DASG. Nye veje i statistik og sandsynlighedsregning. side 1 af 12Leif Thy, Rosborg Gymnasium og HF

Spørgeskemaundersøgelser og databehandlingDisse noter er udarbejdet i forbindelse med et tværfagligt samarbejde mellem matematik og samfundsfag i en studieretning hvor eleverne har begge fag på A-niveau. Forløbet er gennemført i 2.g efter at klassen i ma-tematik har gennemgået hele sandsynlighedsregningen, herunder binomialfordelingen og stiftet bekendtskab med binomialtest. I samfundsfag har der været arbejdet med udformning af spørgeskemaer.

I noterne beskrives, hvordan man efter at have lavet en spørgeskemaundersøgelse i Lectio kan arbejde vi-dere med svarene i regnearket OpenOffice Calc, herunder lave pivottabeller og Chi2-test.

Beskrivelsen af databehandlingen kan formentlig med mindre ændringer overføres til Excel. Henvisninger til litteraturen findes forskellige steder i noterne.

DASG. Nye veje i statistik og sandsynlighedsregning. side 2 af 12Leif Thy, Rosborg Gymnasium og HF

Lectio og spørgeskemaundersøgelserNår man laver en spørgeskemaundersøgelse i lectio får man umiddelbart resultatet i en form som vist på fi-guren nedenfor med antal og procentvis fordeling på svarmulighederne i hvert enkelt spørgsmål. Derimod kan man i denne oversigt ikke se de enkelte respondenters svar.

Det kan man imidler-tid, hvis man klikker på knappen i øver-ste højre hjørne: Vis i Excel – Alle svar. Så får man alle svar i et regneark og har mulighed for at ar-bejde videre med en statistisk behandling af disse. Et udsnit af svarene på det før-ste spørgsmål i ovenstående skema er vist i skemaet til højre.

Det kræver nu lidt kopieringsarbejde at komme videre.

DASG. Nye veje i statistik og sandsynlighedsregning. side 3 af 12Leif Thy, Rosborg Gymnasium og HF

1. Åbn et tomt regneark

2. Opret et skema med spørgeskemaets spørgsmål som kolonneoverskrifter. I skemaet nedenfor er vist et eksempel.

3. For hvert spørgsmål i spørgeskemaet kopieres svarene (kolonnen yderst til højre) over i den tilsva-rende kolonne i det nye regneark.

4. Herefter kan skemaet i det nye regneark underkastes en nærmere statistisk behandling, f.eks. med krydstabuleringer (oprettelse af Pivottabeller) og efterfølgende Chi-test. Beskrivelse af, hvordan det-te laves i OpenOffice findes i de to næste afsnit: Pivottabel i OpenOffice Calc og Chi_i_anden test, test for forskelle.

Tilsvarende beskrivelser til Excel kan findes i litteraturen, f.eks. Per Henriksen og Torben Stener Ni-elsen: FOLD DIG UD – i samfundsfaglige metoder.

Køn Alder Årgang Parti EuroMand Jeg er 18 år 2.g

Mand Jeg er 18 år 2.g

Mand 3.g

Mand Jeg er 18 år 2.g

Mand Jeg er 17 år 2.g Venstre

Kvinde 2.hf ved ikke

Mand 3.g

Kvinde Jeg er 17 år 2.g Ved ikke

Kvinde 1.g

Kvinde Jeg er 17 år 1.g Ved ikke

Kvinde Jeg er 17 år 1.g

Socialtisk folkeparti

Jeg vil stemme for indførelsen af euro i Danmark

De Konservative

Jeg vil stemme for indførelsen af euro i Danmark

Jeg er 19 eller der over

Det Radikale Venstre

Jeg vil stemme for indførelsen af euro i Danmark

Socialtisk folkeparti

Jeg vil stemme for indførelsen af euro i Danmark

Jeg vil stemme for indførelsen af euro i Danmark

Jeg er 19 eller der over

Socialdemokraterne

Jeg er 19 eller der over

Det Radikale Venstre

Jeg vil stemme for indførelsen af euro i Danmark

Jeg vil stemme imod indførelsen af euro i Danmark

Jeg er under 17 år

Socialtisk folkeparti

Jeg vil stemme imod indførelsen af euro i Danmark

Jeg vil stemme imod indførelsen af euro i Danmark

Kristendemokraterne

Jeg vil stemme imod indførelsen af euro i Danmark

DASG. Nye veje i statistik og sandsynlighedsregning. side 4 af 12Leif Thy, Rosborg Gymnasium og HF

