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SÈries de Fourier
Karim Boulabiar
Dauphine j Tunis
Avril 2020
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 1 / 49
-
I/ Les espaces intervenant
On suppose R muni de sa mesure de Lebesgue.
DeÖnitionSoit f : R ! C une fonction mesurable sur R. On dit que f est2p-pÈriodique si
f (x + 2p) = f (x) pour presque tout x 2 R.
LemmaSoient f , g : R ! C deux fonctions mesurables sur R telles quef (x) = g (x) pour presque tout x 2 R.
Alors f est 2p-pÈriodique si, et seulement si, g est 2p-pÈriodique.
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I/ Les espaces intervenant
On suppose R muni de sa mesure de Lebesgue.
DeÖnitionSoit f : R ! C une fonction mesurable sur R. On dit que f est2p-pÈriodique si
f (x + 2p) = f (x) pour presque tout x 2 R.
LemmaSoient f , g : R ! C deux fonctions mesurables sur R telles quef (x) = g (x) pour presque tout x 2 R.
Alors f est 2p-pÈriodique si, et seulement si, g est 2p-pÈriodique.
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I/ Les espaces intervenant
On suppose R muni de sa mesure de Lebesgue.
DeÖnitionSoit f : R ! C une fonction mesurable sur R. On dit que f est2p-pÈriodique si
f (x + 2p) = f (x) pour presque tout x 2 R.
LemmaSoient f , g : R ! C deux fonctions mesurables sur R telles quef (x) = g (x) pour presque tout x 2 R.
Alors f est 2p-pÈriodique si, et seulement si, g est 2p-pÈriodique.
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I/ Les espaces intervenant
On suppose R muni de sa mesure de Lebesgue.
DeÖnitionSoit f : R ! C une fonction mesurable sur R. On dit que f est2p-pÈriodique si
f (x + 2p) = f (x) pour presque tout x 2 R.
LemmaSoient f , g : R ! C deux fonctions mesurables sur R telles quef (x) = g (x) pour presque tout x 2 R.
Alors f est 2p-pÈriodique si, et seulement si, g est 2p-pÈriodique.
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I/ Les espaces intervenant
On suppose R muni de sa mesure de Lebesgue.
DeÖnitionSoit f : R ! C une fonction mesurable sur R. On dit que f est2p-pÈriodique si
f (x + 2p) = f (x) pour presque tout x 2 R.
LemmaSoient f , g : R ! C deux fonctions mesurables sur R telles quef (x) = g (x) pour presque tout x 2 R.
Alors f est 2p-pÈriodique si, et seulement si, g est 2p-pÈriodique.
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Un petite preuve, histoire de se rafraÓchir la mÈmoire!
Proof.
On suppose que f est 2p-pÈriodique et on pose
A = fx 2 R : f (x) 6= g (x)g.
B = fx 2 R : f (x) 6= f (x + 2p)g
C = fx 2 R : f (x + 2p) 6= g (x + 2p)g.
D = fx 2 R : g (x) 6= g (x + 2p)g.
Si x 2 cA\ cB\ cC alors x 2 cD.
Donc, D ( A[ B [ C .
Or, A, B et C sont de mesure nulle et donc D líest Ègalement.
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Un petite preuve, histoire de se rafraÓchir la mÈmoire!
Proof.
On suppose que f est 2p-pÈriodique et on pose
A = fx 2 R : f (x) 6= g (x)g.
B = fx 2 R : f (x) 6= f (x + 2p)g
C = fx 2 R : f (x + 2p) 6= g (x + 2p)g.
D = fx 2 R : g (x) 6= g (x + 2p)g.
Si x 2 cA\ cB\ cC alors x 2 cD.
Donc, D ( A[ B [ C .
Or, A, B et C sont de mesure nulle et donc D líest Ègalement.
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Un petite preuve, histoire de se rafraÓchir la mÈmoire!
Proof.
On suppose que f est 2p-pÈriodique et on pose
A = fx 2 R : f (x) 6= g (x)g.
B = fx 2 R : f (x) 6= f (x + 2p)g
C = fx 2 R : f (x + 2p) 6= g (x + 2p)g.
D = fx 2 R : g (x) 6= g (x + 2p)g.
Si x 2 cA\ cB\ cC alors x 2 cD.
Donc, D ( A[ B [ C .
Or, A, B et C sont de mesure nulle et donc D líest Ègalement.
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Un petite preuve, histoire de se rafraÓchir la mÈmoire!
Proof.
On suppose que f est 2p-pÈriodique et on pose
A = fx 2 R : f (x) 6= g (x)g.
B = fx 2 R : f (x) 6= f (x + 2p)g
C = fx 2 R : f (x + 2p) 6= g (x + 2p)g.
D = fx 2 R : g (x) 6= g (x + 2p)g.
Si x 2 cA\ cB\ cC alors x 2 cD.
Donc, D ( A[ B [ C .
Or, A, B et C sont de mesure nulle et donc D líest Ègalement.
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Proof.
On suppose que f est 2p-pÈriodique et on pose
A = fx 2 R : f (x) 6= g (x)g.
B = fx 2 R : f (x) 6= f (x + 2p)g
C = fx 2 R : f (x + 2p) 6= g (x + 2p)g.
D = fx 2 R : g (x) 6= g (x + 2p)g.
Si x 2 cA\ cB\ cC alors x 2 cD.
Donc, D ( A[ B [ C .
Or, A, B et C sont de mesure nulle et donc D líest Ègalement.
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On suppose que f est 2p-pÈriodique et on pose
A = fx 2 R : f (x) 6= g (x)g.
B = fx 2 R : f (x) 6= f (x + 2p)g
C = fx 2 R : f (x + 2p) 6= g (x + 2p)g.
D = fx 2 R : g (x) 6= g (x + 2p)g.
Si x 2 cA\ cB\ cC alors x 2 cD.
Donc, D ( A[ B [ C .
Or, A, B et C sont de mesure nulle et donc D líest Ègalement.
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On suppose que f est 2p-pÈriodique et on pose
A = fx 2 R : f (x) 6= g (x)g.
B = fx 2 R : f (x) 6= f (x + 2p)g
C = fx 2 R : f (x + 2p) 6= g (x + 2p)g.
D = fx 2 R : g (x) 6= g (x + 2p)g.
Si x 2 cA\ cB\ cC alors x 2 cD.
Donc, D ( A[ B [ C .
Or, A, B et C sont de mesure nulle et donc D líest Ègalement.
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Un petite preuve, histoire de se rafraÓchir la mÈmoire!
Proof.
On suppose que f est 2p-pÈriodique et on pose
A = fx 2 R : f (x) 6= g (x)g.
B = fx 2 R : f (x) 6= f (x + 2p)g
C = fx 2 R : f (x + 2p) 6= g (x + 2p)g.
D = fx 2 R : g (x) 6= g (x + 2p)g.
Si x 2 cA\ cB\ cC alors x 2 cD.
Donc, D ( A[ B [ C .
Or, A, B et C sont de mesure nulle et donc D líest Ègalement.
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Un petite preuve, histoire de se rafraÓchir la mÈmoire!
Proof.
On suppose que f est 2p-pÈriodique et on pose
A = fx 2 R : f (x) 6= g (x)g.
B = fx 2 R : f (x) 6= f (x + 2p)g
C = fx 2 R : f (x + 2p) 6= g (x + 2p)g.
D = fx 2 R : g (x) 6= g (x + 2p)g.
Si x 2 cA\ cB\ cC alors x 2 cD.
Donc, D ( A[ B [ C .
Or, A, B et C sont de mesure nulle et donc D líest Ègalement.
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Un petite preuve, histoire de se rafraÓchir la mÈmoire!
Proof.
On suppose que f est 2p-pÈriodique et on pose
A = fx 2 R : f (x) 6= g (x)g.
B = fx 2 R : f (x) 6= f (x + 2p)g
C = fx 2 R : f (x + 2p) 6= g (x + 2p)g.
D = fx 2 R : g (x) 6= g (x + 2p)g.
Si x 2 cA\ cB\ cC alors x 2 cD.
Donc, D ( A[ B [ C .
Or, A, B et C sont de mesure nulle et donc D líest Ègalement.
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On peut donc, pour tout p 2 [1,•), considÈrer líensemble, notÈ Lp ,des (classes de) fonctions de R ! C mesurables 2p-pÈriodiquesvÈriÖant la condition
Z 2p
0jf (x)jp dx < •.
Une application du ThÈorËme de Riesz-Fischer permet de conclure que
Lp est un espace de Banach complexe pour la norme donnÈe par
kf kpp =12p
Z 2p
0jf (x)jp dx .
De mÍme, on note L• líensemble des (classes de) fonctions de R ! Cmesurables 2p-pÈriodiques essentiellement bornÈes sur [0, 2p].
On montre Ègalement que L• est un espace de Banach complexepour la norme dÈÖnie par
kf k• = inf fM > 0 : jf (x)j + M p.p. x 2 [0, 2p]g
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On peut donc, pour tout p 2 [1,•), considÈrer líensemble, notÈ Lp ,des (classes de) fonctions de R ! C mesurables 2p-pÈriodiquesvÈriÖant la condition
Z 2p
0jf (x)jp dx < •.
Une application du ThÈorËme de Riesz-Fischer permet de conclure que
Lp est un espace de Banach complexe pour la norme donnÈe par
kf kpp =12p
Z 2p
0jf (x)jp dx .
De mÍme, on note L• líensemble des (classes de) fonctions de R ! Cmesurables 2p-pÈriodiques essentiellement bornÈes sur [0, 2p].
On montre Ègalement que L• est un espace de Banach complexepour la norme dÈÖnie par
kf k• = inf fM > 0 : jf (x)j + M p.p. x 2 [0, 2p]g
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On peut donc, pour tout p 2 [1,•), considÈrer líensemble, notÈ Lp ,des (classes de) fonctions de R ! C mesurables 2p-pÈriodiquesvÈriÖant la condition
Z 2p
0jf (x)jp dx < •.
Une application du ThÈorËme de Riesz-Fischer permet de conclure que
Lp est un espace de Banach complexe pour la norme donnÈe par
kf kpp =12p
Z 2p
0jf (x)jp dx .
De mÍme, on note L• líensemble des (classes de) fonctions de R ! Cmesurables 2p-pÈriodiques essentiellement bornÈes sur [0, 2p].
On montre Ègalement que L• est un espace de Banach complexepour la norme dÈÖnie par
kf k• = inf fM > 0 : jf (x)j + M p.p. x 2 [0, 2p]g
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On peut donc, pour tout p 2 [1,•), considÈrer líensemble, notÈ Lp ,des (classes de) fonctions de R ! C mesurables 2p-pÈriodiquesvÈriÖant la condition
Z 2p
0jf (x)jp dx < •.
Une application du ThÈorËme de Riesz-Fischer permet de conclure que
Lp est un espace de Banach complexe pour la norme donnÈe par
kf kpp =12p
Z 2p
0jf (x)jp dx .
De mÍme, on note L• líensemble des (classes de) fonctions de R ! Cmesurables 2p-pÈriodiques essentiellement bornÈes sur [0, 2p].
On montre Ègalement que L• est un espace de Banach complexepour la norme dÈÖnie par
kf k• = inf fM > 0 : jf (x)j + M p.p. x 2 [0, 2p]g
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On peut donc, pour tout p 2 [1,•), considÈrer líensemble, notÈ Lp ,des (classes de) fonctions de R ! C mesurables 2p-pÈriodiquesvÈriÖant la condition
Z 2p
0jf (x)jp dx < •.
