xarctan 0xx x xx 0 x 0lim 1 x lim 1 x e e 1

(2,0 điểm)


Theo quy tắc L’ Hospital ta có:

11 x

1xx

x 0 x 0 x 0

1 x e1 x elim lim lim 1 x

x x

Đặt

1 1x x

2 2

x ln(1 x)ln 1 x x x ln(1 x)1 y x 1y 1 x ln y ln 1 x y 1 x .x y x x

(1,0 điểm)

Nên

1x

2x 0 x 0 x 0 2

xx ln(1 x)ln(1 x) x 1x 1A lim 1 x .lim e.limx x

(0,5 điểm)

2 2

2 2x 0 x 0 x 0 x 0

1 1 1 (x 1)x 1(x 1) (x 1) x 1 1 1 1e.lim e.lim e.lim . e.lim . e

2x 2x 2x 2 2(x 1) (x 1)

( 0,5 điểm)

CHƯƠNG II

7

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN


Ta có: s inx s inxy sinx sinxy x ln y sinx.lnx cosx.lnx + y =x cosx.lnx +y x x

(2,0 điểm)


Ta có: 53

5 10310

x 1 2x 3y ln y ln x 1 ln 2x 3 ln x ln(7x 3)

x (7x 3)

(0,5 điểm)

1 1ln y ln(x 1) 5ln 2x 3 ln x 10ln(7x 3)3 2

(0,5 điểm)

y 1 10 1 70y 3(x 1) 2x 3 2x 7x 3

(0,5 điểm)

y 53

10

x 1 2x 3 1 10 1 703(x 1) 2x 3 2x 7x 3x (7x 3)

(0,5 điểm)


Ta có: xy x ln y x.lnx (0,5 điểm)

y lnx +1y

(0,5 điểm)

y = y lnx +1 (0,5 điểm)

8

xy = x lnx +1 (0,5 điểm)


Ta có: 2

1 1y arctan2x 3x2 arctan2x 1 9x

(1,0 điểm)

2 2

1 1 3y 2x1 4x2 arctan2x 1 9x

(0,5 điểm)

2 2

1 3y1 4x arctan2x 1 9x

(0,5 điểm)


Ta có: 1y 2lnx. ln x 1 ln 3x2 1 ln 3x

(1,0 điểm)

2lnx 1 1y . 3xx 3x2 1 ln 3x

(0,5 điểm)

2lnx 1yx 2x 1 ln 3x

(0,5 điểm)


9

Ta có: 2

2 231 1y sin x . sin x . 1 arcsin2x3 2 1 arcsin2x

(1,0 điểm)

4 23

1 1 1y 2sin x. sin x . 2x2 1 arcsin2x3 sin x 1 4x

(0,5 điểm)

3 2

1 1y 2sin x.cosx + 3sinx sin x 1 4x 1 arcsin2x

3 2

2cosx 1y + 3 sin x 1 4x 1 arcsin2x

(0,5 điểm)


Ta có: 2

422

42

1 1 xy1 x1 x

1 x

(0,5 điểm)

32 24

2 224

2

1 1 1 x 1 xy . .4 1 x 1 x1 x

1 x

(0,5 điểm)

22 3 224 42 2

1 1 1 4xy . .41 x 1 x1 x

1 x 1 x

(0,5 điểm)

2 4222

x xy1 x 1 x. 1 x1 x

(0,5 điểm)

CHƯƠNG III ĐẠO HÀM – VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

Câu 27: ( 2 điểm )

10

1/ ( 1 điểm ) Rõ ràng 2 2 0 ( , ) (0,0)t x y x y

Do đó 2 2

2 2

sin( ) sin 1x y tx y t

khi ( , ) (0,0)x y ( 0,5 đ )

Vì vậy 2 2

2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0)

sin( )lim ( , ) lim 1 1 1 0x y x y

x yf x yx y

( 0,5 đ )

2/ ( 1 điểm ) f liên tục tại (0,0) ( , ) (0,0)

lim ( , ) (0,0)x y

f x y f

2016 1008 1008 22 1 0 ( 1) 0m m m ( 0,5 đ )

1008 1m 1 1m m ( 0,5 đ )

Câu 28: ( 2 điểm )


Do đó

2 2

2

12

22

2 2( , ) (0,0) 0 02

1 1lim lim lim 1(1 ) 11 1

tx y

t

tx y t t

e etx y

( 0,5 đ )

( vì khi ( , ) (0,0)x y nên 1

2 22 20: 1 , (1 ) 1

t t tt e t )

nên 2 2

2

2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0)

1lim ( , ) lim 11 1

x y

x y x y

ef x yx y

( 0,5 đ )

2/ ( 1 điểm )

f liên tục tại (0,0) ( , ) (0,0)

lim ( , ) (0,0)x y

f x y f

( 0,5 đ )

4 3 32 1 1 ( 2) 0 0 2m m m m m m ( 0,5 đ )

Câu 29: ( 2 điểm )


11

Do đó

2 2

222

2 2( , ) (0,0) 0 02 2

2sin( 1) sin( 1)lim lim lim 1t

x yt

t tx y t t

e ex y

( 0,5 đ )

( vì khi ( , ) (0,0)x y nên 2 220: sin( 1) 1

t t tt e e )

nên 2 2

2

2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0)

2sin( 1)lim ( , ) lim 1x y

x y x y

ef x yx y

( 0,5 đ )

2/ ( 1 điểm )

Khi hàm 2 2

2

2 2

2sin( 1): ( , )x y

ef f x yx y

, f liên tục tại mọi ( , )x y 2 \{(0,0)} .

Do đó

f liên tục trên 2 f liên tục tại (0,0) ( 0,5 đ )

( , ) (0,0)

lim ( , ) (0,0)x y

f x y f

2018 1 1 1m m m ( 0,5 đ )

Câu 30: ( 2 điểm )


Do đó

2 2

222

2 2( , ) (0,0) 0 02 2

2arctan( 1) arctan( 1)lim lim lim 1t

x yt

t tx y t t

e ex y

( 0,5 đ )

( vì khi ( , ) (0,0)x y nên 2 220: arctan( 1) 1

t t tt e e )

nên 2 2

2

2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0)

2arctan( 1)lim ( , ) lim 1x y

x y x y

ef x yx y

( 0,5 đ )

2/ ( 1 điểm )

12

Khi hàm 2 2

2

2 2

2arctan( 1): ( , )x y

ef f x yx y


Do đó


( , ) (0,0)

lim ( , ) (0,0)x y

f x y f

2019 1 0m m ( 0,5 đ )

Câu 31: ( 2 điểm )


Do đó

2 2

992 2( , ) (0,0) 0 09

9

ln(1 ) ln(1 )9 9lim lim lim 1

1 11 1

t

tx y t t

x y t

tx y

( 0,5 đ )

( vì khi ( , ) (0,0)x y nên 0:t

199

9 9 9ln(1 ) , 1 1 (1 ) 1t t tt t )

Vì vậy

2 2

2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 9

ln(1 )9lim ( , ) lim 1

1 1x y x y

x y

f x yx y

( 0,5 đ )

2/ ( 1 điểm )

Khi hàm

2 2

2 29

ln(1 )9: ( , )

1 1

x y

f f x yx y


Do đó


( , ) (0,0)

lim ( , ) (0,0)x y

f x y f

2 2log log2 2(2 2) 1 1 (2 2)

0 0

m mm mm m

13

2 2 2

2 2

2 2

(log )[log (2 2 )] 2 log0

(log )[log (2 2 ) 2] 00

log 0 ( ì log (2 2 ) 2 0 ) 10

m mm

mm

m v mm

( 0,5 đ )

Câu 32: ( 2 điểm )

1/ ( 1 điểm )

Rõ ràng 2 5

52 20 x y y

x y

với mọi ( , ) (0,0)x y và 5

( , ) (0,0)lim 0

x yy

. ( 0,5 đ )

Áp dụng nguyên lý kẹp ta có: 2 5

2 2( , ) (0,0)lim 0

x y

x yx y

Vì vậy 2 5

2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0)lim ( , ) lim 0

x y x y

x yf x yx y

( 0,5 đ )

2/ ( 1 điểm )

f liên tục tại (0,0) ( , ) (0,0)

lim ( , ) (0,0)x y

f x y f

12 1 2 1 2 (2 1) 2 2 1 | 2 |m m m m m m m ( 0,5 đ )

( 2 1 ) 2 02 1 ( ì 2 0 )

0

m m

m mvm

( 0,5 đ )

Câu 33: ( 2 điểm )

14

1/ ( 1 điểm )

Rõ ràng 10 ( | | | | ) arctan( ) ( | | | | )| | | | 2

x y x yx y

với mọi ( , ) (0,0)x y

và ( , ) (0,0)

lim | | | | 0x y

x y

. ( 0,5 đ )

Áp dụng nguyên lý kẹp ta có:

( , ) (0,0)

1lim (| | | |) arctan( ) 0| | | |x y

x yx y

Vì vậy ( , ) (0,0) ( , ) (0,0)

1lim ( , ) lim (| | | |) arctan( ) 0| | | |x y x y

f x y x yx y

( 0,5 đ )

2/ ( 1 điểm )

f liên tục tại (0,0) ( , ) (0,0)

lim ( , ) (0,0)x y

f x y f

( 0,5 đ )