Pivottabel – eller krydstabulering – og Chi2-test i OpenOffice CalcPå de følgende sider (4-7) gennemgås via et eksempel, hvordan man opretter og arbejder med pivottabeller i OpenOffice Calc (kaldes i OO for Datapilot-tabeller) samt laver et Chi2-test på en sådan.Der er lavet en undersøgelse blandt halvtreds 15-19 årige gymnasieelever om gråzonekriminalitet. Følgende spørgsmål er stillet til eleverne:

1. Køn

2. Alder

3. Har du uden tilladelse inden for det sidste år:

a) taget en cykel, som ikke tilhørte dig?

b) taget penge eller spiritus fra en jævnaldrende?

c) taget penge eller spiritus fra forældre?

d) taget noget i en forretning?

4. Har du indenfor det sidste år

a) arbejdet sort?

b) ødelagt noget for sjov?

c) ulovligt lavet graffiti?

Det samlede datamateriale læses ind i et regneark og er vist i skemaform i bilaget side 8.

Man kunne nu forestille sig, at det kunne være interessant at undersøge, om der er en sammenhæng mel-lem f.eks. de to kategorier køn og tyveri fra jævnaldrende, eller mere præcist om det at stjæle fra jævnal-drende afhænger af køn. Her opfattes køn altså som en uafhængig variabel og tyveri fra jævnaldrende som en afhængig variabel.

Et – i mange sammenhænge – ellers uoverkommeligt optællingsarbejde kan nu klares ved at oprette en pi-vottabel.

Fremgangsmåde ved oprettelse og anvendelse af pivottabel

Det er en god ide selv at arbejde med.

1. Åbn regnearket ”Gråzonekriminalitet, rådata” (bilag side 8)

2. Klik et tilfældigt sted i skemaet, hvis hele skemaet skal kunne bruges (ellers markeres blot de rele-vante dele)

3. Vælg Data → Datapilot → Start.....

4. Vælg Aktuel markering og klik OK. Derefter åbnes en dialogboks som vist i figur 1 på næste side

DASG. Nye veje i statistik og sandsynlighedsregning. side 5 af 12Leif Thy, Rosborg Gymnasium og HF

5. I denne dialogboks optræder alle kolonne-overskrifterne som knapper ca. midt i bok-sen. Disse knapper kan trækkes med musen til de forskellige hvide fel-ter.

6. Træk Køn til Rækkefel-ter (uafhængig variabel)

7. Træk Tyveri fra jæv-naldrende til Kolonne-felter (afhængig varia-bel)

8. Træk også Tyveri fra jævnaldrende til Data-felter (vi vil gerne have talt op, hvor mange JA og NEJ, der er fordelt på Køn)

9. Dialogboksen ser nu ud som vist på figur 2.

10. Knappen Tyveri fra jævnaldrende er i Da-tafelter blevet forsynet med en operation, nem-lig Sum. Dette er standardopsætningen i Datapilot-guiden, men vi skal blot have talt op hvor mange JA og NEJ, der er på de to køn. Derfor ....

11. Dobbeltklik på knappen (eller klik på Indstillinger ...) og vælg Antal i drop-down menuen

12. Klik derefter på knappen Flere og vælg Nyt ark i drop-down menuen ud for Resultater til

13. Slut af med at klikke OK. Der oprettes nu en ny regnearkfane med navnet Datapi-lot_Ark_1_1 hvor optællingen af JA og NEJ på Køn er foretaget. Resultatet er vist på figur 3.

Nu er den ønskede pivottabel lavet, og vi kan give os til at undersøge, om der så er en sammenhæng mel-lem Køn og Tyveri fra jævnaldrende. Dette gøres ved at lave et Chi2-test på de opnåede resultater. Inden du kaster dig ud i dette, vil det være en god ide at gennemgå siderne 9-11: Chi2-test – Test for forskelle.