Une application du ThÈorËme de Riesz-Fischer permet de conclure que
Lp est un espace de Banach complexe pour la norme donnÈe par
kf kpp =12p
Z 2p
0jf (x)jp dx .
De mÍme, on note L• líensemble des (classes de) fonctions de R ! Cmesurables 2p-pÈriodiques essentiellement bornÈes sur [0, 2p].
On montre Ègalement que L• est un espace de Banach complexepour la norme dÈÖnie par
kf k• = inf fM > 0 : jf (x)j + M p.p. x 2 [0, 2p]g
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On peut donc, pour tout p 2 [1,•), considÈrer líensemble, notÈ Lp ,des (classes de) fonctions de R ! C mesurables 2p-pÈriodiquesvÈriÖant la condition
Z 2p
0jf (x)jp dx < •.
Une application du ThÈorËme de Riesz-Fischer permet de conclure que
Lp est un espace de Banach complexe pour la norme donnÈe par
kf kpp =12p
Z 2p
0jf (x)jp dx .
De mÍme, on note L• líensemble des (classes de) fonctions de R ! Cmesurables 2p-pÈriodiques essentiellement bornÈes sur [0, 2p].
On montre Ègalement que L• est un espace de Banach complexepour la norme dÈÖnie par
kf k• = inf fM > 0 : jf (x)j + M p.p. x 2 [0, 2p]g
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On peut donc, pour tout p 2 [1,•), considÈrer líensemble, notÈ Lp ,des (classes de) fonctions de R ! C mesurables 2p-pÈriodiquesvÈriÖant la condition
Z 2p
0jf (x)jp dx < •.
Une application du ThÈorËme de Riesz-Fischer permet de conclure que
Lp est un espace de Banach complexe pour la norme donnÈe par
kf kpp =12p
Z 2p
0jf (x)jp dx .
De mÍme, on note L• líensemble des (classes de) fonctions de R ! Cmesurables 2p-pÈriodiques essentiellement bornÈes sur [0, 2p].
On montre Ègalement que L• est un espace de Banach complexepour la norme dÈÖnie par
kf k• = inf fM > 0 : jf (x)j + M p.p. x 2 [0, 2p]g
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On peut donc, pour tout p 2 [1,•), considÈrer líensemble, notÈ Lp ,des (classes de) fonctions de R ! C mesurables 2p-pÈriodiquesvÈriÖant la condition
Z 2p
0jf (x)jp dx < •.
Une application du ThÈorËme de Riesz-Fischer permet de conclure que
Lp est un espace de Banach complexe pour la norme donnÈe par
kf kpp =12p
Z 2p
0jf (x)jp dx .
De mÍme, on note L• líensemble des (classes de) fonctions de R ! Cmesurables 2p-pÈriodiques essentiellement bornÈes sur [0, 2p].
On montre Ègalement que L• est un espace de Banach complexepour la norme dÈÖnie par
kf k• = inf fM > 0 : jf (x)j + M p.p. x 2 [0, 2p]g
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Cas des fonctions continues.
LemmaSoit f : R ! C une fonction continue sur R. Si f est 2p-pÈriodique alors
f (x + 2p) = f (x) pour tout x 2 R.
Proof.
Líensemble fx 2 R : f (x + 2p), f (x) 6= 0g est un ouvert de mesure nulleet est donc vide.
On note C líensemble des fonctions de R dans C continues2p-pÈriodiques.Il est clair que C est une sous-algËbre de Cb (R,C), la C-algËbre deBanach des fonctions de R dans C continues et bornÈes.Donc C une C-algËbre de Banach dont la norme est donnÈe par
kf k• = sup fjf (x)j : x 2 [0, 2p]g .
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Cas des fonctions continues.
LemmaSoit f : R ! C une fonction continue sur R. Si f est 2p-pÈriodique alors
f (x + 2p) = f (x) pour tout x 2 R.
Proof.
Líensemble fx 2 R : f (x + 2p), f (x) 6= 0g est un ouvert de mesure nulleet est donc vide.
On note C líensemble des fonctions de R dans C continues2p-pÈriodiques.Il est clair que C est une sous-algËbre de Cb (R,C), la C-algËbre deBanach des fonctions de R dans C continues et bornÈes.Donc C une C-algËbre de Banach dont la norme est donnÈe par
kf k• = sup fjf (x)j : x 2 [0, 2p]g .
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Cas des fonctions continues.
LemmaSoit f : R ! C une fonction continue sur R. Si f est 2p-pÈriodique alors
f (x + 2p) = f (x) pour tout x 2 R.
Proof.
Líensemble fx 2 R : f (x + 2p), f (x) 6= 0g est un ouvert de mesure nulleet est donc vide.
On note C líensemble des fonctions de R dans C continues2p-pÈriodiques.Il est clair que C est une sous-algËbre de Cb (R,C), la C-algËbre deBanach des fonctions de R dans C continues et bornÈes.Donc C une C-algËbre de Banach dont la norme est donnÈe par
kf k• = sup fjf (x)j : x 2 [0, 2p]g .
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Cas des fonctions continues.
LemmaSoit f : R ! C une fonction continue sur R. Si f est 2p-pÈriodique alors
f (x + 2p) = f (x) pour tout x 2 R.
Proof.
Líensemble fx 2 R : f (x + 2p), f (x) 6= 0g est un ouvert de mesure nulleet est donc vide.
On note C líensemble des fonctions de R dans C continues2p-pÈriodiques.Il est clair que C est une sous-algËbre de Cb (R,C), la C-algËbre deBanach des fonctions de R dans C continues et bornÈes.Donc C une C-algËbre de Banach dont la norme est donnÈe par
kf k• = sup fjf (x)j : x 2 [0, 2p]g .
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Cas des fonctions continues.
LemmaSoit f : R ! C une fonction continue sur R. Si f est 2p-pÈriodique alors
f (x + 2p) = f (x) pour tout x 2 R.
Proof.
Líensemble fx 2 R : f (x + 2p), f (x) 6= 0g est un ouvert de mesure nulleet est donc vide.
On note C líensemble des fonctions de R dans C continues2p-pÈriodiques.Il est clair que C est une sous-algËbre de Cb (R,C), la C-algËbre deBanach des fonctions de R dans C continues et bornÈes.Donc C une C-algËbre de Banach dont la norme est donnÈe par
kf k• = sup fjf (x)j : x 2 [0, 2p]g .
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Cas des fonctions continues.
LemmaSoit f : R ! C une fonction continue sur R. Si f est 2p-pÈriodique alors
f (x + 2p) = f (x) pour tout x 2 R.
Proof.
Líensemble fx 2 R : f (x + 2p), f (x) 6= 0g est un ouvert de mesure nulleet est donc vide.
On note C líensemble des fonctions de R dans C continues2p-pÈriodiques.
Il est clair que C est une sous-algËbre de Cb (R,C), la C-algËbre deBanach des fonctions de R dans C continues et bornÈes.Donc C une C-algËbre de Banach dont la norme est donnÈe par
kf k• = sup fjf (x)j : x 2 [0, 2p]g .
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Cas des fonctions continues.
LemmaSoit f : R ! C une fonction continue sur R. Si f est 2p-pÈriodique alors
f (x + 2p) = f (x) pour tout x 2 R.
Proof.
Líensemble fx 2 R : f (x + 2p), f (x) 6= 0g est un ouvert de mesure nulleet est donc vide.
On note C líensemble des fonctions de R dans C continues2p-pÈriodiques.Il est clair que C est une sous-algËbre de Cb (R,C), la C-algËbre deBanach des fonctions de R dans C continues et bornÈes.
Donc C une C-algËbre de Banach dont la norme est donnÈe par
kf k• = sup fjf (x)j : x 2 [0, 2p]g .
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Cas des fonctions continues.
LemmaSoit f : R ! C une fonction continue sur R. Si f est 2p-pÈriodique alors
f (x + 2p) = f (x) pour tout x 2 R.
Proof.
Líensemble fx 2 R : f (x + 2p), f (x) 6= 0g est un ouvert de mesure nulleet est donc vide.
On note C líensemble des fonctions de R dans C continues2p-pÈriodiques.Il est clair que C est une sous-algËbre de Cb (R,C), la C-algËbre deBanach des fonctions de R dans C continues et bornÈes.Donc C une C-algËbre de Banach dont la norme est donnÈe par
kf k• = sup fjf (x)j : x 2 [0, 2p]g .
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Cas des fonctions continues.
LemmaSoit f : R ! C une fonction continue sur R. Si f est 2p-pÈriodique alors
f (x + 2p) = f (x) pour tout x 2 R.
Proof.
Líensemble fx 2 R : f (x + 2p), f (x) 6= 0g est un ouvert de mesure nulleet est donc vide.
On note C líensemble des fonctions de R dans C continues2p-pÈriodiques.Il est clair que C est une sous-algËbre de Cb (R,C), la C-algËbre deBanach des fonctions de R dans C continues et bornÈes.Donc C une C-algËbre de Banach dont la norme est donnÈe par
kf k• = sup fjf (x)j : x 2 [0, 2p]g .
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Pour tout n 2 Z, on dÈÖnit une fonction en : R ! C en posant
en (x) = einx pour tout x 2 R.
Il est bien clair que
en 2 C pour tout n 2 Z.
On note P le sous-espace vectoriel de C engendrÈ par fen : n 2 Zg.
P = Vect fen : n 2 Zg .
DeÖnition
Les vecteurs de P sont appelÈs polynÙmes trigonomÈtriques.
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Pour tout n 2 Z, on dÈÖnit une fonction en : R ! C en posant
en (x) = einx pour tout x 2 R.
Il est bien clair que
en 2 C pour tout n 2 Z.
On note P le sous-espace vectoriel de C engendrÈ par fen : n 2 Zg.
P = Vect fen : n 2 Zg .
DeÖnition
Les vecteurs de P sont appelÈs polynÙmes trigonomÈtriques.
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Pour tout n 2 Z, on dÈÖnit une fonction en : R ! C en posant
en (x) = einx pour tout x 2 R.
Il est bien clair que
en 2 C pour tout n 2 Z.
On note P le sous-espace vectoriel de C engendrÈ par fen : n 2 Zg.
P = Vect fen : n 2 Zg .
DeÖnition
Les vecteurs de P sont appelÈs polynÙmes trigonomÈtriques.
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Pour tout n 2 Z, on dÈÖnit une fonction en : R ! C en posant
en (x) = einx pour tout x 2 R.
Il est bien clair que
en 2 C pour tout n 2 Z.
On note P le sous-espace vectoriel de C engendrÈ par fen : n 2 Zg.
P = Vect fen : n 2 Zg .
DeÖnition
Les vecteurs de P sont appelÈs polynÙmes trigonomÈtriques.
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 6 / 49
-
Pour tout n 2 Z, on dÈÖnit une fonction en : R ! C en posant
en (x) = einx pour tout x 2 R.
Il est bien clair que
en 2 C pour tout n 2 Z.
On note P le sous-espace vectoriel de C engendrÈ par fen : n 2 Zg.
P = Vect fen : n 2 Zg .
DeÖnition
Les vecteurs de P sont appelÈs polynÙmes trigonomÈtriques.
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-
Pour tout n 2 Z, on dÈÖnit une fonction en : R ! C en posant
en (x) = einx pour tout x 2 R.
Il est bien clair que
en 2 C pour tout n 2 Z.
On note P le sous-espace vectoriel de C engendrÈ par fen : n 2 Zg.
P = Vect fen : n 2 Zg .
DeÖnition
Les vecteurs de P sont appelÈs polynÙmes trigonomÈtriques.
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-
Pour tout n 2 Z, on dÈÖnit une fonction en : R ! C en posant
en (x) = einx pour tout x 2 R.