2 1 | 1| ( 1) 0m m m m m

0 1m m ( 0,5 đ )

Câu 34: ( 2 điểm )

1/ ( 1 điểm )

Rõ ràng 10 (| | | |)sin( ) | | | || | | |

x y x yx y

với mọi ( , ) (0,0)x y

và ( , ) (0,0)

lim | | | | 0x y

x y

. ( 0,5 đ )


( , ) (0,0)

1lim (| | | |) sin( ) 0| | | |x y

x yx y

Vì vậy ( , ) (0,0) ( , ) (0,0)

1lim ( , ) lim (| | | | )sin( ) 0| | | |x y x y

f x y x yx y

( 0,5 đ )

2/ ( 1 điểm )

15

f liên tục tại (0,0) ( , ) (0,0)

lim ( , ) (0,0)x y

f x y f

( )

3 2 1 0m

g m

m 0 1m m ( 0,5 đ )

( vì g(0) = g(1) = 0 và pt. g(m) = 0 có tối đa 2 nghiệm phân biệt

(do g”(m)= 23 ln 3 0m trên nên đồ thị hàm g lõm trên ) ) ( 0,5 đ )

Câu 35: ( 2 điểm )

1/ ( 1 điểm )

Rõ ràng 2 2 2 22 2

10 ( )cos( )x y x yx y

với mọi ( , ) (0,0)x y

và 2 2

( , ) (0,0)lim 0

x yx y

. ( 0,5 đ )


2 22 2( , ) (0,0)

1lim ( )cos( ) 0x y

x yx y

Vì vậy 2 22 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0)

1lim ( , ) lim ( )cos( ) 0x y x y

f x y x yx y

( 0,5 đ )

2/ ( 1 điểm )

f liên tục tại (0,0) ( , ) (0,0)

lim ( , ) (0,0)x y

f x y f

9 10 9 10 2 2sin cos 1 sin cos sin cosm m m m m m

2 7 2 8sin (sin 1) cos (1 cos )m m m m ( 0,5 đ )

2 7

2 7 2 82 8

sin (sin 1) 0( ìsin (sin 1) 0;cos (1 cos ) 0)

cos (1 cos ) 0m m

v m m m mm m

16

sin 0 sin 1cos 0 sin 0

m mm m

sin 0 sin 1m m ( , )2

2

m kk l

m l

( 0,5 đ )

Câu 36: ( 2 điểm )

1/ ( 1 điểm )

Rõ ràng 2 2 2 22 2

10 ( )sin( )x y x yx y

với mọi ( , ) (0,0)x y

và 2 2

( , ) (0,0)lim 0

x yx y

. ( 0,5 đ )


2 22 2( , ) (0,0)

1lim ( )sin( ) 0x y

x yx y

Vì vậy 2 22 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0)

1lim ( , ) lim ( )sin( ) 0x y x y

f x y x yx y

( 0,5 đ )

2/ ( 1 điểm )

f liên tục tại (0,0) ( , ) (0,0)

lim ( , ) (0,0)x y

f x y f

cos( sin ) 1 sin 2 ( )m m k k ( 0,5 đ )

sin 2 ( ) sin 0m k k m ( vì sin 1m )

( )m l l ( 0,5 đ )

Câu 37: ( 1 điểm )

Khi ( , ) (0,0)x y trên :d y x , 2

2( , ) (0,0) 0

4lim ( , ) lim 22x y x

xf x yx

(*)

17

Khi ( , ) (0,0)x y trên : y x , 2( , ) (0,0) 0

0lim ( , ) lim 0 22x y x

f x yx

(**)

( 0,5 đ )

Từ (*), (**) ta có : ( , ) (0,0)

lim ( , )x y

f x y

Do đó f không liên tục tại (0,0) ( 0,5 đ )

Câu 38: ( 1 điểm )

Khi ( , ) (0,0)x y trên : 0d y , 4( , ) (0,0) 0


f x yx

(*)

Khi ( , ) (0,0)x y trên : y x ,

4

4( , ) (0,0) 0

1lim ( , ) lim 04 4x y y

yf x yy

(**) ( 0,5 đ )

Từ (*), (**) ta có : ( , ) (0,0)

lim ( , )x y

f x y


Câu 39: ( 1 điểm )

Khi ( , ) (0,0)x y trên : 0d y , 2( , ) (0,0) 0


f x yx

(*)

Khi ( , ) (0,0)x y trên : y x ,

2

2( , ) (0,0) 0

1lim ( , ) lim 02 2x y x

xf x yx

(**) ( 0,5 đ )

Từ (*), (**) ta có : ( , ) (0,0)

lim ( , )x y

f x y


Câu 40: ( 1 điểm )

Khi ( , ) (0,0)x y trên :d y x , 4

4( , ) (0,0) 0

1lim ( , ) lim4 4x y x

xf x yx

(*)

Khi ( , ) (0,0)x y trên : y x ,

18

4

4( , ) (0,0) 0

1 1lim ( , ) lim4 4 4x y x

xf x yx

(**) ( 0,5 đ )

Từ (*), (**) ta có : ( , ) (0,0)

lim ( , )x y

f x y


Câu 41: ( 1 điểm )

Khi ( , ) (0,0)x y trên :d y x , 2( , ) (0,0) 0


f x yx

(*)

Khi ( , ) (0,0)x y trên : 0y ,

2

2( , ) (0,0) 0lim ( , ) lim 1 0

x y x

xf x yx

(**) ( 0,5 đ )

Từ (*), (**) ta có : ( , ) (0,0)

lim ( , )x y

f x y


Câu 42: ( 1 điểm )

Rõ ràng ' ',xy xyx yf ye f xe

Do đó 2 2'' 2 '' '' 2, (1 ) ,xy xy xy

xyx yf y e f xy e f x e ( 0,5 đ )

Nên 2 2

2 '' 2 '' '' 2

2 2 2 2

( , ) 2

2(1 )

xyx y

xy xy xy

d f x y f dx f dxdy f dy

y e dx xy e dxdy x e dy

Suy ra 2 2 2(1,1) [ 4 ]d f e dx dxdy dy ( 0,5 đ )

Câu 43: ( 1 điểm )

Rõ ràng ' 1 ', lny yx yf yx f x x

Do đó 2 2'' 2 '' 1 '' 2( 1) , (1 ln ), lny y y

xyx yf y y x f x y x f x x ( 0,5 đ )

19

Nên

2 2

2 '' 2 '' '' 2

2 2 1 2 2

( , ) 2

( 1) 2 (1 ln ) ln

xyx y

y y y

d f x y f dx f dxdy f dy

y y x dx x y x dxdy x xdy

Suy ra 2 2(1, ) ( 1) 2d f e e e dx dxdy ( 0,5 đ )

Câu 44: ( 1 điểm )

Rõ ràng ' '4 22 , 2x yf x y f x yx y

Do đó 2 2'' '' ''

2 2

4 22 , 1, 2xyx yf f f

x y ( 0,5 đ )

Nên 2 2

2 '' 2 '' '' 2

2 22 2

( , ) 2

4 2(2 ) 2 (2 )

xyx yd f x y f dx f dxdy f dy

dx dxdy dyx y

Suy ra 2 2 2(1,1) 6 2 4d f dx dxdy dy ( 0,5 đ )

Câu 45: ( 1 điểm )

Rõ ràng 2015

2015 sin .xf e yx

( 0,5 đ )

Nên 2016

2015 ( sin ) cosx xf e y e yx y y

Do đó 2016

2015 (0,0)fx y

=1 ( 0,5 đ )

20

Câu 46: ( 1 điểm )

Rõ ràng 2 2 2 2,f y f xx x y y x y

( 0,5 đ )

Do đó 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 0( ) ( )

f f xy xyx y x y x y

( 0,5 đ )

Câu 47: ( 2 điểm )

Giả sử tồn tại ( , )f x y thỏa yêu cầu bài toán (ycbt) ta có:

Từ 24 4 '' 2 ''( , ) ( ) 12 ( )

x

f x f x y x y C x f yx C xy

(1) ( 0,5 đ )

Nhưng 2'' 212

xf x y (2) .Từ (1),(2) : ''( ) 0 ( ) ( , )C x C x ax b a b ( 0,5 đ )

Khi đó a, b thỏa (0,0) 1, (1,1) 2f f với 4( , )f x y x y ax b

Nên b =1 và a = 0 ( 0,5 đ )

Vậy 4( , ) 1f x y yx

Thử lại : Rõ ràng 4( , ) 1f x y yx thỏa ycbt

Vậy ( , )f x y cần tìm định bởi : 4( , ) 1f x y yx ( 0,5 đ )

Câu 48:( 1điểm)

( , )f x y cần tìm thỏa : 2 2 2

22

2 ( , ) ( )( , ) 1( , ) 1

f x y f x y yx y C xyf x xf x x

( 0,5 đ )

2 2

2 2 44

( , ) ( )( , ) 2 1

( ) 1 2f x y yx y C x

f x y yx y xC x x

( 0,5 đ )


( , )f x y cần tìm thỏa : 3 3 22 ( , ) ( )

(1, ) 2(1, ) 2

f y x f x y y x x C yx

f yf y

( 0,5 đ )