På baggrund af tabellen ovenfor kunne man måske godt få et indtryk af at drenge er mere ”tyvagtige” end pi-ger, idet der er 2,7 gange så mange drenge, der svarer JA til spørgsmålet som piger, og der kun er 1,4 gan-ge så mange drenge som piger i stikprøven. Dvs. man kunne opstille og teste hypotesen

Tæl - Tyveri fra jævnaldrende Tyveri fra jævnaldrendeKøn ja nej Total Resultatd 8 21 29p 3 18 21Total Resultat 11 39 50

Figur 2

Figur 3

Figur 1

DASG. Nye veje i statistik og sandsynlighedsregning. side 6 af 12Leif Thy, Rosborg Gymnasium og HF

H1: Drenge stjæler oftere fra jævnaldrende end piger.

Et Chi2-test bygger imidlertid på en forudsætning om at observerede og forventede resultater ligger tæt på hinanden. I stedet for at teste hypotesen H1 vil man derfor teste nulhypotesen

H0: Der er ingen sammenhæng mellem køn og tyveri fra jævnaldrende

På baggrund af pivottabellen oprettes derfor en ny tabel, hvor det forventede antal JA og NEJ fordelt på køn skal beregnes. Dette gøres på følgende måde:

14. Marker pivottabellen og kopier den til et andet sted i regnearket, f.eks. nedenunder pivottabellen.

15. Slet det indre af tabel-len, altså den obser-verede fordeling af JA og NEJ på køn. Ta-bellen ser nu ud som vist på figur 4. Læg mærke til at Total Resultat felterne ikke slettes.

16. Går vi ud fra, at der ingen sammenhæng er mellem køn og tyveri, og drengene udgør brøkdelen

2950

af alle i stikprøven, så kan det forventede antal drenge-JA-svar beregnes som den samme

brøkdel af alle JA'er, dvs. 11⋅2950

=6,38 .

17. De tilsvarende resulta-ter for de sidste tre celler beregnes og ta-bellen over forventede værdier ser nu ud som vist på figur 5.

18. Nu er vi klar til at lave Chi2-testet. Placer cursoren i en celle, hvor resultatet af testet skal angives. Indtast en regnearkformel med syntaksen: =CHITEST(observerede data;forventede data) og tast RETUR. Det, formlen gør, er at beregne en sandsynlighed p. I dette tilfælde bliver resultatet: p = 0,2625

19. Hvis sandsynligheden p er stor, accepterer man nulhypotesen og hvis p er lille forkaster man nul-hypotesen. Men hvor går grænsen?

20. Grænsen fastlægges ved at vælge et såkaldt signifikansniveau (SN).

Hvis p > SN accepterer man nulhypotesen

Hvis p ≤ SN forkaster man nulhypotesen

Traditionelt vælger man et signifikansniveau på 1% , 5% eller 10%.

21. I vores eksempel ser vi, at p = 0,2625 = 26,25% (figur 7, celle D18, næste side), dvs. konklusionen på vores analyse bliver, at

Der er ingen sammenhæng mellem køn og tyveri fra jævnaldrende.

22. I situationer, hvor man bliver nødt til at forkaste en nulhypotese, betyder det, at der er store forskelle

Forventede resultater:Tæl - Tyveri fra jævnaldrende Tyveri fra jævnaldrendeKøn ja nej Total Resultatd 29p 21Total Resultat 11 39 50

Forventede resultater:Tæl - Tyveri fra jævnaldrende Tyveri fra jævnaldrendeKøn ja nej Total Resultatd 6,38 22,62 29p 4,62 16,38 21Total Resultat 11 39 50

Figur 4

Figur 5

DASG. Nye veje i statistik og sandsynlighedsregning. side 7 af 12Leif Thy, Rosborg Gymnasium og HF

mellem observerede resultater og forventede resultater. I disse tilfælde kan man have glæde af at lave en tabel over de såkaldte residualer. For hvert talpar (O,F) af observerede og forventede vær-

dier beregnes det tilhø-rende residual med

formlen O−F 2

F. I

vores eksempel får vi resultaterne vist i figur 6.