Il est bien clair que
en 2 C pour tout n 2 Z.
On note P le sous-espace vectoriel de C engendrÈ par fen : n 2 Zg.
P = Vect fen : n 2 Zg .
DeÖnition
Les vecteurs de P sont appelÈs polynÙmes trigonomÈtriques.
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-
Pour tout n 2 Z, on dÈÖnit une fonction en : R ! C en posant
en (x) = einx pour tout x 2 R.
Il est bien clair que
en 2 C pour tout n 2 Z.
On note P le sous-espace vectoriel de C engendrÈ par fen : n 2 Zg.
P = Vect fen : n 2 Zg .
DeÖnition
Les vecteurs de P sont appelÈs polynÙmes trigonomÈtriques.
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 6 / 49
-
Le lien entre tous ces espaces.
Lemma
Soient p, q 2 [1,•] tels que p < q. Alors
P ( C ( L• ( Lq ( Lp ( L1.
De plus,
kf kp + kf kq pour tout f 2 Lq .
Proof.Cíest une consÈquence immÈdiate des rÈsultats des Questions 2 et 3 delíExercice 3 de la Feuille 2 (sur les Espaces Lp).
On note au passage que si f 2 L1 alors, en appliquant la formule deChasles suivie díun changement de variables,
Z a+2p
af (x) dx =
Z 2p
0f (x) dx pour tout a 2 R.
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 7 / 49
-
Le lien entre tous ces espaces.
Lemma
Soient p, q 2 [1,•] tels que p < q. Alors
P ( C ( L• ( Lq ( Lp ( L1.
De plus,
kf kp + kf kq pour tout f 2 Lq .
Proof.Cíest une consÈquence immÈdiate des rÈsultats des Questions 2 et 3 delíExercice 3 de la Feuille 2 (sur les Espaces Lp).
On note au passage que si f 2 L1 alors, en appliquant la formule deChasles suivie díun changement de variables,
Z a+2p
af (x) dx =
Z 2p
0f (x) dx pour tout a 2 R.
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Le lien entre tous ces espaces.
Lemma
Soient p, q 2 [1,•] tels que p < q. Alors
P ( C ( L• ( Lq ( Lp ( L1.
De plus,
kf kp + kf kq pour tout f 2 Lq .
Proof.Cíest une consÈquence immÈdiate des rÈsultats des Questions 2 et 3 delíExercice 3 de la Feuille 2 (sur les Espaces Lp).
On note au passage que si f 2 L1 alors, en appliquant la formule deChasles suivie díun changement de variables,
Z a+2p
af (x) dx =
Z 2p
0f (x) dx pour tout a 2 R.
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Le lien entre tous ces espaces.
Lemma
Soient p, q 2 [1,•] tels que p < q. Alors
P ( C ( L• ( Lq ( Lp ( L1.
De plus,
kf kp + kf kq pour tout f 2 Lq .
Proof.Cíest une consÈquence immÈdiate des rÈsultats des Questions 2 et 3 delíExercice 3 de la Feuille 2 (sur les Espaces Lp).
On note au passage que si f 2 L1 alors, en appliquant la formule deChasles suivie díun changement de variables,
Z a+2p
af (x) dx =
Z 2p
0f (x) dx pour tout a 2 R.
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Le lien entre tous ces espaces.
Lemma
Soient p, q 2 [1,•] tels que p < q. Alors
P ( C ( L• ( Lq ( Lp ( L1.
De plus,
kf kp + kf kq pour tout f 2 Lq .
Proof.Cíest une consÈquence immÈdiate des rÈsultats des Questions 2 et 3 delíExercice 3 de la Feuille 2 (sur les Espaces Lp).
On note au passage que si f 2 L1 alors, en appliquant la formule deChasles suivie díun changement de variables,
Z a+2p
af (x) dx =
Z 2p
0f (x) dx pour tout a 2 R.
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Le lien entre tous ces espaces.
Lemma
Soient p, q 2 [1,•] tels que p < q. Alors
P ( C ( L• ( Lq ( Lp ( L1.
De plus,
kf kp + kf kq pour tout f 2 Lq .
Proof.Cíest une consÈquence immÈdiate des rÈsultats des Questions 2 et 3 delíExercice 3 de la Feuille 2 (sur les Espaces Lp).
On note au passage que si f 2 L1 alors, en appliquant la formule deChasles suivie díun changement de variables,
Z a+2p
af (x) dx =
Z 2p
0f (x) dx pour tout a 2 R.
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Le lien entre tous ces espaces.
Lemma
Soient p, q 2 [1,•] tels que p < q. Alors
P ( C ( L• ( Lq ( Lp ( L1.
De plus,
kf kp + kf kq pour tout f 2 Lq .
Proof.Cíest une consÈquence immÈdiate des rÈsultats des Questions 2 et 3 delíExercice 3 de la Feuille 2 (sur les Espaces Lp).
On note au passage que si f 2 L1 alors, en appliquant la formule deChasles suivie díun changement de variables,
Z a+2p
af (x) dx =
Z 2p
0f (x) dx pour tout a 2 R.
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Le lien entre tous ces espaces.
Lemma
Soient p, q 2 [1,•] tels que p < q. Alors
P ( C ( L• ( Lq ( Lp ( L1.
De plus,
kf kp + kf kq pour tout f 2 Lq .
Proof.Cíest une consÈquence immÈdiate des rÈsultats des Questions 2 et 3 delíExercice 3 de la Feuille 2 (sur les Espaces Lp).
On note au passage que si f 2 L1 alors, en appliquant la formule deChasles suivie díun changement de variables,
Z a+2p
af (x) dx =
Z 2p
0f (x) dx pour tout a 2 R.
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Le lien entre tous ces espaces.
Lemma
Soient p, q 2 [1,•] tels que p < q. Alors
P ( C ( L• ( Lq ( Lp ( L1.
De plus,
kf kp + kf kq pour tout f 2 Lq .
Proof.Cíest une consÈquence immÈdiate des rÈsultats des Questions 2 et 3 delíExercice 3 de la Feuille 2 (sur les Espaces Lp).
On note au passage que si f 2 L1 alors, en appliquant la formule deChasles suivie díun changement de variables,
Z a+2p
af (x) dx =
Z 2p
0f (x) dx pour tout a 2 R.
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-
La norme de L2 est issue du produit scalaire dÈÖni par
hf , gi =12p
Z 2p
0f (x) g (x)dx pour tout (f , g) 2 L2 1 L2.
En particulier, L2 est un espace de Hilbert.
Lemma
(en)n2Z est une famille orthonormale de L2.
Proof.
Si m, n 2 Z avec m 6= n alors
hen , eni =12p
Z 2p
0ei (n,n)x dx =
12p
Z 2p
0dx = 1
et
hem , eni =12p
Z 2p
0ei (m,n)x dx =
12p
"ei (m,n)x
m , n
#2p
0
= 0.
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 8 / 49
-
La norme de L2 est issue du produit scalaire dÈÖni par
hf , gi =12p
Z 2p
0f (x) g (x)dx pour tout (f , g) 2 L2 1 L2.
En particulier, L2 est un espace de Hilbert.
Lemma
(en)n2Z est une famille orthonormale de L2.
Proof.
Si m, n 2 Z avec m 6= n alors
hen , eni =12p
Z 2p
0ei (n,n)x dx =
12p
Z 2p
0dx = 1
et
hem , eni =12p
Z 2p
0ei (m,n)x dx =
12p
"ei (m,n)x
m , n
#2p
0
= 0.
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La norme de L2 est issue du produit scalaire dÈÖni par
hf , gi =12p
Z 2p
0f (x) g (x)dx pour tout (f , g) 2 L2 1 L2.
En particulier, L2 est un espace de Hilbert.
Lemma
(en)n2Z est une famille orthonormale de L2.
Proof.
Si m, n 2 Z avec m 6= n alors
hen , eni =12p
Z 2p
0ei (n,n)x dx =
12p
Z 2p
0dx = 1
et
hem , eni =12p
Z 2p
0ei (m,n)x dx =
12p
"ei (m,n)x
m , n
#2p
0
= 0.
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La norme de L2 est issue du produit scalaire dÈÖni par
hf , gi =12p
Z 2p
0f (x) g (x)dx pour tout (f , g) 2 L2 1 L2.
En particulier, L2 est un espace de Hilbert.
Lemma
(en)n2Z est une famille orthonormale de L2.
Proof.
Si m, n 2 Z avec m 6= n alors
hen , eni =12p
Z 2p
0ei (n,n)x dx =
12p
Z 2p
0dx = 1
et
hem , eni =12p
Z 2p
0ei (m,n)x dx =
12p
"ei (m,n)x
m , n
#2p
0
= 0.
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La norme de L2 est issue du produit scalaire dÈÖni par
hf , gi =12p
Z 2p
0f (x) g (x)dx pour tout (f , g) 2 L2 1 L2.
En particulier, L2 est un espace de Hilbert.
Lemma
(en)n2Z est une famille orthonormale de L2.
Proof.
Si m, n 2 Z avec m 6= n alors
hen , eni =12p
Z 2p
0ei (n,n)x dx =
12p
Z 2p
0dx = 1
et
hem , eni =12p
Z 2p
0ei (m,n)x dx =
12p
"ei (m,n)x
m , n
#2p
0
= 0.
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La norme de L2 est issue du produit scalaire dÈÖni par
hf , gi =12p
Z 2p
0f (x) g (x)dx pour tout (f , g) 2 L2 1 L2.
En particulier, L2 est un espace de Hilbert.
Lemma
(en)n2Z est une famille orthonormale de L2.
Proof.
Si m, n 2 Z avec m 6= n alors
hen , eni =12p
Z 2p
0ei (n,n)x dx =
12p
Z 2p
0dx = 1
et
hem , eni =12p
Z 2p
0ei (m,n)x dx =
12p
"ei (m,n)x
m , n
#2p
0
= 0.
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La norme de L2 est issue du produit scalaire dÈÖni par
hf , gi =12p
Z 2p
0f (x) g (x)dx pour tout (f , g) 2 L2 1 L2.
En particulier, L2 est un espace de Hilbert.
Lemma
(en)n2Z est une famille orthonormale de L2.
Proof.
Si m, n 2 Z avec m 6= n alors
hen , eni =12p
Z 2p
0ei (n,n)x dx =
12p
Z 2p
0dx = 1
et
hem , eni =12p
Z 2p
0ei (m,n)x dx =
12p
"ei (m,n)x
m , n
#2p
0
= 0.
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La norme de L2 est issue du produit scalaire dÈÖni par
hf , gi =12p
Z 2p
0f (x) g (x)dx pour tout (f , g) 2 L2 1 L2.
En particulier, L2 est un espace de Hilbert.
Lemma
(en)n2Z est une famille orthonormale de L2.
Proof.
Si m, n 2 Z avec m 6= n alors
hen , eni =12p
Z 2p
0ei (n,n)x dx =
12p
Z 2p
0dx = 1
et
hem , eni =12p
Z 2p
0ei (m,n)x dx =
12p
"ei (m,n)x
m , n
#2p
0
= 0.
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La norme de L2 est issue du produit scalaire dÈÖni par
hf , gi =12p
Z 2p
0f (x) g (x)dx pour tout (f , g) 2 L2 1 L2.
En particulier, L2 est un espace de Hilbert.
Lemma
(en)n2Z est une famille orthonormale de L2.
Proof.
Si m, n 2 Z avec m 6= n alors
hen , eni =12p
Z 2p
0ei (n,n)x dx =
12p
Z 2p
0dx = 1
et
hem , eni =12p
Z 2p
0ei (m,n)x dx =
12p
"ei (m,n)x
m , n
#2p
0
= 0.