21

3 2

3 2 33

( , ) ( )( , ) 1

( ) 1f x y y x x C y

f x y y x x yC y y

( 0,5 đ )



Từ 22 3 2 2 3 '' 2 ''10 ( , ) 5 ( ) 10 6 ( )

y

f xy y f x y x y y x C y f x yx C yx

(1) ( 0,5 đ )

Nhưng 2'' 210 6yf x yx (2) .Từ (1),(2) : ''( ) 0 ( ) ( , )C y C y ay b a b ( 0,5 đ )

Khi đó a, b thỏa (0,0) 1, (1,1) 7f f với 2 2 3( , ) 5f x y x y y x ay b

Nên b =1 và a = 0 ( 0,5 đ )

Vậy 2 2 3( , ) 5 1f x y x y y x

Thử lại : Rõ ràng 2 2 3( , ) 5 1f x y x y y x thỏa ycbt

Vậy ( , )f x y cần tìm định bởi : 2 2 3( , ) 5 1f x y x y y x ( 0,5 đ )



Từ 23 2 4 '' ''2 8 ( , ) 2 ( ) ( )

y

f xy x f x y x y x C y f C yx

(1) ( 0,5 đ )

Nhưng 2'' 0yf (2) .Từ (1),(2) : ''( ) 0 ( ) ( , )C y C y ay b a b ( 0,5 đ )

Khi đó a, b thỏa (0,0) 1, (1,1) 1f f với 2 4( , ) 2f x y yx x ay b

Nên b = a = 1 ( 0,5 đ )

Vậy 2 4( , ) 2 1f x y yx x y

Thử lại : Rõ ràng 2 4( , ) 2 1f x y yx x y thỏa ycbt

Vậy ( , )f x y cần tìm định bởi : 2 4( , ) 2 1f x y yx x y ( 0,5 đ )

22

Câu 52: (2 điểm)

Tọa độ điểm dừng thỏa hệ:

'

'

0 4 2 0 24 2 0 20

x

y

f x xy yf

( 0,5 đ )

Tại điểm dừng I(2,-2):

2 2'' '' ''(2, 2) 2 , (2, 2) 0, (2, 2) 2xyx yA f B f C f ( 0,5 đ )

Nên 2 4 0, 2 0AC B A ( 0,5 đ )

Do đó f đạt cực đại tại (2,-2) ( 0,5 đ )



'

'

0 2 1 0 12 1 0 10

x

y

f x y xx y yf

( 0,5 đ )

Tại điểm dừng I(-1,1):

2 2'' '' ''( 1,1) 2 , ( 1,1) 1, ( 1,1) 2xyx yA f B f C f ( 0,5 đ )

Nên 2 3 0, 2 0AC B A ( 0,5 đ )

Do đó f đạt cực tiểu tại (-1,1) ( 0,5 đ )

Câu 54: ( 2 điểm )


'

'

0 1 0 100 1 0

yx

yy

f e xyf xe

( 0,5 đ )

23

Tại điểm dừng duy nhất I(1,0):

2 2'' '' ''(1,0) 0 , (1,0) 1, (1,0) 1xyx y

A f B f C f ( 0,5 đ )

( vì 2 2'' '' ''0, ,y y

xyx yf f e f xe )

Ta có 2 1 0AC B ( 0,5 đ )

nên I(1,0) không là điểm cực trị

Vậy f không có cực trị ( 0,5 đ )



' 2

' 2

0 2( ) 3( ) 0 0 00 00 2( ) 3( ) 0

x

y

f x y x y x y xx y yf x y x y

( 0,5 đ )

Tại điểm dừng duy nhất O(0,0):

2 2'' '' ''(0,0) 2 , (0,0) 2, (0,0) 2xyx y

A f B f C f

( vì 2 2'' '' ''2 6( ) , 2 6( ) , 2 6( )xyx y

f x y f x y f x y )

Ta có 2 0AC B ( 0,5 đ )

Trong mọi lân cận của O(0,0),

Khi y = x > 0: 3( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 8 0f x y f f x x f x

Khi y = x < 0: 3( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 8 0f x y f f x x f x ( 0,5 đ )

Do đó theo cách chọn ( , )x y như vậy, ( , ) (0,0)f x y f đổi dấu

Vậy f không có cực trị ( 0,5 đ )

24



'

'

0 2 2 2 01 0

2 2 2 00x

y

f x yx y

x yf

( 0,5 đ )

Tại các điểm dừng M 0 0( , )x y thỏa 0 0 1 0x y

2 2'' '' ''

0 0 0 0 0 0( , ) 2 , ( , ) 2, ( , ) 2xyx yA f x y B f x y C f x y

( vì 2 2'' '' ''2, 2, 2xyx yf f f )

Ta có 2 0AC B ( 0,5 đ )

Vì vậy với 0 0 1 0x y :

2 2 2 20 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 2 )f x y f x y x y xy x y x y x y x y

2 2 20 0 0 0

2 2 2

2 2

2

( 2 2 2 ) [( ) 2( )]

( 2 2 2 ) [( 1) 2]( 2 2 2 ) 1( 1) 0

x y xy x y x y x yx y xy x yx y xy x yx y

( 0,5 đ )

Do đó f đạt cực tiểu tại các điểm 0 0( , )x y sao cho 0 0 1 0x y

( 0,5 đ )

25


Hàm Lagrange L: 2 2( , ) ( 10)L x y x y x y

Tọa độ điểm dừng thỏa hệ :

'

'

0 2 0 50 2 0 5

10 0 1010 0

x

y

L x xL y y

x yx y

( 0,5 đ x 2)

Tại (5,5) : 2 2 2(5,5) 2 2 0dL dx dy vì 2 2" " "2, 0, 2xyx y

L L L ( 0,5 đ )

Vậy f đạt cực tiểu có điều kiện tại (5,5) và (5,5) 50f ( 0,5 đ )

Câu 58 : (2 điểm)

Hàm Lagrange L: ( , ) ( , ) ( 10)L x y xy x y xy x y


'

'

0 0 50 0 5

10 0 5( , ) 0

x

y

L y xL x y

x yx y

( 0,5 đ x2 )

Tại (5,5) : 2 2(5,5) 2 2 0dL dxdy dx

( vì 2 2" " "0, 1, 0xyx yL L L ; (5,5) 0d dx dy và 2 2 0dx dy )( 0,5 đ )

Vậy f đạt cực tiểu có điều kiện tại (5,5) với (5,5) 50f ( 0,5 đ )


Hàm Lagrange L: 2 2( , ) 2 ( , ) 2 ( 5)L x y x y x y x y x y


'

'

2 2 1 12 2

0 1 2 0 1 10 1 2 0 2 2

5 0( , ) 0

x

y

L x x xL y y y

x yx y

( 0,5 đ )

Tại (1,2) : 2 2 2(1, 2) 0dL dx dy

( vì 2 2" " "(1, 2) 1, (1, 2) 0, (1,2) 1xyx yL L L và 2 2 0dx dy ) ( 0,5 đ )

26

Tại (-1,-2) : 2 2 2( 1, 2) 0dL dx dy

( vì 2 2" " "( 1, 2) 1, ( 1, 2) 0, ( 1, 2) 1xyx yL L L và 2 2 0dx dy ) ( 0,5 đ )

Vậy f đạt cực tiểu có điều kiện tại (-1,-2) với ( 1, 2) 5f

và đạt cực đại có điều kiện tại (1,2) với (1, 2) 5f ( 0,5 đ )


Hàm Lagrange L: 2 2 2 2( , ) ( , ) ( 1)2 3x yL x y x y x y x y


' 1813

' 1213

7213

2 020

0 2 03

( , ) 01 0

2 3

x

y

xL xL y y

x y x y

( 0,5 đ x2 )

Tại 18 1213 13( , ) : 2 2 218 12

13 13( , ) 2 2 0dL dx dy ( 0,5 đ )

Vậy f đạt cực tiểu có điều kiện tại 18 1213 13( , ) với 18 3612

13 13 13( , )f ( 0,5 đ )


Hàm Lagrange L:

2 2( , ) 6 4 3 ( , ) 6 4 3 ( 1)L x y x y x y x y x y


' 4 45 5

' 3 35 5

2 2 5 52 2

0 4 2 00 3 2 0

1 0( , ) 0

x

y

L x xxL y y y

x yx y

( 0,5 đ )

Tại 345 5( , ) : 2 2 234

5 5( , ) 5( ) 0dL dx dy

27

( vì 2 2" " "3 3 34 4 4

5 5 5 5 5 5( , ) 5, ( , ) 0, ( , ) 5xyx yL L L và 2 2 0dx dy ) ( 0,5 đ )

Tại 345 5( , ) : 2 2 234

5 5( , ) 5( ) 0dL dx dy

( vì 2 2" " "3 3 34 4 4

5 5 5 5 5 5( , ) 5, ( , ) 0, ( , ) 5xyx yL L L và 2 2 0dx dy ) ( 0,5 đ )

Vậy f đạt cực tiểu có điều kiện tại 345 5( , ) với 34

5 5( , ) 1f

và đạt cực đại có điều kiện tại 345 5( , ) với 34

5 5( , ) 11f ( 0,5 đ )


Tọa độ điểm dừng của f trên miền trong 2 2: 1oD x y , thỏa hệ:

'

12'

2 22 2

0 2 1 00 4 0

011

x

y

f xx

f yy

x yx y

nên 1 12 4( ,0)f (1) ( 0,5 đ )

Trên biên 2 2: 1D x y , giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) của ( , )z f x y là giá trị lón nhất ( nhỏ nhất) của 2 2z x x trên [-1,1] ( do 2 21y x ).