23. En samlet oversigt over tabeller og resultater er vist nedenfor.

Opgaver

Undersøg, om der er sammenhæng mellem f.eks.

a) køn og hærværk

b) køn og graffiti

c) alder og sort arbejde

Figur 7

Figur 6

Residualer:Tæl - Tyveri fra jævnaldrende Tyveri fra jævnaldrendeKøn ja nej Total Resultatd 0,4113 0,116 0,5274p 0,5681 0,1602 0,7283Total Resultat 0,9794 0,2762 1,2556

DASG. Nye veje i statistik og sandsynlighedsregning. side 8 af 12Leif Thy, Rosborg Gymnasium og HF

Bilag

Køn Alder Hærværk Graffiti

1 p 16 nej nej nej ja nej ja nej2 d 18 nej nej ja nej nej nej ja3 p 19 nej nej ja ja ja nej nej4 p 17 nej ja ja nej ja nej nej5 d 18 nej ja ja nej ja ja nej6 d 16 nej nej ja nej ja nej nej7 d 17 nej nej nej ja ja nej nej8 d 17 nej ja nej ja ja nej nej9 d 16 nej ja ja nej nej nej nej10 d 16 nej nej ja nej nej ja nej11 p 17 nej nej nej ja nej ja nej12 d 16 nej nej ja nej nej nej nej13 d 16 nej nej ja nej ja nej ja14 p 17 nej nej nej nej nej nej nej15 p 18 nej nej ja nej ja nej nej16 d 18 nej ja nej ja ja ja nej17 p 16 nej nej ja ja ja nej nej18 p 17 nej nej nej nej ja nej nej19 p 16 nej nej ja ja ja nej ja20 p 18 nej ja nej nej ja nej nej21 d 19 nej ja nej nej ja nej nej22 d 16 nej nej ja nej ja nej nej23 p 15 nej nej ja ja ja ja nej24 p 16 nej nej ja ja ja nej nej25 d 18 nej nej ja nej nej nej nej26 d 16 nej nej ja ja nej nej nej27 p 17 nej ja nej nej ja nej nej28 d 15 nej nej ja nej ja nej nej29 d 18 nej nej ja nej nej ja nej30 d 18 nej nej ja nej ja nej nej31 p 17 nej nej nej nej nej nej nej32 d 16 nej nej ja nej nej ja ja33 d 15 nej ja ja nej ja nej ja34 d 16 nej nej nej nej nej nej nej35 d 15 nej nej ja nej ja nej nej36 p 17 nej nej ja ja ja nej nej37 d 19 nej nej ja ja nej nej nej38 d 19 nej nej nej nej nej nej nej39 p 15 nej nej nej nej ja nej nej40 d 18 nej nej ja nej ja ja nej41 p 17 nej nej nej ja nej nej nej42 p 15 nej nej ja nej ja ja nej43 d 17 nej ja ja nej nej nej nej44 d 17 nej nej ja nej nej nej ja45 d 15 nej nej nej ja ja nej nej46 d 18 nej ja ja nej ja nej nej47 p 18 nej nej ja nej ja nej nej48 d 19 nej nej nej nej nej nej nej49 p 16 nej nej nej ja ja nej nej50 p 18 nej nej ja nej ja nej nej

Respon-dent nr.

Tyveri afcykel

Tyveri frajævnaldrende

Tyveri fra forældre

Tyveri fraforretning

Sort ar-bejde

DASG. Nye veje i statistik og sandsynlighedsregning. side 9 af 12Leif Thy, Rosborg Gymnasium og HF

Test for forskelle – Chi2-test.

Endnu et eksempel med uddybning af metoden beskrevet på de foregående sider

I samfundsfag vil man i en række tilfælde gerne kunne teste for forskelle.

• Er kvinder mere venstreorienterede end mænd?

• Er der forskel mellem drenges og pigers alkoholforbrug?

Til at teste for forskelle benyttes et såkaldt Chi2-test. Anvendelsen af dette test illustreres med et eksempel i det følgende.

Den øverste tabel til højre viser hvordan mænd og kvinder stemte ved folketingsvalget i 2001. Partierne er opdelt i tre grupper: Venstreorien-terede (A, F, Ø); midterpartier: (B, D, Q) og bor-gerlige: (V, C, O).

