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Comportamento meccanico dei materiali Spostamenti e tensioni di origine termica
© 2006 Politecnico di Torino 1
Spostamenti delle travi
2
Spostamenti e tensioni di origine termica
Dilatazioni termicheTensioni dovute a spostamenti assiali impeditiSpostamenti flessionaliSpostamenti e tensioni con vincoli alla flessione
Comportamento meccanico dei materiali Spostamenti e tensioni di origine termica
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Spostamenti e tensioni di origine termica
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Effetto della temperatura – 1D – (1/3)
Variazioni uniformi di temperatura (1D)
∆Tm=Tf-Ti
L ∆L
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Effetto della temperatura – 1D – (2/3)
Variazioni uniformi di temperatura (1D)
∆Tm=Tf-Ti
L ∆L
∆L = αL∆Tm α = coefficiente di dilatazione termica lineare
6
Effetto della temperatura – 1D – (3/3)
Variazioni uniformi di temperatura (1D)
∆Tm=Tf-Ti
L ∆L
∆L = αL∆Tm α = coefficiente di dilatazione termica lineare
mL T
L∆ε = = α∆
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Effetto della temperatura – 3D – (1/4)
Variazioni uniformi di temperatura (3D)
∆Tm
8
Effetto della temperatura – 3D – (2/4)
Variazioni uniformi di temperatura (3D)
∆Tm xx m
yy m
zz m
T
T
T
ε = α∆
ε = α∆
ε = α∆
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Effetto della temperatura – 3D – (3/4)
Variazioni uniformi di temperatura (3D)
∆Tm xx m
yy m
zz m
T
T
T
ε = α∆
ε = α∆
ε = α∆
No scorrimenti
No tensioni
10
Effetto della temperatura – 3D – (4/4)
Variazioni uniformi di temperatura (3D)
∆Tm xx m
yy m
zz m
T
T
T
ε = α∆
ε = α∆
ε = α∆
No scorrimenti
No tensioni
( )ii ii jj kk m
ik ik
1 TE
1G
γ
ε = σ − νσ − νσ + α∆
= τ
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Valori di α
Valori “tipici” di α per i materiali più comuni
6
6
6
6
6
6
Acciai al C 12 10Acciai legati 11 10Acciai Inox 14 10Leghe Al 22 10Ottone 19 10Bronzo 20
Materia
1
l
0
e−
−
−
−
−
−
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
α
12
Effetto della temperatura
Se gli spostamenti dovuti alla dilatazione termica sono impediti…
…nascono tensioni di origine termica
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Spostamenti e tensioni di origine termica
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Asta soggetta a ∆Tm
Esempio: asta di sezione A soggetta ad un aumento di temperatura ∆Tm – libera
Materiale acciaio (E = 200000 MPa)α = 12 · 10-6 1/° CA = 100 mm2
L = 1000 mm∆Tm = 80°C
L
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Asta soggetta a ∆Tm- spostamenti – (1/2)
L
∆Tm
∆L
∆L = α⋅L⋅∆Tm = 12·10-6 · 1000 · 80 = 0.96 mm
16
Asta soggetta a ∆Tm- spostamenti – (2/2)
L
∆Tm
∆L
∆L = α⋅L⋅∆Tm = 12·10-6 · 1000 · 80 = 0.96 mm
6 4m
L T 12 10 80 9.6 10 960L
− −∆ε = = α∆ = ⋅ ⋅ = ⋅ = µε
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Asta incastrata con ∆Tm – tensioni – (1/5)
Se l’asta è incastrata la deformazione è nulla
∆Tm
L
18
Asta incastrata con ∆Tm – tensioni – (2/5)
Se l’asta è incastrata la deformazione è nulla
Eεzz = σzz + αE∆Tm= 0∆Tm
L
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Asta incastrata con ∆Tm – tensioni – (3/5)
Se l’asta è incastrata la deformazione è nulla
Eεzz = σzz + αE∆Tm= 0
σzz = - αE∆Tm
∆Tm
L
20
Asta incastrata con ∆Tm – tensioni – (4/5)
Se l’asta è incastrata la deformazione è nulla
Eεzz = σzz + αE∆Tm= 0
σzz = - αE∆Tm
σzz = -12·10-6 · 200000 · 80 = -192 MPa
∆Tm
L
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Asta incastrata con ∆Tm – tensioni – (5/5)
La forza esercitata dal vincolo sull’asta è:
Se l’asta è incastrata la deformazione è nulla
Eεzz = σzz + αE∆Tm= 0
σzz = - αE∆Tm
σzz = -12·10-6 · 200000 · 80 = -192 MPa
zzF A 192 10 1920 NPa= σ = − ⋅ = −
L
∆Tm
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Temperature non uniformi nelle travi
Trave con una differenza di temperatura fra intradosso ed estradosso
(sezione rettangolare, altezza h).