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La norme de L2 est issue du produit scalaire dÈÖni par
hf , gi =12p
Z 2p
0f (x) g (x)dx pour tout (f , g) 2 L2 1 L2.
En particulier, L2 est un espace de Hilbert.
Lemma
(en)n2Z est une famille orthonormale de L2.
Proof.
Si m, n 2 Z avec m 6= n alors
hen , eni =12p
Z 2p
0ei (n,n)x dx =
12p
Z 2p
0dx = 1
et
hem , eni =12p
Z 2p
0ei (m,n)x dx =
12p
"ei (m,n)x
m , n
#2p
0
= 0.
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-
Soient f , g 2 L1.
On montre, par une preuve analogue ‡ celle donnÈe dans leparagraphe Produit de Convolution du Chapitre Espaces Lp , que lafonction f 2 g donnÈe par
(f 2 g) (x) =12p
Z 2p
0f (x , t) g (t) dt p.p. x 2 [0, 2p]
est bien-dÈÖnie et mesurable.
Díailleurs, on montre, toujours en síinspirant de ce qui a ÈtÈ fait dansle Chapitre Espaces Lp , que f 2 g 2 L1.La fonction f 2 g ainsi dÈÖnie est encore appelÈe produit deconvolution de f et g .
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 9 / 49
-
Soient f , g 2 L1.On montre, par une preuve analogue ‡ celle donnÈe dans leparagraphe Produit de Convolution du Chapitre Espaces Lp , que lafonction f 2 g donnÈe par
(f 2 g) (x) =12p
Z 2p
0f (x , t) g (t) dt p.p. x 2 [0, 2p]
est bien-dÈÖnie et mesurable.
Díailleurs, on montre, toujours en síinspirant de ce qui a ÈtÈ fait dansle Chapitre Espaces Lp , que f 2 g 2 L1.La fonction f 2 g ainsi dÈÖnie est encore appelÈe produit deconvolution de f et g .
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 9 / 49
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Soient f , g 2 L1.On montre, par une preuve analogue ‡ celle donnÈe dans leparagraphe Produit de Convolution du Chapitre Espaces Lp , que lafonction f 2 g donnÈe par
(f 2 g) (x) =12p
Z 2p
0f (x , t) g (t) dt p.p. x 2 [0, 2p]
est bien-dÈÖnie et mesurable.
Díailleurs, on montre, toujours en síinspirant de ce qui a ÈtÈ fait dansle Chapitre Espaces Lp , que f 2 g 2 L1.La fonction f 2 g ainsi dÈÖnie est encore appelÈe produit deconvolution de f et g .
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Soient f , g 2 L1.On montre, par une preuve analogue ‡ celle donnÈe dans leparagraphe Produit de Convolution du Chapitre Espaces Lp , que lafonction f 2 g donnÈe par
(f 2 g) (x) =12p
Z 2p
0f (x , t) g (t) dt p.p. x 2 [0, 2p]
est bien-dÈÖnie et mesurable.
Díailleurs, on montre, toujours en síinspirant de ce qui a ÈtÈ fait dansle Chapitre Espaces Lp , que f 2 g 2 L1.La fonction f 2 g ainsi dÈÖnie est encore appelÈe produit deconvolution de f et g .
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Soient f , g 2 L1.On montre, par une preuve analogue ‡ celle donnÈe dans leparagraphe Produit de Convolution du Chapitre Espaces Lp , que lafonction f 2 g donnÈe par
(f 2 g) (x) =12p
Z 2p
0f (x , t) g (t) dt p.p. x 2 [0, 2p]
est bien-dÈÖnie et mesurable.
Díailleurs, on montre, toujours en síinspirant de ce qui a ÈtÈ fait dansle Chapitre Espaces Lp , que f 2 g 2 L1.
La fonction f 2 g ainsi dÈÖnie est encore appelÈe produit deconvolution de f et g .
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 9 / 49
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Soient f , g 2 L1.On montre, par une preuve analogue ‡ celle donnÈe dans leparagraphe Produit de Convolution du Chapitre Espaces Lp , que lafonction f 2 g donnÈe par
(f 2 g) (x) =12p
Z 2p
0f (x , t) g (t) dt p.p. x 2 [0, 2p]
est bien-dÈÖnie et mesurable.
Díailleurs, on montre, toujours en síinspirant de ce qui a ÈtÈ fait dansle Chapitre Espaces Lp , que f 2 g 2 L1.La fonction f 2 g ainsi dÈÖnie est encore appelÈe produit deconvolution de f et g .
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-
II/ Coe¢cients de Fourier
Soit f 2 L1. Pour tout n 2 Z, on appelle nème coe¢cient deFourier de f le nombre complexe, notÈ cn (f ) ou bf (n), et dÈÖni parla formule (appelÈe parfois Formule de Fourier)
cn (f ) =12p
Z 2p
0f (x) e,inx dx .
Si f 2 L2 et n 2 Z alors
cn (f ) = hf , eni .
En particulier, si m, n 2 Z alors
cm (en) = hen , emi = dmn .
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 10 / 49
-
II/ Coe¢cients de Fourier
Soit f 2 L1. Pour tout n 2 Z, on appelle nème coe¢cient deFourier de f le nombre complexe, notÈ cn (f ) ou bf (n), et dÈÖni parla formule (appelÈe parfois Formule de Fourier)
cn (f ) =12p
Z 2p
0f (x) e,inx dx .
Si f 2 L2 et n 2 Z alors
cn (f ) = hf , eni .
En particulier, si m, n 2 Z alors
cm (en) = hen , emi = dmn .
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II/ Coe¢cients de Fourier
Soit f 2 L1. Pour tout n 2 Z, on appelle nème coe¢cient deFourier de f le nombre complexe, notÈ cn (f ) ou bf (n), et dÈÖni parla formule (appelÈe parfois Formule de Fourier)
cn (f ) =12p
Z 2p
0f (x) e,inx dx .
Si f 2 L2 et n 2 Z alors
cn (f ) = hf , eni .
En particulier, si m, n 2 Z alors
cm (en) = hen , emi = dmn .
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II/ Coe¢cients de Fourier
Soit f 2 L1. Pour tout n 2 Z, on appelle nème coe¢cient deFourier de f le nombre complexe, notÈ cn (f ) ou bf (n), et dÈÖni parla formule (appelÈe parfois Formule de Fourier)
cn (f ) =12p
Z 2p
0f (x) e,inx dx .
Si f 2 L2 et n 2 Z alorscn (f ) = hf , eni .
En particulier, si m, n 2 Z alors
cm (en) = hen , emi = dmn .
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II/ Coe¢cients de Fourier
Soit f 2 L1. Pour tout n 2 Z, on appelle nème coe¢cient deFourier de f le nombre complexe, notÈ cn (f ) ou bf (n), et dÈÖni parla formule (appelÈe parfois Formule de Fourier)
cn (f ) =12p
Z 2p
0f (x) e,inx dx .
Si f 2 L2 et n 2 Z alorscn (f ) = hf , eni .
En particulier, si m, n 2 Z alors
cm (en) = hen , emi = dmn .
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II/ Coe¢cients de Fourier
Soit f 2 L1. Pour tout n 2 Z, on appelle nème coe¢cient deFourier de f le nombre complexe, notÈ cn (f ) ou bf (n), et dÈÖni parla formule (appelÈe parfois Formule de Fourier)
cn (f ) =12p
Z 2p
0f (x) e,inx dx .
Si f 2 L2 et n 2 Z alorscn (f ) = hf , eni .
En particulier, si m, n 2 Z alors
cm (en) = hen , emi = dmn .
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-
PropriÈtÈs ÈlÈmentaires des coe¢cients de Fourier.
Lemma
Soient f 2 L1 et n 2 Z.
(i) cn%ef'= c,n (f ), o˘ ef (x) = f (,x) p.p. x 2 [0, 2p].
(ii) cn(f)= c,n (f ).
(iii) cn (taf ) = e,inacn (f ), o˘ (taf ) (x) = f (x , a) p.p. x 2 [0, 2p].
(iv) cn (emf ) = cn,m (f ) pour tout m 2 Z.
(v) en 2 f = cn (f ) en.
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 11 / 49
-
PropriÈtÈs ÈlÈmentaires des coe¢cients de Fourier.
Lemma
Soient f 2 L1 et n 2 Z.
(i) cn%ef'= c,n (f ), o˘ ef (x) = f (,x) p.p. x 2 [0, 2p].
(ii) cn(f)= c,n (f ).
(iii) cn (taf ) = e,inacn (f ), o˘ (taf ) (x) = f (x , a) p.p. x 2 [0, 2p].
(iv) cn (emf ) = cn,m (f ) pour tout m 2 Z.
(v) en 2 f = cn (f ) en.
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 11 / 49
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PropriÈtÈs ÈlÈmentaires des coe¢cients de Fourier.
Lemma
Soient f 2 L1 et n 2 Z.
(i) cn%ef'= c,n (f ), o˘ ef (x) = f (,x) p.p. x 2 [0, 2p].
(ii) cn(f)= c,n (f ).
(iii) cn (taf ) = e,inacn (f ), o˘ (taf ) (x) = f (x , a) p.p. x 2 [0, 2p].
(iv) cn (emf ) = cn,m (f ) pour tout m 2 Z.
(v) en 2 f = cn (f ) en.
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 11 / 49
-
PropriÈtÈs ÈlÈmentaires des coe¢cients de Fourier.
Lemma
Soient f 2 L1 et n 2 Z.
(i) cn%ef'= c,n (f ), o˘ ef (x) = f (,x) p.p. x 2 [0, 2p].
(ii) cn(f)= c,n (f ).
(iii) cn (taf ) = e,inacn (f ), o˘ (taf ) (x) = f (x , a) p.p. x 2 [0, 2p].
(iv) cn (emf ) = cn,m (f ) pour tout m 2 Z.
(v) en 2 f = cn (f ) en.
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 11 / 49
-
PropriÈtÈs ÈlÈmentaires des coe¢cients de Fourier.
Lemma
Soient f 2 L1 et n 2 Z.
(i) cn%ef'= c,n (f ), o˘ ef (x) = f (,x) p.p. x 2 [0, 2p].
(ii) cn(f)= c,n (f ).
(iii) cn (taf ) = e,inacn (f ), o˘ (taf ) (x) = f (x , a) p.p. x 2 [0, 2p].
(iv) cn (emf ) = cn,m (f ) pour tout m 2 Z.
(v) en 2 f = cn (f ) en.
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 11 / 49
-
PropriÈtÈs ÈlÈmentaires des coe¢cients de Fourier.
Lemma
Soient f 2 L1 et n 2 Z.
(i) cn%ef'= c,n (f ), o˘ ef (x) = f (,x) p.p. x 2 [0, 2p].
(ii) cn(f)= c,n (f ).
(iii) cn (taf ) = e,inacn (f ), o˘ (taf ) (x) = f (x , a) p.p. x 2 [0, 2p].
(iv) cn (emf ) = cn,m (f ) pour tout m 2 Z.
(v) en 2 f = cn (f ) en.
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-
PropriÈtÈs ÈlÈmentaires des coe¢cients de Fourier.
Lemma
Soient f 2 L1 et n 2 Z.
(i) cn%ef'= c,n (f ), o˘ ef (x) = f (,x) p.p. x 2 [0, 2p].
(ii) cn(f)= c,n (f ).
(iii) cn (taf ) = e,inacn (f ), o˘ (taf ) (x) = f (x , a) p.p. x 2 [0, 2p].
(iv) cn (emf ) = cn,m (f ) pour tout m 2 Z.