Do đó ( , )D

Max f x y

= 94[ 1,1]

Max z

tại 312 2( , )

( , )D

Min f x y

= [ 1,1]Min z

= 0 tại (1,0) (2) ( 0,5 đ x 2)

Rõ ràng hàm f liên tục trên tập compact D nên tồn tại ( , )D

Max f x y , ( , )D

Min f x y .

So sánh các giá trị ở (1), (2) ta có:

9( , )4D

Max f x y tại 312 2( , )

1( , )4D

Min f x y tại 12( ,0) ( 0,5 đ )

28



'

'

2 2 2 22 2

0 2 12 0 60 2 16 0 8 ( . )

100 100100

x

y

f x xf y y v n

x y x yx y

( 0,5 đ )

Đặt ( , )L x y = 2 2 2 212 16 ( 100)x y x y x y

Tọa độ điểm dừng của L trên biên 2 2: 100D x y , thỏa hệ:

'

'

2 22 2

0 2 12 2 00 2 16 2 0

100100

x

y

L x xL y y

x yx y

6 6

8 80 2

x xy y

Khi đó (6, 8) 100; ( 6,8) 300f f (1) ( 0,5 đ x 2 )

Rõ ràng hàm f liên tục trên tập compact D nên tồn tại

( , )D

Max f x y , ( , )D

Min f x y .

So sánh các giá trị ở (1) ta có:

( , ) 300D

Max f x y tại (-6,8)

( , ) 100D

Min f x y tại (6,-8) ( 0,5 đ )



29

'

'

2 22 2

0 2 00

0 2 00

44

x

y

f xx

f yy

x yx y

nên (0,0) 0f (1) ( 0,5 đ )

Trên biên 2 2: 4D x y , giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) của z = f(x,y) là giá trị

lớn nhất ( nhỏ nhất) của 22 4z x trên [-2,2] ( do 2 24y x ).

Do đó ( , )D

Max f x y

= [ 2, 2]

4Max z

tại ( 2,0)

( , )D

Min f x y

= [ 2, 2]Min z

= -4 tại (0, 2) (2) ( 0,5 đ x 2 )

Rõ ràng hàm f liên tục trên tập compact D nên tồn tại ( , )D

Max f x y , ( , )D

Min f x y .

So sánh các giá trị ở (1), (2) ta có:

( , ) 4D

Max f x y tại ( 2,0)

( , ) 4D

Min f x y tại (0, 2) ( 0,5 đ )

Câu 65 : ( 2 điểm )

f có tập xác định D : 2 2 2{( , ) |1 4}x y R x y ( 0,5 đ )

Áp dụng bđt Bunyakovsky và bđt cổ điển :

( , ) ,x y D

2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 1 (1 1 )(4 1) 6x y x y x y x y

2 2 2 2

2 2 522 2

4 1" "

1 4

x y x y x yx y

( 0,5 đ )

30

2 2 2 2 2 2 2 24 1 (4 ) ( 1) 3x y x y x y x y

2 22 2

2 22 2

2 2

4 04

" " 1 0 11 4

x yx y

x y x yx y

( 0,5 đ )

Do đó ( , ) 6D

Max f x y tại (x,y) thỏa 2 2 52x y

( , ) 3D

Min f x y tại (x,y) thỏa 2 2 2 24 1x y x y ( 0,5 đ )

Câu 66 ( 2 điểm )


'

'

2 22 2

0 1 00 1 0 ( . )

11

x

y

ff v n

x yx y

(1) ( 0,5 đ )

Trên 2 2 2{( , ) | 1}D x y R x y , áp dụng bđt Bunyakovsky :

2 2 2 2| ( , ) | | | (1 1 )( ) 2f x y x y x y

Do đó ( , ) 2f x y , “=” xảy ra tại 2 22 2( , )x y D

và 2 ( , )f x y , “=” xảy ra tại 2 22 2( , )x y D

nên ( , ) 2 , ( , ) 2D D

Max f x y Min f x y

(2) ( 0,5 đ x 2 )

Từ (1), (2) ta có ( , ) 2 , ( , ) 2D D

Max f x y Min f x y ( 0,5 đ )

31


* Tìm các điểm dừng ở bên trong hình tròn 2 2 25x y .

Ta có 2 12xf x

2 16yf y

0 6 0 60 8 0 8

x

y

f x xf y y

Vì 2 2 36 64 100 25x y nên (6, 8) không nằm bên trong hình tròn. (0.5)

* Tìm các điểm dừng ở trên biên: 2 2 25x y .

Lập hàm Lagrange: 2 2( , , ) ( , ) ( 25)L x y f x y x y

2 2 2 212 16 ( 25)x y x y x y

Ta có 2 12 2xL x x

2 16 2yL y y

2 22 2

2 2

610 6

80 8 , 11

2525 25

x

y

xL x xL y y y

x yx y x y

32

61

81

13

x

y

(0,5)

Với 1 ta có 1

3(3, 4)

4x

My

.

Với 3 ta có 2

3( 3, 4)

4x

My

(0.5)

Ta có 1( ) 75f M ; 2( ) 125f M

Vậy ( , ) 125D

Max f x y và ( , ) 75D

Min f x y . (0,5)


* Tìm các điểm dừng ở bên trong miền D.

2xf x

8yf y

0 00 0

x

y

f xf y

Ta có 1 điểm dừng 1(0,0)M (0,5)

* Tìm các điểm dừng ở trên biên của miền D.

Lập hàm Lagrange: 2 2 2 2( , , ) 4 ( 4 4)L x y x y x y

33

2 2xL x x

8 8yL y y

2 22 2

2 2

01

0 00

0 01

4 44 4

4 4

x

y

x

L x xy

L y yx yx y

x y

(0,5)

Ta có các hệ sau:

+ 2 2

004 4

x

x y

: vô nghiệm (0,25)

+ 2 2

001 1

14 4

xxyyx y

điểm dừng 2 3(0,1), (0, 1)M M . (0,25)

+ 2 2

10

02

4 4

yy

xx y

điểm dừng 4 5(2,0), ( 2,0)M M . (0,25)

+ 2 2

114 4x y

: vô nghiệm

* Ta có 1( ) 0f M

34

2

3

4

5

( ) 4( ) 4( ) 4( ) 4

f Mf Mf Mf M

Vậy. ( , ) 4D


Min f x y . (0,25)


* Tìm các điểm dừng ở bên trong miền D.

2xf x

2yf y

0 00 0

x

y

f xf y

Vì 2 2 0 1x y nên ta có 1 điểm dừng 1(0,0)M (1.0)

* Tìm các điểm dừng ở trên biên của miền D.

Lập hàm Lagrange: 2 2 2 2( , , ) ( 4 3)L x y x y x x y

2 2 4xL x x

2 2yL y y

2 22 2

2 2

21

0 2 0 00 0 1

( 2) 1( 2) 1

( 2) 1

x

y

x

L x x yL y y

x yx y

x y

35

Với 1

03

xy

x

Điểm dừng 2 3(1, 0); (3, 0)M M

Với 1 1 0x y Điểm dừng 4 (1, 0)M (0.5)

* Ta có 1( ) 0f M

2 4( ) ( ) 1f M f M

3( ) 9f M

Vậy ( , ) 9D


Min f x y . (0,5)


Ta thấy miền D là OAB với (0,0), (6,0), (0,6)O A B .

* Tìm điểm dừng ở bên trong OAB

Ta có 2 3 2 2( , ) 2z f x y x y x y x y

2 24 3 2xf xy x y xy

2 3 22 2yf x x x y

2

0 (4 3 2 ) 0 4 3 2 00 2 2 0(2 2 ) 0

x

y

f xy x y x yf x yx x y

(vì 0, 0x y )

13 2 412 22

xx yx y y

36

Vì 1 31 62 2

x y nên ta có 1 điểm dừng 111,2

M

(1,0)

* Tìm các điểm dừng ở trên biên OAB

Ta có các điểm dừng: (0,0), (6,0), (0,6)O A B .

+ Trên cạnh : 0, 0 6OA y x khi đó 0z .

+ Trên cạnh : 0, 0 6OB x y khi đó 0z (0,25)

+ Trên cạnh : 6 6 , 0 6AB x y y x x

Khi đó 2 2(6 )(2 6 ) 4 ( 6)z x x x x x x

' 2

'

12 480

04 2

x

x

z x xx

zx y

điểm dừng 2 (4, 2)M (0,5)

Ta có: 11( )4

f M

2

( ) ( ) ( ) 0( ) 128

f O f A f Bf M

Vậy 1( , )4D

Max f x y và ( , ) 128D

Min f x y . (0,25)


* Ta thấy miền D là OAB với (0,0), (20,0), (0, 20)O A B .