T2
T1
L
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Profilo temperatura (1/4)
y
z
T2
T1
T0
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Profilo temperatura (2/4)
y
z
∆Tm
∆Tm= Tm - T0
T2
T1
T0
26
Profilo temperatura (3/4)
y
z
∆Tm
∆T
∆T∆Tm= Tm - T0
2∆T = T2 - T1
T2
T1
T0
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Profilo temperatura (4/4)
y
z
∆Tm
∆T
∆T∆Tm= Tm - T0
2∆T = T2 - T1
T2
T1
T0
m2 TT(y) T y
h∆= + ⋅
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Scomposizione profilo temperatura (1/3)
y
z
T(y)
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Scomposizione profilo temperatura (2/3)
y
z
T(y)
=y
z
Tm +
30
Scomposizione profilo temperatura (3/3)
y
z
T(y)
=y
z
y
z
Tm +
2 T yh∆ ⋅
2∆T = T2 - T1 +
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Trave soggetta a ∆T: def. e spostamenti (1/5)
z
y
∆T
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Trave soggetta a ∆T: def. e spostamenti (2/5)
zz2 TT(y) yh∆ε = α = α
z
y
∆T
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Trave soggetta a ∆T: def. e spostamenti (3/5)
zz2 TT(y) yh∆ε = α = α
z
y
∆T
zz xk yε = ⋅
34
Trave soggetta a ∆T: def. e spostamenti (4/5)
zz2 TT(y) yh∆ε = α = α
z
y
∆T
x2 Tk
h∆= α
zz xk yε = ⋅
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35
Trave soggetta a ∆T: def. e spostamenti (5/5)
zz2 TT(y) yh∆ε = α = α
z
y
2x
x2
dd v kdz dz
θ= − = −
∆T
x2 Tk
h∆= α
zz xk yε = ⋅
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Mensola libera soggetta a ∆T (1/3)
zA BT2
T1
L
z
y
Tm = T0 2∆T = T2 - T1
38
Mensola libera soggetta a ∆T (2/3)
zA B
V(L)
θx(L)
T2
T1
L
z
y
Tm = T0 2∆T = T2 - T1
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39
Mensola libera soggetta a ∆T (3/3)
zA B
V(L)
θx(L)
T2
T1
L
z
y
Tm = T0 2∆T = T2 - T1
x2 Tk
h∆= α
40
Mensola libera con ∆T – spostamenti – (1/5)
x x 12 T(z) k dz z C
h∫
∆θ = = α +
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41
Mensola libera con ∆T – spostamenti – (2/5)
2x 1 2
Tv(z) dz z C z Ch
∫∆= − θ = −α − +
x x 12 T(z) k dz z C
h∫
∆θ = = α +
42
Mensola libera con ∆T – spostamenti – (3/5)
x 1 2z 0 0;v 0 C 0 C 0= ⇒ θ = = ⇒ = =
2x 1 2
Tv(z) dz z C z Ch
∫∆= − θ = −α − +
x x 12 T(z) k dz z C
h∫
∆θ = = α +
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43
Mensola libera con ∆T – spostamenti – (4/5)
x
2
2 T(z) zhTv(z) zh
∆θ = α
∆= −α
x 1 2z 0 0;v 0 C 0 C 0= ⇒ θ = = ⇒ = =
2x 1 2
Tv(z) dz z C z Ch
∫∆= − θ = −α − +
x x 12 T(z) k dz z C
h∫
∆θ = = α +
44
Mensola libera con ∆T – spostamenti – (5/5)
x
2
2 T(z) zhTv(z) zh
∆θ = α
∆= −α
x
2
2 T(L) LhTv(L) Lh
∆θ = α
∆= −α
x 1 2z 0 0;v 0 C 0 C 0= ⇒ θ = = ⇒ = =
2x 1 2
Tv(z) dz z C z Ch
∫∆= − θ = −α − +
x x 12 T(z) k dz z C
h∫
∆θ = = α +
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45
Anche in questo caso, se gli spostamenti sono impediti, nascono delle tensioni di origine termica
Mensola incastrata con ∆T – tensioni – (1/4)
L
T2
T1
46
Anche in questo caso, se gli spostamenti sono impediti, nascono delle tensioni di origine termica
Mensola incastrata con ∆T – tensioni – (2/4)
zz zzE (y) E T(y) 0ε = σ + α ∆ =
L
T2
T1
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47
Anche in questo caso, se gli spostamenti sono impediti, nascono delle tensioni di origine termica
Mensola incastrata con ∆T – tensioni – (3/4)
zz zzE (y) E T(y) 0ε = σ + α ∆ =
L
T2
T1
m2 TT(y) T(y) T y
h∆∆ = − =
48
Anche in questo caso, se gli spostamenti sono impediti, nascono delle tensioni di origine termica
Mensola incastrata con ∆T – tensioni – (4/4)
zz2 TE T(y) E yh∆σ = −α ∆ = −α
zz zzE (y) E T(y) 0ε = σ + α ∆ =
L
T2
T1
m2 TT(y) T(y) T y
h∆∆ = − =
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49
Mensola incastrata con ∆T – tensioni massime
L
T2
T1
zz2 TE y
h∆σ = −α
zz
zz
hy T E2hy T E2
⎛ ⎞σ = + = −α ⋅ ∆ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞σ = − = +α ⋅ ∆ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
50
Mensola incastrata con ∆T – reaz. vinc. (1/5)
Momento esercitato dal vincolo:
z
y
Mx
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51
Mensola incastrata con ∆T – reaz. vinc. (2/5)
Momento esercitato dal vincolo:
z
y
Mx
zz2 TE y
h∆σ = −α
52
Mensola incastrata con ∆T – reaz. vinc. (3/5)
Momento esercitato dal vincolo:
z
y
Mx
zz2 TE y
h∆σ = −α x
zzxx
My
Jσ =
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53
Mensola incastrata con ∆T – reaz. vinc. (4/5)
Momento esercitato dal vincolo:
z
y
Mx
zz2 TE y
h∆σ = −α xx
x zz
JM
y⇒ = σx
zzxx
My
Jσ =
54
Mensola incastrata con ∆T – reaz. vinc. (5/5)
Momento esercitato dal vincolo:
z
y
Mx
zz2 TE y
h∆σ = −α
xx xxx
J 2 T E J2 TM E yh y h
⋅ α ⋅ ∆ ⋅ ⋅∆= −α = −
xxx zz
JM
y⇒ = σx
zzxx
My
Jσ =