Hvis man har en forventning om, at kvinder er mere venstreorienterede end mænd, kan man opstille følgende hypotese:

• H1: Kvinder stemte ved folketingsvalget i 2001 mere venstreorienteret end mænd. Dvs. køn er uafhængig variabel og partivalg er afhængig variabel.

I den midterste tabel er der beregnet forventede værdier under den forudsætning, at der ikke er nogen sammenhæng mellem køn og partivalg.

Da mændene udgør brøkdelen 983

1873af hele stikprøven og der i alt er 689, der stemmer på A,F,Ø, vil

man derfor forvente, at der vil være 689⋅ 9831873

=362 mænd, der stemmer på A,F,Ø.

Den kvindelige andel af A,F,Ø-vælgere vil tilsvarende være 689⋅ 8901873

=327 . De øvrige resultater i det

hvide felt fremkommer ved blot at erstatte 689 med hhv. 165 og 1019 (i regnearket kopieres den anvendte formel mod højre og ned).

Chi2-testet bygger på den forudsætning, at der er stor overensstemmelse mellem observerede resultater og forventede resultater. Med andre ord, at der ikke er særlig stor forskel mellem tallene i den øverste tabel og den midterste tabel med forventede værdier. I stedet for at teste hypotesen H1 ovenfor, vil man derfor teste nulhypotesen:

• H0: Der er ingen sammenhæng mellem køn og partivalg.

Chi2-testet skal bruge en udregning af følgende størrelse: q=∑ O−F 2

Fomtalt som ”summen af residu-

alerne for sammenhørende værdier af observerede værdier (absolutte tal) og forventede værdier”. I den sid-

DASG. Nye veje i statistik og sandsynlighedsregning. side 10 af 12Leif Thy, Rosborg Gymnasium og HF

ste tabel ovenfor er residualerne for hvert enkelt talpar (observeret værdi, forventet værdi) beregnet og i celle E22 er vist summen af alle residualerne. Dvs. i det aktuelle eksempel er q = 17,691

Eksempel:

Hvis vi igen tager de venstreorienterede mandlige vælgere som eksempel, så bliver det tilsvarende resi-

dual: 334−361,6054 2

361,6054=2,1074

De øvrige residualer beregnes på tilsvarende måde. Residualtabellen er kun taget med her for at illustre-re, hvilke størrelser der er tale om. Ved anvendelsen af Chi2-testet nedenfor klarer regnearket selv ud-regningen af q, så man behøver ikke have den tredje tabel med i sine beregninger.

Nu skal vi til at anvende Chi2-testet. Dette går ud på at bestemme sandsynligheden for at Chi2 er større end eller lig med q, hvilket i matematiksprog skrives på følgende måde: P X 2≥q . Selve beregningen fore-tages med en indbygget funktion i regnearket og er vist i celle E4. Man indtaster følgende formel (husk lig-hedstegnet):

=CHITEST(dataområde for observerede værdier ; dataområde for forventede værdier)

I det aktuelle eksempel ser indtastningen således ud: =CHITEST(B8:D9;B14:D15). Dataområderne væl-ges ganske enkelt ved at trække med musen hen over dem.

(en alternativ måde at beregne P X 2≥q på i OpenOffice Calc er beskrevet nedenfor).

For Chi2-fordelingen gælder der, at jo større q er jo mindre er P X 2≥q .

En stor q-værdi, og dermed små sandsynligheder, er imidlertid udtryk for en stor afvigelse mellem obser-verede og forventede værdier, jf. den måde residualerne beregnes på, og må føre til den konklusion, at nul-hypotesen forkastes og dermed, at køn har indflydelse på partivalg.

Hvornår vil man forkaste en hypotese?

Inden man overhovedet udfører sit test, bør man fastlægge, hvilket signifikansniveau (SN) man vil vælge at forkaste nulhypotesen på. Her vælger man traditionelt 1%, 5% eller 10%.