Ta có 23 15xf x y

37

23 15yf y x

2

2

2 4

0 5 0 50 5 0 5 0

25

x

y

xyf x yf x y xx

2

505

xy

xx

Điểm dừng 1(5, 5)M . (1,0)


Ta có các điểm dừng (0,0), (20,0), (0, 20)O A B .

+ Trên : 0, 0 20OA y x khi đó 3 2( , ) 3 0xf x y x f x .

trên OA không có điểm dừng.

+ Trên : 0, 20 0OB x y khi đó 3 2( , ) 3 0yf x y y f y .

trên OB không có điểm dừng. (0,25)


Khi đó 3 2 2( , ) ( 20) 15 ( 20) 75 1500 8000f x y x x x x x x

150 1500

0 10 10x

x

f xf x y

điểm dừng 2 (10, 10)M (0,5)

Ta có: 1( ) 125f M

2

( ) 0( ) ( ) 8000( ) 500

f Of A f Bf M

38

Vậy ( , ) 8000D

Max f x y và ( , ) 125D

Min f x y . (0,25)


* Ta thấy miền D là OAB với (0,0), ( 3,0), (0, 3)O A B .


Ta có 2 1xf x y

2 1yf y x

0 2 1 10 2 1 1

x

y

f x y xf x y y

Vì 2 3x y nên ta có 1 điểm dừng 1( 1, 1)M . (0,5)


Ta có các điểm dừng (0,0), ( 3,0), (0, 3)O A B .

+ Trên : 0, 3 0OA y x khi đó 2( , ) 2 1xf x y x x f x .

102xf x Điểm dừng 2

1( ,0)2

M . (0,5)

+ Trên : 0, 3 0OB x y khi đó 2( , )f x y y y

2 1

102

y

y

f y

f y

Điểm dừng 31(0, )2

M . (0,25)

39


Khi đó 2( , ) 3 9 6f x y x x

6 9

3 302 2

x

x

f x

f x y

điểm dừng 43 3( , )2 2

M (0,5)

Ta có: 1( ) 1f M

( ) 0( ) 6( ) 6

f Of Af B

2

3

4

1( )41( )43( )4

f M

f M

f M

Vậy ( , ) 6D


Min f x y . (0,25)


* Ta thấy miền D là hình chữ nhật OABC với 1 1(0, 0), (2, 0), (2, ), (0, )2 2

O A B C .

* Tìm điểm dừng ở bên trong miền D

2 2 2 2( , ) 2 4 2f x y xy xy x y x y

40

2 22 4 2 4xf y y xy xy

2 22 8 4yf x xy x x y

0 (1 2 2 ) 0 (1 )(1 2 ) 00 (2 8 4 ) 0 (2 )(1 4 ) 0

x

y

f y x y xy y x yf x x y xy x x y

0112

0214

yx

y

xx

y

Vì 10 2 , 02

x y nên ta có 1 điểm dừng 11(1, )4

M (1,0)

* Tìm các điểm dừng ở trên biên

Ta có các điểm dừng 1 1(0, 0), (2, 0), (2, ), (0, )2 2

O A B C .

+ Trên : 0, 0 2OA y x khi đó ( , ) 0f x y .

+ Trên 1: 2, 02

AB x y khi đó ( , ) 0f x y (0,5)

+ Trên cạnh 1: , 0 22

BC y x khi đó ( , ) 0f x y

+ Trên 1: 0, 02

CO x y khi đó ( , ) 0f x y

41

Ta có: 11( )8

f M

( ) ( ) ( ) ( ) 0f O f A f B f C

Vậy 1( , )8D


Min f x y . (0,5)


* Ta thấy miền D là hình chữ nhật OABC với (0,0), (4,0), (4, 3), (0, 3)O A B C .


4 2xf x

4 2yf y

0 20 2

x

y

f xf y

Ta có 1 điểm dừng 1(2, 2)M (0,5)


Ta có các điểm dừng (0,0), (4,0), (4, 3), (0, 3)O A B C .

+ Trên : 0, 0 4OA y x khi đó 2( , ) 4f x y x x

4 20 2

x

x

f xf x

điểm dừng 2 (2, 0)M

+ Trên : 4, 3 0AB x y khi đó 2 2( , ) 4(4 ) 16 4f x y y y y y

42

4 2

0 2y

y

f yf y

Điểm dừng 3 (4, 2)M (0,5)

+ Trên : 3 , 0 4BC y x khi đó 2 2( , ) 4( 3) 9 4 3f x y x x x x

/

/

4 2

0 2x

x

f x

f x

điểm dừng 4 (2, 3)M

+ Trên : 0, 3 0CO x y khi đó 2( , ) 4f x y y y

4 2

0 2y

y

f yf y

điểm dừng 5 (0, 2)M (0,5)

Ta có: 1( ) 8f M

2

3

4

5

( ) 0( ) 0( ) 3( ) 3( ) 4( ) 4( ) 7( ) 4

f Of Af Bf Cf Mf Mf Mf M

Vậy ( , ) 8D


Min f x y . (0,5)


* Ta thấy miền D là hình vuông OABC với (0,0), ( 3,0), ( 3, 3), (0, 3)O A B C .

43


2 23 3 15xf x y

6 12yf xy

2 2

2 2

220 , 05

10 2 52

x

y

yf y x xx y

x xf xy x yx

Vì 3 0x và 3 0y nên ta có 2 điểm dừng 1 2( 1, 2), ( 2, 1)M M (1,0)


Ta có các điểm dừng (0,0), ( 3,0), ( 3, 3), (0, 3)O A B C .

+ Trên : 0, 3 0OA y x khi đó 3( , ) 15f x y x x

23 15

0 5x

x

f x

f x

Điểm dừng 3 ( 5 , 0)M

+ Trên : 3, 3 0AB x y khi đó 2( , ) 18 9 12f x y y y

18 12

203

y

y

f y

f y

Điểm dừng 42( 3, )3

M (0,5)

+ Trên : 3 , 3 0BC y x khi đó 3( , ) 12 36f x y x x

23 12 0xf x

44

Hàm số không có điểm dừng trên BC .

+ Trên : 0, 3 0CO x y khi đó ( , ) 12f x y y

12 0yf

Hàm số không có điểm dừng trên CO . Ta có: 1( ) 26f M

2

3

4

( ) 0( ) 18( ) 27( ) 36( ) 28

( ) 10 5( ) 22

f Of Af Bf Cf M

f Mf M

Vậy ( , ) 36D


Min f x y . (0,5)


* Ta thấy miền D là hình vuông OABC với (0,0), ( ,0), ( , ), (0, )2 2 2 2

O A B C .


cos os( )xf x c x y

os os( )yf c y c x y

45

0 os os( ) 0 os os 00 osy os( ) 0 os os( ) 0

( ì 0 , 0 )2 2 3os os 0os os2 0 32 2

x

y

f c x c x y c x c yf c c x y c x c x y

x yx yx y v x yx x xc cc x c x

Ta có điểm dừng 1( , )3 3

M (1,0)


Ta có các điểm dừng (0, 0), ( , 0), ( , ), (0, )2 2 2 2

O A B C .

+ Trên : 0, 02

OA y x khi đó ( , ) 2sinf x y x

2cosxf x

0 0xf x (loại)

+ Trên : , 02 2

AB x y khi đó ( , ) 1 sin sin ( )

2f x y y y

cos os( )2yf y c y

0 os( ) os 04 4 4yf c y c y (loại)

+ Trên : , 02 2

BC y x khi đó ( , ) sin 1 sin ( )

2f x y x x

cos os( ) 2cos( ) os2 4 4xf x c x x c

46

04xf x (loại)

+ Trên : 0, 02

CO x y khi đó ( , ) 2sinf x y y

2cosyf y

0 0yf y (loại) (0.5)

Ta có: 13 3( )

2f M

( ) 0( ) 2( ) 2( ) 2

f Of Af Bf C

Vậy 3 3( , )2D


Min f x y . (0,5)

47

CHƯƠNG IV PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN

Câu 77: ( 2 điểm )

Đặt t = x2 dt = 2xdx. Đổi cận: x = 0 t = 0, x =1 t = 1

1 1

22 20 0

dt 1 dtI22 t t 1 1 3t

2 2

(0,5 điểm)

Đặt 2

1 3 3 1t tan u dt . du2 2 2 cos u

.

Đổi cận: t = 0 1tan u u63

, t = 1 tan u 3 u3

(0,5 điểm)

Vậy 3 32

32 2

66 6

3 1. du1 1 3 4 3 32 cos uI . . du . u2 2 2 3 3 183 3tan u

2 2

(1,0 điểm)

( Có thể sử dụng pp phân tích : 1 1 2 1

212 24 2

0 0 2 212

( ) 3.....1 183( )

2

d xxdxIx x

x

)

Câu 78: ( 2 điểm ) Đặt 2t 1 cos x dt 2cos x.s inxdx = - sin2x dx (0,5 điểm)

Đổi cận: x = 0 t = 2, x = 2 t = 1 (0,5 điểm)

1 22

12 1

(t 1)dt 1 1 1 1 1I 1 dt t ln t ln 22t 2 t 2 2 2

(1,0 điểm)

Câu 79: ( 2 điểm )

I2

20

cos x dx8 2sin x

(0,5 điểm)

Đặt t sinx dt = cosxdx . Đổi cận: x = 0 t = 0, x = 2 t = 1

48

1

20

dtI2 4 t

(0,5 điểm)

Đặt t 2sinu dt = 2cosudu . Đổi cận: t = 0 u = 0, t = 1 u6

6 6

20 0

2cosu du 1 1 2I du .6 122 22 4 4sin u

(1,0 điểm)

Câu 80: ( 2 điểm )

Đặt x x

u sin 3x du 3cos3xdxdv e dx v e

. (0,5 điểm)

Vậy 2

x x 220

0

I e sin 3x 3 e cos3x dx e 3J 1

.