(v) en 2 f = cn (f ) en.
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 11 / 49
-
PropriÈtÈs ÈlÈmentaires des coe¢cients de Fourier.
Lemma
Soient f 2 L1 et n 2 Z.
(i) cn%ef'= c,n (f ), o˘ ef (x) = f (,x) p.p. x 2 [0, 2p].
(ii) cn(f)= c,n (f ).
(iii) cn (taf ) = e,inacn (f ), o˘ (taf ) (x) = f (x , a) p.p. x 2 [0, 2p].
(iv) cn (emf ) = cn,m (f ) pour tout m 2 Z.
(v) en 2 f = cn (f ) en.
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-
Pas si compliquÈ que Áa!
Proof.
(i) On a
cn%ef'=
12p
Z 2p
0f (,x) e,inx dx =
12p
Z p
,pf (,x) e,inx dx
=12p
Z p
,pf (x) einx dx = c,n (f ) .
(ii) On Ècrit
cn(f)=
12p
Z 2p
0f (x)e,inx dx =
12p
Z 2p
0f (x) einx dx
=12p
Z 2p
0f (x) einx dx = c,n (f ).
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 12 / 49
-
Pas si compliquÈ que Áa!
Proof.
(i) On a
cn%ef'=
12p
Z 2p
0f (,x) e,inx dx =
12p
Z p
,pf (,x) e,inx dx
=12p
Z p
,pf (x) einx dx = c,n (f ) .
(ii) On Ècrit
cn(f)=
12p
Z 2p
0f (x)e,inx dx =
12p
Z 2p
0f (x) einx dx
=12p
Z 2p
0f (x) einx dx = c,n (f ).
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-
Pas si compliquÈ que Áa!
Proof.
(i) On a
cn%ef'=
12p
Z 2p
0f (,x) e,inx dx =
12p
Z p
,pf (,x) e,inx dx
=12p
Z p
,pf (x) einx dx = c,n (f ) .
(ii) On Ècrit
cn(f)=
12p
Z 2p
0f (x)e,inx dx =
12p
Z 2p
0f (x) einx dx
=12p
Z 2p
0f (x) einx dx = c,n (f ).
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-
Pas si compliquÈ que Áa!
Proof.
(i) On a
cn%ef'=
12p
Z 2p
0f (,x) e,inx dx =
12p
Z p
,pf (,x) e,inx dx
=12p
Z p
,pf (x) einx dx = c,n (f ) .
(ii) On Ècrit
cn(f)=
12p
Z 2p
0f (x)e,inx dx =
12p
Z 2p
0f (x) einx dx
=12p
Z 2p
0f (x) einx dx = c,n (f ).
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Pas si compliquÈ que Áa!
Proof.
(i) On a
cn%ef'=
12p
Z 2p
0f (,x) e,inx dx =
12p
Z p
,pf (,x) e,inx dx
=12p
Z p
,pf (x) einx dx = c,n (f ) .
(ii) On Ècrit
cn(f)=
12p
Z 2p
0f (x)e,inx dx =
12p
Z 2p
0f (x) einx dx
=12p
Z 2p
0f (x) einx dx = c,n (f ).
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Pas si compliquÈ que Áa!
Proof.
(i) On a
cn%ef'=
12p
Z 2p
0f (,x) e,inx dx =
12p
Z p
,pf (,x) e,inx dx
=12p
Z p
,pf (x) einx dx = c,n (f ) .
(ii) On Ècrit
cn(f)=
12p
Z 2p
0f (x)e,inx dx =
12p
Z 2p
0f (x) einx dx
=12p
Z 2p
0f (x) einx dx = c,n (f ).
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-
Pas si compliquÈ que Áa!
Proof.
(i) On a
cn%ef'=
12p
Z 2p
0f (,x) e,inx dx =
12p
Z p
,pf (,x) e,inx dx
=12p
Z p
,pf (x) einx dx = c,n (f ) .
(ii) On Ècrit
cn(f)=
12p
Z 2p
0f (x)e,inx dx =
12p
Z 2p
0f (x) einx dx
=12p
Z 2p
0f (x) einx dx = c,n (f ).
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-
Pas si compliquÈ que Áa!
Proof.
(i) On a
cn%ef'=
12p
Z 2p
0f (,x) e,inx dx =
12p
Z p
,pf (,x) e,inx dx
=12p
Z p
,pf (x) einx dx = c,n (f ) .
(ii) On Ècrit
cn(f)=
12p
Z 2p
0f (x)e,inx dx =
12p
Z 2p
0f (x) einx dx
=12p
Z 2p
0f (x) einx dx = c,n (f ).
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On nía pas terminÈ!
Proof.
(iii) On a
cn (taf ) =12p
Z 2p
0(taf ) (x) e,inx dx =
12p
Z 2p
0f (x , a) e,inx dx
=e,ina
2p
Z 2p
0f (x , a) e,in(x,a)dx
=e,ina
2p
Z 2p
0f (x) e,inx dx = e,inacn (f ) .
(iv) Si m 2 Z alors
cn (emf ) =12p
Z 2p
0eimx f (x) e,inx dx
=12p
Z 2p
0f (x) e,i (n,m)x dx = cn,m (f ) .
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-
On nía pas terminÈ!
Proof.
(iii) On a
cn (taf ) =12p
Z 2p
0(taf ) (x) e,inx dx =
12p
Z 2p
0f (x , a) e,inx dx
=e,ina
2p
Z 2p
0f (x , a) e,in(x,a)dx
=e,ina
2p
Z 2p
0f (x) e,inx dx = e,inacn (f ) .
(iv) Si m 2 Z alors
cn (emf ) =12p
Z 2p
0eimx f (x) e,inx dx
=12p
Z 2p
0f (x) e,i (n,m)x dx = cn,m (f ) .
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-
On nía pas terminÈ!
Proof.
(iii) On a
cn (taf ) =12p
Z 2p
0(taf ) (x) e,inx dx =
12p
Z 2p
0f (x , a) e,inx dx
=e,ina
2p
Z 2p
0f (x , a) e,in(x,a)dx
=e,ina
2p
Z 2p
0f (x) e,inx dx = e,inacn (f ) .
(iv) Si m 2 Z alors
cn (emf ) =12p
Z 2p
0eimx f (x) e,inx dx
=12p
Z 2p
0f (x) e,i (n,m)x dx = cn,m (f ) .
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On nía pas terminÈ!
Proof.
(iii) On a
cn (taf ) =12p
Z 2p
0(taf ) (x) e,inx dx =
12p
Z 2p
0f (x , a) e,inx dx
=e,ina
2p
Z 2p
0f (x , a) e,in(x,a)dx
=e,ina
2p
Z 2p
0f (x) e,inx dx = e,inacn (f ) .
(iv) Si m 2 Z alors
cn (emf ) =12p
Z 2p
0eimx f (x) e,inx dx
=12p
Z 2p
0f (x) e,i (n,m)x dx = cn,m (f ) .
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-
On nía pas terminÈ!
Proof.
(iii) On a
cn (taf ) =12p
Z 2p
0(taf ) (x) e,inx dx =
12p
Z 2p
0f (x , a) e,inx dx
=e,ina
2p
Z 2p
0f (x , a) e,in(x,a)dx
=e,ina
2p
Z 2p
0f (x) e,inx dx = e,inacn (f ) .
(iv) Si m 2 Z alors
cn (emf ) =12p
Z 2p
0eimx f (x) e,inx dx
=12p
Z 2p
0f (x) e,i (n,m)x dx = cn,m (f ) .
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On nía pas terminÈ!
Proof.
(iii) On a
cn (taf ) =12p
Z 2p
0(taf ) (x) e,inx dx =
12p
Z 2p
0f (x , a) e,inx dx
=e,ina
2p
Z 2p
0f (x , a) e,in(x,a)dx
=e,ina
2p
Z 2p
0f (x) e,inx dx = e,inacn (f ) .
(iv) Si m 2 Z alors
cn (emf ) =12p
Z 2p
0eimx f (x) e,inx dx
=12p
Z 2p
0f (x) e,i (n,m)x dx = cn,m (f ) .
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On nía pas terminÈ!
Proof.
(iii) On a
cn (taf ) =12p
Z 2p
0(taf ) (x) e,inx dx =
12p
Z 2p
0f (x , a) e,inx dx
=e,ina
2p
Z 2p
0f (x , a) e,in(x,a)dx
=e,ina
2p
Z 2p
0f (x) e,inx dx = e,inacn (f ) .
(iv) Si m 2 Z alors
cn (emf ) =12p
Z 2p
0eimx f (x) e,inx dx
=12p
Z 2p
0f (x) e,i (n,m)x dx = cn,m (f ) .
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On nía pas terminÈ!
Proof.
(iii) On a
cn (taf ) =12p
Z 2p
0(taf ) (x) e,inx dx =
12p
Z 2p
0f (x , a) e,inx dx
=e,ina
2p
Z 2p
0f (x , a) e,in(x,a)dx
=e,ina
2p
Z 2p
0f (x) e,inx dx = e,inacn (f ) .
(iv) Si m 2 Z alors
cn (emf ) =12p
Z 2p
0eimx f (x) e,inx dx
=12p
Z 2p
0f (x) e,i (n,m)x dx = cn,m (f ) .
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On nía pas terminÈ!
Proof.
(iii) On a
cn (taf ) =12p
Z 2p
0(taf ) (x) e,inx dx =
12p
Z 2p
0f (x , a) e,inx dx
=e,ina
2p
Z 2p
0f (x , a) e,in(x,a)dx
=e,ina
2p
Z 2p
0f (x) e,inx dx = e,inacn (f ) .
(iv) Si m 2 Z alors
cn (emf ) =12p
Z 2p
0eimx f (x) e,inx dx
=12p
Z 2p
0f (x) e,i (n,m)x dx = cn,m (f ) .
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Et la derniËre!
Proof.
(iv) Si x 2 [0, 2p] alors
(f 2 en) (x) =12p
Z 2p
0f (t) en (x , t) dt
=12p
Z 2p
0f (t) ein(x,t)dt
=einx
2p
Z 2p
0f (t) e,int dt
= cn (f ) en (x) .
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-
Et la derniËre!
Proof.
(iv) Si x 2 [0, 2p] alors
(f 2 en) (x) =12p
Z 2p
0f (t) en (x , t) dt
=12p
Z 2p
0f (t) ein(x,t)dt
=einx
2p
Z 2p
0f (t) e,int dt
= cn (f ) en (x) .
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 14 / 49
-
Et la derniËre!
Proof.
(iv) Si x 2 [0, 2p] alors
(f 2 en) (x) =12p
Z 2p
0f (t) en (x , t) dt
=12p
Z 2p
0f (t) ein(x,t)dt
=einx
2p
Z 2p
0f (t) e,int dt
= cn (f ) en (x) .
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 14 / 49
-
Et la derniËre!
Proof.
(iv) Si x 2 [0, 2p] alors
(f 2 en) (x) =12p
Z 2p
0f (t) en (x , t) dt
=12p
Z 2p
0f (t) ein(x,t)dt
=einx
2p
Z 2p
0f (t) e,int dt
= cn (f ) en (x) .
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 14 / 49
-
Et la derniËre!
Proof.
(iv) Si x 2 [0, 2p] alors
(f 2 en) (x) =12p
Z 2p
0f (t) en (x , t) dt
=12p
Z 2p
0f (t) ein(x,t)dt
=einx
2p
Z 2p
0f (t) e,int dt
= cn (f ) en (x) .
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 14 / 49
-
Et la derniËre!
Proof.