Hvis man f.eks. vælger SN = 5%, betyder det i flg. ovenstående overvejelser, at nulhypotesen forkastes, hvis P X 2≥q≤5%=0,05

I det aktuelle eksempel får vi P X 2≥q=0,000144 , dvs. nulhypotesen må forkastes, og der er helt åben-bart en signifikant forskel på mænds og kvinders partivalg i 2001.

Af den sidste figur på næste side fremgår det, at nulhypotesen forkastes på 5% SN, hvis blot q er større end ca. 6 (antallet af frihedsgrader i eksemplet er 2. Se side 12).

Sætter man SN til 1% er den tilsvarende q-værdi lidt under 5 (4,6, hvis man laver beregningen)

Sætter man SN til 10% er resultatet lidt under 10 (9,2, hvis man laver beregningen)

DASG. Nye veje i statistik og sandsynlighedsregning. side 11 af 12Leif Thy, Rosborg Gymnasium og HF

Grafisk illustration

På figurerne ovenfor er til venstre vist grafen for P X 2≥q som funktion af q. Lægger vi f.eks. et SN på 5% ind, ser vi, at den mindste q-værdi, der med 5 frihedsgrader giver en forkastelse af nulhypotesen, er ca. 11. Dette svarer på figuren til højre til arealet under grafen for tæthedsfunktionen i intervallet [11 ;∞ [ .

På de to følgende figurer er det vist, hvordan resultatet ser ud med 10 frihedsgrader.

På den sidste figur til højre er det illustreret, hvordan den mindste q-værdi, der fører til forkastelse af nulhy-potesen, afhænger af antallet af frihedsgrader ved de tre mest almindeligt anvendte signifikansniveauer, 1%, 5% og 10%.

0 5 10 15 20 250

0,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1 Antal frihedsgrader: 5

q

P(Χ

²≥q)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 220

0,020,04

0,060,08

0,10,120,140,160,18

Antal frihedsgrader: 5

q

P(X

²=q)

0 5 10 15 20 250

0,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1 Antal frihedsgrader: 10

q

P(Χ

²≥q)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 210

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

Antal frihedsgrader: 10

q

P(X

²=q)

0 5 10 15 20 250,0

5,0

10,0

15,0

20,0

25,0

30,0

35,0

40,0

antal frihedsgrader, f

qmin

10% SN

5% SN

1% SN

DASG. Nye veje i statistik og sandsynlighedsregning. side 12 af 12Leif Thy, Rosborg Gymnasium og HF

Alternativ beregning af P X 2≥q i OpenOffice Calc

a) Vælg den celle (her E4), der skal indeholde resultatet af beregnin-gen.

b) Åbn funktionsguiden ved at klik-ke på fx i indtastningslinjen.

c) Under Funktion finder man frem til CHITEST og klikker Næste>>

d) I den næste dialogboks udfyldes på sædvanlig vis skrivefelterne Observeret_værdi og Forventet_værdi med de relevante dataområder

e) Klik OK og den beregnede sandsynlighed indlæses i den valgte celle. Det vil være en god ide at give cellen en overskrift som vist på figuren side 9.

Chi2-testet kan også udføres ved at anvende regnearkfunktionen CHIFORDELING. For at kunne bruge den-ne skal man kende q-værdien (eller residualsummen, i dette eksempel 17,691) samt antallet af friheds-grader.

Det viser sig1, at antallet af frihedsgrader f kan beregnes som:

f=r−1⋅k−1

hvor r er antal rækker og k er antal kolonner i det indre af skemaet. I det foreliggende tilfælde bliver antallet af frihedsgrader altså:

f=2−1⋅3−1=2

Residualsummen q er beregnet i celle E22 i regnearkudsnittet på figuren til højre. Syntaksen til beregning af P X 2≥q er herefter: =CHI-FORDELING(q;f).

Kilder:

Per Henriksen, Torben Stener Nielsen: FOLD DIG UD – i samfundsfaglige metoder. Columbus 2007

Nikolaj Malchow-Møller og Allan Würtz: Indblik i statistik – en grundbog for videregående uddannelser. Gyl-dendal uddannelse 2003.

1 Nikolaj Malchow-Møller og Allan Würtz: Indblik i statistik – en grundbog for videregående uddannelser. Gyldendal uddannelse 2003, side 215-216