Tính J: (0,5 điểm)

Đặt x x

u cos3x du 3sin 3xdxdv e dx v e

.

Vậy 2

x x20

0

J e cos3x 3 e sin 3xdx 1 3I 2

(0,5 điểm)

Thế (2) vào (1): 2

2 3 eI e 3 1 3I I10

(0,5 điểm)

Câu 81: ( 2 điểm )

1 0 1

4 2 4 2 4 21 1 0

x dx x dx x dxIx x 12 x x 12 x x 12

Tính 0

1 4 21

x dxIx x 12

Đặt t = x2 dt = 2xdx. Đổi cận: x = -1 t = 1, x = 0 t = 0

Vậy

1 1 1

1 20 0 0

dt 1 dt 1 1 1 1I . dt2 t 4 t 3 2 7 t 4 t 32 t t 12

=1

0

1 1 3ln t 4 ln t 3 ln14 7 4

(1,0 điểm)

Tính 1

2 4 20

x dxIx x 12

Đặt t = x2 dt = 2xdx. Đổi cận: x = 1 t = 1, x = 0 t = 0

49

1

2 20

dt 1 3I ln7 42 t t 12

. Nên 1 2

2 3I I I ln7 4

(1,0 điểm)

Câu 82: ( 2 điểm )

Ta có: 9 9 9

sin + cos 2 21,x x

x xxe x e x x

(1,0 điểm)

Mà 9

1

2 dxx

hội tụ do 9 12

(0,5 điểm)

Vậy x 9

1

sinx + cosx dxe x

hội tụ (0,5 điểm)

Câu 83: ( 2 điểm )

Ta có: x

x x

x

arctanx2 elim lim arctanx = 1 22 e

(0,5 điểm)

Mà

x t x

x x x x xt0 0 0

1 e edx dx lim dx2 e e 2 e e 2 e

(0,5 điểm)

=tt x t

xx x x tt t t

0 0

1 1 1 1 e 1 e 1 1lim d(e ) lim ln lim ln ln ln 32 e 2 e 2 2 e 2 2 e 3 2

hội tụ

(0,5 điểm)

Vậy x0

arctanx dx2 e

hội tụ. (0,5 điểm)

Câu 84: ( 2 điểm )

Ta có: 2 2 2

s inx 1 1x 4 x 4 x

(1,0 điểm)

Mà 21

1 dxx


Vậy sinx dx2x 41


50

Câu 85: ( 2 điểm )

Ta có: x x

xxx 1lim lim 1

x 1x

(1,0 điểm)

Mà 1

xdx

phân kỳ vì 1 12

. Vậy 1

xdx x 1

phân kỳ (1,0 điểm)

Câu 86: ( 2 điểm )

Ta có: 33

3x x

2

xxx 2x 1lim lim 1

1 x 2x 1x

(1,0 điểm)

Mà 21

1 dxx

hội tụ vì 2 1 . Vậy 30

xdx x 2x 1


Câu 87: ( 2 điểm )

Ta có: x

1sinxlim 11

x

(1,0 điểm)

Mà 1

1dxx

phân kỳ vì 1 . Vậy 1

1sin dxx


Câu 88: ( 2 điểm )

Ta có: 2

0 0

1 11 cos dx 2sin dxx 2x

(0,5 điểm)

Ta có:

2

2x

12sin2xlim 1

122x

(0,5 điểm)

Mà 20

1 dx2x

hội tụ. Vậy 0

11 cos dxx


51

Câu 89: ( 2 điểm )

Ta có: 2 2 22 2 2

x x1 x cos x 1 x1 x cos x 1 x

(*) (0,5 điểm)

Xét 21

xdx1 x

Ta có: 2

x

x1 xlim 11

x

. Mà 1

dxx

phân kỳ nên 21

xdx1 x


Từ (*) suy ra 2 21

xdx1 x cos x


Câu 90: ( 2 điểm )

Ta có: 2

2 2 1 x sin x 1sin x 0 1 x sin x 11 x 1 x

(*) (0,5 điểm)

Mà t

t

1t t t1 1

dx dxlim lim ln 1 x lim ln 1 t ln 21 x 1 x

(1,0 điểm)

Nên 1

dx1 x

phân kỳ2

1

x sin x 1dx1 x


52

CHƯƠNG V PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Câu 91: (1điểm)

2 2 2 2(1 ) (1 ) 0x y dx x y dy .

2 2 2 2 0(1 ) (1 )

x ydx dyx y

2 2

12 2 2 21 (1 ) 1 (1 )2 (1 ) 2 (1 )

d x d y Cx y

(0,5)

12 21 1 1 1. .2 1 2 1

Cx y

2 2

1 11 1

Cx y

(0,5)

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: 2 21 1

1 1C

x y

Câu 92: (1điểm)

2 (1 )y y y 2(1 )dy y ydx

Với 0y và 1y , ta có 2 (1 )dy dx

y y

2

1 11

y dy x Cy y

(0,5)

21 1 1

11ln 1 ln

1 1ln

dy x Cy y y

y y x Cy

y x Cy y

53

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: 1 1ln y x Cy y

.

Ngoài ra 0y , 1y cũng là nghiệm của phương trình đã cho. (0,5)


Ta có 2 2( 1) 4dyx ydx

2 24 1dy dx

y x

1 yarctan arctan2 2

x C (0,5)

Vì (1) 2y nên 1 arctan1 arctan12

C

1 .2 4 4

8

C

C

Vậy nghiệm riêng của phương trình đã cho là yarctan 2arctan2 4

x .

(0,5)


Với 0, 0x y ta có: 2 0x yyy x

(1)

Đặt yz y z x y z x zx

Thay vào (1) ta được: 1 0z x zz

2 21 0 1dzx z z z x z zdx

(*) (0,5)

54

Với 1z x y ta có 2 21 1z dx z dz dxdz

z x z x

2

2 2 2

1 ln 1 ln2ln | 1| ln

z Cx

z C x

2 2 2

2 2 2 2

1(1 )

z C xy x C x

(1,0)

Với 2 1z ta có x y .( thỏa (*))

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là 2 2 2 2(1 )y x C x và x y ( 0, 0x y )

(0,5)


Với 0x và 0y ta có: 2 2

0x y x yy yxy y x (1)


Thay vào (1) ta được: 1 0z xz

(0,5)

2

2 21

2 2 2

1

ln | | ln2

ln

dz dxx z dzdx z x

z C x z Cx

y x Cx

Ngoài ra x = 0 cũng là nghiệm của phương trình đã cho. (0,5)

55


Rõ ràng 0y là nghiệm của phương trình.

Với 0y ta có: os sin

sin os

y y ycx x xy y x ycx y x

(1)


Thay vào (1) ta được: 2cos sin cos sin

1 sin cossin cos

z z z z z z zz x zz z zz z

z

(0,5)

2cos sin 2 os

sin cos sin cosz z z z z c zz x z

z z z z z z

( sin cos )

2 osz z z dz dx

zc z x

(0,5)

2

1

1 sin 12 cos 2.

(cos ) lncos

z dxdzz z x

d z dz C xz z

21ln cos ln lnz z C x (0,5)

21

2*

2* *

cosln | | ln

cos

os

z C xz

z C xz

y yc C x C xyx x

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là *os yc C xyx . ( 0, 0 )x y , y = 0 (0,5)


Phương trình đã cho là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

56

Với 2( )1

p xx

3( ) ( 1)q x x

Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

( ) ( )

( ) ,p x dx p x dxy e q x e dx C C (0,5)

2 2

31 1( 1)dx dx

x xe x e dx C

Ta có 22 2ln 1 ln ( 1)1

dx x C x Cx

(0,5)

22 ln ( 1)ln ( 1) 3

2

( 1)

( 1) ( 1)

xxy e x e dx C

x x dx C

2

2( 1) ,2xx x C C

.