(iv) Si x 2 [0, 2p] alors
(f 2 en) (x) =12p
Z 2p
0f (t) en (x , t) dt
=12p
Z 2p
0f (t) ein(x,t)dt
=einx
2p
Z 2p
0f (t) e,int dt
= cn (f ) en (x) .
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 14 / 49
-
Et la derniËre!
Proof.
(iv) Si x 2 [0, 2p] alors
(f 2 en) (x) =12p
Z 2p
0f (t) en (x , t) dt
=12p
Z 2p
0f (t) ein(x,t)dt
=einx
2p
Z 2p
0f (t) e,int dt
= cn (f ) en (x) .
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 14 / 49
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On rappelle quíune fonction f 2 C est dite de classe C1 parmorceaux sur [0, 2p] síil existe s 2 N2 et une subdivision
0 = a0 < a1 < 3 3 3 < as,1 < as = 2pde [0, 2p] telle que f 2 C1 ([aj , aj+1]) (et donc f 0 2 L1).
LemmaSoit f 2 C une fonction de classe C1 par morceaux. Alors
cn (f 0) = incn (f ) pour tout n 2 Z.
Proof.
On garde les notations ci-dessus. Une intÈgration par parties simple montreque, pour tout j 2 f0, 1, ..., s , 1g,
aj+1R
ajf 0 (x) e,inx dx =
+f (x) e,inx
,aj+1aj
+ inZ aj+1
ajf (x) e,inx dx .
Il su¢t alors de sommer.
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 15 / 49
-
On rappelle quíune fonction f 2 C est dite de classe C1 parmorceaux sur [0, 2p] síil existe s 2 N2 et une subdivision
0 = a0 < a1 < 3 3 3 < as,1 < as = 2p
de [0, 2p] telle que f 2 C1 ([aj , aj+1]) (et donc f 0 2 L1).
LemmaSoit f 2 C une fonction de classe C1 par morceaux. Alors
cn (f 0) = incn (f ) pour tout n 2 Z.
Proof.
On garde les notations ci-dessus. Une intÈgration par parties simple montreque, pour tout j 2 f0, 1, ..., s , 1g,
aj+1R
ajf 0 (x) e,inx dx =
+f (x) e,inx
,aj+1aj
+ inZ aj+1
ajf (x) e,inx dx .
Il su¢t alors de sommer.
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On rappelle quíune fonction f 2 C est dite de classe C1 parmorceaux sur [0, 2p] síil existe s 2 N2 et une subdivision
0 = a0 < a1 < 3 3 3 < as,1 < as = 2pde [0, 2p] telle que f 2 C1 ([aj , aj+1]) (et donc f 0 2 L1).
LemmaSoit f 2 C une fonction de classe C1 par morceaux. Alors
cn (f 0) = incn (f ) pour tout n 2 Z.
Proof.
On garde les notations ci-dessus. Une intÈgration par parties simple montreque, pour tout j 2 f0, 1, ..., s , 1g,
aj+1R
ajf 0 (x) e,inx dx =
+f (x) e,inx
,aj+1aj
+ inZ aj+1
ajf (x) e,inx dx .
Il su¢t alors de sommer.
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-
On rappelle quíune fonction f 2 C est dite de classe C1 parmorceaux sur [0, 2p] síil existe s 2 N2 et une subdivision
0 = a0 < a1 < 3 3 3 < as,1 < as = 2pde [0, 2p] telle que f 2 C1 ([aj , aj+1]) (et donc f 0 2 L1).
LemmaSoit f 2 C une fonction de classe C1 par morceaux. Alors
cn (f 0) = incn (f ) pour tout n 2 Z.
Proof.
On garde les notations ci-dessus. Une intÈgration par parties simple montreque, pour tout j 2 f0, 1, ..., s , 1g,
aj+1R
ajf 0 (x) e,inx dx =
+f (x) e,inx
,aj+1aj
+ inZ aj+1
ajf (x) e,inx dx .
Il su¢t alors de sommer.
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On rappelle quíune fonction f 2 C est dite de classe C1 parmorceaux sur [0, 2p] síil existe s 2 N2 et une subdivision
0 = a0 < a1 < 3 3 3 < as,1 < as = 2pde [0, 2p] telle que f 2 C1 ([aj , aj+1]) (et donc f 0 2 L1).
LemmaSoit f 2 C une fonction de classe C1 par morceaux. Alors
cn (f 0) = incn (f ) pour tout n 2 Z.
Proof.
On garde les notations ci-dessus. Une intÈgration par parties simple montreque, pour tout j 2 f0, 1, ..., s , 1g,
aj+1R
ajf 0 (x) e,inx dx =
+f (x) e,inx
,aj+1aj
+ inZ aj+1
ajf (x) e,inx dx .
Il su¢t alors de sommer.
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On rappelle quíune fonction f 2 C est dite de classe C1 parmorceaux sur [0, 2p] síil existe s 2 N2 et une subdivision
0 = a0 < a1 < 3 3 3 < as,1 < as = 2pde [0, 2p] telle que f 2 C1 ([aj , aj+1]) (et donc f 0 2 L1).
LemmaSoit f 2 C une fonction de classe C1 par morceaux. Alors
cn (f 0) = incn (f ) pour tout n 2 Z.
Proof.
On garde les notations ci-dessus. Une intÈgration par parties simple montreque, pour tout j 2 f0, 1, ..., s , 1g,
aj+1R
ajf 0 (x) e,inx dx =
+f (x) e,inx
,aj+1aj
+ inZ aj+1
ajf (x) e,inx dx .
Il su¢t alors de sommer.
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 15 / 49
-
On rappelle quíune fonction f 2 C est dite de classe C1 parmorceaux sur [0, 2p] síil existe s 2 N2 et une subdivision
0 = a0 < a1 < 3 3 3 < as,1 < as = 2pde [0, 2p] telle que f 2 C1 ([aj , aj+1]) (et donc f 0 2 L1).
LemmaSoit f 2 C une fonction de classe C1 par morceaux. Alors
cn (f 0) = incn (f ) pour tout n 2 Z.
Proof.
On garde les notations ci-dessus. Une intÈgration par parties simple montreque, pour tout j 2 f0, 1, ..., s , 1g,
aj+1R
ajf 0 (x) e,inx dx =
+f (x) e,inx
,aj+1aj
+ inZ aj+1
ajf (x) e,inx dx .
Il su¢t alors de sommer.
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 15 / 49
-
On rappelle quíune fonction f 2 C est dite de classe C1 parmorceaux sur [0, 2p] síil existe s 2 N2 et une subdivision
0 = a0 < a1 < 3 3 3 < as,1 < as = 2pde [0, 2p] telle que f 2 C1 ([aj , aj+1]) (et donc f 0 2 L1).
LemmaSoit f 2 C une fonction de classe C1 par morceaux. Alors
cn (f 0) = incn (f ) pour tout n 2 Z.
Proof.
On garde les notations ci-dessus. Une intÈgration par parties simple montreque, pour tout j 2 f0, 1, ..., s , 1g,
aj+1R
ajf 0 (x) e,inx dx =
+f (x) e,inx
,aj+1aj
+ inZ aj+1
ajf (x) e,inx dx .
Il su¢t alors de sommer.
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 15 / 49
-
On rappelle quíune fonction f 2 C est dite de classe C1 parmorceaux sur [0, 2p] síil existe s 2 N2 et une subdivision
0 = a0 < a1 < 3 3 3 < as,1 < as = 2pde [0, 2p] telle que f 2 C1 ([aj , aj+1]) (et donc f 0 2 L1).
LemmaSoit f 2 C une fonction de classe C1 par morceaux. Alors
cn (f 0) = incn (f ) pour tout n 2 Z.
Proof.
On garde les notations ci-dessus. Une intÈgration par parties simple montreque, pour tout j 2 f0, 1, ..., s , 1g,
aj+1R
ajf 0 (x) e,inx dx =
+f (x) e,inx
,aj+1aj
+ inZ aj+1
ajf (x) e,inx dx .
Il su¢t alors de sommer.
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 15 / 49
-
Dans toute la suite du chapitre, on note
SN (f ) =N
Ân=,N
cn (f ) en pour tout (f ,N) 2 L1 1N.
DeÖnition
La sÈrie de Fourier de f 2 L1 est la sÈrie dont la suite des sommespartielles est (SN (f ))N2N.
Theorem
Si (an)n2Z 2 CZ et
N
Ân=,N
anen
!
N2N
converge uniformÈment vers f 2 L1
sur R alors
f 2 C et an = cn (f ) pour tout n 2 Z.
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 16 / 49
-
Dans toute la suite du chapitre, on note
SN (f ) =N
Ân=,N
cn (f ) en pour tout (f ,N) 2 L1 1N.
DeÖnition
La sÈrie de Fourier de f 2 L1 est la sÈrie dont la suite des sommespartielles est (SN (f ))N2N.
Theorem
Si (an)n2Z 2 CZ et
N
Ân=,N
anen
!
N2N
converge uniformÈment vers f 2 L1
sur R alors
f 2 C et an = cn (f ) pour tout n 2 Z.
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 16 / 49
-
Dans toute la suite du chapitre, on note
SN (f ) =N
Ân=,N
cn (f ) en pour tout (f ,N) 2 L1 1N.
DeÖnition
La sÈrie de Fourier de f 2 L1 est la sÈrie dont la suite des sommespartielles est (SN (f ))N2N.
Theorem
Si (an)n2Z 2 CZ et
N
Ân=,N
anen
!
N2N
converge uniformÈment vers f 2 L1
sur R alors
f 2 C et an = cn (f ) pour tout n 2 Z.
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 16 / 49
-
Dans toute la suite du chapitre, on note
SN (f ) =N
Ân=,N
cn (f ) en pour tout (f ,N) 2 L1 1N.
DeÖnition
La sÈrie de Fourier de f 2 L1 est la sÈrie dont la suite des sommespartielles est (SN (f ))N2N.
Theorem
Si (an)n2Z 2 CZ et
N
Ân=,N
anen
!
N2N
converge uniformÈment vers f 2 L1
sur R alors
f 2 C et an = cn (f ) pour tout n 2 Z.
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 16 / 49
-
Dans toute la suite du chapitre, on note
SN (f ) =N
Ân=,N
cn (f ) en pour tout (f ,N) 2 L1 1N.
DeÖnition
La sÈrie de Fourier de f 2 L1 est la sÈrie dont la suite des sommespartielles est (SN (f ))N2N.
Theorem
Si (an)n2Z 2 CZ et
N
Ân=,N
anen
!
N2N
converge uniformÈment vers f 2 L1
sur R alors
f 2 C et an = cn (f ) pour tout n 2 Z.
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 16 / 49
-
Dans toute la suite du chapitre, on note
SN (f ) =N
Ân=,N
cn (f ) en pour tout (f ,N) 2 L1 1N.
DeÖnition
La sÈrie de Fourier de f 2 L1 est la sÈrie dont la suite des sommespartielles est (SN (f ))N2N.
Theorem
Si (an)n2Z 2 CZ et
N
Ân=,N
anen
!
N2N
converge uniformÈment vers f 2 L1
sur R alors
f 2 C et an = cn (f ) pour tout n 2 Z.
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 16 / 49
-
Dans toute la suite du chapitre, on note
SN (f ) =N
Ân=,N
cn (f ) en pour tout (f ,N) 2 L1 1N.
DeÖnition
La sÈrie de Fourier de f 2 L1 est la sÈrie dont la suite des sommespartielles est (SN (f ))N2N.
Theorem
Si (an)n2Z 2 CZ et
N
Ân=,N
anen
!
N2N
converge uniformÈment vers f 2 L1
sur R alors
f 2 C et an = cn (f ) pour tout n 2 Z.
