Spojení a průnik podprostorů
description
Transcript of Spojení a průnik podprostorů
Podprostor vektorového prostoru V
• v1, v2, …, vm jsou vektory vektorového prostoru V
• v1, v2, …, vm jsou generátory vektorového prostoru W
• W je podprostor V
Průnik dvou vektorových podprostorů U, W
nazýváme množinu těch vektorů, které patří současně do U i do W
U W = {p V: p U p W }
Spojení dvou vektorových podprostorů U, W
nazýváme množinu těch vektorů s, které se dají zapsat ve tvaru s = u + w,
kde u U w W
U + W = {s V: s = u + w, u U w W }
U, W jsou podprostory vektorového prostoru V
Potom průnik U W a spojení U + W jsou také podprostory ve V
dim (U + W) = dim U + dim W – dim (U W)
Příklad
Ve vektorovém prostoru R4 jsou dány podprostory W1 (generovaný vektory u1, u2) a W2 (generovaný vektory v1, v2), kde u1 = (1, 1, 1, 0), u2 = (2, 3, 2, 1), v1 = (2, 3, 2, 3), v2 = (1, 1, 1, 2).
Nalezněte dimenzi a bázi podprostoru W1, resp. W2, resp. W1 + W2, resp. W1 W2.
dimenze a báze W1 + W2
(1, 1, 1, 0) (1, 1, 1, 0) (1, 1, 1, 0)
(2, 3, 2, 1) (0, 1, 0, 1) (0, 1, 0, 1)
(2, 3, 2, 2) (0, 1, 0, 3) (0, 0, 0, 2)
(1, 1, 1, 2) (0, 0, 0, 2) (0, 0, 0, 2)
dim (W1 + W2) = 3
bází W1 + W2 jsou např. vektory u1, u2, v1
báze W1 W2
x W1 W2 libovolný, potom je:
x = a1u1 + a2u2 = a3v1 + a4v2
a1(1, 1, 1, 0) + a2(2, 3, 2, 1) =
= a3(2, 3, 2, 2) + a4(1, 1, 1, 2)
a1(1, 1, 1, 0) + a2(2, 3, 2, 1) = = a3(2, 3, 2, 2) + a4(1, 1, 1, 2)
a1 + 2a2 = 2a3 + a4
a1 + 3a2 = 3a3 + a4 a1 + 2a2 = 2a3 + a4 a2 = 2a3 + 2a4
volíme a4 = t x = (–t, –2t, –2t, –t)
báze je např. (1, 2, 2, 1)
Skalární součin vektorů u, v
u = (u1, u2, ..., un) , v = (v1, v2, ..., vn)
k = u1 v1 + u2 v2 + …. + un vn
k R
Vlastnosti skalárního součinu
• u = (1, 2, –1, 0)
uu = 12 + 22 + (–1)2 + 02
uu 0 a uu = 0 u = o
• u = (1, 2, –1, 0), v = (2, –1, 0, 7)
uv = 1.2 + 2.(–1) + (–1).0 + 0.7 = 0
Je-li uv = 0, nemusí být u = o nebo v = o
(uv)w u(vw)• u = (1, 2, 3)
v = (1, 1, 1) w = (0, 1, 2)
• uv = 1 + 2 + 3 = 6
• vw = 0 + 1 + 2 = 3
• (uv)w = 6.(0, 1, 2) = (0, 6, 12)
• u(vw) = (1, 2, 3).3 = (3, 6, 9)
Spočítejte velikost vektoru
• u = (1, 2, 1)
u = 6
• v = (–1, –1, –1)
v = 3
• udejte příklad vektoru dimenze 3, jehož velikost je 1
u a v jsou kolmé (ortogonální)
u v uv = 0
• Nulový vektor je kolmý ke všem vektorům z vektorového prostoru se skalárním součinem (v.o = 0).
• Nenulový vektor nemůže být kolmý sám k sobě (uu > 0).
• Nulový vektor je jediný, který je kolmý sám k sobě.
ortogonální systém vektorů
• v1, v2, …, vn jsou vektory z vektorového
prostoru se skalárním součinem
• vi vj pro i j, kde i, j = 1, 2, …, n
• tedy vi.vj = 0 pro všechna i j
Tvoří vektory u1, u2, u3
ortogonální systém vektorů? u1 = (2, 1, –1)
u2 = (1, –2, 0)
u3 = (2, 1, 5)
(2, 1, –1). (1, –2, 0) = 0
(2, 1, –1). (2, 1, 5) = 0
(1, –2, 0). (2, 1, 5) = 0
Ortogonální báze
Ortogonální systém, který obsahuje n nenulových vektorů, tvoří bázi vektorového
prostoru, jehož dimenze je n.
Příklady ortogonálních bází
Dva vektory v rovině, které jsou na sebe kolmé (v geometrickém slova smyslu)
Tři vektory v prostoru, které jsou navzájem kolmé
Kanonická báze vektorového prostoru
Gram – Schmidtův ortogonalizační proces
Z každé báze ve vektorovém prostoru se skalárním součinem V lze vytvořit
ortogonální bázi.
Ortogonalizujte bázi v1 = (2, 1, –1),
v2 = (5, 0, –2), v3 = (2, –4, 6)
Jedná se skutečně o bázi?
(2, 1, –1) (2, 1, –1) (2, 1, –1)(5, 0, –2) (0, –5, 1) (0, –5, 1)(2, –4, 6) (0, –5, 5) (0, 0, 4)
Vektory v1, v2, v3 jsou lineárně nezávislé a
tedy tvoří bázi třírozměrného vektorového prostoru.
Hledanou ortogonální bázi označíme u1, u2, u3
• Položíme u1 = v1
tedy u1 = (2, 1, –1)
• u2 = a1u1 + v2
u2 u1 = a1u1 u1+ v2 u1
0 = 6a1 + 12
a1 = –2 u2 = (1, –2, 0)
u3 = b1u1 + b2u2 + v3
• u3 u1 = b1u1 u1 + b2u2 u1 + v3 u1
0 = 6b1 + 0 – 6
b1 = 1
• u3 u2 = b1u1 u2 + b2u2 u2 + v3 u2
0 = 0 + 5b2 + 10
b2 = –2
• u3 = (2, 1, 5)
Tvoří vektory u1, u2, u3
ortogonální bázi? • (2, 1, –1) (2, 1, –1)
(1, –2, 0) (0, 5, –1) (2, 1, 5) (0, 0, 6)
• (2, 1, –1). (1, –2, 0) = 0
(2, 1, –1). (2, 1, 5) = 0
(1, –2, 0). (2, 1, 5) = 0
Ortonormální báze
Ortonormální systém, který obsahuje n vektorů, tvoří bázi vektorového prostoru, jehož dimenze je n.
ortogonální množina ortonormální báze
• každý vektor ui vydělíme jeho velikostí
• nulový vektor vynecháme
• ortogonální množina může obsahovat nulový vektor
• ortonormální množina nemůže obsahovat nulový vektor
• ortogonální množina je lineárně nezávislá pouze tehdy, když neobsahuje nulový vektor
• ortonormální množina je vždy lineárně nezávislá