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là 2

2( 1) ,2xy x x C C

--(1,0)

Câu 98: (2điểm)


Với 1( )

lnp x

x x

( x >1)

( ) lnq x x x


( ) ( )( ) ,p x dx p x dxy e q x e dx C C

lnln lndxdx

x xx xe x xe dx C

(0,5)

57

Ta có ln (ln )lndx x C

x x (0,5)

ln (ln )ln (ln ) ln

xxy e x xe dx C

2

ln ( ) ln ,2xx xdx C x C C

(0,5)

Theo đề bài: 2 2 2

( ) ln 02 2 2e e ey e e C C

Vậy 2

ln2xy x . (0,5)



Với 2( )1

xp xx

21( )

1q x

x


2 21 1

2

11

xdx xdxx xy e e dx C

x

(0,5)

Ta có 22

1 ln(1 )1 2

xdx xx

(0,5)

2 21 1ln (1 ) ln (1 )2 2

2

2

22

11

1111

x xy e e dx C

x

xdx C

xx

58

2

2

1 ln 11

x x Cx

(0,5)

vì (0) 0y nên 0 ln1 0C C

Vậy 2

2

1 ln 11

y x xx

. (0,5)

Câu 100: (2điểm)


Với 2

21( )(1 )

xp xx x

22( )

1q x

x


2 2

2 21 1(1 ) (1 )

2

21

x xdx dxx x x xy e e dx C

x

(0,5)

Ta có 2

2 2

1 1 2(1 ) 1

x xdx dxx x x x

22ln ln 1 ln

1xx x

x

(0,5)

2 2ln ln1 1

2

2

2 2

21

1 2(1 )

x xx xy e e dx C

x

x x dx Cx x

2 2

2

1 1 1 11

x xC Cx x x x

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: 21 1 xy C

x x

. (0,5)

59


/ / / 26 5 3 5 xy y y e x (1)

+ Giải phương trình thuần nhất: / / /y 6y 5y 0 (2)

Ta có phương trình đặc trưng: 21 2k 6k 5 0 k 1 k 5

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (2) : x 5x1 2y C e C e (0.5)

+ Tìm nghiệm riêng của phương trình / / / xy 6y 5y 3e (3)

Vì x1f (x) 3e nên một nghiệm riêng của phương trình (3) là x

1y A xe

/ x x

1/ / x x

1

y A e A xe

y 2A e A xe

Thay / //1 1 1y , y , y vào (3) và rút gọn ta được: 34A 3 A

4

x1

3y xe4

(0.5)

+ Tìm nghiệm riêng của phương trình / / / 2y 6y 5y 5x (4)

Vì 22f (x) 5x nên một nghiệm riêng của phương trình (4) là 2

2y Ax Bx C

/2/ /2

y 2Ax B

y 2A.

Thay / //2 2 2y , y , y vào (4) và rút gọn ta được:

2 25Ax 12A 5B x 2A 6B 5C 5x

A 15A 51212A 5B 0 B5

2A 6B 5C 0 62C25

22

12 62y x x5 25

(0.5)

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: x 5x x 2

1 2 1 23 12 62y y y y C e C e xe x x4 5 25

(0.5)


/ / /3 2 4 sin xy y y xe x (1) + Giải phương trình thuần nhất: // /y 3y 2y 0 (2)

60

Ta có phương trình đặc trưng: 2k 3k 2 0 k 1 k 2 Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (2):

x 2x1 2 1 2y C e C e , C , C (0.5)

+ Tìm nghiệm riêng của phương trình // / xy 3y 2y 4xe (3)

Vì x1f (x) 4xe nên một nghiệm riêng của phương trình (3) là :

x 2 x1y x (Ax B)e Ax Bx e

/ 2 x1y Ax 2Ax Bx B e

// 2 x1y Ax 4Ax Bx 2A 2B e


2A 4 A 22Ax (2A B) 4x

2A B 0 B 4

2 x1y 2x 4x e (0.5)

+ Tìm nghiệm riêng của phương trình // /y 3y 2y sin x (4) Vì 2f (x) s inx nên một nghiệm riêng của phương trình (4) là 1y A cosx Bsinx

/1

//1

y A sin x Bcosx

y A cosx Bsinx


(A 3B)cosx (3A B)sin x sinx

3101

10

AA 3B 03A B 1 B

23 1y cosx + s inx

10 10 (0.5)

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

x 2x 2 x1 2 1 2 1 2

3 1y y y y C e C e (2x 4x)e cosx sin x, C ,C .10 10

(0.5)


// / 26 9 9xy y y xe x (1) + Giải phương trình thuần nhất: // /6 9 0y y y (2)

Ta có phương trình đặc trưng: 21 2k 6k 9 0 k k 3

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (2) : 3x1 2y C xC e (0.5)

+ Tìm nghiệm riêng của phương trình // / xy 6y 9y xe (3) Vì x

1f (x) xe nên một nghiệm riêng của phương trình (3) là x1y Ax + B e

61

/ x1// x

1

y A Ax - B e

y Ax 2A B e

Thay / //1 1 1y , y , y vào (3) và rút gọn ta được: 16Ax 8A 16B x

1A16A 1 1616B 8A 0 1B

32

x1

x 1y e16 32

(0.5)

+ Tìm nghiệm riêng của phương trình // / 2y 6y 9y 9x (4)

Vì 22f (x) 9x nên một nghiệm riêng của phương trình (4) là 2

2y Ax Bx C

/2/ /2

y 2Ax B

y 2A.


2 29Ax 12A 9B x 2A 6B 9C 9x

A 19A 9412A 9B 0 B3

2A 6B 9C 0 2C3

22

4 2y x x3 3

(0.5)


3x x 21 2 1 2 1 2

1 1 4 2y y y y C xC e x e x x , C ,C16 32 3 3

(0.5)


// / 24 8 2 20sin 2xy y y e x (1) + Giải phương trình thuần nhất: // /y 4y 8y 0 (2) Ta có phương trình đặc trưng: 2

1 2k 4k 8 0 k 2 2i k 2 2i Do đó nghiệm tổng quát của (2): 2x

1 2 1 2y C cos2x C sin 2x e , C ,C (0.5)

+ Tìm nghiệm riêng của phương trình // / 2xy 4y 8y 2e (3)

Vì 2x1f (x) 2e nên một nghiệm riêng của phương trình (3) là : 2x

1y Ae

/ 2 x1

// 2 x1

y 2A e

y 4A e

62


14A 2 A2

2x1

1y e2

(0.5)

+ Tìm nghiệm riêng của phương trình // /y 4y 8y 20sin2x (4) Vì 2f (x) 20s in2x nên một nghiệm riêng của phương trình (4) là : 2y A cos2x Bsin 2x

/2

//2

y 2A sin 2x 2Bcos2x

y 4A cos2x 4Bsin 2x


4A 8B cos2x (8A 4B)sin2x 20sin2x

A 2B 0 2A 4B 0 A 22A B 5 2A B 5 B 1

2y 2cos2x sin2x (0.5) Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho:

2x 2x1 2 1 2 1 2

1y y y y e C cos2x C sin2x e 2cos2x sin2x, C ,C2

-(0.5)


/ / /

0

5 6 3 2 3 2 6 2x

t xy y y e dt e x

" '5 6 2 6 5xy y y e x (1) + Giải phương trình thuần nhất: / / /y 5y 6y 0 (2) Ta có phương trình đặc trưng: 2

1 2k 5k 6 0 k 2 k 3 Do đó nghiệm tổng quát của (2): 2x 3x

1 2 1 2y C e C e , C ,C (0.5)

+ Tìm nghiệm riêng của phương trình / / / xy 5y 6y 2e (3)

Vì x1f (x) 2e nên một nghiệm riêng của phương trình (3) là : x

1y Ae

/ x1

// x1

y A e

y A e

Thay / //1 1 1y , y , y vào (3) và rút gọn ta được: 2A 2 A 1

x1y e (0.5)

+ Tìm nghiệm riêng của phương trình / / /y 5y 6y 6x 5 (4) Vì 2f (x) 6x 5 nên một nghiệm riêng của phương trình (4) là : 2y A x B

/2

//2

y A

y 0

63

Thay / //2 2 2y , y , y vào (4) và rút gọn ta được: 6Ax ( 5A 6B) 6x 5

A 1B 0

6A 65A 6B 5

2y x (0.5) Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

2x 3x x1 2 1 2 1 2y y y y C e C e e x, C , C . (0.5)


// / 43 4 x xy y y e xe (1) + Giải phương trình thuần nhất: // /3 4 0y y y (2)

Ta có phương trình đặc trưng: 2k 3k 4 0 k 1 k 4 Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (2) : x 4x

1 2 1 2y C e C e , C ,C - (0.5)

+ Tìm nghiệm riêng của phương trình // / 4xy 3y 4y e (3)

Vì 4x1f (x) e nên một nghiệm riêng của phương trình (3) là 4x

1y Axe

/ 4x1

// 4x1

y 4Ax A e

y 16Ax 8A e


15A 1 A

5

4x1

1y x e

5 (0.5)

+ Tìm nghiệm riêng của phương trình // / xy 3y 4y xe (4)

Vì x2f (x) xe nên một nghiệm riêng của phương trình (4) là x

2y (Ax B)e

/ x2

// x2

y Ax A B e

y Ax 2A B e

Thay / //2 2 2y , y , y vào (4) và rút gọn ta được: 6Ax (A 6B) x

1A6A 1 6A 6B 0 1B

36

x2

1 1y x e6 36

(0.5)


x 4x 4x x

1 2 1 2 1 21 1 1y y y y C e C e xe x e , C ,C5 6 36

(0.5)

64


// / 3 23 2 cos 2 6 1y y y x x x x x (1) + Giải phương trình thuần nhất: // /3 2 0y y y (2) Ta có phương trình đặc trưng: 2k 3k 2 0 k 1 k 2 Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (2) : x 2x

1 2 1 2y C e C e , C ,C (0.5)

+ Tìm nghiệm riêng của phương trình // /y 3y 2y x cosx (3) Vì 1f (x) x cosx nên một nghiệm riêng của phương trình (3) là: 1y Ax B cosx + Cx D sinx

/1

//1

y A Cx D cosx + Ax B C sinx

y Ax B 2C cosx + 2A Cx D sinx


Ax 3Cx 3A B 2C 3D cosx + 3Ax Cx 2A 3B 3C D sinx = x cosx

1A10

A 3C 1 3B3A B 2C 3D 0 253A C 0 3C

102A 3B 3C D 017D

50

1yx 3 -3x 17cosx + s inx

10 25 10 50 (0.5)

+ Tìm nghiệm riêng của phương trình // / 3 2y 3y 2y 2x x 6x 1 (4)

Vì 3 22f (x) 2x x 6x 1 nên một nghiệm riêng của phương trình (4) là :

3 22y Ax Bx Cx D

/ 22

//2

y 3Ax 2Bx C

y 6Ax 2B


3 2 2 3 22Ax 9Ax 2Bx 6Ax 6Bx 2Cx 2B 3C 2D 2x x 6x 1.