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 16 / 49
-
La dÈmonstration est simple.
Proof.
La continuitÈ de f ne pose pas problËme (limite uniforme díune suite defonctions continues). On Öxe n 2 N et on se donne N > n. Alors,
jan , cn (f )j =
/////
N
Âk=,N
ak cn (ek ), cn (f )
/////=
/////cn
N
Âk=,N
ak ek , f
!/////
+
00000
N
Âk=,N
ak ek , f
000001
+
00000
N
Âk=,N
ak ek , f
00000•
.
Preuve analogue si n 2 Z,.
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 17 / 49
-
La dÈmonstration est simple.
Proof.
La continuitÈ de f ne pose pas problËme (limite uniforme díune suite defonctions continues). On Öxe n 2 N et on se donne N > n. Alors,
jan , cn (f )j =
/////
N
Âk=,N
ak cn (ek ), cn (f )
/////=
/////cn
N
Âk=,N
ak ek , f
!/////
+
00000
N
Âk=,N
ak ek , f
000001
+
00000
N
Âk=,N
ak ek , f
00000•
.
Preuve analogue si n 2 Z,.
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 17 / 49
-
La dÈmonstration est simple.
Proof.
La continuitÈ de f ne pose pas problËme (limite uniforme díune suite defonctions continues). On Öxe n 2 N et on se donne N > n. Alors,
jan , cn (f )j =
/////
N
Âk=,N
ak cn (ek ), cn (f )
/////=
/////cn
N
Âk=,N
ak ek , f
!/////
+
00000
N
Âk=,N
ak ek , f
000001
+
00000
N
Âk=,N
ak ek , f
00000•
.
Preuve analogue si n 2 Z,.
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 17 / 49
-
La dÈmonstration est simple.
Proof.
La continuitÈ de f ne pose pas problËme (limite uniforme díune suite defonctions continues). On Öxe n 2 N et on se donne N > n. Alors,
jan , cn (f )j =
/////
N
Âk=,N
ak cn (ek ), cn (f )
/////=
/////cn
N
Âk=,N
ak ek , f
!/////
+
00000
N
Âk=,N
ak ek , f
000001
+
00000
N
Âk=,N
ak ek , f
00000•
.
Preuve analogue si n 2 Z,.
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 17 / 49
-
La dÈmonstration est simple.
Proof.
La continuitÈ de f ne pose pas problËme (limite uniforme díune suite defonctions continues). On Öxe n 2 N et on se donne N > n. Alors,
jan , cn (f )j =
/////
N
Âk=,N
ak cn (ek ), cn (f )
/////=
/////cn
N
Âk=,N
ak ek , f
!/////
+
00000
N
Âk=,N
ak ek , f
000001
+
00000
N
Âk=,N
ak ek , f
00000•
.
Preuve analogue si n 2 Z,.
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 17 / 49
-
La dÈmonstration est simple.
Proof.
La continuitÈ de f ne pose pas problËme (limite uniforme díune suite defonctions continues). On Öxe n 2 N et on se donne N > n. Alors,
jan , cn (f )j =
/////
N
Âk=,N
ak cn (ek ), cn (f )
/////=
/////cn
N
Âk=,N
ak ek , f
!/////
+
00000
N
Âk=,N
ak ek , f
000001
+
00000
N
Âk=,N
ak ek , f
00000•
.
Preuve analogue si n 2 Z,.
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 17 / 49
-
III/ Noyaux
On commence par un premier noyau.
DeÖnition
Le noyau de Dirichlet díordre N 2 N2 est la fonction DN 2 P dÈÖnie par
DN =N
Ân=,N
en .
Lemma
Les assertions suivantes sont vÈriÖÈes pour N 2 N2.
(i) DN est paire et12p
Z 2p
0DN (x) dx = 1.
(ii) DN (x) =
8>>>><
>>>>:
sin56
N +12
7x8
sin (x/2)si x 2 Rn2pZ
2N + 1 si x 2 2pZ
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 18 / 49
-
III/ Noyaux
On commence par un premier noyau.
DeÖnition
Le noyau de Dirichlet díordre N 2 N2 est la fonction DN 2 P dÈÖnie par
DN =N
Ân=,N
en .
Lemma
Les assertions suivantes sont vÈriÖÈes pour N 2 N2.
(i) DN est paire et12p
Z 2p
0DN (x) dx = 1.
(ii) DN (x) =
8>>>><
>>>>:
sin56
N +12
7x8
sin (x/2)si x 2 Rn2pZ
2N + 1 si x 2 2pZ
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 18 / 49
-
III/ Noyaux
On commence par un premier noyau.
DeÖnition
Le noyau de Dirichlet díordre N 2 N2 est la fonction DN 2 P dÈÖnie par
DN =N
Ân=,N
en .
Lemma
Les assertions suivantes sont vÈriÖÈes pour N 2 N2.
(i) DN est paire et12p
Z 2p
0DN (x) dx = 1.
(ii) DN (x) =
8>>>><
>>>>:
sin56
N +12
7x8
sin (x/2)si x 2 Rn2pZ
2N + 1 si x 2 2pZ
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 18 / 49
-
III/ Noyaux
On commence par un premier noyau.
DeÖnition
Le noyau de Dirichlet díordre N 2 N2 est la fonction DN 2 P dÈÖnie par
DN =N
Ân=,N
en .
Lemma
Les assertions suivantes sont vÈriÖÈes pour N 2 N2.
(i) DN est paire et12p
Z 2p
0DN (x) dx = 1.
(ii) DN (x) =
8>>>><
>>>>:
sin56
N +12
7x8
sin (x/2)si x 2 Rn2pZ
2N + 1 si x 2 2pZ
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 18 / 49
-
III/ Noyaux
On commence par un premier noyau.
DeÖnition
Le noyau de Dirichlet díordre N 2 N2 est la fonction DN 2 P dÈÖnie par
DN =N
Ân=,N
en .
Lemma
Les assertions suivantes sont vÈriÖÈes pour N 2 N2.
(i) DN est paire et12p
Z 2p
0DN (x) dx = 1.
(ii) DN (x) =
8>>>><
>>>>:
sin56
N +12
7x8
sin (x/2)si x 2 Rn2pZ
2N + 1 si x 2 2pZ
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 18 / 49
-
III/ Noyaux
On commence par un premier noyau.
DeÖnition
Le noyau de Dirichlet díordre N 2 N2 est la fonction DN 2 P dÈÖnie par
DN =N
Ân=,N
en .
Lemma
Les assertions suivantes sont vÈriÖÈes pour N 2 N2.
(i) DN est paire et12p
Z 2p
0DN (x) dx = 1.
(ii) DN (x) =
8>>>><
>>>>:
sin56
N +12
7x8
sin (x/2)si x 2 Rn2pZ
2N + 1 si x 2 2pZ
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 18 / 49
-
III/ Noyaux
On commence par un premier noyau.
DeÖnition
Le noyau de Dirichlet díordre N 2 N2 est la fonction DN 2 P dÈÖnie par
DN =N
Ân=,N
en .
Lemma
Les assertions suivantes sont vÈriÖÈes pour N 2 N2.
(i) DN est paire et12p
Z 2p
0DN (x) dx = 1.
(ii) DN (x) =
8>>>><
>>>>:
sin56
N +12
7x8
sin (x/2)si x 2 Rn2pZ
2N + 1 si x 2 2pZ
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 18 / 49
-
III/ Noyaux
On commence par un premier noyau.
DeÖnition
Le noyau de Dirichlet díordre N 2 N2 est la fonction DN 2 P dÈÖnie par
DN =N
Ân=,N
en .
Lemma
Les assertions suivantes sont vÈriÖÈes pour N 2 N2.
(i) DN est paire et12p
Z 2p
0DN (x) dx = 1.
(ii) DN (x) =
8>>>><
>>>>:
sin56
N +12
7x8
sin (x/2)si x 2 Rn2pZ
2N + 1 si x 2 2pZ
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 18 / 49
-
On dÈmontre.
Proof.
(i) La paritÈ est claire. Par ailleurs,
12p
Z 2p
0DN (x) dx = c0 (DN ) =
N
Ân=,N
c0 (en) =N
Ân=,N
d0,n = 1.
(ii) Le cas o˘ x 2 2pZ est trivial. On se donne alors x 2 R, 2pZ. Donceix 6= 1 et par suite
DN (x) =N
Ân=,N
einx =2N
Ân=0
ei (n,N )x = e,iNx2N
Ân=0
einx
= e,iNxei (2N+1)x , 1eix , 1
=ei (2N+1)x/2 , e,i (2N+1)x/2
eix/2 , e,ix/2
=
sin56
N +12
7x8
sin (x/2)
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 19 / 49
-
On dÈmontre.
Proof.
(i) La paritÈ est claire. Par ailleurs,
12p
Z 2p
0DN (x) dx = c0 (DN ) =
N
Ân=,N
c0 (en) =N
Ân=,N
d0,n = 1.
(ii) Le cas o˘ x 2 2pZ est trivial. On se donne alors x 2 R, 2pZ. Donceix 6= 1 et par suite
DN (x) =N
Ân=,N
einx =2N
Ân=0
ei (n,N )x = e,iNx2N
Ân=0
einx
= e,iNxei (2N+1)x , 1eix , 1
=ei (2N+1)x/2 , e,i (2N+1)x/2
eix/2 , e,ix/2
=
sin56
N +12
7x8
sin (x/2)
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 19 / 49
-
On dÈmontre.
Proof.
(i) La paritÈ est claire. Par ailleurs,
12p
Z 2p
0DN (x) dx = c0 (DN ) =
N
Ân=,N
c0 (en) =N
Ân=,N
d0,n = 1.
(ii) Le cas o˘ x 2 2pZ est trivial. On se donne alors x 2 R, 2pZ. Donceix 6= 1 et par suite
DN (x) =N
Ân=,N
einx =2N
Ân=0
ei (n,N )x = e,iNx2N
Ân=0
einx
= e,iNxei (2N+1)x , 1eix , 1
=ei (2N+1)x/2 , e,i (2N+1)x/2
eix/2 , e,ix/2
=
sin56
N +12
7x8
sin (x/2)
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 19 / 49
-
On dÈmontre.
Proof.
(i) La paritÈ est claire. Par ailleurs,
12p
Z 2p
0DN (x) dx = c0 (DN ) =
N
Ân=,N
c0 (en) =N
Ân=,N
d0,n = 1.
(ii) Le cas o˘ x 2 2pZ est trivial. On se donne alors x 2 R, 2pZ. Donceix 6= 1 et par suite
DN (x) =N
Ân=,N
einx =2N
Ân=0
ei (n,N )x = e,iNx2N
Ân=0
einx
= e,iNxei (2N+1)x , 1eix , 1
=ei (2N+1)x/2 , e,i (2N+1)x/2
eix/2 , e,ix/2
=
sin56
N +12
7x8
sin (x/2)
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 19 / 49
-
On dÈmontre.
Proof.
(i) La paritÈ est claire. Par ailleurs,
12p
Z 2p
0DN (x) dx = c0 (DN ) =
N
Ân=,N
c0 (en) =N
Ân=,N
d0,n = 1.
(ii) Le cas o˘ x 2 2pZ est trivial. On se donne alors x 2 R, 2pZ. Donceix 6= 1 et par suite
DN (x) =N
Ân=,N
einx =2N
Ân=0
ei (n,N )x = e,iNx2N
Ân=0
einx
= e,iNxei (2N+1)x , 1eix , 1
=ei (2N+1)x/2 , e,i (2N+1)x/2
eix/2 , e,ix/2
=
sin56
N +12
7x8
sin (x/2)
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 19 / 49
-
On dÈmontre.
Proof.
(i) La paritÈ est claire. Par ailleurs,
12p
Z 2p
0DN (x) dx = c0 (DN ) =
N
Ân=,N
c0 (en) =N
Ân=,N
d0,n = 1.
(ii) Le cas o˘ x 2 2pZ est trivial. On se donne alors x 2 R, 2pZ. Donceix 6= 1 et par suite
DN (x) =N
Ân=,N
einx =2N
Ân=0
ei (n,N )x = e,iNx2N
Ân=0
einx
= e,iNxei (2N+1)x , 1eix , 1
=ei (2N+1)x/2 , e,i (2N+1)x/2
eix/2 , e,ix/2
=
sin56
N +12
7x8
sin (x/2)
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 19 / 49
-
On dÈmontre.
Proof.
(i) La paritÈ est claire. Par ailleurs,
12p
Z 2p
0DN (x) dx = c0 (DN ) =
N
Ân=,N
c0 (en) =N
Ân=,N
d0,n = 1.
(ii) Le cas o˘ x 2 2pZ est trivial. On se donne alors x 2 R, 2pZ. Donceix 6= 1 et par suite
DN (x) =N
Ân=,N
einx =2N
Ân=0
ei (n,N )x = e,iNx2N
Ân=0
einx
= e,iNxei (2N+1)x , 1eix , 1
=ei (2N+1)x/2 , e,i (2N+1)x/2
eix/2 , e,ix/2
=
sin56
N +12
7x8
sin (x/2)
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 19 / 49
-
On dÈmontre.
Proof.
(i) La paritÈ est claire. Par ailleurs,
12p
Z 2p
0DN (x) dx = c0 (DN ) =
N
Ân=,N
c0 (en) =N
Ân=,N
d0,n = 1.
(ii) Le cas o˘ x 2 2pZ est trivial. On se donne alors x 2 R, 2pZ. Donceix 6= 1 et par suite
DN (x) =N
Ân=,N
einx =2N
Ân=0
ei (n,N )x = e,iNx2N
Ân=0
einx
= e,iNxei (2N+1)x , 1eix , 1
=ei (2N+1)x/2 , e,i (2N+1)x/2
eix/2 , e,ix/2
=
sin56
N +12
7x8
sin (x/2)
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 19 / 49
-
Un deuxiËme noyau.
DeÖnition
On appelle noyau de FejÈr díordre N 2 N2 la moyenne de CÈsaro de DNdonnÈe par
KN =1N
N,1
Ân=0
Dn .
Il est clair que
DN 2 P et KN 2 P pour tout N 2 N2.
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 20 / 49
-
Un deuxiËme noyau.
DeÖnition
On appelle noyau de FejÈr díordre N 2 N2 la moyenne de CÈsaro de DNdonnÈe par
KN =1N
N,1
Ân=0
Dn .
Il est clair que
DN 2 P et KN 2 P pour tout N 2 N2.
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 20 / 49
-
Un deuxiËme noyau.
DeÖnition
On appelle noyau de FejÈr díordre N 2 N2 la moyenne de CÈsaro de DNdonnÈe par
KN =1N
N,1
Ân=0
Dn .
Il est clair que
DN 2 P et KN 2 P pour tout N 2 N2.
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Un deuxiËme noyau.
DeÖnition
On appelle noyau de FejÈr díordre N 2 N2 la moyenne de CÈsaro de DNdonnÈe par
KN =1N
N,1
Ân=0
Dn .
Il est clair que
DN 2 P et KN 2 P pour tout N 2 N2.
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Un deuxiËme noyau.
DeÖnition
On appelle noyau de FejÈr díordre N 2 N2 la moyenne de CÈsaro de DNdonnÈe par
KN =1N
N,1
Ân=0
Dn .
Il est clair que
DN 2 P et KN 2 P pour tout N 2 N2.
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Un deuxiËme noyau.
DeÖnition
On appelle noyau de FejÈr díordre N 2 N2 la moyenne de CÈsaro de DNdonnÈe par
KN =1N
N,1
Ân=0
Dn .
Il est clair que
DN 2 P et KN 2 P pour tout N 2 N2.
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-
Quelques propriÈtÈs ÈlÈmentaires.
Lemma
Soit N 2 N2.
(i) KN =N
Ân=,N
61,
jnjN
7en .
(ii) KN (x) =1N
6sin (Nx/2)sin (x/2)
72pour tout x 2 Rn2pZ.
(iii) kKN k1 = 1.
(iv) Si 0 < a + p alors12p
Z
a
-
Quelques propriÈtÈs ÈlÈmentaires.
Lemma
Soit N 2 N2.
(i) KN =N
Ân=,N
61,
jnjN
7en .
(ii) KN (x) =1N
6sin (Nx/2)sin (x/2)
72pour tout x 2 Rn2pZ.
(iii) kKN k1 = 1.
(iv) Si 0 < a + p alors12p
Z
a
-
Quelques propriÈtÈs ÈlÈmentaires.
Lemma
Soit N 2 N2.
(i) KN =N
Ân=,N
61,
jnjN
7en .
(ii) KN (x) =1N
6sin (Nx/2)sin (x/2)
72pour tout x 2 Rn2pZ.
(iii) kKN k1 = 1.
(iv) Si 0 < a + p alors12p
Z
a
-
Quelques propriÈtÈs ÈlÈmentaires.
Lemma
Soit N 2 N2.
(i) KN =N
Ân=,N
61,
jnjN
7en .
(ii) KN (x) =1N
6sin (Nx/2)sin (x/2)
72pour tout x 2 Rn2pZ.
(iii) kKN k1 = 1.
(iv) Si 0 < a + p alors12p
Z
a
-
Quelques propriÈtÈs ÈlÈmentaires.
Lemma
Soit N 2 N2.
(i) KN =N
Ân=,N
61,
jnjN
7en .
(ii) KN (x) =1N
6sin (Nx/2)sin (x/2)
72pour tout x 2 Rn2pZ.
(iii) kKN k1 = 1.
(iv) Si 0 < a + p alors12p
Z
a
-
Quelques propriÈtÈs ÈlÈmentaires.
Lemma
Soit N 2 N2.
(i) KN =N
Ân=,N
61,
jnjN
7en .
(ii) KN (x) =1N
6sin (Nx/2)sin (x/2)
72pour tout x 2 Rn2pZ.
(iii) kKN k1 = 1.
(iv) Si 0 < a + p alors12p
Z
a
-
Quelques propriÈtÈs ÈlÈmentaires.
Lemma
Soit N 2 N2.
(i) KN =N
Ân=,N
61,
jnjN
7en .
(ii) KN (x) =1N
6sin (Nx/2)sin (x/2)
72pour tout x 2 Rn2pZ.
(iii) kKN k1 = 1.
(iv) Si 0 < a + p alors12p
Z
a
-
Allez, on dÈmontre tout!
Proof.
(i) On Ècrit
NKN =N,1
Âk=0
Dk =N,1
Âk=0
k
Ân=,k
en
= Âjnj+N,1
Âjnj+k+N,1
en = Âjnj+N,1
en Âjnj+k+N,1
1
= Âjnj+N,1
(N , jnj) en .
= NN
Ân=,N
61,
jnjN
7en .
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 22 / 49
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Allez, on dÈmontre tout!
Proof.
(i) On Ècrit
NKN =N,1
Âk=0
Dk =N,1
Âk=0
k
Ân=,k
en
= Âjnj+N,1
Âjnj+k+N,1
en = Âjnj+N,1
en Âjnj+k+N,1
1
= Âjnj+N,1
(N , jnj) en .
= NN
Ân=,N
61,
jnjN
7en .
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Allez, on dÈmontre tout!
Proof.
(i) On Ècrit
NKN =N,1
Âk=0
Dk =N,1
Âk=0
k
Ân=,k
en
= Âjnj+N,1
Âjnj+k+N,1
en = Âjnj+N,1
en Âjnj+k+N,1
1
= Âjnj+N,1
(N , jnj) en .
= NN
Ân=,N
61,
jnjN
7en .
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Allez, on dÈmontre tout!
Proof.
(i) On Ècrit
NKN =N,1
Âk=0
Dk =N,1
Âk=0
k
Ân=,k
en
= Âjnj+N,1
Âjnj+k+N,1
en = Âjnj+N,1
en Âjnj+k+N,1
1
= Âjnj+N,1
(N , jnj) en .
= NN
Ân=,N
61,
jnjN
7en .
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Allez, on dÈmontre tout!
Proof.
(i) On Ècrit
NKN =N,1
Âk=0
Dk =N,1
Âk=0
k
Ân=,k
en
= Âjnj+N,1
Âjnj+k+N,1
en = Âjnj+N,1
en Âjnj+k+N,1
1
= Âjnj+N,1
(N , jnj) en .
= NN
Ân=,N
61,
jnjN
7en .
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 22 / 49
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Allez, on dÈmontre tout!
Proof.
(i) On Ècrit
NKN =N,1
Âk=0
Dk =N,1
Âk=0
k
Ân=,k
en
= Âjnj+N,1
Âjnj+k+N,1
en = Âjnj+N,1
en Âjnj+k+N,1
1
= Âjnj+N,1
(N , jnj) en .
= NN
Ân=,N
61,
jnjN
7en .
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 22 / 49
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Allez, on dÈmontre tout!
Proof.
(i) On Ècrit
NKN =N,1
Âk=0
Dk =N,1
Âk=0
k
Ân=,k
en
= Âjnj+N,1
Âjnj+k+N,1
en = Âjnj+N,1
en Âjnj+k+N,1
1
= Âjnj+N,1
(N , jnj) en .
= NN
Ân=,N
61,
jnjN
7en .
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La deuxiËme assertion.
Proof.
(ii) Soit x 2 Rn2pZ. DíaprËs les propriÈtÈs sur le noyau de Dirichlet,
NKN (x) =N,1
Âk=0
sin56
k +12
7x8
sin (x/2)=
1sin (x/2)
N,1
Âk=0
sin56
k +12
7x8
=1
sin (x/2)Im
0
B@N,1
Âk=0
ei
k+12
!
x
1
CA =
1sin (x/2)
Im
eix/2N,1
Âk=0
eikx!
=1
sin (x/2)Im6eix/2
eiNx , 1eix , 1
7
=1
sin (x/2)Im
eix/2eiNx/2
eix/22i sin (Nx/2)2i sin (x/2)
!
=sin (Nx/2)sin2 (x/2)
Im%eiNx/2
'=
6sin (Nx/2)sin (x/2)
72.
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La deuxiËme assertion.
Proof.
(ii) Soit x 2 Rn2pZ. DíaprËs les propriÈtÈs sur le noyau de Dirichlet,
NKN (x) =N,1
Âk=0
sin56
k +12
7x8
sin (x/2)=
1sin (x/2)
N,1
Âk=0
sin56
k +12
7x8
=1
sin (x/2)Im
0
B@N,1
Âk=0
ei
k+12
!
x
1
CA =
1sin (x/2)
Im
eix/2N,1
Âk=0
eikx!
=1
sin (x/2)Im6eix/2
eiNx , 1eix , 1
7
=1
sin (x/2)Im
eix/2eiNx/2
eix/22i sin (Nx/2)2i sin (x/2)
!
=sin (Nx/2)sin2 (x/2)
Im%eiNx/2
'=
6sin (Nx/2)sin (x/2)
72.
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 23 / 49
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La deuxiËme assertion.
Proof.
(ii) Soit x 2 Rn2pZ. DíaprËs les propriÈtÈs sur le noyau de Dirichlet,
NKN (x) =N,1
Âk=0
sin56
k +12
7x8