2A 2 A 19A 2B 0 B 5

6A 6B 2C 6 C 152B 3C 2D 1 D 18

65

3 22y x 5x 15x 18 (0.5)


x 2x1 2 1 2

x 3 -3x 17y y y y C e C e cosx + s inx10 25 10 50

3 21 2x 5x 15x 18, C ,C (0.5)


// / 2 25 4 4 10sin 2xy y y x e x (1) + Giải phương trình thuần nhất: // /y 5y 4y 0 (2) Ta có phương trình đặc trưng: 2

1 2k 5k 4 0 k 1 k 4 Do đó nghiệm tổng quát của (2): x 4x

1 2 1 2y C e C e , C ,C (0.5)

+ Tìm nghiệm riêng của phương trình // / 2 2xy 5y 4y 4x e (3)

Vì 2 2x1f (x) 4x e nên một nghiệm riêng của phương trình (3) là :

2 2 x1y Ax Bx C e

/ 2 2 x1

// 2 2 x1

y 2Ax (2A 2B)x B 2C e

y 4Ax 4(2A B)x 2A 4B 4C e


2 22 2 2 2 2 4Ax Ax Bx A B C x

2 4 22 2 0 2

2 2 0 3

A AA B B

A B C C

2 2x1y 2x 2x 3 e (0.5)

+ Tìm nghiệm riêng của phương trình // /y 5y 4y 10sin2x (4) Vì 2f (x) 10s in2x nên một nghiệm riêng của phương trình (4) là : 2y A cos2x Bsin 2x

/2

//2

y 2Bcos2x 2A sin 2x

y 4A cos2x 4Bsin 2x


10Bcos2x 10Asin2x 10sin2x

10A 10 A 110B 0 B 0

2y cos2x (0.5) Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

x 4x 2 2x1 2 1 2 1 2y y y y C e C e 2x 2x 3 e cos2x, C ,C (0.5)

66


// / 3 22 5 4 5 6 6xy y y e x x x (1) + Giải phương trình thuần nhất: // /2 5 0y y y (2) Ta có phương trình đặc trưng: 2

1 2k 2k 5 0 k 1 2i k 1 2i Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (2) : x

1 2 1 2y e C cos2x C sin2x C ,C - (0.5)

+ Tìm nghiệm riêng của phương trình // / xy 2y 5y 4e (3)

Vì x1f (x) 4e nên một nghiệm riêng của phương trình (3) là: x

1y Ae

/ //x x1 1y Ae y Ae

Thay / //1 1 1y , y , y vào (3) và rút gọn ta được: 4 4 1A A

1xy e (0.5)

+ Tìm nghiệm riêng của phương trình // / 3 2y 2y 5y 5x 6x 6x (4) Vì 3 2

2f (x) 5x 6x 6x nên một nghiệm riêng của phương trình (4) là : 3 2

2y Ax Bx Cx D

/ 22

//2

y 3Ax 2Bx C

y 6Ax 2B


3 2 3 25Ax 6A 5B x 6A 4B 5C x 2B 2C 5D 5x 6x 6x

5A 5 A 16A 5B 6 B 06A 4B 5C 6 C 02B 2C 5D 0 D 0

32y x (0.5)

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: x x 3

1 2 1 2 1 2y y y y e C cos2x C sin2x e x , C ,C (0.5)


// / 2 24 3 5 3 5xy y y e x x (1) + Giải phương trình thuần nhất: // /4 3 0y y y (2) Ta có phương trình đặc trưng: 2

1 2k 4k 3 0 k 1 k 3 (0.5) Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (2): x 3x

1 2 1 2y C e C e , C ,C - (0.25) + Tìm nghiệm riêng của phương trình // / 2xy 2y 5y 5e (3)

Vì 2x1f (x) 5e nên một nghiệm riêng của phương trình (3) là: 2

1xy Ae

67

2

1

21

2

4

x

x

y Aey Ae


115 53

A A

21

13

xy e (0.5)

+ Tìm nghiệm riêng của phương trình 24 3 3 5y y y x x (4) Vì 2

2( ) 3 5f x x x nên một nghiệm riêng của phương trình (4) là : 2

2y A x Bx C

2

2

2A2

y x By A


2 23A (3 8 ) 2 4 3 3 5x B A x A B C x x

3 3 13 8 1 32 4 3 5 5

A AB A BA B C C

22 3 5y x x (0.5)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho

là: x 3x 2x 21 2 1 2

1y y y y C e C e e x 3x 53

(0.25)

68

CHƯƠNG VI LÝ THUYẾT CHUỖI


1n ta có 3 . ! 0

n

n nnu

n (0.25)

11

13 ( 1)!lim lim .( 1) 3 . !

n nn

n nn nn

u n nu n n

1 11 1lim 3 3 lim 1 3 lim 1

1 1 1

nn n n n

n n n

nn n n

3 1e

(0.5)

Theo dấu hiệu D’Alembert thì chuỗi số đã cho phân kỳ. (0.25)


1n ta có

2

01

n

nnu

n

(0.25)

1 11 1lim lim lim 1 lim 11 1 1

nn n n n

nnn n n n

nun n n

lim

11 1 1n

nn

e e

(0,5)

Theo dấu hiệu Cauchy thì chuỗi đã cho hội tụ. (0,25)


1n ta có ( 1)

1 01

n n

nnun

(0,25)

1 11 1lim lim lim 1 11 1

n n

nnn n n

n nun n

69

2( 1)1 1

22lim 11

nn n

n n

2( 1)lim1

21 1 1

n

nn

e e

(0,5)



1n ta có ( 1)

1 01

n n

nnun

(0,25)

11 .22

22 2lim lim 1 lim 1 11 1

nn

nnn n n

u en n

(0,5) Theo dấu hiệu Cauchy thì chuỗi đã cho phân kỳ. (0,25)


1n ta có 2. 4. 6... (2 ) 0n n

nun

(0,25)

11

2 . 4. 6.... (2 )(2 2)lim lim .( 1) 2 . 4. 6.... (2 )

nn

nn nn

u n n nu n n

1 1

12( 1) 1lim 2 lim 2 lim 1( 1) 1 1

nn n nn

nn n n

n n nn n n

2 1e

(0,5)

Theo dấu hiệu D’Alembert thì chuỗi đã cho hội tụ. (0,25)

70


1n ta có

2

20

1

n

nnu

n

(0,25)

1 2( 1)2 21 1lim lim lim 1 lim 11 1 1

nn n n nn

nn n n n

nun n n

121 1 1

e e

(0,5)



1n ta có 3

0n nnue

(0,25)

331

1 3

( 1) 1 1lim lim . limn

nnn n n

n

u n e nu e n e n

31 1 1lim 1 1

ne n e

(0,5) Theo dấu hiệu D’Alembert thì chuỗi đã cho hội tụ. (0,25)


1n ta có 1tan 02n nu n

(0,25)

2 21

1 1

( 1) tan ( 1). ( 1).2 .22 2lim lim lim lim.2 .4tan

2 2

nn nnnn n n n

nn n

n nu nu nn n

1 1 1lim 12 2n

nn

(0,5)

Theo dấu hiệu D’Alembert thì chuỗi đã cho hội tụ. (0,25)

71


2n ta có 3 0

(ln )

n

n nun

(0,25)

3lim lim 0 1ln

nnn n

un

(0,5)

Theo dấu hiệu Cauchy thì chuỗi đã cho hội tụ (0,25)


1n ta có 24 ( !) 0

(2 )!

n

nnun

(1) (0,25)

1 21

24 [( 1)!] (2 )! 2 2lim lim . lim 1

(2 2)! 4 [ !] 2 1

nn

nn n nn

u n n nu n n n

Nhưng 1 2 21,

2 1n

n

u n

u n

mọi n 1 . Suy ra {un} tăng (2) (0,5)

Từ (1),(2) : lim 0nn

u

Vậy chuỗi đã cho phân kỳ. (0,25)

staff.agu.edu.vn · 2012-09-23 · 2 1 1 y arctan2x 3x 2 arctan2x 1 9x ... 3 2 2cosx 1 y + 3 sinx 1...

Documents

Transcript of staff.agu.edu.vn · 2012-09-23 · 2 1 1 y arctan2x 3x 2 arctan2x 1 9x ... 3 2 2cosx 1 y + 3 sinx 1...